新沪科版初中数学九年级下册精品课件24.4.2 切线的判定

知2－讲
例3 如图，已知AB为⊙O的直径，点D在AB的延长线上，
BD＝OB，点C在圆上，∠CAB＝30°.
求证：DC是⊙O的切线．
导引：因为点C在圆上，所以连接OC，
证明OC⊥CD，而要证OC⊥CD，
只需证△OCD为直角三角形．
证明：如图，连接OC，BC.
∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.
∵ 又∠∵CBDA＝B＝O3B0，°∴，B∴CB＝CB＝D＝AOBB＝＝12OBO. D，12
（）
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知识点 2 经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线
判定定理：经过半径外端点并且垂直于这条半径的 直线是圆的切线． 要点精析：(1)切线必须同时具备两个条件：①直线
过半径的外端点；②直线垂直于半径． (2)切线的判定定理与性质定理的区别：切线的判定
定理是在未知相切而要证明相切的情况下使用， 切线的性质定理是在已知相切而要推得其他的结 论时使用；它们是一个互逆的过程，不要混淆．
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例2 已知：如图, ∠ABC=45°，AB是⊙O的直径， AB=AC. 求证：AC是⊙O的切线.
解： ∵AB=AC, ∠ABC =45 °, ∴ ∠ACB =∠ABC =45°. ∴ ∠BAC =180°－∠ABC －∠ACB =90°. ∵ AB是⊙O的直径， ∴ AC是⊙O的切线.
（来自《教材》）
第24章 圆
24.4 直线与圆的位置关系
第2课时 切线的判定
1 课堂讲解 圆心到直线的距离等于半径⇔直线是圆的切线
经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
问题：直线和圆有几种位置关系？你是如何来判断这几 种位置关系的？
判断的方法： (1)根据直线与圆的交点的个数； (2)圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系。
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切线判定常用的证明方法： (1)有切点：连半径，证垂直：
如果已知直线经过圆上的一点，那么连接这点和 圆心，得到辅助半径，再证明所作半径与这条直 线垂直即可，简记为：有切点，连半径，证垂直． (2)无切点：作垂直，证半径： 如果已知条件中不知道直线与圆是否有公共点，那 么过圆心作直线的垂线段，再证明垂线段的长度等 于半径即可，简记为：无切点，作垂直，证半径．
∴∠OCD＝90°. ∴DC是⊙O的切线．
（）
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总结
(1)解答本题运用了连半径，证垂直．一定要分清圆的
切线的判定定理的条件与结论，特别要注意“经过
半径(或直径)的外端点”和“垂直于这条半径(或直
径)”这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线．
(2)如果要证的切线过圆上某一点，那么连接这点和圆
心(连半径)，证明该直线与过这点的半径垂直(证垂
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1 已知：如图，直线AB过⊙O上的点C,且OA=OB， CA =CB. 求证：直线AB是⊙O的切线.
（来自《教材》）
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2 (中考·沈阳)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝ 3 30°，以点A为圆心，以3 cm为半径作⊙A，当
AB 4 ＝________cm时，BC与⊙A相切．
（）
1.必做:完成教材P40习题24.4T4,5,6,8 2.补充: 请完成《 》剩余部分习题
3
（）
(1)证明：连接OC，如图， ∵ FC C，B ∴∠FAC＝∠BAC， ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA， ∴∠FAC＝∠OCA， ∴OC∥AF， ∵CD⊥AF，∴OC⊥CD. 又OC为⊙O的半径， ∴CD是⊙O的切线．
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（）
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(2)解：连接BC，如图， ∵AB为直径，∴∠ACB＝90°， ∵ AF FC C，B ∴∠BOC＝ ×1 180°＝60°， 3 ∴∠BAC＝30°，∴∠DAC＝30°. 在Rt△ADC中，CD＝2 ，3 ∴AC＝2CD＝4 ，3 在Rt△ACB中，BC＝ A33C＝ ×33 4 ＝34， ∴AB＝2BC＝8，∴⊙O的半径为4.
OD OD
∴∠OCD＝∠DAB＝90°，即OC⊥DE于点C.
∵OC是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线．
（）
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例5 (新疆)如图，AB是⊙O的直径，点F，C是⊙O上两 点，且 AF FC CB ，连接AC，AF，过点C作 CD⊥AF，交AF的延长线于点D，垂足为D.
(1)求证：CD是⊙O的切线； (2)若CD＝2 ，求3 ⊙O的半径．
直)，即可判定直线与圆相切，这就是：连半径，
证垂直．
（）
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例4 (菏泽)如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，连
接BC，AC，作OD∥BC与过点A的切线交于点D，
连接DC并延长交AB的延长线于点E.求证：DE是
⊙O的切线．
导引：连接OC，已知DA是⊙O的
切线，则∠DAO＝90°，
要证∠DCO＝90°，只需
（）
总结
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本题证明切线的方法是“连切线证垂直”。
（）
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1 已知：如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线 上，BD = OB,点C在圆上，∠CAB = 30°.
求证：DC是⊙O的切线.
（来自教材）
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2 (中考·西宁)⊙O的半径为R，点O到直线l的距离为 d，R，d是方程x2－4x＋m＝0的两根，当直线l与 ⊙O相切时，m的值为________．
（）
证明：如图，过点D作DF⊥AC于点F. ∵∠ABC＝90°， ∴DB⊥AB. 又∵AD平分∠BAC， ∴DF＝DB. ∴AC与⊙D相切．
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（）
总结
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如果已知条件中不知道直线与圆是否有公共点，其 证法是过圆心作直线的垂线段，再证明垂线段的长 等于半径即可，简记为：作垂直，证半径．
（）
证明△DAO与△DCO全
等即可．
（）
证明：如图，连接OC. ∵AD是过点A的切线，AB是⊙O的直径， ∴AD⊥AB，∴∠DAB＝90°. ∵OD∥BC，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4. ∵OC＝OB，∴∠2＝∠4.∴∠1＝∠3.
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OC OA 在△COD和△AOD中， 1 3 , COD AOD
图(2)中的直线与圆相切，我们可以通过上述两种方法 来判断它们的位置关系。 但在实际问题中如果我们始终用寻找交点的个数和圆 心到直线的距离来判断很不方便，也难于操作，还有 没有其它的方法呢？
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知识点 1 圆心到直线的距离等于半径⇔直线是圆的切线
判定方法： (1)定义法：与圆有唯一公共点的直线是圆的切线； (2)数量法：圆心到直线的距离等于半径的直线是圆
的切线.
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例1 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC的平分 线交BC于点D，以点D为圆心，DB长为半径作⊙D.
求证：AC与⊙D相切．
导引：顶直线AC是否与⊙D有公共点 不确定，不能像上例那样“连 半径，证垂直”，为此，过D 点作DF⊥AC于点F，由d＝r⇒直线与圆相切可知， 只需证DF＝DB即可.
3 (中考·雅安)在平面直角坐标系中，O为坐标原点， 则直线y＝x＋ 2 与以O点为圆心，1为半径的圆的 位置关系为________．
（）
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4 如图，△ABC是⊙O的内接三角形，下列选项 中，能使过点A的直线EF与⊙O相切于点A的 条件是( )
5 A．∠EAB＝∠C 6 B．∠B＝90° 7 C．EF⊥AC 8 D．AC是⊙O的直径
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本节应掌握： 1.切线的判定定理。 2.判定一条直线是圆的切线的方法。 （1）定义：直线和圆有唯一公共点。 （2）数量关系：直线到圆心的距离等于半径。 （3）判定定理：经过半径的外端且与这条半径
垂直的直线是圆的切线。 3.辅助线作法： （1）有公共点：作半径证垂直。 （2）无公共点：作垂直证半径。
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3
(中考·烟台)如图，直线l:y＝－
1 2
x＋1与坐标轴交
于A，B两点，点M(m，0)是x轴上一动点，以点
M为圆心，2个单位长度为半径作⊙M，当⊙M与
直线l相切时，m的值为________．
（）
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4 如在平面直角坐标系xOy中，以点(－3，4)为圆心， 5 4为半径的圆( ) 6 A．与x轴相交，与y轴相切 7 B．与x轴相离，与y轴相交 8 C．与x轴相切，与y轴相交 9 D．与x轴相切，与y轴相离
（）
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导引：(1)连接OC，由FC BC ，得∠FAC＝∠BAC， 而∠OAC＝∠OCA，则∠FAC＝∠OCA，可判定 OC∥AF，由于CD⊥AF，所以OC⊥CD，然后根据 切线的判定定理得到CD是⊙O的切线； (2)连接BC，由AB为直径得∠ACB＝90°，由 AF FC CB 得∠BOC＝60°，则∠BAC＝30°，所以∠DAC＝ 30°，在Rt△ADC中，利用含30°角的直角三角形 中边的关系得AC＝2CD＝4 ，3 在Rt△ACB中， 利用含30°角的直角三角形中边的关系得BC＝ 3 AC＝4，AB＝2BC＝8，所以⊙O的半径为4.