高三数学 复习函数的奇偶性和周期性课件
高三数学复习课件【函数的奇偶性及周期性】
f(x)＝－ x，4x02≤＋x2<，1，－1≤x<0， 则 f 32＝________. 解析：∵f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的函数，
且 f(x)＝－x，4x02≤＋x2<，1，－1≤x<0， ∴f 32＝f －12＝－4×－122＋2＝1. 答案：1
返回 2．已知定义在 R 上的函数满足 f(x＋2)＝－f1x，x∈(0,2]时，f(x)
关 于 _原__点_ 对称
f(x)就叫做奇函数
返回 2.函数的周期性 (1)周期函数
对于函数 f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定 义域内的任何值时，都有 f(x＋T)＝f(x) ，那么就称函数 f(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期． (2)最小正周期 如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个 最小的正数 ， 那么这个 最小正数 就叫做 f(x)的最小正周期．
关于原点对称，A 选项为奇函数，B 选项为偶函数，C 选项
定义域为(0，＋∞)，不具有奇偶性，D 选项既不是奇函数也
不是偶函数． 答案：B
返回
3．已知 f(x)＝ax2＋bx 是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么 a＋b
的值是
()
A．－13
B.13
C.12
D．－12
解ห้องสมุดไป่ตู้：∵f(x)＝ax2＋bx 是定义在[a－1,2a]上的偶函数，∴a－
奇函数，所以 f 121＝f －12＝－f 12＝123＝18. 答案：B
返回
5．函数 f(x)在 R 上为奇函数，且 x>0 时，f(x)＝x＋1，则当 x<0 时，f(x)＝________. 解析：∵f(x)为奇函数，x>0 时，f(x)＝x＋1， ∴当 x<0 时，－x>0，f(x)＝－f(－x)＝－(－x＋1)， 即 x<0 时，f(x)＝－(－x＋1)＝x－1. 答案：x－1
数学函数的奇偶性与周期性课件
数学知识点：函数的奇偶性与周期性一、考纲目标1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；2.运用函数图像，理解和研究函数的奇偶性；3.了解函数的奇偶性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性；二、知识梳理（一）函数的奇偶性1.定义：如果对于函数 f (x)的定义域内的任意一个x，都有f(x)=f(-x)(f(-x)=f(x))，那么这个函数就是偶（奇）函数；2.性质及一些结论：（1）定义域关于原点对称；（2）偶函数的图象关于轴对称，奇函数的图象关于原点对称；（3）为偶函数（4）若奇函数的定义域包含，则因此，“f(x)为奇函数”是"f(0)=0"的非充分非必要条件；（5）判断函数的奇偶性，首先要研究函数的定义域，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响；（6）断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：，（7）设，的定义域分别是，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇（8）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反（二）函数的周期性1.定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使恒成立，则f(x)叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期2.简单理解：一般所说的周期是指函数的最小正周期，周期函数的定义域一定是无限集，但是我们可能只研究定义域的某个子集三、考点逐个突破1．奇偶性辨析例1.下面四个结论：①偶函数的图象一定与y轴相交；②奇函数的图象一定通过原点；③偶函数的图象关于y轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)=0(x∈R)，其中正确命题的个数是A．1 B.2 C.3 D.4分析：偶函数的图象关于y轴对称，但不一定相交，因此③正确，①错误奇函数的图象关于原点对称，但不一定经过原点，因此②不正确若y=f(x)既是奇函数，又是偶函数，由定义可得f(x)=0，但不一定x∈R，如例1中的(3)，故④错误，选A说明：既奇又偶函数的充要条件是定义域关于原点对称且函数值恒为零例2.判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝|x|(x2＋1)；(2)f(x)＝x＋1 x ；(3)f(x)＝x－2＋2－x；(4)f(x)＝1－x2＋x2－1；(5)f(x)＝(x－1)1＋x1－x.解析 (1)此函数的定义域为R.∵f(－x)＝|－x|[(－x)2＋1]＝|x|(x2＋1)＝f(x)，∴f(－x)＝f (x)，即f(x)是偶函数．(2)此函数的定义域为x>0，由于定义域关于原点不对称，故f(x)既不是奇函数也不是偶函数．(3)此函数的定义域为{2}，由于定义域关于原点不对称，故f(x)既不是奇函数也不是偶函数．(4)此函数的定义域为{1，－ 1}，且f(x)＝0，可知图像既关于原点对称，又关于y 轴对称，故此函数既是奇函数又是偶函数．(5)定义域：⎩⎨⎧1－x≠01＋x1－x ≥0⇒－1≤x<1是关于原点不对称区间，故此函数为非奇非偶函数． 2.奇偶性的应用 例3.已知函数对一切，都有，（1）求证：是奇函数；（2）若，用表示解：（1）显然的定义域是，它关于原点对称.在中，令，得，令，得，∴，∴，即， ∴是奇函数（2）由，及是奇函数，得例4.（1）已知是上的奇函数，且当时，，则的解析式为（2）已知是偶函数，，当时，为增函数，若，且，则 （）例5设为实数，函数，（1）讨论的奇偶性； （2）求 的最小值解：（1）当时，，此时为偶函数；当时，，，∴此时函数既不是奇函数也不是偶函数（2）①当时，函数，若，则函数在上单调递减，∴函数在上的最小值为；若，函数在上的最小值为，且②当时，函数，若，则函数在上的最小值为，且；若，则函数在上单调递增，∴函数在上的最小值综上，当时，函数的最小值是，当时，函数的最小值是，当，函数的最小值是3.函数周期性的应用例6．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 011)．解 (1)证明：∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．∴f(x)是周期为4的周期函数．(2)当x∈[－2,0]时，－x∈[0,2]，由已知得f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2，又f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝－2x －x 2， ∴f(x)＝x 2＋2x.又当x ∈[2,4]时，x －4∈[－2,0]， ∴f(x －4)＝(x －4)2＋2(x －4)． 又f(x)是周期为4的周期函数，∴f(x)＝f(x －4)＝(x －4)2＋2(x －4)＝x 2－6x ＋8. 从而求得x ∈[2,4]时，f(x)＝x 2－6x ＋8. (3)f(0)＝0，f(2)＝0，f(1)＝1，f(3)＝－1. 又f(x)是周期为4的周期函数，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2 008)＋f(2 009)＋f(2 010)＋f(2 011)＝0. ∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 011)＝0. 4.单调性与奇偶性的交叉应用例7.已知定义域为R 的函数f(x)＝－2x ＋b2x ＋1＋a 是奇函数．①求a 、b 的值；②若对任意的t ∈R ，不等式f(t 2－2t)＋f(2t 2－k)<0恒成立，求k 的取值范围． 解：①∵f(x)是定义在R 上的奇函数，∴f(0)＝0， 即b －1a ＋2＝0，∴b ＝1，∴f(x)＝1－2x a ＋2x ＋1， 又由f(1)＝－f(－1)知1－2a ＋4＝－1－12a ＋1，解得a ＝2.②由①知f(x)＝1－2x 2＋2x ＋1＝－12＋12x ＋1，易知f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数．又∵f(x)是奇函数，从而不等式f(t 2－2t)＋f(2t 2－k)<0等价于f(t 2－2t)<－f(2t 2－k)＝f(k －2t 2)，∵f(x)为减函数，∴由上式得t 2－2t>k －2t 2，即对任意的t ∈R 恒有：3t 2－2t －k>0，从而Δ＝4＋12k<0，∴k<－13.一、选择题1．(2012·高考陕西卷)下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝－x 3C ．y ＝1xD ．y ＝x |x |解析：选D.由函数的奇偶性排除A ，由函数的单调性排除B 、C ，由y ＝x |x |的图象可知当x ＞0时此函数为增函数，又该函数为奇函数，故选D.2．已知y ＝f (x ＋1)是偶函数，则函数y ＝f (x )的图象的对称轴是( ) A ．x ＝1 B ．x ＝－1C ．x ＝12D ．x ＝－12解析：选A.∵y ＝f (x ＋1)是偶函数，∴f (1＋x )＝f (1－x )，故f (x )关于直线x ＝1对称．3．函数f (x )＝x 3＋sin x ＋1(x ∈R )，若f (a )＝2，则f (－a )的值为( ) A ．3 B ．0 C ．－1 D ．－2 解析：选B.f (a )＝a 3＋sin a ＋1，①f (－a )＝(－a )3＋sin(－a )＋1＝－a 3－sin a ＋1，② ①＋②得f (a )＋f (－a )＝2， ∴f (－a )＝2－f (a )＝2－2＝0.4．函数f (x )＝1－21＋2x(x ∈R )( )A ．既不是奇函数又不是偶函数B ．既是奇函数又是偶函数C ．是偶函数但不是奇函数D ．是奇函数但不是偶函数解析：选D.∵f (x )＝1－21＋2x ＝2x －12x ＋1，∴f (－x )＝2－x －12－x ＋1＝1－2x 1＋2x ＝－2x －12x ＋1＝－f (x )．又其定义域为R ，∴f (x )是奇函数．5．定义在R 上的偶函数y ＝f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈(0,1]时单调递增，则( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＜f (－5)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＜f (－5)C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＜f (－5)D ．f (－5)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52解析：选B.∵f (x ＋2)＝f (x )，∴f (x )是以2为周期的函数，又f (x )是偶函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，f (－5)＝f (5)＝f (4＋1)＝f (1)， ∵函数f (x )在(0,1]上单调递增，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜f (1)，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＜f (－5)．二、填空题6．设函数f (x )＝x (e x ＋a e －x )(x ∈R )是偶函数，则实数a 的值为________．解析：因为f (x )是偶函数，所以恒有f (－x )＝f (x )，即－x (e －x ＋a e x )＝x (e x＋a e －x )，化简得x (e －x ＋e x )(a ＋1)＝0.因为上式对任意实数x 都成立，所以a ＝－1.答案：－17．函数f (x )在R 上为奇函数，且x ＞0时，f (x )＝x ＋1，则当x ＜0时，f (x )＝________.解析：∵f (x )为奇函数，x ＞0时，f (x )＝x ＋1， ∴当x ＜0时，－x ＞0，f (x )＝－f (－x )＝－(－x ＋1)，即x ＜0时，f (x )＝－(－x ＋1)＝－－x －1. 答案：－－x －18．(2013·大连质检)设f (x )是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，且f (x ＋3)·f (x )＝－1，f (－4)＝2，则f (2014)＝________.解析：由已知f (x ＋3)＝－1f x，∴f (x ＋6)＝－1f x ＋3＝f (x )，∴f (x )的周期为6.∴f (2014)＝f (335×6＋4)＝f (4)＝－f (－4)＝－2. 答案：－2 三、解答题9．判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝x 2－1＋1－x 2； (2)f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2x ＋3 x >0，0 x ＝0，－x 2－2x －3x <0.解：(1)f (x )的定义域为{－1,1}，关于原点对称． 又f (－1)＝f (1)＝0.∴f (－1)＝f (1)且f (－1)＝－f (1)， ∴f (x )既是奇函数又是偶函数． (2)①当x ＝0时，－x ＝0，f (x )＝f (0)＝0，f (－x )＝f (0)＝0， ∴f (－x )＝－f (x )． ②当x >0时，－x <0，∴f (－x )＝－(－x )2－2(－x )－3 ＝－(x 2－2x ＋3)＝－f (x )． ③当x <0时，－x >0，∴f (－x )＝(－x )2－2(－x )＋3 ＝－(－x 2－2x －3)＝－f (x )．由①②③可知，当x ∈R 时，都有f (－x )＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数．10．已知奇函数f (x )的定义域为[－2,2]，且在区间[－2,0]内递减，求满足：f (1－m )＋f (1－m 2)<0的实数m 的取值范围．解：∵f (x )的定义域为[－2,2]，∴有⎩⎨⎧－2≤1－m ≤2－2≤1－m 2≤2，解得－1≤m ≤3.①又f (x )为奇函数，且在[－2,0]上递减， ∴在[－2,2]上递减，∴f (1－m )<－f (1－m 2)＝f (m 2－1)⇒1－m >m 2－1， 即－2<m <1.②综合①②可知，－1≤m <1.一、选择题1．(2012·高考天津卷)下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为( )A ．y ＝cos 2x ，x ∈RB ．y ＝log 2|x |，x ∈R 且x ≠0C ．y ＝e x －e －x2，x ∈R D ．y ＝x 3＋1，x ∈R解析：选B.由函数是偶函数可以排除C 和D ，又函数在区间(1,2)内为增函数，而此时y ＝log 2|x |＝log 2x 为增函数，所以选择B.2．(2011·高考山东卷)已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ，则函数y ＝f (x )的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为( )A ．6B ．7C ．8D ．9 解析：选B.令f (x )＝x 3－x ＝0， 即x (x ＋1)(x －1)＝0， 所以x ＝0,1，－1，因为0≤x ＜2，所以此时函数的零点有两个，即与x 轴的交点个数为2. 因为f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数， 所以2≤x ＜4,4≤x ＜6上也分别有两个零点， 由f (6)＝f (4)＝f (2)＝f (0)＝0， 知x ＝6也是函数的零点，所以函数y ＝f (x )的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点个数为7. 二、填空题3．若f (x )＝12x －1＋a 是奇函数，则a ＝________.解析：∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，即12－x －1＋a ＝－12x －1－a ，得：2a ＝1，a ＝12.答案：124．(2013·长春质检)设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f (x ＋2)＝－f (x )，下面关于f (x )的判定：其中正确命题的序号为________．①f (4)＝0；②f (x )是以4为周期的函数； ③f (x )的图象关于x ＝1对称； ④f (x )的图象关于x ＝2对称． 解析：∵f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x )＝－f (x ＋2)＝－(－f (x ＋2＋2))＝f (x ＋4)， 即f (x )的周期为4，②正确．∵f (x )为奇函数，∴f (4)＝f (0)＝0，即①正确． 又∵f (x ＋2)＝－f (x )＝f (－x )，∴f (x )的图象关于x ＝1对称，∴③正确， 又∵f (1)＝－f (3)，当f (1)≠0时，显然f (x )的图象不关于x ＝2对称，∴④错误．答案：①②③ 三、解答题5．已知函数f (x )＝x 2＋|x －a |＋1，a ∈R . (1)试判断f (x )的奇偶性；(2)若－12≤a ≤12，求f (x )的最小值．解：(1)当a ＝0时，函数f (－x )＝(－x )2＋|－x |＋1＝f (x )， 此时，f (x )为偶函数．当a ≠0时，f (a )＝a 2＋1，f (－a )＝a 2＋2|a |＋1， f (a )≠f (－a )，f (a )≠－f (－a )，此时，f (x )既不是奇函数，也不是偶函数．(2)当x ≤a 时，f (x )＝x 2－x ＋a ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋a ＋34，∵a ≤12，故函数f (x )在(－∞，a ]上单调递减，从而函数f (x )在(－∞，a ]上的最小值为f (a )＝a 2＋1.当x ≥a 时，函数f (x )＝x 2＋x －a ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫x ＋122－a ＋34，∵a≥－12，故函数f(x)在[a，＋∞)上单调递增，从而函数f(x)在[a，＋∞)上的最小值为f(a)＝a2＋1.综上得，当－12≤a≤12时，函数f(x)的最小值为a2＋1.。
高考一轮复习函数的奇偶性与周期性课件
常见周期函数的举例
正弦函数和余弦函数是常见的周期函 数。例如，y=sin(x)的最小正周期为 2π，y=cos(x)的最小正周期为2π。
函数y=sin(ax)和y=cos(ax)的周期为 2π/a，其中a是常数。
函数y=tan(x)也是周期函数，它的最 小正周期为π。
函数y=tan(ax)的周期为π/a，其中a 是常数。
举一反三
通过练习多种形式的题目， 提高对奇偶性和周期性问 题的应变能力。
反思提高
反思自己在解题过程中的 不足，针对性地加强薄弱 环节的训练。
THANKS.
02
与性
周期函数的定 义
周期函数的定义
如果存在一个非零常数T，对于函数f(x)的定义域内的任意x，都有f(x+T)=f(x)， 则称f(x)为周期函数，T称为这个函数的周期。
周期函数的定义还可以表述为
如果存在一个非零常数T，对于函数f(x)的定义域内的任意x，当x增加T时，函数 值重复出现，即f(x+T)=f(x)，则称f(x)为周期函数，T称为这个函数的周期。
高考一复函数的奇 偶性与周期性件
• 函数奇偶性的定义与性质 • 函数周期性的定义与性质 • 奇偶性与周期性的应用 • 高考真题解析 • 复习建议与策略
函数奇偶性的定
01
与性
奇函数与偶函数的定 义
奇函数
如果对于函数$f(x)$的定义域内任 意一个$x$，都有$f(-x)=-f(x)$， 则称$f(x)$为奇函数。
偶函数
如果对于函数$f(x)$的定义域内任 意一个$x$，都有$f(-x)=f(x)$， 则称$f(x)$为偶函数。
奇偶函数的性 质
01
奇函数在原点有定义， 即$f(0)=0$。
函数的奇偶性对称性周期性课件共19张PPT
(2)已知 f (x) 是奇函数，且当 x 0 时，f (x) eax .若 f (ln 2) 8 ，则a ___-_3______.
(3)(2020·海南 8)若定义在 R 的奇函数 f(x)在(, 0) 单调递减，且 f(2)=0，则满足
xf (x 1) 0 的 x 的取值范围是（ D ）
A．13
B． 2
C．
13 2
D．123
专题三：函数的周期性
变式 5：(1)设定义在 R 上的函数 f x 满足 f x 2 f x ，若 f 1 2 ，则 f 99 _-_2__.
(2)(2022·湖北模拟)定义在 R 上的函数 f x 满足 f x 1 f x 2 ，则下列是周期函数的是 （ D ）A． y f x x B． y f x x C． y f x 2x D． y f x 2x
叫做偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I， 奇函数 都有－x∈I，且_f_(－__x_)_＝__－__f_(x_)_，那么函数f(x) 关于_原__点__对称 就叫做奇函数
复习回顾 2.周期性 (1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数 T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且_f_(_x＋__T__)＝__f_(x_)_，那么函数y＝f(x) 就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最_小___的正数， 那么这个_最__小__正__数__就叫做f(x)的最小正周期.
课堂小结
函数的性质
奇偶性
判断 求解析 求参数
对称性
轴对称： 中心对称：
周期性
求值 求解析 比较大小
祝同学们前程似锦！
高考数学复习全套课件 第二章 第四节 函数的奇偶性与周期性
F(－x)＝f(－x)＋f(x)，则F(－x)＝F(x)，所以 为偶函数 － ＝ － ＋ ， 为偶函数. － ＝ ，所以f(x)为偶函数 答案： 答案：D
2.对任意实数 ，下列函数中的奇函数是 对任意实数x， 对任意实数 A.y＝2x－3 ＝ － C.y＝ln5x ＝ B.y＝－ 2 ＝－3x ＝－ D.y＝－ ＝－|x|cosx ＝－
1.周期函数问题，在考题中常有两类表现形式：一类是研 周期函数问题，在考题中常有两类表现形式： 周期函数问题 究三角函数的周期性；一类是研究抽象函数的周期性 究三角函数的周期性；一类是研究抽象函数的周期性. 抽象函数的周期常常应用定义f(T＋x)＝f(x)给予证明， 给予证明， 抽象函数的周期常常应用定义 ＋ ＝ 给予证明 证明时多从中心对称、轴对称所产生的数学等式出发， 证明时多从中心对称、轴对称所产生的数学等式出发， 推导满足周期定义的等式， 推导满足周期定义的等式，从而在证明函数为周期函 数的同时求出周期. 数的同时求出周期
是非奇非偶函数. ∴f(x)是非奇非偶函数 是非奇非偶函数
判断(或证明 抽象函数的奇偶性的步骤 判断 或证明)抽象函数的奇偶性的步骤 或证明 (1)利用函数奇偶性的定义，找准方向(想办法出现 －x)， 利用函数奇偶性的定义，找准方向 想办法出现 想办法出现f(－ ， 利用函数奇偶性的定义 f(x))； ； (2)巧妙赋值，合理、灵活变形配凑； 巧妙赋值，合理、灵活变形配凑； 巧妙赋值 (3)找出 －x)与f(x)的关系，得出结论 找出f(－ 与 的关系 得出结论. 的关系， 找出
解析： ＝－f(x)， 是奇函数. 解析：∵f(－x)＝－ ，∴f(x)是奇函数 － ＝－ 是奇函数 可知f(x)关于直线 对称， 由f(1＋x)＝f(1－x)可知 关于直线 ＝1对称， ＋ ＝ － 可知 关于直线x＝ 对称 ＝－f(－ ＝－ ＝－f(2＋ ∴f(x)＝－ －x)＝－ ＋x) ＝－ ＝－[－f(4＋x)]＝f(x＋4)， ＝－ － ＋ ＝ ＋ ， 即f(x)＝f(x＋4)， ＝ ＋ ， 的一个周期， ∴4为f(x)的一个周期， 为 的一个周期 ＝－f(1)＝－ ∴f(－2009)＝f(－1)＝－ ＝－ 3＝－ － ＝ － ＝－ ＝－1 ＝－1. 答案： 答案：－1
第三章 第三节 函数的奇偶性及周期性 课件(共55张PPT)
是奇函数．]
3．设 f(x)为定义在 R 上的奇函数，当 x≥0 时，f(x)＝3x－7x＋2b(b 为常
数)，则 f(－2)＝( )
A．6
B．－6
C．4
D．－4
A [∵f(x)为定义在 R 上的奇函数，且当 x≥0 时，
f(x)＝3x－7x＋2b，
∴f(0)＝1＋2b＝0，
∴b＝－12 .
∴f(x)＝3x－7x－1，
(2)因为函数 f(x)＝3x＋4sin x－1，f(－a)＝5，所以－3a＋4sin (－a)－1＝ 5，则 3a＋4sin a＝－6，所以 f(a)＝3a＋4sin a－1＝－6－1＝－7.
答案： (1)D (2)－7
已知函数奇偶性可以解决的 3 个问题 (1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解． (2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性 求出解析式． (3)求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据 f(x)±f(－x)＝0 得到 关于参数的恒等式，由系数的对等性得参数的方程或方程(组)，进而得出参 数的值．
1．函数奇偶性常用结论 (1)如果函数 f(x)是偶函数，那么 f(x)＝f(|x|). (2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的 区间上具有相反的单调性． (3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝ 偶，奇×偶＝奇．
2．函数周期性常用结论 对 f(x)定义域内任一自变量的值 x： (1)若 f(x＋a)＝－f(x)，则 T＝2a(a>0). (2)若 f(x＋a)＝f（1x） ，则 T＝2a(a>0). (3)若 f(x＋a)＝－f（1x） ，则 T＝2a(a>0).
高三数学课件：第六讲 函数的奇偶性与周期性
知识回顾
1.偶函数概念： 对函数f(x)定义域内的任意一个x，都有
f(－x)＝f(x)成立.偶函数的图像关于y轴对 称.
2.奇函数概念：
对函数f(x)定义域内的任意一个x，都有 f(－x)＝－f(x)成立.奇函数的图像关于
原点对称.
原点对称是函数是奇函数或偶函数的必
要条件；
2、如果函数的定义域关于原点对称，则 判断f(x)与f(-x)之间的关系.
第八页，编辑于星期日：二十二点 四十八分。
例1、P24例1
第九页，编辑于星期日：二十二点 四十八分。
例2 已知f(x)是定义在R上不恒为 零的函数，且对任意实数a，b，都有
f (ab) af (b) bf (a) 成立，试确定
第二页，编辑于星期日：二十二点 四十八分。
3.若f(x)既是奇函数又是偶函数，则 f(x) ＝0，且这样的函数有无数个.
第三页，编辑于星期日：二十二点 四十八分。
4.奇函数、偶函数的性质 ①函数具有奇偶性的必要条件是
“定义域关于原点对称”，
②奇函数在两个对称区间上的单调性相同， 偶函数在两个对称区间上的单调性相反.
第十五页，编辑于星期日：二十二点 四十八分。
每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)成立，T为
函数的周期.
第六页，编辑于星期日：二十二点 四十八分。
基础自测
1、A
2、C
3、B
4、B
x2 x 1(x 0)
5、 f (x) 0(x 0)
x2 x 1(x 0)
第七页，编辑于星期日：二十二点 四十八分。
题型一、判断函数的单调性
1、首先求函数的定义域，定义域关于
函数f(x)的奇偶性.
高三第一轮复习函数的奇偶性课件
是奇函数.
(1)求a，b的值； (2)若对任意的t∈R，不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒
成立,求k的取值范围. 解 (1)因为f(x)是奇函数，所以f(0)=0，
即1b0,解 2a
得 b1.从
而f(有 x)2x21xa1.
又 由 f(1)f(1)知21121,解 得 a2. 4a 1a
(2)由(1)知 f(x)2 x2 1 x 2 11 22x11. 由上式易知f(x)在(-∞,+∞)上为减函数. 又因f(x)是奇函数，从而不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0 等价于f(t2-2t)<-f(2t2-k)=f(-2t2+k). 因f(x)是减函数,由上式推得t2-2t>-2t2+k. 即对一切t∈R有3t2-2t-k>0. 从而判别式Δ=4+12k<0,解得k< 1 .
又f (x) lg1 x lg(1x)1 1x 1 x
lg1x f (x), 1 x
故原函数是奇函数.
(2) 1 x ≥0且1-x≠0 -1≤x<1, 1 x
定义域关于原点不对称,故原函数是非奇非偶函数.
探究提高 判断函数的奇偶性,其中包括两个必备条 件: 一是定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的 必要不充分条件,所以首先考虑定义域对解决问题是 有利的; 二是判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系.在判断奇 偶性的运算中,可以转化为判断奇偶性的等价等量关 系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函 数))是否成立.
3.奇、偶函数的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性__相__同__,
函数的奇偶性与周期性课件
∴函∴数函数f(xf)(在x)在[a，[a，＋＋∞∞)上)上的的最最小小值值f(af()a＝)＝a2a＋2＋1.1.
综综上上，，当当 aa≤≤－－1212时时，，函函数数f(fx(x)的)的最最小小值值是是34－34－a，a，当当－－21<21a<≤a≤21时21时，，函函数数 ff((xx))的的最最小小值值是是aa22＋＋11，，当当aa>>1212，，函函数数f(fx()x的)的最最小小值值是是a＋a＋34 34
C
0, 1 2,
2
D
0, 1 1 ,2 8 2
例：设 f x 、 gx分别是定义在 R 上的奇函数
和偶函数，当 x 0 时， f xg(x) f (x)g(x) 0
且 g(3) 0 ，则不等式 f (x)g(x) 0 的解集是
（ D）
A (3,0) (3,) B (3,0) (0,3)
是奇函数，则a＝________
解⇒析1－2：x2解 ⇒fx(＋－析 1－2a： xx＝2)＝fx(＋ －－2a－x＝2)x1＝ －x－ －121－ 1＋2x＋1－ x－ 1aa＝11＋⇒＋1a－a22＝xa2⇒＝1x－ ＋221xa2－a＝x1，＋21x－ af－(1，－21xfx－ (－－ 2)＝x12x－2x)－＝＝ x2xf－ 1＝ (x. f)1(x. )
3.(2008年上海卷)设函数f(x)是定义在R上的
奇函数，若当x∈(0,+∞)时，f(x)＝lg x，则 满足f(x)＞0的x的取值范围(-1是,0_)_∪__(_1__,+∞)
函数奇偶性的判断
高考复习课件：函数的奇偶性与周期性
图像与原 若奇函数f(x)在原点有 0 点的关系 意义，则f(0)=__
2.周期性 (1)周期函数：若T为函数f(x)的一个周期，则需满足的条件： ①T≠0; f(x+T)=f(x) ②____________对定义域内的任意x都成立. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 最小的正数 最小的正数 ___________，那么这个___________就叫做它的最小正周期． (3)周期不唯一：若T是函数y=f(x)(x∈R)的一个周期，则 nT(n∈Z,且n≠0)也是f(x)的周期.
1.已知函数y=f(x)是奇函数，则函数y=f(x+1)的图像的对称中 心是( ) （B）(-1,0) （C）(0,1) （D）(0,-1)
f(x)的图像关于点(0,0)对称，函数
y=f(x+1)的图像可由y=f(x)的图像向左平移1个单位得到，故
函数y=f(x+1)的图像的对称中心为（-1，0）.
此时x-2＜0,|x-2|-2=-x,≨ f x
2
lg 1 x 2 x
2
.
lg［1 x ］ lg 1 x 又≧ f x x x ≨函数f(x)为奇函数.
f x ,
(3)显然函数f(x)的定义域为：
(-≦，0)∪(0,+≦)，关于原点对称， ≧当x<0时，-x>0，则f(-x)=-(-x)2-x =-x2-x=-f(x)；当x>0时,-x<0， 则f(-x)=(-x)2-x=x2-x=-f(x). 综上可知：对于定义域内的任意x，总有f(-x)=-f(x)成立， ≨函数f(x)为奇函数.
【变式训练】（1）若函数f(x)=3x+3-x与 g(x)=3x-3-x的定义域
《函数的奇偶性》复习课件
46
f(－x)＋g(－x)＝－x1－1， 即f(x)－g(x)＝x＋1 1.② 联立①②得 f(x)＝x2－x 1，g(x)＝x2－1 1.
47
利用函数奇偶性求解析式的方法 1“求谁设谁”，既在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上 设. 2要利用已知区间的解析式进行代入. 3利用fx的奇偶性写出－fx或f－x，从而解出fx. 提醒：若函数fx的定义域内含0且为奇函数，则必有f0＝0，但若 为偶函数，未必有f0＝0.
(2)由图象知，使函数值y<0的x的取值集合为(－2，0)∪(2,5)．
20
(变条件)将本例中的“奇函数”改为“偶函数”，再求解上述问题． [解] (1)如图所示
(2)由(1)可知，使函数值y<0的x的取值集合为(－5，－2)∪(2,5)．
21
巧用奇、偶函数的图象求解问题 1依据：奇函数⇔图象关于原点对称，偶函数⇔图象关于y轴对称. 2求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求函数值或画 出奇偶函数图象的问题.
31
当堂达标 固双基
32
1．思考辨析
[答案]
(1)函数f(x)＝x2，x∈[0，＋∞)是偶函数．( ) (1)× (2)×
(2)对于函数y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)， (3)× (4)×
则函数y＝f(x)一定是奇函数．( )
(3)不存在既是奇函数，又是偶函数的函
数．( )
(4)若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不
x－1，x<0，
(4)f(x)＝0，x＝0， x＋1，x>0.
12
[解] (1)函数的定义域为R，关于原点对称．
又f(－x)＝(－x)3＋(－x)＝－(x3＋x)＝－f(x)，
高考数学一轮复习函数的奇偶性对称性与周期性课件
(2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件.
()
(3)若T是函数的一个周期,则nT(n∈Z,n≠0)也是函数的周期.
()
(4)若函数y=f(x+a)是偶函数,则函数y=f(x)关于直线x=a对称. ( )
(5)若函数y=f(x+b)是奇函数,则函数y=f(x)的图象关于点(b,0)中心对称.( )
和f(-1),所得出结果一定不可能的是
()
A.4和6 B.3和1
C.2和4
D.1和2
【解析】选D.因为f(x)=asin x+bx+c,所以f(1)+f(-1)=2c,又因为c∈Z,所以
f(1)与f(-1)之和应为偶数.
A.f(x)=x-1
B.f(x)=x2+x
C.f(x)=2x-2-x
D.f(x)=2x+2-x
【解析】选D.D中,f(-x)=2-x+2x=f(x),所以f(x)为偶函数.其余A、B、C选项均不
满足f(-x)=f(x).
2.(必修1P49练习AT1改编)下列函数中为偶函数的是
()
A.y=x2sin x
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x+a)=-f(x)，则T=2a(a>0).
(2)若f(x+a)=
f
1
x
，则T=2a(a>0).
(3)若f(x+a)=
f
1
x
，则T=2a(a>0).
【知识点辨析】
(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)偶函数图象不一定过原点,奇函数的图象一定过原点. ( )
图象特点 关于_y_轴__对称
函数的奇偶性、周期性与对称性+课件-2025届高三数学一轮复习
常用结论
函数周期性的常用结论
设函数 y ＝ f ( x )， x ∈R， a ＞0， a ≠ b .
(1)若 f ( x ＋ a )＝－ f ( x )，则2 a 是函数 f ( x )的周期；
1
(2)若 f ( x ＋ a )＝±
，则2 a 是函数 f ( x )的周期；
()
(3)若 f ( x ＋ a )＝ f ( x ＋ b )，则｜ a － b ｜是函数 f ( x )的周期.
于直线 x ＝ a 对称.
(2)若函数 y ＝ f ( x ＋ b )是奇函数，则 f ( x ＋ b )＋ f (－ x ＋ b )＝0，函数 y ＝ f ( x )的图
象关于点( b ，0)中心对称.
2. 函数的周期性
(1)周期函数
一般地，设函数 f ( x )的定义域为 D ，如果存在一个非零常数 T ，使得对每一个 x ∈
∈[4，6)时， f ( x )＝ x 2－12 x ＋32.
， )
2
2
＋
2
对称.
对称.
(1)奇、偶函数的图象平移之后对应的函数不一定有奇偶性，但其图象一定有
对称性.(2)注意区分抽象函数的周期性与对称性的表示，周期性的表示中，括号内 x
的符号相同，对称性的表示中，括号内 x 的符号相反.
常用结论
函数 f ( x )图象的对称性与周期的关系
(1)若函数 f ( x )的图象关于直线 x ＝ a 与直线 x ＝ b 对称，则函数 f ( x )的周期为2｜ b －
0 .
(2)若函数在关于原点对
称的区间上单
称的区间上有最值，则
调性⑤ 相同 .
课件5：2.3 函数的奇偶性与周期性
• (2)图像法：
提醒：(1)确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是 否关于原点对称．若对称，再验证 f(－x)＝±f(x)或其等价形式 f(－x)±f(x)＝0 是否成立．
(2)分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内 x 取值的任意 性，应分段讨论，讨论时可依据 x 的范围取相应的解析式化简， 判断 f(x)与 f(－x)的关系，得出结论，也可以利用图像作判断．
即时训练 2 (1)已知 f(x)是定义在实数集 R 上的奇函数，
对任意的实数 x，f(x－2)＝f(x＋2)，当 x∈(0,2)时，f(x)＝－x2，
则 f(123)＝( )
A．－94
B．－14
1
9
C.4
D.4
(2)已知 f(x)是 R 上最小正周期为 2 的周期函数，且当 0≤x
＜2 时，f(x)＝x3－x，则函数 y＝f(x)的图像在区间[0,6]上与 x 轴
②f(x＋a)＝f1x(a≠0)，则函数 f(x)必为周期函数，2|a|是它
的一个周期．
③f(x＋a)＝－
1 ，则函数 fx
f(x)必为周期函数，2|a|是它的
一个周期．
提醒：应用函数的周期性时，应保证自变量在给定的区间
内．
(3)函数周期性的重要应用 利用函数的周期性，可将其他区间上的求值，求零点个数， 求解析式等问题，转化为已知区间上的相应问题，进而求解．
值
或方程(组)，进而得出参数的值．
比较函数值 利用奇、偶函数的图像特征或根据奇函数在对称区 的大小或解 间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性 函数不等式 相反，转化到同一单调区间上求解．
求函数解析 将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用
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知 能
提
检
醒
验
∵x∈(0，1)时，f(x)=x+1，f(x)是以2为周期的偶函数，
考
模
向
拟
聚 焦
∴f(x)=f(x-2)=f(2-x)=2-x+1=3-x．
考 场
·
·
典
实
例
战
精
演
讲
练
考
考
纲
题
点
研
击
究
·
·
特
解
别 关 注
5.函数f(x)对于任意实数x满足条件
f
x
2
f
1，
x
密 高 考
基 若f(1)=-5，则f(f(5))=_____.
第三节 函数的奇偶性与周期性
点击进入相应模块
考
考
纲
题
点
研
击
究
·
·
特
解
别
密
关
高
注
考
基
经
础
典
盘
考
点
题
·
·
警
知
示
能
提
检
醒
验
考
模
向
拟
聚
考
焦
场
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·
典
实
例
战
精
演
讲
练
考
考
纲
题
点
研
击
究
·
·
特
解
别
密
关
高
注
考
基
经
础
典
盘
考
点
题
·
·
警
知
示
能
提
检
醒
验
考
模
向
拟
聚
考
焦
场
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·
典
实
例
战
精
演
讲
练
考
考
纲
题
点
研
击
究
·
·
特
解
别
密
关
高
注
讲
练
考
考
纲
题
点
研
击
究
·
·
特
解
别
密
关
高
注
考
基
经
础
典
盘
考
点
题
·
·
警
知
示
能
提
检
醒
验
考
模
向
拟
聚
考
焦
场
·
·
典
实
例
战
精
演
讲
练
考
考
纲
题
点 击
函数奇偶性的判定
研 究
·
·
特 别
【例1】判断下列函数的奇偶性：
解 密
关
高
注 (1)f(x)=lgx2+lg 1 ；
1.奇偶函数的有关性质
解 密
关
高
注
考
(1)函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不
基
经
础
典
盘 点
充分条件；
考 题
·
·
警
知
示 (2)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称； 能
提
检
醒
验
反之亦然；
考
模
向
拟
聚 焦
(3)若奇函数f(x)在x=0处有定义，则f(0)=0.
考 场
·
·
典
实
例
战
典 考
点
题
·
·
警 示
【解析】选C.由奇函数定义知，函数②、③、④都是奇函数，
知 能
提
检
醒 函数①既不是奇函数又不是偶函数，因此C选项正确．
验
考
模
向
拟
聚
考
焦
场
·
·
典
实
例
战
精
演
讲
练
考 纲
3.若函数f(x)=x3(x∈R)，则函数y=f(-x)在其定义域上是
考 题
点
研
击 ·
()
究 ·
特
解
别
密
关 注
(A)单调递减的偶函数
考
点
题
·
·
警
知
示
能
提
检
醒
验
考
模
向
拟
聚
考
焦
场
·
·
典
实
例
战
精
演
讲
练
考
考
纲
题
点
研
击
究
· 特
1.“函数f(x)为奇函数”是“f(0)=0”的( )
· 解
别
密
关
高
注 (A)充分不必要条件
考
基
经
础 盘
(B)必要不充分条件
典 考
点
题
· 警
(C)充要条件
· 知
示
能
提
检
醒 (D)既不充分又不必要条件
验
考
模
向 聚
【解析】选D.f(x)= 1为奇函数，但f(0)不存在；对函数
题 研
击
究
·
·
特
解
别
密
关
高
注
考
基
经
础
典
盘
考
点
题
·
·
警
知
示
能
提
检
醒
验
考
模
向 聚
注意：以上结论是在两函数的公共定义域内才成立；并且只
拟 考
焦
场
·
·
典 例
能在选择题、填空题中直接应用，解答题须先证明再利用.
实 战
精
演
讲
练
考
考
纲
题
点
研
击
究
·
·
特
解
别
密
关
高
注 3.既是奇函数又是偶函数的函数的个数
考
基
经
础 盘
考
基
经
础
典
盘 (2)若函数f(x)关于点(a,0)和点(b,0)对称，则函数f(x)必
考
点
题
·
·
警 示
为周期函数，2|a-b|是它的一个周期；
知 能
提
检
醒
验
(3)若函数f(x)关于点(a,0)和直线x=b对称，则函数f(x)必
考
模
向
拟
聚 为周期函数，4|a-b|是它的一个周期．
考
焦
场
·
·
典
实
例
战
精
演
(B)单调递减的奇函数
高 考
基 础
(C)单凋递增的偶函数
(D)单调Hale Waihona Puke 增的奇函数经 典盘
考
点
题
· 【解析】选B.
·
警
知
示
能
提 醒
∵f(x)=x3在其定义域上为奇函数，
检 验
考 向
∴y=f(-x)在其定义域上也为奇函数．
模 拟
聚
考
焦
场
· 典
∵f(x)=x3在其定义域上为增函数，
· 实
例
战
精 讲
∴y=f(-x)在其定义域上为减函数．
演 练
考
考
纲
题
点 4.已知函数f(x)是以2为周期的偶函数，且当x∈(0，1)时， 研
击
究
·
·
特 别
f(x)=x+1，则函数f(x)在(1，2)上的解析式为( )
解 密
关
高
注
(A)f(x)=3-x
(B)f(x)=x-3
考
基
经
础
典
盘 (C)f(x)=1-x
(D)f(x)=x+1
考
点
题
·
·
警 示
【解析】选A．当1＜x＜2时，-1＜x-2＜0,
纲
题
点
研
击
究
·
·
特
解
别
密
关 注
奇偶函数的定义域有什么特点？它是函数具有奇偶性的
高 考
基 础
什么条件？
经 典
盘
考
点
题
·
提示:定义域关于原点对称．定义域关于原点对称是函数
·
警
知
示
能
提 醒
具有奇偶性的必要不充分条件．
检 验
考
模
向
拟
聚
考
焦
场
·
·
典
实
例
战
精
演
讲
练
考
考
纲
题
点
研
击
究
·
·
特
解
别
密
关
高
注
考
基
经
础
典
盘
既是奇函数又是偶函数的函数有无穷多个，即f(x)=0，定义
典 考
点
题
· 警
域是关于原点对称的任意一个数集.
· 知
示
能
提
检