2019高考数学二轮复习课时跟踪检测二十八不等式选讲理20190220381

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高考数学二轮复习课时跟踪检测二十八不等式选讲理

课时跟踪检测（二十八）不等式选讲1．(·广州模拟)已知定义在R 上的函数f (x )＝|x －m |＋|x |，m ∈N *，存在实数x 使f (x )<2成立．(1)求实数m 的值；(2)若α≥1，β≥1，f (α)＋f (β)＝4，求证：4α＋1β≥3.解：(1)因为|x －m |＋|x |≥|(x －m )－x |＝|m |. 所以要使不等式|x －m |＋|x |<2有解，则|m |<2，解得－2<m <2.因为m ∈N *，所以m ＝1. (2)证明：因为α≥1，β≥1，所以f (α)＋f (β)＝2α－1＋2β－1＝4，即α＋β＝3，所以4α＋1β＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫4α＋1β(α＋β)＝13⎝⎛⎭⎪⎫5＋4βα＋αβ≥13⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋24βα·αβ＝3.当且仅当4βα＝αβ，即α＝2，β＝1时等号成立，故4α＋1β≥3.2．(·唐山模拟)设f (x )＝|x |＋2|x －a |(a >0)． (1)当a ＝1时，解不等式f (x )≤4； (2)若f (x )≥4，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝|x |＋2|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧2－3x ，x <0，2－x ，0≤x ≤1，3x －2，x >1.当x <0时，由2－3x ≤4，得－23≤x <0；当0≤x ≤1时，由2－x ≤4，得0≤x ≤1；当x >1时，由3x －2≤4，得1<x ≤2.综上，不等式f (x )≤4的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，2. (2)f (x )＝|x |＋2|x －a |＝⎩⎪⎨⎪⎧2a －3x ，x <0，2a －x ，0≤x ≤a ，3x －2a ，x >a .可见，f (x )在(－∞，a ]上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增．当x ＝a 时，f (x )取得最小值a . 若f (x )≥4恒成立，则应a ≥4. 所以a 的取值范围为[4，＋∞)．3．(·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝|2x ＋1|＋|x －1|. (1)画出y ＝f (x )的图象；(2)当x ∈[0，＋∞)时，f (x )≤ax ＋b ，求a ＋b 的最小值．解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ，x <－12，x ＋2，－12≤x <1，3x ，x ≥1.y ＝f (x )的图象如图所示．(2)由(1)知，y ＝f (x )的图象与y 轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a ≥3且b ≥2时，f (x )≤ax ＋b 在[0，＋∞)成立，因此a ＋b 的最小值为5.4．(·开封模拟)已知函数f (x )＝|x －m |，m <0. (1)当m ＝－1时，求解不等式f (x )＋f (－x )≥2－x ； (2)若不等式f (x )＋f (2x )<1的解集非空，求m 的取值范围．解：(1)设F (x )＝f (x )＋f (－x )＝|x －1|＋|x ＋1| ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x <－1，2，－1≤x <1，G x ＝2－x ，2x ，x ≥1，由F (x )≥G (x )解得{x |x ≤－2或x ≥0}． (2)f (x )＋f (2x )＝|x －m |＋|2x －m |，m <0. 设g (x )＝f (x )＋f (2x )，当x ≤m 时，g (x )＝m －x ＋m －2x ＝2m －3x ，则g (x )≥－m ；当m <x <m2时，g (x )＝x －m ＋m －2x ＝－x ，则－m2<g (x )<－m ；当x ≥m2时，g (x )＝x －m ＋2x －m ＝3x －2m ，则g (x )≥－m2.则g (x )的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－m2，＋∞，不等式f (x )＋f (2x )<1的解集非空，即1>－m2，解得m >－2，由于m <0，则m 的取值范围是(－2,0)．5．(·昆明模拟)设函数f (x )＝|x －a |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋2a (a ≠0，a ∈R)．(1)当a ＝1时，解不等式f (x )≤5；(2)记f (x )的最小值为g (a )，求g (a )的最小值．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝|x －1|＋|x ＋2|，故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x >1，3，－2≤x ≤1，－2x －1，x <－2.①当x >1时，由2x ＋1≤5，得x ≤2，故1<x ≤2； ②当－2≤x ≤1时，由3≤5，得x ∈R ，故－2≤x ≤1； ③当x <－2时，由－2x －1≤5，得x ≥－3，故－3≤x <－2. 综上，不等式的解集为[－3,2]． (2)f (x )＝|x－a |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋2a ≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －a －⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2a ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当x －a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2a ≤0时等号成立，所以g (a )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋2a ，因为⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋2a ＝|a |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪2a ≥2|a |·⎪⎪⎪⎪⎪⎪2a＝22，当且仅当|a |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2a，即a ＝±2时等号成立，所以g (a )min ＝2 2.6．(·陕西模拟)已知函数f (x )＝|2x －1|＋|x ＋1|. (1)解不等式f (x )≤3；(2)记函数g (x )＝f (x )＋|x ＋1|的值域为M ，若t ∈M ，证明：t 2＋1≥3t＋3t .解：(1)依题意，得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ，x ≤－1，2－x ，－1<x <12，3x ，x ≥12，于是f (x )≤3⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1，－3x ≤3或⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <12，2－x ≤3或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，3x ≤3，解得－1≤x ≤1.故不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤1}．(2)证明：g (x )＝f (x )＋|x ＋1|＝|2x －1|＋|2x ＋2|≥|2x －1－2x －2|＝3，当且仅当(2x －1)(2x ＋2)≤0时取等号， ∴M ＝[3，＋∞)．t 2＋1≥3t ＋3t 等价于t 2－3t ＋1－3t≥0，t 2－3t ＋1－3t ＝t 3－3t 2＋t －3t＝t －3t 2＋1t.∵t ∈M ，∴t －3≥0，t 2＋1>0， ∴t －3t 2＋1t ≥0，∴t 2＋1≥3t＋3t .7．(·福州模拟)设函数f (x )＝|x －1|. (1)求不等式f (x )≤3－f (x －1)的解集；(2)已知关于x 的不等式f (x )≤f (x ＋1)－|x －a |的解集为M ，若⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32⊆M ，求实数a的取值范围．解：(1)因为f (x )≤3－f (x －1)，所以|x －1|≤3－|x －2|，即|x －1|＋|x －2|≤3，则⎩⎪⎨⎪⎧x <1，3－2x ≤3或⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤2，1≤3或⎩⎪⎨⎪⎧x >2，2x －3≤3，解得0≤x <1或1≤x ≤2或2<x ≤3，所以0≤x ≤3，故不等式f (x )≤3－f (x －1)的解集为[0,3]．(2) 因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32⊆M ，所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32时，f (x )≤f (x ＋1)－|x －a |恒成立，而f (x )≤f (x ＋1)－|x －a |⇔|x －1|－|x |＋|x －a |≤0⇔|x －a |≤|x |－|x －1|，因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32，所以|x －a |≤1，即x －1≤a ≤x ＋1，由题意，知x －1≤a ≤x ＋1对于x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32恒成立，所以12≤a ≤2，故实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2. 8．(·郑州模拟)已知f (x )＝|2x －1|＋|ax －5|(0<a <5)． (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥9的解集； (2)若函数y ＝f (x )的最小值为4，求实数a 的值．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝|2x －1|＋|x －5|＝⎩⎪⎨⎪⎧6－3x ，x <12，x ＋4，12≤x <5，3x －6，x ≥5，∴f (x )≥9⇔⎩⎪⎨⎪⎧x <12，6－3x ≥9或⎩⎪⎨⎪⎧12≤x <5，x ＋4≥9或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥5，3x －6≥9.解得x ≤－1或x ≥5，即所求不等式的解集为(－∞，－1]∪[5，＋∞)．(2)∵0<a <5，∴5a>1，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋2x ＋6，x <12，2－a x ＋4，12≤x ≤5a，a ＋2x －6，x >5a.∵当x <12时，f (x )单调递减，当x >5a时，f (x )单调递增，∴f (x )的最小值在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，5a 上取得，∵在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，5a 上，当0<a ≤2时，f (x )单调递增，当2<a ≤5时，f (x )单调递减， ∴⎩⎪⎨⎪⎧0<a ≤2，f x min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝4或⎩⎪⎨⎪⎧2<a ≤5，f x min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5a ＝4.解得a ＝2.。

2019高考数学二轮复习专题八选考4系列选讲282不等式选讲学案理

地地道道的达到不等式选讲1．(2017 ·全国卷Ⅰ) 已知函数f ( x) ＝－x2＋ax＋ 4，g( x) ＝ | x＋1| ＋ | x－1|.(1) 当＝ 1 时，求不等式f (x) ≥ ( ) 的解集；a g x(2) 若不等式 f ( x)≥ g( x)的解集包括[－1,1]，求 a 的取值范围．[ 解 ] (1) 当a＝ 1 时，不等式 f ( x)≥g( x)等价于 x2－ x＋| x＋1|＋| x－1|－4≤0.①当 x<－1时，①式化为 x2－3 x－4≤0，无解；当－ 1≤x≤1时，①式化为x2－x－2≤0，进而－ 1≤x≤1；当 x>1时，①式化为 x2＋ x－4≤0，进而1<x≤－1＋ 17 .2所以 f ( x)≥ g( x)的解集为 x －1≤x≤－1＋ 172 .(2)解法一 ( 等价转变法 ) ：当x∈ [ － 1,1] 时，g( x) ＝2.所以 f ( x)≥ g( x)的解集包括[－1,1]等价于当 x∈[－1,1]时 f ( x)≥2.又 f ( x)在[－1,1]的最小值必为 f (－1)与 f (1)之一，所以 f (－1)≥2且 f (1)≥2，得－1≤a≤1.所以 a 的取值范围为[－1,1]．解法二 ( 分类议论法 ) ：当x∈ [ － 1,1] 时，g( x) ＝ 2，所以f ( x) ≥g( x) 的解集包括 [ － 1,1] 等价于 x∈[－1,1]时 f ( x)≥2，即－ x2＋ax＋4≥2，当 x＝0时，－ x2＋ax＋4≥2建立；2 2 2当 x∈(0,1]时，－ x ＋ ax＋4≥2可化为 a≥ x－x，而 y＝ x－x在(0,1] 单一递加，最大值为－ 1，所以a≥－ 1；2 2 2当 x∈[－1,0)时，－x ＋ ax＋4≥2可化为 a≤ x－x，而 y＝ x－x在[－1,0)单一递加，最小值为 1，所以a≤1.综上， a 的取值范围为[－1,1] ．2．(2018 ·全国卷Ⅲ ) 设函数f ( x) ＝ |2 x＋ 1| ＋ | x－ 1|.地地道道的达到(1)画出 y＝ f ( x)的图象；(2)当 x∈[0，＋∞)时， f ( x)≤ ax＋ b，求 a＋ b 的最小值．1－ 3x，x<－2，[ 解 ] (1) f ( x) ＝ 1x＋2，－2≤ x<1，3x，x≥1.y＝ f ( x)的图象如下图．(2) 由 (1) 知，y＝f ( x) 的图象与y 轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为 3，故当且仅当≥3且≥2时，f (x) ≤ax＋b在[0 ，＋∞ ) 建立，所以a＋b的最小值a b 为 5.地地道道的达到1. 不等式选讲是高考的选考内容之一，考察的要点是不等式的证明、绝对值不等式的解法等，命题的热门是绝对值不等式的求解，以及绝对值不等式与函数的综合问题的求解．2．此部分命题形式单一、稳固，难度中等，备考本部分内容时应注意分类议论思想的应用．。

2019高考数学二轮复习含解析27套

一）...................................................................................................................................................................................... 2 课时跟踪检测（二）...................................................................................................................................................................................... 8 课时跟踪检测（三）.................................................................................................................................................................................... 14 课时跟踪检测（四）.................................................................................................................................................................................... 19 课时跟踪检测（五）..................................

2019高考数学二轮复习课时跟踪检测(二十三)不等式(小题练)理

课时跟踪检测（二十三）不等式（小题练）A 级——12＋4提速练一、选择题1．(2019届高三·南宁、柳州联考)设a >b ，a ，b ，c ∈R ，则下列式子正确的是( ) A ．ac 2>bc 2B.a b>1 C ．a －c >b －cD ．a 2>b 2解析：选C a >b ，若c ＝0，则ac 2＝bc 2，故A 错；a >b ，若b <0，则a b<1，故B 错；a >b ，不论c 取何值，都有a －c >b －c ，故C 正确；a >b ，若a ，b 都小于0，则a 22，则f (n )，g (n )，φ(n )的大小关系是( )A ．φ(n )<f (n )<g (n )B ．φ(n )≤f (n )<g (n )C ．f (n )<φ(n )<g (n )D ．f (n )≤φ(n )<g (n )解析：选C f (n )＝n 2＋1－n ＝1n 2＋1＋n <12n ，g (n )＝n －n 2－1＝1n ＋n 2－1>12n，所以f (n )<φ(n )<g (n )．故选C.3．(2018·日照二模)已知第一象限的点(a ，b )在直线2x ＋3y －1＝0上，则2a ＋3b的最小值为( )A ．24B ．25C ．26D ．27解析：选B 因为第一象限的点(a ，b )在直线2x ＋3y －1＝0上，所以2a ＋3b －1＝0，a >0，b >0，即2a ＋3b ＝1，所以2a ＋3b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋3b (2a ＋3b )＝4＋9＋6b a ＋6ab ≥13＋26b a ·6ab＝25，当且仅当6b a ＝6a b ，即a ＝b ＝15时取等号，所以2a ＋3b的最小值为25.4．(2018·陕西模拟)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，则z ＝2x ＋y 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线2x ＋y ＝0，平移该直线，可知当直线过点A (2，－1)时，z ＝2x ＋y 取得最大值，且z max ＝2×2－1＝3.5．不等式x 2＋x －6x ＋1>0的解集为( )A ．{x |－2<x <－1，或x >3}B ．{x |－3<x <－1，或x >2}C ．{x |x <－3，或－1<x <2}D ．{x |x <－3，或x >2}解析：选B x 2＋x －6x ＋1>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －6>0，x ＋1>0或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －6<0，x ＋1<0，解得－3<x <－1或x >2.选B.6．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，－2x ＋12，x ≤0，则“0<x <1”是“f (x )<0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 当0<x <1时，f (x )＝log 2x <0，所以“0<x <1”⇒“f (x )<0”；若f (x )<0，则⎩⎪⎨⎪⎧x >0，log 2x <0或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，－2x＋12<0，解得0<x <1或－1<x ≤0，所以－1<x <1，所以“f (x )<0”⇒/ “0<x <1”．故选A.7．(2018·重庆模拟)若实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，2x －y －3≤0，y －2≤0，则2x ＋y 的最小值为( )A ．3B ．4C ．5D ．7解析：选B 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，令z ＝2x ＋y ，作出直线2x ＋y ＝0并平移该直线，易知当直线经过点A (1,2)时，目标函数z ＝2x ＋y 取得最小值，且z min ＝2×1＋2＝4，故选B.8．(2018·广东模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－2x ，x ≥0，x 2－2x ，x <0，若f (3－a 2)<f (2a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(－3,1)C ．(－2,0)D ．(－3,2)解析：选B 如图，画出f (x )的图象，由图象易得f (x )在R 上单调递减，∵f (3－a 2)<f (2a )，∴3－a 2>2a ，解得－3<a <1.9．(2018·山东青岛模拟)已知a 为正的常数，若不等式1＋x ≥1＋x 2－x 2a对一切非负实数x 恒成立，则a 的最大值为( ) A ．6 B ．7 C ．8D ．9解析：选C 原不等式可化为x 2a ≥1＋x 2－1＋x ，令1＋x ＝t ，t ≥1，则x ＝t 2－1.所以t 2－2a≥1＋t 2－12－t ＝t 2－2t ＋12＝t －22对t ≥1恒成立，所以t ＋2a≥12对t ≥1恒成立．又a 为正的常数，所以a ≤[2(t ＋1)2]min ＝8，故a 的最大值是8.10．(2018·池州摸底)已知a ＞b ＞1，且2log a b ＋3log b a ＝7，则a ＋1b 2－1的最小值为( )A ．3B ． 3C ．2D. 2解析：选A 令log a b ＝t ，由a ＞b ＞1得0＜t ＜1,2log a b ＋3log b a ＝2t ＋3t ＝7，得t ＝12，即log a b ＝12，a ＝b 2，所以a ＋1b 2－1＝a －1＋1a －1＋1≥2a －1a －1＋1＝3，当且仅当a ＝2时取等号．故a ＋1b 2－1的最小值为3. 11．(2019届高三·湖北八校联考)已知关于x 的不等式ax 2－ax －2a 2>1(a >0，a ≠1)的解集为(－a,2a )，且函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x 2＋2mx －m －1的定义域为R ，则实数m 的取值范围为( )A ．(－1,0)B ．[－1,0]C ．(0,1]D ．[－1,1]解析：选B 当a >1时，由题意可得x 2－ax －2a 2>0的解集为(－a,2a )，这显然是不可能的．当0<a <1时，由题意可得x 2－ax －2a 2<0的解集为(－a,2a )，且⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x 2＋2mx －m ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 0，即x 2＋2mx －m ≥0恒成立，故对于方程x 2＋2mx －m ＝0，有Δ＝4m 2＋4m ≤0，解得－1≤m ≤0.12．(2018·郑州模拟)若变量x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，x ＋y －6≤0，x －1≥0，则xy 的取值范围是( )A ．[0,5]B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤5，354 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，354D ．[0,9]解析：选D 依题意作出题中的不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，结合图形可知，xy 的最小值为0(当x ＝1，y ＝0时取得)；xy ≤x (6－x )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋－x 22＝9，即xy ≤9，当x ＝3，y ＝3时取等号，即xy 的最大值为9，故选D.二、填空题13．已知关于x 的不等式2x ＋2x －a≥7在x ∈(a ，＋∞)上恒成立，则实数a 的最小值为________．解析：由x >a ，知x －a >0，则2x ＋2x －a ＝2(x －a )＋2x －a＋2a ≥2 x －a2x －a＋2a ＝4＋2a ，由题意可知4＋2a ≥7，解得a ≥32，即实数a 的最小值为32.答案：3214．(2018·长春模拟)已知角α，β满足－π2<α－β<π2，0<α＋β<π，则3α－β的取值范围是________．解析：设3α－β＝m (α－β)＋n (α＋β)＝(m ＋n )α＋(n －m )β，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝3，n －m ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝1.因为－π2<α－β<π2，0<α＋β<π，所以－π<2(α－β)<π，故－π<3α－β<2π.答案：(－π，2π)15．(2018·全国卷Ⅱ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≥0，x －2y ＋3≥0，x －5≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为________．解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示．由图可知当直线x ＋y ＝z 过点A 时z 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，x －2y ＋3＝0得点A (5,4)，∴z max ＝5＋4＝9.答案：916．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c ＝________.解析：由函数值域为[0，＋∞)知，函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R)的图象在x 轴上方，且与x 轴相切，因此有Δ＝a 2－4b ＝0，即b ＝a 24，∴f (x )＝x 2＋ax ＋b ＝x 2＋ax ＋a 24＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22.∴f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22<c ，解得－c <x ＋a 2<c ，－c －a 2<x <c －a 2.∵不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫c －a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－c －a 2＝2c ＝6，解得c ＝9.答案：9B 级——难度小题强化练1．(2018·合肥二模)若关于x 的不等式x 2＋ax －2＜0在区间[1,4]上有解，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，1]C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：选A 法一：因为x ∈[1,4]，则不等式x 2＋ax －2＜0可化为a ＜2－x 2x ＝2x－x ，设f (x )＝2x－x ，x ∈[1,4]，由题意得只需a ＜f (x )max ，因为函数f (x )为区间[1,4]上的减函数，所以f (x )max ＝f (1)＝1，故a ＜1.法二：设g (x )＝x 2＋ax －2，函数g (x )的图象是开口向上的抛物线，过定点(0，－2)，因为g (x )＜0在区间[1,4]上有解，所以g (1)＜0，解得a ＜1.2．(2018·衡水二模)若关于x 的不等式x 2－4ax ＋3a 2＜0(a ＞0)的解集为(x 1，x 2)，则x 1＋x 2＋ax 1x 2的最小值是( )A.63 B ．233C.433D.263解析：选C ∵关于x 的不等式x 2－4ax ＋3a 2＜0(a ＞0)的解集为(x 1，x 2)，∴Δ＝16a 2－12a 2＝4a 2＞0，又x 1＋x 2＝4a ，x 1x 2＝3a 2，∴x 1＋x 2＋a x 1x 2＝4a ＋a 3a 2＝4a ＋13a ≥24a ·13a＝433，当且仅当a ＝36时取等号．∴x 1＋x 2＋a x 1x 2的最小值是433. 3．(2018·沈阳一模)设不等式x 2－2ax ＋a ＋2≤0的解集为A ，若A ⊆[1,3]，则a 的取值范围为( )A.⎝⎛⎦⎥⎤－1，115B ．⎝⎛⎭⎪⎫1，115C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，115D ．[－1,3]解析：选A 设f (x )＝x 2－2ax ＋a ＋2，因为不等式x 2－2ax ＋a ＋2≤0的解集为A ，且A ⊆[1,3]，所以对于方程x 2－2ax ＋a ＋2＝0，若A ＝∅，则Δ＝4a 2－4(a ＋2)<0，即a 2－a －2<0，解得－1<a <2；若A ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4a 2－a ＋，f ，f，1≤a ≤3，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a ≤－1，a ≤3，a ≤115，1≤a ≤3.所以2≤a ≤115.综上，a 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－1，115，故选A.4．(2018·武汉调研)某公司生产甲、乙两种桶装产品，已知生产甲产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料3千克；生产乙产品1桶需消耗A 原料2千克，B 原料1千克，每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元，公司在每天消耗A ，B 原料都不超过12千克的条件下，生产这两种产品可获得的最大利润为( )A ．1 800元B ．2 100元C ．2 400元D ．2 700元解析：选C 设生产甲产品x 桶，生产乙产品y 桶，每天的利润为z 元．根据题意，有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y ≤12，3x ＋y ≤12，x ≥0，x ∈N *，y ≥0，y ∈N *，z ＝300x ＋400y .作出⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y ≤12，3x ＋y ≤12，x ≥0，y ≥0所表示的可行域，如图中阴影部分所示，作出直线3x ＋4y ＝0并平移，当直线经过点A (0,6)时，z 有最大值，z max ＝400×6＝2 400，故选C.5．当x ∈(0,1)时，不等式41－x ≥m －1x恒成立，则m 的最大值为________．解析：由已知不等式可得m ≤1x ＋41－x ，∵x ∈(0,1)，∴1－x ∈(0,1)，∵x ＋(1－x )＝1，∴1x ＋41－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋41－x [x ＋(1－x )]＝5＋1－x x ＋4x 1－x≥5＋2 1－x x ·4x1－x＝9，当且仅当1－x x ＝4x 1－x ，即x ＝13时取等号，∴m ≤9，即实数m 的最大值为9. 答案：96．(2018·洛阳尖子生统考)已知x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥x ，3x ＋4y ≤12，则x ＋2y ＋3x ＋1的取值范围是________．解析：画出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示，x ＋2y ＋3x ＋1＝1＋2×y ＋1x ＋1，y ＋1x ＋1表示可行域中的点(x ，y )与点P (－1，－1)连线的斜率．由图可知，当x ＝0，y ＝3时，x ＋2y ＋3x ＋1取得最大值，且⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2y ＋3x ＋1max＝9.因为点P (－1，－1)在直线y ＝x 上，所以当点(x ，y )在线段AO 上时，x ＋2y ＋3x ＋1取得最小值，且⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2y ＋3x ＋1min＝3.所以x ＋2y ＋3x ＋1的取值范围是[3,9]．答案：[3,9]。

2019高考数学(浙江)二轮复习练习：课时跟踪检测(二十) 小题考法——不等式

2019年4月课时跟踪检测（二十）小题考法——不等式A 组——10＋7提速练一、选择题1．在R 上定义运算：x ⊗y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )⊗(x －b )＞0的解集是(2,3)，则a ＋b ＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8详细分析：选C 由题知(x －a )⊗(x －b )＝(x －a )[1－(x －b )]＞0，即(x －a )[x －(b ＋1)]＜0，由于该不等式的解集为(2,3)，所以方程(x －a )[x －(b ＋1)]＝0的两根之和等于5，即a ＋b ＋1＝5，故a ＋b ＝4.2．已知正数a ，b 的等比中项是2，且m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1b ，则m ＋n 的最小值是( )A ．3B ．4C ．5D ．6详细分析：选C 由正数a ，b 的等比中项是2，可得ab ＝4，又m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1b ，所以m ＋n ＝a ＋b ＋1a ＋1b ＝a ＋b ＋a ＋b ab ＝54(a ＋b )≥54×2ab ＝5，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立，故m ＋n 的最小值为5.3．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥－1，x ＋y ≤4，y ≥2，则目标函数z ＝x ＋2y 的最大值为( )A ．5B ．6 C.132D ．7详细分析：选C 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由图易知，当直线z ＝x ＋2y 经过直线x －y ＝－1与x ＋y ＝4的交点，即⎝⎛⎭⎫32，52时，z 取得最大值，z max ＝32＋2×52＝132，故选C. 4．(2017·全国卷Ⅲ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －6≤0，x ≥0，y ≥0，则z ＝x －y 的取值范围是( )A ．[－3,0]B ．[－3,2]C ．[0,2]D ．[0,3]详细分析：选B 作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线l 0：y ＝x ，平移直线l 0，当直线z ＝x －y 过点A (2,0)时，z 取得最大值2，当直线z ＝x －y 过点B (0,3)时，z 取得最小值－3，所以z ＝x －y 的取值范围是[－3,2]．5．(2017·全国卷Ⅱ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －3≤0，2x －3y ＋3≥0，y ＋3≥0，则z ＝2x ＋y 的最小值是( )A ．－15B ．－9C ．1D ．9详细分析：选A 作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．易求得可行域的顶点A (0，1)，B (－6，－3)，C (6，－3)，当直线z ＝2x ＋y 过点B (－6，－3)时，z 取得最小值，z min ＝2×(－6)－3＝－15.6．设不等式组⎩⎨⎧y ≥0，x ＋y ≤1，y ≥mx (m ∈R )所表示的区域面积为S .若S ≤1，则m 的取值范围为( )A ．(－∞，－2]B ．[－2,0]C ．(0,2]D ．[2，＋∞)详细分析：选A 如图，当x ＋y ＝1与y ＝mx 交点为(－1,2)时，不等式组所表示的区域面积为1，此时m ＝－2，若S ≤1，则m ≤－2，故选A.7．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＋5≥0，x ＋y －1≤0，x ＋a ≥0，若z ＝x ＋2y 的最小值为－4，则实数a ＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8详细分析：选B 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，当直线z ＝x ＋2y 经过点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ，a －53时，z 取得最小值－4，所以－a ＋2×a －53＝－4，解得a ＝2，故选B.8．(2019届高三·浙江六校协作体联考)已知函数f (x )＝13ax 3＋12bx 2－x (a >0，b >0)在x ＝1处取得极小值，则1a ＋4b的最小值为( )A ．4B ．5C ．9D ．10详细分析：选C 由f (x )＝13ax 3＋12bx 2－x (a >0，b >0)，得f ′(x )＝ax 2＋bx －1，则f ′(1)＝a ＋b －1＝0，∴a ＋b ＝1，∴1a ＋4b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋4b ·(a ＋b )＝5＋b a ＋4a b ≥5＋2b a ·4a b ＝9，当且仅当ba＝4a b ，即a ＝13，b ＝23时，等号成立，故选C.9．(2017·衢州二中交流卷)若实数x ，y 满足|[x ]|＋|y |≤1([x ]表示不超过x 的最大整数)，则x ＋y ＋4x ＋2的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤43，3B.⎝⎛⎦⎤43，52 C.⎝⎛⎦⎤32，52D.⎝⎛⎦⎤32，3详细分析：选A 因为|[x ]|≤1－|y |≤1，所以－1≤[x ]≤1，再根据[x ]的具体值进行分类： ①当[x ]＝－1，即－1≤x <0时，y ＝0；②当[x ]＝0，即0≤x <1时，|y |≤1，即－1≤y ≤1； ③当[x ]＝1，即1≤x <2时，y ＝0.在平面直角坐标系内作出可行域，如图所示．x ＋y ＋4x ＋2＝1＋y ＋2x ＋2，其几何意义为可行域内的点(x ，y )与点(－2，－2)所确定的直线的斜率加1.而由图可知，点(－1，0)与点(－2，－2)所确定的直线的斜率最大，最大值为0＋2－1＋2＝2；点(1，－1)与点(－2，－2)所确定的直线的斜率最小，最小值为－1＋21＋2＝13，又由图知取不到最小值，所以x ＋y ＋4x ＋2∈⎝⎛⎦⎤43，3，故选A. 10．(2017·天津高考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ＋3，x ≤1，x ＋2x ，x >1.设a ∈R ，若关于x 的不等式f (x )≥⎪⎪⎪⎪x 2＋a 在R 上恒成立，则a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－4716，2 B.⎣⎡⎦⎤－4716，3916 C ．[－23，2]D.⎣⎡⎦⎤－23，3916详细分析：选A 法一：根据题意，作出f (x )的大致图象，如图所示．当x ≤1时，若要f (x )≥⎪⎪⎪⎪x 2＋a 恒成立，结合图象，只需x 2－x ＋3≥－⎝⎛⎭⎫x 2＋a ，即x 2－x 2＋3＋a ≥0，故对于方程x 2－x2＋3＋a ＝0，Δ＝⎝⎛⎭⎫－122－4(3＋a )≤0，解得a ≥－4716；当x >1时，若要f (x )≥⎪⎪⎪⎪x 2＋a 恒成立，结合图象，只需x ＋2x ≥x2＋a ，即x 2＋2x ≥a .又x 2＋2x ≥2，当且仅当x 2＝2x ，即x ＝2时等号成立，所以a ≤2.综上，a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－4716，2. 法二：关于x 的不等式f (x )≥⎪⎪⎪⎪x 2＋a 在R 上恒成立等价于－f (x )≤a ＋x2≤f (x )，即－f (x )－x 2≤a ≤f (x )－x2在R 上恒成立，令g (x )＝－f (x )－x2.当x ≤1时，g (x )＝－(x 2－x ＋3)－x 2＝－x 2＋x2－3＝－⎝⎛⎭⎫x －142－4716，当x ＝14时，g (x )max ＝－4716；当x >1时，g (x )＝－⎝⎛⎭⎫x ＋2x －x 2＝－⎝⎛⎭⎫3x 2＋2x ≤－23，当且仅当3x 2＝2x ，且x >1，即x ＝233时，“＝”成立，故g (x )max ＝－2 3. 综上，g (x )max ＝－4716.令h (x )＝f (x )－x2，当x ≤1时，h (x )＝x 2－x ＋3－x 2＝x 2－3x2＋3＝⎝⎛⎭⎫x －342＋3916，当x ＝34时，h (x )min ＝3916；当x >1时，h (x )＝x ＋2x －x 2＝x 2＋2x ≥2，当且仅当x 2＝2x ，且x >1，即x ＝2时，“＝”成立，故h (x )min ＝2.综上，h (x )min ＝2. 故a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤－4716，2. 二、填空题11．若两个正实数x ，y 满足1x ＋4y ＝1，且不等式x ＋y 4<m 2－3m 有解，则实数m 的取值范围是________．详细分析：由题可知，1＝1x ＋4y ≥24xy ＝4xy，即xy ≥4，于是有m 2－3m >x ＋y 4≥xy ≥4，故m 2－3m >4，化简得(m ＋1)(m －4)>0，解得m <－1或m >4，即实数m 的取值范围为(－∞，－1)∪(4，＋∞)．答案：(－∞，－1)∪(4，＋∞)12．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是________________．详细分析：由题意得，f (1)＝3，所以f (x )>f (1)，即f (x )>3.当x <0时，x ＋6>3，解得－3<x <0；当 x ≥0时，x 2－4x ＋6>3，解得x >3或0≤x <1.综上，不等式的解集为(－3,1)∪(3，＋∞)．答案：(－3,1)∪(3，＋∞)13．(2018·绍兴一中调研)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x ＋y ≥1，x ＋3y －3≤0，则由不等式组确定的可行域的面积为________，z ＝2x －y 的最大值为________．详细分析：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，所以可行域的面积为1，因为目标函数z ＝2x －y 的斜率为2，所以过点A (3,0)时取到最大值6.答案：1 614．(2018·杭州二中调研)已知x >3y >0或x <3y <0，则(x －2y )2＋4y (x －3y )的最小值是________．详细分析：(x －2y )2＋4y (x －3y )≥(x －2y )2＋4⎣⎢⎡⎦⎥⎤y ＋(x －3y )22＝(x －2y )2＋16(x －2y )2≥8，当4y＝x ，x －2y ＝±2时取等号．答案：815．如果实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －1≤0，y －2≤0，且z ＝y x ＋a的最小值为12，则正数a 的值为________．详细分析：根据约束条件画出可行域如图中阴影部分所示，经分析可知当x ＝1，y ＝1时，z 取最小值12，即11＋a ＝12，所以a ＝1.答案：116．(2018·绍兴质量调测)已知正实数x ，y 满足xy ＋2x ＋3y ＝42，则xy ＋5x ＋4y 的最小值为________．详细分析：由题知，xy ＋5x ＋4y ＝(xy ＋2x ＋3y )＋3x ＋y ＝42＋3x ＋y ，而(x ＋3)(y ＋2)＝48，因此144＝(3x ＋9)(y ＋2)≤⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋y ＋1122，因此3x ＋y ≥13，当且仅当3x ＋9＝y ＋2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝10时取等号．故xy ＋5x ＋4y ＝42＋3x ＋y ≥55，则xy ＋5x ＋4y的最小值为55.答案：5517．若不等式|2a ＋b |＋|2a －b |≥|a |(|2＋x |＋|2－x |)(a ≠0)恒成立，则实数x 的取值范围是________．详细分析：不等式|2a ＋b |＋|2a －b |≥|a |(|2＋x |＋|2－x |)(a ≠0)恒成立，即|2＋x |＋|2－x |≤|2a ＋b |＋|2a －b ||a |恒成立，故|2＋x |＋|2－x |≤⎝ ⎛⎭⎪⎫|2a ＋b |＋|2a －b ||a |min.因为|2a ＋b |＋|2a －b ||a |≥|2a ＋b ＋2a －b ||a |＝|4a ||a |＝4，当且仅当(2a ＋b )(2a －b )≥0，即2|a |≥|b |时等号成立，所以|2a ＋b |＋|2a －b ||a |的最小值为4，所以|2＋x |＋|2－x |≤4，解得－2≤x ≤2.故实数x 的取值范围为[－2，2]．答案：[－2,2]B 组——能力小题保分练1．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x －3y ＋5≥0，x ≥0，y ≥0，则z ＝8－x ·⎝⎛⎭⎫12y的最小值为( )A ．1 B.324C.116D.132详细分析：选D 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，而z ＝8－x ·⎝⎛⎭⎫12y ＝2－3x －y ，欲使z 最小，只需使－3x －y 最小即可．由图知当x ＝1，y ＝2时，－3x －y 的值最小，且－3×1－2＝－5，此时2－3x －y 最小，最小值为132.故选D.2．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，4x －y －4≤0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为6，则1a ＋2b 的最小值为( )A ．1B ．3C ．2D ．4详细分析：选B 依题意画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．∵a >0，b >0，∴当直线z ＝ax ＋by 经过点(2,4)时，z 取得最大值6， ∴2a ＋4b ＝6，即a ＋2b ＝3.∴1a ＋2b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋2b (a ＋2b )×13＝53＋2b 3a ＋2a 3b ≥3，当且仅当a ＝b ＝1时等号成立，∴1a ＋2b 的最小值为3.故选B.3．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0，y ≤－nx ＋3n所表示的平面区域为D n ，记D n 内的整点(横坐标和纵坐标均为整数的点)个数为a n (n ∈N *)，若m >1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1对于任意的正整数恒成立，则实数m 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫19，＋∞ B.⎝⎛⎭⎫19，＋∞ C.⎝⎛⎦⎤－∞，19 D.⎝⎛⎭⎫－∞，19 详细分析：选A不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0，y ≤－nx ＋3n表示的平面区域为直线x ＝0，y ＝0，y ＝－nx ＋3n 围成的直角三角形(不含直角边)，区域内横坐标为1的整点有2n 个，横坐标为2的整点有n 个，所以a n ＝3n ，所以1a n a n ＋1＝13n ·(3n ＋3)＝19⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，所以1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝19⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝19⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1，数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫19⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1为单调递增数列，故当n 趋近于无穷大时，19⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1趋近于19，所以m ≥19.故选A.4．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的导函数为f ′(x )．若∀x ∈R ，不等式f (x )≥f ′(x )恒成立，则b 2a 2＋2c 2的最大值为( )A.6＋2B.6－2 C ．22＋2D ．22－2详细分析：选B 由题意得f ′(x )＝2ax ＋b ，由f (x )≥f ′(x )在R 上恒成立，得ax 2＋(b－2a )x ＋c －b ≥0在R 上恒成立，则a >0且Δ≤0，可得b 2≤4ac －4a 2，则b2a 2＋2c 2≤4ac －4a 2a 2＋2c 2＝4⎝⎛⎭⎫c a －12⎝⎛⎭⎫c a 2＋1，又4ac －4a 2≥0，∴4·c a －4≥0，∴c a －1≥0，令t ＝c a －1，则t ≥0.当t >0时，b 2a 2＋2c 2≤4t 2t 2＋4t ＋3＝42t ＋3t ＋4≤426＋4＝6－2⎝⎛⎭⎫当且仅当t ＝62时等号成立，当t ＝0时，b 2a 2＋2c 2＝0<6－2，故b 2a 2＋2c 2的最大值为6－2，故选B.5．(2019届高三·浙江新高考联盟联考)过P (－1,1)的光线经x 轴上点A 反射后，经过不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≥0，x ＋y －2≥0，3x ＋y －9≤0所表示的平面区域内某点(记为B )，则|PA |＋|AB |的取值范围是________．详细分析：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≥0，x ＋y －2≥0，3x ＋y －9≤0表示的平面区域如图中阴影部分所示，点P 关于x 轴的对称点为P 1(－1，－1)，|PA |＋|AB |＝|P 1B |，过点P 1作直线x ＋y －2＝0的垂线，则|PA |＋|AB |＝|P1B |的最小值为|－1－1－2|2＝2 2.由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，3x ＋y －9＝0得B 0(2,3)，则|PA |＋|AB |＝|P 1B |的最大值为|P 1B 0|＝(2＋1)2＋(3＋1)2＝5.故22≤|PA |＋|AB |≤5. 答案：[22，5]6．(2018·浙江“七彩阳光”联盟期中)设实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，x －3y ＋5≥0，x ＋my －1≤0，且目标函数z ＝3x ＋y 的最大值为15，则实数m ＝________；设min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b ，则z＝min{x ＋y ＋2,2x ＋y }的取值范围是________．详细分析：因为直线x ＋y －3＝0与x －3y ＋5＝0交于点A (1，2)，而直线x ＋my －1＝0过点(1,0)，则当m >0时，不等式组不能构成可行域．当m ＝0时，可行域为点A (1,2)，不符合题意．当－1m >13，即－3<m <0时，不等式组构成的可行域是以A (1,2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3m －1m －1，－2m －1，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－5m m ＋3，6m ＋3为顶点的三角形区域(含边界)，过点C 时，目标函数z ＝3x ＋y 有最大值15－15m m ＋3，由15－15mm ＋3＝15，得m ＝－1.当0<－1m ≤13，即m ≤－3时，不等式组构成的可行域是一个开放区域，此时，目标函数z ＝3x ＋y 没有最大值．综合得m ＝－1.此时，可行域是以A (1,2)，B (2,1)，C (4,3)为顶点的三角形区域(含边界)．而z ＝min{x ＋y ＋2,2x ＋y }＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋2，x ≥2，2x ＋y ，x <2，直线x ＝2把可行域分成以A (1,2)，B (2,1)，D ⎝⎛⎭⎫2，73为顶点的三角形区域，和以B (2,1)，C (4,3)，D ⎝⎛⎭⎫2，73为顶点的三角形区域．故只要求z ＝2x ＋y 在三角形ABD 区域上的范围，z ＝x ＋y ＋2在三角形BCD 区域上的范围即可．当平行直线系2x ＋y ＝z 在三角形ABD 区域内运动时，z ＝2x ＋y ∈⎣⎡⎦⎤4，193.当平行直线系x＋y＋2＝z在三角形BCD区域内运动时，z＝x＋y＋2∈[5,9]．从而有z＝min{x＋y＋2,2x＋y}的取值范围是[4,9]．答案：－1[4,9]11。

高考数学二轮总复习课时跟踪检测不等式选讲理

1 / 4课时追踪检测 ( 十九 ) 不等式选讲1．(2019 ·广州模拟 ) 已知定义在 R 上的函数 f ( x ) ＝ | x －m | ＋ | x | ， m ∈ N * ，存在实数x使 f ( x )<2 建立．(1) 务实数 m 的值；41(2) 若 α≥1， β≥1， f ( α) ＋ f ( β) ＝ 4，求证： α＋β≥3.解： (1) 由于 | x － m | ＋ | x | ≥|m － x ＋ x | ＝ | m |.因此要使不等式 | x － m | ＋| x |<2 有解，则 | m |<2 ，解得－ 2<m <2. 由于 m ∈ N * ，因此 m ＝ 1.(2) 证明：由于 α≥1， β≥1，因此 f ( α) ＋ f ( β) ＝ 2α－ 1＋ 2β －1＝ 4，即 α＋ β＝ 3，41 1 4 1因此 α＋ β＝ 3 α＋ β ( α＋ β )14β α＝ 3 5＋ α ＋ β15＋ 24β α ＝ 3.≥ 3 α ·β4βα当且仅当 α ＝ β，即 α＝ 2， β＝ 1 时等号建立，41故 α＋ β≥3.2．(2019 ·福州四校联考 )(1) 求不等式－ 2<| x － 1| －| x ＋ 2|<0 的解集；(2) 设 a ， b 均为正数， h ＝ max2＋222 ， ab ，，证明： h ≥2.aab b3， x ≤－ 2，解： (1) 记 f ( x ) ＝ | x － 1| － | x ＋ 2| ＝－ 2x － 1，－ 2<x <1，－ 3， x ≥1，11由－ 2<－ 2x － 1<0，解得－ 2<x <2，1 1则不等式的解集为－ 2， 2 .2a 2＋b 22(2) 证明：∵ h ≥， h ≥， h ≥，aabb22∴ h 3≥ 4 a ＋ b≥4×2ab＝ 8，当且仅当 a ＝ b 时取等号，abab12 / 4∴ h ≥2.3．(2019 ·广东省化州市一模 ) 已知函数f ( x ) ＝ | x － |－2.a (1) 若 a ＝ 1，求不等式 f ( x ) ＋ |2 x － 3|>0 的解集；(2) 对于 x 的不等式 f ( x )>| x － 3| 有解，务实数 a 的取值范围．解： (1) 当 a ＝ 1 时，原不等式等价于| x － 1| ＋ |2 x － 3|>2.当 x ≥3时， 3x －4>2，解得 x >2； 23当 1<x <2时， 2－x >2，无解；当x ≤1时， 4－3 >2，解得x 2< .x3∴原不等式的解集为2 .x x >2或 x <3(2) f ( x )>| x － 3| ? | x － a | － | x － 3|>2.令 g ( x ) ＝ | x － a | － | x － 3| ，依题意知， g ( x ) max >2.∵ g ( x ) ＝ | x － a | － | x －3| ≤|( x － a ) － ( x － 3)| ＝ | a －3| ， ∴ g ( x ) max ＝ | a － 3| ， ∴|a －3|>2 ，解得 a >5 或 a <1，∴实数 a 的取值范围是 ( －∞， 1) ∪ (5 ，＋∞ ) ．4．(2019 ·蓉城名校高三联考) 设函数 f ( x ) ＝| x ＋ 1| ＋ |2 x － 1|.(1) 求不等式 f ( x ) ≥2的解集；29(2) 若对于 x 的不等式 f ( x ) ≤－ m ＋ 2m ＋ 2的解集非空，务实数 m 的取值范围．－ 3x ， x ≤－ 1，－＋ 2，－1解： (1) 由题意知 f ( x ) ＝1<<，xx 213x ， x ≥ 2，∴原不等式等价于x ≤－ 1，－3 ≥2x11或－ 1<x <2，或 x ≥ 2，－ x ＋2≥23x ≥2，2解得 x ≤－ 1 或－ 1<x ≤0或 x ≥ 3，22∴原不等式的解集为( －∞， 0] ∪3，＋∞.－ 3x，x≤－ 1，1 (2) 由 (1) 知，f ( x) ＝－ x＋2，－1<x<2，13x，x≥，23因此 f ( x)min＝2.29要使不等式 f ( x)≤－ m＋2m＋2的解集非空，只要f (x) min≤－ 29 3 2 9＋ 2 ＋，即≤－＋2＋，m m 2 2 m m 2 2化简得 m－2m－3≤0，解得－1≤ m≤3，因此实数的取值范围是 [ － 1,3] ．m5．(2019 ·湖南省岳阳市第一中学高三二检) 已知f ( x) ＝ |2 x－3| ＋ax－6( a是常数 ) ．(1)当 a＝1时，求不等式 f ( x)≥0的解集；(2) 假如函数y＝f ( x) 恰有两个不一样的零点，求 a 的取值范围．3解： (1) 当a＝ 1 时，f ( x) ＝ |2 x－ 3| ＋x－ 6＝3x－9，x≥2，3 － 3－x， < ，x 23 3则原不等式等价于x≥2，或 x<2，解得 x≥3或 x≤－3，3x－9≥0－ 3－x≥0，则原不等式的解集为{ x| x≥3或x≤－ 3} ．(2) 由f ( x) ＝ 0，得 |2 x－3| ＝－ax＋ 6.令 y＝|2 x－3|， y＝－ ax＋6，作出它们的图象，如图．明显，当－ 2<a<2 时，这两个函数的图象有两个不一样的交点，因此函数 y＝ f ( x)恰有两个不一样的零点时，a 的取值范围是(－2,2)．6．(2019 ·全国卷Ⅲ) 设x，y，z∈R，且x＋y＋z＝ 1.33 / 44 / 4(1) 求 ( x － 1) 2＋ ( y ＋ 1) 2＋ ( z ＋ 1) 2 的最小值；2221(2) 若 ( x － 2) ＋ ( y － 1) ＋ ( z － a ) ≥ 3建立，证明： a ≤－ 3 或 a ≥－ 1. 2解： (1) 由于 [( x － 1) ＋ ( y ＋ 1) ＋ ( z ＋1)]＝ ( x －1) 2＋ ( y ＋ 1) 2＋ ( z ＋ 1) 2＋ 2[( x －1)( y ＋ 1) ＋ ( y ＋ 1)( z ＋ 1) ＋ ( z ＋ 1)( x －1)]≤ 3[( x － 1) 2＋ ( y ＋1) 2＋ ( z ＋1) 2] ，2224因此由已知得 ( x － 1) ＋ ( y ＋ 1) ＋ ( z ＋ 1) ≥ ，511当且仅当 x ＝ 3， y ＝－ 3，z ＝－ 3时等号建立．2224因此 ( x － 1) ＋ ( y ＋1) ＋ ( z ＋1) 的最小值为.(2) 证明：由于 [( x － 2) ＋( y － 1) ＋( z － a )] 2＝ ( x －2) 2＋ ( y － 1) 2＋ ( z － a ) 2＋ 2[( x －2)( y － 1) ＋ ( y － 1)( z － a ) ＋ ( z － a )( x －2)]≤3[( x － 2) 2＋ ( y －1) 2＋ ( z －a ) 2] ，22222＋ a因此由已知得 ( x － 2) ＋ ( y － 1) ＋ ( z － a ) ≥，4－ a 1－ a2a － 2当且仅当 x ＝3 ， y ＝ 3， z ＝3 时等号建立．因此 ( x － 2) 2＋ ( y －1) 2＋ ( z －a ) 2 的最小值为 2＋ a 2 .3 由题设知 2＋ a 2 1或 a ≥－ 1.≥ ，解得 a ≤－ 33 34。

【名校专用】通用版高考数学二轮复习课时跟踪检测二十八理

课时跟踪检测（二十八）1．(2017·云南调研)已知函数f (x )＝|x ＋1|＋|m －x |(其中m ∈R)． (1)当m ＝2时，求不等式f (x )≥6的解集；(2)若不等式f (x )≥6对任意实数x 恒成立，求m 的取值范围．解：(1)当m ＝2时，f (x )＝|x ＋1|＋|2－x |，①当x <－1时，f (x )≥6可化为－x －1＋2－x ≥6，解得x ≤－52；②当－1≤x ≤2时，f (x )≥6可化为x ＋1＋2－x ≥6，无实数解； ③当x >2时，f (x )≥6可化为x ＋1＋x －2≥6，解得x ≥72.综上，不等式f (x )≥6的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ≤－52或x ≥72.(2)法一：因为|x ＋1|＋|m －x |≥|x ＋1＋m －x |＝|m ＋1|，由题意得|m ＋1|≥6，即m ＋1≥6或m ＋1≤－6，解得m ≥5或m ≤－7，即m 的取值范围是(－∞，－7]∪[5，＋∞)．法二：①当m <－1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋m －1，x <m ，－m －1，m ≤x ≤－1，2x ＋1－m ，x >－1，此时，f (x )min ＝－m －1，由题意知，－m －1≥6，解得m ≤－7，所以m 的取值范围是m ≤－7.②当m ＝－1时，f (x )＝|x ＋1|＋|－1－x |＝2|x ＋1|，此时f (x )min ＝0，不满足题意．③当m >－1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋m －1，x <－1，m ＋1，－1≤x ≤m ，2x ＋1－m ，x >m ，此时，f (x )min ＝m ＋1，由题意知，m ＋1≥6，解得m ≥5，所以m 的取值范围是m ≥5.综上所述，m 的取值范围是(－∞，－7]∪[5，＋∞)．2．(2017·郑州模拟)已知a >0，b >0，函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |的最小值为4. (1)求a ＋b 的值； (2)求14a 2＋19b 2的最小值．解：(1)因为|x ＋a |＋|x －b |≥|a ＋b |，所以f (x )≥|a ＋b |，当且仅当(x ＋a )(x －b )<0时，等号成立，又a >0，b >0，所以|a ＋b |＝a ＋b ，所以f (x )的最小值为a ＋b ，所以a ＋b ＝4.(2)由(1)知a ＋b ＝4，b ＝4－a ，14a 2＋19b 2＝14a 2＋19(4－a )2＝1336a 2－89a ＋169＝1336⎝ ⎛⎭⎪⎫a －16132＋1613，故当且仅当a ＝1613，b ＝3613时，14a 2＋19b 2取最小值为1613. 3．(2018届高三·湖南五市十校联考)设函数f (x )＝|x －1|－2|x ＋a |. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(2)若不等式f (x )>0在x ∈[2,3]上恒成立，求a 的取值范围．解：(1)a ＝1，f (x )>1⇔|x －1|－2|x ＋1|>1⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1，－x ＋1＋x ＋或⎩⎪⎨⎪⎧－1<x ≤1，－x ＋1－x ＋>1或⎩⎪⎨⎪⎧x >1，x －1－x ＋⇔－2<x ≤－1或－1<x <－23或x ∈∅⇔－2<x <－23，故不等式f (x )>1的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－2，－23. (2)f (x )>0在x ∈[2,3]上恒成立⇔|x －1|－2|x ＋a |>0在x ∈[2,3]上恒成立⇔|2x ＋2a |<x －1⇔1－x <2x ＋2a <x －1⇔1－3x <2a <－x －1在x ∈[2,3]上恒成立⇔(1－3x )max <2a <(－x －1)min ⇔－5<2a <－4⇔－52<a <－2.故a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，－2.4．(2017·宝鸡质检)已知函数f (x )＝|2x －a |＋|2x ＋3|，g (x )＝|x －1|＋2. (1)解不等式|g (x )|<5；(2)若对任意x 1∈R ，都存在x 2∈R ，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，求实数a 的取值范围．解：(1)由||x －1|＋2|<5得－5<|x －1|＋2<5，所以－7<|x －1|<3，解得－2<x <4，则不等式|g (x )|<5的解集为{x |－2<x <4}． (2)因为对任意x 1∈R ，都存在x 2∈R ，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，所以{y |y ＝f (x )}⊆{y |y ＝g (x )}，又f (x )＝|2x －a |＋|2x ＋3|≥|(2x －a )－(2x ＋3)|＝|a ＋3|，g (x )＝|x －1|＋2≥2，所以|a ＋3|≥2，解得a ≥－1或a ≤－5，所以实数a 的取值范围为{a |a ≥－1或a ≤－5}．5．(2018届高三·湘中名校联考)已知函数f (x )＝|x －2|＋|2x ＋a |，a ∈R. (1)当a ＝1时，解不等式f (x )≥5；(2)若存在x 0满足f (x 0)＋|x 0－2|<3，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝|x －2|＋|2x ＋1|. 由f (x )≥5得|x －2|＋|2x ＋1|≥5.当x ≥2时，不等式等价于x －2＋2x ＋1≥5，解得x ≥2，所以x ≥2；当－12<x <2时，不等式等价于2－x ＋2x ＋1≥5，即x ≥2，所以解集为空集；当x ≤－12时，不等式等价于2－x －2x －1≥5，解得x ≤－43，所以x ≤－43.故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ≤－43或x ≥2.(2)f (x )＋|x －2|＝2|x －2|＋|2x ＋a |＝|2x －4|＋|2x ＋a |≥|2x ＋a －(2x －4)|＝|a ＋4|，∵原命题等价于(f (x )＋|x －2|)min <3，即|a ＋4|<3，∴－7<a <－1.即实数a 的取值范围为(－7，－1)．6．已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |，g (x )＝x ＋3. (1)当a ＝－2时，求不等式f (x )＜g (x )的解集；(2)设a ＞－1，且当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，12时，f (x )≤g (x )，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝－2时，不等式f (x )＜g (x )化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3＜0.设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－5x ，x ＜12，－x －2，12≤x ≤1，3x －6，x ＞1.其图象如图所示．从图象可知，当且仅当x ∈(0,2)时，y <0.所以原不等式的解集是{x |0＜x ＜2}．(2)当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，12时，f (x )＝1＋a .不等式f (x )≤g (x )化为1＋a ≤x ＋3.所以x ≥a －2对x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，12都成立．故－a 2≥a －2，即a ≤43. 从而a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－1，43. 7．(2017·贵阳检测)已知|x ＋2|＋|6－x |≥k 恒成立． (1)求实数k 的最大值；(2)若实数k 的最大值为n ，正数a ，b 满足85a ＋b ＋22a ＋3b＝n .求7a ＋4b 的最小值．解：(1)因为|x ＋2|＋|6－x |≥k 恒成立，设g (x )＝|x ＋2|＋|6－x |，则g (x )min ≥k .又|x ＋2|＋|6－x |≥|(x ＋2)＋(6－x )|＝8，当且仅当－2≤x ≤6时，g (x )min ＝8，所以k ≤8，即实数k 的最大值为8.(2)由(1)知，n ＝8，所以85a ＋b ＋22a ＋3b ＝8，即45a ＋b ＋12a ＋3b＝4，又a ，b 均为正数，所以7a ＋4b ＝14(7a ＋4b )⎝ ⎛⎭⎪⎫45a ＋b ＋12a ＋3b＝14[]a ＋b ＋a ＋3b⎝⎛⎭⎪⎫45a ＋b ＋12a ＋3b ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋1＋a ＋3b 5a ＋b ＋5a ＋b 2a ＋3b ≥14×(5＋4)＝94，当且仅当a ＋3b 5a ＋b ＝5a ＋b 2a ＋3b ，即a ＝5b ＝1552时，等号成立，所以7a ＋4b 的最小值是94. 8．设a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1.求证： (1)2ab ＋bc ＋ca ＋c 22≤12；(2)a 2＋c 2b ＋b 2＋a 2c ＋c 2＋b 2a≥2.证明：(1)因为1＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ≥4ab ＋2bc ＋2ca ＋c 2，当且仅当a ＝b 时等号成立．所以2ab ＋bc ＋ca ＋c 22＝12(4ab ＋2bc ＋2ca ＋c 2)≤12.(2)因为a 2＋c 2b ≥2ac b ，b 2＋a 2c ≥2ab c ，c 2＋b 2a ≥2bca ，所以a 2＋c 2b ＋b 2＋a 2c ＋c 2＋b 2a≥⎝⎛⎭⎪⎫ac b ＋ab c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫ab c ＋bc a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫ac b ＋bc a ＝a ⎝⎛⎭⎪⎫c b ＋bc ＋b ⎝⎛⎭⎪⎫a c ＋ca ＋c ⎝⎛⎭⎪⎫a b ＋ba ≥2a ＋2b ＋2c ＝2，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时等号成立.。

2019高考数学二轮复习课时跟踪检测二十三不等式小题练理

课时跟踪检测（二十三）不等式（小题练）A 级——12＋4提速练一、选择题1．(2019届高三·南宁、柳州联考)设a >b ，a ，b ，c ∈R ，则下列式子正确的是( ) A ．ac 2>bc 2 B.a b>1 C ．a －c >b －cD ．a 2>b 2解析：选C a >b ，若c ＝0，则ac 2＝bc 2，故A 错；a >b ，若b <0，则a b<1，故B 错；a >b ，不论c 取何值，都有a －c >b －c ，故C 正确；a >b ，若a ，b 都小于0，则a 22，则f (n )，g (n )，φ(n )的大小关系是( )A ．φ(n )<f (n )<g (n )B ．φ(n )≤f (n )<g (n )C ．f (n )<φ(n )<g (n )D ．f (n )≤φ(n )<g (n ) 解析：选C f (n )＝n 2＋1－n ＝1n 2＋1＋n <12n ，g (n )＝n －n 2－1＝1n ＋n 2－1>12n ，所以f (n )<φ(n )<g (n )．故选C.3．(2018·日照二模)已知第一象限的点(a ，b )在直线2＋3y －1＝0上，则2a ＋3b的最小值为( )A ．24B ．25C ．26D ．27解析：选B 因为第一象限的点(a ，b )在直线2＋3y －1＝0上，所以2a ＋3b －1＝0，a >0，b >0，即2a ＋3b ＝1，所以2a ＋3b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋3b (2a ＋3b )＝4＋9＋6b a ＋6ab ≥13＋26b a ·6ab＝25，当且仅当6b a ＝6a b ，即a ＝b ＝15时取等号，所以2a ＋3b的最小值为25.4．(2018·陕西模拟)若变量，y 满足约束条件⎩⎨⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，则＝2＋y 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线2＋y ＝0，平移该直线，可知当直线过点A (2，－1)时，＝2＋y 取得最大值，且ma＝2×2－1＝3.5．不等式x 2＋x －6x ＋1>0的解集为( )A ．{|－2<<－1，或>3}B ．{|－3<<－1，或>2}C ．{|<－3，或－1<<2}D ．{|<－3，或>2}解析：选B x 2＋x －6x ＋1>0⇔⎩⎨⎧ x 2＋x －6>0，x ＋1>0或⎩⎨⎧x 2＋x －6<0，x ＋1<0，解得－3<<－1或>2.选B.6．若函数f ()＝⎩⎨⎧log 2x ，x >0，－2x＋12，x ≤0，则“0<<1”是“f ()<0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 当0<<1时，f ()＝log 2<0，所以“0<<1”⇒“f ()<0”；若f ()<0，则⎩⎨⎧x >0，log 2x <0或⎩⎨⎧x ≤0，－2x＋12<0，解得0<<1或－1<≤0，所以－1<<1，所以“f ()<0”⇒/ “0<<1”．故选A.7．(2018·重庆模拟)若实数，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y －3≥0，2x －y －3≤0，y －2≤0，则2＋y 的最小值为( )A ．3B ．4C ．5D ．7解析：选B 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，令＝2＋y ，作出直线2＋y ＝0并平移该直线，易知当直线经过点A (1,2)时，目标函数＝2＋y 取得最小值，且min ＝2×1＋2＝4，故选B.8．(2018·广东模拟)已知函数f ()＝⎩⎨⎧－x 2－2x ，x ≥0，x 2－2x ，x <0，若f (3－a 2)<f (2a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(－3,1)C ．(－2,0)D ．(－3,2)解析：选B 如图，画出f ()的图象，由图象易得f ()在R 上单调递减，∵f (3－a 2)<f (2a )，∴3－a 2>2a ，解得－3<a <1.9．(2018·山东青岛模拟)已知a 为正的常数，若不等式1＋x ≥1＋x 2－x 2a对一切非负实数恒成立，则a 的最大值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：选C 原不等式可化为x 2a ≥1＋x2－1＋x ，令1＋x ＝t ，t ≥1，则＝t 2－1.所以t 2－12a≥1＋t 2－12－t ＝t 2－2t ＋12＝t －122对t ≥1恒成立，所以t ＋12a≥12对t ≥1恒成立．又a 为正的常数，所以a ≤[2(t ＋1)2]min ＝8，故a 的最大值是8.10．(2018·池州摸底)已知a ＞b ＞1，且2log a b ＋3log b a ＝7，则a ＋1b 2－1的最小值为( )A ．3B ． 3C ．2D. 2解析：选A 令log a b ＝t ，由a ＞b ＞1得0＜t ＜1,2log a b ＋3log b a ＝2t ＋3t ＝7，得t ＝12，即log a b ＝12，a ＝b 2，所以a ＋1b 2－1＝a －1＋1a －1＋1≥2a －11a －1＋1＝3，当且仅当a ＝2时取等号．故a ＋1b 2－1的最小值为3.11．(2019届高三·湖北八校联考)已知关于的不等式a 2－a －2a 2>1(a >0，a ≠1)的解集为(－a,2a )，且函数f ()＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x 2＋2mx －m －1的定义域为R ，则实数m 的取值范围为( ) A ．(－1,0) B ．[－1,0] C ．(0,1]D ．[－1,1]解析：选B 当a >1时，由题意可得2－a －2a 2>0的解集为(－a,2a )，这显然是不可能的．当0<a <1时，由题意可得2－a －2a 2<0的解集为(－a,2a )，且⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋2m －m ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 0，即2＋2m －m ≥0恒成立，故对于方程2＋2m －m ＝0，有Δ＝4m 2＋4m ≤0，解得－1≤m ≤0.12．(2018·郑州模拟)若变量，y 满足条件⎩⎨⎧x －y －1≤0，x ＋y －6≤0，x －1≥0，则y 的取值范围是( )A ．[0,5]B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤5，354C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，354 D ．[0,9]解析：选D 依题意作出题中的不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，结合图形可知，y 的最小值为0(当＝1，y ＝0时取得)；y ≤(6－)≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 6－x 22＝9，即y ≤9，当＝3，y ＝3时取等号，即y 的最大值为9，故选D.二、填空题13．已知关于的不等式2＋2x －a≥7在∈(a ，＋∞)上恒成立，则实数a 的最小值为________．解析：由>a ，知－a >0，则2＋2x －a ＝2(－a )＋2x －a＋2a ≥2 2x －a2x －a＋2a ＝4＋2a ，由题意可知4＋2a ≥7，解得a ≥32，即实数a 的最小值为32.答案：3214．(2018·长春模拟)已知角α，β满足－π2<α－β<π2，0<α＋β<π，则3α－β的取值范围是________．解析：设3α－β＝m (α－β)＋n (α＋β)＝(m ＋n )α＋(n －m )β，则⎩⎨⎧m ＋n ＝3，n －m ＝－1，解得⎩⎨⎧m ＝2，n ＝1.因为－π2<α－β<π2，0<α＋β<π，所以－π<2(α－β)<π，故－π<3α－β<2π. 答案：(－π，2π)15．(2018·全国卷Ⅱ)若，y满足约束条件⎩⎨⎧x ＋2y －5≥0，x －2y ＋3≥0，x －5≤0，则＝＋y 的最大值为________．解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示．由图可知当直线＋y ＝过点A 时取得最大值．由⎩⎨⎧x ＝5，x －2y ＋3＝0得点A (5,4)，∴ma ＝5＋4＝9. 答案：916．已知函数f ()＝2＋a ＋b (a ，b ∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于的不等式f ()<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c ＝________.解析：由函数值域为[0，＋∞)知，函数f ()＝2＋a ＋b (a ，b ∈R)的图象在轴上方，且与轴相切，因此有Δ＝a 2－4b ＝0，即b ＝a 24，∴f ()＝2＋a ＋b ＝2＋a ＋a 24＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22.∴f ()＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22<c ，解得－c <＋a 2<c ，－c －a 2<<c －a 2.∵不等式f ()<c 的解集为(m ，m ＋6)，∴⎝⎛⎭⎪⎫c －a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－c －a 2＝2c ＝6，解得c ＝9.答案：9B 级——难度小题强化练1．(2018·合肥二模)若关于的不等式2＋a －2＜0在区间[1,4]上有解，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，1]C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：选A 法一：因为∈[1,4]，则不等式2＋a －2＜0可化为a ＜2－x 2x ＝2x－，设f ()＝2x－，∈[1,4]，由题意得只需a ＜f ()ma ，因为函数f ()为区间[1,4]上的减函数，所以f ()ma ＝f (1)＝1，故a ＜1.法二：设g ()＝2＋a －2，函数g ()的图象是开口向上的抛物线，过定点(0，－2)，因为g ()＜0在区间[1,4]上有解，所以g (1)＜0，解得a ＜1.2．(2018·衡水二模)若关于的不等式2－4a ＋3a 2＜0(a ＞0)的解集为(1，2)，则1＋2＋a x 1x 2的最小值是( )A.63B ．233C.433D.263解析：选C ∵关于的不等式2－4a ＋3a 2＜0(a ＞0)的解集为(1，2)，∴Δ＝16a 2－12a 2＝4a 2＞0，又1＋2＝4a ，12＝3a 2，∴1＋2＋a x 1x 2＝4a ＋a 3a 2＝4a ＋13a≥24a ·13a ＝433，当且仅当a ＝36时取等号．∴1＋2＋a x 1x 2的最小值是433.3．(2018·沈阳一模)设不等式2－2a ＋a ＋2≤0的解集为A ，若A ⊆[1,3]，则a 的取值范围为( )A.⎝⎛⎦⎥⎤－1，115B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1，115C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，115 D ．[－1,3]解析：选A 设f ()＝2－2a ＋a ＋2，因为不等式2－2a ＋a ＋2≤0的解集为A ，且A ⊆[1,3]，所以对于方程2－2a ＋a ＋2＝0，若A ＝∅，则Δ＝4a 2－4(a ＋2)<0，即a 2－a －2<0，解得－1<a <2；若A ≠∅，则⎩⎨⎧Δ＝4a 2－4a ＋20，f 10，f 30，1≤a ≤3，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a ≤－1，a ≤3，a ≤115，1≤a ≤3.所以2≤a≤115.综上，a 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－1，115，故选A.4．(2018·武汉调研)某公司生产甲、乙两种桶装产品，已知生产甲产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料3千克；生产乙产品1桶需消耗A 原料2千克，B 原料1千克，每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元，公司在每天消耗A ，B 原料都不超过12千克的条件下，生产这两种产品可获得的最大利润为( )A ．1 800元B ．2 100元C ．2 400元D ．2 700元解析：选C 设生产甲产品桶，生产乙产品y 桶，每天的利润为元．根据题意，有⎩⎨⎧2x ＋2y ≤12，3x ＋y ≤12，x ≥0，x ∈N *，y ≥0，y ∈N *，＝300＋400y .作出⎩⎨⎧2x ＋2y ≤12，3x ＋y ≤12，x ≥0，y ≥0所表示的可行域，如图中阴影部分所示，作出直线3＋4y ＝0并平移，当直线经过点A (0,6)时，有最大值，ma＝400×6＝2 400，故选C.5．当∈(0,1)时，不等式41－x ≥m －1x恒成立，则m 的最大值为________．解析：由已知不等式可得m ≤1x ＋41－x ，∵∈(0,1)，∴1－∈(0,1)，∵＋(1－)＝1，∴1x ＋41－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋41－x [＋(1－)]＝5＋1－x x ＋4x 1－x≥5＋2 1－x x ·4x 1－x ＝9，当且仅当1－xx＝4x 1－x ，即＝13时取等号，∴m ≤9，即实数m 的最大值为9. 答案：96．(2018·洛阳尖子生统考)已知，y 满足条件⎩⎨⎧x ≥0，y ≥x ，3x ＋4y ≤12，则x ＋2y ＋3x ＋1的取值范围是________．解析：画出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示，x ＋2y ＋3x ＋1＝1＋2×y ＋1x ＋1，y ＋1x ＋1表示可行域中的点(，y )与点P (－1，－1)连线的斜率．由图可知，当＝0，y ＝3时，x ＋2y ＋3x ＋1取得最大值，且⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2y ＋3x ＋1ma＝9.因为点P (－1，－1)在直线y ＝上，所以当点(，y )在线段AO 上时，x ＋2y ＋3x ＋1取得最小值，且⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2y ＋3x ＋1min＝3.所以x ＋2y ＋3x ＋1的取值范围是[3,9]．答案：[3,9]。

2019高考数学二轮复习课时跟踪检测二十三不等式小题练理

课时跟踪检测（二十三）不等式（小题练）A 级——12＋4提速练一、选择题1．(2019届高三·南宁、柳州联考)设a >b ，a ，b ，c ∈R ，则下列式子正确的是( ) A ．ac 2>bc 2 B.a b>1 C ．a －c >b －cD ．a 2>b 2解析：选C a >b ，若c ＝0，则ac 2＝bc 2，故A 错；a >b ，若b <0，则a b<1，故B 错；a >b ，不论c 取何值，都有a －c >b －c ，故C 正确；a >b ，若a ，b 都小于0，则a 22，则f (n )，g (n )，φ(n )的大小关系是( )A ．φ(n )<f (n )<g (n )B ．φ(n )≤f (n )<g (n )C ．f (n )<φ(n )<g (n )D ．f (n )≤φ(n )<g (n ) 解析：选C f (n )＝n 2＋1－n ＝1n 2＋1＋n <12n ，g (n )＝n －n 2－1＝1n ＋n 2－1>12n ，所以f (n )<φ(n )<g (n )．故选C.3．(2018·日照二模)已知第一象限的点(a ，b )在直线2＋3y －1＝0上，则2a ＋3b的最小值为( )A ．24B ．25C ．26D ．27解析：选B 因为第一象限的点(a ，b )在直线2＋3y －1＝0上，所以2a ＋3b －1＝0，a >0，b >0，即2a ＋3b ＝1，所以2a ＋3b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋3b (2a ＋3b )＝4＋9＋6b a ＋6ab ≥13＋26b a ·6a b＝25，当且仅当6b a ＝6a b ，即a ＝b ＝15时取等号，所以2a ＋3b的最小值为25.4．(2018·陕西模拟)若变量，y 满足约束条件⎩⎨⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，则＝2＋y 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线2＋y ＝0，平移该直线，可知当直线过点A (2，－1)时，＝2＋y 取得最大值，且ma＝2×2－1＝3.5．不等式x 2＋x －6x ＋1>0的解集为( )A ．{|－2<<－1，或>3}B ．{|－3<<－1，或>2}C ．{|<－3，或－1<<2}D ．{|<－3，或>2}解析：选B x 2＋x －6x ＋1>0⇔⎩⎨⎧ x 2＋x －6>0，x ＋1>0或⎩⎨⎧x 2＋x －6<0，x ＋1<0，解得－3<<－1或>2.选B.6．若函数f ()＝⎩⎨⎧log 2x ，x >0，－2x＋12，x ≤0，则“0<<1”是“f ()<0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 当0<<1时，f ()＝log 2<0，所以“0<<1”⇒“f ()<0”；若f ()<0，则⎩⎨⎧x >0，log 2x <0或⎩⎨⎧x ≤0，－2x＋12<0，解得0<<1或－1<≤0，所以－1<<1，所以“f ()<0”⇒/ “0<<1”．故选A.7．(2018·重庆模拟)若实数，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y －3≥0，2x －y －3≤0，y －2≤0，则2＋y 的最小值为( )A ．3B ．4C ．5D ．7解析：选B 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，令＝2＋y ，作出直线2＋y ＝0并平移该直线，易知当直线经过点A (1,2)时，目标函数＝2＋y 取得最小值，且min ＝2×1＋2＝4，故选B.8．(2018·广东模拟)已知函数f ()＝⎩⎨⎧－x 2－2x ，x ≥0，x 2－2x ，x <0，若f (3－a 2)<f (2a )，则实数a的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(－3,1)C ．(－2,0)D ．(－3,2)解析：选B 如图，画出f ()的图象，由图象易得f ()在R 上单调递减，∵f (3－a 2)<f (2a )，∴3－a 2>2a ，解得－3<a <1.9．(2018·山东青岛模拟)已知a 为正的常数，若不等式1＋x ≥1＋x 2－x 2a对一切非负实数恒成立，则a 的最大值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：选C 原不等式可化为x 2a ≥1＋x2－1＋x ，令1＋x ＝t ，t ≥1，则＝t 2－1.所以t 2－12a≥1＋t 2－12－t ＝t 2－2t ＋12＝t －122对t ≥1恒成立，所以t ＋12a≥12对t ≥1恒成立．又a 为正的常数，所以a ≤[2(t ＋1)2]min ＝8，故a 的最大值是8.10．(2018·池州摸底)已知a ＞b ＞1，且2log a b ＋3log b a ＝7，则a ＋1b 2－1的最小值为( )A ．3B ． 3C ．2D. 2解析：选A 令log a b ＝t ，由a ＞b ＞1得0＜t ＜1,2log a b ＋3log b a ＝2t ＋3t ＝7，得t ＝12，即log a b ＝12，a ＝b 2，所以a ＋1b 2－1＝a －1＋1a －1＋1≥2a －11a －1＋1＝3，当且仅当a ＝2时取等号．故a ＋1b 2－1的最小值为3.11．(2019届高三·湖北八校联考)已知关于的不等式a 2－a －2a 2>1(a >0，a ≠1)的解集为(－a,2a )，且函数f ()＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x 2＋2mx －m －1的定义域为R ，则实数m 的取值范围为( ) A ．(－1,0) B ．[－1,0] C ．(0,1]D ．[－1,1]解析：选B 当a >1时，由题意可得2－a －2a 2>0的解集为(－a,2a )，这显然是不可能的．当0<a <1时，由题意可得2－a －2a 2<0的解集为(－a,2a )，且⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋2m －m ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 0，即2＋2m －m ≥0恒成立，故对于方程2＋2m －m ＝0，有Δ＝4m 2＋4m ≤0，解得－1≤m ≤0.12．(2018·郑州模拟)若变量，y 满足条件⎩⎨⎧x －y －1≤0，x ＋y －6≤0，x －1≥0，则y 的取值范围是( )A ．[0,5]B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤5，354C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，354 D ．[0,9]解析：选D 依题意作出题中的不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，结合图形可知，y 的最小值为0(当＝1，y ＝0时取得)；y ≤(6－)≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 6－x 22＝9，即y ≤9，当＝3，y ＝3时取等号，即y 的最大值为9，故选D.二、填空题13．已知关于的不等式2＋2x －a≥7在∈(a ，＋∞)上恒成立，则实数a 的最小值为________．解析：由>a ，知－a >0，则2＋2x －a ＝2(－a )＋2x －a＋2a ≥2 2x －a2x －a＋2a ＝4＋2a ，由题意可知4＋2a ≥7，解得a ≥32，即实数a 的最小值为32.答案：3214．(2018·长春模拟)已知角α，β满足－π2<α－β<π2，0<α＋β<π，则3α－β的取值范围是________．解析：设3α－β＝m (α－β)＋n (α＋β)＝(m ＋n )α＋(n －m )β，则⎩⎨⎧m ＋n ＝3，n －m ＝－1，解得⎩⎨⎧m ＝2，n ＝1.因为－π2<α－β<π2，0<α＋β<π，所以－π<2(α－β)<π，故－π<3α－β<2π. 答案：(－π，2π)15．(2018·全国卷Ⅱ)若，y满足约束条件⎩⎨⎧x ＋2y －5≥0，x －2y ＋3≥0，x －5≤0，则＝＋y 的最大值为________．解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示．由图可知当直线＋y ＝过点A 时取得最大值．由⎩⎨⎧x ＝5，x －2y ＋3＝0得点A (5,4)，∴ma ＝5＋4＝9. 答案：916．已知函数f ()＝2＋a ＋b (a ，b ∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于的不等式f ()<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c ＝________.解析：由函数值域为[0，＋∞)知，函数f ()＝2＋a ＋b (a ，b ∈R)的图象在轴上方，且与轴相切，因此有Δ＝a 2－4b ＝0，即b ＝a 24，∴f ()＝2＋a ＋b ＝2＋a ＋a 24＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22.∴f ()＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22<c ，解得－c <＋a 2<c ，－c －a 2<<c －a 2.∵不等式f ()<c 的解集为(m ，m ＋6)，∴⎝⎛⎭⎪⎫c －a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－c －a 2＝2c ＝6，解得c ＝9.答案：9B 级——难度小题强化练1．(2018·合肥二模)若关于的不等式2＋a －2＜0在区间[1,4]上有解，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，1]C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：选A 法一：因为∈[1,4]，则不等式2＋a －2＜0可化为a ＜2－x 2x ＝2x－，设f ()＝2x－，∈[1,4]，由题意得只需a ＜f ()ma ，因为函数f ()为区间[1,4]上的减函数，所以f ()ma ＝f (1)＝1，故a ＜1.法二：设g ()＝2＋a －2，函数g ()的图象是开口向上的抛物线，过定点(0，－2)，因为g ()＜0在区间[1,4]上有解，所以g (1)＜0，解得a ＜1.2．(2018·衡水二模)若关于的不等式2－4a ＋3a 2＜0(a ＞0)的解集为(1，2)，则1＋2＋a x 1x 2的最小值是( )A.63B ．233C.433D.263解析：选C ∵关于的不等式2－4a ＋3a 2＜0(a ＞0)的解集为(1，2)，∴Δ＝16a 2－12a 2＝4a 2＞0，又1＋2＝4a ，12＝3a 2，∴1＋2＋a x 1x 2＝4a ＋a 3a 2＝4a ＋13a≥24a ·13a ＝433，当且仅当a ＝36时取等号．∴1＋2＋a x 1x 2的最小值是433.3．(2018·沈阳一模)设不等式2－2a ＋a ＋2≤0的解集为A ，若A ⊆[1,3]，则a 的取值范围为( )A.⎝⎛⎦⎥⎤－1，115B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1，115C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，115 D ．[－1,3]解析：选A 设f ()＝2－2a ＋a ＋2，因为不等式2－2a ＋a ＋2≤0的解集为A ，且A ⊆[1,3]，所以对于方程2－2a ＋a ＋2＝0，若A ＝∅，则Δ＝4a 2－4(a ＋2)<0，即a 2－a －2<0，解得－1<a <2；若A ≠∅，则⎩⎨⎧Δ＝4a 2－4a ＋20，f 10，f 30，1≤a ≤3，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a ≤－1，a ≤3，a ≤115，1≤a ≤3.所以2≤a≤115.综上，a 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－1，115，故选A.4．(2018·武汉调研)某公司生产甲、乙两种桶装产品，已知生产甲产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料3千克；生产乙产品1桶需消耗A 原料2千克，B 原料1千克，每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元，公司在每天消耗A ，B 原料都不超过12千克的条件下，生产这两种产品可获得的最大利润为( )A ．1 800元B ．2 100元C ．2 400元D ．2 700元解析：选C 设生产甲产品桶，生产乙产品y 桶，每天的利润为元．根据题意，有⎩⎨⎧2x ＋2y ≤12，3x ＋y ≤12，x ≥0，x ∈N *，y ≥0，y ∈N *，＝300＋400y .作出⎩⎨⎧2x ＋2y ≤12，3x ＋y ≤12，x ≥0，y ≥0所表示的可行域，如图中阴影部分所示，作出直线3＋4y ＝0并平移，当直线经过点A (0,6)时，有最大值，ma ＝400×6＝2 400，故选C.5．当∈(0,1)时，不等式41－x ≥m －1x恒成立，则m 的最大值为________．解析：由已知不等式可得m ≤1x ＋41－x ，∵∈(0,1)，∴1－∈(0,1)，∵＋(1－)＝1，∴1x ＋41－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋41－x [＋(1－)]＝5＋1－x x ＋4x 1－x≥5＋2 1－x x ·4x 1－x ＝9，当且仅当1－xx＝4x 1－x ，即＝13时取等号，∴m ≤9，即实数m 的最大值为9. 答案：96．(2018·洛阳尖子生统考)已知，y 满足条件⎩⎨⎧x ≥0，y ≥x ，3x ＋4y ≤12，则x ＋2y ＋3x ＋1的取值范围是________．解析：画出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示，x ＋2y ＋3x ＋1＝1＋2×y ＋1x ＋1，y ＋1x ＋1表示可行域中的点(，y )与点P (－1，－1)连线的斜率．由图可知，当＝0，y ＝3时，x ＋2y ＋3x ＋1取得最大值，且⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2y ＋3x ＋1ma ＝9.因为点P (－1，－1)在直线y ＝上，所以当点(，y )在线段AO 上时，x ＋2y ＋3x ＋1取得最小值，且⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2y ＋3x ＋1min ＝3.所以x ＋2y ＋3x ＋1的取值范围是[3,9]．答案：[3,9]。

2019高考数学二轮复习课时跟踪检测二十三不等式小题练理

课时跟踪检测（二十三）不等式（小题练）A 级——12＋4提速练一、选择题1．(2019届高三·南宁、柳州联考)设a >b ，a ，b ，c ∈R ，则下列式子正确的是( ) A ．ac 2>bc 2 B.a b>1 C ．a －c >b －cD ．a 2>b 2解析：选C a >b ，若c ＝0，则ac 2＝bc 2，故A 错；a >b ，若b <0，则a b<1，故B 错；a >b ，不论c 取何值，都有a －c >b －c ，故C 正确；a >b ，若a ，b 都小于0，则a 22，则f (n )，g (n )，φ(n )的大小关系是( )A ．φ(n )<f (n )<g (n )B ．φ(n )≤f (n )<g (n )C ．f (n )<φ(n )<g (n )D ．f (n )≤φ(n )<g (n ) 解析：选C f (n )＝n 2＋1－n ＝1n 2＋1＋n <12n ，g (n )＝n －n 2－1＝1n ＋n 2－1>12n ，所以f (n )<φ(n )<g (n )．故选C.3．(2018·日照二模)已知第一象限的点(a ，b )在直线2＋3y －1＝0上，则2a ＋3b的最小值为( )A ．24B ．25C ．26D ．27解析：选B 因为第一象限的点(a ，b )在直线2＋3y －1＝0上，所以2a ＋3b －1＝0，a >0，b >0，即2a ＋3b ＝1，所以2a ＋3b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋3b (2a ＋3b )＝4＋9＋6b a ＋6ab ≥13＋26b a ·6ab＝25，当且仅当6b a ＝6a b ，即a ＝b ＝15时取等号，所以2a ＋3b的最小值为25.4．(2018·陕西模拟)若变量，y 满足约束条件⎩⎨⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，则＝2＋y 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线2＋y ＝0，平移该直线，可知当直线过点A (2，－1)时，＝2＋y 取得最大值，且ma＝2×2－1＝3.5．不等式x 2＋x －6x ＋1>0的解集为( )A ．{|－2<<－1，或>3}B ．{|－3<<－1，或>2}C ．{|<－3，或－1<<2}D ．{|<－3，或>2}解析：选B x 2＋x －6x ＋1>0⇔⎩⎨⎧ x 2＋x －6>0，x ＋1>0或⎩⎨⎧x 2＋x －6<0，x ＋1<0，解得－3<<－1或>2.选B.6．若函数f ()＝⎩⎨⎧log 2x ，x >0，－2x＋12，x ≤0，则“0<<1”是“f ()<0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 当0<<1时，f ()＝log 2<0，所以“0<<1”⇒“f ()<0”；若f ()<0，则⎩⎨⎧x >0，log 2x <0或⎩⎨⎧x ≤0，－2x＋12<0，解得0<<1或－1<≤0，所以－1<<1，所以“f ()<0”⇒/ “0<<1”．故选A.7．(2018·重庆模拟)若实数，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y －3≥0，2x －y －3≤0，y －2≤0，则2＋y 的最小值为( )A ．3B ．4C ．5D ．7解析：选B 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，令＝2＋y ，作出直线2＋y ＝0并平移该直线，易知当直线经过点A (1,2)时，目标函数＝2＋y 取得最小值，且min ＝2×1＋2＝4，故选B.8．(2018·广东模拟)已知函数f ()＝⎩⎨⎧－x 2－2x ，x ≥0，x 2－2x ，x <0，若f (3－a 2)<f (2a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(－3,1)C ．(－2,0)D ．(－3,2)解析：选B 如图，画出f ()的图象，由图象易得f ()在R 上单调递减，∵f (3－a 2)<f (2a )，∴3－a 2>2a ，解得－3<a <1.9．(2018·山东青岛模拟)已知a 为正的常数，若不等式1＋x ≥1＋x 2－x 2a对一切非负实数恒成立，则a 的最大值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：选C 原不等式可化为x 2a ≥1＋x2－1＋x ，令1＋x ＝t ，t ≥1，则＝t 2－1.所以t 2－12a≥1＋t 2－12－t ＝t 2－2t ＋12＝t －122对t ≥1恒成立，所以t ＋12a≥12对t ≥1恒成立．又a 为正的常数，所以a ≤[2(t ＋1)2]min ＝8，故a 的最大值是8.10．(2018·池州摸底)已知a ＞b ＞1，且2log a b ＋3log b a ＝7，则a ＋1b 2－1的最小值为( )A ．3B ． 3C ．2D. 2解析：选A 令log a b ＝t ，由a ＞b ＞1得0＜t ＜1,2log a b ＋3log b a ＝2t ＋3t ＝7，得t ＝12，即log a b ＝12，a ＝b 2，所以a ＋1b 2－1＝a －1＋1a －1＋1≥2a －11a －1＋1＝3，当且仅当a ＝2时取等号．故a ＋1b 2－1的最小值为3.11．(2019届高三·湖北八校联考)已知关于的不等式a 2－a －2a 2>1(a >0，a ≠1)的解集为(－a,2a )，且函数f ()＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x 2＋2mx －m －1的定义域为R ，则实数m 的取值范围为( ) A ．(－1,0) B ．[－1,0] C ．(0,1]D ．[－1,1]解析：选B 当a >1时，由题意可得2－a －2a 2>0的解集为(－a,2a )，这显然是不可能的．当0<a <1时，由题意可得2－a －2a 2<0的解集为(－a,2a )，且⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋2m －m ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 0，即2＋2m －m ≥0恒成立，故对于方程2＋2m －m ＝0，有Δ＝4m 2＋4m ≤0，解得－1≤m ≤0.12．(2018·郑州模拟)若变量，y 满足条件⎩⎨⎧x －y －1≤0，x ＋y －6≤0，x －1≥0，则y 的取值范围是( )A ．[0,5]B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤5，354C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，354 D ．[0,9]解析：选D 依题意作出题中的不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，结合图形可知，y 的最小值为0(当＝1，y ＝0时取得)；y ≤(6－)≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 6－x 22＝9，即y ≤9，当＝3，y ＝3时取等号，即y 的最大值为9，故选D.二、填空题13．已知关于的不等式2＋2x －a≥7在∈(a ，＋∞)上恒成立，则实数a 的最小值为________．解析：由>a ，知－a >0，则2＋2x －a ＝2(－a )＋2x －a＋2a ≥2 2x －a2x －a＋2a ＝4＋2a ，由题意可知4＋2a ≥7，解得a ≥32，即实数a 的最小值为32.答案：3214．(2018·长春模拟)已知角α，β满足－π2<α－β<π2，0<α＋β<π，则3α－β的取值范围是________．解析：设3α－β＝m (α－β)＋n (α＋β)＝(m ＋n )α＋(n －m )β，则⎩⎨⎧m ＋n ＝3，n －m ＝－1，解得⎩⎨⎧m ＝2，n ＝1.因为－π2<α－β<π2，0<α＋β<π，所以－π<2(α－β)<π，故－π<3α－β<2π. 答案：(－π，2π)15．(2018·全国卷Ⅱ)若，y满足约束条件⎩⎨⎧x ＋2y －5≥0，x －2y ＋3≥0，x －5≤0，则＝＋y 的最大值为________．解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示．由图可知当直线＋y ＝过点A 时取得最大值．由⎩⎨⎧x ＝5，x －2y ＋3＝0得点A (5,4)，∴ma ＝5＋4＝9. 答案：916．已知函数f ()＝2＋a ＋b (a ，b ∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于的不等式f ()<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c ＝________.解析：由函数值域为[0，＋∞)知，函数f ()＝2＋a ＋b (a ，b ∈R)的图象在轴上方，且与轴相切，因此有Δ＝a 2－4b ＝0，即b ＝a 24，∴f ()＝2＋a ＋b ＝2＋a ＋a 24＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22.∴f ()＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22<c ，解得－c <＋a 2<c ，－c －a 2<<c －a 2.∵不等式f ()<c 的解集为(m ，m ＋6)，∴⎝⎛⎭⎪⎫c －a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－c －a 2＝2c ＝6，解得c ＝9.答案：9B 级——难度小题强化练1．(2018·合肥二模)若关于的不等式2＋a －2＜0在区间[1,4]上有解，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，1]C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：选A 法一：因为∈[1,4]，则不等式2＋a －2＜0可化为a ＜2－x 2x ＝2x－，设f ()＝2x－，∈[1,4]，由题意得只需a ＜f ()ma ，因为函数f ()为区间[1,4]上的减函数，所以f ()ma ＝f (1)＝1，故a ＜1.法二：设g ()＝2＋a －2，函数g ()的图象是开口向上的抛物线，过定点(0，－2)，因为g ()＜0在区间[1,4]上有解，所以g (1)＜0，解得a ＜1.2．(2018·衡水二模)若关于的不等式2－4a ＋3a 2＜0(a ＞0)的解集为(1，2)，则1＋2＋a x 1x 2的最小值是( )A.63B ．233C.433D.263解析：选C ∵关于的不等式2－4a ＋3a 2＜0(a ＞0)的解集为(1，2)，∴Δ＝16a 2－12a 2＝4a 2＞0，又1＋2＝4a ，12＝3a 2，∴1＋2＋a x 1x 2＝4a ＋a 3a 2＝4a ＋13a≥24a ·13a ＝433，当且仅当a ＝36时取等号．∴1＋2＋a x 1x 2的最小值是433.3．(2018·沈阳一模)设不等式2－2a ＋a ＋2≤0的解集为A ，若A ⊆[1,3]，则a 的取值范围为( )A.⎝⎛⎦⎥⎤－1，115B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1，115C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，115 D ．[－1,3]解析：选A 设f ()＝2－2a ＋a ＋2，因为不等式2－2a ＋a ＋2≤0的解集为A ，且A ⊆[1,3]，所以对于方程2－2a ＋a ＋2＝0，若A ＝∅，则Δ＝4a 2－4(a ＋2)<0，即a 2－a －2<0，解得－1<a <2；若A ≠∅，则⎩⎨⎧Δ＝4a 2－4a ＋20，f 10，f 30，1≤a ≤3，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a ≤－1，a ≤3，a ≤115，1≤a ≤3.所以2≤a≤115.综上，a 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－1，115，故选A.4．(2018·武汉调研)某公司生产甲、乙两种桶装产品，已知生产甲产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料3千克；生产乙产品1桶需消耗A 原料2千克，B 原料1千克，每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元，公司在每天消耗A ，B 原料都不超过12千克的条件下，生产这两种产品可获得的最大利润为( )A ．1 800元B ．2 100元C ．2 400元D ．2 700元解析：选C 设生产甲产品桶，生产乙产品y 桶，每天的利润为元．根据题意，有⎩⎨⎧2x ＋2y ≤12，3x ＋y ≤12，x ≥0，x ∈N *，y ≥0，y ∈N *，＝300＋400y .作出⎩⎨⎧2x ＋2y ≤12，3x ＋y ≤12，x ≥0，y ≥0所表示的可行域，如图中阴影部分所示，作出直线3＋4y ＝0并平移，当直线经过点A (0,6)时，有最大值，ma ＝400×6＝2 400，故选C.5．当∈(0,1)时，不等式41－x ≥m －1x恒成立，则m 的最大值为________．解析：由已知不等式可得m ≤1x ＋41－x ，∵∈(0,1)，∴1－∈(0,1)，∵＋(1－)＝1，∴1x ＋41－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋41－x [＋(1－)]＝5＋1－x x ＋4x 1－x≥5＋2 1－x x ·4x 1－x ＝9，当且仅当1－xx＝4x 1－x ，即＝13时取等号，∴m ≤9，即实数m 的最大值为9. 答案：96．(2018·洛阳尖子生统考)已知，y 满足条件⎩⎨⎧x ≥0，y ≥x ，3x ＋4y ≤12，则x ＋2y ＋3x ＋1的取值范围是________．解析：画出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示，x ＋2y ＋3x ＋1＝1＋2×y ＋1x ＋1，y ＋1x ＋1表示可行域中的点(，y )与点P (－1，－1)连线的斜率．由图可知，当＝0，y ＝3时，x ＋2y ＋3x ＋1取得最大值，且⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2y ＋3x ＋1ma＝9.因为点P (－1，－1)在直线y ＝上，所以当点(，y )在线段AO 上时，x ＋2y ＋3x ＋1取得最小值，且⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2y ＋3x ＋1min＝3.所以x ＋2y ＋3x ＋1的取值范围是[3,9]．答案：[3,9]。

2019高考数学二轮复习课时跟踪检测二十三不等式小题练理

课时跟踪检测（二十三）不等式（小题练）A 级——12＋4提速练一、选择题1．(2019届高三·南宁、柳州联考)设a >b ，a ，b ，c ∈R ，则下列式子正确的是( ) A ．ac 2>bc 2 B.a b>1 C ．a －c >b －cD ．a 2>b 2解析：选C a >b ，若c ＝0，则ac 2＝bc 2，故A 错；a >b ，若b <0，则a b<1，故B 错；a >b ，不论c 取何值，都有a －c >b －c ，故C 正确；a >b ，若a ，b 都小于0，则a 22，则f (n )，g (n )，φ(n )的大小关系是( )A ．φ(n )<f (n )<g (n )B ．φ(n )≤f (n )<g (n )C ．f (n )<φ(n )<g (n )D ．f (n )≤φ(n )<g (n ) 解析：选C f (n )＝n 2＋1－n ＝1n 2＋1＋n <12n ，g (n )＝n －n 2－1＝1n ＋n 2－1>12n ，所以f (n )<φ(n )<g (n )．故选C.3．(2018·日照二模)已知第一象限的点(a ，b )在直线2＋3y －1＝0上，则2a ＋3b的最小值为( )A ．24B ．25C ．26D ．27解析：选B 因为第一象限的点(a ，b )在直线2＋3y －1＝0上，所以2a ＋3b －1＝0，a >0，b >0，即2a ＋3b ＝1，所以2a ＋3b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋3b (2a ＋3b )＝4＋9＋6b a ＋6ab ≥13＋26b a ·6a b＝25，当且仅当6b a ＝6a b ，即a ＝b ＝15时取等号，所以2a ＋3b的最小值为25.4．(2018·陕西模拟)若变量，y 满足约束条件⎩⎨⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，则＝2＋y 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线2＋y ＝0，平移该直线，可知当直线过点A (2，－1)时，＝2＋y 取得最大值，且ma＝2×2－1＝3.5．不等式x 2＋x －6x ＋1>0的解集为( )A ．{|－2<<－1，或>3}B ．{|－3<<－1，或>2}C ．{|<－3，或－1<<2}D ．{|<－3，或>2}解析：选B x 2＋x －6x ＋1>0⇔⎩⎨⎧ x 2＋x －6>0，x ＋1>0或⎩⎨⎧x 2＋x －6<0，x ＋1<0，解得－3<<－1或>2.选B.6．若函数f ()＝⎩⎨⎧log 2x ，x >0，－2x＋12，x ≤0，则“0<<1”是“f ()<0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 当0<<1时，f ()＝log 2<0，所以“0<<1”⇒“f ()<0”；若f ()<0，则⎩⎨⎧x >0，log 2x <0或⎩⎨⎧x ≤0，－2x＋12<0，解得0<<1或－1<≤0，所以－1<<1，所以“f ()<0”⇒/ “0<<1”．故选A.7．(2018·重庆模拟)若实数，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y －3≥0，2x －y －3≤0，y －2≤0，则2＋y 的最小值为( )A ．3B ．4C ．5D ．7解析：选B 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，令＝2＋y ，作出直线2＋y ＝0并平移该直线，易知当直线经过点A (1,2)时，目标函数＝2＋y 取得最小值，且min ＝2×1＋2＝4，故选B.8．(2018·广东模拟)已知函数f ()＝⎩⎨⎧－x 2－2x ，x ≥0，x 2－2x ，x <0，若f (3－a 2)<f (2a )，则实数a的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(－3,1)C ．(－2,0)D ．(－3,2)解析：选B 如图，画出f ()的图象，由图象易得f ()在R 上单调递减，∵f (3－a 2)<f (2a )，∴3－a 2>2a ，解得－3<a <1.9．(2018·山东青岛模拟)已知a 为正的常数，若不等式1＋x ≥1＋x 2－x 2a对一切非负实数恒成立，则a 的最大值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：选C 原不等式可化为x 2a ≥1＋x2－1＋x ，令1＋x ＝t ，t ≥1，则＝t 2－1.所以t 2－12a≥1＋t 2－12－t ＝t 2－2t ＋12＝t －122对t ≥1恒成立，所以t ＋12a≥12对t ≥1恒成立．又a 为正的常数，所以a ≤[2(t ＋1)2]min ＝8，故a 的最大值是8.10．(2018·池州摸底)已知a ＞b ＞1，且2log a b ＋3log b a ＝7，则a ＋1b 2－1的最小值为( )A ．3B ． 3C ．2D. 2解析：选A 令log a b ＝t ，由a ＞b ＞1得0＜t ＜1,2log a b ＋3log b a ＝2t ＋3t ＝7，得t ＝12，即log a b ＝12，a ＝b 2，所以a ＋1b 2－1＝a －1＋1a －1＋1≥2a －11a －1＋1＝3，当且仅当a ＝2时取等号．故a ＋1b 2－1的最小值为3.11．(2019届高三·湖北八校联考)已知关于的不等式a 2－a －2a 2>1(a >0，a ≠1)的解集为(－a,2a )，且函数f ()＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x 2＋2mx －m －1的定义域为R ，则实数m 的取值范围为( ) A ．(－1,0) B ．[－1,0] C ．(0,1]D ．[－1,1]解析：选B 当a >1时，由题意可得2－a －2a 2>0的解集为(－a,2a )，这显然是不可能的．当0<a <1时，由题意可得2－a －2a 2<0的解集为(－a,2a )，且⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋2m －m ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 0，即2＋2m －m ≥0恒成立，故对于方程2＋2m －m ＝0，有Δ＝4m 2＋4m ≤0，解得－1≤m ≤0.12．(2018·郑州模拟)若变量，y 满足条件⎩⎨⎧x －y －1≤0，x ＋y －6≤0，x －1≥0，则y 的取值范围是( )A ．[0,5]B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤5，354C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，354 D ．[0,9]解析：选D 依题意作出题中的不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，结合图形可知，y 的最小值为0(当＝1，y ＝0时取得)；y ≤(6－)≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 6－x 22＝9，即y ≤9，当＝3，y ＝3时取等号，即y 的最大值为9，故选D.二、填空题13．已知关于的不等式2＋2x －a≥7在∈(a ，＋∞)上恒成立，则实数a 的最小值为________．解析：由>a ，知－a >0，则2＋2x －a ＝2(－a )＋2x －a＋2a ≥2 2x －a2x －a＋2a ＝4＋2a ，由题意可知4＋2a ≥7，解得a ≥32，即实数a 的最小值为32.答案：3214．(2018·长春模拟)已知角α，β满足－π2<α－β<π2，0<α＋β<π，则3α－β的取值范围是________．解析：设3α－β＝m (α－β)＋n (α＋β)＝(m ＋n )α＋(n －m )β，则⎩⎨⎧m ＋n ＝3，n －m ＝－1，解得⎩⎨⎧m ＝2，n ＝1.因为－π2<α－β<π2，0<α＋β<π，所以－π<2(α－β)<π，故－π<3α－β<2π. 答案：(－π，2π)15．(2018·全国卷Ⅱ)若，y满足约束条件⎩⎨⎧x ＋2y －5≥0，x －2y ＋3≥0，x －5≤0，则＝＋y 的最大值为________．解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示．由图可知当直线＋y ＝过点A 时取得最大值．由⎩⎨⎧x ＝5，x －2y ＋3＝0得点A (5,4)，∴ma ＝5＋4＝9. 答案：916．已知函数f ()＝2＋a ＋b (a ，b ∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于的不等式f ()<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c ＝________.解析：由函数值域为[0，＋∞)知，函数f ()＝2＋a ＋b (a ，b ∈R)的图象在轴上方，且与轴相切，因此有Δ＝a 2－4b ＝0，即b ＝a 24，∴f ()＝2＋a ＋b ＝2＋a ＋a 24＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22.∴f ()＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22<c ，解得－c <＋a 2<c ，－c －a 2<<c －a 2.∵不等式f ()<c 的解集为(m ，m ＋6)，∴⎝⎛⎭⎪⎫c －a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－c －a 2＝2c ＝6，解得c ＝9.答案：9B 级——难度小题强化练1．(2018·合肥二模)若关于的不等式2＋a －2＜0在区间[1,4]上有解，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，1]C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：选A 法一：因为∈[1,4]，则不等式2＋a －2＜0可化为a ＜2－x 2x ＝2x－，设f ()＝2x－，∈[1,4]，由题意得只需a ＜f ()ma ，因为函数f ()为区间[1,4]上的减函数，所以f ()ma ＝f (1)＝1，故a ＜1.法二：设g ()＝2＋a －2，函数g ()的图象是开口向上的抛物线，过定点(0，－2)，因为g ()＜0在区间[1,4]上有解，所以g (1)＜0，解得a ＜1.2．(2018·衡水二模)若关于的不等式2－4a ＋3a 2＜0(a ＞0)的解集为(1，2)，则1＋2＋a x 1x 2的最小值是( )A.63B ．233C.433D.263解析：选C ∵关于的不等式2－4a ＋3a 2＜0(a ＞0)的解集为(1，2)，∴Δ＝16a 2－12a 2＝4a 2＞0，又1＋2＝4a ，12＝3a 2，∴1＋2＋a x 1x 2＝4a ＋a 3a 2＝4a ＋13a≥24a ·13a ＝433，当且仅当a ＝36时取等号．∴1＋2＋a x 1x 2的最小值是433.3．(2018·沈阳一模)设不等式2－2a ＋a ＋2≤0的解集为A ，若A ⊆[1,3]，则a 的取值范围为( )A.⎝⎛⎦⎥⎤－1，115B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1，115C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，115 D ．[－1,3]解析：选A 设f ()＝2－2a ＋a ＋2，因为不等式2－2a ＋a ＋2≤0的解集为A ，且A ⊆[1,3]，所以对于方程2－2a ＋a ＋2＝0，若A ＝∅，则Δ＝4a 2－4(a ＋2)<0，即a 2－a －2<0，解得－1<a <2；若A ≠∅，则⎩⎨⎧Δ＝4a 2－4a ＋20，f 10，f 30，1≤a ≤3，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a ≤－1，a ≤3，a ≤115，1≤a ≤3.所以2≤a≤115.综上，a 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－1，115，故选A.4．(2018·武汉调研)某公司生产甲、乙两种桶装产品，已知生产甲产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料3千克；生产乙产品1桶需消耗A 原料2千克，B 原料1千克，每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元，公司在每天消耗A ，B 原料都不超过12千克的条件下，生产这两种产品可获得的最大利润为( )A ．1 800元B ．2 100元C ．2 400元D ．2 700元解析：选C 设生产甲产品桶，生产乙产品y 桶，每天的利润为元．根据题意，有⎩⎨⎧2x ＋2y ≤12，3x ＋y ≤12，x ≥0，x ∈N *，y ≥0，y ∈N *，＝300＋400y .作出⎩⎨⎧2x ＋2y ≤12，3x ＋y ≤12，x ≥0，y ≥0所表示的可行域，如图中阴影部分所示，作出直线3＋4y ＝0并平移，当直线经过点A (0,6)时，有最大值，ma ＝400×6＝2 400，故选C.5．当∈(0,1)时，不等式41－x ≥m －1x恒成立，则m 的最大值为________．解析：由已知不等式可得m ≤1x ＋41－x ，∵∈(0,1)，∴1－∈(0,1)，∵＋(1－)＝1，∴1x ＋41－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋41－x [＋(1－)]＝5＋1－x x ＋4x 1－x≥5＋2 1－x x ·4x 1－x ＝9，当且仅当1－xx＝4x 1－x ，即＝13时取等号，∴m ≤9，即实数m 的最大值为9. 答案：96．(2018·洛阳尖子生统考)已知，y 满足条件⎩⎨⎧x ≥0，y ≥x ，3x ＋4y ≤12，则x ＋2y ＋3x ＋1的取值范围是________．解析：画出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示，x ＋2y ＋3x ＋1＝1＋2×y ＋1x ＋1，y ＋1x ＋1表示可行域中的点(，y )与点P (－1，－1)连线的斜率．由图可知，当＝0，y ＝3时，x ＋2y ＋3x ＋1取得最大值，且⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2y ＋3x ＋1ma ＝9.因为点P (－1，－1)在直线y ＝上，所以当点(，y )在线段AO 上时，x ＋2y ＋3x ＋1取得最小值，且⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2y ＋3x ＋1min ＝3.所以x ＋2y ＋3x ＋1的取值范围是[3,9]．答案：[3,9]。

2019高考数学二轮复习课时跟踪检测二十三不等式小题练理

课时跟踪检测（二十三）不等式（小题练）A 级——12＋4提速练一、选择题1．(2019届高三·南宁、柳州联考)设a >b ，a ，b ，c ∈R ，则下列式子正确的是( ) A ．ac 2>bc 2 B.a b>1 C ．a －c >b －cD ．a 2>b 2解析：选C a >b ，若c ＝0，则ac 2＝bc 2，故A 错；a >b ，若b <0，则a b<1，故B 错；a >b ，不论c 取何值，都有a －c >b －c ，故C 正确；a >b ，若a ，b 都小于0，则a 22，则f (n )，g (n )，φ(n )的大小关系是( )A ．φ(n )<f (n )<g (n )B ．φ(n )≤f (n )<g (n )C ．f (n )<φ(n )<g (n )D ．f (n )≤φ(n )<g (n ) 解析：选C f (n )＝n 2＋1－n ＝1n 2＋1＋n <12n ，g (n )＝n －n 2－1＝1n ＋n 2－1>12n ，所以f (n )<φ(n )<g (n )．故选C.3．(2018·日照二模)已知第一象限的点(a ，b )在直线2＋3y －1＝0上，则2a ＋3b的最小值为( )A ．24B ．25C ．26D ．27解析：选B 因为第一象限的点(a ，b )在直线2＋3y －1＝0上，所以2a ＋3b －1＝0，a >0，b >0，即2a ＋3b ＝1，所以2a ＋3b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋3b (2a ＋3b )＝4＋9＋6b a ＋6ab ≥13＋26b a ·6ab＝25，当且仅当6b a ＝6a b ，即a ＝b ＝15时取等号，所以2a ＋3b的最小值为25.4．(2018·陕西模拟)若变量，y 满足约束条件⎩⎨⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，则＝2＋y 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线2＋y ＝0，平移该直线，可知当直线过点A (2，－1)时，＝2＋y 取得最大值，且ma＝2×2－1＝3.5．不等式x 2＋x －6x ＋1>0的解集为( )A ．{|－2<<－1，或>3}B ．{|－3<<－1，或>2}C ．{|<－3，或－1<<2}D ．{|<－3，或>2}解析：选B x 2＋x －6x ＋1>0⇔⎩⎨⎧ x 2＋x －6>0，x ＋1>0或⎩⎨⎧x 2＋x －6<0，x ＋1<0，解得－3<<－1或>2.选B.6．若函数f ()＝⎩⎨⎧log 2x ，x >0，－2x＋12，x ≤0，则“0<<1”是“f ()<0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 当0<<1时，f ()＝log 2<0，所以“0<<1”⇒“f ()<0”；若f ()<0，则⎩⎨⎧x >0，log 2x <0或⎩⎨⎧x ≤0，－2x＋12<0，解得0<<1或－1<≤0，所以－1<<1，所以“f ()<0”⇒/ “0<<1”．故选A.7．(2018·重庆模拟)若实数，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y －3≥0，2x －y －3≤0，y －2≤0，则2＋y 的最小值为( )A ．3B ．4C ．5D ．7解析：选B 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，令＝2＋y ，作出直线2＋y ＝0并平移该直线，易知当直线经过点A (1,2)时，目标函数＝2＋y 取得最小值，且min ＝2×1＋2＝4，故选B.8．(2018·广东模拟)已知函数f ()＝⎩⎨⎧－x 2－2x ，x ≥0，x 2－2x ，x <0，若f (3－a 2)<f (2a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(－3,1)C ．(－2,0)D ．(－3,2)解析：选B 如图，画出f ()的图象，由图象易得f ()在R 上单调递减，∵f (3－a 2)<f (2a )，∴3－a 2>2a ，解得－3<a <1.9．(2018·山东青岛模拟)已知a 为正的常数，若不等式1＋x ≥1＋x 2－x 2a对一切非负实数恒成立，则a 的最大值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：选C 原不等式可化为x 2a ≥1＋x2－1＋x ，令1＋x ＝t ，t ≥1，则＝t 2－1.所以t 2－12a≥1＋t 2－12－t ＝t 2－2t ＋12＝t －122对t ≥1恒成立，所以t ＋12a≥12对t ≥1恒成立．又a 为正的常数，所以a ≤[2(t ＋1)2]min ＝8，故a 的最大值是8.10．(2018·池州摸底)已知a ＞b ＞1，且2log a b ＋3log b a ＝7，则a ＋1b 2－1的最小值为( )A ．3B ． 3C ．2D. 2解析：选A 令log a b ＝t ，由a ＞b ＞1得0＜t ＜1,2log a b ＋3log b a ＝2t ＋3t ＝7，得t ＝12，即log a b ＝12，a ＝b 2，所以a ＋1b 2－1＝a －1＋1a －1＋1≥2a －11a －1＋1＝3，当且仅当a ＝2时取等号．故a ＋1b 2－1的最小值为3.11．(2019届高三·湖北八校联考)已知关于的不等式a 2－a －2a 2>1(a >0，a ≠1)的解集为(－a,2a )，且函数f ()＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x 2＋2mx －m －1的定义域为R ，则实数m 的取值范围为( ) A ．(－1,0) B ．[－1,0] C ．(0,1]D ．[－1,1]解析：选B 当a >1时，由题意可得2－a －2a 2>0的解集为(－a,2a )，这显然是不可能的．当0<a <1时，由题意可得2－a －2a 2<0的解集为(－a,2a )，且⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋2m －m ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 0，即2＋2m －m ≥0恒成立，故对于方程2＋2m －m ＝0，有Δ＝4m 2＋4m ≤0，解得－1≤m ≤0.12．(2018·郑州模拟)若变量，y 满足条件⎩⎨⎧x －y －1≤0，x ＋y －6≤0，x －1≥0，则y 的取值范围是( )A ．[0,5]B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤5，354C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，354 D ．[0,9]解析：选D 依题意作出题中的不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，结合图形可知，y 的最小值为0(当＝1，y ＝0时取得)；y ≤(6－)≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 6－x 22＝9，即y ≤9，当＝3，y ＝3时取等号，即y 的最大值为9，故选D.二、填空题13．已知关于的不等式2＋2x －a≥7在∈(a ，＋∞)上恒成立，则实数a 的最小值为________．解析：由>a ，知－a >0，则2＋2x －a ＝2(－a )＋2x －a＋2a ≥2 2x －a2x －a＋2a ＝4＋2a ，由题意可知4＋2a ≥7，解得a ≥32，即实数a 的最小值为32.答案：3214．(2018·长春模拟)已知角α，β满足－π2<α－β<π2，0<α＋β<π，则3α－β的取值范围是________．解析：设3α－β＝m (α－β)＋n (α＋β)＝(m ＋n )α＋(n －m )β，则⎩⎨⎧m ＋n ＝3，n －m ＝－1，解得⎩⎨⎧m ＝2，n ＝1.因为－π2<α－β<π2，0<α＋β<π，所以－π<2(α－β)<π，故－π<3α－β<2π. 答案：(－π，2π)15．(2018·全国卷Ⅱ)若，y满足约束条件⎩⎨⎧x ＋2y －5≥0，x －2y ＋3≥0，x －5≤0，则＝＋y 的最大值为________．解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示．由图可知当直线＋y ＝过点A 时取得最大值．由⎩⎨⎧x ＝5，x －2y ＋3＝0得点A (5,4)，∴ma ＝5＋4＝9. 答案：916．已知函数f ()＝2＋a ＋b (a ，b ∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于的不等式f ()<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c ＝________.解析：由函数值域为[0，＋∞)知，函数f ()＝2＋a ＋b (a ，b ∈R)的图象在轴上方，且与轴相切，因此有Δ＝a 2－4b ＝0，即b ＝a 24，∴f ()＝2＋a ＋b ＝2＋a ＋a 24＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22.∴f ()＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22<c ，解得－c <＋a 2<c ，－c －a 2<<c －a 2.∵不等式f ()<c 的解集为(m ，m ＋6)，∴⎝⎛⎭⎪⎫c －a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－c －a 2＝2c ＝6，解得c ＝9.答案：9B 级——难度小题强化练1．(2018·合肥二模)若关于的不等式2＋a －2＜0在区间[1,4]上有解，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，1]C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：选A 法一：因为∈[1,4]，则不等式2＋a －2＜0可化为a ＜2－x 2x ＝2x－，设f ()＝2x－，∈[1,4]，由题意得只需a ＜f ()ma ，因为函数f ()为区间[1,4]上的减函数，所以f ()ma ＝f (1)＝1，故a ＜1.法二：设g ()＝2＋a －2，函数g ()的图象是开口向上的抛物线，过定点(0，－2)，因为g ()＜0在区间[1,4]上有解，所以g (1)＜0，解得a ＜1.2．(2018·衡水二模)若关于的不等式2－4a ＋3a 2＜0(a ＞0)的解集为(1，2)，则1＋2＋a x 1x 2的最小值是( )A.63B ．233C.433D.263解析：选C ∵关于的不等式2－4a ＋3a 2＜0(a ＞0)的解集为(1，2)，∴Δ＝16a 2－12a 2＝4a 2＞0，又1＋2＝4a ，12＝3a 2，∴1＋2＋a x 1x 2＝4a ＋a 3a 2＝4a ＋13a≥24a ·13a ＝433，当且仅当a ＝36时取等号．∴1＋2＋a x 1x 2的最小值是433.3．(2018·沈阳一模)设不等式2－2a ＋a ＋2≤0的解集为A ，若A ⊆[1,3]，则a 的取值范围为( )A.⎝⎛⎦⎥⎤－1，115B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1，115C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，115 D ．[－1,3]解析：选A 设f ()＝2－2a ＋a ＋2，因为不等式2－2a ＋a ＋2≤0的解集为A ，且A ⊆[1,3]，所以对于方程2－2a ＋a ＋2＝0，若A ＝∅，则Δ＝4a 2－4(a ＋2)<0，即a 2－a －2<0，解得－1<a <2；若A ≠∅，则⎩⎨⎧Δ＝4a 2－4a ＋20，f 10，f 30，1≤a ≤3，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a ≤－1，a ≤3，a ≤115，1≤a ≤3.所以2≤a≤115.综上，a 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－1，115，故选A.4．(2018·武汉调研)某公司生产甲、乙两种桶装产品，已知生产甲产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料3千克；生产乙产品1桶需消耗A 原料2千克，B 原料1千克，每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元，公司在每天消耗A ，B 原料都不超过12千克的条件下，生产这两种产品可获得的最大利润为( )A ．1 800元B ．2 100元C ．2 400元D ．2 700元解析：选C 设生产甲产品桶，生产乙产品y 桶，每天的利润为元．根据题意，有⎩⎨⎧2x ＋2y ≤12，3x ＋y ≤12，x ≥0，x ∈N *，y ≥0，y ∈N *，＝300＋400y .作出⎩⎨⎧2x ＋2y ≤12，3x ＋y ≤12，x ≥0，y ≥0所表示的可行域，如图中阴影部分所示，作出直线3＋4y ＝0并平移，当直线经过点A (0,6)时，有最大值，ma ＝400×6＝2 400，故选C.5．当∈(0,1)时，不等式41－x ≥m －1x恒成立，则m 的最大值为________．解析：由已知不等式可得m ≤1x ＋41－x ，∵∈(0,1)，∴1－∈(0,1)，∵＋(1－)＝1，∴1x ＋41－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋41－x [＋(1－)]＝5＋1－x x ＋4x 1－x≥5＋2 1－x x ·4x 1－x ＝9，当且仅当1－xx＝4x 1－x ，即＝13时取等号，∴m ≤9，即实数m 的最大值为9. 答案：96．(2018·洛阳尖子生统考)已知，y 满足条件⎩⎨⎧x ≥0，y ≥x ，3x ＋4y ≤12，则x ＋2y ＋3x ＋1的取值范围是________．解析：画出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示，x ＋2y ＋3x ＋1＝1＋2×y ＋1x ＋1，y ＋1x ＋1表示可行域中的点(，y )与点P (－1，－1)连线的斜率．由图可知，当＝0，y ＝3时，x ＋2y ＋3x ＋1取得最大值，且⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2y ＋3x ＋1ma＝9.因为点P (－1，－1)在直线y ＝上，所以当点(，y )在线段AO 上时，x ＋2y ＋3x ＋1取得最小值，且⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2y ＋3x ＋1min＝3.所以x ＋2y ＋3x ＋1的取值范围是[3,9]．答案：[3,9]。

2019高考数学二轮复习课时跟踪检测二十三不等式小题练理

课时跟踪检测（二十三）不等式（小题练）A 级——12＋4提速练一、选择题1．(2019届高三·南宁、柳州联考)设a >b ，a ，b ，c ∈R ，则下列式子正确的是( ) A ．ac 2>bc 2B.a b>1 C ．a －c >b －cD ．a 2>b 2解析：选C a >b ，若c ＝0，则ac 2＝bc 2，故A 错；a >b ，若b <0，则a b<1，故B 错；a >b ，不论c 取何值，都有a －c >b －c ，故C 正确；a >b ，若a ，b 都小于0，则a 22，则f (n )，g (n )，φ(n )的大小关系是( )A ．φ(n )<f (n )<g (n )B ．φ(n )≤f (n )<g (n )C ．f (n )<φ(n )<g (n )D ．f (n )≤φ(n )<g (n )解析：选C f (n )＝n 2＋1－n ＝1n 2＋1＋n <12n，g (n )＝n －n 2－1＝1n ＋n 2－1>12n，所以f (n )<φ(n )<g (n )．故选C.3．(2018·日照二模)已知第一象限的点(a ，b )在直线2x ＋3y －1＝0上，则2a ＋3b的最小值为( )A ．24B ．25C ．26D ．27解析：选B 因为第一象限的点(a ，b )在直线2x ＋3y －1＝0上，所以2a ＋3b －1＝0，a >0，b >0，即2a ＋3b ＝1，所以2a ＋3b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋3b (2a ＋3b )＝4＋9＋6b a ＋6ab≥13＋26b a ·6a b ＝25，当且仅当6b a ＝6ab，即a ＝b ＝15时取等号，所以2a ＋3b的最小值为25. 4．(2018·陕西模拟)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，则z ＝2x ＋y 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线2x ＋y ＝0，平移该直线，可知当直线过点A (2，－1)时，z ＝2x ＋y 取得最大值，且z max ＝2×2－1＝3.5．不等式x 2＋x －6x ＋1>0的解集为( )A ．{x |－2<x <－1，或x >3}B ．{x |－3<x <－1，或x >2}C ．{x |x <－3，或－1<x <2}D ．{x |x <－3，或x >2}解析：选B x 2＋x －6x ＋1>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －6>0，x ＋1>0或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －6<0，x ＋1<0，解得－3<x <－1或x >2.选B.6．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，－2x ＋12，x ≤0，则“0<x <1”是“f (x )<0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 当0<x <1时，f (x )＝log 2x <0，所以“0<x <1”⇒“f (x )<0”；若f (x )<0，则⎩⎪⎨⎪⎧x >0，log 2x <0或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，－2x ＋12<0，解得0<x <1或－1<x ≤0，所以－1<x <1，所以“f (x )<0”⇒/ “0<x <1”．故选A.7．(2018·重庆模拟)若实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，2x －y －3≤0，y －2≤0，则2x ＋y 的最小值为( )A ．3B ．4C ．5D ．7解析：选B 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，令z ＝2x ＋y ，作出直线2x ＋y ＝0并平移该直线，易知当直线经过点A (1,2)时，目标函数z ＝2x ＋y 取得最小值，且z min ＝2×1＋2＝4，故选B.8．(2018·广东模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－2x ，x ≥0，x 2－2x ，x <0，若f (3－a 2)<f (2a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(－3,1)C ．(－2,0)D ．(－3,2)解析：选B 如图，画出f (x )的图象，由图象易得f (x )在R 上单调递减，∵f (3－a 2)<f (2a )，∴3－a 2>2a ，解得－3<a <1.9．(2018·山东青岛模拟)已知a 为正的常数，若不等式1＋x ≥1＋x 2－x2a对一切非负实数x 恒成立，则a 的最大值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：选C 原不等式可化为x 2a ≥1＋x 2－1＋x ，令1＋x ＝t ，t ≥1，则x ＝t 2－1.所以t 2－2a ≥1＋t 2－12－t ＝t 2－2t ＋12＝t －22对t ≥1恒成立，所以t ＋2a≥12对t ≥1恒成立．又a 为正的常数，所以a ≤[2(t ＋1)2]min ＝8，故a 的最大值是8.10．(2018·池州摸底)已知a ＞b ＞1，且2log a b ＋3log b a ＝7，则a ＋1b 2－1的最小值为( ) A ．3 B ． 3 C ．2D. 2解析：选A 令log a b ＝t ，由a ＞b ＞1得0＜t ＜1,2log a b ＋3log b a ＝2t ＋3t ＝7，得t ＝12，即log a b ＝12，a＝b 2，所以a ＋1b 2－1＝a －1＋1a －1＋1≥2a －1a －1＋1＝3，当且仅当a ＝2时取等号．故a ＋1b 2－1的最小值为3.11．(2019届高三·湖北八校联考)已知关于x 的不等式ax 2－ax －2a 2>1(a >0，a ≠1)的解集为(－a,2a )，且函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x 2＋2mx －m －1的定义域为R ，则实数m 的取值范围为( )A ．(－1,0)B ．[－1,0]C ．(0,1]D ．[－1,1]解析：选B 当a >1时，由题意可得x 2－ax －2a 2>0的解集为(－a,2a )，这显然是不可能的．当0<a <1时，由题意可得x 2－ax －2a 2<0的解集为(－a,2a )，且⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x 2＋2mx －m ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 0，即x 2＋2mx －m ≥0恒成立，故对于方程x 2＋2mx －m ＝0，有Δ＝4m 2＋4m ≤0，解得－1≤m ≤0.12．(2018·郑州模拟)若变量x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，x ＋y －6≤0，x －1≥0，则xy 的取值范围是( )A ．[0,5]B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤5，354 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，354D ．[0,9]解析：选D 依题意作出题中的不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，结合图形可知，xy 的最小值为0(当x ＝1，y ＝0时取得)；xy ≤x (6－x )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋－x 22＝9，即xy ≤9，当x ＝3，y ＝3时取等号，即xy 的最大值为9，故选D.二、填空题13．已知关于x 的不等式2x ＋2x －a≥7在x ∈(a ，＋∞)上恒成立，则实数a 的最小值为________．解析：由x >a ，知x －a >0，则2x ＋2x －a ＝2(x －a )＋2x －a＋2a ≥2 x －a2x －a＋2a ＝4＋2a ，由题意可知4＋2a ≥7，解得a ≥32，即实数a 的最小值为32.答案：3214．(2018·长春模拟)已知角α，β满足－π2<α－β<π2，0<α＋β<π，则3α－β的取值范围是________．解析：设3α－β＝m (α－β)＋n (α＋β)＝(m ＋n )α＋(n －m )β，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝3，n －m ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝1.因为－π2<α－β<π2，0<α＋β<π，所以－π<2(α－β)<π，故－π<3α－β<2π.答案：(－π，2π)15．(2018·全国卷Ⅱ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≥0，x －2y ＋3≥0，x －5≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为________．解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示．由图可知当直线x ＋y ＝z 过点A 时z 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，x －2y ＋3＝0得点A (5,4)，∴z max ＝5＋4＝9.答案：916．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c ＝________.解析：由函数值域为[0，＋∞)知，函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R)的图象在x轴上方，且与x 轴相切，因此有Δ＝a 2－4b ＝0，即b ＝a 24，∴f (x )＝x2＋ax ＋b ＝x 2＋ax ＋a 24＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22.∴f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22<c ，解得－c <x ＋a 2<c ，－c －a 2<x <c －a2.∵不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，∴⎝⎛⎭⎪⎫c －a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－c －a2＝2c ＝6，解得c ＝9.答案：9B 级——难度小题强化练1．(2018·合肥二模)若关于x 的不等式x 2＋ax －2＜0在区间[1,4]上有解，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，1]C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：选A 法一：因为x ∈[1,4]，则不等式x 2＋ax －2＜0可化为a ＜2－x 2x ＝2x －x ，设f (x )＝2x－x ，x ∈[1,4]，由题意得只需a ＜f (x )max ，因为函数f (x )为区间[1,4]上的减函数，所以f (x )max ＝f (1)＝1，故a＜1.法二：设g (x )＝x 2＋ax －2，函数g (x )的图象是开口向上的抛物线，过定点(0，－2)，因为g (x )＜0在区间[1,4]上有解，所以g (1)＜0，解得a ＜1.2．(2018·衡水二模)若关于x 的不等式x 2－4ax ＋3a 2＜0(a ＞0)的解集为(x 1，x 2)，则x 1＋x 2＋ax 1x 2的最小值是( )A.63 B ．233C.433D.263解析：选C ∵关于x 的不等式x 2－4ax ＋3a 2＜0(a ＞0)的解集为(x 1，x 2)，∴Δ＝16a 2－12a 2＝4a 2＞0，又x 1＋x 2＝4a ，x 1x 2＝3a 2，∴x 1＋x 2＋a x 1x 2＝4a ＋a 3a 2＝4a ＋13a ≥24a ·13a ＝433，当且仅当a ＝36时取等号．∴x 1＋x 2＋a x 1x 2的最小值是433.3．(2018·沈阳一模)设不等式x 2－2ax ＋a ＋2≤0的解集为A ，若A ⊆[1,3]，则a 的取值范围为( ) A.⎝⎛⎦⎥⎤－1，115B ．⎝⎛⎭⎪⎫1，115C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，115D ．[－1,3]解析：选A 设f (x )＝x 2－2ax ＋a ＋2，因为不等式x 2－2ax ＋a ＋2≤0的解集为A ，且A ⊆[1,3]，所以对于方程x 2－2ax ＋a ＋2＝0，若A ＝∅，则Δ＝4a 2－4(a ＋2)<0，即a 2－a －2<0，解得－1<a <2；若A ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4a 2－a ＋，f ，f，1≤a ≤3，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a ≤－1，a ≤3，a ≤115，1≤a ≤3.所以2≤a ≤115.综上，a 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，115，故选A. 4．(2018·武汉调研)某公司生产甲、乙两种桶装产品，已知生产甲产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料3千克；生产乙产品1桶需消耗A 原料2千克，B 原料1千克，每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元，公司在每天消耗A ，B 原料都不超过12千克的条件下，生产这两种产品可获得的最大利润为( )A ．1 800元B ．2 100元C ．2 400元D ．2 700元解析：选C 设生产甲产品x 桶，生产乙产品y 桶，每天的利润为z 元．根据题意，有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y ≤12，3x ＋y ≤12，x ≥0，x ∈N *，y ≥0，y ∈N *，z ＝300x ＋400y .作出⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y ≤12，3x ＋y ≤12，x ≥0，y ≥0所表示的可行域，如图中阴影部分所示，作出直线3x ＋4y ＝0并平移，当直线经过点A (0,6)时，z 有最大值，z max ＝400×6＝2 400，故选C.5．当x ∈(0,1)时，不等式41－x ≥m －1x恒成立，则m 的最大值为________．解析：由已知不等式可得m ≤1x ＋41－x ，∵x ∈(0,1)，∴1－x ∈(0,1)，∵x ＋(1－x )＝1，∴1x ＋41－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋41－x [x ＋(1－x )]＝5＋1－x x ＋4x 1－x ≥5＋21－x x ·4x 1－x ＝9，当且仅当1－x x ＝4x 1－x ，即x ＝13时取等号，∴m ≤9，即实数m 的最大值为9.答案：96．(2018·洛阳尖子生统考)已知x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥x ，3x ＋4y ≤12，则x ＋2y ＋3x ＋1的取值范围是________． x ＋2y ＋3x ＋1＝1＋解析：画出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示，2×y ＋1x ＋1，y ＋1x ＋1表示可行域中的点(x ，y )与点P (－1，－1)连线的斜率．由图可知，当x ＝0，y ＝3时，x ＋2y ＋3x ＋1取得最大值，且⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2y ＋3x ＋1max＝9.因为点P (－1，－1)在直线y ＝x 上，所以当点(x ，y )在线段AO 上时，x ＋2y ＋3x ＋1取得最小值，且⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2y ＋3x ＋1min＝3.所以x ＋2y ＋3x ＋1的取值范围是[3,9]．答案：[3,9]。

高考理科数学二轮新考势课时28 不等式选讲

课时作业28 不等式选讲1．(2019年高考·江苏卷)设x ∈R ，解不等式|x |＋|2x －1|>2.解：当x <0时，原不等式可化为－x ＋1－2x >2，解得x <－13；当0≤x ≤12时，原不等式可化为x ＋1－2x >2，即x <－1，无解；当x >12时，原不等式可化为x ＋2x －1>2，解得x >1.综上，原不等式的解集为{x |x <－13或x >1}．2．(2019年河南省中原名校(即豫南九校)高三联考)已知函数f (x )＝|2x ＋a |，g (x )＝|x －1|.(1)若f (x )＋2g (x )的最小值为1，求实数a 的值；(2)若关于x 的不等式f (x )＋g (x )<1的解集包含⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，求实数a 的取值范围．解：(1)∵函数f (x )＝|2x ＋a |，g (x )＝|x －1|，∴f (x )＋2g (x )＝|2x ＋a |＋2|x －1|＝|2x ＋a |＋|2x －2|≥|2x ＋a －(2x －2)|＝|a ＋2|＝1，解得a ＝－1或a ＝－3.(2)当x ∈[12，1]时，由不等式f (x )＋g (x )<1，即|2x ＋a |＋|x －1|<1，可得|2x ＋a |＋1－x <1，∴|2x ＋a |<x ，∴－a 3<x <－a ，∵不等式f (x )＋g (x )<1的解集包含[12，1]，∴－a 3<12且－a >1，∴－32<a <－1.即实数a 的取值范围为(－32，－1)．3．(2019年吉林省吉大附中高三第四次模拟)已知函数f (x )＝|x －a |.(1)当a ＝－2时，解不等式f (x )≥16－|2x －1|；(2)若关于x 的不等式f (x )≤1的解集为[0，2]，求证：f (x )＋f (x ＋2)≥2. 解：(1)当a ＝－2时，不等式为|x ＋2|＋|2x －1|≥16，当x ≤－2时，原不等式可化为－x －2－2x ＋1≥16，解得x ≤－173；当－2<x ≤12时，原不等式可化为x ＋2－2x ＋1≥16，解得x ≤－13，不满足题意，舍去；当x >12时，原不等式可化为x ＋2＋2x －1≥16，解得x ≥5.综上，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－173或x ≥5. (2)f (x )≤1，即|x －a |≤1，解得a －1≤x ≤a ＋1，而f (x )≤1解集是[0，2]，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝0，a ＋1＝2，解得a ＝1，从而f (x )＝|x －1|.于是证明f (x )＋f (x ＋2)≥2，即证|x －1|＋|x ＋1|≥2，因为|x －1|＋|x ＋1|＝|1－x |＋|x ＋1|≥|1－x ＋x ＋1|＝2，所以|x －1|＋|x ＋1|≥2，证毕．4．(2019年河北省衡水中学高三第一次摸底)已知函数f (x )＝|x －2|.(1)求不等式f (x )<x ＋|x ＋1|的解集；(2)若函数f (x )＝log 2[f (x ＋3)＋f (x )－2a ]的定义域为R ，求实数a 的取值范围．解：(1)由已知不等式f (x )<x ＋|x ＋1|，得|x －2|<x ＋|x ＋1|，当x >2时，绝对值不等式可化为x －2<x ＋x ＋1，解得x >－3，所以x >2；当－1≤x ≤2时，绝对值不等式可化为2－x <x ＋x ＋1，解得x >13，所以13<x ≤2；当x <－1时，由2－x <x －x －1得x >3，此时无解．综上，所求不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞. (2)要使函数y ＝log 2[f (x ＋3)＋f (x )－2a ]的定义域为R ，只需g (x )＝f (x ＋3)＋f (x )－2a 的最小值大于0即可．又g (x )＝|x ＋1|＋|x －2|－2a ≥|x ＋1－x ＋2|－2a ＝3－2a ，当且仅当x ∈[－1，2]时取等号，所以只需3－2a >0，即a <32.所以实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，32. 5．(2019年甘肃省兰州市第一中学高三质检)已知函数f (x )＝|2x －1|＋|x ＋1|.(1)解不等式f (x )≥3；(2)记函数f (x )的最小值为m ，若a ，b ，c 均为正实数，且a ＋2b ＋3c ＝2m ，求a 2＋b 2＋c 2的最小值．解：(1)由题意，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ，x ≤－1，2－x ，－1<x <12，3x ，x ≥12，所以f (x )≥3等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1，－3x ≥3 或⎩⎨⎧－1<x <12，2－x ≥3或⎩⎨⎧x ≥12，3x ≥3，解得x ≤－1或x ≥1，所以不等式的解集为{x |x ≤－1或x ≥1}．(2)由(1)可知，当x ＝12时，f (x )取得最小值32，所以m ＝32，即a ＋2b ＋3c ＝3，由柯西不等式，得(a 2＋b 2＋c 2)(12＋22＋32)≥(a ＋2b ＋3c )2＝9，整理得a 2＋b 2＋c 2≥914，当且仅当a 1＝b 2＝c 3，即a ＝314，b ＝614，c ＝914时等号成立．所以a 2＋b 2＋c 2的最小值为914. 6．(2019年山东省郓城一中等学校高三第三次模拟考试数学)已知函数f (x )＝|ax －2|，不等式f (x )≤4的解集为{x |－2≤x ≤6}．(1)求实数a 的值；(2)设g(x )＝f (x )＋f (x ＋3)，若存在x ∈R ，使g (x )－tx ≤2成立，求实数t 的取值范围．解：(1)由|ax －2|≤4，得－4≤ax －2≤4，即－2≤ax ≤6，当a >0时，－2a ≤x ≤6a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＝－2，6a ＝6，解得a ＝1；当a <0时，6a ≤x ≤－2a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧6a ＝－2，－2a ＝6无解．所以实数a 的值为1.(2)由已知，g (x )＝f (x )＋f (x ＋3)＝|x ＋1|＋|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋1（x ≤－1），3（－1<x <2），2x －1（x ≥2），不等式g (x )－tx ≤2转化成g (x )≤tx ＋2，由题意知，函数g (x )的图象与直线y ＝tx ＋2相交，作出对应图象，图1由图得，当t <0时，t ≤k AM ；当t >0时，t ≥k BM ，又因为k AM ＝－1，k BM ＝12，所以t ≤－1或t ≥12，即t ∈(－∞，－1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. 7．(2019年广东省揭阳市高三高考二模数学)已知正实数x ，y 满足x ＋y ＝1.(1)解关于x 的不等式|x ＋2y |＋|x －y |≤52；(2)证明：⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1y 2－1≥9. 解：(1)∵x ＋y ＝1，且x >0，y >0，∴|x ＋2y |＋|x －y |≤52⇔⎩⎨⎧0<x <1，|2－x |＋|2x －1|≤52⇔⎩⎨⎧0<x <1，|2x －1|≤12＋x ⇔⎩⎨⎧0<x <1，－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ≤2x －1≤12＋x ，解得16≤x <1，所以不等式的解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫16，1. (2)解法1：∵x ＋y ＝1，且x >0，y >0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1y 2－1＝（x ＋y ）2－x 2x 2·（x ＋y ）2－y 2y 2 ＝2xy ＋y 2x 2·2xy ＋x 2y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2y x ＋y 2x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2x y ＋x 2y 2 ＝2x y ＋2y x ＋5≥22x y ·2yx ＋5＝9，当且仅当x ＝y ＝12时，等号成立．解法2：∵x ＋y ＝1，且x >0，y >0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1y 2－1＝1－x 2x 2·1－y 2y 2 ＝（1＋x ）（1－x ）x 2·（1＋y ）（1－y ）y 2＝（1＋x ）y x 2·（1＋y ）x y 2＝1＋x ＋y ＋xy xy＝2xy ＋1≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＋1＝9，当且仅当x ＝y ＝12时，等号成立．8．(2019年四川省成都市第七中学高三模拟)已知a >0，b >0，c >0，设函数f (x )＝|x －b |＋|x ＋c |＋a ，x ∈R .(1)若a ＝b ＝c ＝1，求不等式f (x )<5的解集；(2)若函数f (x )的最小值为1，证明：1a ＋b ＋4b ＋c ＋9c ＋a≥18(a ＋b ＋c )．解：(1)当a ＝b ＝c ＝1时，不等式f (x )<5可化为|x －1|＋|x ＋1|<4，当x ≤－1时，1－x －1－x <4⇒－2<x ≤－1；当－1<x <1时，1－x ＋x ＋1<4⇒－1<x <1；当x ≥1时，x －1＋x ＋1<4⇒1≤x <2.∴原不等式的解集为(－2，2)．(2)f (x )＝|x －b |＋|x ＋c |＋a≥|(x ＋c )－(x －b )|＋a ＝|b ＋c |＋a ，∵a >0，b >0，c >0，∴f (x )min ＝a ＋b ＋c ＝1，∴1a ＋b ＋4b ＋c ＋9c ＋a＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋4b ＋c ＋9c ＋a (a ＋b ＋c ) ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋4b ＋c ＋9c ＋a (a ＋b ＋b ＋c ＋a ＋c ) ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2b ＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c ＋a 2. []（a ＋b ）2＋（b ＋c ）2＋（c ＋a ）2)c ＋a 2＝18＝18(a ＋b ＋c )．。

(浙江专用)2019高考数学二轮复习课时跟踪检测(二十)小题考法——不等式

课时跟踪检测（二十）小题考法——不等式A 组——10＋7提速练一、选择题1．在R 上定义运算：x ⊗y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )⊗(x －b )＞0的解集是(2,3)，则a ＋b ＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选C 由题知(x －a )⊗(x －b )＝(x －a )[1－(x －b )]＞0，即(x －a )[x －(b ＋1)]＜0，由于该不等式的解集为(2,3)，所以方程(x －a )[x －(b ＋1)]＝0的两根之和等于5，即a ＋b ＋1＝5，故a ＋b ＝4.2．已知正数a ，b 的等比中项是2，且m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1b，则m ＋n 的最小值是( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选C 由正数a ，b 的等比中项是2，可得ab ＝4，又m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1b，所以m＋n ＝a ＋b ＋1a ＋1b ＝a ＋b ＋a ＋b ab ＝54(a ＋b )≥54×2ab ＝5，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立，故m ＋n 的最小值为5.3．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥－1，x ＋y ≤4，y ≥2，则目标函数z ＝x ＋2y 的最大值为( )A ．5B ．6 C.132D ．7解析：选C 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由图易知，当直线z ＝x ＋2y 经过直线x －y ＝－1与x ＋y ＝4的交点，即⎝ ⎛⎭⎪⎫32，52时，z 取得最大值，z max ＝32＋2×52＝132，故选C.4．(2017·全国卷Ⅲ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －6≤0，x ≥0，y ≥0，则z ＝x －y 的取值范围是( )A ．[－3,0]B ．[－3,2]C ．[0,2]D ．[0,3]解析：选B 作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线l 0：y ＝x ，平移直线l 0，当直线z ＝x －y 过点A (2,0)时，z 取得最大值2，当直线z ＝x －y 过点B (0,3)时，z 取得最小值－3，所以z ＝x －y 的取值范围是[－3,2]．5．(2017·全国卷Ⅱ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －3≤0，2x －3y ＋3≥0，y ＋3≥0，则z ＝2x ＋y 的最小值是( )A ．－15B ．－9C ．1D ．9解析：选A 作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．易求得可行域的顶点A (0，1)，B (－6，－3)，C (6，－3)，当直线z ＝2x ＋y 过点B (－6，－3)时，z 取得最小值，z min ＝2×(－6)－3＝－15.6．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x ＋y ≤1，y ≥mx m ∈R所表示的区域面积为S .若S ≤1，则m 的取值范围为( )A ．(－∞，－2]B ．[－2,0]C ．(0,2]D ．[2，＋∞)解析：选A 如图，当x ＋y ＝1与y ＝mx 交点为(－1,2)时，不等式组所表示的区域面积为1，此时m ＝－2，若S ≤1，则m ≤－2，故选A.7．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＋5≥0，x ＋y －1≤0，x ＋a ≥0，若z ＝x ＋2y 的最小值为－4，则实数a ＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选B 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，当直线z ＝x ＋2y 经过点C ⎝⎛⎭⎪⎫－a ，a －53时，z 取得最小值－4，所以－a ＋2×a －53＝－4，解得a ＝2，故选B.8．(2019届高三·浙江六校协作体联考)已知函数f (x )＝13ax 3＋12bx 2－x (a >0，b >0)在x＝1处取得极小值，则1a ＋4b的最小值为( )A ．4B ．5C ．9D ．10解析：选C 由f (x )＝13ax 3＋12bx 2－x (a >0，b >0)，得f ′(x )＝ax 2＋bx －1，则f ′(1)＝a ＋b －1＝0，∴a ＋b ＝1，∴1a ＋4b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ·(a ＋b )＝5＋b a ＋4ab≥5＋2b a ·4ab＝9，当且仅当b a ＝4a b ，即a ＝13，b ＝23时，等号成立，故选C. 9．(2017·衢州二中交流卷)若实数x ，y 满足|[x ]|＋|y |≤1([x ]表示不超过x 的最大整数)，则x ＋y ＋4x ＋2的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤43，3 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤43，52 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤32，52 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤32，3 解析：选A 因为|[x ]|≤1－|y |≤1，所以－1≤[x ]≤1，再根据[x ]的具体值进行分类： ①当[x ]＝－1，即－1≤x <0时，y ＝0；②当[x ]＝0，即0≤x <1时，|y |≤1，即－1≤y ≤1； ③当[x ]＝1，即1≤x <2时，y ＝0.在平面直角坐标系内作出可行域，如图所示．x ＋y ＋4x ＋2＝1＋y ＋2x ＋2，其几何意义为可行域内的点(x ，y )与点(－2，－2)所确定的直线的斜率加1.而由图可知，点(－1，0)与点(－2，－2)所确定的直线的斜率最大，最大值为0＋2－1＋2＝2；点(1，－1)与点(－2，－2)所确定的直线的斜率最小，最小值为－1＋21＋2＝13，又由图知取不到最小值，所以x ＋y ＋4x ＋2∈⎝ ⎛⎦⎥⎤43，3，故选A. 10．(2017·天津高考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ＋3，x ≤1，x ＋2x，x >1.设a ∈R ，若关于x 的不等式f (x )≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪x2＋a 在R 上恒成立，则a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4716，2 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4716，3916 C ．[－23，2]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，3916 解析：选A 法一：根据题意，作出f (x )的大致图象，如图所示．当x ≤1时，若要f (x )≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪x2＋a 恒成立，结合图象，只需x 2－x ＋3≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋a ，即x 2－x 2＋3＋a ≥0，故对于方程x 2－x 2＋3＋a ＝0，Δ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－122－4(3＋a )≤0，解得a ≥－4716；当x >1时，若要f (x )≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2＋a 恒成立，结合图象，只需x ＋2x ≥x 2＋a ，即x 2＋2x ≥a .又x 2＋2x ≥2，当且仅当x 2＝2x，即x ＝2时等号成立，所以a ≤2.综上，a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4716，2.法二：关于x 的不等式f (x )≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2＋a 在R 上恒成立等价于－f (x )≤a ＋x2≤f (x )，即－f (x )－x 2≤a ≤f (x )－x2在R 上恒成立，令g (x )＝－f (x )－x2.当x ≤1时，g (x )＝－(x 2－x ＋3)－x2＝－x 2＋x2－3＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －142－4716，当x ＝14时，g (x )max ＝－4716；当x >1时，g (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x －x 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2＋2x ≤－23，当且仅当3x 2＝2x ，且x >1，即x ＝233时，“＝”成立，故g (x )max ＝－2 3. 综上，g (x )max ＝－4716.令h (x )＝f (x )－x2，当x ≤1时，h (x )＝x 2－x ＋3－x 2＝x 2－3x 2＋3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋3916，当x ＝34时，h (x )min ＝3916；当x >1时，h (x )＝x ＋2x －x 2＝x 2＋2x≥2，当且仅当x 2＝2x，且x >1，即x ＝2时，“＝”成立，故h (x )min ＝2.综上，h (x )min ＝2.故a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4716，2. 二、填空题11．若两个正实数x ，y 满足1x ＋4y ＝1，且不等式x ＋y 4<m 2－3m 有解，则实数m 的取值范围是________．解析：由题可知，1＝1x ＋4y ≥24xy＝4xy，即xy ≥4，于是有m 2－3m >x ＋y4≥xy ≥4，故m 2－3m >4，化简得(m ＋1)(m －4)>0，解得m <－1或m >4，即实数m 的取值范围为(－∞，－1)∪(4，＋∞)．答案：(－∞，－1)∪(4，＋∞) 12．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是________________．解析：由题意得，f (1)＝3，所以f (x )>f (1)，即f (x )>3.当x <0时，x ＋6>3，解得－3<x <0；当 x ≥0时，x 2－4x ＋6>3，解得x >3或0≤x <1.综上，不等式的解集为(－3,1)∪(3，＋∞)．答案：(－3,1)∪(3，＋∞)13．(2018·绍兴一中调研)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x ＋y ≥1，x ＋3y －3≤0，则由不等式组确定的可行域的面积为________，z ＝2x －y 的最大值为________．解析：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，所以可行域的面积为1，因为目标函数z ＝2x －y 的斜率为2，所以过点A (3,0)时取到最大值6.答案：1 614．(2018·杭州二中调研)已知x >3y >0或x <3y <0，则(x －2y )2＋4yx －3y的最小值是________．解析：(x －2y )2＋4yx －3y≥(x －2y )2＋4⎣⎢⎡⎦⎥⎤y ＋x －3y 22＝(x －2y )2＋16x －2y2≥8，当4y ＝x ，x －2y ＝±2时取等号．答案：815．如果实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －1≤0，y －2≤0，且z ＝yx ＋a 的最小值为12，则正数a 的值为________．解析：根据约束条件画出可行域如图中阴影部分所示，经分析可知当x ＝1，y ＝1时，z 取最小值12，即11＋a ＝12，所以a ＝1.答案：116．(2018·绍兴质量调测)已知正实数x ，y 满足xy ＋2x ＋3y ＝42，则xy ＋5x ＋4y 的最小值为________．解析：由题知，xy ＋5x ＋4y ＝(xy ＋2x ＋3y )＋3x ＋y ＝42＋3x ＋y ，而(x ＋3)(y ＋2)＝48，因此144＝(3x ＋9)(y ＋2)≤⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋y ＋1122，因此3x ＋y ≥13，当且仅当3x ＋9＝y ＋2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝10时取等号．故xy ＋5x ＋4y ＝42＋3x ＋y ≥55，则xy ＋5x＋4y 的最小值为55.答案：5517．若不等式|2a ＋b |＋|2a －b |≥|a |(|2＋x |＋|2－x |)(a ≠0)恒成立，则实数x 的取值范围是________．解析：不等式|2a ＋b |＋|2a －b |≥|a |(|2＋x |＋|2－x |)(a ≠0)恒成立，即|2＋x |＋|2－x |≤|2a ＋b |＋|2a －b ||a |恒成立，故|2＋x |＋|2－x |≤⎝ ⎛⎭⎪⎫|2a ＋b |＋|2a －b ||a |min.因为|2a ＋b |＋|2a －b ||a |≥|2a ＋b ＋2a －b ||a |＝|4a ||a |＝4，当且仅当(2a ＋b )(2a －b )≥0，即2|a |≥|b |时等号成立，所以|2a ＋b |＋|2a －b ||a |的最小值为4，所以|2＋x |＋|2－x |≤4，解得－2≤x ≤2.故实数x 的取值范围为[－2，2]．答案：[－2,2]B 组——能力小题保分练1．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x －3y ＋5≥0，x ≥0，y ≥0，则z ＝8－x·⎝ ⎛⎭⎪⎫12y 的最小值为( )A ．1 B.324C.116D.132解析：选D 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，而z ＝8－x·⎝ ⎛⎭⎪⎫12y ＝2－3x －y ，欲使z 最小，只需使－3x －y 最小即可．由图知当x ＝1，y ＝2时，－3x －y 的值最小，且－3×1－2＝－5，此时2－3x－y最小，最小值为132.故选D.2．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，4x －y －4≤0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为6，则1a ＋2b的最小值为( )A ．1B ．3C ．2D ．4解析：选B 依题意画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．∵a >0，b >0，∴当直线z ＝ax ＋by 经过点(2,4)时，z 取得最大值6， ∴2a ＋4b ＝6，即a ＋2b ＝3.∴1a ＋2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b (a ＋2b )×13＝53＋2b 3a ＋2a 3b ≥3，当且仅当a ＝b ＝1时等号成立，∴1a ＋2b 的最小值为3.故选B.3．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0，y ≤－nx ＋3n所表示的平面区域为D n ，记D n 内的整点(横坐标和纵坐标均为整数的点)个数为a n (n ∈N *)，若m >1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1对于任意的正整数恒成立，则实数m 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫19，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫19，＋∞C.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，19D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，19解析：选A 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0，y ≤－nx ＋3n表示的平面区域为直线x ＝0，y ＝0，y ＝－nx＋3n 围成的直角三角形(不含直角边)，区域内横坐标为1的整点有2n 个，横坐标为2的整点有n 个，所以a n ＝3n ，所以1a n a n ＋1＝13n ·3n ＋3＝19⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，所以1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝19⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝19⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫19⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1为单调递增数列，故当n 趋近于无穷大时，19⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1趋近于19，所以m ≥19.故选A. 4．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的导函数为f ′(x )．若∀x ∈R ，不等式f (x )≥f ′(x )恒成立，则b 2a 2＋2c 2的最大值为( )A.6＋2B.6－2 C ．22＋2D ．22－2解析：选B 由题意得f ′(x )＝2ax ＋b ，由f (x )≥f ′(x )在R 上恒成立，得ax 2＋(b －2a )x ＋c －b ≥0在R 上恒成立，则a >0且Δ≤0，可得b 2≤4ac －4a 2，则b 2a 2＋2c 2≤4ac －4a 2a 2＋2c 2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫ca －12⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋1，又4ac －4a 2≥0，∴4·c a －4≥0，∴c a －1≥0，令t ＝c a －1，则t ≥0.当t >0时，b 2a 2＋2c 2≤4t2t 2＋4t ＋3＝42t ＋3t＋4≤426＋4＝6－2⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当t ＝62时等号成立，当t ＝0时，b 2a 2＋2c 2＝0<6－2，故b 2a 2＋2c 2的最大值为6－2，故选B.5．(2019届高三·浙江新高考联盟联考)过P (－1,1)的光线经x 轴上点A 反射后，经过不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≥0，x ＋y －2≥0，3x ＋y －9≤0所表示的平面区域内某点(记为B )，则|PA |＋|AB |的取值范围是________．解析：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≥0，x ＋y －2≥0，3x ＋y －9≤0表示的平面区域如图中阴影部分所示，点P 关于x 轴的对称点为P 1(－1，－1)，|PA |＋|AB |＝|P 1B |，过点P 1作直线x ＋y －2＝0的垂线，则|PA |＋|AB |＝|P 1B |的最小值为|－1－1－2|2＝2 2.由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，3x ＋y －9＝0得B 0(2,3)，则|PA |＋|AB |＝|P 1B |的最大值为|P 1B 0|＝2＋12＋3＋12＝5.故22≤|PA |＋|AB |≤5. 答案：[22，5]6．(2018·浙江“七彩阳光”联盟期中)设实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，x －3y ＋5≥0，x ＋my －1≤0，且目标函数z ＝3x ＋y 的最大值为15，则实数m ＝________；设min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b ，则z ＝min{x ＋y ＋2,2x ＋y }的取值范围是________．解析：因为直线x ＋y －3＝0与x －3y ＋5＝0交于点A (1，2)，而直线x ＋my －1＝0过点(1,0)，则当m >0时，不等式组不能构成可行域．当m ＝0时，可行域为点A (1,2)，不符合题意．当－1m >13，即－3<m <0时，不等式组构成的可行域是以A (1,2)，B ⎝⎛⎭⎪⎫3m －1m －1，－2m －1，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－5m m ＋3，6m ＋3为顶点的三角形区域(含边界)，过点C 时，目标函数z ＝3x ＋y 有最大值15－15m m ＋3，由15－15mm ＋3＝15，得m ＝－1.当0<－1m ≤13，即m ≤－3时，不等式组构成的可行域是一个开放区域，此时，目标函数z ＝3x ＋y 没有最大值．综合得m ＝－1.此时，可行域是以A (1,2)，B (2,1)，C (4,3)为顶点的三角形区域(含边界)．而z ＝min{x ＋y ＋2,2x ＋y }＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋2，x ≥2，2x ＋y ，x <2，直线x ＝2把可行域分成以A (1,2)，B (2,1)，D ⎝⎛⎭⎪⎫2，73为顶点的三角形区域，和以B (2,1)，C (4,3)，D ⎝⎛⎭⎪⎫2，73为顶点的三角形区域．故只要求z ＝2x ＋y 在三角形ABD 区域上的范围，z ＝x ＋y ＋2在三角形BCD 区域上的范围即可．当平行直线系2x ＋y ＝z 在三角形ABD 区域内运动时，z ＝2x ＋y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤4，193.当平行直线系x ＋y ＋2＝z 在三角形BCD 区域内运动时，z ＝x ＋y ＋2∈[5,9]．从而有z ＝min{x ＋y ＋2,2x ＋y }的取值范围是[4,9]．答案：－1 [4,9]。