【同步练习】2017年秋高一数学人教A版必修2课后导练：2.3.1直线与平面垂直的判定 Word版含解析

课后导练

基础达标

1空间四边形的四边相等，那么它的对角线……（）

A.相交且垂直

B.不相交也不垂直

C.相交不垂直

D.不相交但垂直

解析：如图空间四边形ABCD，假设AC与BD相交，则它们共面α，从而四点A，B，C，D都在α内，这与ABCD为空间四边形矛盾，所以AC与BD不相交；取BD中点O，连结OA与OC，因为AB=AD=DC=BC，所以AO⊥BD，OC⊥BD，从而可知BD⊥面AOC，故AC⊥BD.

答案：D

2如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况，能保证该直线与平面垂直的是（）①三角形的两边②梯形的两边③圆的两条直径

④正六边形的两条边

A.①③

B.②

C.②④

D.①②④

解析：由线面垂直的判定定理知，直线垂直于①③平面；对于②④图形中的两边不一定是相交直线，所以该直线与它们不一定垂直.

答案：A

3如图，PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，E、F分别是A在PB、PC上的射影.给出下面结论，其中正确命题的个数是（）

①AF⊥PB ②EF⊥PB ③AF⊥BC ④AE⊥平面PBC

A.2

B.3

C.4

D.5

解析：∵PA⊥⊙O所在平面，

∴PA⊥BC，又BC⊥AC，PA∩AC=A,

∴BC⊥面PAC，

∴BC⊥AF，又AF⊥PC，PC∩BC=C，

∴AF⊥面PBC，

∴AF⊥PB，又AE⊥PB，AE∩AF=A，

∴PB⊥面AEF，

∴EF⊥PB.

从而可知①②③正确.

答案：B

4直线a不垂直于平面α，则α内与a垂直的直线有（）

A.0条

B.1条

C.无数条

D.α内所有直线

解析：①当a α时，显然C正确，②当a∥α时，过a作平面β，使α∩β=a′,则a∥a′,显然在α内与a′垂直的直线也与a垂直，从而也选C.③当a与α斜交时，在α与a的射影垂直的直线也与a垂直，也选C.

答案：C

5如图所示，PO⊥平面ABC，BO⊥AC，在图中与AC垂直的线段有( )

A.1条

B.2条

C.3条

D.4条

解析：∵PO⊥面ABC，

∴PO⊥AC.

又∵BO⊥AC，PO∩BO=O,

∴AC⊥面PBD，

∴AC⊥BP，AC⊥PD，AC⊥BD，AC⊥PO.

答案：D

6如图所示，直四棱柱A1B1C1D1-ABCD中，当底面四边形ABCD满足________时，有A1C⊥B1D1（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况）.

解析：四边形ABCD的两条对角线互相垂直时，A′C⊥B′D′.

∵若AC⊥BD，又AA′⊥平面ABCD，

∴BD⊥AA′.

又∵AC∩AA′=A,

∴BD⊥平面A′AC，

∴BD⊥A′C.

又∵BD∥B′D′,∴A′C⊥B′D′.

答案：AC⊥BD或ABCD为正方形，菱形等.

7如图，已知矩形ABCD中，AB=3，BC=a(a>0),PA⊥平面ABCD，在BC上取点Q，使PQ⊥QD，当满足条件的点Q有两个时，a的取值范围是__________.

解析：连结AQ，∵PA⊥平面ABCD，

∴PA⊥QD，若PQ⊥QD，则必有AQ⊥QD,

设BQ=x,则QC=a-x,从而有：

AQ2=AB2+BQ2=9+x2,DQ2=9+(a-x)2,

由AD2=AQ2+QD2，即a2=18+x2+(a-x)2,

∴x2-ax+9=0,由Δ=a2-36>0得a>6.

答案：a>6

8如图，平面α∩平面β=CD,EA⊥α于点A，EB⊥β于点B.

求证：AB⊥CD.

证明：∵EA⊥α,CD⊂α,

根据直线和平面垂直的定义，则有CD⊥EA.

同样∵EB⊥β,CD⊂β,则有EB⊥CD.

又EA∩EB=E，

根据直线和平面垂直判定定理，则有

CD⊥平面AEB.

又∵AB⊂平面AEB，

∴CD⊥AB.

综合应用

9在空间四边形ABCD中，若AB⊥CD，BC⊥AD，则对角线AC与BD的位置关系为（）A.相交但不垂直 B.垂直但不相交

C.不相交也不垂直

D.无法判断

解析：如图，作AO⊥面BCD，由AB⊥CD，知CD⊥面ABO，

∴BO⊥CO，同理DO⊥BC，∴O为△BCD的垂心，

∴OC⊥BD，故BD⊥AC.

答案：B

10在正方体A1B1C1D1-ABCD中，E、F分别是棱AB，BC的中点，O是底面ABCD的中点，（如图），则EF与面BB1O的关系是___________

解析：∵BB1⊥面ABCD，

∴BB1⊥AC，又∵AC⊥BD，∴AC⊥面BB1O，又知E，F分别为AB，CB中点，

∴EF∥AC，∴EF⊥面BB1O.

答案：垂直

11设三棱锥P-ABC的顶点P在平面ABC上的射影是H，给出下列命题：

①若PA⊥BC，PB⊥AC，则H是△ABC的垂心；

②若PA、PB、PC两两互相垂直，则H是△ABC的垂心；③若∠ABC=90°，H是AC的中点，则PA=PB=PC；④若PA=PB=PC，则H是△ABC的外心.

请把正确命题的序号填在横线上_____________

解析：①若PA⊥BC，PB⊥AC，则H为垂心（前面已证）.

②∵PA⊥PB，PA⊥PC.

∴PA⊥面PBC，

∴PA⊥BC,又PH⊥面ABC，

∴PH⊥BC，∴BC⊥面PAH，∴AH⊥BC.

同理BH⊥AC，∴H为垂心.

③∵H为AC中点，∠ABC=90°,

∴AH=BH=CH,

又PH⊥面ABC，

由勾股定理知PA=PB=PC,

④PA=PB=PC，又PH⊥面ABC，同③可知AH=BH=CH，

∴H为外心.

答案：①②③④

拓展探究

12已知：矩形ABCD，过A作SA⊥平面AC，再过A作AE⊥SB交于E，过E作EF⊥SC 交SC于F.

（1）求证：AF⊥SC；

（2）若平面AEF交SD于G，求证：AG⊥SD.

思路分析：本题是证线线垂直问题，可通过证线面垂直来实现.结合图形，欲证AF⊥SC，只需证SC垂直于AF所在平面，即SC⊥平面AEF，由已知，欲证SC⊥平面AEF，只需证AE垂直于SC所在平面，即AE⊥平面SBC，再由已知只需证AE⊥BC，而要证AE⊥BC，只需证BC⊥平面SAB，而这可由已知得证.

证明：（1）∵SA⊥平面AC，BC 平面AC，

∴SA⊥BC.

∵矩形ABCD，∴AB⊥BC，

∴BC⊥平面SAB，

∴BC⊥AE.又SB⊥AE，