初二理实班数学竞赛 多边形

多 边 形

【知识提要】

1．在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的多边形分凸多边形和非凸多边形，本节如不特别说明都是指凸多边形。

2．各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。

3．任意n 边形的内角和等于（n －2）·180°，外角和等于360°。 4．正n 边形的每个内角的度数是n n ︒⋅-180)2(，每个外角的度数是n

︒

360。 [典型例题]

例1 在纸上画一个正六边形，在六边形外画一条直线l ，从六个顶点分别向直线l 引垂线可以得到k 个不同的垂足，那么k 的值在3，4，5，6这四个数中不可能取得的是 。

第10届（1999年）初二第1试

例2 如图1，正九边形ABCDEFGHI 中，AE=1，那么AB ＋AC 的长是 。

第13届（2002年）初二第2试

A

E H B C D

G

I 图1

例3 已知ABCDE 是正五边形，O 是平面内的一点，△DOE 是等边三角形，则∠AOC 的度数是 。

第14届（2003年）初二培训

例4 一个凸多边形恰好有三个内角是钝角，这样的多边形的边数的最大值是（ ）。 （A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8

第5届（1994年）初二第2试

例5 如图4，延长凸五边形A 1A 2A 3A 4A 5的各边相交得到五个角：∠B 1，∠B 2，∠B 3，∠B 4，∠B 5，他们的和等于 ；若延长凸n 边形（n ≥5）的各边相交，则得到的n 个角的和等于 。

第12届（2001年）初二第1试

O ′ A 图2

图3

B 34

图4

例6 如图5，边数为2n 的等角多边形，A 1A 2为第1条边，A 2A 3为第2条边，……若A k A k

＋1

∥A 1A 2，则A k A k ＋1是第 条边。

第13届（2002年）初二培训

例7 若凸（4n+2）边形A 1A 2A 3…A 4(n+2)(n 为自然数)的每个内角都是30°的整数倍，且∠A 1=∠A 2=∠A 3=90°，那么n= 。

第13届（2002年）初二培训

例8 如图6，凸四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于O ，△AOB ，△COD ，△AOD ，△BOC 的面积分别是S 1，S 2，S 3，S 4，四边形ABCD 的面积为S ，若S S S =+21，那么∠ABC ＋∠BCD= 。

第13届（2002年）初二培训

A 1

A 2

A 3 A k-1

A k

A k+1A 2n 图5

A

B

C

D O S 1 S 2

S 3 S 4

图6

习题

（一）选择题

1．已知一个多边形的对角线的条数正好等于它的边数的2倍，则这个多边形的边数是（）。

（A）6 （B）7 （C）8 （D）10

2．如果一个正三角形与一个正六边形的面积相等，那么它们的周长之比是（）。

（A）1:2 （B）2:2 （C）6:2 （D）6:3

第14届（2003年）初二培训 3．在一个凸八边形中，每三个顶点形成一个角（如由A、B、C三个顶点形成∠ABC，∠BAC，∠ACB），一共可以作出168个角，那么这些角中最小的一个一定（）。

（A）小于或等于20°（B）小于或等于22.5°

（C）小于或等于25°（D）小于或等于27.5°

第11届（2000年）初二第1试 4．在一个凸n边形（n>3）的n个外角中，其中钝角的个数最多有（）。

（A）2个（B）3个（C）4个（D）5个

第6届（1995年）初二第1试 5．凸n边形中有且仅有两个内角为钝角，则n的最大值是（）。

（A）4 （B）5 （C）6 （D）7

第12届（2001年）初二第1试 6．一个凸n边形的最小内角为95°，其他内角依次增加10°，则n的值等于（）。

（A）4 （B）6 （C）8 （D）10

第13届（2002年）初二第1试

7．正六边形的边长为1，点O在正六边形内，点O到各边的距离分别是h

1，h

2

，h

3

，

h 4，h

5

，h

6

，那么h

1

＋h

2

＋h

3

＋h

4

＋h

5

＋h

6

的值是（）

（A）6 （B）3

2（C）3

3（D）5

2

第13届（2002年）初二培训

8．如图7，凸五边形ABCDE 中，∠A=∠B=120°，EA=AB=BC=

21DC=2

1

DE ，则∠D 等于（ ）。 （A ）30° （B ）45° （C ）60° （D ）67.5°

第10届（1999年）初二第1试

（二）填空题

1．如图8的星形中，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5= 。

第3届（1992）年初二第1试

2．一个凸多边形的内角的度数是140°或150°或160°，并且140°的内角的邻角度数为150°和160°，150°的内角的邻角度数为140°和160°，160°的内角的邻角度数为140°或150°，这个多边形的边数是 。

第14届（2003年）初二培训

3．一个凸多边形的一个内角的补角与其他内角的和恰为500°，那么这个多边形的边数是 或 。

第11届（2000年）初二第1试

4．一个凸多边形有且仅有4个内角是钝角，这样的多边形的边数最多是 .

第7届（1996年）初二第1试

5．设A 1，A 2…A n ，是一个有n 个顶点的凸多边形，对每一个顶点A i ，（i=1，2，3，…n ），将构成该角的两边分别反向延长至A i1，A i2，连结A i1，A i2，得到两个角∠A i1，∠A i2，那么所有这些新得到的角的度数的和是 。

第11届（2000年）初二第1试

6．边数为c b a ,,的三个正多边形，若在每个正多边形中取一个内角，其和为180°，那么

c

b a 1

11++= 。 第2届（1991年）初二第2试

A B C

D

E 图

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