微专题在中考数学二轮复习中的实践与思考——以“探寻与隐圆有关的最值与路径问题”为例

微专题在中考数学二轮复习中的实践与思考———以“探寻与隐圆有关的最值与路径问题”为例戴　娟　（江苏省苏州工业园区星海实验中学　２１５０２１） 中考数学复习要经历基础梳理、专题突破、综合提升三个阶段．二轮复习承担了固“双基”且寻“真能力”的重要使命．教师需要将初中数学的知识点“化零为整”，分割成若干个微专题供学生进行专项突破，以期做到“小身材，大能量”．微课是课堂教学中比较流行且实用的教学手段，是学习微专题的良好载体．一节微课虽用时短，但胜在知识点少、易强化．鉴于微课可重复播放、不限时间的特点，学生可以提前预习，课后反复学习巩固，对不同学习层次的学生都适用．笔者最近几年录制了不少微课，不断尝试以微课为载体进行课堂教学和课后巩固．本文以微课“探寻与隐圆有关的最值与路径问题”为例，谈谈自己的体会．１　微课“探寻与隐圆有关的最值与路径问题”１．１　适用对象本课例适合初三年级下学期进行二轮复习的、具备基本几何题解题经验和良好的几何基础知识储备但对隐圆、最值和路径问题仍有疑惑的学生．１．２　教材分析（１）教学内容本节课采用微课教学，内容涉及课前预习和课堂教学．在课前预习中，教师让学生寻找“隐圆”模型，并且探寻“隐圆”形成的依据．在课堂教学中，教师的讲授分成三部分：第一部分是展示“隐圆”模型，进行归纳汇总；第二部分是探寻“隐圆”模型形成的依据；第三部分是引导学生在题目的条件中发现“隐圆”模型的蛛丝马迹，把隐圆画出来后再计算最值和路径，让学生体验“寻模型—现隐圆—明路径—解最值”的过程．（２）教学方法以“发现问题—提出问题—解决问题”为主线，引导学生主动参与知识回顾和整理，然后归纳模型，最后将模型放在几何图形中解决问题，让学生体验和总结这类问题的中考命题规律和方向．这也是本节课的重点和难点．（３）教学手段以微课为载体，课前引导学生预习和思考，课上以学生独立思考和听教师讲解的模式学习处理“隐圆”问题的“四步走”解题步骤，课后可以反复播放视频并完成变式探究部分的巩固和探索．２　教学过程２．１　隐圆模型的归纳总结图１～图４是几种常见的隐圆模型．图１ 图２ 图３ 图４问题　课前请同学们做了准备，你发现了几种隐圆模型？设计意图　课前布置预习作业，让学生对课上要学习的内容心中有数．课堂展示不仅是对预习作业的检查，更能让学生发现自己的知识盲区，提高学生的积极性和主动性．２．２　探寻上述“隐圆”模型形成的依据探究１　上述模型是怎样形成的？你知道依据吗？四个隐圆模型对应的依据分别为：（１）９０°的圆周角所对的弦为直径；（２）如果四边形对角互补或者外角等于内对角，那么四边形四个顶点共圆；（３）定角对定弦；（４）到定点的距离等于定长的点的集合为圆．探究２　上述四种模型有没有联系？图１是图３的特殊情况，定角通常是３０°，４５°，６０°，９０°等这样的特殊角．图１还是图４的特殊情况，图１的依据其实就是“到定点的距离等于定长的点的集合为圆”．思考　根据上述探究，你能否进行归纳总结？设计意图　探究１通过让学生自主探究和·３２·２０１８年第１１期 中学数学月刊 教师的引导，让学生加深对模型形成根源的理解，有利于学生对难点的突破和概念的进一步清晰；探究２通过类比归纳的方式进一步提升学生对模型的认知；最后的思考部分让学生升华知识点，形成清晰的模型以利于下面的解题．２．３　寻踪迹、画路径、求最值　图５ 图６例１　如图５，在边长为４的正方形犃犅犆犇中，动点犈，犉分别在犇犆，犅犆上移动，犇犈＝犆犉，犃犈和犇犉交于点犘，则犆犘长度的最小值为 ．变式　如图６，在Ｒｔ△犃犅犆中，犃犅⊥犅犆，犃犅＝６，犅犆＝４，犘是△犃犅犆内部的一个动点，且满足∠犘犃犅＝∠犘犅犆，则线段犆犘长的最小值为 ．设计意图　鉴于微课时间上的局限性，课上只研究例１，帮助学生理清思路．两道题都是“９０°的圆周角所对的弦为直径”模型，都能在动态中找到９０°角是不变的，但９０°角不容易找：例１要通过证明全等得到，变式要由角的转换得到．变式训练有利于学生更深入地把握模型并灵活运用，进而提升学生的解题能力．当学生找到了隐圆，根据动点的起始、终了位置就能找到运动路径，线段的最值就转化为圆外一点到圆上点的最长距离和最短距离了．通过例题的学习，让学生经历“寻模型—现隐圆—明路径—解最值”的过程，为下面的例题提供了解题经验．图７ 图８例２　如图７，已知犇，犈为等边三角形犃犅犆边犃犅，犃犆上的两个动点，且犃犈＝犅犇，连结犆犇，犅犈交于点犘，若等边三角形犃犅犆的边长为２，则点犘运动长为 ．变式　如图８，⊙犗的半径为２，弦犃犅＝槡２２，点犘为优弧犃犅上一点，犅犘⊥犅犆交直线犘犃于犆，则△犃犅犆的最大面积是 ．设计意图　例１中弦所对的圆周角由９０°变成了例２中的１２０°和变式中的４５°，这样就加大了圆心的寻找难度，而且由线段的最值上升到了面积的最值，对学生能力的要求又进了一大步．例２要先证明三角形全等才能得到１２０°，而三角形全等的证明在例１中也讲到，对学生来说又是一次方法的巩固．变式题要从线段和角的关系中才能得到４５°，学生在不同条件和背景的训练中不仅拓展了思维，也掌握了基本的解题方法．例３　如图９，在边长为２的菱形犃犅犆犇中，∠犃＝６０°，犕是犃犇边的中点，犖是犃犅边上一动点，将△犃犕犖沿犕犖所在的直线翻折得到△犃′犕犖，连结犃′犆．则犃′犆长度的最小值是 ．图９ 图１０变式　如图１０，在△犃犅犆中，∠犅犃犆＝９０°，犃犅＝３，犃犆＝４，点犇是犅犆的中点，将△犃犅犇沿犃犇翻折得到△犃犈犇，连结犆犈，则犆犈的长为 ．设计意图　例３是“多点共圆”模型，尽管点在动，但不动的是到定点的距离，即犕犃＝犕犇＝犕犃′．根据“到定点的距离等于定长的点的集合为圆”，隐圆浮出水面．例３又俗称为“鸡爪模型”或“伞型”，通过这个例题让学生在变中找不变的量，明确基本图形进而构建解题模型．变式题是一道中考题，学生之前用别的方法做过，这次看能否在“多点共圆”模型下发掘新方法，对学生是新的挑战．例４　如图１１，△犃犅犆是等边三角形，边长为２，犈犇⊥犃犅，犈犉⊥犃犆，则犃犉＝ ．图１１ 图１２变式　如图１２，线段犅犆的两个端点分别在狓轴与直线犾：狔＝槡３狓上滑动（犅，犆均不与原点犗重合），且犅犆＝２，分别作犅犘⊥狓轴，犆犘⊥直线犾，交点为犘，设点犘的坐标为（犿，狀），则犿２＋狀２＝ ．设计意图　例４是“四点共圆”模型，由双垂直可得．隐圆出现了，再在圆中转换角，题目迎刃·４２· 中学数学月刊 ２０１８年第１１期而解．这个例题能帮助学生明确四点共圆模型的特征，找到基本图形．圆中角的转化及三角函数的设犽法都是解几何图形题常用的方法．变式题是四点共圆模型和定角对定弦模型的综合运用，既是新内容的巩固，又是旧知识的回顾．２．４　总结思路，感悟方法思考　学了上述方法，你能迅速发现“隐圆”吗？你是怎么发现的？请大家写一篇“隐圆的解题反思”，谈谈自己的体会．设计意图　设计这两个问题旨在让学生学习完例题后有自己的反思和总结，进而形成自己的解题经验，而不是专题学习完就结束了．解题反思落实在笔头上，既有利于提高学生分析问题、总结问题的能力，又有利于新知识的吸收、应用和拓展．３　微课的设计和微专题的使用３．１　微课设计的思路和反思（１）合理性“隐圆”问题对学生而言是比较难掌握的问题，此类题目有非常强的综合性和灵活性，学生常会摸不着头脑；学生的层次也参差不齐，个体差异明显．这节课以微课为载体，在形式上比较灵活，学生可以自行选择时间反复观看，并且可以根据自身基础选择学习的广度和深度，扩大传统课堂的教学容量．（２）设计本节课以“模型建立－模型应用－模型总结”为主线，先让学生思考模型的种类，再让学生探究模型形成的依据，进而以例题的形式研究每个模型的特点，最后总结方法．因为是二轮复习，所以在模型应用环节每道例题都配置了变式，变式不仅能对例题进行巩固，还在例题的基础上对知识点和解题方法进行升级，使学生不仅能巩固当天所学而且能拓展思维提升解题能力．变式给学优生的课后拓展提供了素材，也为学困生的延迟学习提供了条件．（３）反思一般情况下微课短小精悍用时少，但本节微课用时比普通微课要长很多．一是“隐圆”这个知识点较难，二是常用的隐圆模型有四种，需配备至少四道例题来巩固．这样一来时间就多了．“微课”不再“微”了，那还是“微课”吗？笔者在设计这节课的时候陷入了两难境地，怎样做到短小精悍又要把知识点讲清楚是每个微课设计者需要思考和挑战的问题．二轮复习知识点繁多，哪些知识点适合以微课为载体也是微课设计者要研究的．此外，微课资源不均衡．以笔者所在的学校和地区为例，苏科版教科书上的每一章节都实现了微课全覆盖，但对于比较综合的专题，目前还在逐渐完善中．学生想要学习一些疑难专题的微课，目前还不能完全实现，这需要教育主管部门集全部一线教师的力量通力合作才能完成．３．２　微专题的使用（１）合理性“微专题”是指一个相关联的、可以单独研究的知识体系或某种数学方法、一个研究主题等．［１］二轮复习不仅要巩固一轮复习的成果，更要有技能方法上的突破，这就需要教师将知识点归类合并，形成若干个微专题供学生进行专项研究，有利于学生构建知识点间的横纵联系，提升解综合题的能力．（２）形式和内容二轮复习以大专题下的小专题形式进行，一个大专题分成几个微专题，这几个微专题既互相独立又彼此联系．微专题一般以变式教学为主．变式教学的核心是“通过变化以突出其中的不变因素”，从而帮助学生更好地掌握数学概念的本质［２］．教学内容上大多选择中考题或教材上习题作为典型例题，以便学生进行中考重难点的突破．（３）反思微专题虽然以例题的形式对知识点进行复习和方法提炼，但它绝对不仅仅是例题的讲解和练习，而应通过例题和变式在讲练过程中提炼方法和模型．微专题也不仅仅是几个类似问题的堆砌，而是递进式地研究知识点相关而层次不同的问题．“微专题”在二轮复习中是常见的模式，它也对教师提出了更高的要求，促使教师苦研究、善归纳，促进了教师更好、更快地专业成长．参考文献［１］　李宽珍．“微专题”引领高效数学复习的思考［Ｊ］．中学教学与管理，２０１５（１０）：６１．［２］　郑毓信．变式理论与认知发展［Ｊ］．中学数学月刊，２００９（１０）：１ ４．·５２·２０１８年第１１期 中学数学月刊 。