三角函数诱导公式课件新
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高中数学三角函数的诱导公式PPT课件
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02
弧度制
以弧长与半径之比作为角的度量单位，一周角等于2π弧 度。
03
角度与弧度的转换公式
1度=π/180弧度，1弧度=180/π度。
三角函数定义域与值域
正弦函数（sin）
定义域为全体实数，值域为[-1,1]。
余弦函数（cos）
定义域为全体实数，值域为[-1,1]。
正切函数（tan）
定义域为{x|x≠kπ+π/2,k∈Z}，值域为全体实数。
电磁波
三角函数在电磁学中描述电场和磁场的振动，以 及电磁波（如光波、无线电波）的传播。
工程技术中的测量和计算问题
1 2 3
角度测量
三角函数在测量学中用于计算角度、距离和高程 等问题，如使用全站仪进行地形测量。
建筑设计
在建筑设计中，三角函数用于计算建筑物的角度 、高度和间距等参数，确保建筑结构的稳定性和 安全性。
错误产生原因分析
基础知识不扎实
学生对三角函数的基本概念和性 质理解不深入，导致在记忆和使
用诱导公式时出错。
思维方式僵化
学生可能过于依赖记忆而非理解， 导致在面对灵活多变的题目时无法 灵活运用诱导公式。
训练不足
学生可能缺乏足够的练习，无法熟 练掌握诱导公式的使用方法和技巧 。
针对性纠正措施建议
A
强化基础知识
04 学生易错点剖析及纠正措施
常见错误类型总结
公式记忆错误
学生常常将三角函数的诱 导公式混淆，例如将正弦 、余弦、正切的诱导公式 记混。
角度转换错误
在解题过程中，学生可能 会将角度制与弧度制混淆 ，或者在角度加减时出错 。
符号判断错误
在使用诱导公式时，学生 可能会忽略符号的判断， 导致最终结果错误。
《三角函数的诱导公式第1课时》人教版数学高一下册PPT课件
3 2.
命题方向2 ⇨三角函数式的化简问题
典例 2
化简：
(1)sin(－α)cos(－α－π)tan(2π＋α)； sin2 α＋π cos π＋α
(2)tan π－α cos3 －α－π tan －α－2π .
[思路分析] 先观察角的特点，选用恰当的诱导公式化简，然后依据同角关
系式求解．
[解析] (1)原式＝(－sinα)·cos(π＋α)·tanα＝－sinα·(－cosα)·csoinsαα＝sin2α.
3．诱导公式的作用 (1)公式一的作用在于把绝对值大于2π的任一角的三角函数问题 转化为绝对值小于2π的角的三角函数问题． (2)公式三的作用在于把负角的三角函数转化成正角的三角函 数． (3)公式二、公式四的作用在于把钝角或大于180°的角的三角函 数转化为0°～90°之间的角的三角函数．
1．判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打“√”，错误的打
对诱导公式理解不透致错
[错解]
典例 4 设θ是钝角，则cos(2π－θ)＝_________.
因为θ是钝角，所以2π－θ是第三象限，而第三象限角的余弦值是负值，所以cos(2π－θ)＝－ cosθ，故填－cosθ.
[错因分析]
上面的解法没有理解使用公式时视角θ为锐角的意义，一般地，视θ为锐角，则2π＋θ，π－ θ，π＋θ，2π－θ分别是第一、第二、第三、第四象限角．
[正解]
cosθ 视θ为锐角，则2π－θ为第四象限角，所以cos(2π－θ)＝cosθ，故填cosθ.
第一章 三角函数
〔跟踪练习
4〕如果
cosα＝13，且
α
是第四象限角，则
22 sin(α＋π)＝__3____.
[解析] 由诱导公式二知，
三角函数的诱导公式PPT教学课件
[关于x轴对称]
(2) 设与(－)角的终边分别交单位圆于点
P、P'，则点P与P'位置关系如何？
(3) 设点P(x, y)，那么点P'的坐标怎样表示？
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讲授新课
思考下列问题一：
(1) 与(－)角的终边位置关系如何？
[关于x轴对称]
(2) 设与(－)角的终边分别交单位圆于点
P、P'，则点P与P'位置关系如何？ [关于x轴对称] (3) 设点P(x, y)，那么点P'的坐标怎样表示？
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讲授新课
思考下列问题二：
对于任意角 ，sin与 sin( )
2
的关系如何呢？
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3. 诱导公式 (五)
sin(
)
cos
2
cos(
)
sin
2
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讲授新课
4. 诱导公式(五)的结构特征
① 函数正变余，符号看象限 (把看作
增大压强,平衡向气态物 质系数减小的方向移动
催化剂 浓度
正催化剂加快反应 速率
反应物浓度越大,反 应速率越大
催化剂对平衡无影响
增大反应物浓度,平 衡正向移动
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【交流·研讨】 书P65
合成氨反应是一个可逆反应: N2(g)+3H2(g)
已知298K时: △H= -92.2KJ·mol-1 △S = -198.2J·K-1·mol-1
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复习回顾
诱导公式(四)
sin(－)=sin cos( －)=－cos tan (－)=－tan
(2) 设与(－)角的终边分别交单位圆于点
P、P'，则点P与P'位置关系如何？
(3) 设点P(x, y)，那么点P'的坐标怎样表示？
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思考下列问题一：
(1) 与(－)角的终边位置关系如何？
[关于x轴对称]
(2) 设与(－)角的终边分别交单位圆于点
P、P'，则点P与P'位置关系如何？ [关于x轴对称] (3) 设点P(x, y)，那么点P'的坐标怎样表示？
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思考下列问题二：
对于任意角 ，sin与 sin( )
2
的关系如何呢？
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3. 诱导公式 (五)
sin(
)
cos
2
cos(
)
sin
2
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4. 诱导公式(五)的结构特征
① 函数正变余，符号看象限 (把看作
增大压强,平衡向气态物 质系数减小的方向移动
催化剂 浓度
正催化剂加快反应 速率
反应物浓度越大,反 应速率越大
催化剂对平衡无影响
增大反应物浓度,平 衡正向移动
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合成氨反应是一个可逆反应: N2(g)+3H2(g)
已知298K时: △H= -92.2KJ·mol-1 △S = -198.2J·K-1·mol-1
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复习回顾
诱导公式(四)
sin(－)=sin cos( －)=－cos tan (－)=－tan
1.3《三角函数的诱导公式》课件(新人教A必修4)
π
2
− θ ) D. sin(
2
4 在第四象限， cos( + α ) = α在第四象限， 2 5 3π 则 sin( + α )的值是 2
牛刀小试
π
A
3 3 3 4 A. − B . C . ± D. 5 5 5 5
牛刀小试
sin 280 = m , 则 cos 10 等于
B
A : m B : −m C : 1 − m D : − 1 − m
4 10、 α + π ) = 且 sin α ⋅ cos α < 0, 求 sin( 5 2 sin(α − π ) + 3 tan( 3π − α ) 4 cos(α − 3π )
1 6.已知 sin( 7π + α ) = − ,求tan(π 已知 求 3
1 17π cos( − ) 3
+ α ) 的值 的值.
π 1 7.已知 cos α = ,且 − < α < 0 ,求 已知 且 求 3 2 sin( 2π + α ) 的值. 的值 cos( −α ) tan α tan( −α − π )
2π 3π 4π 5π 4 : cos + cos + cos + cos + cos + cosπ 6 6 6 6 6
π
π
巩固练习 1 利用公式求下列三角函数值 利用公式求下列三角函数值.
(1) cos 750
0
11π ( 2) sin( − ) 6 (4) cos( −14100 )
的值是_______. 的值是
8.已知 tan α = −3 ,求sin(π + α ) cos(π − α ) 的值 已知 的值. 求
1.3 三角函数的诱导公式 课件(共19张PPT)高中数学人教A版必修四
2k (k Z)、 、 的三角函数值，等于
的同名函数值，前面加上一个把 看成锐角时原函
数值的符号。
14
理论迁移
例1 求下列各三角函数的值：
(1)cos225
(2)sin 11
3
(3)sin(-16 )
3
(4)cos(-2040 )
15
利用诱导公式一～四，可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般可按下面 步骤进行：
任意负角的 用公式一 任意正角的 三角函数 或公式三 三角函数
用公式一
锐角的三角 用公式二 0～2π的角
函数
或公式四 的三角函数
这是一种化归与转化的数学思想.
16
课堂小结： 1.小结使用诱导公式化简任意角的三 角函数为锐角的步骤.
2.体会数形结合、对称、化归的思想. 3.“学会”学习的习惯.
17
作业布置：
公式二：
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
10
问题4：公式中的角 仅是锐角 吗？
11
知识探究（二）
对于任意给定的一个角α，－α的终边与α的终边
有什么关系？
那么它们之间的三角函
数值有什么关系？
y
α的终边
P(x，y)
公式三：
o
Q(x，-y)
x
sin( ) sin
1
（一）回顾旧知
问题1： （1）我们是怎样利用单位圆定义任意角的三角函数？ （2） 终边相同的角的三角函数之间有什么关系？
2
温故而知新
1、任意角的三角函数的定义
sin y
y
α的终边
cos x tan y (x 0)
x
三角函数的诱导公式ppt课件
这些公式通过角度的加、减、乘、除和周期性，将任意角度的三角函数转换为基 本角度（0度、90度、180度、270度、360度）的三角函数。
三角函数诱导公式的重要性
三角函数诱导公式是学习和研究三角函数的基础，是解决三角函数问题的重要工具。
通过诱导公式，我们可以简化复杂的三角函数表达式，求解三角函数的值，以及进 行三角函数的化简和恒等变换。
利用三角函数的和差角公式推导
和差角公式总结
三角函数还有一些和差角公式，如$sin(x+y) = sin x cos y + cos x sin y$和$cos(x+y) = cos x cos y - sin x sin y$。利用这些公式可以推导出一些诱导公式。
具体推导
例如，利用和差角公式，我们可以推导出$sin(180^circห้องสมุดไป่ตู้- x) = sin 180^circ cos x + cos 180^circ sin x = cos x$。同样地，利用和差角公式，也可以推导出其他诱导公式。
在工程领域的应用
在工程领域中，三角函数诱导公式被 广泛应用于各种实际问题的解决。例 如，在机械工程中，三角函数诱导公 式可以帮助我们更好地设计和分析机 械零件的力学性能。
VS
在航空航天工程中，三角函数诱导公 式被用于分析和设计飞行器的姿态控 制和导航系统。此外，在土木工程、 水利工程和交通运输等领域中，三角 函数诱导公式也有着广泛的应用。
已知$tangamma = -frac{1}{3}$，求 $tan(180^circ + gamma)$的值。
高阶练习题
总结词
综合运用诱导公式解决复杂问题
练习题7
已知$cos(180^circ + alpha) = -frac{4}{5}$，求$sin(270^circ + alpha)$的值。
三角函数诱导公式的重要性
三角函数诱导公式是学习和研究三角函数的基础，是解决三角函数问题的重要工具。
通过诱导公式，我们可以简化复杂的三角函数表达式，求解三角函数的值，以及进 行三角函数的化简和恒等变换。
利用三角函数的和差角公式推导
和差角公式总结
三角函数还有一些和差角公式，如$sin(x+y) = sin x cos y + cos x sin y$和$cos(x+y) = cos x cos y - sin x sin y$。利用这些公式可以推导出一些诱导公式。
具体推导
例如，利用和差角公式，我们可以推导出$sin(180^circห้องสมุดไป่ตู้- x) = sin 180^circ cos x + cos 180^circ sin x = cos x$。同样地，利用和差角公式，也可以推导出其他诱导公式。
在工程领域的应用
在工程领域中，三角函数诱导公式被 广泛应用于各种实际问题的解决。例 如，在机械工程中，三角函数诱导公 式可以帮助我们更好地设计和分析机 械零件的力学性能。
VS
在航空航天工程中，三角函数诱导公 式被用于分析和设计飞行器的姿态控 制和导航系统。此外，在土木工程、 水利工程和交通运输等领域中，三角 函数诱导公式也有着广泛的应用。
已知$tangamma = -frac{1}{3}$，求 $tan(180^circ + gamma)$的值。
高阶练习题
总结词
综合运用诱导公式解决复杂问题
练习题7
已知$cos(180^circ + alpha) = -frac{4}{5}$，求$sin(270^circ + alpha)$的值。
1.3三角函数的诱导公式课件
1 1 cos 420 cos 60 cos 60 2 1 7 sin 2 sin （- 6 - ) sin 6 2 6
1 3 79 （ ) cos 3 cos cos 6 6 2 6
sin
11 sin 2 cos cos cos 2 2 . 例4 化简 9 cos sin 3 sin sin 2 sin cos sin cos 5 2 原式= cos sin sin sin 4 2 sin 2 cos cos 2 = cos sin sin sin 2
sin = sin cos cos
= sin 2
化简 2 cos
2
tan 360 sin
.
tan 原式=cos sin
2
=cos 2
1 cos
1 cos3 = cos
简化成“函数名 不变，符号看象 限”的口诀。
公式四
例1.利用公式求下列三角函数值:
1 cos 225 ; ; 2 1 cos 225 cos 180 45 cos 45 2
11 2 sin ; 3
16 3 sin 3
sin(π-α)=sinα cos(π-α)=－cosα tan(π-α)=－tanα
1 3 79 （ ) cos 3 cos cos 6 6 2 6
sin
11 sin 2 cos cos cos 2 2 . 例4 化简 9 cos sin 3 sin sin 2 sin cos sin cos 5 2 原式= cos sin sin sin 4 2 sin 2 cos cos 2 = cos sin sin sin 2
sin = sin cos cos
= sin 2
化简 2 cos
2
tan 360 sin
.
tan 原式=cos sin
2
=cos 2
1 cos
1 cos3 = cos
简化成“函数名 不变，符号看象 限”的口诀。
公式四
例1.利用公式求下列三角函数值:
1 cos 225 ; ; 2 1 cos 225 cos 180 45 cos 45 2
11 2 sin ; 3
16 3 sin 3
sin(π-α)=sinα cos(π-α)=－cosα tan(π-α)=－tanα
高中数学《诱导公式》课件
sin
α＝y，cos
α＝x，当x≠0时，tan
α＝
y x
.
(1)如图5.2-8(1)，作点P(x，y)关于x轴的对称点P1(x，－y)，则∠xOP1=－α.
由三角函数的定义可得
sin(－α)＝－y＝－sin α，
cos(－α)＝x＝cos α，
当x≠0时，tan(－α)＝
y x
y x
tan.
(1) 图5.2-8
2 诱导公式．
诱导公式揭示了终边具 有某种对称关系的两个角三 角函数之间的关系.
一 诱导公式
例
12
化简：
(1)
sin
3
2
；
(2)
cos
3
2
.
解
(1)
sin
3
2
sin
2
sin
2
cos
；
(2)
cos
3
2
cos
2
cos
2
sin
.
一 诱导公式
例
13
化简：cos cos
探究α与π －α之间的函数 关系，我们还可以从这两个角 的终边关于y轴对称来推导，试 试看.
一 诱导公式
为了使用方便，我们将上述探究得到的公式总结如下：
公式二 sin(－α)＝－sin α， cos(－α)＝cos α， tan(－α)＝－tan α.
公式三 sin(π＋α)＝－sin α， cos(π＋α)＝－cos α， tan(π＋α)＝tan α.
利用公式五，可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化.
一 诱导公式
当角α的终边不在坐标轴上时，还可以得出以下公式：
公式六
《三角函数的诱导公式》ppt课件
sin y cos x y tan x
sin( ) y cos( ) x y tan( ) x
y
α的终边
P1 (x, y)
公式三：
α
O
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
数的过程.
(3)熟练掌握三角函数的诱导公式.
作业：
P29 习题1.3 A组 2、3、4
思考：已知A、B、C是ABC的三个内角， 求证（ ： 1 ） cos(2 A B C ) cos A （2） tan( A B) tan(3 C )
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
公式一：
sin( 2k ) sin cos( 2k ) cos tan( 2k ) tan
公式三：
公式二：
cos cos tan tan
三角函数的诱导公式
1.利用单位圆表示任意角α的三角函数值 y α的终边 由定义有： ． P(x,y) sin y ． (1,0) x o cos x y tan x 2.诱导公式一 sin(α+k·360°) = sinα
cos(α+k·360°) = cosα
tan(α+k·360°) = tanα 其中 k∈Z
x A(1,0)
P3 (x,-y)
－的终边
sin( ) y cos( ) x y tan( ) x
sin y cos x y tan x
－的终边
P4 (-x, y)
y α的终边
1.3第1课时 三角函数的诱导公式二、三、四 课件(共25张PPT)删减版文库素材
∴当 α 是第一象限角时，cos(5π＋α)＝cos(π＋α)＝－cos
α＝－ 1－sin2α＝－2 3 2；当 α 是第二象限角时，cos(5π
＋α)＝－cos α＝
1－sin2α＝2
3
2 .
(2)cos(76π＋α)＝cos(π＋π6＋α)
＝－cos(π6＋α)＝－
3 3.
栏目 导引
第一章 三角函数
第一章 三角函数
1．3 三角函数的诱导公式 第1课时 三角函数的诱导公式二、三、四
第一章 三角函数
学习导航
学习目标
实例
―了―解→
诱导公式二～四 的推导方法
―理―解→
诱导公式一～ 四的作用
―掌―握→
诱导公式并 能运用公式
重点难点 重点：初步运用诱导公式二、三、四求三角函 数值． 难点：利用诱导公式进行一般的三角关系式的化简和证明．
栏目 导引
第一章 三角函数
(2)法一：cos(－361π)＝cos316π
＝cos(4π＋76π)＝cos(π＋π6)＝－cosπ6＝－
3 2.
法二：cos(－316π)＝cos(－6π＋56π)
＝cos(π－π6)＝－cosπ6＝－
3 2.
(3)tan(－765°)＝－tan 765°＝－tan(45°＋2×360°)
∴sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)]＝－sin(α－75°)＝2
3
2 .
栏目 导引
第一章 三角函数
【名师点评】 解决条件求值问题的策略： (1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间 的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系． (2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行 变形向已知式转化．
高中数学 1.3三角函数的诱导公式(一)课件 新人教A版必修4
第二十五页，共43页。
【解析( jiě xī)】1.选B.sin2(π-α)-cos(π+α)cos(-α)+1
=sin2α+cos2α+1=2.
2.(1)原式
cos tan tan
tan .
sin
(2)当k为偶数时，原式 sin 2 cos 4
33
sin( ) cos( )
3
3
sin cos 3 33 4
6
6
【解析】因为(yīcons(w5èi) ) cos[ ( )] cos( ) 3 ,
所以
6
6
6
3
又因为si(ny2ī(n56wèi))
1
cos2
(
5 6
)
1
(
3)2 2. 33
所以 cos( ) cos[( )] cos( ) 3 .
6
6
6
3
sin2 (5 ) cos( )
6
6
2 3 2 3. 33 3
第二十一页，共43页。
【拓展提升】解决条件求值问题的策略 (1)解决条件求值问题,首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称 及有关(yǒuguān)运算之间的差异及联系. (2)可以将已知式进行变形向所求式转化,或将所求式进行变形向已知式转 化.
第二十二页，共43页。
第二十六页，共43页。
当k为奇数( jī shù)时，s原in 式2 cos( 4)
3
3
sin( )cos(2 )
3
3
sin cos 3 . 3 34
第二十七页，共43页。
【拓展提升】三角函数式化简的常用方法
(1)依据(yījù)所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化
【解析( jiě xī)】1.选B.sin2(π-α)-cos(π+α)cos(-α)+1
=sin2α+cos2α+1=2.
2.(1)原式
cos tan tan
tan .
sin
(2)当k为偶数时，原式 sin 2 cos 4
33
sin( ) cos( )
3
3
sin cos 3 33 4
6
6
【解析】因为(yīcons(w5èi) ) cos[ ( )] cos( ) 3 ,
所以
6
6
6
3
又因为si(ny2ī(n56wèi))
1
cos2
(
5 6
)
1
(
3)2 2. 33
所以 cos( ) cos[( )] cos( ) 3 .
6
6
6
3
sin2 (5 ) cos( )
6
6
2 3 2 3. 33 3
第二十一页，共43页。
【拓展提升】解决条件求值问题的策略 (1)解决条件求值问题,首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称 及有关(yǒuguān)运算之间的差异及联系. (2)可以将已知式进行变形向所求式转化,或将所求式进行变形向已知式转 化.
第二十二页，共43页。
第二十六页，共43页。
当k为奇数( jī shù)时，s原in 式2 cos( 4)
3
3
sin( )cos(2 )
3
3
sin cos 3 . 3 34
第二十七页，共43页。
【拓展提升】三角函数式化简的常用方法
(1)依据(yījù)所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化
(2024年)高中数学三角函数诱导公式ppt课件
波动问题
波动是物理学中另一个重要的研究领域。在波动问题中，三角函数同样扮演着重 要的角色。利用三角函数诱导公式，可以求解波动方程，得到波的传播速度、波 长、频率等关键参数。
21
拓展延伸：复数域内三角函数性质探讨
复数域内三角函数的定义
在复数域内，三角函数可以通过欧拉公式进行定义。这使得三角函数在复数域内具有了许多独特的性质。
α)等。
12
利用同角关系求值或化简表达式
已知一个角的三角函 数值，求其他角的三 角函数值。
通过同角关系式证明 三角恒等式。
2024/3/26
利用同角关系式化简 复杂的三角函数表达 式。
13
典型例题解析
例题1
已知sinα = 3/5，求cosα ，tanα的值。
2024/3/26
例题2
化简表达式(sinα
5
三角函数值域和极值点
值域
正弦函数和余弦函数的值域均为$[-1, 1]$；正切函数的值域 为$R$。
2024/3/26
极值点
正弦函数在$frac{pi}{2} + kpi(k in Z)$处取得最大值1，在 $frac{3pi}{2} + kpi(k in Z)$处取得最小值-1；余弦函数在 $2kpi(k in Z)$处取得最大值1，在$pi + kpi(k in Z)$处取得 最小值-1。
关注三角函数与其他知识点的 联系，如向量、数列、不等式
等。
2024/3/26
26
THANKS
感谢观看
2024/3/26
27
18
05
实际应用举例与拓展延伸
2024/3/26
19
在几何图形中求解角度问题
波动是物理学中另一个重要的研究领域。在波动问题中，三角函数同样扮演着重 要的角色。利用三角函数诱导公式，可以求解波动方程，得到波的传播速度、波 长、频率等关键参数。
21
拓展延伸：复数域内三角函数性质探讨
复数域内三角函数的定义
在复数域内，三角函数可以通过欧拉公式进行定义。这使得三角函数在复数域内具有了许多独特的性质。
α)等。
12
利用同角关系求值或化简表达式
已知一个角的三角函 数值，求其他角的三 角函数值。
通过同角关系式证明 三角恒等式。
2024/3/26
利用同角关系式化简 复杂的三角函数表达 式。
13
典型例题解析
例题1
已知sinα = 3/5，求cosα ，tanα的值。
2024/3/26
例题2
化简表达式(sinα
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三角函数值域和极值点
值域
正弦函数和余弦函数的值域均为$[-1, 1]$；正切函数的值域 为$R$。
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极值点
正弦函数在$frac{pi}{2} + kpi(k in Z)$处取得最大值1，在 $frac{3pi}{2} + kpi(k in Z)$处取得最小值-1；余弦函数在 $2kpi(k in Z)$处取得最大值1，在$pi + kpi(k in Z)$处取得 最小值-1。
关注三角函数与其他知识点的 联系，如向量、数列、不等式
等。
2024/3/26
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THANKS
感谢观看
2024/3/26
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18
05
实际应用举例与拓展延伸
2024/3/26
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在几何图形中求解角度问题
1.3第1课时 三角函数的诱导公式二、三、四 课件(共25张PPT)
2 2 ∴ sin(105° ＋ α)＝ sin[180° ＋(α－75° )]＝－ sin(α－ 75° )＝ . 3
【名师点评】
解决条件求值问题的策略：
(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间 的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系． (2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行 变形向已知式转化．
做一做
sin (－30° )＝________； cos 210° ＝________； 2π tan ＝________. 3
1 答案：－ 2
3 － 2
－ 3
典题例证技法归纳
题型探究
题型一 例1 给角求值问题
求下列各三角函数值．
16 (1)sin π；(2)cos(－765° )；(3)tan(－750° )． 3
2
2 2 ＋ α)＝－ cos α＝ 1－ sin α＝ . 3
2
7π π (2)cos( ＋ α)＝ cos(π＋ ＋ α) 6 6 π 3 ＝－cos( ＋ α)＝－ . 6 3
题型三
例3
三角函数式的化简问题
tan 2π－α tan 3π＋ α 化简：(1) ； tan －π＋αtan3π－ αtan－ α－π
【名师点评】 三角函数式化简的常用方法： (1)依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函 数转化为角 α 的三角函数． (2)切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数． π (3)注意“1”的应用：1＝sin α＋ cos α＝ tan . 4
2 2
跟踪训练
cos θ＋4πcos2 θ＋π sin2 θ＋3π 3．化简： . sin θ－4π sin 5π＋θ cos2－π＋θ
三角函数的诱导公式 课件
类型 3 化简求值问题(误区警示)
[ 典 例 3]
化
简
：
sin（α＋nπ）＋sin（α－nπ） sin（α＋nπ）cos（α－nπ）
(n∈Z)．
易错提示：解答本题常因忽视对 n 的奇偶性的讨论致
误．
防范措施：在处理含参数的式子时，应树立分类讨论 的意识，常常需要对参数的奇偶性进行讨论．如本例中， α＋2kπ(α－2kπ)与α＋(2k＋1)π所用的诱导公式不 同，因此要对 n 分奇数、偶数两种情况讨论．
诱导公式二、三、四
公式名称 诱导公式二 诱导公式三 诱导公式四 角π＋α的 角－α的终 角π－α的
终边与角α 边与角α的 终边与角α 两角关系
的终边关于 终边关于 x 的终边关于 原点对称 轴对称 y 轴对称
图示
sin(π＋α)＝－ sin(－α)＝－sin sin(π－α)＝
sin α；
α；
sin α；
温馨提示 在推导过程中，利用单位圆，运用数形结
合思想研究了对称点的坐标关系，从而得到诱导公式．
类型 1 给角求值问题(自主研析)
[典例 1] 求下列各三角函数值： (1)sin－8π3 ； (2)cos196π； (3)tan(－855°)．
[自主解答] (1)sin－8π3 ＝sin－4π＋43π＝
而 sin(180°＋α)·cos(180°－α)＝
(－sin α)·(－cos α)＝sin αcos α.
答案：(1)2 3 2或－2 3 2
m2－1 (2) 2
归纳升华 解此类问题的关键在于利用化归的思想探究两个
角之间的关系，再通过诱导公式化简计算．需注意的是若 α的象限位置不确定时需要讨论．
当 k 为奇数时，设 k＝2n＋1，n∈Z，
1.3《三角函数的诱导公式》课件
1.3 三 角 函 数 的 诱 导 公 式
一、回顾
1.－ 20 是第几象限的角？
3
2.你能找出所有与－ 20 终边相同的角吗？
3
3.所有与角 终边相同的角呢？
4.终边相同的角的三角函数有什么关系呢？
公式一 sin(2k ) sin cos(2k ) ccos( ) cos
tan() tan
tan( ) tan
诱导公式的记忆口诀 ：符号看象限，纵变横不变。
五• 、例一应、利用用诱导公式求下列三角函数值：
（1） cos2250
（3）sin( 16 )
3
（2）sin 11
cos x
cos( ) r x
tan y
x
tan( ) y
r
r
x
四、归纳 公式二
sin( ) sin
cos( ) cos
tan( ) tan
公式三
公式四
sin() sin
sin( ) sin
3
（4） tan(2040 0 )
步骤：
任意负角的 三角函数
用三 公或 式一 任意正角的 三角函数
用 公一 式
0 ~ 2 的
三角函数 用二 公或 式四 锐角的 三角函数
例二、化简
cos(1800 ) sin( 3600 ) sin( 1800 ) cos(1800 )
例三、设 sin( ) 2cos( 2 )
证明 sin( ) 5cos(2 ) 3
3cos( ) sin( )
5
思考题:
设 f (x) a sin(x ) b cos(x )
一、回顾
1.－ 20 是第几象限的角？
3
2.你能找出所有与－ 20 终边相同的角吗？
3
3.所有与角 终边相同的角呢？
4.终边相同的角的三角函数有什么关系呢？
公式一 sin(2k ) sin cos(2k ) ccos( ) cos
tan() tan
tan( ) tan
诱导公式的记忆口诀 ：符号看象限，纵变横不变。
五• 、例一应、利用用诱导公式求下列三角函数值：
（1） cos2250
（3）sin( 16 )
3
（2）sin 11
cos x
cos( ) r x
tan y
x
tan( ) y
r
r
x
四、归纳 公式二
sin( ) sin
cos( ) cos
tan( ) tan
公式三
公式四
sin() sin
sin( ) sin
3
（4） tan(2040 0 )
步骤：
任意负角的 三角函数
用三 公或 式一 任意正角的 三角函数
用 公一 式
0 ~ 2 的
三角函数 用二 公或 式四 锐角的 三角函数
例二、化简
cos(1800 ) sin( 3600 ) sin( 1800 ) cos(1800 )
例三、设 sin( ) 2cos( 2 )
证明 sin( ) 5cos(2 ) 3
3cos( ) sin( )
5
思考题:
设 f (x) a sin(x ) b cos(x )
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1.3三角函数的诱导公 式
回忆:单位圆中三角函数的定义？
y
P (x,y)
sin α y
o
x
cos x
y tan x
诱导公式（一）
sin( k 360 ) sin tan( k 360 ) tan 其中 k Z
sin( 2k ) sin tan( 2k ) tan 其中 k Z
方法总结：
由诱导公式可将任意的三角函数化为锐角三角函数， 一般步骤如下：
（1）化负角的三角函数为正角的三角函数。
360 （2）化为 0 ~ 的三角函数。
（3）化为锐角的三角函数。
概括为：“负化正，正化小，化到锐角就终了。”
用框图表示为：
用公式一
任意角的三角函数 或公式三 公式一 用公式二 锐角三角函数 或公式四 任意正角的三角函数
1
P(x,y)
诱导公式（二）
P′(-x,-y)
-1 0 -1
1
x
sin( ) y sin cos( ) x cos y tan( ) tan x
公式二： sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
诱导公式二
sin( ) sin ， cos( ) cos ， tan( ) tan 。
诱导公式三
sin( ) sin ， cos( ) cos ， tan( ) tan 。
诱导公式四
sin( ) sin ， cos( ) cos ， tan( ) tan 。
三、应用
例1 求下列三角函数值： 11 （1）cos225 ； （2） sin ； 3 16 0 （3） sin ；（4） cos(2040 )． 3
练习：求下列各角的三角函数值。
7 （1） sin( ) 4 31 ) （3）cos( 6
2 （2） cos 3
0 0
( sin ) cos ( sin(1800 ) ( sin ) cos (( sin ))
sin cos
2
(2) sin 3 ( ) cos(2 ) tan( ) ( sin )3 cos ( tan( ))
的终边与单 设角 的终边与单位圆交于点P，
位圆交于P1，当 为任意角时： ① 角 的终边与 的终边有怎样的对称关系？
② P与P1的坐标有什么对称关系？你能写出它们的 坐标吗？
y 由对称性及单位圆上三角函数的定义可得： 1 P′(-x,y)
0
诱导公式（四）
-1
P(x,y) 1 x
1.对于任何一个[0,2 ) 有四种可能： 内的角 ，其中 [0,
2 ,当 [ , ) 2 3 ,当 [ , ) 2 3 2 ,当 [ ,2 ) 2 , 因此我们只需研究 ,
cos( ) cos
tan( ) tan
因为
sin( ) sin2 cos( ) cos2 tan( ) tan2
所以
sin( 2 ) sin cos(2 ) cos tan( 2 ) tan
cos( k 360 ) cos cos( 2k ) cos
实质：终边相同，三角函数值相等
用途：“大”角化“小”角
将下列三角函数转化为 0～2的三角函数： 31 1、 sin( ) sin 4 4 65 5 2、 cos cos 6 6
公式一的用途： 公式一把求任意角的三角函数值转化为求
[0,2 )范围的角的三角函数值问题。我们对
[0, ) 范围内角的三角函数值很熟悉。 若把 [0,2 ) 2
内角的三角函数值转化为[0, )的三角函数值，那么 2 任意角的三角函数值就可以求出，这就是我们 这节课要解决的问题。
二、探究新知
诱导公式小结
公式一 ~ 四可用下面的话来概括：
2k (k Z ), , 的三角函数值， 等于角的同名函数值，前面加上一个把
看成锐角时原函数值的符号。
简记为“函数名不变，符号看象限” ．
函数名不变，符号看象限。
诱导公式一
sin( 2k ) sin ， cos(2k ) cos ， tan(2k ) tan 。
0 ~2 的角的三角函数
cos(1800 ) sin( 3600 ) 例2： 化简 sin( 1800 ) cos( 1800 )
0 sin( 360 ) sin 解： cos(180 ) cos
0
cos(1800 ) cos cos sin 1 所以原式= sin ( cos )
sin y sin cos x cos y tan tan x
-1
求下列三角函数值： 1、sin 120 3 2、 cos 4 0 3、 t an150
0
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
用公式二
或公式四
0 ~2 的角的三角函数 cos ( tan ) sin cos tan
3
3
sin 4
五、课堂小结
1.
2k (k Z ), , 的三角函数， 等于的同名函数值 ， 前面加上一个把 看成锐角时原函数值的 符号。
2.
用公式一 任意角的三角函数 任意正角的三角函数 或公式三 公式一 锐角三角函数
0 sin( 180 ) sin[ (180 )] sin(1800 ) ( sin ) sin cos( 1800 ) cos[(1800 )]
0
3.化简 (1) sin( 180 ) cos( ) sin( 180 )
7 7 2 sin( 2 ) ( sin ) sin 解 : (1) sin( ) sin 4 4 4 4 4 2
1 2 (2) cos cos( ) cos 3 2 3 3
31 31 (3) cos( ) cos cos( 4 ) 6 6 6 cos( ) cos 3 6 6 2
2
,当 [0, )
)
与 的三角函数关系。
2
二、探究新知 2.角α 与 的三角函数的关系。
观察单位圆，回答下列问题： ① 角 与角 的终边有怎样的对称关系？ ② 角 与角 的终边与单位圆的交点P，P1 之间有怎样的对称关系？
y 由对称性及单位圆上三角函数的定义可得：
诱导公式的变形
求下列三角函数值： 1、 cos(70 6' )
0
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
5 0 3、 cos(420 ) 13 4、 t an( ) 3
2、 sin(
)
4. 与 的三角函数值之间有什么关系？
由对称性及单位圆上三角函数的定义可得：
诱导公式（三）
y 1
sin( ) y sin cos( ) x cos y tan( ) tan x
-1 0
-1
P(x,y) 1 x P′(x,-y)
公式三 sin( ) sin
求下列三角函数值： 1、 cos 210 5 3、 tan 4
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
2、 sin(1 )
3.角 与 ， 的三角函数的关系。 观察单位圆，回答问题：
① 角 的终边与 的终边有怎样的对称关系？ ② 角 的终边、 的终边与单位圆交点P与P1有 怎样的对称关系？
回忆:单位圆中三角函数的定义？
y
P (x,y)
sin α y
o
x
cos x
y tan x
诱导公式（一）
sin( k 360 ) sin tan( k 360 ) tan 其中 k Z
sin( 2k ) sin tan( 2k ) tan 其中 k Z
方法总结：
由诱导公式可将任意的三角函数化为锐角三角函数， 一般步骤如下：
（1）化负角的三角函数为正角的三角函数。
360 （2）化为 0 ~ 的三角函数。
（3）化为锐角的三角函数。
概括为：“负化正，正化小，化到锐角就终了。”
用框图表示为：
用公式一
任意角的三角函数 或公式三 公式一 用公式二 锐角三角函数 或公式四 任意正角的三角函数
1
P(x,y)
诱导公式（二）
P′(-x,-y)
-1 0 -1
1
x
sin( ) y sin cos( ) x cos y tan( ) tan x
公式二： sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
诱导公式二
sin( ) sin ， cos( ) cos ， tan( ) tan 。
诱导公式三
sin( ) sin ， cos( ) cos ， tan( ) tan 。
诱导公式四
sin( ) sin ， cos( ) cos ， tan( ) tan 。
三、应用
例1 求下列三角函数值： 11 （1）cos225 ； （2） sin ； 3 16 0 （3） sin ；（4） cos(2040 )． 3
练习：求下列各角的三角函数值。
7 （1） sin( ) 4 31 ) （3）cos( 6
2 （2） cos 3
0 0
( sin ) cos ( sin(1800 ) ( sin ) cos (( sin ))
sin cos
2
(2) sin 3 ( ) cos(2 ) tan( ) ( sin )3 cos ( tan( ))
的终边与单 设角 的终边与单位圆交于点P，
位圆交于P1，当 为任意角时： ① 角 的终边与 的终边有怎样的对称关系？
② P与P1的坐标有什么对称关系？你能写出它们的 坐标吗？
y 由对称性及单位圆上三角函数的定义可得： 1 P′(-x,y)
0
诱导公式（四）
-1
P(x,y) 1 x
1.对于任何一个[0,2 ) 有四种可能： 内的角 ，其中 [0,
2 ,当 [ , ) 2 3 ,当 [ , ) 2 3 2 ,当 [ ,2 ) 2 , 因此我们只需研究 ,
cos( ) cos
tan( ) tan
因为
sin( ) sin2 cos( ) cos2 tan( ) tan2
所以
sin( 2 ) sin cos(2 ) cos tan( 2 ) tan
cos( k 360 ) cos cos( 2k ) cos
实质：终边相同，三角函数值相等
用途：“大”角化“小”角
将下列三角函数转化为 0～2的三角函数： 31 1、 sin( ) sin 4 4 65 5 2、 cos cos 6 6
公式一的用途： 公式一把求任意角的三角函数值转化为求
[0,2 )范围的角的三角函数值问题。我们对
[0, ) 范围内角的三角函数值很熟悉。 若把 [0,2 ) 2
内角的三角函数值转化为[0, )的三角函数值，那么 2 任意角的三角函数值就可以求出，这就是我们 这节课要解决的问题。
二、探究新知
诱导公式小结
公式一 ~ 四可用下面的话来概括：
2k (k Z ), , 的三角函数值， 等于角的同名函数值，前面加上一个把
看成锐角时原函数值的符号。
简记为“函数名不变，符号看象限” ．
函数名不变，符号看象限。
诱导公式一
sin( 2k ) sin ， cos(2k ) cos ， tan(2k ) tan 。
0 ~2 的角的三角函数
cos(1800 ) sin( 3600 ) 例2： 化简 sin( 1800 ) cos( 1800 )
0 sin( 360 ) sin 解： cos(180 ) cos
0
cos(1800 ) cos cos sin 1 所以原式= sin ( cos )
sin y sin cos x cos y tan tan x
-1
求下列三角函数值： 1、sin 120 3 2、 cos 4 0 3、 t an150
0
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
用公式二
或公式四
0 ~2 的角的三角函数 cos ( tan ) sin cos tan
3
3
sin 4
五、课堂小结
1.
2k (k Z ), , 的三角函数， 等于的同名函数值 ， 前面加上一个把 看成锐角时原函数值的 符号。
2.
用公式一 任意角的三角函数 任意正角的三角函数 或公式三 公式一 锐角三角函数
0 sin( 180 ) sin[ (180 )] sin(1800 ) ( sin ) sin cos( 1800 ) cos[(1800 )]
0
3.化简 (1) sin( 180 ) cos( ) sin( 180 )
7 7 2 sin( 2 ) ( sin ) sin 解 : (1) sin( ) sin 4 4 4 4 4 2
1 2 (2) cos cos( ) cos 3 2 3 3
31 31 (3) cos( ) cos cos( 4 ) 6 6 6 cos( ) cos 3 6 6 2
2
,当 [0, )
)
与 的三角函数关系。
2
二、探究新知 2.角α 与 的三角函数的关系。
观察单位圆，回答下列问题： ① 角 与角 的终边有怎样的对称关系？ ② 角 与角 的终边与单位圆的交点P，P1 之间有怎样的对称关系？
y 由对称性及单位圆上三角函数的定义可得：
诱导公式的变形
求下列三角函数值： 1、 cos(70 6' )
0
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
5 0 3、 cos(420 ) 13 4、 t an( ) 3
2、 sin(
)
4. 与 的三角函数值之间有什么关系？
由对称性及单位圆上三角函数的定义可得：
诱导公式（三）
y 1
sin( ) y sin cos( ) x cos y tan( ) tan x
-1 0
-1
P(x,y) 1 x P′(x,-y)
公式三 sin( ) sin
求下列三角函数值： 1、 cos 210 5 3、 tan 4
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
2、 sin(1 )
3.角 与 ， 的三角函数的关系。 观察单位圆，回答问题：
① 角 的终边与 的终边有怎样的对称关系？ ② 角 的终边、 的终边与单位圆交点P与P1有 怎样的对称关系？