2019版高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形课时达标检测(十八)同角三角函数的基本关系与诱导公式文
高考数学一轮复习练习第四章 三角函数、解三角形 第4讲 Word版含答案
基础巩固题组(建议用时：分钟)一、填空题.(·徐州检测)函数()＝的单调递增区间是.解析当π－＜－＜π＋(∈)时，函数＝单调递增，解得－＜＜＋(∈)，所以函数＝的单调递增区间是(∈).答案(∈).已知函数()＝(ω>)和()＝(＋φ)的图象的对称中心完全相同，若∈，则()的取值范围是.解析由两三角函数图象的对称中心完全相同，可知两函数的周期相同，故ω＝，所以()＝，那么当∈时，－≤－≤，所以－≤≤，故()∈.答案.(·云南统一检测)已知函数()＝－，则()的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于.解析因为()＝)－＝，所以最小正周期＝＝，相邻两条对称轴之间的距离为＝.答案.如果函数＝(＋φ)的图象关于点中心对称，那么φ的最小值为.解析由题意得＝＝＝，∴＋φ＝π＋，∈，∴φ＝π－，∈，取＝，得φ的最小值为.答案.(·哈尔滨、长春、沈阳、大连四市联考)函数()＝(ω＋φ)(ω≠)对任意都有＝，则等于.解析由＝可知函数图象关于直线＝对称，则在＝处取得最值，∴＝±.答案±.(·南通调研)函数＝＋的单调递增区间是.解析∵＝＋＝，由π－≤＋≤π＋(∈)，解得π－≤≤π＋(∈).∴函数的增区间为(∈)，又∈，∴单调增区间为.答案.函数＝( )＋－())的定义域为.解析要使函数有意义必须有＞，－()≥，))即＞，≥()，))解得∴π＜≤＋π(∈)，∴函数的定义域为.答案(∈).函数＝＋－的值域为.解析＝＋－，令＝，∈[－，]，则有＝＋－＝－，画出函数图象如图所示，从图象可以看出，当＝－及＝时，函数取最值，代入＝＋－，可得∈.答案二、解答题.已知函数()＝))＋.()若＝－，求函数()的单调增区间；()若∈[，π]时，函数()的值域是[，]，求，的值.解()＝(＋＋ )＋＝＋＋.()当＝－时，()＝－＋－.由π＋≤＋≤π＋(∈)，得π＋≤≤π＋(∈)，∴()的单调增区间为(∈).()∵≤≤π，∴≤＋≤，。
(福建专用)2019高考数学一轮复习课时规范练18同角三角函数的基本关系及诱导公式理新人教A版
课时规范练18 同角三角函数的基本关系及诱导公式一、基础巩固组1.已知sin(θ+π)<0,cos(θ-π)>0,则下列不等关系中必定成立的是( )A.sin θ<0,cos θ>0B.sin θ>0,cos θ<0C.sin θ>0,cos θ>0D.sin θ<0,cos θ<02.若cos(3π-x )-3cos =0,则tan x 等于( )(x +π2)A.- B.-212C. D.12133.已知锐角α满足5α的终边上有一点P (sin(-50°),cos 130°),则α的值为()A.8° B.44°C.26° D.40°4.等于( )1-2sin (π+2)cos (π-2)A.sin 2-cos 2 B.sin 2+cos 2C.±(sin 2-cos 2)D.cos 2-sin 25.sin +cos -tan =( )29π6(-29π3)25π4A.0 B.12C.1D.-126.已知α为锐角,且tan(π-α)+3=0,则sin α的值是( )A. B.1331010C. D.3773557.已知sin(π-α)=-2sin ,则sin α·cos α等于( )(π2+α)A. B.-2525C.或- D.-2525158.已知cos ,且-π<α<-,则cos 等于( )(5π12+α)=13π2(π12-α)A. B.-22313C. D.-〚导学号21500718〛132239.已知sin α+2cos α=0,则2sin αcos α-cos 2α的值是 .10.若f (cos x )=cos 2x ,则f (sin 15°)= .11.已知α为第二象限角,则cos α+sin α=.1+tan 2α1+1tan 2α12.已知k ∈Z ,则的值为 . sin (kπ-α)cos [(k -1)π-α]sin [(k +1)π+α]cos (kπ+α)二、综合提升组13.若3sin α+cos α=0,则的值为( )1cos 2α+2sin αcos αA. B.10353C. D.-22314.已知sin θ=,cos θ=,其中θ∈,则下列结论正确的是( )m -3m +54-2m m +5[π2,π]A.3≤m ≤9B.3≤m<5C.m=0或m=8D.m=815.已知角α和β的终边关于直线y=x 对称,且β=-,则sin α等于( )π3A.- B.3232C.- D.121216.已知cos =a (|a|≤1),则cos +sin 的值是 . (π6-θ)(5π6+θ)(2π3-θ)三、创新应用组17.在北京召开的国际数学家大会会标如图所示,它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形,若直角三角形中较小的锐角为θ,大正方形的面积是1,小正方形的面积是,125则sin 2θ-cos 2θ的值为( )A.1B.-725C.D.-〚导学号21500719〛725242518.已知函数f (x )=a sin +b tan (a ,b 为常数,x ∈R ).若f (1)=1,则不等式f (31)>log 2x 的解(π5x )(π5x )集为 .课时规范练18 同角三角函数的基本关系及诱导公式1.B ∵sin(θ+π)<0,∴-sin θ<0,即sin θ>0.∵cos(θ-π)>0,∴-cos θ>0,即cos θ<0.故选B .2.D ∵cos(3π-x )-3cos =0,(x +π2)∴-cos x+3sin x=0,∴tan x=,故选D.133.B 点P (sin(-50°),cos 130°)化简为P (cos 220°,sin 220°),因为0°<α<90°,所以5α=220°,所以α=44°.故选B .4.A 1-2sin (π+2)cos (π-2)=1-2sin2cos2=(sin2-cos2)2=|sin 2-cos 2|=sin 2-cos 2.5.A 原式=sin +cos -tan =sin +cos -tan -1=0.(4π+5π6)(-10π+π3)(6π+π4)5π6π3π4=12+126.B 由tan(π-α)+3=0得tan α=3,即=3,sin α=3cos α,所以sin 2α=9(1-sin αcos αsin 2α),10sin 2α=9,sin 2α=又因为α为锐角,所以sin α=910.31010.7.B ∵sin(π-α)=-2sin ,(π2+α)∴sin α=-2cos α,∴tan α=-2.∴sin α·cos α==-,故选B .sin α·cos αsin 2α+cos 2α=tan α1+tan 2α258.D ∵cos =sin ,又-π<α<-,(5π12+α)(π12-α)=13π2-α<∴7π12<π1213π12.∴cos (π12-α)=-=-1-sin 2(π12-α)223.9.-1 由已知得tan α=-2,所以2sin αcos α-cos 2α==-1.2sin αcos α-cos 2αsin 2α+cos 2α=2tan α-1tan 2α+110.- f (sin 15°)=f (cos 75°)=cos 150°=cos(180°-30°)=-cos 30°=-3232.11.0 原式=cos +sin αsin 2α+cos 2αcos 2ααsin 2α+cos 2αsin 2α=cos +sin α1|cos α|α1|sin α|.因为α是第二象限角,所以sin α>0,cos α<0,所以cos +sin =-1+1=0,即原式等于0.α1|cos α|α1|sin α|12.-1 当k=2n (n ∈Z )时,原式=sin (2nπ-α)cos [(2n -1)π-α]sin [(2n +1)π+α]cos (2nπ+α)=sin (-α)·cos (-π-α)sin (π+α)·cos α==-1.-sin α(-cos α)-sin α·cos α当k=2n+1(n ∈Z )时,原式=sin [(2n +1)π-α]·cos [(2n +1-1)π-α]sin [(2n +1+1)π+α]·cos [(2n +1)π+α]=sin (π-α)·cos αsin α·cos (π+α)==-1.sin α·cos αsin α(-cos α)综上,原式=-1.13.A 3sin α+cos α=0⇒cos α≠0⇒tan α=-13,1cos 2α+2sin αcos α=cos 2α+sin 2αcos 2α+2sin αcos α=1+tan 2α1+2tan α=1+(-13)21-23=103.14.D 因为,所以sin θ=0,①θ∈[π2,π]m -3m +5≥cos θ=0,②4-2m m +5≤且=1,(m -3m +5)2+(4-2m m +5)2整理,得=1,m 2-6m +9+16-16m +4m 2(m +5)2即5m 2-22m+25=m 2+10m+25,即4m (m-8)=0,解得m=0或m=8.又m=0不满足①②两式,m=8满足①②两式,故m=8.15.D 终边在直线y=x 上的角为k π+(k ∈Z ),π4因为角α和β的终边关于直线y=x 对称,所以α+β=2k π+(k ∈Z ).π2又β=-,π3所以α=2k π+(k ∈Z ),5π6即得sin α=12.16.0 ∵cos (5π6+θ)=cos [π-(π6-θ)]=-cos =-a ,(π6-θ)sin (2π3-θ)=sin [π2+(π6-θ)]=cos =a ,(π6-θ)∴cos +sin =0.(5π6+θ)(2π3-θ)17.B 设直角三角形中较小的直角边长为x ,∵小正方形的面积是,∴小正方形的边长为,直角12515三角形的另一直角边长为x+,又大正方形的面积是1,15∴x 2+=12,解得x=,∴sin θ=,cos θ=,∴sin 2θ-cos 2θ==-,故选B .(x +15)2353545(35)2‒(45)272518.(0,2) 由f (31)=a sin +b tan (π5×31)(π5×31)=a sin +b tan =f (1)=1,π5π5则f (31)>log 2x ,即1>log 2x ,解得0<x<2.。
高考数学一轮复习 第四章 三角函数与解三角形 4
高考数学一轮复习 第四章 三角函数与解三角形4.5 三角函数的图象与性质考试要求 1.能画出三角函数的图象.2.了解三角函数的周期性、奇偶性、最大(小)值.3.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上，正切函数在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上的性质．知识梳理1．用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图(1)在正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0)．(2)在余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫3π2，0，(2π，1)．2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z )函数y ＝sin xy ＝cos xy ＝tan x图象定义域 R R {x | x ≠k π ⎭⎬⎫＋π2 值域 [－1,1] [－1,1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性奇函数偶函数奇函数递增区间⎣⎡ 2k π－π2，⎦⎤2k π＋π2[2k π－π，2k π]⎝⎛ k π－π2，⎭⎫k π＋π2递减区间⎣⎡ 2k π＋π2，⎦⎤2k π＋3π2[2k π，2k π＋π]对称中心 (k π，0) ⎝⎛⎭⎫k π＋π2，0⎝⎛⎭⎫k π2，0对称轴方程 x ＝k π＋π2x ＝k π常用结论1．对称性与周期性(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是12个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期．(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期． 2．奇偶性若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω≠0)，则(1)f (x )为偶函数的充要条件是φ＝π2＋k π(k ∈Z )．(2)f (x )为奇函数的充要条件是φ＝k π(k ∈Z )． 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数．( × ) (2)已知y ＝k sin x ＋1，x ∈R ，则y 的最大值为k ＋1.( × ) (3)y ＝sin|x |是偶函数．( √ )(4)若非零实数T 是函数f (x )的周期，则kT (k 是非零整数)也是函数f (x )的周期．( √ ) 教材改编题1．若函数y ＝2sin 2x －1的最小正周期为T ，最大值为A ，则( )A ．T ＝π，A ＝1B ．T ＝2π，A ＝1C ．T ＝π，A ＝2D ．T ＝2π，A ＝2 答案 A2．函数f (x )＝－2tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的定义域是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪x ≠π6B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪x ≠－π12 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪x ≠k π＋π6k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪x ≠k π2＋π6k ∈Z答案 D解析 由2x ＋π6≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠k π2＋π6，k ∈Z .3．函数y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递减区间是________． 答案 ⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3，k ∈Z 解析 因为y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 令2k π≤2x －π3≤2k π＋π，k ∈Z ，求得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3，k ∈Z ，可得函数的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3，k ∈Z .题型一 三角函数的定义域和值域例1 (1)函数y ＝1tan x －1的定义域为________．答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠π4＋k π，且x ≠π2＋k π，k ∈Z 解析 要使函数有意义， 则⎩⎪⎨⎪⎧tan x －1≠0，x ≠π2＋k π，k ∈Z ，即⎩⎨⎧x ≠π4＋k π，k ∈Z ，x ≠π2＋k π，k ∈Z .故函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠π4＋k π，且x ≠π2＋k π，k ∈Z .(2)函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x 的值域为________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1＋222，1解析 设t ＝sin x －cos x ，则t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x ·cos x ，sin x cos x ＝1－t 22， 且－2≤t ≤ 2.∴y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1，t ∈[－2，2]． 当t ＝1时，y max ＝1； 当t ＝－2时，y min ＝－1＋222. ∴函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1＋222，1.教师备选1．函数y ＝sin x －cos x 的定义域为________．答案 ⎣⎡⎦⎤2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z ) 解析 要使函数有意义，必须使sin x －cos x ≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0,2π]上y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象， 如图所示．在[0,2π]内，满足sin x ＝cos x 的x 为π4，5π4，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z . 2．函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的最大值是________． 答案 1解析 由题意可得 f (x )＝－cos 2x ＋3cos x ＋14＝－⎝⎛⎭⎫cos x －322＋1. ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2， ∴cos x ∈[0,1]． ∴当cos x ＝32，即x ＝π6时，f (x )取最大值为1. 思维升华 (1)三角函数定义域的求法求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数的图象来求解． (2)三角函数值域的不同求法①把所给的三角函数式变换成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式求值域． ②把sin x 或cos x 看作一个整体，转换成二次函数求值域． ③利用sin x ±cos x 和sin x cos x 的关系转换成二次函数求值域．跟踪训练1 (1)(2021·北京)函数f (x )＝cos x －cos 2x ，试判断函数的奇偶性及最大值( ) A ．奇函数，最大值为2 B ．偶函数，最大值为2 C ．奇函数，最大值为98D ．偶函数，最大值为98答案 D 解析 由题意，f (－x )＝cos (－x )－cos (－2x ) ＝cos x －cos 2x ＝f (x )， 所以该函数为偶函数，又f (x )＝cos x －cos 2x ＝－2cos 2x ＋cos x ＋1＝－2⎝⎛⎭⎫cos x －142＋98， 所以当cos x ＝14时，f (x )取最大值98.(2)函数y ＝lg(sin 2x )＋9－x 2的定义域为________． 答案 ⎣⎡⎭⎫－3，－π2∪⎝⎛⎭⎫0，π2 解析 ∵函数y ＝lg(sin 2x )＋9－x 2，∴应满足⎩⎪⎨⎪⎧sin 2x >0，9－x 2≥0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k π<x <π2＋k π，－3≤x ≤3，其中k ∈Z ，∴－3≤x <－π2或0<x <π2，∴函数的定义域为⎣⎡⎭⎫－3，－π2∪⎝⎛⎭⎫0，π2.题型二 三角函数的周期性、奇偶性、对称性例2 (1)(2019·全国Ⅱ)下列函数中，以π2为周期且在区间⎝⎛⎭⎫π4，π2上单调递增的是( ) A ．f (x )＝|cos 2x | B ．f (x )＝|sin 2x |答案 A解析 A 中，函数f (x )＝|cos 2x |的周期为π2，当x ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2时，2x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，函数f (x )单调递增，故A 正确；B 中，函数f (x )＝|sin 2x |的周期为π2，当x ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2时，2x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，函数f (x )单调递减，故B 不正确；C 中，函数f (x )＝cos|x |＝cos x 的周期为2π，故C 不正确；D 中，f (x )＝sin|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x ≥0，－sin x ，x <0，由正弦函数图象知，在x ≥0和x <0时，f (x )均以2π为周期，但在整个定义域上f (x )不是周期函数，故D 不正确．(2)函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋φ＋1，φ∈(0，π)，且f (x )为偶函数，则φ＝________，f (x )图象的对称中心为________． 答案5π6 ⎝⎛⎭⎫π4＋k π2，1，k ∈Z 解析 若f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋φ＋1为偶函数，则－π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ， 即φ＝5π6＋k π，k ∈Z ，又∵φ∈(0，π)， ∴φ＝5π6.∴f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＋1＝3cos 2x ＋1， 由2x ＝π2＋k π，k ∈Z 得x ＝π4＋k π2，k ∈Z ，∴f (x )图象的对称中心为⎝⎛⎭⎫π4＋k π2，1，k ∈Z . 教师备选1．下列函数中，是周期函数的为( ) A ．y ＝sin|x |B ．y ＝cos|x |答案 B解析 ∵cos|x |＝cos x ，∴y ＝cos|x |是周期函数．其余函数均不是周期函数． 2．函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋φ，φ∈(0，π)，若f (x )为奇函数，则φ＝________. 答案 π3解析 若f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋φ为奇函数， 则－π3＋φ＝k π，k ∈Z ，即φ＝π3＋k π，k ∈Z ，又∵φ∈(0，π)， ∴φ＝π3.思维升华 (1)奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx 的形式，而偶函数一般可化为y ＝A cos ωx 的形式．(2)周期的计算方法：利用函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，y ＝A cos(ωx ＋φ)(ω>0)的周期为2πω，函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(ω>0)的周期为πω求解．跟踪训练2 (1)(2021·全国乙卷)函数f (x )＝sin x 3＋cos x3最小正周期和最大值分别是( )A ．3π和 2B ．3π和2C ．6π和 2D ．6π和2答案 C解析 因为函数f (x )＝sin x 3＋cos x3＝2⎝⎛⎭⎫22sin x 3＋22cos x 3＝2⎝⎛⎭⎫sin x 3cos π4＋cos x 3sin π4 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 3＋π4，所以函数f (x )的最小正周期T ＝2π13＝6π，最大值为 2.(2)已知f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)是定义域为R 的奇函数，且当x ＝3时，f (x )取得最小值－3，当ω取得最小正数时，f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 022)的值为( ) A.32 B ．－6－3 3 C ．1 D ．－1答案 B解析 ∵f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π)是定义域为R 的奇函数， ∴φ＝π2＋k π，k ∈Z ，则φ＝π2，则f (x )＝－A sin ωx .当x ＝3时，f (x )取得最小值－3， 故A ＝3，sin 3ω＝1， ∴3ω＝π2＋2k π，k ∈Z .∴ω的最小正数为π6，∴f (x )＝－3sin π6x ，∴f (x )的周期为12，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (12)＝0， ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 022) ＝168×0＋f (1)＋f (2)＋…＋f (6) ＝－6－3 3.(3)(2022·郑州模拟)设函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋34，则下列叙述正确的是( ) A ．f (x )的最小正周期为2π B ．f (x )的图象关于直线x ＝π12对称 C ．f (x )在⎣⎡⎦⎤π2，π上的最小值为－54 D ．f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫2π3，0对称 答案 C解析 对于A ，f (x )的最小正周期为2π2＝π，故A 错误；对于B ，∵sin ⎝⎛⎭⎫2×π12－π3＝－12≠±1， 故B 错误；对于C ，当x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π时，2x －π3∈⎣⎡⎦⎤2π3，5π3， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－1，32， ∴2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋34∈⎣⎡⎦⎤－54，3＋34， ∴f (x )在⎣⎡⎦⎤π2，π上的最小值为－54，故C 正确； 对于D ，∵f ⎝⎛⎭⎫2π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫2×2π3－π3＋34＝34， ∴f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫2π3，34对称，故D 错误． 题型三 三角函数的单调性 命题点1 求三角函数的单调区间例3 函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3的单调递减区间为________．答案 ⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) 解析 f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3 ＝sin ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫2x －π3 ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z . 故所求函数的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )． 延伸探究 f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3在[0，π]上的单调递减区间为________． 答案 ⎣⎡⎦⎤0，5π12和⎣⎡⎦⎤11π12，π 解析 令A ＝⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z ， B ＝[0，π]，∴A ∩B ＝⎣⎡⎦⎤0，5π12∪⎣⎡⎦⎤11π12，π， ∴f (x )在[0，π]上的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤0，5π12和⎣⎡⎦⎤11π12，π. 命题点2 根据单调性求参数例4 (1)若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω＝________.答案 32解析 ∵f (x )＝sin ωx (ω>0)过原点，∴当0≤ωx ≤π2， 即0≤x ≤π2ω时，y ＝sin ωx 单调递增； 当π2≤ωx ≤3π2， 即π2ω≤x ≤3π2ω时，y ＝sin ωx 单调递减． 由f (x )＝sin ωx (ω>0)在⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增， 在⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，知π2ω＝π3， ∴ω＝32. (2)已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是________． 答案 ⎣⎡⎦⎤12，54解析 由π2<x <π，ω>0， 得ωπ2＋π4<ωx ＋π4<ωπ＋π4， 因为y ＝sin x 的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤2k π＋π2，2k π＋3π2，k ∈Z ， 所以⎩⎨⎧ ωπ2＋π4≥π2＋2k π，ωπ＋π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得4k ＋12≤ω≤2k ＋54，k ∈Z . 又由4k ＋12－⎝⎛⎭⎫2k ＋54≤0，k ∈Z ， 且2k ＋54>0，k ∈Z ， 解得k ＝0，所以ω∈⎣⎡⎦⎤12，54.教师备选(2022·定远县育才学校月考)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调，则ω的最大值为( ) A ．11 B ．9 C ．7 D ．1答案 B解析 因为x ＝－π4为f (x )的零点， x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴， 所以2n ＋14·T ＝π2(n ∈N )， 即2n ＋14·2πω＝π2(n ∈N )， 所以ω＝2n ＋1(n ∈N )，即ω为正奇数．因为f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调，则5π36－π18＝π12≤T 2， 即T ＝2πω≥π6， 解得ω≤12.当ω＝11时，－11π4＋φ＝k π，k ∈Z ， 因为|φ|≤π2， 所以φ＝－π4，此时f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫11x －π4. 当x ∈⎝⎛⎭⎫π18，5π36时，11x －π4∈⎝⎛⎭⎫13π36，46π36， 所以f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上不单调，不满足题意；当ω＝9时，－9π4＋φ＝k π，k ∈Z ， 因为|φ|≤π2， 所以φ＝π4， 此时f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫9x ＋π4. 当x ∈⎝⎛⎭⎫π18，5π36时，9x ＋π4∈⎝⎛⎭⎫3π4，3π2， 此时f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调递减，符合题意．故ω的最大值为9.思维升华 (1)已知三角函数解析式求单调区间求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，可借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．(2)已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．跟踪训练3 (1)(2021·新高考全国Ⅰ)下列区间中，函数f (x )＝7sin ⎝⎛⎭⎫x －π6的单调递增区间是( )A.⎝⎛⎭⎫0，π2 B.⎝⎛⎭⎫π2，π C.⎝⎛⎭⎫π，3π2 D.⎝⎛⎭⎫3π2，2π答案 A解析 令－π2＋2k π≤x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π3＋2k π≤x ≤2π3＋2k π，k ∈Z .取k ＝0，则－π3≤x ≤2π3.因为⎝⎛⎭⎫0，π2⎣⎡⎦⎤－π3，2π3，所以区间⎝⎛⎭⎫0，π2是函数f (x )的单调递增区间． (2)(2022·开封模拟)已知函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3 (ω>0)在区间⎝⎛⎭⎫－π6，π3上单调递增，则ω的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤0，12 B.⎣⎡⎦⎤12，1 C.⎝⎛⎦⎤13，23D.⎣⎡⎦⎤23，2答案 A解析 当－π6<x <π3时， －πω6＋π3<ωx ＋π3<πω3＋π3， 当x ＝0时，ωx ＋π3＝π3. 因为函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)在区间⎝⎛⎭⎫－π6，π3上单调递增， 所以⎩⎨⎧ －πω6＋π3≥－π2，πω3＋π3≤π2，解得ω≤12， 因为ω>0，所以ω的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，12. 课时精练1．y ＝|cos x |的一个单调递增区间是( )A.⎣⎡⎦⎤－π2，π2 B ．[0，π]C.⎣⎡⎦⎤π，3π2 D.⎣⎡⎦⎤3π2，2π 答案 D 解析 将y ＝cos x 的图象位于x 轴下方的部分关于x 轴对称向上翻折，x 轴上方(或x 轴上)的图象不变，即得y ＝|cos x |的图象(如图)．故选D.2．函数f (x )＝2sin π2x －1的定义域为( ) A.⎣⎡⎦⎤π3＋4k π，5π3＋4k π(k ∈Z ) B.⎣⎡⎦⎤13＋4k ，53＋4k (k ∈Z ) C.⎣⎡⎦⎤π6＋4k π，5π6＋4k π(k ∈Z ) D.⎣⎡⎦⎤16＋4k ，56＋4k (k ∈Z ) 答案 B解析 由题意，得2sin π2x －1≥0， π2x ∈⎣⎡⎦⎤π6＋2k π，5π6＋2k π(k ∈Z )， 则x ∈⎣⎡⎦⎤13＋4k ，53＋4k (k ∈Z )． 3．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋5π12cos ⎝⎛⎭⎫x －π12是( ) A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为2π的非奇非偶函数D ．最小正周期为π的非奇非偶函数答案 D解析 由题意可得f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋5π12cos ⎝⎛⎭⎫x －π12 ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋5π12cos ⎝⎛⎭⎫x ＋5π12－π2 ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋5π12， ∴f (x )＝12－12cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π6， 故f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，由函数奇偶性的定义易知，f (x )为非奇非偶函数． 4．函数f (x )＝sin x ＋x cos x ＋x 2在[－π，π]的图象大致为( )答案 D解析 由f (－x )＝sin －x ＋－x cos －x ＋－x2 ＝－sin x －x cos x ＋x 2＝－f (x )，得f (x )是奇函数，其图象关于原点对称，排除A ； 又f ⎝⎛⎭⎫π2＝1＋π2⎝⎛⎭⎫π22＝4＋2ππ2>1， f (π)＝π－1＋π2>0，排除B ，C. 5．关于函数f (x )＝sin 2x －cos 2x ，下列命题中为假命题的是( )A ．函数y ＝f (x )的周期为πB ．直线x ＝π4是y ＝f (x )图象的一条对称轴 C ．点⎝⎛⎭⎫π8，0是y ＝f (x )图象的一个对称中心D ．y ＝f (x )的最大值为 2答案 B解析 因为f (x )＝sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4， 所以f (x )的最大值为2，故D 为真命题；因为ω＝2，故T ＝2π2＝π，故A 为真命题； 当x ＝π4时，2x －π4＝π4，终边不在y 轴上，故直线x ＝π4不是y ＝f (x )图象的一条对称轴， 故B 为假命题；当x ＝π8时，2x －π4＝0，终边落在x 轴上， 故点⎝⎛⎭⎫π8，0是y ＝f (x )图象的一个对称中心，故C 为真命题．6．(2022·广州市培正中学月考)关于函数f (x )＝sin|x |＋|sin x |，下列叙述正确的是( )A ．f (x )是奇函数B ．f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递增C ．f (x )的最大值为2D ．f (x )在[－π，π]上有4个零点答案 C解析 f (－x )＝sin|－x |＋|sin(－x )|＝sin|x |＋|sin x |＝f (x )，f (x )是偶函数，A 错误；当x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，f (x )＝sin x ＋sin x ＝2sin x ，单调递减，B 错误；f (x )＝sin|x |＋|sin x |≤1＋1＝2，且f ⎝⎛⎭⎫π2＝2，C 正确；在[－π，π]上，当－π<x <0时，f (x )＝sin(－x )＋(－sin x )＝－2sin x >0，当0<x <π时，f (x )＝sin x ＋sin x ＝2sin x >0，f (x )的零点只有π，0，－π共三个，D 错误．7．写出一个周期为π的偶函数f (x )＝________.(答案不唯一) 答案 cos 2x8．(2022·上外浦东附中检测)若在⎣⎡⎦⎤0，π2内有两个不同的实数值满足等式cos 2x ＋3sin 2x ＝k ＋1，则实数k 的取值范围是________．答案 0≤k <1解析 函数f (x )＝cos 2x ＋3sin 2x＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π6时， f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6单调递增； 当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，π2时，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6单调递减， f (0)＝2sin π6＝1， f ⎝⎛⎭⎫π6＝2sin π2＝2， f ⎝⎛⎭⎫π2＝2sin 7π6＝－1，所以在⎣⎡⎦⎤0，π2内有两个不同的实数值满足等式cos 2x ＋3sin 2x ＝k ＋1， 则1≤k ＋1<2，所以0≤k <1.9．已知函数f (x )＝4sin ωx sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3－1(ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω及f (x )的单调递增区间；(2)求f (x )图象的对称中心．解 (1)f (x )＝4sin ωx ⎝⎛⎭⎫12sin ωx ＋32cos ωx －1 ＝2sin 2ωx ＋23sin ωx cos ωx －1 ＝1－cos 2ωx ＋3sin 2ωx －1 ＝3sin 2ωx －cos 2ωx＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6. ∵最小正周期为π，∴2π2ω＝π， ∴ω＝1，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6， 令－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ， 解得－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z ， ∴f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π6＋k π，π3＋k π (k ∈Z )．(2)令2x －π6＝k π，k ∈Z ， 解得x ＝π12＋k π2，k ∈Z ，∴f (x )图象的对称中心为⎝⎛⎭⎫π12＋k π2，0，k ∈Z .10．(2021·浙江)设函数f (x )＝sin x ＋cos x (x ∈R )．(1)求函数y ＝⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫x ＋π22的最小正周期； (2)求函数y ＝f (x )f ⎝⎛⎭⎫x －π4在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值． 解 (1)因为f (x )＝sin x ＋cos x ，所以f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＋cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π2 ＝cos x －sin x ，所以y ＝⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫x ＋π22＝(cos x －sin x )2 ＝1－sin 2x .所以函数y ＝⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫x ＋π22的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)f ⎝⎛⎭⎫x －π4＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π4 ＝2sin x ，所以y ＝f (x )f ⎝⎛⎭⎫x －π4 ＝2sin x (sin x ＋cos x ) ＝2(sin x cos x ＋sin 2x ) ＝2⎝⎛⎭⎫12sin 2x －12cos 2x ＋12 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋22. 当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x －π4∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4， 所以当2x －π4＝π2，即x ＝3π8时， 函数y ＝f (x )f ⎝⎛⎭⎫x －π4在⎣⎡⎦⎤0，π2上取得最大值，且y max ＝1＋22.11．(2022·苏州模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，则下列结论不正确的是( ) A ．x ＝－π6是函数f (x )的一个零点 B ．函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－5π12，π12上单调递增 C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝π12对称 D ．函数f ⎝⎛⎭⎫x －π3是偶函数 答案 D解析 对于A 选项，因为f ⎝⎛⎭⎫－π6＝sin 0＝0， 故x ＝－π6是函数f (x )的一个零点，A 对； 对于B 选项，当－5π12≤x ≤π12时， －π2≤2x ＋π3≤π2， 所以函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－5π12，π12上单调递增，B 对； 对于C 选项，因为对称轴满足2x ＋π3＝π2＋k π，k ∈Z ， 解得x ＝π12＋k π2，k ∈Z ，当k ＝0时，x ＝π12，C 对； 对于D 选项，令g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x －π3＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π3＋π3 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 则g ⎝⎛⎭⎫π6＝0，g ⎝⎛⎭⎫－π6＝sin ⎝⎛⎭⎫－2π3≠0， 故函数f ⎝⎛⎭⎫x －π3不是偶函数，D 错． 12．(2022·厦门模拟)已知函数f (x )＝cos 2⎝⎛⎭⎫x －π6－cos 2x ，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )的最大值为3－12B ．f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫7π6，0对称C ．f (x )的图象的对称轴方程为x ＝5π12＋k π2(k ∈Z ) D ．f (x )在[0,2π]上有2个零点答案 C解析 f (x )＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2x －π32－cos 2x ＝12＋12⎝⎛⎭⎫12cos 2x ＋32sin 2x －cos 2x ＝34sin 2x －34cos 2x ＋12＝32sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋12， 则f (x )的最大值为1＋32，A 错误； 易知f (x )图象的对称中心的纵坐标为12， B 错误；令2x －π3＝π2＋k π(k ∈Z )， 得x ＝5π12＋k π2(k ∈Z )， 此即f (x )图象的对称轴方程，C 正确；由f (x )＝32sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋12＝0， 得sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝－33， 当x ∈[0,2π]时，2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，11π3， 作出函数y ＝sin x ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，11π3的图象，如图所示．所以方程sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝－33在[0,2π]上有4个不同的实根， 即f (x )在[0,2π]上有4个零点，D 错误．13．(2022·绵阳中学实验学校模拟)已知sin x ＋cos y ＝14，则sin x －sin 2y 的最大值为______． 答案 916解析 ∵sin x ＋cos y ＝14，sin x ∈[－1,1]， ∴sin x ＝14－cos y ∈[－1,1]， ∴cos y ∈⎣⎡⎦⎤－34，54， 即cos y ∈⎣⎡⎦⎤－34，1， ∵sin x －sin 2y ＝14－cos y －(1－cos 2y ) ＝cos 2y －cos y －34＝⎝⎛⎭⎫cos y －122－1， 又cos y ∈⎣⎡⎦⎤－34，1，利用二次函数的性质知，当cos y ＝－34时， (sin x －sin 2y )max ＝⎝⎛⎭⎫－34－122－1＝916. 14．(2022·苏州八校联盟检测)已知f (x )＝sin x ＋cos x ，若y ＝f (x ＋θ)是偶函数，则cos θ＝________.答案 ±22解析 因为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4， 所以f (x ＋θ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋θ＋π4， 又因为y ＝f (x ＋θ)是偶函数，所以θ＋π4＝π2＋k π，k ∈Z ， 即θ＝π4＋k π，k ∈Z ， 所以cos θ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋k π＝±22.15．(2022·江西九江一中模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)，若方程f (x )＝0在[0,2π]上有且仅有6个根，则实数ω的值可能为( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案 B解析 令f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3＝0， 则ωx ＋π3＝k π，k ∈Z ， 所以x ＝－π3ω＋k πω，k ∈Z ， 所以当x ≥0时，函数f (x )的第一个零点为x 1＝－π3ω＋πω＝2π3ω，第六个零点为x 6＝－π3ω＋6πω＝17π3ω，第七个零点为x 7＝－π3ω＋7πω＝20π3ω， 因为方程f (x )＝0在[0,2π]上有且仅有6个根等价于函数y ＝f (x )在[0,2π]上有且仅有6个零点，所以17π3ω≤2π<20π3ω， 所以176≤ω<103. 16．已知f (x )＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π8＋2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4·cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4－12. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)若函数y ＝|f (x )|－m 在区间⎣⎡⎦⎤－5π24，3π8上恰有两个零点x 1，x 2. ①求m 的取值范围；②求sin(x 1＋x 2)的值．解 (1)f (x )＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π8＋2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4·cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4－12＝1－cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π42＋22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2－12 ＝12－24cos 2x ＋24sin 2x ＋22cos 2x －12＝24sin 2x ＋24cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， 结合正弦函数的图象与性质， 可得当－π2＋2k π≤2x ＋π4≤π2＋2k π(k ∈Z )， 即－3π8＋k π≤x ≤π8＋k π(k ∈Z )时，函数单调递增， ∴函数y ＝f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－3π8＋k π，π8＋k π(k ∈Z )． (2)①令t ＝2x ＋π4，当x ∈⎣⎡⎦⎤－5π24，3π8时，t ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π，12sin t ∈⎣⎡⎦⎤－14，12， ∴y ＝⎪⎪⎪⎪12sin t ∈⎣⎡⎦⎤0，12(如图)．∴要使y ＝|f (x )|－m 在区间⎣⎡⎦⎤－5π24，3π8上恰有两个零点，m 的取值范围为14<m <12或m ＝0. ②设t 1，t 2是函数y ＝⎪⎪⎪⎪12sin t －m 的两个零点⎝⎛⎭⎫即t 1＝2x 1＋π4，t 2＝2x 2＋π4， 由正弦函数图象性质可知t 1＋t 2＝π，即2x 1＋π4＋2x 2＋π4＝π. ∴x 1＋x 2＝π4，∴sin(x 1＋x 2)＝22.。
高考数学一轮复习三角函数与解三角形多选题单元测试及答案
高考数学一轮复习三角函数与解三角形多选题单元测试及答案一、三角函数与解三角形多选题1．在ABC 中，下列说法正确的是（ ）A ．若AB >，则sin sin A B > B ．存在ABC 满足cos cos 0A B +≤ C ．若sin cos A B <，则ABC 为钝角三角形D ．若2C π>，则22sin sin sin C A B >+【答案】ACD 【分析】A 项，根据大角对大边定理和正弦定理可判断；B 项，由A B π+<和余弦函数在()0,π递减可判断；C 项，显然2A π≠，分02A π<<和2A π>两种情况讨论，结合余弦函数的单调性可判断；D 项，根据2A B π+<和正弦函数的单调性得出0sin cos A B <<和0sin cos B A <<，再由放缩法可判断. 【详解】解：对于A 选项，若A B >，则a b >，则2sin 2sin R A R B >，即sin sin A B >，故A 选项正确；对于B 选项，由A B π+<，则A B π<-，且(),0,A B ππ-∈，cos y x =在()0,π上递减，于是cos cos A B >-，即cos cos 0A B +>，故B 选项错误﹔ 对于C 选项，由sin cos A B <，得cos cos 2A B π⎛⎫-< ⎪⎝⎭，cos y x =在()0,π上递减， 此时：若02A π<<，则2A B π->，则2A B π+<，于是2C π>； 若2A π>，则cos cos 2A B π⎛⎫-< ⎪⎝⎭，则2A B π->， 于是2A B π>+，故C 选项正确；对于D 选项，由2C π>，则2A B π+<，则022A B ππ<<-<，sin y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭递增，于是sin sin 2A B π⎛⎫<- ⎪⎝⎭， 即0sin cos A B <<，同理0sin cos B A <<， 此时，22sin sin()sin cos cos sin sin sin sin sin sin sin C A B A B A B A A B B A B=+=+>⋅+⋅=+所以D 选项正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：正余弦函数的单调性，正弦定理的边角互化，大边对大角定理以及大角对大边定理，不等式的放缩等等，综合使用以上知识点是解决此类题的关键.2．设函数()2sin sin 2cos2f x x x =++，给出下列四个结论：则正确结论的序号为（ ） A ．()20f >B ．()f x 在53,2ππ⎛⎫--⎪⎝⎭上单调递增 C ．()f x 的值域为[]12cos2,32cos2-++ D ．()f x 在[]0,2π上的所有零点之和为4π 【答案】ABD 【分析】由()23sin 22cos2f =+，结合3224ππ<<，可判定A 正确；作出函数2sin sin y x x =+的图象，可得函数()f x 的值域及单调性，可判定B 正确，C 不正确；结合函数的图象，可得()f x 在[]0,2π上的所有零点之和，可判定D 正确. 【详解】由题意，函数()2sin sin 2cos2f x x x =++， 可得()22sin 2sin 22cos23sin 22cos2f =++=+ 因为3224ππ<<，所以sin 2cos20>->，所以()20f >，所以A 正确； 由3sin ,222sin sin ,sin ,222x k x k y x x k Z x k x k πππππππ≤≤+⎧=+=∈⎨-+≤≤+⎩，作出函数2sin sin y x x =+的图象，如图所示， 可得函数()f x 是以2π为周期的周期函数，由函数2sin sin y x x =+的图象可知，函数()f x 在3(,)2ππ上单调递增， 又由()f x 是以2π为周期的周期函数，可得函数()f x 在5(3,)2ππ--上单调递增， 所以B 是正确的；由由函数2sin sin y x x =+的图象可知，函数()f x 的值域为[2cos 2,32cos 2]+， 所以C 不正确； 又由2223ππ<<，所以1cos 202-<<，则02cos21<-<，令()0f x =，可得2sin sin 2cos2x x +=-，由图象可知，函数()f x 在[]0,2π上的所有零点之和为4π，所以D 正确. 故选：ABD.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的综合应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查转化思想，以及数形结合思想的应用，以及推理与运算能力，属于中档试题.3．ABC 中，2BC =，BC 边上的中线2AD =，则下列说法正确的有（ ） A ．AB AC →→⋅为定值B ．2210AC AB += C ．co 415s A << D ．BAD ∠的最大值为30【答案】ABD 【分析】A 利用向量的加减法及向量的数量积公式运算即可，B 根据余弦定理及角的互补运算即可求值，C 利用余弦定理及基本不等式求出cos A 范围即可，D 根据余弦定理及基本不等式求出cos BAD ∠的最小值即可. 【详解】 对于A ，22413AB AC AD DB AD DB AD DB →→→→→→→→⎛⎫⎛⎫⋅=+-=-=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，AB AC →→∴⋅为定值，A 正确； 对于B ，cos cos ADC ADB∠=-∠2222222cos 2cos AC AB AD DC AD DC ADC AD DB AD DB ADB ∴+=+-⋅⋅∠++-⋅⋅∠2222AD DB DC =++ 2221110=⨯++=，故B 正确；对于C ，由余弦定理及基本不等式得224242122b c bc cosA bc bc bc+--=≥=-（当且仅当b c =时，等号成立）,由A 选项知cos 3bc A =，22cos cos 1133cos AA A∴≥-=-， 解得3cos 5A ≥，故C 错误； 对于D，2222213cos 44c c BAD c c +-+∠==≥=（当且仅当c =立），因为BAD ABD ∠<∠， 所以(0,)2BAD π∠∈，又cos BAD ∠≥BAD ∠的最大值30，D 选项正确. 故选：ABD 【点睛】本题主要考查了向量的数量积运算，余弦定理，基本不等式，考查了推理能力，属于难题.4．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且::4:5:6a b c =，则下列结论正确的是（ ）A ．sin :sin :sin 4:5:6ABC = B ．ABC 是钝角三角形C ．ABC 的最大内角是最小内角的2倍D ．若6c =，则ABC外接圆半径为7【答案】ACD 【分析】由正弦定理可判断A ；由余弦定理可判断B ；由余弦定理和二倍角公式可判断C ；由正弦定理可判断D. 【详解】解：由::4:5:6a b c =，可设4a x =，5b x =，6c x =，()0x >， 根据正弦定理可知sin :sin :sin 4:5:6A B C =，选项A 描述准确；由c 为最大边，可得2222221625361cos 022458a b c x x x C ab x x +-+-===>⋅⋅，即C 为锐角，选项B 描述不准确；2222222536163cos 22564b c a x x x A bc x x +-+-===⋅⋅，291cos 22cos 121cos 168A A C =-=⨯-==， 由2A ，C ()0,π∈，可得2A C =，选项C 描述准确；若6c =，可得2sin c R C===，ABC ，选项D 描述准确. 故选：ACD. 【点睛】本题考查三角形的正弦定理和余弦定理，二倍角公式，考查化简运算能力，属于中档题.5．函数()sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，则（ ） A ．函数()y f x =的图象可由函数sin 2y x =的图象向右平移4π个单位得到 B ．函数()y f x =的图象关于直线8x π=轴对称C ．函数()y f x =的图象关于点,08π⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称D ．函数2()y x f x =+在08π⎛⎫ ⎪⎝⎭，上为增函数 【答案】BCD 【分析】对四个选项，一一验证：对于选项A ，利用三角函数相位变化即可；对于选项B ，利用正弦函数的对称轴经过最高（低）点判断； 对于选项C ，利用正弦函数的对称中心直接判断； 对于选项D ，利用复合函数的单调性“同增异减”判断； 【详解】由题意，对于选项A ，函数sin 2y x =的图象向右平移4π个单位可得到()sin 2sin 2cos 242f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以选项A 错误；对于选项B ，sin 21884f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，取到了最大值，所以函数()y f x =的图象关于直线8x π=轴对称，所以选项B 正确；对于选项C ，08f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以函数()y f x =的图象关于点,08π⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称，所以选项C 正确；对于选项D ，函数2yx 在08π⎛⎫ ⎪⎝⎭，上为增函数，08x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，2442x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，，单调递增，所以函数2()y x f x =+在08π⎛⎫ ⎪⎝⎭，上为增函数，所以选项D 正确. 故选：BCD. 【点睛】(1)三角函数问题通常需要把它化为“一角一名一次”的结构，借助于sin y x =或cos y x =的性质解题；(2)求单调区间，最后的结论务必写成区间形式，不能写成集合或不等式．6．已知函数()1cos cos 632f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则以下说法中正确的是（ ） A ．()f x 的最小正周期为π B ．()f x 在7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 C ．51,62π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心 D ．()f x 的最大值为12【答案】ABC 【分析】利用三角恒等变换思想化简()11sin 2232f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，利用正弦型函数的周期公式可判断A 选项的正误，利用正弦型函数的单调性可判断B 选项的正误，利用正弦型函数的对称性可判断C 选项的正误，利用正弦型函数的有界性可判断D 选项的正误. 【详解】cos cos sin 3266x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 所以，()1111cos cos cos sin sin 2632662232f x x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=+++=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.对于A 选项，函数()f x 的最小正周期为22T ππ==，A 选项正确； 对于B 选项，当7,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，32232x πππ≤+≤， 此时，函数()f x 在7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，B 选项正确； 对于C 选项，5151111sin 2sin 262632222f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，51,62π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心，C 选项正确； 对于D 选项，()max 111122f x =⨯+=，D 选项错误.故选：ABC. 【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成()sin y A ωx φ=+形式，再求()sin y A ωx φ=+的单调区间，只需把x ωϕ+看作一个整体代入sin y x =的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数．7．已知函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，则（ ） A ．函数()f x 的最小正周期为π B ．()f x 的图像关于直线6x π=对称C ．()f x 的图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称 D ．()f x 在区间(0,)π上有两个零点【答案】ABD 【分析】借助于()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像及y =sin x 的性质，对ABCD 四个选项一一验证： 对于A ：利用2T πω=求周期；对于B ：利用图像观察，也可以根据()26f π=判断；对于C ：利用图像观察，也可以根据()13f π=否定结论；对于D ：利用图像观察，可以得到()f x 在区间(0,)π上有两个零点. 【详解】对于A ：函数()y f x =的周期222T πππω===故A 正确； 对于B ：∵ ()2sin 22666f πππ⎛⎫=⨯+= ⎪⎝⎭，∴()f x 的图像关于直线6x π=对称，故B 正确；对于C ：∵ 5()2sin 22sin 13366f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()f x 的图像不经过点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭，,03π⎛⎫⎪⎝⎭也不是其对称中心，故C 错误； 对于C ：由图像显然可以观察出，()f x 在区间(0,)π上有两个零点.也可以令()()00f x x π=<<，即2sin 206x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得：512x π=或1112π，故()f x 在区间(0,)π上有两个零点，故D 正确.故选：ABD 【点睛】三角函数问题通常需要把它化为“一角一名一次”的结构，即()sin y A x B ωϕ=++的结构：（1）画出图像，利用图像分析性质；（2）用t x ωϕ=+借助于sin y x =或cos y x =的性质解题.8．已知函数22()(sin cos )2cos f x x x x =++，则（ ） A ．()f x 的最小正周期是πB ．()f x 的图像可由函数()22g x x =+的图像向左平移8π个单位而得到 C ．4x π=是()f x 的一条对称轴D ．()f x 的一个对称中心是,08π⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】AB 【分析】首先化简函数()224f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再根据三角函数形式的公式，以及代入的方法判断选项. 【详解】()1sin 2cos 21224f x x x x π⎛⎫=+++=++ ⎪⎝⎭，A.函数的最小正周期22T ππ==，故A 正确；B.根据图象的平移变换规律，可知函数()22g x x =+的图像向左平移8π个单位而得到()222284f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 正确；C.当4x π=时，32444πππ⨯+=，不是函数的对称轴，故C 不正确； D.当8x π=-时，2084ππ⎛⎫⨯-+= ⎪⎝⎭，此时函数值是2，故函数的一个对称中心应是,28π⎛⎫- ⎪⎝⎭，故D 不正确. 故选：AB 【点睛】思路点睛：本题考查()sin y A ωx φ=+的解析式和性质的判断，可以整体代入验证的方法判断函数性质：（1）对于函数()sin y A ωx φ=+，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此判断直线0x x =或点()0,0x 是否是函数的对称轴和对称中心时，可通过验证()0f x 的值进行判断；（2）判断某区间是否是函数的单调区间时，也可以求x ωϕ+的范围，验证此区间是否是函数sin y x =的增或减区间.9．设函数()()sin f x A x =+ωϕ，x ∈R （其中0A >，0>ω，2πϕ<），在,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上既无最大值，也无最小值，且()026f f f ππ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列结论错误的是（ ）A ．若()()()12f x f x f x ≤≤对任意x ∈R ，则21min x x π-=B ．()y f x =的图象关于点,03π⎛-⎫⎪⎝⎭中心对称 C ．函数()f x 的单调减区间为()7,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ D ．函数()()y f x x R =∈的图象相邻两条对称轴之间的距离是2π【答案】ABD 【分析】根据条件先求函数的解析式，对于A:判断出()1f x 为最小值，()2f x 为最大值，即可； 对于B:根据函数的对称性进行判断；对于C:求出角的范围，结合三角函数的单调性进行判断；对于D:根据函数的对称性即对称轴之间的关系进行判断. 【详解】因为函数()f x 在,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上既无最大值，也无最小值，所以,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭是函数的一个单调区间，区间长度为263πππ-=，即函数的周期2233T ππ≥⨯=，即223ππω≥，则03ω<≤因为()06f f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以06212ππ+=为函数的一条对称轴；则1223πππωϕωϕπ+=+=①② 由①②解得：=2=3πωϕ，，即()sin 23f x A x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，函数的周期=T π. 对于A: 若()()()12f x f x f x ≤≤对任意x ∈R 恒成立，则()1f x 为最小值，()2f x 为最大值，所以12||22T k x x k π-==,则21x x -必为2π的整数倍，故A 错误，可选A; 对于B:3x π=-时，()sin 03f x A π⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭，故,03π⎛-⎫ ⎪⎝⎭不是()y f x =的对称中心，B 错误，可选B; 对于C:当7,1212x k k ππππ⎡⎤∈++⎢⎥⎣⎦时，322,2322x k k πππππ⎡⎤+∈++⎢⎥⎣⎦，此时()y f x =单调递减，C 正确，不选C;对于D: 函数()()y f x x R =∈的图象相邻两条对称轴之间的距离是44T π=,故D 错误，可选D 故选:ABD 【点睛】（1）求三角函数解析式的方法：①求A 通常用最大值或最小值；②(2)求ω通常用周期；③求φ通常利用函数上的点带入即可求解；（2）三角函数问题通常需要把它化为“一角一名一次”的结构，借助于sin y x =或cos y x =的性质解题.10．在ABC 中，下列说法正确的是（ ） A ．若A B >，则sin sin A B > B ．若2C π>，则222sin sin sin C A B >+C ．若sin cos A B <，则ABC 为钝角三角形D ．存在ABC 满足cos cos 0A B +≤【答案】ABC【分析】根据大角对大边，以及正弦定理，判断选项A ；利用余弦定理和正弦定理边角互化，判断选项B ；结合诱导公式，以及三角函数的单调性判断CD.【详解】A.A B >，a b ∴>，根据正弦定理sin sin a b A B =，可知sin sin A B >，故A 正确； B.2C π>，222cos 02a b c C ab +-∴=<，即222a b c +<，由正弦定理边角互化可知222sin sin sin C A B >+，故B 正确；C.当02A π<<时，sin cos cos cos 2A B A B π⎛⎫<⇔-< ⎪⎝⎭，即22A B A B ππ->⇒+<，即2C π>，则ABC 为钝角三角形，若2A π>，sin cos cos cos 2A B A B π⎛⎫<⇔-< ⎪⎝⎭，即22A B A B ππ->⇒>+成立，A 是钝角，当2A π=是，sin cos A B >，所以综上可知：若sin cos A B <，则ABC 为钝角三角形，故C 正确；D.A B A B ππ+<⇒<-，0,0A B πππ<<<-<，()cos cos cos A B B π∴>-=-，即cos cos 0A B +>，故D 不正确.故选：ABC【点睛】关键点点睛：本题考查判断三角形的形状，关键知识点是正弦定理和余弦定理，判断三角形形状，以及诱导公式和三角函数的单调性.。
高考数学一轮复习第四章三角函数与解三角形4-2同角三角函数的基本关系与诱导公式学案理
【2019最新】精选高考数学一轮复习第四章三角函数与解三角形4-2同角三角函数的基本关系与诱导公式学案理考纲展示►1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，＝tan x.2．能利用单位圆中的三角函数线推导出±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式．考点1 三角函数的诱导公式诱导公式(1)[教材习题改编]已知f(x)＝sin＋2sin－4cos 2x＋3cos，则f的值为( )A．0 B．1 C．－5 D．－9答案：C(2)[教材习题改编]已知cos α＝－，则sin＝________.答案：－35解析：sin＝cos α＝－.诱导公式的应用原则：负化正，大化小，化到锐角为终了．sin(－2 010°)的值是________．答案：12解析：sin(－2 010°)＝－sin 2 010°＝－sin(5×360°＋210°)＝－sin 210°＝－sin(180°＋30°)＝sin 30°＝.[典题1] (1)[2017·浙江台州中学高三月考]已知sin＝，则cos＝( )A. B．－ C. D．－13[答案] D[解析] 根据诱导公式可知，sin ＝－cos⇒cos＝－，故选D.(2)sin(－1 200°)cos 1 290°＋cos(－1 020°)sin(－1 050°)＝________.[答案] 1[解析] 原式＝－sin 1 200°cos 1 290°－cos 1 020°·sin 1 050°＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°)－cos(2×360°＋300°)sin(2×360°＋330°)＝－sin 120°cos 210°－cos 300°sin 330°＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)·sin(360°－30°)＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝×＋×＝1.(3)设f(α)＝，其中1＋2sin α≠0，则f＝________.[答案] 3[解析] ∵f(α)＝－2sin α－cos α＋cos α1＋sin2α＋sin α－cos2α＝＝＝， ∴f ＝＝1tan ⎝⎛⎭⎪⎫－4π＋π6 ＝＝.[点石成金] 利用诱导公式化简三角函数的基本思路和化简要求：(1)基本思路：①分析结构特点，选择恰当公式；②利用公式化成单角三角函数；③整理得最简形式．(2)化简要求：①化简过程是恒等变形；②结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值．考点2 同角三角函数的基本关系同角三角函数的基本关系式(1)平方关系sin2α＋cos2α＝________；(2)商数关系 tan α＝. 答案：(1)1(1)[教材习题改编]已知cos α＝，且α是第四象限角，则sin α的值为________． 答案：－513解析：由于α是第四象限角，故sin α＝－＝－.(2)[教材习题改编]已知tan α＝－2，则＝________.答案：－21.基本关系式的误区：公式形式误区；角的范围误区．下列命题正确的有________．(填序号)①若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1；②若α∈R，则tan α＝恒成立；③sin2α＋cos2α＝sin2θ＋cos2θ.答案：③解析：①只有当α＝β时，才有sin2α＋cos2β＝1；②因为cos α≠0，则α≠＋kπ，k∈Z；③根据平方关系式，可得③正确．2．诱导公式应用的常见两种错误：符号；函数名．(1)若sin(3π＋θ)＝，则sin θ＝________.(2)若cos＝m，则sin α＝________.答案：(1)－(2)－m解析：(1)先应用诱导公式一，得sin(3π＋θ)＝sin(2π＋π＋θ)＝sin(π＋θ)；再应用公式二，得sin(π＋θ)＝－sin θ，故sin θ＝－.(2)因为＋α可看作是第二象限角，所以cos＝－sin α，故sin α＝－m.有关结论．(1)＝________.答案：cos2α解析：由sin2α＋cos2α＝1和＝tan α，得tan2αcos2α＋cos2α＝1，故＝cos2α.(2)＝________.答案：|sin α－cos α|解析：因为1－sin 2α＝sin2α＋cos2α－2sin αcos α＝(sin α－cos α)2，所以＝|sin α－cos α|.[典题2] (1)[2017·甘肃兰州诊断]已知sin(π－α)＝log8 ，且α∈，则tan(2π－α)的值为( ) A ．－ B. C ．± D.52[答案] B[解析] sin(π－α)＝sin α＝log8 ＝－，又因为α∈， 则cos α＝＝，所以tan(2π－α)＝tan(－α)＝－tan α＝－＝.(2)已知sin α＋cos α＝，且0＜α＜π，则tan α＝________.[答案] －43[解析] 解法一：联立方程 由①得cos α＝－sin α，将其代入②，整理得25sin2α－5sin α－12＝0.∵α是三角形的内角，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝45，cos α＝－35，∴tan α＝－.解法二：∵sin α＋cos α＝，∴(sin α＋cos α)2＝2， 即1＋2sin αcos α＝， ∴2sin αcos α＝－，∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋＝.∵sin αcos α＝－＜0且0＜α＜π，∴sin α＞0，cos α＜0，∴sin α－cos α＞0. ∴sin α－cos α＝.由⎩⎪⎨⎪⎧ sin α＋cos α＝15，sin α－cos α＝75，得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝45，cos α＝－35，∴tan α＝－.[题点发散1] 保持本例(2)中条件不变，求：(1)；(2)sin2α＋2sin αcos α的值．解：由母题，可知tan α＝－. (1)＝tan α－45tan α＋2＝＝.(2)sin2α＋2sin αcos α＝sin2α＋2sin αcos αsin2α＋cos2α＝＝＝－.[题点发散2] 若本例(2)中条件变为“＝5”，求tan α的值．解：解法一：由＝5，得 tan α＋33－tan α＝5，即tan α＝2.解法二：由＝5，得sin α＋3cos α＝15cos α－5sin α，∴6sin α＝12cos α，即tan α＝2. [题点发散3] 若本例(2)中的条件和结论互换：已知α是三角形的内角，且tanα＝－，求 sin α＋cos α的值．解：由tan α＝－，得sin α＝－cos α，将其代入 sin2α＋cos2α＝1，得cos2α＝1，∴cos2α＝，易知cos α＜0，∴cos α＝－，sin α＝，故 sin α＋cos α＝－.[点石成金] 同角三角函数基本关系式的应用技巧A. B.53C. D．－2答案：A解析：3sin α＋cos α＝0⇒cos α≠0⇒tan α＝－，1cos2α＋2sin αcos α＝cos2α＋sin2αcos2α＋2sin αcos α＝＝＝.2．[2017·四川雅安模拟]已知sin θ＋cos θ＝，θ∈，则sin θ－cos θ 的值为( )A. B.13 C ．－ D ．－13 答案：C解析：由题意，知(sin θ＋cos θ)2＝， ∴1＋2sin θcos θ＝，∴2sin θcos θ＝， 由(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝1－＝， 可得sin θ－cos θ＝±. 又∵θ∈，sin θ<cos θ， ∴sin θ－cos θ＝－.考点3 巧用相关角的关系解题[典题3] (1)已知cos ＝a(|a|≤1)，则cos ＋sin 的值是________．[答案] 0[解析] 由题意知，cos ＝cos ＝－cos ＝－a.sin ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝cos ＝a ， ∴cos ＋sin ＝0.(2)已知sin ＝，则cos ＝________.[答案]12[解析] ∵＋＝，∴cos ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝sin ＝.[点石成金] 巧用相关角的关系会简化解题过程．常见的互余关系有－α与＋α；＋α与－α；＋α与－α等，常见的互补关系有＋θ与－θ；＋θ与－θ等.1.已知sin ＝，则cos ＝________.答案：－解析：cos ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫11π12－α ＝cos ＝－cos ， 而sin ＝sin ＝cos ＝，所以cos ＝－.2．若tan(π＋α)＝－，则tan(3π－α)＝________.答案：12解析：因为tan(π＋α)＝tan α＝－，所以tan(3π－α)＝tan(π－α)＝－tan α＝.[方法技巧] 1.同角三角函数基本关系可用于统一函数．诱导公式主要用于统一角，其主要作用是进行三角函数的求值、化简和证明，如已知一个角的某一三角函数值，求这个角的其他三角函数值时，要特别注意平方关系的使用．2．三角函数求值与化简的常用方法(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝化成正、余弦．(2)和积转换法：利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化．(3)巧用“1”的变换：1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝tan ＝… [易错防范] 1.利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤为：去负—脱周—化锐．2．在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号．3．注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化．真题演练集训1．[2016·新课标全国卷Ⅲ]若tan α＝，则cos2α＋2sin 2α＝( )A. B. C ．1D.1625答案：A解析：解法一：由tan α＝＝，cos2α＋sin2α＝1，得或⎩⎨⎧sin α＝－35，α＝－45，则sin 2α＝2sin αcos α＝， 则cos2α＋2sin 2α＝＋＝.解法二：cos2α＋2sin 2α＝cos2α＋4sin αcos αcos2α＋sin2α＝＝＝.2．[2014·大纲全国卷]设a ＝sin 33°，b ＝cos 55°，c ＝tan 35°，则( )A ．a>b>cB ．b>c>aC ．c>b>aD ．c>a>b答案：C解析：∵a＝sin 33°，b ＝cos 55°＝sin 35°，c ＝tan 35°＝， 又0<cos 35°<1，∴c>b>a.3．[2015·四川卷]已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos2α的值是________． 答案：－1解析：由sin α＋2cos α＝0，得tan α＝－2. 所以2sin αcos α－cos2α＝2sin αcos α－cos2αsin2α＋cos2α＝＝＝－1.课外拓展阅读精品- 11 - / 11 分类讨论思想在三角函数求值化简中的应用[典例] (1)已知A ＝＋(k∈Z)，则A 的值构成的集合是( )A ．{1，－1,2，－2}B ．{－1,1}C ．{2，－2}D ．{1，－1,0,2，－2} (2)在△ABC 中，若sin(2π－A)＝－sin(π－B)，cos A ＝－cos(π－B)，则C＝________.[思路分析] (1)角中有整数k ，应对k 是奇数还是偶数进行讨论；(2)利用同角三角函数基本关系式的平方关系时，要对开方的结果进行讨论．[解析] (1)当k 为偶数时，A ＝＋＝2；当k 为奇数时，A ＝－＝－2.所以A 的值构成的集合是{2，－2}．(2)由已知，得{sin A ＝2sin B ，3cos A ＝2cos B ，② ①2＋②2，得2cos2A ＝1，即cos A ＝±，当cos A ＝时，cos B ＝，又A ，B 是三角形的内角，所以A ＝，B ＝，所以C ＝π－(A ＋B)＝.当cos A ＝－时，cos B ＝－.又A ，B 是三角形的内角，所以A ＝，B ＝，不合题意．综上，C ＝.[答案] (1)C (2)7π12温馨提示(1)本题在三角函数的求值化简过程中，体现了分类讨论思想，即使讨论的某种情况不合题意，也不能省略讨论的步骤；(2)三角形中的三角函数问题，要注意隐含条件的挖掘以及三角形内角和定理的应用．。
第4章第四章三角函数、解三角形第2节同角三角函数的基本关系式与诱导公式课件 高考数学一轮复习
cos2α＝1－sin2α. 4. 同角三角函数的基本关系本身是恒等式，也可以看作是方程，对
于一些题，可利用已知条件，结合同角三角函数的基本关系列方程组， 通过解方程组达到解决问题的目的．
第四章 三角函数、解三角形
第二节 同角三角函数的基本关系式与诱导公式
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学习目标 核心体系 活动方案 备用题
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学习目标 1. 能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α 的正弦、 余弦、正切的诱导公式.2. 理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋ cos2α＝1，csoinsαα＝tanα.3. 能利用同角三角函数的基本关系式及三角函 数的诱导公式进行求值、化简、证明．
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诱导公式第一类π2的偶数倍：－α、π±α 第二类π2的奇数倍：π2±α、32π±α 平方关系：sin2α＋cos2α＝1
同角关系商数关系：csoinsαα＝tanα
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活动一 基础训练
1. (2023贵溪实验中学高三校考)设sin23°＝m，则tan67°等于( )
A. －
【解析】 因为 θ∈0，π2，所以 sinθ>0，cosθ>0.因为 tanθ＝csoinsθθ＝12， 所以 cosθ＝2sinθ，所以 cos2θ＋sin2θ＝4sin2θ＋sin2θ＝5sin2θ＝1，解得 sinθ
＝
55或
sinθ＝－
55(舍去)，所以
sinθ－cosθ＝sinθ－2sinθ＝－sinθ＝－
【答案】 D
2019-2020年高考数学大一轮总复习 第四章 三角函数与解三角形同步训练 理
2019-2020年高考数学大一轮总复习 第四章 三角函数与解三角形同步训练 理A 级训练(完成时间：15分钟)1.给出下列命题，其中正确的是( )(1)弧度角与实数之间建立了一一对应；(2)终边相同的角必相等；(3)锐角必是第一象限角；(4)小于90°的角是锐角；(5)第二象限角必大于第一象限角．A ．(1)B ．(1)(2)(5)C ．(3)(4)(5)D ．(1)(3)2.(xx·全国大纲)已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α＝( )A.45B.35C ．－35D ．－453.若420°角的终边所在直线上有一点(－4，a )，则a 的值为( )A ．4 3B ．－43C ．±4 3 D.34.若角α、β的终边关于y 轴对称，则α、β的关系一定是(其中k ∈Z )( )A ．α＋β＝πB ．α－β＝π2C ．α－β＝(2k ＋1)πD ．α＋β＝(2k ＋1)π 5.若θ为第一象限角，则能确定为正值的是( )A ．sin θ2B ．cos θ2C ．tan θ2D ．cos2θ 6.将－1485°化为2k π＋α(0≤α＜2π，k ∈Z )的形式是____________________．7.半径为12 cm 的圆中，弧长为8π cm 的弧，其所对的圆心角为α，则与α终边相同的角的集合为__________________________．8.集合A ＝{x |k π＋π4≤x ＜k π＋π2，k ∈Z }，集合B ＝{x |－2≤x ≤3}，求A ∩B .B 级训练(完成时间：20分钟)1.[限时2分钟，达标是( )否( )]下列说法正确的是( )A ．第二象限的角比第一象限的角大B ．若sin α＝12，则α＝π6C ．三角形的内角是第一象限角或第二象限角D ．不论用角度制还是弧度制度量一个角，它们与扇形所对应的半径的大小无关2.[限时2分钟，达标是( )否( )]下列各组角中，终边相同的角是( )A.k 2π与k π＋π2(k ∈Z ) B ．k π±π3与k 3π(k ∈Z ) C ．(2k ＋1)π与(4k ±1)π(k ∈Z )D ．k π＋π6与k π±π6(k ∈Z ) 3.[限时2分钟，达标是( )否( )]已知0≤α≤2π，点P (sin α－cos α，tan α)在第一象限，则α的取值范围是__________________________．4.[限时2分钟，达标是( )否( )]在直径为10 cm 的轮上有一长为6 cm 的弦，P 是该弦的中点，轮子以每秒5弧度的速度旋转，则经过5秒后点P 转过的弧长是 100 cm.5.[限时2分钟，达标是( )否( )]如图所示，终边落在直线y ＝3x 上的角的集合为____________________．6.[限时5分钟，达标是( )否( )]解答下列问题：(1)若θ在第四象限，试判断sin(cos θ)·cos(sin θ)的符号；(2)若tan(cos θ)·tan(sin θ)＞0，试指出θ所在象限，并用图形表示出θ2所取的范围．7.[限时5分钟，达标是( )否( )]一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个单位圆(半径为1的圆)上爬动，若两只蚂蚁均从点A (1,0)同时逆时针匀速爬动，若红蚂蚁每秒爬过α角，黑蚂蚁每秒爬过β角(其中0°＜α＜β＜180°)，如果两只蚂蚁都在第14秒时回到A 点，并且在第2秒时均位于第二象限，求α，β的值．C 级训练(完成时间：8分钟)1.[限时3分钟，达标是( )否( )]如图，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从A 出发在圆上按逆时针方向转一周，点P所旋转过的弧AP 的长为l ，弦AP 的长为d ，则函数d ＝f (l )的图象大致为( )2.[限时5分钟，达标是( )否( )] 已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点P (－32，12)． (1)求sin2α－tan α的值；(2)若函数f (x )＝cos(x －α)cos α－sin(x －α)sin α，求函数y ＝3f (π2－2x )－2f 2(x )的最大值及对应的x 的值．第2讲 同角三角函数基本关系式及诱导公式A 级训练(完成时间：10分钟)1.若tan α＝2，则2sin α－cos αsin α＋2cos α的值为( ) A ．0 B.34 C ．1 D.542.α是第四象限角，tan α＝－512，则sin α＝( ) A.15 B ．－15C.513 D ．－5133.cos(－174π)－sin(－174π)的值是( ) A. 2 B ．－2C ．0 D.224.若sin α＋sin 2α＝1，则cos 2α＋cos 4α的值是 1 .5.若f (cos x )＝cos3x ，则f (sin30°)的值为 －1 .6.求证：tan 2π－αsin －2π－αcos 6π－αcos α－πsin 5π＋α＝tan α.求sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 290°的值．B 级训练(完成时间：15分钟)1.[限时2分钟，达标是( )否( )](xx·全国大纲)设a ＝sin 33°，b ＝cos 55°，c ＝tan 35°，则( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞c ＞aC ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞b 2.[限时2分钟，达标是( )否( )] 使1－cos α1＋cos α＝cos α－1sin α成立的α值的范围是( ) A ．2k π－π＜α＜2k π(k ∈Z )B ．2k π－π≤α≤2k π(k ∈Z )C ．2k π＋π＜α＜2k π＋32π(k ∈Z ) D ．只能是第三或第四象限角3.[限时2分钟，达标是( )否( )]已知cos(π2＋φ)＝32，且|φ|<π2，则tan φ＝( ) A ．－33 B.33C ．－ 3 D.34.[限时2分钟，达标是( )否( )]已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cosπx x ≤0f x －1＋1 x ＞0，则f (43)的值为__________． 5.[限时2分钟，达标是( )否( )]si n(π＋π6)sin(2π＋π6)sin(3π＋π6)…sin(xxπ＋π6)的值等于__________． 6.[限时5分钟，达标是( )否( )]已知sin(π＋α)＝－13.计算： (1)cos(α－3π2)；(2)sin(π2＋α)；(3)tan(5π－α)．C 级训练(完成时间：7分钟)1.[限时3分钟，达标是( )否( )]已知sin α＋cos α＝－15(0≤α≤π)，则tan α＝__________. 2.[限时4分钟，达标是( )否( )]已知A 、B 、C 是三角形的内角，3sin A ，－cos A 是方程x 2－x ＋2a ＝0的两根．(1)求角A ；(2)若1＋2sin B cos Bcos2B－sin2B＝－3，求tan B.第3讲三角函数的图象与性质A 级训练(完成时间：10分钟)1.设α，β∈(－π2，π2)，那么“α＜β”是“tan α＜tan β”的( ) A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2.下列函数中，周期为π2的是( ) A ．y ＝sin x 2B ．y ＝sin2xC ．y ＝cos x 4D ．y ＝cos4x 3.设M 和m 分别表示函数y ＝13cos x －1的最大值和最小值，则M ＋m 等于 －2 . 4.sin x ＞0，x ∈[0,2π]的解集是 (0，π) .5.函数y ＝sin (2x ＋π3)的图象的对称中心为 ；对称轴为__________________．6.(1)求函数y ＝2sin 2x ＋cos x －1的定义域．(2)求函数y ＝3sin x ＋1sin x ＋2的值域．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π＜φ＜0)，且其图象的一条对称轴是直线x ＝π8， (1)求φ的值；(2)求函数f (x )的单调递增区间．B 级训练(完成时间：15分钟)1.[限时2分钟，达标是( )否( )]函数f (x )＝sin(πx ＋π2)，x ∈[－1,1]，则( ) A ．f (x )为偶函数，且在[0,1]上单调递减B ．f (x )为偶函数，且在[0,1]上单调递增C ．f (x )为奇函数，且在[－1,0]上单调递增D ．f (x )为奇函数，且在[－1,0]上单调递减2.[限时2分钟，达标是( )否( )]函数f (x )＝tan(ωx －π4)与函数g (x )＝sin(π4－2x )的最小正周期相同，则ω＝( ) A ．±1 B ．1C ．±2D ．23.[限时2分钟，达标是( )否( )]定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数．若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈[0，π2]时，f (x )＝sin x ，则f (5π3)的值为( ) A ．－12 B.12C ．－32 D.324.[限时2分钟，达标是( )否( )]已知函数y ＝sin πx 3在区间[0，t ]上至少取得2次最大值，则正整数t 的最小值是( ) A ．6 B ．7C ．8D ．95.[限时3分钟，达标是( )否( )]给出下列命题：①函数y ＝cos(23x ＋π2)是奇函数； ②存在实数α，使得sin α＋cos α＝32；③若α、β是第一象限角且α＜β，则tan α＜tan β；④x ＝π8是函数y ＝sin(2x ＋5π4)的一条对称轴方程； ⑤函数y ＝sin(23x ＋π2)的图象关于点(π12，0)成中心对称图形． 其中正确的序号为( )A ．①③B ．②④C ．①④D ．④⑤6.[限时4分钟，达标是( )否( )]已知函数f (x )＝tan(13x －π6)． (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (3π2)的值； (3)设f (3α＋7π2)＝－12， 求sin π－α＋cos α－π2sin α＋π4的值．C 级训练(完成时间：7分钟)1.[限时3分钟，达标是( )否( )](xx·全国大纲)若函数f (x )＝cos 2x ＋a sin x 在区间(π6，π2)是减函数，则a 的取值范围是 (－∞，2] .2.[限时4分钟，达标是( )否( )]设函数f (x )＝32sin 2ωx ＋cos 2ωx ，其中0<ω<2.(1)若f (x )的最小正周期为π，求f (x )的单调增区间；(2)若函数f (x )的图象的一条对称轴为x ＝π3，求ω的值．第4讲 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用A 级训练(完成时间：10分钟) 1.将函数y ＝sin x 的图象向右平移π3个单位，所得图象的函数解析式是( )A ．y ＝sin x ＋π3B ．y ＝sin x －π3C ．y ＝sin(x －π3)D ．y ＝sin(x ＋π3)2.将函数y ＝sin x 的图象上每点的横坐标缩小为原来的12(纵坐标不变)，再把所得图象向左平移π6个单位，得到的函数解析式为( )A ．y ＝sin(2x ＋π6)B ．y ＝sin(2x ＋π3)C ．y ＝sin(x 2＋π6)D ．y ＝sin(x 2＋π12)3.函数y ＝－52sin(4x ＋23π)的图象与x 轴各个交点中离原点最近的一点是( )A ．(π12，0)B ．(－π12，0)C ．(－π6，0)D ．(π6，0)4.如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O 的距离y cm 和时间t (s)的函数关系式为y ＝6sin(2πt ＋π6)，那么单摆来回摆动一次所需的时间为( )A ．2π sB ．π sC ．0.5 sD ．1 s5.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0)在闭区间[－π，0]的图象如图所示，则ω＝ 3 .6.方程cos 2x ＝x 的实根的个数为 1 个．7.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋b (ω＞0，|φ|＜π2)的图象的一部分如图所示：(1)求f (x )的表达式；(2)试写出f (x )的对称轴方程．B 级训练(完成时间：18分钟)1.[限时2分钟，达标是( )否( )]已知函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)(x ∈R ，ω＞0)的最小正周期为π，将y ＝f (x )的图象向左平移|φ|个单位长度，所得图象关于y 轴对称，则φ的一个值是( )A.π2B.3π8C.π4D.π82.[限时2分钟，达标是( )否( )]若动直线x ＝a 与函数f (x )＝sin x 和g (x )＝cos x 的图象分别交于M ，N 两点，则|MN |的最大值为( )A ．1 B.2 C. 3 D ．23.[限时2分钟，达标是( )否( )] (xx·浙江)为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图象，可以将函数y ＝2cos 3x 的图象( )A ．向右平移π4个单位B ．向左平移π4个单位C ．向右平移π12个单位D ．向左平移π12个单位4.[限时2分钟，达标是( )否( )](xx·辽宁)将函数y ＝3sin2x ＋π3的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数( )A ．在区间π12，7π12上单调递减B ．在区间π12，7π12上单调递增C ．在区间－π6，π3上单调递减D ．在区间－π6，π3上单调递增5.[限时2分钟，达标是( )否( )]设函数f (x )＝sin(2x ＋π3)，则下列结论正确的是( )A ．f (x )的图象关于直线x ＝π3对称B ．f (x )的图象关于点(π4，0)对称C ．把f (x )的图象向左平移π12个单位，得到一个偶函数的图象D ．f (x )的最小正周期为π，且在[0，π6]上为增函数6.[限时2分钟，达标是( )否( )](xx·江苏)已知函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ＜π)，它们的图象有一个横坐标为π3的交点，则φ的值是________．7.[限时2分钟，达标是( )否( )]若函数f (x )＝2sin ωx (ω＞0)在[－2π3，2π3]上单调递增，则ω的最大值为________．8.[限时4分钟，达标是( )否( )]函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的一段图象如图所示．(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移π4个单位，得到y ＝g (x )的图象，求直线y ＝6与函数y＝f (x )＋g (x )的图象在(0，π)内所有交点的坐标．C 级训练(完成时间：7分钟)1.[限时3分钟，达标是( )否( )]已知函数f (x )＝πcos(x 4＋π3)，如果存在实数x 1、x 2，使得对任意实数x ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)，则|x 1－x 2|的最小值是________．2.[限时4分钟，达标是( )否( )] 观察下列等式：①cos2α＝2cos 2α－1；②cos4α＝8cos 4α－8cos 2α＋1；③cos6α＝32cos 6α－48cos 4α＋18cos 2α－1；④cos8α＝128cos 8α－256cos 6α＋160cos 4α－32cos 2α＋1；⑤cos10α＝m cos 10α－1280cos 8α＋1120cos 6α＋n cos 4α＋p cos 2α－1；可以推测，m －n ＋p ＝ 962 .第5讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式A 级训练(完成时间：10分钟)1.已知sin α＝23，则cos(π－2α)＝( )A ．－53B ．－19C.19D.532.计算sin105°＝( )A ．－6－24 B.6－24C ．－6＋24 D.6＋243.若cos α＝－45，α是第三象限角，则sin(α＋π4)＝( )A ．－7210 B.7210C ．－210 D.2104.已知α为第二象限角，sin α＝35，则tan2α＝__________.5.已知sin α＋2cos α＝0，则sin2α＋cos2α＝__________.6.计算：2cos 2α－12tan π4－α·sin 2π4＋α.7.已知tan α＝17，tan β＝13，并且α，β均为锐角，求α＋2β的值．B 级训练(完成时间：27分钟)1.[限时2分钟，达标是( )否( )]已知f (x )＝3cos2x ＋2sin x cos x ，则f (13π6)＝( )A. 3 B ．－3 C.32 D ．－322.[限时2分钟，达标是( )否( )]已知tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝5，则tan2α＝________. 3.[限时2分钟，达标是( )否( )]已知α为锐角，且cos(α＋π4)＝35，则sin α＝ .4.[限时5分钟，达标是( )否( )]已知函数f (x )＝2sin(πx 6＋π3)(0≤x ≤5)，点A 、B 分别是函数y ＝f (x )图象上的最高点和最低点．(1)求点A ，B 的坐标以及OA →·OB →的值；(2)设点A ，B 分别在角α、β的终边上，求tan(α－2β)的值．[限时5分钟，达标是( )否( )]已知函数f (x )＝A sin(x ＋φ)(A ＞0,0＜φ＜π)，x ∈R 的最大值是1，其图象经过点M (π3，12)．(1)求f (x )的解析式；(2)已知α，β∈(0，π2)，且f (α)＝35，f (β)＝1213，求f (α－β)的值．6.[限时5分钟，达标是( )否( )] 已知函数f (x )＝a sin x ·cos x －3a cos 2x ＋32a ＋b (a ＞0)． (1)求函数f (x )的单调递减区间；(2)设x ∈[0，π2]，f (x )的最小值是－2，最大值是3，求实数a ，b 的值．7.[限时6分钟，达标是( )否( )](xx·广东)已知函数f (x )＝A sin(x ＋π4)，x ∈R ，且f (5π12)＝32.(1)求A 的值；(2)若f (θ)＋f (－θ)＝32，θ∈(0，π2)，求f (3π4－θ)．C 级训练(完成时间：8分钟)1.[限时3分钟，达标是( )否( )]已知α为第三象限角，cos2α＝－35，则tan(π4＋2α)＝__________.2.[限时5分钟，达标是( )否( )]已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)(x ∈R )的部分图象如图所示．(1)求f(x)的表达式；(2)设g(x)＝f(x)－3f(x＋π4)，求函数g(x)的最小值及相应的x的取值集合．第6讲正弦定理与余弦定理A 级训练(完成时间：15分钟)1.设a 、b 、c 分别为△ABC 中∠A 、∠B 和∠C 的对边，则△ABC 的面积为( ) A.12ab sin A B.12ab sin B C.12ab sin C D.12ab cos C 2.△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若a 2＋b 2＜c 2，则△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．锐角或直角三角形3.在△ABC 中，∠A ＝π3，AB ＝2，且△ABC 的面积为32，则边AC 的长为( )A ．1 B.3 C ．2 D ．34.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若A ＝135°，B ＝15°，c ＝1，则三边中最大边长为________．5.在△ABC ，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，c ＝3，A ＝45°，则角C ＝ 60°或120° .6.已知：在△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边．求证：a sin A ＝b sin B ＝csin C.若a ，b ，c 是△ABC 中A ，B ，C 的对边，A 、B 、C 成等差数列，a ，b ，c 成等比数列，试判断△ABC 的形状．B 级训练(完成时间：18分钟)1.[限时2分钟，达标是( )否( )]在△ABC 中，若∠A ＝512π，∠B ＝14π，AB ＝62，则AC ＝( )A. 3 B ．23 C ．3 3 D ．432.[限时2分钟，达标是( )否( )](xx·天津)在△ABC 中，∠ABC ＝π4，AB ＝2，BC ＝3，则sin ∠BAC ＝( )A.1010B.105C.31010D.553.[限时2分钟，达标是( )否( )]在△ABC 中，面积S ＝a 2－(b －c )2，则cos A ＝( ) A.817 B.1517 C.1315 D.13174.[限时2分钟，达标是( )否( )]在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、C 、若(3b －c )cos A ＝a cos C ，则cos A ＝__________.5.[限时5分钟，达标是( )否( )] (xx·全国)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝ac .(1)求B ；(2)若sin A sin C ＝3－14，求C .6.[限时5分钟，达标是( )否( )]已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足3sin C cos C －cos 2C ＝12.(1)求角C ；(2)若向量m ＝(1，sin A )与n ＝(2，sin B )共线，且c ＝3，求a 、b 的值．C 级训练(完成时间：12分钟)1.[限时6分钟，达标是( )否( )](xx·浙江)△ABC 中，∠C ＝90°，M 是BC 的中点，若sin ∠BAM ＝13，则sin ∠BAC ＝____________.2.[限时6分钟，达标是( )否( )] (xx·湖南)如图，在平面四边形ABCD 中，DA ⊥AB ，DE ＝1，EC ＝7，EA ＝2，∠ADC ＝2π3，∠BEC ＝π3.(1)求sin ∠CED 的值； (2)求BE 的长．第7讲 解三角形应用举例A级训练(完成时间：15分钟)1.若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A在点B 的()A．北偏东15°B．北偏西15°C．北偏东10°D．北偏西10°2.两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都是5海里，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为() A．5海里B．10海里C．52海里D．53海里3.台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，则B城市处于危险区内的时间为() A．0.5小时B．1小时C．1.5小时D．2小时4.在相距2千米的A、B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A、C两点之间的距离为__________千米．5.假设甲、乙、丙三镇两两之间的距离皆为20公里，两条笔直的公路交于丁镇，其中一条通过甲、乙两镇，另一条通过丙镇．现在一比例精确的地图上量得两公路的夹角为45°，则丙、丁两镇间的距离为________公里．6.如图，在海中一灯塔D的周围有两个观察站A和C.已知观察站A在灯塔D的正北5海里处，观察站C在灯塔D的正西方．海面上有一船B，在A点测得其在南偏西60°方向4海里处，在C点测得其在北偏西30°方向上．(1)求两观测点A与C的距离；(2)设∠BCA＝θ，求cos(θ－45°)．B级训练(完成时间：15分钟)1.[限时2分钟，达标是()否()]事故救护船A在基地的北偏东60°，与基地相距1003海里，渔船B被困海面，已知B 距离基地100海里，而且在救护船A正西方，则渔船B与救护船A的距离是() A．100海里B．200海里C．100海里或200海里D．1003海里2.[限时3分钟，达标是()否()]如图，某船在海上航行中遇险发出呼救信号，我海上救生艇在A 处获悉后，立即测出该船在方位角45°方向，相距10海里的C 处，还测得该船正沿方位角105°的方向以每小时9海里的速度行驶，救生艇立即以每小时21海里的速度前往营救，则救生艇与呼救船在B 处相遇所需的最短时间为( )A.15小时B.13小时 C.25小时 D.23小时 3.[限时2分钟，达标是( )否( )]为了测量塔AB 的高度，先在塔外选择和塔脚在一条水平直线上的三点C 、D 、E ，测得仰角分别为θ、2θ、4θ，CD ＝30 m ，DE ＝10 3 m ，则θ＝ 15° ，塔高AB ＝ 15 m .4.[限时3分钟，达标是( )否( )]如图，在塔底B 测得山顶C 的仰角为60°，在山顶C 测得塔顶A 的俯角为45°，已知塔高AB ＝20 m ，求山高CD .5.[限时5分钟，达标是( )否( )]某测量员做地面测量，目标A 与B 相距3千米，从B 处测得目标C 在B 的北偏西60°的方向上，从A 处测得C 在A 的正北方向，他从A 向C 前进2千米到达D 处时，发现B 、D 两处也相距2千米，试求A 与C 的距离．C 级训练(完成时间：10分钟)1.[限时3分钟，达标是( )否( )] (xx·四川)如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46 m ，则河流的宽度BC 约等于 60 m ．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin 67°≈0.92，cos 67°≈0.39，sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，3≈1.73)2.[限时7分钟，达标是( )否( )]某单位有A 、B 、C 三个工作点，需要建立一个公共无线网络发射点O ，使得发射点到三个工作点的距离相等．已知这三个工作点之间的距离分别为AB ＝80 m ，BC ＝70 m ，CA ＝50 m ．假定A 、B 、C 、O 四点在同一平面内．(1)求∠BAC 的大小；(2)求点O 到直线BC 的距离．第四章 三角函数与解三角形第1讲 任意角、弧度制及任意角的三角函数【A 级训练】1．D 解析：因为角的弧度制是与实数一一对应的，第一个命题正确；终边相同的角有无数个，它们的关系可能相等，也可能不等；锐角一定是第一象限角，但第一象限角不一定是锐角；小于90°的角可能是负角；象限角不能比较大小．所以(1)(3)的说法是正确的．2．D 解析：直接利用任意角的三角函数的定义求解．因为角α的终边经过点(－4,3)，所以x ＝－4，y ＝3，r ＝5，所以cos α＝x r ＝－45.3．B 解析：由三角函数的定义，有tan420°＝a－4.因为tan420°＝tan(360°＋60°)＝tan60°＝3，所以a－4＝3，所以a ＝－4 3.4．D 解析：因为α，β角的终边关于y 轴对称，所以α＋β2＝π2＋k π，(k ∈Z )，即α＋β＝π＋2k π，(k ∈Z )．5．C 解析：因为2k π＜θ＜2k π＋π2(k ∈Z )，所以k π＜θ2＜k π＋π4(k ∈Z )，4k π＜2θ＜4k π＋π(k ∈Z )．可知θ2是第一、第三象限角，sin θ2、cos θ2都可能取负值，只有tan θ2能确定为正值.2θ是第一、第二象限角，cos2θ可能取负值．6．－10π＋7π4 解析：－1485°＝－1485×π180＝－33π4＝－10π＋7π4.7．{β|β＝2k π＋2π3，k ∈Z } 解析：因为圆心角α＝8π12＝2π3，所以与α终边相同的角的集合为{β|β＝2k π＋2π3，k ∈Z }．8．解析：对k π＋π4≤x ＜k π＋π2，取k ＝0，有π4≤x ＜π2，取k ＝－1，有－3π4≤x ＜－π2.当k 取其他值时，[k π＋π4，k π＋π2)与[－2,3]没有公共元素．故A ∩B ＝{x |－2≤x ＜－π2或π4≤x ＜π2}．【B 级训练】 1．D 解析：排除法可解．第一象限角370°不小于第二象限角100°，故A 错误；当sin α＝12时，也可能α＝5π6，所以B 错误；当三角形内角为π2时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故C 错误．2．C 解析：由于k 2π表示π2的整数倍，而k π＋π2＝(2k ＋1)π2表示π2的奇数倍，故这两个角不是终边相同的角，故A 不满足条件．由于k π±π3＝(3k ±1)π3表示π3的非3的整数倍，而k π3表示π3的整数倍，故这两个角不是终边相同的角，故B 不满足条件．(2k ＋1)π表示π的奇数倍，(4k ±1)π也表示π的奇数倍，故(2k ＋1)π与(4k ±1)π(k ∈Z )是终边相同的角，故C 满足条件．k π＋π6＝6k ＋1π6，表示π6的(6k ＋1)倍，而k π±π6＝表示π6的6k ±1倍，故这两个角不是终边相同的角，故D 不满足条件．3．{α|π4＜α＜π2或π＜α＜5π4}解析：由已知，点P (sin α－cos α，tan α)在第一象限，可得：sin α＞cos α，tan α＞0，所以π4＋2k π＜α＜π2＋2k π或π＋2k π＜α＜5π4＋2k π，k ∈Z .因为0≤α≤2π，所以π4＜α＜π2或π＜α＜5π4. 4．100 解析：如图，连接OP 且延长到圆点A ，因为CD ＝6 cm ，OD ＝5 cm ，所以OP ＝4 cm. 因为A 、P 两点角速度相同，所以5秒后P 点转过的角度为25弧度．所以P 转过的弧长为25×4＝100(cm)． 5．{α|α＝60°＋n ·180°，n ∈Z } 解析：因为直线y ＝3x 的斜率为3，则倾斜角为60°， 所以终边落在射线y ＝3x (x ≥0)上的角的集合是S 1＝{α|α＝60°＋k ·360°，k ∈Z }，终边落在射线y ＝3x (x ≤0)上的角的集合是S 2＝{α|α＝240°＋k ·360°，k ∈Z }， 所以终边落在直线y ＝3x 上的角的集合是： S ＝{α|α＝60°＋k ·360°，k ∈Z }∪{α|α＝240°＋k ·360°，k ∈Z } ＝{α|α＝60°＋2k ·180°，k ∈Z }∪{α|α＝60°＋(2k ＋1)·180°，k ∈Z } ＝{α|α＝60°＋n ·180°，n ∈Z }． 6．解析：(1)因为θ在第四象限，所以0＜cos θ＜1＜π2，－π2＜－1＜sin θ＜0.所以sin(cos θ)＞0，cos(sin θ)＞0， 所以sin(cos θ)·cos(sin θ)＞0. (2)由题意可知中， ⎩⎨⎧ tan cos θ>0tan sin θ>0或⎩⎨⎧tan cos θ<0tan sin θ<0， 所以⎩⎨⎧0<cos θ<10<sin θ<1或⎩⎪⎨⎪⎧－1<cos θ<0－1<sin θ<0， 即θ在第一象限或第三象限．若θ在第一象限，则θ2的取值范围如图①所示；若θ在第三象限，则θ2的取值范围如图②所示(见阴影部分，不含边界)．7．解析：根据题意可知：14α，14β均为360°的整数倍， 故可设14α＝m ·360°，m ∈Z,14β＝n ·360°，n ∈Z ，从而可知α＝m 7·180°，β＝n7·180°，m ，n ∈Z .又由两只蚂蚁在第2秒时均位于第二象限， 则2α，2β在第二象限． 又0°＜α＜β＜180°， 从而可得0°＜2α＜2β＜360°， 因此2α，2β均为钝角， 即90°＜2α＜2β＜180°. 于是45°＜α＜90°，45°＜β＜90°.所以45°＜m 7·180°＜90°，45°＜n7·180°＜90°，即74＜m ＜72，74＜n ＜72. 又因为α＜β，所以m ＜n ， 从而可得m ＝2，n ＝3.即α＝(3607)°，β＝(5407)°.【C 级训练】1．C解析：如图，取AP的中点为D，设∠DOA＝θ，则d ＝2R sin θ＝2sin θ，l ＝2θR ＝2θ，所以d ＝2sin l2，故选C.2．解析：(1)因为角α终边经过点P (－32，12)， 所以sin α＝12，cos α＝－32，tan α＝－33.所以sin2α－tan α＝2sin αcos α－tan α＝－32＋33＝－36.(2)因为f (x )＝cos(x －α)cos α－sin(x －α)sin α＝cos x ，x ∈R .所以y ＝3cos(π2－2x )－2cos 2x ＝3sin2x －1－cos2x ＝2sin(2x －π6)－1.所以y max ＝2－1＝1，此时sin(2x －π6)＝1,2x －π6＝2k π＋π2，即x ＝k π＋π3，k ∈Z .第2讲 同角三角函数基本关系式及诱导公式【A 级训练】1．B 解析：利用齐次分式的意义将分子分母同时除以cos α(cos α≠0)得，原式＝2tan α－1tan α＋2＝34. 2．D 解析：因为α是第四象限角，tan α＝－512＝sin αcos α，sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin α＝－513.3．A 解析：原式＝cos(－4π－π4)－sin(－4π－π4)＝cos(－π4)－sin(－π4)＝cos π4＋sin π4＝ 2.4．1 解析：因为sin α＋sin 2α＝1，所以sin α＝1－sin 2α＝cos 2α，所以cos 2α＋cos 4α＝sin α＋sin 2α＝1.5．－1 解析：由特殊角的三角函数得：sin30°＝cos60°，所以f (sin30°)＝f (cos60°)＝cos(3×60°)＝cos180°＝－1.6．证明：左边＝sin 2π－αcos 2π－α·sin －αcos －αcos α－π＋2πsin π＋α＝sin －α·－sin αcos αcos －αcos π＋α－sin α ＝－sin αcos αcos α－cos α ＝tan α＝右边． 所以原等式成立． 7．解析：设S ＝sin 20°＋sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 290°，S ＝sin 290°＋sin 289°＋sin 288°＋…＋sin 20°，所以2S ＝(sin 20°＋sin 290°)＋…＋(sin 290°＋sin 20°)＝1×91. 所以S ＝45.5. 【B 级训练】1．C 解析：因为a ＝sin 33°，b ＝cos 55°＝sin 35°，c ＝tan 35°＝sin 35°cos 35°，又0＜cos 35°＜1，所以 c ＞b ＞a .2．A 解析：1－cos α1＋cos α＝1－cos α21＋cos α1－cos α＝|1－cos α||sin α|＝1－cos α|sin α|＝cos α－1sin α，所以sin α<0，故选A.3．C 解析：由cos(π2＋φ)＝32，得sin φ＝－32，又|φ|＜π2，所以cos φ＝12.所以tan φ＝－ 3.4.32 解析：当x ＞0时，f (x )＝f (x －1)＋1， 故f (43)＝f (43－1)＋1＝f (13)＋1＝f (13－1)＋1＋1＝f (－23)＋2＝cos(－2π3)＋2＝－12＋2＝32. 5.122014 解析：原式＝(－12)12(－12)…12＝122014. 6．解析：因为sin(π＋α)＝－sin α＝－13，所以sin α＝13.(1)cos(α－3π2)＝cos(3π2－α)＝－sin α＝－13.(2)sin(π2＋α)＝cos α，cos 2α＝1－sin 2α＝1－19＝89.因为sin α＝13，所以α为第一或第二象限角．①当α为第一象限角时，sin(π2＋α)＝cos α＝223.②当α为第二象限角时，sin(π2＋α)＝cos α＝－223.(3)tan(5π－α)＝tan(π－α)＝－tan α，因为sin α＝13，所以α为第一或第二象限角．①当α为第一象限角时，cos α＝223，所以tan α＝24.所以tan(5π－α)＝－tan α＝－24.②当α为第二象限角时，cos α＝－223，tan α＝－24，所以tan(5π－α)＝－tan α＝24.【C 级训练】1．－34 解析：因为sin α＋cos α＝－15，所以(sin α＋cos α)2＝sin 2α＋2sin αcos α＋cos 2α＝1＋2sin αcos α＝125.所以sin αcos α＝－1225.所以1sin αcos α＝sin 2α＋cos 2αsin αcos α＝tan α＋1tan α＝－2512，所以12tan 2α＋25tan α＋12＝0.所以tan α＝－43或－34.因为0≤α≤π，sin α＞0，cos α＜0，sin α＋cos α＝－15＜0，所以|sin α|＜|cos α|，所以|tan α|＜1，tan α＝－43不符合题意．2．解析：(1)由已知可得，3sin A －cos A ＝1.① 又sin 2A ＋cos 2A ＝1，所以sin 2A ＋(3sin A －1)2＝1， 即4sin 2A －23sin A ＝0，得sin A ＝0(舍去)或sin A ＝32，则A ＝π3或2π3，将A ＝π3或2π3代入①知A ＝2π3时不成立，故A ＝π3.(2)由1＋2sin B cos B cos 2B －sin 2B＝－3，得sin 2B －sin B cos B －2cos 2B ＝0，因为cos B ≠0，所以tan 2B －tan B －2＝0， 所以tan B ＝2或tan B ＝－1.因为tan B ＝－1使cos 2B －sin 2B ＝0，舍去，故tan B ＝2.第3讲 三角函数的图象与性质【A 级训练】1．C 解析：在开区间(－π2，π2)中，函数y ＝tan x 为单调增函数，所以设α，β∈(－π2，π2)，那么“α＜β”是“tan α＜tan β”的充分必要条件． 2．D 解析：根据公式T ＝2πω，y ＝sin x2的周期为：T ＝4π，排除A ，y ＝sin2x 的周期为：T ＝π，排除B ，y ＝cos x4的周期为：T ＝8π，排除C.3．－2 解析：因为－1≤cos x ≤1，所以－43≤13cos x －1≤－23.所以M ＝－23，m ＝－43.所以M＋m ＝－2.4．(0，π) 解析：如图所示是y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象，由图可知满足sin x ＞0，x ∈[0,2π]的解集是(0，π)．5．(12k π－π6，0)(k ∈Z ) x ＝12k π＋π12(k ∈Z )解析：因为2x ＋π3＝k π，k ∈Z ，所以x ＝12k π－π6，k ∈Z ，所以函数y ＝sin (2x ＋π3)的图象的对称中心：(12k π－π6，0)k ∈Z .因为2x ＋π3＝k π＋π2，k ∈Z ，所以x ＝12k π＋π12，k ∈Z ，所以函数y ＝sin (2x ＋π3)的图象的对称轴方程为：x ＝12k π＋π12，k ∈Z .6．解析：(1)为使函数有意义，需满足2sin 2x ＋cos x －1≥0，即2cos 2x －cos x －1≤0，解得－12≤cos x ≤1.由余弦函数的图象或单位圆，如图所示，所以定义域为{x |2k π－2π3≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z }．(2)由y ＝3sin x ＋2－5sin x ＋2＝3－5sin x ＋2.当sin x ＝1时，y max ＝43，当sin x ＝－1时，y min ＝－2.所以函数的值域为[－2，43]．7．解析：(1)因为x ＝π8是函数图象的一条对称轴，所以sin(2×π8＋φ)＝±1.所以π4＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，因为－π＜φ＜0，所以φ＝－3π4.(2)由(1)知φ＝－3π4，所以f (x )＝sin(2x －3π4)，由题意得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8，k ∈Z ，故函数f (x )的单调递增区间是[k π＋π8，k π＋5π8]，k ∈Z .【B 级训练】1．A 解析：因为函数f (x )＝sin(πx ＋π2)＝cosπx ，故函数为偶函数，故排除C 、D.当x ∈[0,1]时，πx ∈[0，π]，函数y ＝cosπx 是减函数．2．A 解析：g (x )的周期为2π2＝π，函数f (x )＝tan(ωx －π4)的周期是π|ω|，由题意可知π|ω|＝π，所以ω＝±1.故选A.3．D 解析：因为f (x )的最小正周期是π，所以f (5π3)＝f (5π3－2π)＝f (－π3)．因为函数f (x )是偶函数，所以f (5π3)＝f (π3)＝sin π3＝32.故选D.4．C 解析：函数y ＝sin πx3的周期T ＝6，则5T 4≤t ，所以t ≥152.所以t min ＝8. 5．C 解析：②由sin α＋cos α＝2sin(α＋π4)的最大值为2，因为2＜32，所以不存在实数α，使得sin α＋cos α＝32；③α，β是第一象限角且α＜β.例如：45°＜30°＋360°， 但tan45°＞tan(30°＋360°)，即tan α＜tan β不成立；⑤把x ＝π12代入函数y ＝sin(23x ＋π2)≠0，所以点(π12，0)不是函数y ＝sin(23x ＋π2)的对称中心．6．解析：(1)f (x )的最小正周期为T ＝π13＝3π；(2)将x ＝3π2代入得：f (3π2)＝tan(3π6－π6)＝tan π3＝3； (3)由f (3α＋7π2)＝－12，得tan[13(3α＋7π2)－π6]＝－12，即tan(π＋α)＝－12，所以tan α＝－12.因为cos α≠0，则原式＝sin α－cos αsin α＋cos α＝tan α－1tan α＋1＝－12－1－12＋1＝－3.【C 级训练】1．(－∞，2] 解析：利用导数将f (x )在(π6，π2)为减函数转化为导数f ′(x )≤0在(π6，π2)恒成立，f ′(x )＝－2sin 2x ＋a cos x ＝－4sin x cos x ＋a cos x .因为 x ∈(π6，π2)，所以 cos x ＞0.因为 f ′(x )≤0在(π6，π2)恒成立，即－4sin x ＋a ≤0在(π6，π2)恒成立，所以 a ≤(4sin x )min .又y ＝4sin x 在(π6，π2)的最小值接近2，故a ≤2.2．解析：f (x )＝32sin 2ωx ＋1＋cos 2ωx 2＝sin(2ωx ＋π6)＋12.(1)因为T ＝π，ω>0，所以2π2ω＝π，所以ω＝1.令－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π3＋k π≤x ≤π6＋k π，k ∈Z .所以，f (x )的单调增区间为[－π3＋k π，π6＋k π]，k ∈Z .(2)因为f (x )＝sin(2ωx ＋π6)＋12的一条对称轴方程为x ＝π3.所以2ω·π3＋π6＝π2＋k π，k ∈Z .所以ω＝32k ＋12，k ∈Z .又0<ω<2，所以－13<k <1，所以k ＝0，ω＝12.第4讲 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用 【A 级训练】1．C 解析：根据函数图象的平移变换的法则，函数f (x )的图象向右平移a 个单位得到函数f (x －a )的图象，所以将函数y ＝sin x 的图象向右平移π3个单位，所得图象的函数解析式是y ＝sin(x －π3)．2．B 解析：由题意，将函数y ＝sin x 的图象上每点的横坐标缩小为原来的12(纵坐标不变)，可得y ＝sin2x ，再把所得图象向左平移π6个单位，可得y ＝sin[2(x ＋π6)]＝sin(2x ＋π3)．3．A 解析：由4x ＋23π＝k π(k ∈Z )，得x ＝k 4π－π6，当k ＝0时，得点A (－π6，0)，当k ＝1时，得点(π12，0)，显然π12＜π6，所以函数y ＝－52sin(4x ＋23π)的图象与x 轴各个交点中离原点最近的一点是(π12，0)．4．D 解析：T ＝2πω＝2π2π＝1 s.5．3 解析：由图中可以看出：32T ＝π，所以T ＝23π＝2πω，所以ω＝3.6．1 解析：cos 2x ＝x 的实根即函数y ＝cos 2x 与y ＝x 的图象交点的横坐标，故可以将求根个数的问题转化为求两个函数图象的交点个数．如图在同一坐标系中作出y ＝cos 2x 与y ＝x 的图象，由图象可以看出两图象只有一个交点，故方程的实根只有一个．7．解析：(1)由图象可知，函数的最大值M ＝3，最小值m ＝－1，则A ＝3－－12＝2，b ＝3－12＝1，又T ＝2(23π－π6)＝π，所以ω＝2πT ＝2ππ＝2，所以f (x )＝2sin(2x ＋φ)＋1，将x ＝π6，y ＝3代入上式，得sin(π3＋φ)＝1，所以π3＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，即φ＝π6＋2k π，k ∈Z ，又|φ|＜π2，所以φ＝π6，所以f (x )＝2sin(2x ＋π6)＋1.(2)由2x ＋π6＝π2＋k π，得x ＝π6＋12k π，k ∈Z ，所以f (x )＝2sin(2x ＋π6)＋1的对称轴方程为x ＝π6＋12k π，k ∈Z .【B 级训练】1．D 解析：由已知，周期为π＝2πω，ω＝2，则结合平移公式和诱导公式可知平移后是偶函数，sin[2(x ＋φ)＋π4]＝±cos2x .代入选项验证知D 正确．2．B 解析：由题意知：f (x )＝sin x ，g (x )＝cos x ，令F (x )＝|sin x －cos x |＝2|sin(x －π4)|，当x －π4＝π2＋k π，x ＝3π4＋k π，即当a ＝3π4＋k π时，函数F (x )取到最大值 2.3．C 解析： 因为y ＝sin 3x ＋cos 3x ＝2sin(3x ＋π4)＝2sin[3(x ＋π12)]，又y ＝2cos 3x＝2sin(3x ＋π2)＝2sin[3(x ＋π6)]，所以应由y ＝ 2cos 3x 的图象向右平移π12个单位得到．4．B 解析：y ＝3sin(2x ＋π3)的图象向右平移π2个单位长度得到y ＝3sin[2(x －π2)＋π3]＝3sin(2x －23π)．令2k π－π2≤2x －23π≤2k π＋π2得k π＋π12≤x ≤k π＋712π，k ∈Z ，则y ＝3sin(2x －23π)的增区间为[k π＋π12，k π＋712π]，k ∈Z .令k ＝0得其中一个增区间为[π12，712π]，故B 正确．5．C 解析：由对称轴x ＝12k π＋π12，k ∈Z ，A 不正确，(π4，0)代入函数表达式对B 选项检验知命题错；C 项，平移后解析式为f (x )＝sin[2(x ＋π12)＋π3]＝sin(2x ＋π2)＝cos2x ，故其为偶函数，命题正确；D 项，由于x ∈[0，π6]时2x ＋π3∈[π3，2π3]，此时函数在区间内不单调，不正确．6.π6解析：利用函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ＜π)的交点横坐标，列方程求解． 由题意，得sin(2×π3＋φ)＝cos π3，因为0≤φ<π，所以φ＝π6.7.34 解析：因为f (x )在[－T 4，T4]上递增， 故[－2π3，2π3]⊆[－T 4，T 4]，即T 4≥2π3.所以ω≤34，所以ωmax ＝34.8．解析：(1)由题图知A ＝2，T ＝π，于是ω＝2πT＝2，将y ＝2sin2x 的图象向左平移π12个单位长度，得y ＝2sin(2x ＋φ)的图象．于是φ＝2×π12＝π6，所以f (x )＝2sin(2x ＋π6)．(2)由题意得g (x )＝2sin[2(x －π4)＋π6]＝－2cos(2x ＋π6)，故y ＝f (x )＋g (x )＝2sin(2x ＋π6)－2cos(2x ＋π6)＝22sin(2x －π12)，由22sin(2x －π12)＝6，得sin(2x －π12)＝32，因为0＜x ＜π，所以－π12＜2x －π12＜2π－π12.所以2x －π12＝π3或2x －π12＝2π3，所以x ＝5π24或x ＝3π8.所求点的坐标为：(5π24，6)或(3π8，6)．【C 级训练】1．4π 解析：因为f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)，所以x 1、x 2是函数f (x )对应的最大、最小值的x ，故|x 1－x 2|一定是T 2的奇数倍，因为函数f (x )＝πcos(x 4＋π3)的最小正周期T ＝2π14＝8π，所以|x 1－x 2|＝(2n －1)×T2＝4(2n －1)π(n ＞0，且n ∈Z )．所以|x 1－x 2|的最小值为4π.2．962 解析：因为2＝21,8＝23,32＝25，…，128＝27， 所以m ＝29＝512.观察可得n ＝－400，p ＝50， 所以m －n ＋p ＝962.第5讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式【A 级训练】1．B 解析：因为sin α＝23，所以cos(π－2α)＝－cos2α＝－(1－2sin 2α)＝－19.2．D 解析：sin105°＝sin(90°＋15°)＝cos15°＝cos(45°－30°)＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°＝6＋24.3．A 解析：因为α是第三象限角，所以sin α＝－1－1625＝－35，所以sin(α＋π4)＝sin αcos π4＋cos αsin π4＝－35×22－45×22＝－7210.4．－247 解析：因为α为第二象限角，又sin α＝35，所以cos α＝－45，tan α＝sin αcos α＝－34.tan2α＝2tan α1－tan 2α＝－247.5．－75解析：因为sin α＋2cos α＝0，所以tan α＝－2.所以sin2α＋cos2α＝2sin αcos α＋cos 2α－sin 2α＝2sin αcos α＋cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan α＋1－tan 2αtan 2α＋1＝－75.6．解析：原式＝cos2α2sin π4－αcos π4－α·cos 2π4－α＝cos2α2sin π4－α·cos π4－α＝cos2αsin π2－2α＝cos2αcos2α＝1.7．解析：因为tan α＝17＜1，tan β＝13＜1，且α、β均为锐角，所以0＜α＜π4，0＜β＜π4.所以0＜α＋2β＜3π4.又tan2β＝2tan β1－tan 2β＝34，所以tan(α＋2β)＝tan α＋tan2β1－tan αtan2β＝17＋341－17×34＝1.所以α＋2β＝π4.【B 级训练】1．A 解析：函数y ＝2sin x cos x ＋3cos2x ＝sin2x ＋3cos2x ＝2sin(2x ＋π3)，f (13π6)＝2sin(2×13π6＋π3)＝2sin 14π3＝2sin 2π3＝ 3.2．－47 解析：tan2α＝tan(α＋β＋α－β)＝tan α＋β＋tan α－β1－tan α＋βtan α－β＝3＋51－3×5＝－47.3.2104．解析：(1)因为0≤x ≤5，所以π3≤πx 6＋π3≤7π6，所以－12≤sin(πx 6＋π3)≤1.当πx 6＋π3＝π2， 即x ＝1时，sin(πx 6＋π3)＝1，f (x )取得最大值2；当πx 6＋π3＝7π6， 即x ＝5时，sin(πx 6＋π3)＝－12，f (x )取得最小值－1.因此，点A 、B 的坐标分别是A (1,2)、B (5，－1)．所以OA →·OB →＝1×5＋2×(－1)＝3.(2)因为点A (1,2)、B (5，－1)分别在角α、β的终边上，所以tan α＝2，tan β＝－15，因为tan2β＝2×－151－－152＝－512，所以tan(α－2β)＝2－－5121＋2－512＝292.5．解析：(1)依题意有A ＝1，则f (x )＝sin(x ＋φ)，将点M (π3，12)代入得sin(π3＋φ)＝12，而0＜φ＜π，所以π3＋φ＝5π6，所以φ＝π2，故f (x )＝sin(x ＋π2)＝cos x .(2)依题意有cos α＝35，cos β＝1213，而α，β∈(0，π2)，所以sin α＝1－352＝45，sin β＝1－12132＝513，f (α－β)＝cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝35×1213＋45×513＝5665. 6．解析：(1)f (x )＝a sin x ·cos x －3a cos 2x ＋32a ＋b ＝a2sin2x －32a (1＋cos2x )＋3a 2＋b ＝a2sin2x －3a 2·cos2x ＋b ＝a sin(2x －π3)＋b .由2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2，k ∈Z ，解得k π＋5π12≤x ≤k π＋11π12，k ∈Z ，故函数的单调递减区间为[k π＋5π12，k π＋11π12]，k ∈Z .(2)因为x ∈[0，π2]，所以－π3≤2x －π3≤2π3，所以－32≤sin(2x －π3)≤1.所以f (x )min ＝－3a2＋b ＝－2，f (x )max ＝a ＋b ＝3，解得a ＝2，b ＝－2＋ 3.7．解析：(1)因为 f (5π12)＝A sin(5π12＋π4)＝A sin 2π3＝A sin π3＝32A ＝32，所以A ＝ 3.(2)由(1)知f (x )＝3sin(x ＋π4)，故f (θ)＋f (－θ)＝3sin(θ＋π4)＋3sin(－θ＋π4)＝32，所以 3[22(sin θ＋cos θ)＋22(cos θ－sin θ)]＝32，所以 6cos θ＝32，所以cos θ＝64.又θ∈(0，π2)，所以 sin θ＝1－cos 2θ＝104，所以 f (3π4－θ)＝3sin(π－θ)＝3sin θ＝304.【C 级训练】1．－17解析：因为α为第三象限角，。
2019届高三数学课标一轮复习单元质检 四三角函数、解
单元质检四三角函数、解三角形(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2017浙江湖州模拟)已知角θ的终边经过点P(4,m),且sin θ=,则m等于()A.-3B.3C.D.±32.(2017浙江杭州模拟)已知α是第四象限角,sin α=-,则tan α=()A.-B.C.-D.3.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b cos C+c cos B=a sin A,则△ABC的形状为()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定的值为()4.(2017浙江杭州四校联考)已知-<α<0,sin α+cos α=,则-A. B. C. D.5.已知△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,且a=4,b+c=5,tan A+tan B+tan A·tan B,则△ABC的面积为()A. B.3 C. D.6.(2017浙江名校联考)下列四个函数:y=sin|x|,y=cos|x|,y=|tan x|,y=-ln|sin x|,以π为周期,在上单调递减且为偶函数的是()A.y=sin|x|B.y=cos|x|C.y=|tan x|D.y=-ln|sin x|7.(2017昆明模拟)将函数f(x)=sin x-cos x的图象沿着x轴向右平移a(a>0)个单位后的图象关于y 轴对称,则a的最小值是()A. B. C. D.8.(2017浙江绍兴期中)f(x)=A cos(ωx+φ)(A,ω>0)的图象如图所示,为得到g(x)=-A sin的图象,可以将f(x)的图象()A.向右平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向左平移个单位长度9.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)+1,其图象与直线y=-1相邻两个交点的距离为π.若f(x)>1对于任意的x∈-恒成立,则φ的取值范围是()A. B. C. D.10.(2017云南师大附中模拟)已知函数f(x)=|sin x|·cos x,则下列说法正确的是()A.f(x)的图象关于直线x=对称B.f(x)的周期为πC.若|f(x1)|=|f(x2)|,则x1=x2+2kπ(k∈Z)D.f(x)在区间上单调递减二、填空题(本大题共7小题,多空题每小题6分,单空题每小题4分,共36分.将答案填在题中横线上)11.(2017浙江绍兴调研)设函数f(x)=2sin(ωx+)(ω>0,x∈R),最小正周期T=π,则实数ω=,函数f(x)的图象的对称中心为,单调递增区间是.12.已知0<α<,sin α=,tan(α-β)=-,则tan β-=.13.函数f(x)=2sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<的图象如图所示,则ω=,φ=.14.在△ABC中,D是AC边的中点,A=,cos ∠BDC=,△ABC的面积为3则sin ∠ABD=,BC=.15.下列命题:①函数y=sin的单调减区间为,kπ+,k∈Z;②函数y=x-sin 2x图象的一个对称中心为;③函数y=sin-在区间-上的值域为-;④函数y=cos x的图象可由函数y=sin的图象向右平移个单位得到;⑤若方程sin-a=0在区间上有两个不同的实数解x1,x2,则x1+x2=.其中正确命题的序号为.16.(2017福建三明质检改编)已知函数f(x)=sin(x+φ)-2cos(x+φ)(0<φ<π)的图象关于直线x=π对称,则cos 2φ=.17.(2017浙江衢州高三考试)已知△ABC的面积为1,∠A的平分线交对边BC于D,AB=2AC,且AD=kAC,k∈R,则当k=时,边BC的长度最短.三、解答题(本大题共5小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)18.(14分)(2017浙江金华十校联考)如图,在平面直角坐标系xOy中,以x轴正半轴为始边的锐角α与钝角β的终边与单位圆分别交于点A,B两点,x轴正半轴与单位圆交于点M,已知S△OAM=,点B的纵坐标是.(1)求cos(α-β)的值;(2)求2α-β的值.19.(15分)(2017浙江金华期末)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若2cos 2B=4cos B-3.(1)求角B的大小;(2)若S△ABC=,a sin A+c sin C=5sin B,求边b.20.(15分)(2017浙江温州模拟)已知函数f(x)=x-2cos2+1.(1)求f(x)的单调递增区间;(2)求f(x)在区间上的最值.21.(15分)如图,在△ABC中,AB=2,cos B=,点D在线段BC上.(1)若∠ADC=π,求AD的长;(2)若BD=2DC,△ACD的面积为,求的值.22.(15分)(2017浙江宁波高三)已知函数f(x)=cos x·(sin x-cos x)+,x∈R.(1)求f(x)的最小正周期和单调递增区间;(2)若函数g(x)=f(x+a)为偶函数,求|a|的最小值.答案：1.B sin θ=,解得m=3.2.C因为α是第四象限角,sin α=-,所以cos α=-,故tan α==-3.B由正弦定理得sin B cos C+sin C cos B=sin2A,∴sin(B+C)=sin2A,即sin(π-A)=sin2A,sin A=sin2A.∵A∈(0,π),∴sin A>0,∴sin A=1,即A=4.B∵sin α+cos α=,∴1+2sin αcos α=2sin αcos α=-,∴(cos α-sin α)2=1+,又∵-<α<0,∴cos α>0>sin α,∴cos α-sin α=,,故选B.--化简得5.C∵tan C=-tan(A+B)=--tan A+tan B+tan C=tan A tan B tan C,∴tan C=C=60°.cos C=(a2+b2-c2),把a=4,b+c=5,C=60°代入解得b=,所以S=ab sin C=故选C.6.D A:y=sin|x|在上单调递增,故A错误;B:y=cos|x|=cos x周期为T=2π ,故B 错误;C:y=|tan x|在上单调递增,故C错误;D:f(x+π )=-ln |sin(x+π )|=-ln|sin x|,周期为π ,当x时,y=-ln(sin x),在上单调递减,故D正确,故选D.7.B依题意得f(x)=2sin-,因为函数f(x-a)=2sin--的图象关于y轴对称,所以sin--=±1,a+=kπ+,k∈Z,即a=kπ+,k∈Z,因此正数a的最小值是,选B.8.D由题意可得A=1,T=,解得ω=2,∴f(x)=A cos(ωx+φ)=cos(2x+φ).再由五点法作图可得2+φ=,∴φ=-,∴f(x)=cos-=cos 2-,g(x)=-sin=cos=cos 2,而-,故将f(x)的图象向左平移个单位长度,即可得到函数g(x)的图象,故选D.9.A由条件可知函数f(x)的周期为π,则ω=2,f(x)=2sin(2x+φ)+1.由f(x)=2sin(2x+φ)+1>1,得sin(2x+φ)>0,从而可知2kπ<2x+φ<2kπ+π,k∈Z.故有---,即---解得10.D由函数f(x)在区间[0,2π]上的解析式可知f(x)=-(k∈Z)且f(x)是偶函数,故函数的图象关于直线x=kπ ,k∈Z对称,故A错误;f(x)的周期为2π ,故B错误;若|f(x1)|=|f(x2)|,则x1=x2+(k∈Z),故C错误;f(x)在区间上单调递减,故D正确.故选D.11.2-(k∈Z)-(k∈Z)由T==π ,∴ω=2,f(x)=2sin,令2sin=0,得2x+=kπ (k∈Z),∴x=,对称中心为-(k∈Z).由2kπ-2x+2kπ+(k∈Z),得kπ-x≤kπ+(k∈Z),∴单调递增区间为-(k∈Z).12.3∵0<α<,sin α=,∴cos α=-,tan α=∵tan(α-β)=---,解得tan β=3.=------13.2由题中图象可知T=π,ω=,则ω=2.∵函数经过点(π,1),∴1=2sin(2×π+φ),sin φ=,∵|φ|<,故φ=146过B作BH⊥AC于H,则cos∠BDH=,设DH=2k(k>0),则BD=k,∴BH=-k,在Rt△ABH中,∠A=,∴AH==k,∴AD=3k,AC=6k,又S△ABC=AC×BH=6k k=3k2=3,解得k=1,∴BC=6,在△ABD中,,,解得sin ∠ABD=故答案为:,6.15.①②⑤①令+2kπ≤2x++2kπ,解得+2kπ≤x+kπ,k∈Z,故①正确;②y=cos 2x-sin 2x=2cos,令2x+=kπ+,解得x=+kπ,k=0时函数的一个对称中心为,②正确;③y=sin-,当-x,-x-,结合正弦函数的图象可得-y≤1,③错误;④由函数y=sin的图象向右平移个单位得到y=sin x的图象,故④错误;⑤令y=sin,当x时,2x+,若使方程有两解,则两解关于x=对称,则x1+x2=,故⑤正确.16由题意可得f(x)=x+φ-γ),其中sin γ=,cos γ=, 当x=π时,x+φ-γ=π+φ-γ=kπ+2φ=2kπ-π+2γ,据此可知cos 2φ=cos(2kπ-π+2γ)=-cos 2γ=sin 2γ-cos 2γ=17设AC=a.由题意,2a·a·sin ∠BAC=1,∴sin ∠BAC=,求BC最短时k的值,考虑A为锐角或直角时即可,∴cos ∠BAC=-,∴由余弦定理可得BC2=5a2-4-,设a2=t>0,则f(t)=5t-4-,f'(t)=5--,t>,f'(t)>0,函数单调递增,0<t<,f'(t)<0,函数单调递减,∴t=时,函数f(t)取得最小值,即BC=,∴cos ∠BAC==2cos2∠CAD-1,∴cos ∠CAD=,∴k=cos ∠CAD=故答案为18.解(1)由题意,OA=OM=1,∵S△OAM=和α为锐角,∴sin α=,cos α=,又点B的纵坐标是,∴sin β=,cos β=-,∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=-=-(2)∵cos 2α=2cos2α-1=2-1=-,sin 2α=2sin α·cos α=2,∴2,∴2α--,∵sin(2α-β)=sin 2α·cos β-cos 2α·sin β=-,故2α-β=-19.解(1)△ABC中,2cos 2B=4cos B-3,∴2(2cos2B-1)=4cos B-3,即4cos2B-4cos B+1=0,解得cos B=,又B∈(0,π),∴B=;(2)由面积公式得S△ABC=ac sin B=ac sin ,解得ac=4,又a sin A+c sin C=5sin B,∴a2+c2=5b,由余弦定理,得b2=a2+c2-2ac cos B=5b-2×4=5b-4,∴b2-5b+4=0,解得b=1或b=4,又a2+c2=5b≥2ac=8, ∴b,故b=4.20.解(1)函数f(x)=cos 2x-2cos2+1=cos 2x-cos=cos 2x+sin 2x=2sin;令2kπ-2x+2kπ+,k∈Z,解得kπ-x≤kπ+,k∈Z,∴f(x)的单调递增区间为-(k∈Z); (2)当x时,2x+,∴sin-,∴f(x)在区间上的最大值为2,最小值为-;且x=时f(x)取得最大值2,x=时f(x)取得最小值-21.解法一`(1)在三角形中,∵cos B=,∴sin B=在△ABD中,由正弦定理得,又AB=2,∠ADB=,sin B=AD=(2)∵BD=2DC,∴S△ABD=2S△ADC,S△ABC=3S△ADC,又S△ADC=,∴S△ABC=4∵S△ABC=AB·BC sin∠ABC,∴BC=6.在△ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠ABC.∴AC=4∵S△ABD=AB·AD sin∠BAD,S△ADC=AC·AD·sin∠CAD,S△ABD=2S△ADC,=2,=2=4解法二(1)同解法一.(2)∵BD=2DC,∴S△ABC=3S△ADC=4,又∵S△ABD=AB·BC sin∠ABC,∴BC=6,∴BD=4,CD=2.在△ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠ABC,∴AC=4在△ABD中,由正弦定理得,即sin∠BAD==2sin∠ADB,同理在△ACD中,由正弦定理得sin∠CAD=又∵sin∠ADB=sin∠ADC,=422.解(1)f(x)=cos x(sin x-cos x)+=sin x cos x-(2cos 2x-1)=sin 2x-cos 2x=sin-,所以函数f(x)的最小正周期T==π.由2kπ-2x-2kπ+,k∈Z,得kπ-x≤kπ+,所以函数f(x)的单调递增区间为-,k∈Z.(2)由题意,得g(x)=f(x+α)=sin-,因为函数g(x)为偶函数,所以2α-=kπ+=,k∈Z,当k=-1时,|α|的最小值为。
高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角形单元质检A文新人教B版
单元质检四三角函数、解三角形(A)(时间:45分钟满分:100分)一、选择题(本大题共6小题,每小题7分,共42分)1.若点在角α的终边上,则sin α的值为()A.-B.-C. D.2.(2017河北保定二模)若角θ的顶点与原点重合,始边与x轴非负半轴重合,终边在直线y=2x上,则tan 2θ=()A.2B.-4C.-D.-3.函数y=sin2x+2sin x cos x+3cos2x的最小正周期和最小值为()A.π,0B.2π,0C.π,2-D.2π,2-4.已知函数f(x)=2sin(2x+φ)的图象过点(0,),则函数f(x)图象的一个对称中心是()A.B.C.D.5.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,S表示△ABC的面积,若a cos B+b cos A=c sinC,S=(b2+c2-a2),则B=()A.90°B.60°C.45°D.30°6.(2017河北保定二模)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且C=,a+b=12,则△ABC面积的最大值为()A.8B.9C.16D.21二、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)7.已知sin,且x∈,则cos 2x的值为.8.在△ABC中,角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,设AD为BC边上的高,且AD=a,则的最大值是.三、解答题(本大题共3小题,共44分)9.(14分)已知函数f(x)=sin2ωx+sin ωx sin(ω>0)的最小正周期为.(1)求出函数f(x)的单调递增区间;(2)求函数f(x)在区间上的取值范围.10.(15分)在△ABC中,AC=6,cos B=,C=.(1)求AB的长;(2)求cos的值.11.(15分)(2017山东烟台一模)已知函数f(x)=sin2x+sin x cos x-.(1)求f(x)单调递减区间;(2)已知a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边,a=2,c=4,若f(A)是f(x)在(0,π)上的最大值,求△ABC的面积.参考答案单元质检四三角函数、解三角形(A)1.A解析因为角α的终边上一点的坐标为,即,所以由任意角的三角函数的定义,可得sinα==-,故选A.2.D解析∵角θ的始边与x轴的非负半轴重合,终边在直线y=2x上,∴tanθ=2;∴tan2θ==-,故选D.3.C解析因为f(x)=sin2x+2sin x cos x+3cos2x=1+sin2x+(1+cos2x)=2+sin,所以最小正周期为π,当sin=-1时,取得最小值为2-.4.B解析由题意,得=2sin(2×0+φ),即sinφ=.又|φ|<,所以φ=.由2sin=0,得2x+=kπ,k∈Z,当k=0时,x=-,故选B.5.C解析由正弦定理得2R(sin A cos B+sin B cos A)=2R sin C sin C,于是sin(A+B)=sin2C,所以sin C=1,即C=,从而S=ab=(b2+c2-a2)=(b2+b2),解得a=b,所以B=45°.故选C.6.B解析∵ab≤=36,当且仅当a=b=6时,等号成立,∴S△ABC=ab sin C≤×36×=9,故选B.7.-解析sin2x=cos=1-2sin2=1-2×=-,∵x∈,∴2x∈.∴cos2x=-=-.8.解析∵AD为BC边上的高,且AD=a,∴△ABC的面积S=a·a=bc sin A.∴sin A=.由余弦定理,得cos A=, 故=2=sin A+2cos A=sin(A+α),其中sinα=,cosα=.当sin(A+α)=1时,取到最大值是.9.解(1)f(x)=sin2ωx=sin2ωx-cos2ωx+=sin.因为T=,所以(ω>0),所以ω=2,即f(x)=sin.于是由2kπ-≤4x-≤2kπ+(k∈Z),解得≤x≤(k∈Z).所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z).(2)因为x∈,所以4x-,所以sin,所以f(x)∈.故f(x)在区间上的取值范围是.10.解(1)因为cos B=,0<B<π,所以sin B=.由正弦定理知,所以AB==5.(2)在△ABC中,A+B+C=π,所以A=π-(B+C),于是cos A=-cos(B+C)=-cos=-cos B cos+sin B sin,又cos B=,sin B=,故cos A=-=-.因为0<A<π,所以sin A=.因此,cos=cos A cos+sin A sin=-.11.解(1)f(x)=sin2x+sin x cos x-(1-cos2x)+sin2x-sin2x-cos2x=sin,由2kπ+≤2x-≤2kπ+,k∈Z,可得kπ+≤x≤kπ+,k∈Z,∴f(x)的单调减区间为(k∈Z).(2)由(1)知f(x)=sin,当x∈(0,π)时,-<2x-,结合正弦函数的图象,当2x-,即x=时,f(x)取得最大值.∵f(A)是f(x)在(0,π)上的最大值,∴A=.在△ABC中,由余弦定理可得a2=b2+c2-2bc cos A,即12=b2+16-2×4b×,解得b=2,∴△ABC的面积S=bc sin A=×2×4sin=2.。
2019届高考数学一轮复习 第四章 三角函数 解三角形 课时跟踪训练18 同角三角函数基本关系式与诱
课时跟踪训练(十八) 同角三角函数基本关系式与诱导公式[基础巩固] 一、选择题 1．sin 11π3＝( )A.32B ．－32C.12 D ．－12[解析] sin 11π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－sin π3＝－32，故选B. [答案] B2．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，sin α＝－35，则cos(π－α)的值为( )A ．－45B.45C.35D ．－35[解析] ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，sin α＝－35， ∴cos α＝45，∴cos(π－α)＝－cos α＝－45.故选A.[答案] A3．(2017·黑龙江双鸭山质检)1－π＋π－＝( )A ．sin2－cos2B ．sin2＋cos2C ．±(sin2－cos2)D ．cos2－sin2[解析] 1－2sin π＋2cos π－2＝1－2sin2cos2＝sin2－cos22＝|sin2－cos2|＝sin2－cos2.[答案] A4．若α为三角形的一个内角，且sin α＋cos α＝23，则这个三角形是( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形[解析] 由sin α＋cos α＝23，得(sin α＋cos α)2＝49，∴1＋2sin αcos α＝49，2sin αcos α＝－59，∵α∈(0，π)，∴α为钝角．选D. [答案] D5．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝23，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－2π3等于( ) A ．－23B ．－12C.23D.12[解析] sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－2π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α ＝－sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－23. 故选A. [答案] A6．已知1＋sin x cos x ＝－12，那么cos xsin x －1的值是( )A.12 B ．－12C ．2D ．－2[解析] ∵cos 2x ＝1－sin 2x ， ∴cos x sin x －1＝－sin x ＋1cos x ＝12.[答案] A 二、填空题7．已知tan θ＝2，则sin θcos θ＝________.[解析] sin θcos θ＝sin θ·cos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan θtan 2θ＋1＝222＋1＝25. [答案] 258．sin 4π3·cos 5π6·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π3的值是________．[解析]原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π6·tan ⎝⎛⎭⎪⎫－π－π3＝⎝⎛⎭⎪⎫－sin π3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos π6·⎝ ⎛⎭⎪⎫－tan π3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×(－3)＝－334. [答案] －3349．sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 290°＝________.[解析] sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 290°＝sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 244°＋sin 245°＋cos 244°＋cos 243°＋…＋cos 21°＋sin 290°＝(sin 21°＋cos 21°)＋(sin 22°＋cos 22°)＋…＋(sin 244°＋cos 244°)＋sin 245°＋sin 290°＝44＋12＋1＝912.[答案]912三、解答题10．已知cos(π＋α)＝－12，且α是第四象限角，计算：(1)sin(2π－α)； (2)sin[α＋n ＋π]＋sin[α－n ＋π]α＋2n πα－2n π(n ∈Z )．[解] ∵cos(π＋α)＝－12，∴－cos α＝－12，cos α＝12.又∵α是第四象限角， ∴sin α＝－1－cos 2α＝－32. (1)sin(2π－α)＝sin[2π＋(－α)]＝sin(－α)＝－sin α＝32； (2)sin[α＋n ＋π]＋sin[α－n ＋π]α＋2n πα－2n π＝n π＋π＋α＋－2n π－π＋αnπ＋α－2n π＋α＝π＋α＋－π＋αsin α·cos α＝－sin α－π－αsin α·cos α＝－2sin αsin αcos α＝－2cos α＝－4.[能力提升]11．(2017·河北邢台质检)已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1，则sin α的值是( )A.355 B.377C.31010D.13[解析] 由已知条件整理得，⎩⎪⎨⎪⎧－2tan α＋3sin β＝－5，tan α－6sin β＝1，解得tan α＝3.又α为锐角，tan α＝sin αcos α＝sin α1－sin 2α＝3，所以sin α＝31010. [答案] C12．(2017·河南洛阳一模)已知θ为第二象限角，sin θ，cos θ是关于x 的方程2x 2＋(3－1)x ＋m ＝0(m ∈R )的两根，则sin θ－cos θ等于( )A.1＋32B.1－32C. 3D ．－ 3[解析] 由题意可得，sin θ＋cos θ＝1－32，sin θcos θ＝m2，可得(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ， 即2－32＝1＋m ，即m ＝－32. ∵θ为第二象限角，∴sin θ>0，cos θ<0， 即sin θ－cos θ>0，∵(sin θ－cos θ)2＝(sin θ＋cos θ)2－4sin θcos θ ＝4－234－2m ＝1－32＋3＝2＋32， ∴sin θ－cos θ＝ 2＋32＝1＋32. [答案] A13．已知sin(125°－α)＝13，则sin(55°＋α)的值为________．[解析] 因为(125°－α)＋(55°＋α)＝180°，所以sin(55°＋α)＝sin[180°－(125°－α)]＝sin(125°－α)＝13.[答案] 1314．若sin θ，cos θ是方程4x 2＋2mx ＋m ＝0的两根，则m 的值为________． [解析] 由题意知：sin θ＋cos θ＝－m 2，sin θcos θ＝m4，又(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ， ∴m 24＝1＋m2，解得：m ＝1±5，又Δ＝4m 2－16m ≥0， ∴m ≤0或m ≥4，∴m ＝1－ 5. [答案] 1－ 515．已知角α终边上一点P (－4,3)，求：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－π－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋α的值．[解] 因为角α终边上一点P (－4,3)，所以tan α＝－34，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－π－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋α＝－sin 2αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin 2α－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos α＝－sin 2α－sin αcos α＝tan α＝－34.16．(1)化简：1－2sin20°cos20°sin160°－1－sin 220°； (2)已知α为第二象限角，化简cos α 1－sin α1＋sin α＋sin α1－cos α1＋cos α.[解] (1)原式＝1－2sin20°cos20°sin20°－cos20°＝cos20°－sin20°sin20°－cos20°＝－1.(2)原式＝cos α－sin α2cos 2α＋sin α－cos α2sin 2α＝cos α1－sin α|cos α|＋sin α1－cos α|sin α|＝cos α·1－sin α－cos α＋sin α·1－cos αsin α＝sin α－cos α.本文档仅供文库使用。
(通用版)2019版高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角函数课时达标同角三角函数的基本关系与诱导公式理
课时达标检测（十九） 同角三角函数的基本关系与诱导公式[小题对点练——点点落实]对点练(一) 同角三角函数的基本关系1．若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值为( )A.125 B ．－125C.512D ．－512解析：选D 因为α为第四象限角，故cos α＝1－sin 2α＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－5132＝1213，所以tan α＝sin αcos α＝－5131213＝－512.2．(2018·绵阳诊断)已知2sin α＝1＋cos α，则tan α的值为( ) A ．－43B.43 C ．－43或0D.43或0 解析：选D 由2sin α＝1＋cos α得sin α≥0，且4sin 2α＝1＋2cos α＋cos 2α，因而5cos 2α＋2cos α－3＝0，解得cos α＝35或cos α＝－1，那么tan α＝43或0，故选D.3．若sin θ＋cos θ＝23，则tan θ＋1tan θ＝( )A.518 B ．－518C.185D ．－185解析：选D 由sin θ＋cos θ＝23，得1＋2sin θcos θ＝49，即sin θcos θ＝－518，则tan θ＋1tan θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝1sin θcos θ＝－185，故选D.4．(2017·湖南衡阳二模)已知θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2且sin θ＋cos θ＝a ，其中a ∈(0,1)，则tan θ的可能取值是( )A ．－3B ．3或13C ．－13D ．－3或－13解析：选C sin θ＋cos θ＝a ，两边平方可得2sin θ·cos θ＝a 2－1，由a ∈(0,1)得sin θ·cos θ<0，又∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴cos θ>0，∴sin θ<0，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，又由sin θ＋cos θ＝a >0知|sin θ|<|cos θ|，∴θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0，从而tanθ∈(－1,0)．故选C.5．已知A 为三角形的内角，sin A ＝45，则5cos A ＋23tan A －2＝________.解析：由A 为三角形的内角，sin A ＝45，得cos A ＝35，tan A ＝43或cos A ＝－35，tan A＝－43，因而5cos A ＋23tan A －2＝3＋24－2＝52或5cos A ＋23tan A －2＝－3＋2－4－2＝16.答案：52或166．(2017·福建漳州二模)已知θ是三角形的一个内角，且sin θ、cos θ是关于x 的方程4x 2＋px －2＝0的两根，则θ＝________.解析：由题意知sin θ·cos θ＝－12，联立⎩⎪⎨⎪⎧sin 2θ＋cos 2θ＝1，sin θ·cos θ＝－12，得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝22，cos θ＝－22，或⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝－22，cos θ＝22，又θ为三角形的一个内角，∴sinθ>0，则cos θ＝－22，∴θ＝3π4. 答案：3π47．(2018· 湖北黄冈中学检测)已知α∈R ，sin 2α＋4sin αcos α＋4cos 2α＝52，则tan α＝________.解析：∵sin 2α＋4sin αcos α＋4cos 2α ＝sin 2α＋4sin αcos α＋4cos 2αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α＋4tan α＋4tan 2α＋1＝52， ∴3tan 2α－8tan α－3＝0， 解得tan α＝3或－13.答案：3或－13对点练(二) 三角函数的诱导公式1．(2018·广州模拟)已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|<π2，则θ＝( )A ．－π6B ．－π3C.π6D.π3解析：选D ∵sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，∴－sin θ＝－3cos θ，∴tan θ＝ 3.∵|θ|<π2，∴θ＝π3.2．(2018·江西南昌模拟)已知sin θ＝13，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则sin(π－θ)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ的值为( )A.229B ．－229C.19D ．－19解析：选B ∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴cos θ＝1－sin 2θ＝1－19＝223.∴sin(π－θ)sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－θ＝－sin θcos θ＝－13×223＝－229.3．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π6＋x ＝15，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＝( )A ．－15B.15C.25 D ．－25解析：选A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π＋π6＋x ＝－sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6＋x ＝－15.4．(2018·福建四地六校联考)已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α 的值是( )A.355 B.377C.31010D.13解析：选C 由已知可得－2tan α＋3sin β＋5＝0，tan α－6sin β－1＝0，可解得tan α＝3，又α为锐角，故sin α＝31010.5．(2018·江西九江七校联考)已知tan(π－α)＝－23，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2，则cos －α ＋3sin π＋αcos π－α ＋9sin α＝( )A ．－15B ．－37C.15D.37解析：选A 由tan(π－α)＝－23，得tan α＝23.cos －α ＋3sin π＋α cos π－α ＋9sin α＝cos α－3sin α－cos α＋9sin α＝1－3tan α－1＋9tan α＝1－2－1＋6＝－15.故选A.6．(2018·河北沧州模拟)已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线4x －y ＝0上，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋θ＋cos π－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ－sin π－θ ＝( )A ．－23B ．2C ．0D.23解析：选D 设点P (a,4a )(a ≠0)为角θ终边上任意一点，根据三角函数的定义有tanθ＝y x ＝4，再根据诱导公式，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋θ＋cos π－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ－sin π－θ＝－2cos θcos θ－sin θ＝－21－tan θ＝23.故选D.[大题综合练——迁移贯通]1．(2018·河北衡水武邑中学调考)已知sin α＝255，求tan(α＋π)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－α的值．解：tan(α＋π)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－α＝tan α＋cos αsin α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α.∵sin α＝255>0，∴α为第一或第二象限角．当α为第一象限角时，cos α＝1－sin 2α＝55，则原式＝1sin αcos α＝52； 当α为第二象限角时，cos α＝－1－sin 2α＝－55，则原式＝1sin αcos α＝－52. 2．已知α为第三象限角，f (α)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α·tan π－αtan －α－π ·sin －α－π .(1)化简f (α)；(2)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝15，求f (α)的值． 解：(1)f (α)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α·tan π－αtan －α－π ·sin －α－π＝－cos α ·sin α· －tan α－tan α ·sin α＝－cos α.(2)∵cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π2＝15， ∴－sin α＝15，从而sin α＝－15.又α为第三象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－265，∴f (α)＝－cos α＝265.3．(2017·山西孝义二模)已知sin(3π＋α)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋α，求下列各式的值．(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α； (2)sin 2α＋sin 2α. 解：∵sin(3π＋α)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α，∴－sin α＝－2cos α， 即sin α＝2cos α.(1)原式＝2cos α－4cos α10cos α＋2cos α＝－212＝－16.(2)∵sin α＝2cos α，∴tan α＝2， ∴原式＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α ＝tan 2α＋2tan αtan 2α＋1＝4＋44＋1＝85.。
2019版高考数学创新一轮复习浙江专用版文档：第四章
第2节同角三角函数的基本关系式与诱导公式最新考纲 1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，sin αcos α＝tan α；2.掌握正弦、余弦、正切的诱导公式．知识梳理1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1．(2)商数关系：sin αcos α＝tan__α．2．三角函数的诱导公式[常用结论与微点提醒] 1．特殊角的三角函数值2.诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限．“奇”与“偶”指的是诱导公式k ·π2＋α中的整数k 是奇数还是偶数．“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k 是奇数，则正、余弦互变；若k 为偶数，则函数名称不变．“符号看象限”指的是在k ·π2＋α中，将α看成锐角时k ·π2＋α所在的象限．诊 断 自 测1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( ) (2)六组诱导公式中的角α可以是任意角．( )(3)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化．( ) (4)若sin(k π－α)＝13(k ∈Z )，则sin α＝13.( ) 解析 (1)对于α∈R ，sin(π＋α)＝－sin α都成立． (4)当k 为奇数时，sin α＝13， 当k 为偶数时，sin α＝－13. 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)× 2．(2017·泰安模拟)sin 600°的值为( ) A ．－12B ．－32C.12D.32解析 sin 600°＝sin(360°＋240°)＝sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－32. 答案 B3．(2018·湖州调研)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则tan α＝( )A.34 B ．－34 C ．－43 D.43解析 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α＝－35，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则sin α＝1－cos 2α＝45，则tan α＝sin αcos α＝－43，故选C.答案 C4．已知sin θ＋cos θ＝43，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，则sin θ－cos θ的值为( )A.23 B ．－23 C.13 D ．－13解析 ∵sin θ＋cos θ＝43，∴1＋2sin θcos θ＝169，∴sin θcos θ＝718.又∵(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝29，又∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，∴sin θ－cos θ＝－23.答案 B5．(必修4P22B3改编)已知tan α＝2，则sin α＋cos αsin α－cos α的值为________．解析 原式＝tan α＋1tan α－1＝2＋12－1＝3.答案 36．(2018·丽水调研)设a 为常数，且a >1，0≤x ≤2π，则当x ＝________时，函数f (x )＝cos 2x ＋2a sin x －1的最大值为________．解析 f (x )＝cos 2x ＋2a sin x －1＝1－sin 2x ＋2a sin x －1＝－(sin x －a )2＋a 2，因为0≤x ≤2π，所以－1≤sin x ≤1，又因为a >1，所以当sin x ＝1，即x ＝π2时，f (x )max ＝－(1－a )2＋a 2＝2a －1. 答案 π2 2a －1考点一 同角三角函数基本关系式的应用【例1】 (1)(2017·北京卷)在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称 .若sin α＝13，则sin β＝________．(2)(2017·东阳模拟)已知sin αcos α＝18，且5π4<α<3π2，则cos α－sin α的值为( ) A ．－32B.32C ．－34D.34(3)(2016·全国Ⅲ卷)若tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝( ) A.6425B.4825C ．1D.1625解析 (1)α与β的终边关于y 轴对称，则α＋β＝π＋2k π，k ∈Z ，∴β＝π－α＋2k π，k ∈Z .∴sin β＝sin(π－α＋2k π)＝sin α＝13. (2)∵5π4<α<3π2，∴cos α<0，sin α<0且cos α>sin α， ∴cos α－sin α>0.又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34， ∴cos α－sin α＝32.(3)tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝cos 2α＋2sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1＋4tan α1＋tan 2α＝6425.答案 (1)13 (2)B (3)A规律方法 (1)利用sin 2α＋cos 2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦切互化．(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α. 【训练1】 (1)已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α＝( )A ．－1B ．－22C.22 D ．1 (2)若3sin α＋cos α＝0，则1cos 2α＋2sin αcos α的值为( )A.103B.53C.23 D ．－2(3)(2018·浙东北教联一模)已知sin α＝13，0＜α＜π，则tan α＝__________，sin α2＋cos α2＝__________． 解析 (1)由⎩⎨⎧sin α－cos α＝2，sin 2α＋cos 2α＝1，得：2cos 2α＋22cos α＋1＝0， 即()2cos α＋12＝0，∴cos α＝－22.又α∈(0，π)，∴α＝3π4， ∴tan α＝tan 3π4＝－1.(2)3sin α＋cos α＝0⇒cos α≠0⇒tan α＝－13，1cos 2α＋2sin αcos α＝cos 2α＋sin 2αcos 2α＋2sin αcos α＝1＋tan 2α1＋2tan α＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1321－23＝103.(3)因为0＜α＜π，所以tan α＝sin αcos α＝±sin 2αcos 2α＝±sin 2α1－sin 2α＝±24，又0＜α2＜π2，所以sinα2＞0， cos α2＞0，所以sin α2＋cos α2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α22＝1＋2sin α2cos α2＝1＋sin α＝233.答案 (1)A (2)A (3)±24 233 考点二 诱导公式的应用【例2】 (1)化简：sin(－1 200°)cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)； (2)设f (α)＝2sin （π＋α）cos （π－α）－cos （π＋α）1＋sin 2α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α(1＋2sin α≠0)，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π6的值．解 (1)原式＝－sin 1 200°cos 1 290°－cos 1 020°sin 1 050°＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°)－cos(2×360°＋300°)sin(2×360°＋330°)＝－sin 120°cos 210°－cos 300°sin 330°＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)·sin(360°－30°)＝sin 60° cos 30°＋cos 60°sin 30°＝32×32＋12×12＝1. (2)∵f (α)＝（－2sin α）（－cos α）＋cos α1＋sin 2α＋sin α－cos 2α＝2sin αcos α＋cos α2sin 2α＋sin α＝cos α（1＋2sin α）sin α（1＋2sin α）＝1tan α，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π6＝1tan ⎝⎛⎭⎪⎫－23π6＝1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π＋π6＝1tan π6＝ 3. 规律方法 (1)诱导公式的两个应用①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了． ②化简：统一角，统一名，同角名少为终了． (2)含2π整数倍的诱导公式的应用由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算，如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cos α. 【训练2】 (1)已知A ＝sin （k π＋α）sin α＋cos （k π＋α）cos α(k ∈Z )，则A 的值构成的集合是( )A ．{1，－1，2，－2}B ．{－1，1}C ．{2，－2}D ．{1，－1，0，2，－2}(2)化简：tan （π－α）cos （2π－α）sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋3π2cos （－α－π）sin （－π－α）＝______．解析 (1)当k 为偶数时，A ＝sin αsin α＋cos αcos α＝2；k 为奇数时，A ＝－sin αsin α－cos αcos α＝－2. (2)原式＝－tan α·cos α·（－cos α）cos （π＋α）·[－sin （π＋α）]＝tan α·cos α·cos α－cos α·sin α＝sin αcos α·cos α－sin α＝－1.答案 (1)C (2)－1考点三 诱导公式、同角三角函数关系式的综合应用【例3】 (1)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝33，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π＋α＝________．(2)(2017·温州模拟)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝13，且－π<α<－π2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α等于( )A.223B.13 C ．－13 D ．－223(3)(2018·浙江仿真卷)若1sin α＋1cos α＝3，则sin αcos α＝( )A ．－13 B.13 C ．－13或1 D.13或－1解析 (1)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝π， ∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－33.(2)因为⎝ ⎛⎭⎪⎫512π＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝π2， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α. 因为－π<α<－π2，所以－7π12<α＋5π12<－π12.又cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝13>0，所以－π2<α＋5π12<－π12，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝－1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝－223. (3)由已知得sin α＋cos α＝3sin αcos α， ∴1＋2sin αcos α＝3sin 2αcos 2 α， ∴(sin αcos α－1)(3sin αcos α＋1)＝0， ∴sin αcos α＝－13或sin αcos α＝1(舍)． 答案 (1)－33 (2)D (3)A规律方法 (1)常见的互余的角：π3－α与π6＋α；π3＋α与π6－α；π4＋α与π4－α等． (2)常见的互补的角：π3＋θ与2π3－θ；π4＋θ与3π4－θ等．【训练3】 (1)(2018·绍兴一中适应性考试)已知sin α＝12＋cos α，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4的值为__________． (2)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝12，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝________． (3)设函数f (x )(x ∈R )满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ，当0≤x <π时，f (x )＝0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π6＝( ) A.12B.32 C ．0 D ．－12解析 (1)由sin α＝12＋cos α可得sin α－cos α＝12，即2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝12，可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝24，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则α－π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4，可得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝144，则cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－142.(2)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝π2， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝12. (3)由f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ，得f (x ＋2π)＝f (x ＋π)＋sin(x ＋π)＝f (x )＋sin x －sin x ＝f (x )，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫236π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116π＋2π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋56π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π＋sin 56π. 因为当0≤x <π时，f (x )＝0. 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫236π＝0＋12＝12.答案 (1)－142 (2)12 (3)A。
江苏专版2019版高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形课时达标检测十九同角三角函数的基本关系与诱导
课时达标检测(十九） 同角三角函数的基本关系与诱导公式[练基础小题——强化运算能力]π π31．若 α∈(－2)，sin α＝－ ，则 cos(－α)＝________. ， 2 5π π344解析：因为 α∈(－，sin α＝－ ，所以 cos α＝ ，则 cos(－α)＝cos α＝ .， 2)25 5 54答案： 51cos θ2．若 sin θcos θ＝ ，则 tan θ＋ 的值是________． 2sin θcos θ sin θ cos θ 1 解析：tan θ＋ ＝ ＋ ＝ ＝2.sin θ cos θ sin θ cos θsin θ 答案：223π3．设函数 f (x )(x ∈R)满足 f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ，当 0≤x ＜π 时，f (x )＝0，则 f ( 6 )＝________.解 析：由 f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ，得 f (x ＋2π)＝f (x ＋π)＋sin(x ＋π)＝f (x )＋sin x －23π11π11π 5π 5π 5π sin x ＝f (x )，所以 f( 6 )＝f (＋2π)＝f( 6 )＝f (π＋ 6 )＝f (6 )＋sin.因为6623π1 1 当 0≤x ＜π 时，f (x )＝0.所以 f( 6 )＝0＋ ＝ .2 21 答案： 2π4 4．已知 α∈( ，π)，sin α＝ ，则 tan α＝________.25π43 sin α1－sin 2α 解析：∵α∈( ，π)，sin α＝ ，∴cos α＝－＝－ ，∴tan α＝＝－2 55cos α4 . 34答案：－ 31－2sin 40°cos 40°5. ＝________. cos 40°－ 1－sin 250°解析：原式＝sin 240°＋cos 240°－2sin 40°cos 40°cos 40°－cos 50°|sin 40°－cos 40°| |sin 40°－sin 50°| ＝ ＝sin 50°－sin 40°sin 50°－sin 40°sin 50°－sin 40°＝＝1.sin 50°－sin 40°答案：11[练常考题点——检验高考能力]一、填空题1．sin(－600°)的值为________．3 解析：sin(－600°)＝sin(－720°＋120°)＝sin 120°＝ . 2答案：323π 3ππ2．已知 tan(α－π)＝4，且 α∈(2 )，则 sin (α＋ 2)＝________.， 2 33π 3π解 析：由 tan(α－π)＝ 得 tan α＝4.又因为 α∈( ， 2 )，所以 α 为第三象限的角，42 34π4 由Error!可得，sin α＝－ ，cos α＝－5.所以 sin (α＋ 2)＝cos α＝－ .554 答案：－ 53．已知函数 f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，且 f (4)＝3，则 f (2 019)的值为 ________．解析：∵f (4)＝a sin(4π＋α)＋b cos(4π＋β) ＝a sin α＋b cos β＝3，∴f (2 019)＝a sin(2 019π＋α)＋b cos(2 019π＋β) ＝a sin(π＋α)＋b cos(π＋β) ＝－a sin α－b cos β ＝－(a sin α＋b cos β)＝－3. 答案：－3π4．已知 2tan α·sin α＝3，－ ＜α＜0，则 sin α＝________.22sin 2α解析：因为 2tan α·sin α＝3，所以 ＝3，所以 2sin 2α＝3cos α，即 2－2cos 2αcos α1 π3 ＝3cos α，所以 cos α＝ 或 cos α＝－2(舍去)，又－ ＜α＜0，所以 sin α＝－ . 2 22答案：－ 3 2π π3 75．若 θ∈[，sin θ·cos θ＝，则 sin θ＝________.， 2]4163 78＋3 7 解析：∵sin θ·cos θ＝ ，∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θ·cos θ＝ ，168 8－3 7π π3＋ 7[ ，2]，∴sin θ＋cos θ＝(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝8 ，∵θ∈4 423－ 7 3①，sin θ－cos θ＝ ②，联立①②得，sin θ＝ .4 43 答案： 46．(2018·盐城中学月考)已知 sin θ，cos θ 是关于 x 的方程 x 2－ax ＋a ＝0(a ∈R)的两ππ 个根，则 cos 3( －θ)＋sin 3( －θ)的值为________．22解析：由已知原方程的判别式 Δ≥0，即(－a )2－4a ≥0，∴a ≥4 或 a ≤0.又Error!(sinθ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，则 a 2－2a －1＝0，从而 a ＝1－ 2或 a ＝1＋ 2(舍去)，因此ππsin θ＋cos θ＝sin θcos θ＝1－ 2.∴cos 3( －θ)＋sin 3( －θ)＝sin 3θ＋cos 3θ＝22(sin θ＋cos θ)(sin 2θ－sin θcos θ＋cos 2θ)＝(1－ 2)[1－(1－ 2)]＝ 2－2.答案： 2－2cos α－π3π7．化简：sin π－α·sin (α－ 2)·cos (－α)＝________.2cos α－π 3π－cos α解析：·sin·cos＝ ·(－cos α)·(－sin α)sin π－α(α－ 2)(－α)2sin α＝－cos 2α.答案：－cos 2αsin[k ＋1π＋α]·cos[k ＋1π－α] 8． 若 f (α)＝ (k ∈ Z)， 则 f (2 019)＝sin k π－α·cos k π＋α ________.解 析 ： ① 当k 为 偶 数 时 ， 设 k ＝ 2n (n ∈ Z)， 原 式 ＝sin 2n π＋π＋α·cos 2n π＋π－α －sin α·－cos α＝＝－1；sin 2n π－α·cos 2n π＋α－sin α·cos α②当 k 为奇数时，设 k ＝2n ＋1(n ∈Z)， sin[2n ＋2π＋α]·cos[2n ＋2π－α] 原式＝sin[2n ＋1π－α]·cos[2n ＋1π＋α] sin α·cos α＝＝－1.sin α·－cos α综上所述，当 k ∈Z 时，f (α)＝－1，故 f (2 019)＝－1. 答案：－1π 2cos( －θ)＋cos θ29．若角 θ 满足 ＝3，则 tan θ 的值为________．2sin π＋θ－3cos π－θπ 2cos( －θ)＋cos θ22sin θ＋cos θ解析：由＝3，得＝3，等式左边分2sinπ＋θ－3cosπ－θ－2sin θ＋3cos θ32tan θ＋1子分母同时除以cos θ，得＝3，解得tan θ＝1.－2tan θ＋3答案：1110．已知角A为△ABC的内角，且sin A＋cos A＝，则tan A的值为________．51 解析：∵sin A＋cos A＝，①51 12①式两边平方得1＋2sin A cos A＝，∴sin A cos A＝－，则(sin A－cos A)2＝25 2524 491－2sin A cos A＝1＋＝，∵角A为△ABC的内角，∴sin A＞0，又sin A cos A＝25 2512－＜0，∴cos A＜0，∴sin A－cos A＞0，257 则sin A－cos A＝.②544 3 sin A5 4 由①②可得sin A＝，cos A＝－，∴tan A＝＝＝－.5 5 cos A 3 3－54答案：－3二、解答题3π( ＋α)，求下列各式的值：11．已知sin(3π＋α)＝2sin2sin α－4cos α(1) ；5sin α＋2cos α(2)sin2α＋sin 2α.解：由已知得sin α＝2cos α.2cos α－4cos α 1(1)原式＝＝－.5 × 2cos α＋2cos α 6sin2α＋2sin αcos α(2)原式＝sin2α＋cos2αsin2α＋sin2α8＝＝.1 5sin2α＋sin2α412．已知关于x的方程2x2－( 3＋1)x＋m＝0的两根分别是sin θ和cos θ，θ∈(0,2π)，求：sin2θcos θ(1) ＋的值；sin θ－cos θ1－tan θ(2)m的值；(3)方程的两根及此时θ的值．4sin2θcos θ解：(1)原式＝＋sin θ－cos θsin θ1－cos θsin2θcos2θ＝＋sin θ－cos θcos θ－sin θsin2θ－cos2θ＝＝sin θ＋cos θ.sin θ－cos θ3＋1由条件知sin θ＋cos θ＝，2sin2θcos θ3＋1故＋＝.sin θ－cos θ1－tan θ 23＋1 m(2)由已知，得sin θ＋cos θ＝，sin θcos θ＝，2 23又1＋2sin θcos θ＝(sin θ＋cos θ)2，可得m＝.2(3)由Error!得Error!ππ 或Error!又θ∈(0,2π)，故θ＝或θ＝.3 65。
2019年高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 课时达标检测(十九)同角三角函数的基本关系与
九）同角三角函数的基本关系与诱导公式1．若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，sin α＝－35，则cos(－α)＝________.解析：因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，sin α＝－35，所以cos α＝45，则cos(－α)＝cos α＝45.答案：452．若sin θcos θ＝12，则tan θ＋cos θsin θ的值是________．解析：tan θ＋cos θsin θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝1cos θsin θ＝2.答案：23．设函数f (x )(x ∈R)满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ，当0≤x ＜π时，f (x )＝0，则f ⎝⎛⎭⎪⎫23π6＝________. 解析：由f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ，得f (x ＋2π)＝f (x ＋π)＋sin(x ＋π)＝f (x )＋sin x －sin x ＝f (x )，所以 f ⎝⎛⎭⎪⎫23π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π6＋2π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋5π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋sin 5π6.因为当0≤x ＜π时，f (x )＝0.所以f ⎝⎛⎭⎪⎫23π6＝0＋12＝12.答案：24．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝45，则tan α＝________.解析：∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝45，∴cos α＝－1－sin 2α＝－35，∴tanα＝sin αcos α＝－43.答案：－435.1－2sin 40°cos 40°cos 40°－1－sin 250°＝________. 解析：原式＝sin 240°＋cos 240°－2sin 40°cos 40°cos 40°－cos 50°＝|sin 40°－cos 40°|sin 50°－sin 40°＝|sin 40°－sin 50°|sin 50°－sin 40°＝sin 50°－sin 40°si n 50°－sin 40°＝1.答案：1 一、填空题1．sin(－600°)的值为________．解析：sin(－600°)＝sin(－720°＋120°)＝sin 120°＝32.2．已知tan(α－π)＝34，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝________. 解析：由tan(α－π)＝34得tan α＝34.又因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，所以α为第三象限的角，由⎩⎨⎧tan α＝sin αcos α＝34，sin 2α＋cos 2α＝1，可得，sin α＝－35，cos α＝－45.所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2＝cos α＝－45. 答案：－453．已知函数f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，且f (4)＝3，则f (2 019)的值为________．解析：∵f (4)＝a sin(4π＋α)＋b cos(4π＋β) ＝a sin α＋b cos β＝3，∴f (2 019)＝a sin(2 019π＋α)＋b cos(2 019π＋β) ＝a sin(π＋α)＋b cos(π＋β) ＝－a sin α－b cos β＝－(a sin α＋b cos β)＝－3. 答案：－34．已知2tan α·sin α＝3，－π2＜α＜0，则sin α＝________. 解析：因为2tan α·sin α＝3，所以2sin 2αcos α＝3，所以2sin 2α＝3cos α，即2－2cos 2α＝3cos α，所以cos α＝12或cos α＝－2(舍去)，又－π2＜α＜0，所以sin α＝－32. 答案：－325．若θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，sin θ·cos θ＝3716，则sin θ＝________.解析：∵sin θ·cos θ＝3716，∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θ·cos θ＝8＋378，(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝8－378，∵θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，∴sin θ＋cos θ＝3＋74 ①，sin θ－cos θ＝3－74 ②，联立①②得，sin θ＝34.答案：346．(xx·盐城中学月考)已知sin θ，cos θ是关于x 的方程x 2－ax ＋a ＝0(a ∈R)的两个根，则cos 3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＋sin 3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ的值为________．解析：由已知原方程的判别式Δ≥0，即(－a )2－4a ≥0，∴a ≥4或a ≤0.又⎩⎨⎧sin θ＋cos θ＝a ，sin θcos θ＝a ，(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，则a 2－2a－1＝0，从而a ＝1－2或a ＝1＋2(舍去)，因此sin θ＋cos θ＝sin θcos θ＝1－ 2.∴cos 3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＋sin 3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝sin 3θ＋cos 3θ＝(sin θ＋cosθ)(sin 2θ－sin θcos θ＋cos 2θ)＝(1－2)[1－(1－2)]＝2－2.答案：2－27．化简：cos α－πsinπ－α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝________.解析：cosα－πsin π－α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝－cos αsin α·(－cosα)·(－sin α)＝－cos 2α.答案：－cos 2α8．若f (α)＝sin[k ＋1π＋α]·cos[k ＋1π－α]sin k π－α·cos k π＋α(k ∈Z)，则f (2019)＝________.解析：①当k 为偶数时，设k ＝2n (n ∈Z)，原式＝sin2n π＋π＋α·cos 2n π＋π－αsin 2n π－α·cos2n π＋α＝－sin α·－cos α－sin α·cos α＝－1；②当k为奇数时，设k＝2n＋1(n∈Z)，原式＝sin[2n＋2π＋α]·cos[2n＋2π－α]sin[2n＋1π－α]·cos[2n＋1π＋α]＝sin α·cos αsin α·－cos α＝－1.综上所述，当k∈Z时，f(α)＝－1，故f(2 019)＝－1.答案：－19．若角θ满足2cos⎝⎛⎭⎪⎫π2－θ＋cos θ2sinπ＋θ－3cosπ－θ＝3，则tan θ的值为________．解析：由2cos⎝⎛⎭⎪⎫π2－θ＋cos θ2sinπ＋θ－3cosπ－θ＝3，得2sin θ＋cos θ－2sin θ＋3cos θ＝3，等式左边分子分母同时除以cos θ，得2tan θ＋1－2tan θ＋3＝3，解得tan θ＝1.答案：110．已知角A为△ABC的内角，且sin A＋cos A＝15，则tan A的值为________．解析：∵sin A＋cos A＝15，①①式两边平方得1＋2sin A cos A＝125，∴sin A cos A＝－1225，则(sin A－cos A )2＝1－2sin A cos A ＝1＋2425＝4925，∵角A 为△ABC 的内角，∴sin A ＞0，又sin A cosA ＝－1225＜0，∴cos A ＜0，∴sin A －cos A ＞0， 则sin A －cos A ＝75.②由①②可得sin A ＝45，cos A ＝－35，∴tan A ＝sin Acos A＝45－35＝－43. 答案：－43二、解答题11．已知sin(3π＋α)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α，求下列各式的值： (1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α；(2)sin 2α＋sin 2α.解：由已知得sin α＝2cos α.(1)原式＝2cos α－4cos α5×2cos α＋2cos α＝－16.(2)原式＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝sin 2α＋sin 2αsin 2α＋14sin 2α＝85.12．已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋m ＝0的两根分别是sin θ和cos θ，θ∈(0,2π)，求：(1)sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－tan θ的值；(2)m 的值；(3)方程的两根及此时θ的值．解：(1)原式＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－sin θcos θ＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos 2θcos θ－sin θ ＝sin 2θ－cos 2θsin θ－cos θ＝sin θ＋cos θ. 由条件知sin θ＋cos θ＝3＋12， 故sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－tan θ＝3＋12. (2)由已知，得sin θ＋cos θ＝3＋12，sin θcos θ＝m 2，又1＋2sin θcos θ＝(sin θ＋cos θ)2，可得m ＝32.(3)由⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝3＋12，sin θcos θ＝34，得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝32，cos θ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝12，cos θ＝32.又θ∈(0,2π)，故θ＝π3或θ＝π6.29991 7527 甧29013 7155 煕39814 9B86 鮆faJ37497 9279 鉹38112 94E0 铠40707 9F03 鼃26503 6787 枇29629 73BD 玽21507 5403 吃25164 624C 扌P1。
全国通用近年高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角形课时达标检测(十九)三角函数的图象与性质文(2
（全国通用版）2019版高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角形课时达标检测（十九）三角函数的图象与性质文编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（全国通用版）2019版高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角形课时达标检测（十九）三角函数的图象与性质文）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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课时达标检测（十九）三角函数的图象与性质［小题对点练——点点落实]对点练(一）三角函数的定义域和值域1．（2018·安徽联考）已知函数y＝2cos x的定义域为错误!，值域为[a，b],则b－a的值是（）A．2 B．3C。
错误!＋2 D．2－错误!解析:选B 因为函数y＝2cos x的定义域为错误!，所以函数y＝2cos x的值域为［－2,1］，所以b－a＝1－(－2）＝3，故选B.2．函数y＝cos2x－2sin x的最大值与最小值分别为（)A．3，－1 B．3，－2C．2,－1 D．2，－2解析：选D y＝cos2x－2sin x＝1－sin2x－2sin x＝－sin2x－2sin x＋1，令t＝sin x,则t∈［－1，1］，y＝－t2－2t＋1＝－(t＋1)2＋2，所以最大值为2，最小值为－2。
3．已知函数f（x）＝a错误!＋b，若x∈［0，π]时，函数f(x)的值域是［5,8]，则ab 的值为( ）A．152－15或24－24错误!B．15错误!－15C．24－242D．15错误!＋15或24＋24错误!解析：选A f（x）＝a(1＋cos x＋sin x)＋b＝错误!a sin错误!＋a＋b。
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课时达标检测（十八） 同角三角函数的基本关系与诱导公式[小题对点练——点点落实]对点练(一) 同角三角函数的基本关系1．若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值为( )A.125 B ．－125C.512D ．－512解析：选D 因为α为第四象限角，故cos α＝1－sin 2α＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－5132＝1213，所以tan α＝sin αcos α＝－5131213＝－512.2．(2018·绵阳诊断)已知2sin α＝1＋cos α，则tan α的值为( ) A ．－43B.43 C ．－43或0D.43或0 解析：选D 由2sin α＝1＋cos α得sin α≥0，且4sin 2α＝1＋2cos α＋cos 2α，因而5cos 2α＋2cos α－3＝0，解得cos α＝35或cos α＝－1，那么tan α＝43或0，故选D.3．若sin θ＋cos θ＝23，则tan θ＋1tan θ＝( )A.518 B ．－518C.185D ．－185解析：选D 由sin θ＋cos θ＝23，得1＋2sin θcos θ＝49，即sin θcos θ＝－518，则tan θ＋1tan θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝1sin θcos θ＝－185，故选D.4．(2017·湖南衡阳二模)已知θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2且sin θ＋cos θ＝a ，其中a ∈(0,1)，则tan θ的可能取值是( )A ．－3B ．3或13C ．－13D ．－3或－13解析：选C sin θ＋cos θ＝a ，两边平方可得2sin θ·cos θ＝a 2－1，由a ∈(0,1)得sin θ·cos θ<0，又∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴cos θ>0，∴sin θ<0，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，又由sin θ＋cos θ＝a >0知|sin θ|<|cos θ|，∴θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0，从而tanθ∈(－1,0)．故选C.5．已知A 为三角形的内角，sin A ＝45，则5cos A ＋23tan A －2＝________.解析：由A 为三角形的内角，sin A ＝45，得cos A ＝35，tan A ＝43或cos A ＝－35，tan A＝－43，因而5cos A ＋23tan A －2＝3＋24－2＝52或5cos A ＋23tan A －2＝－3＋2－4－2＝16.答案：52或166．(2017·福建漳州二模)已知θ是三角形的一个内角，且sin θ、cos θ是关于x 的方程4x 2＋px －2＝0的两根，则θ＝________.解析：由题意知sin θ·cos θ＝－12，联立⎩⎪⎨⎪⎧sin 2θ＋cos 2θ＝1，sin θ·cos θ＝－12，得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝22，cos θ＝－22，或⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝－22，cos θ＝22，又θ为三角形的一个内角，∴sinθ>0，则cos θ＝－22，∴θ＝3π4. 答案：3π47．(2018· 湖北黄冈中学检测)已知α∈R ，sin 2α＋4sin αcos α＋4cos 2α＝52，则tan α＝________.解析：∵sin 2α＋4sin αcos α＋4cos 2α ＝sin 2α＋4sin αcos α＋4cos 2αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α＋4tan α＋4tan 2α＋1＝52， ∴3tan 2α－8tan α－3＝0， 解得tan α＝3或－13.答案：3或－13对点练(二) 三角函数的诱导公式1．(2018·广州模拟)已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|<π2，则θ＝( )A ．－π6B ．－π3C.π6D.π3解析：选D ∵sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，∴－sin θ＝－3cos θ，∴tan θ＝ 3.∵|θ|<π2，∴θ＝π3.2．(2018·江西南昌模拟)已知sin θ＝13，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则sin(π－θ)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ的值为( )A.229B ．－229C.19D ．－19解析：选B ∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴cos θ＝1－sin 2θ＝1－19＝223.∴sin(π－θ)sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－θ＝－sin θcos θ＝－13×223＝－229.3．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π6＋x ＝15，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＝( )A ．－15B.15C.25D ．－25解析：选A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π＋π6＋x ＝－sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6＋x ＝－15.4．(2018·福建四地六校联考)已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α 的值是( )A.355 B.377C.31010D.13解析：选C 由已知可得－2tan α＋3sin β＋5＝0，tan α－6sin β－1＝0，可解得tan α＝3，又α为锐角，故sin α＝31010.5．(2018·江西九江七校联考)已知tan(π－α)＝－23，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2，则cos －α ＋3sin π＋αcos π－α ＋9sin α＝( )A ．－15B ．－37C.15D.37解析：选A 由tan(π－α)＝－23，得tan α＝23.cos －α ＋3sin π＋α cos π－α ＋9sin α＝cos α－3sin α－cos α＋9sin α＝1－3tan α－1＋9tan α＝1－2－1＋6＝－15.故选A.6．(2018·河北沧州模拟)已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线4x －y ＝0上，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋θ＋cos π－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ－sin π－θ ＝( )A ．－23B ．2C ．0D.23解析：选D 设点P (a,4a )(a ≠0)为角θ终边上任意一点，根据三角函数的定义有tanθ＝y x ＝4，再根据诱导公式，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋θ＋cos π－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ－sin π－θ＝－2cos θcos θ－sin θ＝－21－tan θ＝23.故选D.[大题综合练——迁移贯通]1．(2018·河北衡水武邑中学调考)已知sin α＝255，求tan(α＋π)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－α的值．解：tan(α＋π)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－α＝tan α＋cos αsin α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α.∵sin α＝255>0，∴α为第一或第二象限角．当α为第一象限角时，cos α＝1－sin 2α＝55，则原式＝1sin αcos α＝52； 当α为第二象限角时，cos α＝－1－sin 2α＝－55，则原式＝1sin αcos α＝－52. 2．已知α为第三象限角，f (α)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α·tan π－αtan －α－π ·sin －α－π .(1)化简f (α)；(2)若cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π2＝15，求f (α)的值． 解：(1)f (α)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α·tan π－αtan －α－π ·sin －α－π＝－cos α ·sin α· －tan α－tan α ·sin α＝－cos α.(2)∵cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π2＝15， ∴－sin α＝15，从而sin α＝－15.又α为第三象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－265，∴f (α)＝－cos α＝265.3．(2017·山西孝义二模)已知sin(3π＋α)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α，求下列各式的值． (1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α； (2)sin 2α＋sin 2α. 解：∵sin(3π＋α)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α， ∴－sin α＝－2cos α， 即sin α＝2cos α.(1)原式＝2cos α－4cos α10cos α＋2cos α＝－212＝－16.(2)∵sin α＝2cos α，∴tan α＝2， ∴原式＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α ＝tan 2α＋2tan αtan 2α＋1＝4＋44＋1＝85.。