第5讲简单一笔画

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第5讲一笔画成

一笔画成知识点：1．概念：一笔画是指笔不离开纸，而且每条线都只画一次不准重复而画成的图形。

2．图中的点可分两大类：（1）双数点：从这点出发的线的数目是双数的，叫双数点。

（2）单数点：从这点出发的线的数目是单数的，叫单数点。

3．规律----一个图形能否一笔画成，关键在于图中单数点的多少。

（1）凡是图形中没有单数点的一定可以一笔画成。

（2）凡是图形中只有两个单数点，一定可以一笔画成，画时必须从一个单数点为起点，最后以另一单数点为终点。

（3）凡是图形中单数点的个数多于两个时，此图肯定是不能一笔画成。

例1、判断下面图形中哪些点是单数点哪些点是双数点。

练习1：数数图中有几个单数点，几个双数点。

例2、下列图形中各有几个单数点？能一笔画成吗？分析：一个图能不能一笔画成与它包含的单数点有关，有___个或___个单数点的图能够一笔画成，其他的不能一笔画成。

练习2：下列图形能一笔画成吗？为什么？例3、下图能不能一笔画成？如果能，应该怎样画？练习3：判断下列各图能否一笔画成，并说明理由。

能一笔话画成的试着画一画。

例4、下图能否一笔画成？如果不能，用什么方法使它一笔画成？练习4：将下列各图改成一笔画。

例5、下图是某新村小区主干道平面图，甲、乙两人同时分别从A、B两点出发，以相同的速度走遍所有的主干道，最后到达C点。

谁能先到达C点？练习5：1、园林工人在花园里浇花，怎样走才能不重复地走遍每条小路？2、李叔叔驾驶洒水车给小区路面洒水，规定每条路必须洒水，且不能重复走。

李叔叔应该怎样走？3、下图是李叔叔每天送牛奶所走的路线图，为了让该小区居民早点喝到新鲜的牛奶，王叔叔准备设计一种最好的方案，是自己不重复走每条路。

同学们，你有办法吗？课后作业。

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第五讲一笔画
一笔画在二三年级都要学习，二年级通过一笔画的游戏来发现一笔画的规律，能判断哪些图像能一笔画，哪些不能一笔画，并且会利用一笔画解决生活中的一些问题。

基本概念：
一笔画：笔不离开纸，每条线只画一次，不能重复。

（点可以重复）
奇点：从一点发射的线有奇数个
偶点：从一点发射的线有偶数个
一、一笔画规律：
（1）必须是连通的
（2）有0个或者2个奇点
二、一笔画判断步骤：
（1）看是不是连通的
（2）查奇点数，0或者2个就可以
注意：查奇点的时候一定要注意找全，不能漏掉，尤其是端点，比如
上下两个端点一定不能忘了
三、一笔画的画法：
0个奇点：从任意一个几点出发都可以，最后回到这一点。

2个奇点：从其中一个奇点出发，最后到另一个奇点结束四、多笔画转化成一笔画
思想：减少几点个数，使变成只有2或者0个奇点的图形方法：一般是在两个奇点之间连上一条线
五、把实际问题转化成一笔画问题
一笔画问题最重要的就是找奇点！。

第五讲一笔画问题

第五讲一笔画问题一天，小明做完作业正在休息，收音机中播放着轻松、悦耳的音乐.他拿了支笔，信手在纸上写了“中”、“日”、“田”几个字.突然，他脑子里闪出一个念头，这几个字都能一笔写出来吗？他试着写了写，“中”和“日”可以一笔写成（没有重复的笔划），但写到“田”字，试来试去也没有成功.下面是他写的字样.（见下图）这可真有意思！由此他又联想到一些简单的图形，哪个能一笔画成，哪个不能一笔画成呢？下面是他试着画的图样.（见下图）经过反复试画，小明得到了初步结论：图中的（1）、（3）、（5）能一笔画成；（2）、（4）、（6）不能一笔画成.真奇怪！小明发现，简单的笔画少的图不一定能一笔画得出来.而复杂的笔画多的图有时反倒能够一笔画出来，这其中隐藏着什么奥秘呢？小明进一步又提出了如下问题：如果说一个图形是否能一笔画出不决定于图的复杂程度，那么这事又决定于什么呢？能不能找到一条判定法则，依据这条法则，对于一个图形，不论复杂与否，也不用试画，就能知道是不是能一笔画成？先从最简单的图形进行考察.一些平面图形是由点和线构成的.这里所说的“线”，可以是直线段，也可以是一段曲线.而且为了明显起见，图中所有线的端点或是几条线的交点都用较大的黑点“●”表示出来了. 首先不难发现，每个图中的每一个点都有线与它相连；有的点与一条线相连，有的点与两条线相连，有的点与3条线相连等等. 其次从前面的试画过程中已经发现，一个图能否一笔画成不在于图形是否复杂，也就是说不在于这个图包含多少个点和多少条线，而在于点和线的连接情况如何——一个点在图中究竟和几条线相连.看来，这是需要仔细考察的.第一组（见下图）（1）两个点，一条线. 每个点都只与一条线相连. （2）三个点. 两个端点都只与一条线相连，中间点与两条线连. 第一组的两个图都能一笔画出来. （但注意第（2）个图必须从一个端点画起）第二组（见下图）（1）五个点，五条线. A点与一条线相连，B点与三条线相连，其他的点都各与两条线相连. （2）六个点，七条线.（“日”字图） A点与B点各与三条线相连，其他点都各与两条线相连. 第二组的两个图也都能一笔画出来，如箭头所示那样画.即起点必需是A点（或B点），而终点则定是B点（或A点）. 第三组（见下图）（1）四个点，三条线. 三个端点各与一条线相连，中间点与三条线相连. （2）四个点，六条线. 每个点都与三条线相连. （3）五个点，八条线. 点O与四条线相连，其他四个顶点各与三条线相连. 第三组的三个图形都不能一笔画出来. 第四组（见下图）（1）这个图通常叫五角星. 五个角的顶点各与两条线相连，其他各点都各与四条线相连. （2）由一个圆及一个内接三角形构成. 三个交点，每个点都与四条线相连（这四条线是两条线段和两条弧线）. （3）一个正方形和一个内切圆构成. 正方形的四个顶点各与两条线相连，四个交点各与四条线相连. （四条线是两条线段和两条弧线）. 第四组的三个图虽然比较复杂，但每一个图都可以一笔画成，而且画的时候从任何一点开始画都可以.第五组（见下图）（1）这是“品”字图形，它由三个正方形构成，它们之间没有线相连. （2）这是古代的钱币图形，它是由一个圆形和中间的正方形方孔组成.圆和正方形之间没有线相连. 第五组的两个图形叫不连通图，显然不能一笔把这样的不连通图画出来. 进行总结、归纳，看能否找出可以一笔画成的图形的共同特点，为方便起见，把点分为两种，并分别定名：把和一条、三条、五条等奇数条线相连的点叫做奇点；把和两条、四条、六条等偶数条线相连的点叫偶点，这样图中的要么是奇点，要么是偶点. 提出猜想：一个图能不能一笔画成可能与它包含的奇点个数有关，对此列表详查：从此表来看，猜想是对的.下面试提出几点初步结论： ①不连通的图形必定不能一笔画；能够一笔画成的图形必定是连通图形. ②有0个奇点（即全部是偶点）的连通图能够一笔画成.（画时可以任一点为起点，最后又将回到该点）. ③只有两个奇点的连通图也能一笔画成（画时必须以一个奇点为起点，而另一个奇点为终点）； ④奇点个数超过两个的连通图形不能一笔画成.最后，综合成一条判定法则：有0个或2个奇点的连通图能够一笔画成，否则不能一笔画成. 能够一笔画成的图形，叫做“一笔画”. 用这条判定法则看一个图形是不是一笔画时，只要找出这个图形的奇点的个数来就能行了，根本不必用笔试着画来画去. 看看下面的图可能会加深你对这条法则的理解.从画图的过程来看：笔总是先从起点出发，然后进入下一个点，再出去，然后再进出另外一些点，一直到最后进入终点不再出来为止.由此可见： ①笔经过的中间各点是有进有出的，若经过一次，该点就与两条线相连，若经过两次则就与四条线相连等等，所以中间点必为偶点.②再看起点和终点，可分为两种情况：如果笔无重复地画完整个图形时最后回到起点，终点和起点就重合了，那么这个重合点必成为偶点，这样一来整个图形的所有点必将都是偶点，或者说有0个奇点；如果笔画完整个图形时最后回不到起点，就是终点和起点不重合，那么起点和终点必定都是奇点，因而该图必有2个奇点，可见有0个或2个奇点的连通图能够一笔画成.。

小学二年级奥数下学期一笔画问题教

第五讲一笔画问题一天，小明做完作业正在休息，收音机中播放着轻松、悦耳的音乐.他拿了支笔，信手在纸上写了“中”、“日”、“田”几个字.突然，他脑子里闪出一个念头，这几个字都能一笔写出来吗？他试着写了写，“中”和“日”可以一笔写成（没有重复的笔划），但写到“田”字，试来试去也没有成功.下面是他写的字样.（见下图）这可真有意思！由此他又联想到一些简单的图形，哪个能一笔画成，哪个不能一笔画成呢？下面是他试着画的图样.（见下图）经过反复试画，小明得到了初步结论：图中的（1）、（3）、（5）能一笔画成；（2）、（4）、（6）不能一笔画成.真奇怪！小明发现，简单的笔画少的图不一定能一笔画得出来.而复杂的笔画多的图有时反倒能够一笔画出来，这其中隐藏着什么奥秘呢？小明进一步又提出了如下问题：如果说一个图形是否能一笔画出不决定于图的复杂程度，那么这事又决定于什么呢？能不能找到一条判定法则，依据这条法则，对于一个图形，不论复杂与否，也不用试画，就能知道是不是能一笔画成？先从最简单的图形进行考察.一些平面图形是由点和线构成的.这里所说的“线”，可以是直线段，也可以是一段曲线.而且为了明显起见，图中所有线的端点或是几条线的交点都用较大的黑点“●”表示出来了.首先不难发现，每个图中的每一个点都有线与它相连；有的点与一条线相连，有的点与两条线相连，有的点与3条线相连等等.其次从前面的试画过程中已经发现，一个图能否一笔画成不在于图形是否复杂，也就是说不在于这个图包含多少个点和多少条线，而在于点和线的连接情况如何——一个点在图中究竟和几条线相连.看来，这是需要仔细考察的.第一组（见下图）（1）两个点，一条线.每个点都只与一条线相连.（2）三个点.两个端点都只与一条线相连，中间点与两条线连.第一组的两个图都能一笔画出来.（但注意第（2）个图必须从一个端点画起）第二组（见下图）（1）五个点，五条线.A点与一条线相连，B点与三条线相连，其他的点都各与两条线相连.（2）六个点，七条线.（“日”字图）A点与B点各与三条线相连，其他点都各与两条线相连.第二组的两个图也都能一笔画出来，如箭头所示那样画.即起点必需是A点（或B点），而终点则定是B点（或A点）.第三组（见下图）（1）四个点，三条线.三个端点各与一条线相连，中间点与三条线相连.（2）四个点，六条线.每个点都与三条线相连.（3）五个点，八条线.点O与四条线相连，其他四个顶点各与三条线相连.第三组的三个图形都不能一笔画出来.第四组（见下图）（1）这个图通常叫五角星.五个角的顶点各与两条线相连，其他各点都各与四条线相连.（2）由一个圆及一个内接三角形构成.三个交点，每个点都与四条线相连（这四条线是两条线段和两条弧线）.（3）一个正方形和一个内切圆构成.正方形的四个顶点各与两条线相连，四个交点各与四条线相连.（四条线是两条线段和两条弧线）.第四组的三个图虽然比较复杂，但每一个图都可以一笔画成，而且画的时候从任何一点开始画都可以.第五组（见下图）（1）这是“品”字图形，它由三个正方形构成，它们之间没有线相连.（2）这是古代的钱币图形，它是由一个圆形和中间的正方形方孔组成.圆和正方形之间没有线相连.第五组的两个图形叫不连通图，显然不能一笔把这样的不连通图画出来.进行总结、归纳，看能否找出可以一笔画成的图形的共同特点，为方便起见，把点分为两种，并分别定名：把和一条、三条、五条等奇数条线相连的点叫做奇点；把和两条、四条、六条等偶数条线相连的点叫偶点，这样图中的要么是奇点，要么是偶点.提出猜想：一个图能不能一笔画成可能与它包含的奇点个数有关，对此列表详查：从此表来看，猜想是对的.下面试提出几点初步结论：①不连通的图形必定不能一笔画；能够一笔画成的图形必定是连通图形.②有0个奇点（即全部是偶点）的连通图能够一笔画成.（画时可以任一点为起点，最后又将回到该点）.③只有两个奇点的连通图也能一笔画成（画时必须以一个奇点为起点，而另一个奇点为终点）；④奇点个数超过两个的连通图形不能一笔画成.最后，综合成一条判定法则：有0个或2个奇点的连通图能够一笔画成，否则不能一笔画成.能够一笔画成的图形，叫做“一笔画”.用这条判定法则看一个图形是不是一笔画时，只要找出这个图形的奇点的个数来就能行了，根本不必用笔试着画来画去.看看下面的图可能会加深你对这条法则的理解.从画图的过程来看：笔总是先从起点出发，然后进入下一个点，再出去，然后再进出另外一些点，一直到最后进入终点不再出来为止.由此可见：①笔经过的中间各点是有进有出的，若经过一次，该点就与两条线相连，若经过两次则就与四条线相连等等，所以中间点必为偶点.②再看起点和终点，可分为两种情况：如果笔无重复地画完整个图形时最后回到起点，终点和起点就重合了，那么这个重合点必成为偶点，这样一来整个图形的所有点必将都是偶点，或者说有0个奇点；如果笔画完整个图形时最后回不到起点，就是终点和起点不重合，那么起点和终点必定都是奇点，因而该图必有2个奇点，可见有0个或2个奇点的连通图能够一笔画成.。

奥数讲座(2年级-下)(15讲)

二年级奥数讲座（二）目录第一讲机智与顿悟第二讲数数与计数第三讲速算与巧算第四讲数与形相映第五讲一笔画问题第六讲七座桥问题第七讲数字游戏问题（一）第八讲数字游戏问题（二）第九讲整数的分拆第十讲枚举法第十一讲找规律法第十二讲逆序推理法第十三讲画图显示法第十四讲等量代换法第十五讲等式加减法第一讲机智与顿悟数学需要踏实与严谨，也含有机智与顿悟．例1 在美国把5月2日写成5/2，而在英国把5月2日写成2/5．问在一年之中，在两国的写法中，符号相同的有多少天？解：一年中两国符号相同的日子共有12天．它们是：一月一日 1/1 七月七日 7/7二月二日 2/2 八月八日 8/8三月三日 3/3 九月九日 9/9四月四日 4/4 十月十日 10/10五月五日 5/5 十一月十一日 11/11六月六日 6/6 十二月十二日 12/12注意由差异应当想到统一，有差异就必须有统一，仔细想一想这道题就会有所领悟．例2 有一个老妈妈，她有三个男孩，每个男孩又都有一个妹妹，问这一家共有几口人？解：全家共有5口人．妹妹的年龄最小，她是每一个男孩的妹妹．如果你列出算式：1个妈妈+3个男孩+3个妹妹=7口人那就错了．为什么呢？请你想一想．例3 小明给了小刚2支铅笔，他们俩的铅笔数就一样多了，问小明比小刚多几支铅笔？解：小明比小刚多4支铅笔．注意，可不是多2支；如果只多2支的话，小明给小刚后，小刚就反而比小明多2支，不会一样多了．例4 小公共汽车正向前跑着，售票员对车内的人数数了一遍，便说道，车里没买票的人数是买票的人数的2倍．你知道车上买了票的乘客最少有几人吗？解：最少1人．因为售票员和司机是永远不必买票的，这是题目的“隐含条件”．有时发现“隐含条件”会使解题形势豁然开朗．例5 大家都知道：一般说来，几个数的和要比它们的积小，如2+3+4比2×3×4小．那么请你回答：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这几个数相加的和大还是相乘的积大？解：和大．注意：“0”是个很有特点的数．①0加到任何数上仍等于这个数本身；②0乘以任何数时积都等于0；把它们写出来就是：0+1+2+3+4+5+6+7+8+9=450×1×2×3×4×5×6×7×8×9=0所以，应当重视特例．例6 两个数的和比其中一个数大17，比另一个数大15，你知道这两个数都是几？你由此想到一般关系式吗？解：这两个数就是17和15．因为它们的和比15大17，又比17大15．由一个特例联想、推广到一般，是数学思维的特点之一．此题可能引起你如下联想：和-15=17，那么和=15+17．一般和=一个数+另一个加数，或写成：和-一个加数=另一个加数，或写成：被减数-减数=差，也可写成：被减数-差=减数．以上这些都是你从课本上学过的内容，这里不过是把它们联想到一起罢了．学数学要注意联想，学会联想才能融会贯通．例7 小明和小英一同去买本，小明买的是作文本，小英买的是数学本．已知小英买的数学本的本数是小明买的作文本的2倍．又知一本作文本的价钱却是一本数学本的价钱的2倍，请问他俩谁用的钱多？解：他俩花的钱一样多．可以这样想：因为作文本的价钱是数学本的2倍，所以把买作文本的钱用来买数学本，同样多的钱所买到的本数应该是作文本的2倍，这刚好与题意相符．可见两人花的钱一样多．结论是隐含着的，推理就是要把它明明白白地想通，写出来的推理过程就叫“证明”，这是同学们现在就可以知道的．例8 中午放学的时候，还在下雨，大家都盼着晴天．小明对小英说：“已经连续三天下雨了，你说再过36小时会出太阳吗？”小朋友你说呢？解：不会出太阳．因为从中午起再过36个小时正好是半夜．而阴雨天和夜里是不会出太阳的．注意：解题的第一要义是首先明确“问什么”，而且要紧紧抓住“问什么”？“问什么”是思考目标，这就好比小朋友走着来上学，学校是你走路的目的，试想，如果你走路没有目标，结果会怎样？本题迷惑人的地方就是想用阴天下雨把你的注意力从应当思考的目标引开，给你的思维活动造成干扰．学会删繁就简，抓住目标，将会大大地提高你的解题效率．例9 一位画家想订做一个像框，用来装进他的立体画．他画了一张像框的尺寸图拿给你看（右图），请你帮他算算，需要多长的材料才能做好？（画家说，材料粗细要求一样，形状尺寸一定要按图示加工，拐角部分都要做成直角）．解：不管多长的材料，像框也无法做成．从每一部分来说，这个图看来是合理的，但从整体上看，这个图是“荒谬的”、“失调的”．用一句普通的话说，就是“有点不对劲的”．请你注意，对现实生活觉得有点不对劲的感觉是创造性的起因．习题一1．如右图所示，若每个圆圈里都有五只蚂蚁，问右图中一共应有多少只蚂蚁？2．一个课外小组活动日，老师进教室一看，来参加活动的学生只占教室里全体人数的一半．老师很生气．你知道这天共来了多少学生吗？3．小林和小蓉两人口袋里各有10元钱．两人去书店买书．买完书后发现，小林花去的钱正好和小蓉剩下的钱数一样多．请问，现在他们两人一共还有多少钱？4．满满一杯牛奶，小明先喝了半杯；然后添水加满，之后再喝去半杯；再一次添水加满，最后把它全部喝完．请问小明一共喝了多少杯牛奶多少杯水？5．小黄和小兰想买同一本书．小黄缺一分钱，小兰缺4角2分钱．若用他俩的钱合买这本书，钱还是不够．请问这本书的价钱是多少？他俩各有多少钱？6．一个骑自行车的人以每小时10公里的速度从一个城镇出发去一个村庄；与此同时，另一个人步行，以每小时5公里的速度从那个村庄出发去那个城镇．经过一小时后他们相遇．问这时谁离城镇较远，是骑车的人还是步行的人？7．有人去买葱，他问多少钱一斤．卖葱的说：“1角钱1斤．”买葱的说：“我要都买了．不过要切开称．从中间切断，葱叶那段每斤2分，葱白那部分每斤8分．你卖不卖？”卖葱的一想：“8分+2分就是1角”．他就同意全部卖了．但是卖后一算账，发现赔了不少钱．小朋友，你知道为什么吗？8．一天鲍勃用赛车送海伦回家．汽车在快车道上急驶．鲍勃看到前面有辆大卡车．灵机一动，突然向海伦提出了一个巧妙的问题．鲍勃说：“海伦，你看！前面那辆大卡车开得多快！但是我们可以超过它．假定现在我们在它后面正好是1500米，它以每分钟1000米的速度前进，而我用每分钟1100米的速度追赶它，我们这样一直开下去，到时候肯定会从后面撞上它．但是，海伦，请你告诉我，在相撞前一分钟，我们与它相距多少米？”聪明的海伦略加思考立刻回答了鲍勃的问题．小朋友，你也能回答吗？9．小明家附近有个梯形公园，公园中有4棵树排成了一行，如图所示．小明每天放学回家都要到公园里去玩一会儿．有一天，他玩着玩着突然想出了一个问题：“能不能把公园分成大小和形状都相同的4块，而且每一块上保留一棵树？”回到家以后，他又和爸爸妈妈一块儿讨论，终于像小明想的那样分好了，小明非常高兴．小朋友，你也回家与爸爸妈妈讨论讨论，看能不能分好？10．小莉在少年宫学画油画．一天，他找到了一块中间有个圆孔的纸板．他想把这块板分成两块，重新组合成一块调色板，如下图，小朋友看该怎么切才好呢？注意：回顾由第9题到第10题的解题思路，这里有一个克服“思维定势”的问题．在做第9题时，你可能费了很大劲，把大梯形这样划分，那样划分，试来试去，最终得到了满意的结果．做完了第9题后这种思考问题的方式方法就可能深深地在你的头脑中扎根了．当你着手解第10题时，你可能还是沿着原来的思路，按原来的思维方式处理面临的新问题，这种情况心理学上就叫做“思维定势”．思维定势不利于创造性的发挥，从这个意义上讲，有人说学习的最大障碍是头脑中已有的东西，是有一定道理的，你在做第10题时，对此大概也有体会了吧！今后要以此为训．对本讲其它各题，在你做完以后也希望你做一些回顾和总结，以便发现些更有价值的东西，使自己变得更聪明起来．习题一解答1．解：一共只有5只蚂蚁．如右图所示，每一个圆圈里都有五只蚂蚁．2．解：只来了一名学生．教室里共有两人，另一个人是老师，所以说学生占教室里全体人数的一半．3．解：他们两人此时一共还有10元．如下图所示．4．解：小明共喝了一杯牛奶和一杯水．因为原来就有一杯牛奶，最后喝光了；后来又加了两次水，每次半杯，合起来是一杯水，最后也喝光了．5．解：这本书的价钱就是4角2分钱．小黄有4角1分钱（所以买书还差1分），小兰1分钱都没有，所以他若买这本书，还差4角2分钱；小兰若是有1分钱的话，他俩的钱合起来也就够买这本书了．6．解：相遇后，两人就在一处了，此时二人离城自然一样远．7．解：按照买葱人的说法，葱叶那段每斤2分，葱白那段每斤8分，合起来确是1角．但是这样合起来后是2斤卖1角，不再是一斤1角钱，所以卖葱的人赔了钱．8．解：相撞前一分钟赛车落后卡车100米．海伦思考的窍门是倒着想．鲍勃的赛车比卡车每分钟快100米（即1100米-1000米=100米），所以碰车前的1分钟它们相距100米．9．解：划分方法如右图所示．每一块都是个小梯形，四个小梯形大小相等，形状相同．小梯形和大梯形之间是大小不等、形状相似．10．解：方法不止一种．①从中切下一条，倒换个位置放进去．（见图）②在需要开孔的位上开一个小圆孔，把切下的部分填到中间的孔中去．（见图）第二讲数数与计数从数数与计数中，可以发现重要的算术运算定律．例1 数一数，下面图形中有多少个点？解：方法1：从上到下一行一行地数，见下图．点的总数是：5+5+5+5=5×4．方法2：从左至右一列一列地数，见下图．点的总数是：4+4+4+4+4=4×5．因为不论人们怎样数，点数的多少都是一定的，不会因为数数的方法不同而变化．所以应有下列等式成立：5×4=4×5从这个等式中，我们不难发现这样的事实：两个数相乘，乘数和被乘数互相交换，积不变．这就是乘法交换律．正因为这样，在两个数相乘时，以后我们也可以不再区分哪个是乘数，哪个是被乘数，把两个数都叫做“因数”，因此，乘法交换律也可以换个说法：两个数相乘，交换因数的位置，积不变．如果用字母a、b表示两个因数，那么乘法交换律可以表示成下面的形式：a×b=b×a．方法3：分成两块数，见右图．前一块4行，每行3个点，共3×4个点．后一块4行，每行2个点，共2×4个点．两块的总点数=3×4+2×4．因为不论人们怎样数，原图中总的点数的多少都是一定的，不会因为数数的方法不同而变化．所以应有下列等式成立：3×4+2×4=5×4．仔细观察图和等式，不难发现其中三个数的关系：3+2=5所以上面的等式可以写成：3×4+2×4=（3+2）×4也可以把这个等式调过头来写成：（3+2）×4=3×4+2×4．这就是乘法对加法的分配律．如果用字母a、b、c代表三个数，那么乘法对加法的分配律可以表示成下面的形式：（a+b）×c=a×c+b×c分配律的意思是说：两个数相加之和再乘以第三数的积等于第一个数与第三个数的积加上第二个数与第三个数的积之和．进一步再看，分配律是否也适用于括号中是减法运算的情况呢？请看下面的例子：计算（3-2）×4和3×4-2×4．解：（3-2）×4=1×4=43×4-2×4=12-8=4．两式的计算结果都是4，从而可知：（3-2）×4=3×4-2×4这就是说，这个分配律也适用于一个数与另一个数的差与第三个数相乘的情况．如果用字母a、b、c（假设a>b）表示三个数，那么上述事实可以表示如下：（a-b）×c=a×c-b×c．正因为这个分配律对括号中的“+”和“-”号都成立，于是，通常人们就简称它为乘法分配律．例2 数一数，下左图中的大长方体是由多少个小长方体组成的？解：方法1：从上至下一层一层地数，见上右图．第一层4×2个第二层4×2个第三层4×2个三层小长方体的总个数（4×2）×3个．方法2：从左至右一排一排地数，见下图．第一排2×3个第二排2×3个第三排2×3个第四排2×3个四排小长方体的总个数为（2×3）×4．若把括号中的2×3看成是一个因数，就可以运用乘法交换律，写成下面的形式：4×（2×3）．因为不论人们怎样数，原图中小长方体的总个数是一定的，不会因为数数的方法不同而变化．把两种方法连起来看，应有下列等式成立：（4×2）×3=4×（2×3）．这就是说在三个数相乘的运算中，改变相乘的顺序，所得的积相同．或是说，三个数相乘，先把前两个数相乘再乘以第三个数，或者先把后两个数相乘，再去乘第一个数，积不变，这就是乘法结合律．如果用字母a、b、c表示三个数，那么乘法结合律可以表示如下：（a×b）×c=a×（b×c）．巧妙地运用乘法交换律、分配律和结合律，可使得运算变得简洁、迅速．从数数与计数中，还可以发现巧妙的计算公式．例3 数一数，下图中有多少个点？解：方法1：从上至下一层一层地数，见下图．总点数=1+2+3+4+5+6+7+8+9=45．方法2：补上一个同样的三角形点群（但要上下颠倒放置）和原有的那个三角形点群共同拼成一个长方形点群，则显然有下式成立（见下图）：三角形点数=长方形点数÷2因三角形点数=1+2+3+4+5+6+7+8+9而长方形点数=10×9=（1+9）×9代入上面的文字公式可得：1+2+3+4+5+6+7+8+9=（1+9）×9÷2=45．进一步把两种方法联系起来看：方法1是老老实实地直接数数．方法2可以叫做“拼补法”．经拼补后，三角形点群变成了长方形点群，而长方形点群的点数就可以用乘法算式计算出来了．即1+2+3+4+5+6+7+8+9=（1+9）×9÷2．这样从算法方面讲，拼补法的作用是把一个较复杂的连加算式变成了一个较简单的乘除算式了．这种方法在700多年前的中国的古算书上就出现了．习题二下列各题至少用两种方法数数与计数．1．数一数，下图中有多少个点？2．数一数，下图中的三角形点群有多少个点？3．数一数，下图中有多少个小正方形？4．数一数，下图中共有多少个小三角形？习题二解答1．解：方法1：从上至下一行一行地数，共4行每行5个点，得5×4=20．方法2：分成两个三角形后再数，见下图．得：（1+2+3+4）×2=20．发现一个等式：1+2+3+4＝（1+4）×4÷2．2．解：方法1：从上至下一行一行地数，再相加，得：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55．方法2：用拼补法，如图所示：11×10÷2=55．发现一个等式：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=（1+10）×10÷2．3．解：方法1：从上至下一层一层地数，得：5×4=20．方法2：做阶梯形切割，分两部分数，见右图．（1+2+3+4）×2=20．发现一个等式：1+2+3+4=（1+4）×4÷2．4：解：方法1：从上至下一层一层地数（图略）得：20×10=200．方法2：分成两个三角形来数：（1+3+5+7+9+11+13+15+17+19）×2=200．发现一个等式：1+3+5+7+9+11+13+15+17+19第三讲速算与巧算利用上一讲得到的乘法运算定律和等差数列求和公式，可以使计算变得巧妙而迅速．例1 2×4×5×25×54=（2×5）×（4×25）×54 （利用了交换=10×100×54 律和结合律）=54000例2 54×125×16×8×625=54×（125×8）×（625×16）（利用了=54×1000×10000 交换律和结合律）=540000000例3 5×64×25×125 将64分解为2、4、8=5×（2×4×8）×25×125 的连乘积是关键一=（5×2）×（4×25）×（8×125）步．=10×100×1000=1000000例5 37×48×625=37×（3×16）×625 注意37×3=111=（37×3）×（16×625）=111×10000=1110000例6 27×25+13×25 逆用乘法分配律，=（27+13）×25 这样做叫提公因数=40×25=1000例7 123×23+123+123×76 注意123=123×1；再=123×23+123×1+123×76 提公因数123=123×（23×1+76）=123×100=12300例8 81+991×9 把81改写（叫分解因=9×9+991×9 数）为9×9是为了下=（9+991）×9 一步提出公因数9=1000×9=9000例9 111×99=111×（100-1）=111×100-111=11100-111=10989例10 23×57-48×23+23=23×（57-48+1）=23×10=230例11 求1+2+3+…+24+25的和．解：此题是求自然数列前25项的和．方法1：利用上一讲得出的公式和=（首项+末项）×项数÷21+2+3+…+24+25=（1+25）×25÷2=26×25÷2=325方法2：把两个和式头尾相加（注意此法多么巧妙！）想一想，这种头尾相加的巧妙求和方法和前面的“拼补法”有联系吗？例12 求8+16+24+32+…+792+800的和．解：可先提公因数8+16+24+32+…+792+800=8×（1+2+3+4+…+99+100）=8×（1+100）×100÷2=8×5050=40400例13 某剧院有25排座位，后一排都比前一排多2个座位，最后一排有70个座位，问这个剧院一共有多少个座位？解：由题意可知，若把剧院座位数按第1排、第2排、第3排、…、第25排的顺序写出来，必是一个等差数列．那么第1排有多少个座位呢？因为：第2排比第1排多2个座位，2=2×1第3排就比第1排多4个座位，4=2×2第4排就比第1排多6个座位，6=2×3这样，第25排就比第1排多48个座位，48=2×24．所以第1排的座位数是：70-48=22．再按等差数列求和公式计算剧院的总座位数：和=（22+70）×25÷2=92×25÷2=1150．习题三计算下列各题：1．4×135×252．38×25×63．124×254．132476×1115．35×53+47×356．53×46+71×54+82×547．①11×11 ②111×111③1111×1111 ④11111×11111⑤111111111×1111111118．①12×14 ②13×17③15×17 ④17×18⑤19×15 ⑥16×129．①11×11 ②12×12③13×13 ④14×14⑤15×15 ⑥16×16⑦17×17 ⑧18×18⑨19×1910．计算下列各题，并牢记答案，以备后用．①15×15 ②25×25③35×35 ④45×45⑤55×55 ⑥65×65⑦75×75 ⑧85×85⑨95×9511．求1+2+3+…+（n-1）+n之和，并牢记结果．12．求下列各题之和．把四道题联系起来看，你能发现具有规律性的东西吗？①1+2+3+…+10②1+2+3+…+100③1+2+3+…+1000④1+2+3+…+1000013．求下表中所有数的和．你能想出多少种不同的计算方法？习题三解答1．解：4×135×25=（4×25）×135=100×135=13500．2．解：38×25×6=19×2×25×2×3=19×（2×25×2）×3=19×100×3=1900×3=5700．3．解：124×25=（124÷4）×（25×4）=31×100=3100．4．解：132476×111=132476×（100+10+1）=13247600+1324760+132476=14704836．或用错位相加的方法：5．解：35×53+47×35=35×（53+47）=35×100=3500．6．解：53×46+71×54+82×54=（54-1）×46+71×54+82×54=54×46-46+71×54+82×54=54×（46+71+82）-46=54×199-46=54×（200-1）-46=54×200-54-46=10800-100=10700．7．解：①11×11=121②111×111=12321③1111×1111=1234321④11111×11111=123454321⑤111111111×111111111=12345678987654321．8．解：①12×14=12×（10+4）=12×10+12×4=12×10+（10+2）×4=12×10+10×4+2×4 多次运用乘法分配=（12+4）×10+2×4 律（或提公因数）=160+8=168②13×17=13×（10+7）=13×10+13×7 多次运用乘法分配=13×10+（10+3）×7 律（或提公因数）=13×10+10×7+3×7=（13+7）×10+3×7=200+21=221发现规律：求十几乘以十几的积的速算方法是：用一个数加上另一个数的个位数，乘以10（即接着添个“0”），再加上它们个位数字的积．用这个方法计算下列各题：③15×17=（15+7）×10+5×7=220+35=255④17×18=（17+8）×10+7×8=250+56=306⑤19×15=240+45=285⑥16×12=180+12=192．9．解：作为十几乘以十几的特例，以下各小题的结果请牢牢记住：10．解：①15×15 注意矩形框中=15×（10+5）式子=15×10+15×5=15×10+（10+5）×5=15×10+10×5+5×5=（15+5）×10+5×5==225②25×25=25×（20+5）=25×20+25×5=25×20+（20＋5）×5=25×20+20×5+5×5=（25+5）×20+5×5 注意矩形框中= 式子=625发现规律：几十五的自乘积就是十位数字和十位数字加1的积，再在其后写上25．如15×15的积就是1×2再写上25得225．25×25的积就是2×3再写上25得625．用这个方法写出其他各题的答案如下：③35×35=3×4×100+25=1225④45×45=4×5×100+25=2025⑤55×55=5×6×100+25=3025⑥65×65=6×7×100+25=4225⑦75×75=7×8×100+25=5625⑧85×85=8×9×100+25=7225⑨95×95=9×10×100+25=9025要牢记以上方法和结果．要知道，孤立的一道题不好记，但有规律的一整套的东西反而容易记住！11．解：有的同学问：“n是几？”老师告诉你：“n就是末项，你说是几就是几”．用头尾相加法求，自然数列的前n项之和．12．解：请注意规律性的东西．①1+2+3+…+10=（1+10）×10÷2=55②1+2+3+…+100=（1+100）×100÷2=5050③1+2+3+…+1000=（1+1000）×1000÷2=500500④1+2+3+…+10000=（1+10000）×10000÷2=50005000．13．解：方法1：仔细观察不难发现把每列（或每行）的10个数相加之和按顺序排列起来构成一个等差数列，它就是：55，65，75，85，95，105，115，125，135，145∴总和=（55+145）×10÷2=1000．方法2：首先各行都按第一行计数，得10行10列数字方阵的所有数之和为55×10=550．但第二行比第一行多10，第三行比第一行多20，…，第十行比第一行多90．总计共多：10+20+30+40+50+60+70+80+90=450．所以原题数字方阵的所有数相加之和为：550+450=1000．方法3：仔细观察可发现，若以数字10所在的对角线为分界线，将该数字方阵折叠之后，它就变成下述的三角形阵（多么巧妙！）20 20 20 20 20 20 20 20 20 1020 20 20 20 20 20 20 20 1020 20 20 20 20 20 20 1020 20 20 20 20 20 1020 20 20 20 20 1020 20 20 20 1020 20 20 1020 20 1020 1010总和=20×（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10）-100=20×55-100=1000．方法4：找规律，先从简单情况开始可见原来数字方阵的所有数的和=10×10×10=1000．看！方法多么简捷；数学多么微妙！第四讲数与形相映形和数的密切关系，在古代就被人们注意到了．古希腊人发现的形数就是非常有趣的例子．例1 最初的数和最简的图相对应．这是古希腊人的观点，他们说一切几何图形都是由数产生的．例2 我国在春秋战国时代就有了“洛图”（见下图）．图中也是用“圆点”表示数，而且还区分了偶数和奇数，偶数用实心点表示，奇数用空心点表示．你能把这张图用自然数写出来吗？见下图所示，这个图又叫九宫图．例3 古希腊数学家毕达哥拉斯发现了“形数”的奥秘．比如他把1，3，6，10，15，…叫做三角形数．因为用圆点按这些数可以堆垒成三角形，见下图．毕达哥拉斯还从圆点的堆垒规律，发现每一个三角形数，都可以写成从1开始的n 个自然数之和，最大的自然数就是三角形底边圆点的个数．第一个数：1=1第二个数：3=1+2第三个数：6=1+2+3第四个数：10=1+2+3+4第五个数：15=1+2+3+4+5…第n个数：1+2+3+4+5+…+n指定的三角形数．比如第100个三角形数是：例4 毕达哥拉斯还发现了四角形数，见下图．因为用圆点按四角形数可以堆垒成正方形，因此它们最受毕达哥拉斯及其弟子推崇．第一个数：1=12=1第二个数：4=22=1+3第三个数：9=32=1+3+5第四个数：16=42=1+3+5+7第五个数：25=52=1+3+5+7+9…第n个数：n2=1+3+5+9+…+（2n-1）．四角形数（又叫正方形数）可以表示成自然数的平方，也可以表示成从1开始的几个连续奇数之和．奇数的个数就等于正方形的一条边上的点数．例5 类似地，还有四面体数见下图．仔细观察可发现，四面体的每一层的圆点个数都是三角形数．因此四面体数可由几个三角形数相加得到：第一个数：1第二个数：4=1+3第三个数：10=1+3+6第四个数：20=1+3+6+10第五个数：35=1+3+6+10+15．例6 五面体数，见下图．仔细观察可以发现，五面体的每一层的圆点个数都是四角形数，因此五面体数可由几个四角形数相加得到：第一个数：1=1第二个数：5=1+4第三个数：14=1+4+9第四个数：30=1+4+9+16第五个数：55=1+4+9+16+25．例7 按不同的方法对图中的点进行数数与计数，可以得出一系列等式，进而可猜想到一个重要的公式．由此可以使人体会到数与形之间的耐人导味的微妙关系．方法1：先算空心点，再算实心点：22+2×2+1．方法2：把点图看作一个整体来算32．因为点数不会因计数方法不同而变，所以得出：22+2×2+1=32．方法1：先算空心点，再算实心点：32+2×3+1．方法2：把点图看成一个整体来算：42．因为点数不会因计数方法不同而变，所以得出：32+2×3+1=42．方法1：先算空心点，再算实心点：42+2×4+1．方法2：把点图看成一个整体来算52．因为点数不会因计数方法不同而变，所以得出：42+2×4+1=52．把上面的几个等式连起来看，进一步联想下去，可以猜到一个一般的公式：22+2×2+1=3232+2×3+1=4242+2×4+1=52…n2+2×n+1=（n+1）2．利用这个公式，也可用于速算与巧算．如：92+2×9+1=（9+1）2=102=100992+2×99+1=（99+1）2=1002=10000．习题四1．第25个三角形数是几？2．第50个三角形数是几？3．第1000个三角形数是几？4．三角形数的奇偶性是很有规律的，想一想，这是为什么？5．观察下列图形，你能发现什么？6．第99个与第100个三角形数的和等于多少？7．每一个四角形数（或叫正方形数）（除1外）都能拆成两个三角形数吗？比如，100是哪两个三角形数的和？8．第8个三角形数恰是第6个四角形数，因为你还能试着找到一个这样的例子吗？（这事比较困难）9．请你试着画一画五角形数和六角形数的图形．并试着把第n个五（六）角形数拆成以1为首页、有n项的等差数列之和的形式．10．写出前10个四面体数．11．写出前10个五面体数．12．按不同的方法对下图中的点进行数数与计数，得出一系列等式，进而猜想出一个公式来，从中体会数与形之间的微妙关系．如：因为点数不会因计数方法不同而变，所以得出：请你照此继续做下去．（可参考本讲例7）13．模仿例7，用不同的方法分别对下两图中的点进行数数与计数，先得出一系列等式，进而猜想出一个重要的公式．习题四解答1．解：1+2+3+…+25=（1+25）×25÷2=325．2．解：1+2+3+…+50=（1+50）×50÷2=1275．3．解：1+2+3+…+1000=（1+1000）×1000÷2=500500．4．解：观察前几个三角形数的构成，就可以发现其中的规律：第1个数=1…奇数；第2个数=第1个数+2…奇数+偶数=奇数；第3个数=第2个数+3…奇数+奇数=偶数；第4个数=第3个数+4…偶数+偶数=偶数；第5个数=第4个数+5…偶数+奇数=奇数．5．解：相邻的两个三角形之和是一个四角形数（或叫正方形数），或是说，一个四角形数，可以拆成两个三角形数之和．或者根据第6题，=第100个四角形数=100×100=10000．7．解：能拆．100=55+45．8．解：寻找这样的例子比较困难．有人找到第49个三角形数是第35个四角形数，因为：（49+1）×49÷2=1225=352．9．解：五角形数如下图所示：第一个数：1=l第二个数：5=1+4第三个数：12=1+4+7第四个数：22=1+4+7+10第五个数：35=1+4+7+10+13 六角形数如下图所示：第一个数 1=1第二个数 6=1+5第三个数 15=1+5+9第四个数 28=1+5+9+13第五个数 45=1+5+9+13+17．第五讲一笔画问题一天，小明做完作业正在休息，收音机中播放着轻松、悦耳的音乐.他拿了支笔，信手在纸上写了“中”、“日”、“田”几个字.突然，他脑子里闪出一个念头，这几个字都能一笔写出来吗？他试着写了写，“中”和“日”可以一笔写成（没有重复的笔划），但写到“田”字，试来试去也没有成功.下面是他写的字样.（见下图）这可真有意思！由此他又联想到一些简单的图形，哪个能一笔画成，哪个不能一笔画成呢？下面是他试着画的图样.（见下图）经过反复试画，小明得到了初步结论：图中的（1）、（3）、（5）能一笔画成；（2）、（4）、（6）不能一笔画成.真奇怪！小明发现，简单的笔画少的图不一定能一笔画得出来.而复杂的笔画多的图有时反倒能够一笔画出来，这其中隐藏着什么奥秘呢？小明进一步又提出了如下问题：如果说一个图形是否能一笔画出不决定于图的复杂程度，那么这事又决定于什么呢？能不能找到一条判定法则，依据这条法则，对于一个图形，不论复杂与否，也不用试画，就能知道是不是能一笔画成？。

一笔画的规律和特点

一笔画的规律和特点一笔画是一种绘画游戏，玩家需要用一笔连续的画线将给定的图形绘制出来，且不能重复经过已经画过的线段。

一笔画的规律和特点主要包括以下几个方面。

1. 连续性：一笔画的最基本要求是用一笔连续的线条将图形绘制出来。

这意味着玩家在绘画过程中不能抬笔，也不能断开线条。

这种连续性要求玩家在绘画时需要提前规划好线条的走向，避免出现无法继续绘制的情况。

2. 简洁性：一笔画追求的是用尽可能少的线条将图形勾勒出来。

因此，一笔画的线条通常是直线或者简单的曲线，不会出现复杂的曲线或折线。

这种简洁性使得一笔画的图形在视觉上更加清晰明了。

3. 不重复性：在一笔画中，线条不能重复经过已经画过的路径。

这意味着玩家需要考虑绘画的顺序和方向，避免线条交叉或重叠。

这种不重复性要求玩家在绘画过程中需要灵活运用空间想象力，找到合适的路径。

4. 确定性：一笔画的图形是确定的，即给定了初始状态和结束状态，玩家需要找到一条确定的路径将初始状态转化为结束状态。

这种确定性使得一笔画成为一种有限状态机的问题，玩家需要找到一条确定的路径来完成图形的绘制。

5. 可变性：一笔画的图形可以有很多种不同的解法。

对于给定的图形，可能存在多条满足要求的绘制路径。

这种可变性使得一笔画具有一定的趣味性和挑战性，玩家可以通过尝试不同的路径来完成图形的绘制。

总结起来，一笔画的规律和特点主要包括连续性、简洁性、不重复性、确定性和可变性。

这种绘画游戏不仅培养了玩家的观察力、空间想象力和创造力，还可以锻炼玩家的逻辑思维和问题解决能力。

无论是儿童还是成年人，一笔画都是一种有趣的游戏，能够带来乐趣和挑战。

一笔画完的规律

一笔画完的规律摘要：一、一笔画的基本概念二、一笔画不完的图形特征三、一笔画完的判定方法四、一笔画在实际应用中的例子五、总结正文：在我们日常生活中，一笔画是一个很有趣的现象。

所谓一笔画，就是在一个图形中，仅使用一笔（连续不断线）将图形内部的所有区域填充，从而使整个图形被完全覆盖。

下面我们将探讨一笔画的一些基本规律和应用。

首先，我们来了解一下一笔画的基本概念。

一笔画包括两个重要的元素：笔画和笔画间的连接。

笔画是指在图形中连续不断的线段，而连接则是指笔画与笔画之间的转折或交汇。

在一笔画中，连接可以分为两类：内连接和外连接。

内连接是指位于图形内部的连接，而外连接则是指位于图形外部的连接。

接下来，我们来看看一笔画不完的图形特征。

一笔画不完的图形通常具有以下特点：1.图形中含有奇数个转折点（即交点）。

2.图形中的每个区域（包括内部和外部）至少与一个笔画相连。

那么，如何判断一个图形能否一笔画完呢？有以下几种方法：1.判断图形的转折点数量。

如果图形含有偶数个转折点，则可以一笔画完；如果含有奇数个转折点，则不能一笔画完。

2.判断图形的区域数量。

如果图形中的区域数量为偶数，则可以一笔画完；如果区域数量为奇数，则不能一笔画完。

实际上，一笔画在现实生活中有很多应用。

例如，在地图绘制、路线规划、迷宫设计等领域，一笔画的概念发挥着重要作用。

通过一笔画，我们可以快速找到最短路径、最优解等问题。

总之，一笔画是一个有趣且实用的概念。

通过掌握一笔画的规律，我们可以更好地解决实际问题，同时也能丰富我们的生活。

一笔画的技巧方法

一笔画的技巧方法
一笔画是指只用一根笔或一支画笔，在不松手或不抬笔的情况下完成一幅图案的绘画技巧。

以下是一些可以帮助你掌握一笔画技巧的方法：
1. 规划轮廓：在开始画之前，先规划好整个图案的轮廓。

你可以先用轻描淡写的线条勾勒出整个图案，确保每个元素的位置和大小都合适。

2. 顺序绘画：一笔画通常是按照某种顺序依次完成不同的元素或部分。

选择一个合适的起点，并尽量按照逻辑顺序一笔画出各个部分，这样能够保持整个图案的连贯性。

3. 整体性考虑：在绘画过程中要注意整体形状和比例的平衡。

例如，在画一个人物时，可以先勾勒出头部和身体的大概形状，再逐渐添加细节。

4. 运用想象力：一笔画并不要求完全按照实物或照片来绘制，你可以根据自己的想象力和创造力来做一些改变。

例如，可以加入一些有趣的元素或扭曲形状，使图案更具个性。

5. 锻炼手腕和眼睛协调：一笔画需要较高的手腕灵活性和眼睛手腕的协调能力。

练习一些手腕和眼球的协调性的练习，可以有助于提高你的一笔画技巧。

最重要的是，在练习一笔画的过程中保持耐心和坚持，相信随着时间的积累，你会能够掌握这一技巧。

数学一笔画的规则

数学一笔画的规则
1. 哎呀，要知道一笔画必须是连通的呀！比如说像一个完整的圆形，这就是连通的，你能一笔画出来。

2. 嘿，奇点的数量很关键哦！奇点就是从这个点出发的线的数量是奇数，像五角星就有 5 个奇点，就不能一笔画。

想象一下，这是不是很神奇呢？
3. 记住哦，只有 0 个或 2 个奇点的图形才能一笔画呢！像一个长方形，就
只有 0 个奇点，轻松一笔画呀。

4. 如果有2 个奇点，那开始和结束就得在这两个奇点上呀！比如“中”字，不就是从上面开始画到下面结束嘛。

5. 图形中的线还不能有重复呀！这就好比走路不能走回头路一样，你想想，对吧？比如画一条直线，那肯定不能来回画呀。

6. 一笔画的时候还得按照规定的路线走呀，不能乱涂乱画！就像去一个地方得按地图走一样，不然可就乱套啦，不是吗？
7. 还有哦，要多练习才能掌握一笔画的技巧呀！就像学骑自行车，多练几次就会啦！你说是不是这个理呀？
我觉得数学一笔画真的很有意思，可以锻炼我们的思维和观察能力呀！。

数学一笔画成的方法总结

文章一《轻松掌握数学一笔画成的小窍门》亲爱的朋友们，你们有没有在做数学题或者玩一些智力游戏的时候，遇到过一笔画成的难题？别担心，今天我就来和大家分享一些简单又实用的方法，让你轻松应对一笔画成的挑战！咱们先来说说啥是一笔画成。

一笔画成就是在不重复、不抬笔的情况下，用一笔画出一个图形。

那怎么判断一个图形能不能一笔画成呢？这就得看它的奇点个数啦。

奇点就是从这个点出发的线条数是奇数的点。

如果一个图形的奇点个数为 0 或者 2，那它就能一笔画成。

当奇点个数是 0 的时候，咱们可以从任何一个点开始画；要是奇点个数是2 呢，就得从其中一个奇点开始，到另一个奇点结束。

比如说一个简单的圆，它没有奇点，所以随便从哪儿开始都能一笔画成。

再比如一个“日”字，它有两个奇点，从这两个奇点中的一个开始画，就能一笔画完。

那怎么找到这些奇点呢？这就需要我们仔细观察图形，数清楚每个点出发的线条数。

这可能需要一点耐心，但多练习几次就熟练啦。

学会了判断能不能一笔画成，咱们再来说说怎么画。

画的时候要心里有数，规划好路线，尽量不走冤枉路。

可以先从简单的图形练起，比如三角形、正方形，慢慢地再挑战复杂一点的。

数学一笔画成其实并不难，只要掌握了方法，多练习，相信大家都能轻松搞定！加油哦，小伙伴们！文章二《数学一笔画成，原来如此简单！》朋友们，今天咱们来聊聊数学里有趣的一笔画成。

这可是个好玩的小技巧，学会了能让你在解题或者玩游戏的时候大放异彩！呢，咱们得搞清楚什么样的图形能一笔画成。

其实很简单，就看这个图形里有没有奇数条线交汇的点，要是没有或者只有两个，那就能一笔画成。

比如说一个五角星，你数一数，每个角交汇的线条数都是奇数，但是一共有 5 个角，所以它不能一笔画成。

再看看一个正方形，四个角交汇的线条数都是偶数，所以它能一笔画成。

那要是能一笔画成的图形，咱们怎么画呢？这就得动点小脑筋啦。

比如说一个“田”字，它有四个奇点，不能一笔画成。

但是如果我们把中间的“十”字去掉，就变成了一个没有奇点的图形，从任何一个地方开始都能一笔画完。

第五讲一笔画问题

第五讲一笔画问题一天，小明做完作业正在休息，收音机中播放着轻松、悦耳的音乐．他拿了支笔，信手在纸上写了“中”、“日”、“田”几个字．突然，他脑子里闪出一个念头，这几个字都能一笔写出来吗? 他试着写了写，“中”和“日”可以一笔写成(没有重复的笔划)，但写到“田”字，试来试去也没有成功．下面是他写的字样．(见下图)这可真有意思!由此他又联想到一些简单的图形，哪个能一笔画成，哪个不能一笔画成呢?下面是他试着画的图样．(见下图)经过反复试画，小明得到了初步结论：图中的(1)、(3)、(5)能一笔画成；(2)、(4)、(6)不能一笔画成．真奇怪!小明发现，简单的笔画少的图不一定能一笔画得出来．而复杂的笔画多的图有时反倒能够一笔画出来，这其中隐藏着什么奥秘呢?小明进一步又提出了如下问题：如果说一个图形是否能一笔画出不决定于图的复杂程度，那么这事又决定于什么呢?能不能找到一条判定法则，依据这条法则，对于一个图形，不论复杂与否，也不用试画，就能知道是不是能一笔画成?先从最简单的图形进行考察．一些平面图形是由点和线构成的．这里所说的“线”，可以是直线段，也可以是一段曲线．而且为了明显起见，图中所有线的端点或是几条线的交点都用较大的黑点“●”表示出来了．首先不难发现，每个图中的每一个点都有线与它相连；有的点与一条线相连，有的点两条线相连，有的点与3条线相连等等．其次从前面的试画过程中已经发现，一个图能否一笔画成不在于图形是否复杂，也就是说不在于这个图包含多少个点和多少条线，而在于点和线的连接情况如何——一个点在图中究竟和几条线相连．看来，这是需要仔细考察的．第一组(见下图)(I)两个点，一条线．每个点都只与一条线相连．(2)三个点．两个端点都只与一条线相连，中间点与两条线连．第一组的两个图都能一笔画出来．(但注意第(2)个图必须从一个端点画起)第二组(见下图)(1)五个点，五条线．A点与一条线相连，B点与三条线相连，其他的点都各与两条线相连．(2)六个点，七条线．(“日”字图)A点与B点各与三条线相连，其他点都各与两条线相连．第二组的两个图也都能一笔画出来，如箭头所示那样画．即起点必需是A点(或B点)，而终点则定是B点(或A点)．第三组(见下图)(1)四个点，三条线．。

组合数学第05讲_距离问题(教师版)A4

一．距离总和最短基本有两个做题思路1．枚举所有可能的情况，再逐步调整．枚举的时候可以通过适当分类． 2．利用“两点之间线段最短”，往往会用到对称．二．最短路线问题利用“两边和大于第三边”排除某些可能不需要走的边，再枚举比较．重难点：对所有可能的情况一定要枚举清楚，然后再进行比较．题模一：距离总和最短例1.1.1如图，一条路上从西向东有A 、B 、C 、D 、E 五所学校，分别有200人、300人、400人、500人、600人．任意相邻的两所学校之间的距离都是100米．现在要在某所学校的门口修建一个公共汽车站，要使所有人到达车站的距离之和最小，车站应该建在什么地方？这时距离之和是多少？【答案】D 校；220千米【解析】因为C 校处在所有学校的中间，我们以C 校为起点开始调整．如果车站从C 校搬到D 校，A 、B 、C 三所学校的200300400900++=名学生每人要多走100米，而D 、E 两所学校的5006001100+=名学生每人要少走100米．这样受益者更多，所以我们先把车站搬到D 校．如果继续搬到E 校的话，A 、B 、C 、D 四所学校的2003004005001400+++=名学生每人多走100米，而只有E 校的600名学生每人少走100米，所以不再向E 校搬，车站就修在D 校门口．以千米为单位算出总路程为0.32000.23000.14000.1600⨯+⨯+⨯+⨯=220千米．例1.1.2东升乡有8个行政村．分布如右上图所示，点表示村庄，线表示道路，数字表示道路的长（单位：千米）．现在这个乡要建立有线广播网，沿道路架设电线．问：电线至少要架多长？组合数学第05讲_距离问题A B C D E【答案】50千米【解析】架设的线路如图．例1.1.3如图，从一个格到相邻的格需要走1步，那么从第1行第1列走到第3行第3列需要走__________步．（只能横着走或竖着走，不能斜着走）【答案】4【解析】从第1行第1列走到第3行第1列要走312-=步，再走到第3行第3列需要312-=步，所以从第1行第1列走到第3行第3列需要走224+=步．例1.1.4有2015名少先队员分散在一条公路上值勤宣传交通法规，完成任务后，要使他们从各自的宣传岗位沿公路走到集合地点的路程总和最小，应该在第________________个岗位地点集合．【答案】1008【解析】通过尝试发现在中点处集合路程综合最小，所以应该在第1008个岗位地点集合．题模二：最短路线问题例1.2.1在一条公路上有4个工厂，每两个相邻工厂的距离相等，每个工厂的工人人数如图所示．现要在这条公路上设一车站，使得这四个工厂的所有工人步行到车站的总路程最短，这个车站应设在几号工厂门口？【答案】3【解析】设相邻两厂距离为1，假设车站在2号．若车站移至1号，1号的90人少走1，其余所有人多走1，显然所有工人步行到车站的总路程增加；若移至3号，1、2号的人多走1，3、4号的人少走1．由于10011590120+>+，故总路程减少，建在3号优于2号；1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ……………若车站从3号移至4号，4号的人少走1，其余多走1，显然总路程增加．综上，车站应建在3号门口．例1.2.2如图，在下面的方格屏幕上，每个小方格的边长是1厘米，一条贪吃蛇从左下角出发，沿着格线爬行，如果它想吃掉图中的3个“★”最少要爬________________步．【答案】8【解析】先向上走把最左边的吃掉后，向右走吃掉最低下的一个，再向上走吃掉最右方一个，最少需要爬8步．例1.2.3如图，在六面体的顶点A 和B 处各有一只蚂蚁，它们比赛看谁能最快爬完所有的棱线，最先到达终点C ．如果它们的爬行速度相同，那么哪只蚂蚁能获胜？【答案】从A 点出发的蚂蚁获胜【解析】两只蚂蚁爬速相同，如果一只不重复地爬遍所有的棱，而另一只必须重复爬某些棱，那么前一只蚂蚁爬的路程短，自然先到达C 点，因而获胜．图中只有A ，C 两个奇点，所以从A 点到C 点可以一笔画出，而从B 点到C 点却不能，因此A 点的蚂蚁获胜．随练1.1有八个村庄1A ，2A ，3A ，4A ，5A ，6A ，7A ，8A 分布在公路两侧，由一些小路与公路相连．现要在公路上设一个汽车站，并且使得汽车站到各村庄的距离之和最小，车站应设在哪里？【答案】E 到F 之间的任意一点【解析】首先尽量靠近中间，考虑EFG 三点应用调整法，汽车站应当建在E 到F 之间的任意一点．随练1.2王乡长下村召集甲、乙、丙、丁四个村的村干部会议．这四个村相距的位置如下图所示，参加会议的人数为甲村8人、乙村5人、丙村3人、丁村7人．请问王乡长应在哪个村子召集会议才使所有参加会议的人所走的路程总和最小？【答案】乙ABCB CDEF GH I【解析】先暂定在乙村．若调整为甲村，则甲村人少走5公里，其它人多走5公里．由于8537<++，故不应调整；若调整为丙村，则丙、丁村人少走5公里，甲、乙村人多走5公里．由于3785+<+，故不应调整；同理也不应调整为丁村．综上，应在乙村．作业1某公路旁有5所学校（如图），每所学校学生数都相同．现要在公路上设一车站（车站要求建在学校门口），使这5所学校的同学到车站步行路程的总和越小越好．问车站应设于何处？【答案】C【解析】假设方案为设于C 处．若调整为B ，则C 、D 、E 处的学生每人将多走BC 段，A 、B 处的学生每人将少走BC 段．由于32>，故不应调整．同理，调整到其它处均不合理，因此应在C 建站．作业2在一条公路上有四个工厂，每两个相邻工厂的距离相等,每个工厂的工人人数如图所示．现要在这条公路上设一车站，使得这四个工厂的所有工人步行到车站的总路程最短，这个车站应设在几号工厂门口？【答案】3号【解析】先假设建在4号工厂门口，由4号改往3号需要增加215人的路程，减少10012080300++=人的路程．所以可以由4号改往3号．同理可知，不可以改往2号，所以应该设在5号工厂门口．作业3如图，每段路上的数字代表这段路的长度（单位：千米），那么从A 到D 最短路线是_______________千米．【答案】10【解析】要想总和最短，每步最短即可，51410++=千米．作业4如图所示方格屏幕上，每个小方格的边长是1厘米，一条贪吃蛇从左下角出发，沿着格线爬行，如果它想吃掉图中的3个“★”，最少要爬多远？请画出路线．【答案】8厘米【解析】将这三个“★”分别记作“左”，“下”和“右”，则因为吃“右”的路上可以顺路吃掉一个“左”或“下”，因此必然不应该第一个吃“右”．如果先吃“左”，①第二个吃“下”，最少需要8厘米；②第二个吃“右”，最少需要10厘米．如果先吃“下”，①第二个吃“左”，最少需要10厘米；②第二个吃“右”，最少需要11厘米．综上，最1 2 3 4 100人120人80人215人6A B CD 5 37216 4 5★★ ★少要爬8厘米，先吃“左”，再吃“下”，最后吃“右”．。

幼儿园教案一笔画到底怎么画

幼儿园教案一笔画到底怎么画标题：幼儿园教案-一笔画到底怎么画教案目标：1. 培养幼儿手眼协调能力和细致动手能力。

2. 培养幼儿观察力和空间想象力。

3. 引导幼儿学会运用一笔画的技巧完成简单的图形。

教学准备：1. 幼儿绘画纸、彩色笔或蜡笔。

2. 幼儿安全剪刀。

3. 幼儿绘画模板（如动物、植物、日常用品等）。

教学步骤：引入活动：1. 引导幼儿观察一笔画的样例，并鼓励他们描述所看到的图形特征。

2. 向幼儿解释一笔画的概念，即在不离开纸张的情况下，用一笔连续的线条将图形勾勒出来。

示范教学：1. 准备一些简单的绘画模板，如圆、三角形、正方形等。

2. 指导幼儿选择一个模板，并告诉他们将模板放在绘画纸上固定好。

3. 示范给幼儿看，从模板的一个点开始，用一笔画的方式沿着模板边缘慢慢画出图形。

4. 鼓励幼儿在画的过程中保持手腕放松，用适当的速度和力度完成一笔画。

实践操作：1. 让每个幼儿选择一个模板，并自行完成一笔画的绘制。

2. 在幼儿绘制过程中，提供必要的指导和帮助，确保他们能够顺利完成作品。

3. 鼓励幼儿在绘制完成后，用彩色笔或蜡笔为图形上色，增加作品的美感。

总结反思：1. 邀请幼儿展示他们的作品，并互相欣赏。

2. 引导幼儿讨论一笔画的难点和技巧，分享彼此的经验。

3. 结合幼儿的表现，给予肯定和鼓励，激发他们对绘画的兴趣和自信心。

拓展活动：1. 鼓励幼儿尝试自由创作一笔画，不依赖模板，画出自己喜欢的图形。

2. 引导幼儿观察周围环境中的物体和景物，尝试用一笔画的方式描绘出来。

3. 组织一次小型的一笔画比赛，让幼儿在竞争中提高技巧和创造力。

教学评估：1. 观察幼儿在绘画过程中的专注度和动手能力。

2. 评估幼儿完成的作品是否符合一笔画的要求，是否能够准确勾勒出图形。

3. 倾听幼儿对一笔画的理解和表达，评估他们对教学内容的掌握程度。

通过以上教案的设计和实施，能够帮助幼儿在绘画活动中培养手眼协调能力、观察力和空间想象力。

二年级数学学习一笔画讲解及提高练习

学习一笔画【专题简析】一笔画，就是从图形某点出发，笔不离开纸，而且每条线段都只画一次不重复。

它是一种有趣的数学游戏。

那么，哪些图形不能一笔画成，哪些图形可以一笔画成呢？一个图形能否一笔画成，关键在于单数点的多少，有2个或0个单数点的图形就能够一笔画成，单数点在一笔画中只能作为起点和终点。

【例题1】一些平面图形是由点和线构成的，这里的“线”可以是线段，也可以是一段曲线，请自己画一些图研究每个点和线的连接情况。

练习11.任意找一个平面图形，数一数图中有几个单数点，几个双数点。

2.下面图形中有哪几个单数点？B3.数一数下面图形中有几个双数点，分别是哪些点？B下面的图形能不能一笔画成？如果能，应该怎样画？A C C（1）O （2）B DFC（3）D练习21.下面的图形能不能一笔画成，如果能，请说明画法，如果不能，请说明理由（1）（2）2.下列图形能一笔画成吗?为什么？3.观察下列图形，哪个图形可以一笔画成？怎么画？A 下图是某地区所有街道的平面图，甲、乙两人同时分别从A 、B 出发，以相同的速度走遍所有的街道，最后到达C.那么两人谁先到达？C练习31.下图是某新村小区主干道平面图。

甲、乙两人同时分别从A 、B 出发，以相同的速度走遍所有的主干道，最后到达C.问谁能最先到达C?2. 甲、乙两辆车同时以相同的速度分别从A 、B 出发，哪辆车能最先行驶完所有的路程？B3.一只蚂蚁分别从A 点和B 点出发，爬遍所有的小路。

如果每次爬行的速度相同，那么从哪一点出发所用的时间少？下图（图1）能否一笔画成，若不能，你能用什么方法把它改成能够一笔画成的图形？（1）（2）练习41.将下图改成一笔画。

1. 2.3.在一个小区中有一些路，每个圆柱表示邮筒（如下图），邮递员叔叔每次送信时，总是没法走过每一条路而又不重复，你知道为什么吗？如果请你给小区加一条路来解决这个问题，你准备把这条路加在哪儿？请你动手画一画。

邮递员叔叔要给一个居民小区送信（如图），怎么走才能少走重复路，使每天走的路尽可能短？A GHD F练习5 1.下图是以个小区的中心花园的平面图，你能一次不重复地走完所有的路吗？入口和出口应该设在哪儿呢？2.园林工人在花园里浇花，怎样才能不重复地走遍每条小路？3. 下图是“儿童乐园”平面图，出、入口应分别设在哪里才能不重复地走遍每条路？可以怎么走？D CAB【拓展提高】1、下面的图形能不能一笔画成？为什么？如果能，应该怎样画？2、给下面的图形添一条线，使它能够一笔画成。

第5讲简单一笔画

第5讲 一笔画成

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第五讲一笔画问题

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小学二年级奥数下学期一笔画问题教

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