高中数学必修2导与练(瞻前顾后+要点突出+典例精析+演练广场)2.3.4 平面与平面垂直的性质

D )
解析：如图：
故选 D.
2． 设平面 α⊥平面 β， 在平面 α 内的一条直线 a 垂直于平面 β 内的一条直线 b， 则( (A)直线 a 必垂直于平面 β (B)直线 b 必垂直于平面 α (C)直线 a 不一定垂直于平面 β (D)过 a 的平面必与过 b 的平面垂直
C )
解析：如图所示，直线 a 垂直于平面 β 内的一条直线 b，a 不一定垂直于平面 β，b 也不 一定垂直于平面 α.故选 C.
解析：连结 AC 交 BD 于点 O，连结 OA1、 AA1，则 A1 O⊥ BD. ∵平面 A1 BD⊥平面 BCD， A1 O⊂平面 A1 BD， 平面 A1 BD∩平面 BCD＝ BD， ∴ A1 O⊥平面 BCD. ∵ AO⊂平面 BCD， ∴ A1 O⊥ AO. ∵ A1 O＝ AO＝ BO， ∴ A1 A＝ A1 B＝ AB，∠ A1 BA＝ 60° . ∵ AB∥ CD， ∴∠ A1 BA 为异面直线 A1 B 与 CD 所成的角． ∴异面直线 A1B 与 CD 所成的角为 60° . 故选 C.
2 2
答案：13
知识要点一：平面与平面垂直的性质 1．两个平面垂直的性质定理也可简述为：“面面垂直，则线面垂直”． 该定理可作为“线面垂直”的判定方法：只要有两个平面垂直，那么在一个平面内向交 线作垂线便得线面垂直，进一步可得线线垂直．平面与平面垂直的判定与性质相互结合，为 证明线线垂直、线面垂直提供了更多的技巧． 2．对定理的理解应注意：(1)在一个平面内的直线；(2)垂直于两垂直平面的交线．二者 不可分割， 否则是不能推出直线和另一个平面垂直的． 用符号可描述为： 平面 α⊥平面 β， α∩ β ＝ l，直线 a⊂ α， a⊥ l⇒ a⊥ β. 3．线线、线面、面面垂直关系的转化：运用两个平面垂直的性质定理时，一般需作辅 助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样把面面垂直转化为线面垂直或 线线垂直．
证明： (1)在平面 ABC 内取一点 D，作 DF⊥ AC 于 F， ∵平面 PAC⊥平面 ABC，且交线为 AC，∴ DF⊥平面 PAC. 又∵ PA⊂平面 PAC，
∴ DF⊥ PA. 作 DG⊥ AB 于 G， 同理可证 DG⊥ PA. ∵ DG∩ DF＝ D， ∴ PA⊥平面 ABC. (2)连接 BE 并延长交 PC 于 H. ∵ E 是△ PBC 的垂心， ∴ PC⊥ BH，又 AE⊥平面 PBC， 故 AE⊥ PC，且 AE∩ BE＝ E， ∴ PC⊥平面 ABE. ∴ PC⊥ AB. 又∵ PA⊥平面 ABC，∴ PA⊥ AB，且 PA∩ PC＝ P， ∴ AB⊥平面 PAC， ∴ AB⊥ AC， 即△ ABC 是直角三角形．
4．如图，已知平面 α⊥平面 β，α∩ β＝ l，A∈ l，B∈l，AC⊂ α，BD⊂ β，AC⊥ l，BD⊥ l， 且 AB＝ 4， AC＝ 3， BD＝ 12，则 CD＝ ______.
解析：连结 AD，由 α⊥ β， α∩ β＝ l， AC⊂α，
AC⊥ l，得 AC⊥ β，所以 AC⊥ AD. 在 Rt△ ABD 中， AD＝ 12 ＋ 4 ＝ 4 10. 在 Rt△ ACD 中， CD＝ 4 102＋ 32＝ 13.
平面与平面垂直的性质定理的应用
【例 2】 已知：如图，平面 PAB⊥平面 ABC，平面 PAC⊥平面 ABC，AE⊥平面 PBC， E 为垂足． (1)求证： PA⊥平面 ABC； (2)当 E 为△ PBC 的垂心时，求证：△ ABC 是直角三角形． 思路点拨：由面面垂直向线面垂直转化，一般要作一条垂直于交线的直线，才能应用性 质定理．
一个平面内的直线与另一平面垂直必须具备三个条件：①两平面垂直；②直 线在其中一平面内；③直线与两平面的交线垂直．
变式训练 11： 如图， 在正方形 ABCD 中， 将△ ABD 沿 BD 折起到△ A1 BD， 使平面 A1 BD⊥ 平面 BCD，则折起后异面直线 A1 B 与 CD 所成的角为( C ) (A)30° (B)45° (C)60° (D)90°
想一想： 性质定理： (实质是线面垂直的判定定理) (1)文字语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直． (2)符号语言：α⊥ β， α∩ β＝ m， l⊂ β， l⊥ m⇒ l⊥ α. (3)图形语言线 l⊂ α，直线 m⊂ β，则直线 l，m 的位置关系是 ( (A)相交 (B)平行 (C)异面 (D)以上都有可能
2． α⊥ β， a⊥ β， a⊄ α⇒ a∥ α.
平面与平面垂直的性质定理
【例 1】 如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是矩形，平面 PCD⊥平面 ABCD. 求证： AD⊥平面 PCD.
思路点拨：利用平面与平面垂直的性质定理证明线面垂直．
证明：在矩形 ABCD 中， AD⊥ CD， ∵平面 PCD⊥平面 ABCD， 平面 PCD∩平面 ABCD＝ CD， AD⊂平面 ABCD， ∴ AD⊥平面 PCD.
知识要点二：几个重要结论 借助两平面垂直的性质定理可证明如下结论： 1．如果两个平面互相垂直，那么经过一个平面上的一点与另一个平面垂直的直线必在 这个平面内，即 α⊥ β， P∈ α， P∈ a， a⊥ β⇒ a⊂ α，证明的关键是过一点有且只有一条直线 与平面 β 垂直，用的是同一法 (重合法 )，上述命题可作为面面垂直的性质定理用．从该定理 的条件看出：对于两个互相垂直的平面，只要在其中一个平面内通过一点作另一个平面的垂 线，那么这条垂线必在这个平面内，所取的点的位置，它既可以在交线上，也可以不在交线 上，如图．
3．已知直线 l⊥平面 α，直线 m⊂平面 β，有下面四个命题： ①若 α∥ β，则 l⊥ m；②若 α⊥ β，则 l∥m； ③若 l∥m，则 α⊥ β；④若 l⊥m，则 α∥ β. 其中正确的两个命题是( D ) (A)①与② (B)③与④ (C)②与④ (D)①与③
解析：在 l⊥ α， m⊂ β 的前提下，当 α∥ β 时，有 l⊥ β，从而 l⊥ m，得①正确；当 α⊥ β 时，l 垂直于 α、β 的交线，而 m 不一定与交线垂直，因此，l 与 m 不一定平行，得②不正确， 故应排除 A、 C；依题意有两个命题正确，故不可能③④都正确，否则连同① 有 3 个命题正 确，可排除 B，故选择 D.