备战高考数学二轮复习难点212推理与新定义问题教学案文

推理与新定义问题

随着新课标的深入实施，素质教育要求不断提高，全国各地的高考试卷都相继推出了以能力立意为目标，以增大思维容量为特色，具有相当浓度和明确导向的创新题型脱颖而出，为高考试题增添了活力．纵观近年各地高考的创新题型，不难发现，推理与“新定义”型这种题目是高考试题的一大热点．所谓“新定义”型问题，主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些新概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有的知识、能力进行理解，并根据新的定义进行运算、推理、迁移的一种题型．这类题目具有启发性、思考性、挑战性和隐蔽性等特点，由于它构思巧妙，题意新颖，是考察学生综合素质和能力、挖掘学生潜力的较佳题型，因而它受到命题者的青睐． 一．新定义

以新课标内容为背景，这种类型的问题很多，一般是以新课标教材内容为背景，给出某种新概念、新运算（符号）、新法则（公式）等，学生在理解相关新概念、新运算（符号）、新法则（公式）之后，运用新课标学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等寻求问题解决．纵观这几年的高考试题，可以发现，“新定义”型问题按其命题背景可分为三种类型：以新课标内容为背景、以高等数学为背景、以跨学科为背景．现就相关类型作探讨：

1．新定义集合 所谓“新定义集合”，给出集合元素满足的性质，探讨集合中的元素属性，要求有较高的抽象思维和逻辑推理能力．由于此类题目编制角度新颖，突出能力立意，突出学生数学素质的考查，特别能够考查学生“现场做题”的能力，并且在近几年高考模拟试题和高考试题中出现频繁出现．下面选取几例进行分类归纳，解题时应时刻牢记集合元素的三要素：确定性，互异性，无序性．

例1．已知集合{(,)|()}M x y y f x ==，若对于任意11(,)x y M ∈，存在22(,)x y M ∈，使得12120

x x y y +=成立，则称集合M 是“理想集合”.给出下列4个集合：①1{(,)|}M x y y x ==；②{

(,)|s i n }M x y y x ==；

③{(,)|2}x M x y y e ==-；④{(,)|lg }M x y y x ==.其中所有“理想集合”的序号是（ ） A.①③ B.②③ C.②④ D.③④

【答案】B

的点A 都能找到对应的点B ,使得OA OB ⊥成立，故正确；③项由图象可得，直角始终存在，故正确；④项，由图象可知，点(1,0)在曲线上不存在另外一个点，使得OA OB ⊥成立，故错误；综合②③正确，所以选B.

点评：本题主要考查的是平面向量数量积的应用，元素与集合的关系，数形结合的思想，推理分析与综合运算能力，属于难题，此类新定义问题最主要是弄明白问题的实质是什么，对于此题而言，通过12120x x y y +=可得出就是在函数的曲线上找任意一个点A 都能找到一个点B ,使得OA OB ⊥成立，找到新定义的含义了，剩余的选项中都是我们所熟知的基本初等函数，可通过数形结合分析即可求解，所以对新定义的转化能力是解这类问题的关键.

2．新定义函数

例2．【2018湖南株洲两校联考】设函数f （x ）的定义域为D ，若f （x ）满足条件：存在[a ，b ]⊆D （a ＜b ），

使f （x ）在[a ，b ]上的值域也是[a ，b ]，则称为“优美函数”，若函数()()

24x f x log t =+为“优美函数”，则t 的取值范围是（ ） A. 1,4∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭

B. ()0,1

C. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭

D. 10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【答案】D

点评：定义新函数的定义域与值域相同，先判定函数的单调性，然后转化为函数方程根的情况，本题的关键也是能否转化为函数根的问题，然后求解.

例3．若函数()f x 在区间A 上，a ∀，b ，c A ∈，()f a ，()f b ，()f c 均可为一个三角形的三边长，则称函数()f x 为“三角形函数”．已知函数()ln f x x x m =+在区间21,e e ⎡⎤⎢

⎥⎣⎦

上是“三角形函数”，则实数m 的取值范围为（ ）

A ．212(,)e e e +

B ．2(,)e +∞

C ．1(,)e +∞

D ．22(,)e e

++∞ 【答案】A

点评：本题主要考查了利用导数研究函数在闭区间上的最值，考查考生应用所学知识解决问题的能力，属于中档题.解答本题首先通过给出的定义把问题转化为函数的最值问题，通过导数研究其单调性，得到最小值，通过比较区间端点的函数值求出最大值，列出关于参数m 的不等式，进而求得其范围.

3．新定义数列

例4. 【上海市静安区2018届质检】设数列{}n a 满足：①11a =；②所有项*N n a ∈；③

1211n n a a a a +=<<⋅⋅⋅<<<⋅⋅⋅．设集合{}*|,N m n A n a m m =≤∈，将集合m A 中的元素的最大值记为m b ．换句话说， m b 是数列{}n a 中满足不等式n a m ≤的所有项的项数的最大值．我们称数列{}n b 为数列{}n a 的伴随数列．例如，数列1,3,5的伴随数列为1,1,2,2,3．

（1）若数列{}n a 的伴随数列为1,1,1,2,2,2,3，请写出数列{}n a ；

（2）设13n n a -=，求数列{}n a 的伴随数列{}n b 的前100之和；

（3）若数列{}n a 的前n 项和23122

n S n n c =-+（其中c 常数），试求数列{}n a 的伴随数列{}n b 前m 项和m T ．

思路分析：（1）根据伴随数列的定义求出数列{}n a ；（2）根据伴随数列的定义得： ()

*31log n m m N ≤+∈，由对数的运算对m 分类讨论求出伴随数列{}n b 的前100项以及它们的和；（3）由题意和n a 与n S 的关系式求出n a ，代入n a m ≤得()

*23m n m N +≤∈，并求出伴随数列{}m b 的各项，再对m 分类讨论，分别求出