丽水、衢州、湖州三地市教学质量检测高三数学参考答案定稿(201901)

化简得
x12 x22 16

1 2
x1

x2
x1x2
1
0 ，故 m2
4m 2

0 ，解得 m

2
6
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经检验 m 2 6 满足题意， m 2 6 不符合题意． 故直线 AB 的方程 y 1 x 2 6 ．---------------------------------------------------------8 分
丽水、衢州、湖州三地市教学质量检测
高三数学参考答案及评分标准（2019.01）
一、选择题：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
C
D
C
C
B
A
B
A
D
D
二、填空题：
11. 3 ， 2 3 2
12.递增 ； 2n1 1
14. 2700
15.
0
；
4
,
5 4

13. 64 ； 240
16. 1,
7 ，在三角形 ABE 中，可得 AE
3
，
2
在三角形 PAE 中，可得 AG
21
，------------------------------------------------------13 分
7
21 在 RtAGC 中， sin ACG AG 7 3
AC 7 7
故直线 AC 与平面 PBC 所成角的正弦值为 3 ．--------------------------------15 分 7
所以 Sn
b1
b2
b3
bn
1
1 2
1 2
1 3
1 3
1 4
1 n
1 n 1

1
1 n 1
-----15
分
21．（本小题满分 15 分）
解：（Ⅰ）由题意思 F 0,1 ，则 kMF 2 ，----------------------------------------2 分
1
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知
1 an

2 n 11
n 1 ，解得 an

n ------------------9 n 1
分
bn

an n2
n
1 n 1
，---------------------------------------------------11 分
1 1 ---------------------------------------------------13 分 n n 1
故
a

ln x x
，设
g

x

ln x x
（
x

0
），
g
x

1 ln x2
x
，故当
0

x

e
，
gx

0
，
当 x e ，g x 0 ，所以 g x 在 0, e 上单调递增，在 e, 上单调递减，又 g 1 0 ，
g e 1 当 x e 时， g x 0 ，------------------------------------------------------4 分
SACD

1 2

AC
CD sin
3

3 AC CD ----------------------------------------13 分 4
34 3 4
SABC =2 SACD 因此 ABC 面积的最大值为 2 3 ．------------------------------------------------------14 分
2 （Ⅱ）显然要使 MN 的最小，必须 MN 垂直于直线 y 1，-------------------------10 分
分别过点 A, B 作 AA1, BB1 垂直于直线 y 1，
MN AA1 BB1 2
AF BF AB 2 -----------------------13 分
又 BC 平面 PBC ，得平面 PBC 平面 PAE ，结合 AG PE 得 AG 平面 PBC ． 故 ACG 是直线 AC 与平面 PBC 所成角．----------------------------------------------------10 分
在四边形 ABCD 中，可得 AC
2
2
等号成立当且当直线 AB 过焦点 F ，且直线 AB // x 轴．
因此 MN 的最小值为 2 ．-------------------------15 分
22．（本小题满分 15 分）
解：（Ⅰ）由题意得 f x ln x ax ，------------------------------------------2 分
3 （Ⅱ）在 ACD 中， AD2 AC 2 CD2 2AC CD cos -------------------------9 分
3 即 4 AC 2 CD2 AC CD 2 AC CD AC CD （等号成立当且仅当 AC CD ）---------------------11 分 故 AC CD 4
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20．（本小题满分 15 分）
解：（Ⅰ）
a2

2 3
， a3

3 4
．-----------------------------------------------2
分
2an1
1 an1an 得 an1

1 2 an
--------------------------------------4
A0, 0, 0 ， B 1, 0, 0 ， D 0, 3, 0 ， P 0, 0,1 ．


则 AB 1, 0, 0 , PD 0, 3, 1 ．-------------------------------4 分
故 AB PD 0 ，
e
所以实数
a
的取值范围

0,
1 e

．---------------------------------------------------------5
分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
ln
x2

ax2

0
，且
x2

e
，故
a

ln x2 x2
要证明
2 1
1 x22


a
，只要证
2
1
因为
F
是 ABM
的垂心，所以
MF

AB
，则
kAB

1 2
设直线 AB 的方程为 y 1 x m ，----------------4 分 2
联立抛物线 x2 4y ，得 x2 2x 4m 0
4 16m 0,
则由

x1

x2

2,
x1 x2 4m,
x12 1 x22 1
由题意由 AF MB ，即 4 4 1 ----------------------------------------------6 分
x1
x2 1
化简得 x12x22 1 16 4
x12 x22
1 x1 x2 1 0 ．
5
17.
2
三、解答题：
18．（本小题满分 14 分）
解：（Ⅰ）由条件 2 cos C cos 2 A B 3 得， 2 cos C cos 2C 3 ，-----------2 分
2
2
故 2 cos C 2 cos2 C 1 3 ， -----------------------------------------------4 分 2


1 x22


ln x2 x2
，只要证 2

x2

1 x2


ln
x2
----------8
分
设 h x 2x 2 ln x （ x e ），
x
则 h x
2
2 x2

1 x

x

2
x 1
x2

2

0
，所以 h x 在 e, 上单调递增，
因此 PD AB ------------------------------------7 分
（ Ⅱ ） 由 A0, 0, 0 ， C 2, 3, 0 ， 得 AC 2, 3, 0 ，


PB 1, 0, 1 ， PC 2, 3, 1 ．
3 3
,1
．----------------------11
分
n
3
．--------------------------------------------------13 分
AC n 7
故直线 AC 与平面 PBC 所成角的正弦值为 3 ．----------------------------------15 分 7
分
故1 1 1 an1 1 1
-------------------------------------6 分
2 an
2 an 1 1
1 an
1 an
因此数列{ 1 } 是等差数列．----------------------------------------------7 分 1 an
设平面 则由
于是
PBC的 法向量为 n
n n cos
PB 0, 即 PC 0,
AC, n
2
x AC
x, y, z ，
x z 0,

3y z 0, 可取 n 1,
故 h x h e 2e 2 1 0 ．
e
因此
2
1


1 x22


a
成立．-------------------------------------------------------------------10
分
（Ⅲ）由（Ⅰ）得 ln
x1
ax1

0 ，ln
故 1 1 2a x1 x2 2a x1 x2 2 ln x1 ln x2 ---------------------------------12 分
x1 x2
x1x2
x1x2
x1 x2

x1
1
x2

x12 x x1x2
2
2

2 ln
x1
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19．（本小题满分 15 分）
解法一：（Ⅰ）由 PA 平面 ABCD ，得 PA AB -----------3 分 由 ADC ，故 AD CD
2 又 AB // CD 得 AD AB ，---------------------------6 分 又 AD PA A，故 AB 平面 PAD ，
即 2 cos C 12 0 ，解得 cos C 1 ， --------------------------------------6 分
2 故 C ． ---------------------------------------------------------------------------7 分
又 PD 平面 PAD ，得 PD AB ．---------------------7 分
（Ⅱ）在平面 ABCD 作 AE BC 于 E ，连接 PE ，作 AG PE 于 G ，连接 CG ． 由 PA 平面 ABCD ，得 PA BC ，又 AE BC ，AE PA A ，故 BC 平面 PAE ，
x2

ax2

0
，且1
x1
ห้องสมุดไป่ตู้

e

x2
，故
a

ln
x1 x1
ln x2
x2
由（Ⅰ）得 0 ae 1，要证明 1 1 2ae ，只要证明 1 1 2 ，只要证明
ln x1 ln x2
ax1 ax2
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1 1 2a ， x1 x2
ln
x2



x1
1
x2

x1 x2

x2 x1

2 ln
x1 x2

解法二：（Ⅰ）以射线 AB, AD, AP 为 x, y, z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系
A xyz ，如图所示．---------------------------------------------------------------------------2 分
由题意知各点坐标如下：