考点11 导数与函数的单调性-2018版典型高考数学试题解读与变式(解析版)

典型高考数学试题解读与变式2018版

考点十一： 导数与函数的单调性

【考纲要求】

（1）了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）.

（2）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）. 【命题规律】

利用导数研究函数的单调性是高考的热点问题，常常会考查利用导数研究含参函数的单调性，极值. 预计2017年的高考将会在大题中考查利用导数研究函数单调性的问题，命题形式会更加灵活、新颖． 【典型高考试题变式】

（一）原函数与其导函数的图像问题

例1.【2017浙江高考】函数()y f x =的导函数()y f x '=的图像如图所示，则函数()y f x =的图像可能是（ ）.

【答案】D

【解析】导数大于零，原函数递增，导数小于零，原函数递减，对照导函数图像和原函数图像.故选D ． 【方法技巧归纳】在(,)a b 内可导函数()f x ，'()f x 在(,)a b 任意子区间内都不恒等于

0.

C.

'()0()f x f x ≥⇔在(,)a b 上为增函数．'()0()f x f x ≤⇔在(,)a b 上为减函数．且导函数单调性可以判

原函数图像的凹凸性：若)('x f 大于0且递增，则原函数)(x f 图像递增且下凹；若大于0且递减，则原函数)(x f 图像递增且上凸.

【变式1】【改编例题中条件，通过原函数的性质判断导函数的图像】【2018河北内丘中学8月月考（理）】设函数()f x 的导函数为()f x '，若()f x 为偶函数，且在()0,1上存在极大值，则()f x '的图象可能为（ ）学*科网

A.

B. C. D.

【答案】C

【解析】根据题意,若f (x )为偶函数,则其导数f ′(x )为奇函数，结合函数图象可以排除B . D ，又由函数f (x )在(0,1)上存在极大值,则其导数图象在(0,1)上存在零点，且零点左侧导数值符号为正，右侧导数值符号为负， 结合选项可以排除A ，只有C 选项符合题意；本题选择C 选项.

【变式2】【改编例题中条件，给定解析式，判断其导函数的图像】【2017陕西渭南市二质检】函数

()2

sin 20142

x f x x =++，则()'f x 的大致图象是 （ ）

A.

B. C. D.

【答案】B

（二）用导数求不含参数的单调区间

例2.【2017全国2卷（文）】设函数()(

)2

1e x

f x x =-.

（1）讨论()f x 的单调性.

【答案】()f x 在区间()

,1-∞，)1,+∞是减函数，在区间()

1是增函数.

【解析】（1）()()

()

222e 1e 12e x x x f x x x x x '=-+-=--， 令()0f x '=得

2210x x +-=，解得11x =，21x ， 所以()f x 在区间()

,1-∞，

)1,+∞是减函数，在区间()

1是增函数.

【方法技巧归纳】利用导数求不含参数的单调性容易出错的地方就是：求导，求解不等式，写出单调区间.单调性相同的两个区间一般要用“和”或“，”连接，不能用“或”或“ ”.

【变式1】【改编函数条件，函数中含分式】【2016全国2卷（理）】（1）讨论函数2()e 2

x

x f x x -=+的单调性，并证明当0x >时，(2)e 20;x x x -++>

【答案】()f x 在()()22,-∞--+∞，

和上单调递增，在]2,2(-上单调递减.

（三）用导数求含参函数的单调区间

例3.【2017全国1卷（理）】已知函数()()2e

2e x

x f x a a x =+--.

（1）讨论()f x 的单调性；

【答案】见解析

【解析】（1）由于()()2e 2e x x

f x a a x =+--，

故()()()()22e 2e 1e 12e 1x x x x

f x a a a '=+--=-+.

①当0≤a 时，e 10x a -<，2e 10x +>．从而()0f x '<恒成立．

()f x 在R 上单调递减.

②当0a >时，令()0f x '=，从而e 10x a -=，得ln x a =-．

综上，当0≤a 时，()f x 当0a >时，()f x 在(,ln )a -∞-上单调递减，在(ln ,)a -+∞上单调递增.

【方法技巧归纳】1.求函数的单调区间方法一：①确定函数()y f x =的定义域； ②求导数''()y f x =；

③解不等式'()0f x ≥，解集在定义域内的部分为单调递增区间； ④解不等式'()0f x ≤，解集在定义域内的部分为单调递减区间． 2.求函数的单调区间方法二：①确定函数()y f x =的定义域；

②求导数''()y f x =，令f′(x)＝0，解此方程，求出在定义区间内的一切实根；

③把函数()f x 的间断点(即()f x 的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数()f x 的定义区间分成若干个小区间；

④确定'()f x 在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性．

【变式1】【例题中函数变为求导函数的“主导”函数为二次函数型】【2017全国3卷（文）改编】已知函数()()2

ln 21f x x ax a x =+++．

（1）讨论()f x 的单调性；