4.5利用三角形全等测距离
4.5利用三角形全等测距离
在一次战役中，为了炸毁与我军阵 地隔河相望的敌军碉堡，需要测出我军 阵地到敌军碉堡的距离。由于没有任何 测量工具，我军战士为此绞尽脑汁，这 时一位聪明的战士想出了一个办法，为 成功炸毁碉堡立了一功。
A
D
B
G
E
F
理由：
∵AG⊥BF
DE ⊥BF
∴∠AGE= ∠ DEF=90 °
∵AG=DE ， ∠GAB= ∠EDF
构造全等三角形。一定要依据三 角形全等的条件，要测量的距离 必须与新构造的三角形的一边相 等。利用全等三角形的对应边相 等。
C
做一做
有如图的一个零件，它的设计 图纸不见了，现在想要知道AB的长度，你 有什么办法？ A D
B
C
比一比 课间，小明和小聪在操场上突然争论起来。 他们都说自己比对方长得高，这时数学老师走过来，笑 着对他们说：“你们不用争了，其实你们一样高，瞧瞧 地上，你俩的影子一样长！”如图，你知道数学老师为 什么能从他们的影长相等就断定它们的身高相同？你能 运用全等三角形的有关知识说明一下其中的道理吗？ （假定太阳光线是平行的） 太阳光线
E G
试一试 已知：A，B两点之间被一个池塘隔开， 无法直接测量A，B间的距离，请给出一 个适合可行的方案，画出设计图，说明 依据。
解决办法：
C D D
E
C 1.利用三角形全等测距离，主 要是解决哪些问题？
不能到达或不能直接测量 的两点之间的距离
D
2.利用三角形全等测距离有哪 些方法？ SAS ASA AAS
∴ AB=DE（全等三角形对应角相等）
A
如图所示，要测量A，B间的距离， 垂线 DG，并在DG上找一点E，使A，C， E在一条直线上，这时测得的DE的长 就是A，B间的距离。你能说出这是 为什么吗？
4.5 利用三角形全等测距离
三、应用例析
例2.已知：A、B两点 之间被一个池，说明依 据。
22:13
10
方案1： 见课本P108
❖ 已知的是什么? ❖ 求证的什么?
小明的理由：
在△ABC和 △ DEC中 E
AC=DC, ∠ACB= ∠DCE BC=EC ∴△ABC≌ △ DEC
6
A
？
碉堡距离
步测距离
如图,已知AB ⊥CD于B ,∠1=∠2. 求证：BC=BD.
22:13
7
思考
• 你相信这个故事中的测量方法能够测量出我军与 碉堡的距离吗?
• 那位同学能给大家演示一下这种方法呢？ • 你可以把我们的战士的想法用图示表示出来吗？
和同伴交流你的看法。 • 战士这么测量的依据是什么? • 你能解释其中的道理吗?
解：因为AB∥CD,所以∠B=∠C.
在△BME和△CMF中，
∠B=∠C，BM=CM，∠BME=∠CMF，
所以△BME≌△CMF(ASA)，所以 BE=CF.
故只要测量CF即可得B，E之间的距离.
五、课堂小结
利用三角形全等解决实际问题的一般步骤： ① 先明确实际问题应用那些知识来解决。
② 根据实际问题抽象出几何图形。
∴AB=DE
22:13
•C D
11
B
方案2 ：如图,找一点D,
作直线AM,作BD⊥AD,延
长AD至C,使CD=AD，连结
BC,量BC的长即得AB的长。
M
A
D
C
理由：在Rt △ ADB与Rt △ CDB中
BD=BD ∠ADB=∠CDB AD=CD
∴△ ADB≌ △ CDB(SAS)
∴ BA = BC
七年级数学下册 第四章 三角形 4.5 利用三角形全等测距离作业设计 (新版)北师大版-(新版)北师
4.5 利用三角形全等测距离一．选择题（共3小题）1．如图，工人师傅常用“卡钳”这种工具测定工件内槽的宽．卡钳由两根钢条AA′、BB′组成，O为AA′、BB′的中点．只要量出A′B′的长度，由三角形全等就可以知道工件内槽AB的长度．那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是（）（第1题图）A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS2．一块三角形玻璃样板不慎被小强同学碰破，成了四片完整四碎片（如图所示），聪明的小强经过仔细的考虑认为只要带其中的两块碎片去玻璃店就可以让师傅画一块与以前一样的玻璃样板．你认为下列四个答案中考虑最全面的是（）（第2题图）A．带其中的任意两块去都可以B．带1、2或2、3去就可以了C．带1、4或3、4去就可以了D．带1、4或2、4或3、4去均可3．如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB=AD，BC=DC．将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE 就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC≌△ADC，这样就有∠QAE=∠PAE．则说明这两个三角形全等的依据是（）（第3题图）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS二．填空题（共3小题）4．如图，黄芳不小心把一块三角形的玻璃打成三块碎片，现要带其中一块去配出与原来完全一样的玻璃，正确的办法是带来第块去配，其依据是根据定理（可以用字母简写）（第4题图）5．小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带第块．（第5题图）6．如图，有两个长度相同的滑梯（即BC=EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则∠ABC+∠DFE=度．（第6题图）三．解答题（共10小题）7．小强为了测量一幢高楼高AB，在旗杆CD与楼之间选定一点P．测得旗杆顶C视线PC与地面夹角∠DPC=36°，测楼顶A视线PA与地面夹角∠APB=54°，量得P到楼底距离PB 与旗杆高度相等，等于10米，量得旗杆与楼之间距离为DB=36米，小强计算出了楼高，楼高AB是多少米？（第7题图）8．某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的：①在河流的一条岸边B点，选对岸正对的一棵树A；②沿河岸直走20步有一树C，继续前行20步到达D处；③从D处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的E处停止行走；④测得DE的长就是河宽AB．请你证明他们做法的正确性．（第8题图）9．在△ABC中，∠B=45°，∠C=30°，点D是BC上一点，连接AD，过点A作AG⊥AD，在AG上取点F，连接DF．延长DA至E，使AE=AF，连接EG，DG，且GE=DF．（1）若AB=2，求BC的长；（2）如图1，当点G在AC上时，求证：BD=CG；（3）如图2，当点G在AC的垂直平分线上时，直接写出的值．（第9题图）10．在湖的两岸A、B间建一座观赏桥，由于条件限制，无法直接度量A、B两点间的距离．请你用学过的数学知识按以下要求设计一测量方案．（1）画出测量图案；（2）写出测量步骤（测量数据用字母表示）；（3）计算AB的距离（写出求解或推理过程，结果用字母表示）．（第10题图）11．（1）如图1，以△A BC的边AB、AC为边分别向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接EG，试判断△ABC与△AEG面积之间的关系，并说明理由．（2）园林小路，曲径通幽，如图2所示，小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石铺成．已知中间的所有正方形的面积之和是a平方米，内圈的所有三角形的面积之和是b 平方米，这条小路一共占地多少平方米．（第11题图）12．（1）作图发现.如图1，已知△ABC，小涵同学以AB、AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE．连接BE，CD．这时他发现BE与CD的数量关系是．（2）拓展探究如图2．已知△ABC，小涵同学以AB、AC为边向外作正方形ABFD和正方形ACGE，连接BE，CD，试判断BE与CD之间的数量关系，并说明理由．（3）解决问题如图3，要测量池塘两岸相对的两点B，E的距离，已经测得∠ABC=45°，∠CAE=90°，AB=BC=200米．AC=AE，则BE=米．（第12题图）13．如图，A、B两建筑物位于河的两岸，为了测量它们的距离，可以沿河岸作一条直线MN，且使MN⊥AB于点B，在BN上截取BC=CD，过点D作DE⊥MN，使点A、C、E在同一直线上，则DE的长就是A、B两建筑物之间的距离，请说明理由．（第13题图）14．课间，小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉到两墙之间，如图，求证：△ADC≌△CEB．（第14题图）15．如图，为了测量一池塘的宽AB，在岸边找到一点C，连接AC，在AC的延长线上找一点D，使得DC=AC，连接BC，在BC的延长线上找一点E，使得EC=BC，测出DE=60m，试问池塘的宽AB为多少？请说明理由．（第15题图）16．为了测量一幢高楼高AB，在旗杆CD与楼之间选定一点P．测得旗杆顶C视线PC与地面夹角∠DPC=38°，测楼顶A视线PA与地面夹角∠APB=52°，量得P到楼底距离PB与旗杆高度相等，等于8米，量得旗杆与楼之间距离为DB=33米，计算楼高AB是多少米？（第16题图）参考答案一．1．A2．D3．D二．4．③； ASA5．26．90三．7．解：∵∠CPD=36°，∠APB=54°，∠CDP=∠ABP=90°，∴∠DCP=∠APB=54°.在△CPD和△PAB中∵，∴△CPD≌△PAB（ASA），∴DP=AB，∵DB=36，PB=10，∴AB=36﹣10=26（m），答：楼高AB是26米．8．证明：如图，由做法知：在Rt△ABC和Rt△EDC中，∴Rt△ABC≌Rt△EDC（ASA）∴AB=ED即他们的做法是正确的．9．解：（1）如图1中，过点A作AH⊥BC于点H．∴∠AHB=∠AHC=90°，在RT△AHB中，∵AB=2，∠B=45°，∴BH=AB•cosB=2×=2，AH=AB•sinB=2，在RT△AHC中，∵∠C=30°，∴AC=2AH=4，CH=AC•cosC=2，∴BC=BH+CH=2+2．（2）证明：如答图1中，过点A作AP⊥AB交BC于P，连接PG，∵AG⊥AD，∴∠DAF=∠EAC=90°，在△DAF和△GAE中，，∴△DAF≌△GAE，∴AD=AG，∴∠BAP=90°=∠DAG，∴∠BAD=∠PAG，∵∠B=∠APB=45°，∴AB=AP，在△ABD和△APG中，，∴△ABD≌△APG，∴BD=PG，∠B=∠APG=45°，∴∠GPB=∠GPC=90°，∵∠C=30°，∴PG=GC，∴BD=CG．（3）如答图2中，作AH⊥BC于点H，AC的垂直平分线交AC于P，交BC于M．则AP=PC，在RT△AHC中，∵∠ACH=30°，∴AC=2AH，∴AH=AP，在RT△AHD和RT△APG中，，∴△AHD≌△APG，∴∠DAH=∠GAP，∵GM⊥AC，PA=PC，∴MA=MC，∴∠MAC=∠MCA=∠MAH=30°，∴∠DAM=∠GAM=45°，∴∠DAH=∠GAP=15°，∴∠BAD=∠BAH﹣∠DAH=30°，作DK⊥AB于点K，设BK=DK=a，则AK=a，AD=2a，∴==，∵AG=CG=AD，∴=．（第9题答图）10．解：（1）如答图.（2）在湖岸上选一点O，连接BO并延长到C使BO=OC，连接AO并延长到点D使OD=AO，连接CD，则AB=CD．测量DC的长度即为AB的长度；（3）设DC=m.∵BO=CO，∠AOB=∠COD，AO=DO∴△AOB≌△COD （SAS）∴AB=CD=m．（第10题答图）11．解：（1）△ABC与△AEG面积相等．理由：过点C作CM⊥AB于M，过点G作GN⊥EA交EA延长线于N，则∠AMC=∠ANG=90°，∵四边形ABDE和四边形ACFG都是正方形，∴∠BAE=∠CAG=90°，AB=AE，AC=AG，∵∠BAE+∠CAG+∠BAC+∠EAG=360°，∴∠BAC+∠EAG=180°，∵∠EAG+∠GAN=180°，∴∠BAC=∠GAN，在△ACM和△AGN中，，∴△ACM≌△AGN，∴CM=GN，∵S△ABC=AB•CM，S△AEG=AE•GN，∴S△ABC=S△AEG，（2）由（1）知外圈的所有三角形的面积之和等于内圈的所有三角形的面积之和．∴这条小路的面积为（a+2b）平方米．（第11题答图）12．解：（1）如答图1.∵△ABD和△ACE都是等边三角形，∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即∠CAD=∠EAB，在△CAD和△EAB中，∵，∴△CAD≌△EAB（SAS），∴BE=CD；（2）BE=CD，理由同（1），∵四边形ABFD和ACGE均为正方形，∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=90°，∴∠CAD=∠EAB，∵在△CAD和△EA B中，，∴△CAD≌△EAB（SAS），∴BE=CD；（3）如图3，由（1）、（2）的解题经验可知，过A作等腰直角△ABD，∠BAD=90°，则AD=AB=200米，∠ABD=45°，∴BD=200米，连接CD，BD，则由（2）可得BE=CD，∵∠ABC=45°，∴∠DBC=90°，在Rt△DBC中，BC=200米，BD=200米，根据勾股定理得：CD==200（米），则BE=CD=200米．故答案为：200．（第12题答图）13．解：∵AB⊥MN，∴∠ABC=90°，同理∠EDC=90°，∴∠ABC=∠EDC，在△ABC和△EDC中∴△ACB≌△ECD（ASA），∴AB=DE．14．课间，小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉到两墙之间，如图，求证：△ADC≌△CEB．（第14题答图）证明：由题意得：AC=BC，∠ACB=90°，AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC=∠CEB=90°∴∠ACD+∠BCE=90°，∠ACD+∠DAC=90°，∴∠BCE=∠DAC，在△ADC和△CEB中，∵，∴△ADC≌△CEB（AAS）．15．解：AB=60米．理由如下：∵在△ABC和△DEC中，，∴△ABC≌△DEC（SAS），∴AB=DE=60（米），则池塘的宽AB为60米．16．解：∵∠CPD=38°，∠APB=52°，∠CDP=∠ABP=90°，∴∠DCP=∠APB=52°.在△CPD和△PAB中∵，∴△CPD≌△PAB（ASA），∴DP=AB，∵DB=33，PB=8，∴AB=33﹣8=25（m），答：楼高AB是25米．。
《第四章5利用三角形全等测距离》作业设计方案-初中数学北师大版12七年级下册
《利用三角形全等测距离》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业旨在通过《利用三角形全等测距离》的学习，使学生能够：1. 理解三角形全等的概念和条件；2. 掌握利用三角形全等测量距离的方法；3. 培养学生的空间想象能力和实际操作能力；4. 提高学生的数学应用意识和解决问题的能力。
二、作业内容本作业内容主要包括以下几个方面：1. 理论学习：学生需认真阅读教材中关于三角形全等的理论知识，理解全等三角形的定义及判定条件。
2. 实例分析：学生需通过实例分析，掌握如何运用三角形全等的知识来测量距离，例如通过标志物、建筑物等形成三角形关系进行距离计算。
3. 实践操作：学生需利用课堂所学知识，选择合适地点进行实地操作练习，例如在学校、家中或公园等地测量两个地点之间的距离。
4. 归纳总结：学生在完成实践操作后，需对所测量的数据进行整理，总结出利用三角形全等测量距离的步骤和注意事项。
三、作业要求为保证作业的完成质量和效果，特提出以下要求：1. 理论学习部分要求学生对全等三角形的概念和判定条件有清晰的认识，并能准确表述；2. 实例分析部分要求学生能够结合实际问题，灵活运用所学知识进行分析和计算；3. 实践操作部分要求学生按照规范步骤进行操作，确保测量数据的准确性；4. 归纳总结部分要求学生对所测量的数据进行分析，总结出有效的测量方法和经验教训。
四、作业评价本作业的评价将从以下几个方面进行：1. 理论学习评价：评价学生对全等三角形概念和判定条件的掌握程度；2. 实例分析评价：评价学生运用所学知识进行实例分析的能力和准确性；3. 实践操作评价：评价学生实际操作的能力和测量数据的准确性；4. 归纳总结评价：评价学生对所测数据的整理和分析能力，以及总结出的经验和教训。
五、作业反馈本作业完成后，教师将对学生的作业进行批改和评价，并根据学生的完成情况和存在的问题进行针对性的指导和讲解。
同时，学生也需要根据教师的反馈意见进行反思和总结，以便更好地掌握所学知识和提高自己的能力。
北师大版七年级数学下册教学课件4.5利用三角形全等测距离
练习
3.如图所示小明设计了一种测工件内径AB的卡钳，问：在卡钳的设计中，
AO、BO、CO、DO 应满足下列的哪个条件？（ D ）
A.AO=CO
B.BO=DO C.AC=BD D.AO=CO且BO=DO
A D
O
C B
练习
4.如图所示，已知AC=DB，AO=DO，CD=100 m，则A，B两点间的距离
故三角形△AOE≌△BOF, BF＝AE,从而DE＝CF, 因此只要测出BF, CF即可知AE, DE的长度了.
【归纳】利用全等三角形来测量不能直 接测量的距离,关键是构造全等三角形.
练习
1. 如图要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB 的垂线BF上取两 点C、D，使CD=BC，再定出BF的垂线DE，可以证明△EDC≌△ABC ，得ED=AB，因此，测得ED的长就是AB的长.判定△EDC≌△ABC的 理B 由是( )
解：因为AB∥CD,所以∠B=∠C. 在△BME和△CMF中， ∠B=∠C，BM=CM，∠BME=∠CMF， 所以△BME≌△CMF(ASA)，所以BE=CF. 故只要测量CF即可得B，E之间的距离.
练习
6、如图，要测量河两岸两点A、B间的距离，可用什么方法？并说明这样做的合理性 ．
解：方法：在AB的垂线BE上取两点C、D，使CD＝BC。
我们学过哪些全等三角形的判定方法？
活动1 自主探究1
∴△ABC≌△FDC（ASA）
连接BC并延长到E,使CE＝CB.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
如图所示小明设计了一种测工件内径AB的卡钳，问：在卡钳的设计中，AO、BO、CO、DO 应满足下列的哪个条件？（ ）
在地上取一个可以直接到达A、B点的点O，连接AO并延长到C，使AO=CO；
《第四章5利用三角形全等测距离》作业设计方案-初中数学北师大版12七年级下册
《利用三角形全等测距离》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业设计旨在巩固学生对三角形全等概念的理解，并熟练掌握利用三角形全等测距离的技巧，增强学生的空间想象力和实践能力，为学生今后解决实际问题打下坚实基础。
二、作业内容作业内容主要包括以下几个部分：1. 理论知识回顾：要求学生复习三角形全等的定义和判断方法，如SSS、SAS、ASA等全等条件，加深对全等三角形性质的理解。
2. 基础练习：设计一系列练习题，包括选择题、填空题和简答题，重点训练学生判断三角形全等的能力，并能够根据全等三角形的性质进行简单的计算。
3. 实践操作：提供具体的测距情境，要求学生运用所学知识，通过实地测量或绘图，利用三角形全等原理测量指定距离。
具体可以设计为两个活动：- 活动一：测量校园内两个点之间的距离。
学生需要先画出示意图，再根据实地情况确定两个点，并利用三角形全等原理测量出距离。
- 活动二：绘制图形并标注数据。
学生需根据所给条件绘制出符合要求的三角形，并标注出必要的测量数据，以验证三角形全等的条件。
4. 拓展延伸：设计一些更具挑战性的问题，如通过多边形中某些边的关系求证多边形内的两点间距离等问题，激发学生自主探索和解决问题的能力。
三、作业要求1. 理论知识回顾部分要求学生务必熟悉全等三角形的相关概念和性质。
2. 基础练习部分要求学生认真完成，对每一道题目都要进行充分的思考和计算。
3. 实践操作部分要求学生按照活动要求进行实地测量或绘图，并准确记录测量数据和计算结果。
同时，学生需在作业中附上详细的步骤说明和解释。
4. 拓展延伸部分鼓励学生自主探索和创新，尝试解决更具挑战性的问题。
如有困难，可查阅相关资料或请教老师。
四、作业评价1. 教师根据学生完成作业的情况，给予相应的评价和指导。
评价内容包括理论知识的掌握程度、解题思路的正确性、计算结果的准确性以及实践操作的规范性等方面。
2. 对于优秀的学生作品，可以在班级内进行展示和交流，以激发学生的积极性和自信心。
4.5_利用三角形全等测距离教案
4．5利用三角形全等测距离1．复习并归纳三角形全等的判定及性质；2．能够根据三角形全等测定两点间的距离，并解决实际问题．(重点，难点)一、情境导入如图，A、B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长．他叔叔帮他出了一个这样的主意：先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接AC并延长到D，使CD＝AC.连接BC并延长到E，使CE＝CB.连接DE并测量出它的长度，你知道其中的道理吗？二、合作探究探究点：利用三角形全等测量距离【类型一】利用三角形全等测量物体的高度与楼之间选定一点P.测得旗杆顶C视线PC与地面夹角∠DPC＝36°，测楼顶A视线P A与地面夹角∠APB＝54°，量得P到楼底距离PB与旗杆高度相等，等于10米，量得旗杆与楼之间距离为DB＝36米，小强计算出了楼高，楼高AB是多少米？解析：根据题意可得△CPD≌△P AB(ASA)，进而利用AB＝DP＝DB－PB求出即可．解：∵∠CPD＝36°，∠APB＝54°，∠CDP＝∠ABP＝90°，∴∠DCP＝∠APB＝54°.在△CPD和△P AB中，∵∠CDP＝∠ABP，DC＝PB，∠DCP＝∠APB，∴△CPD≌△P AB(ASA)，∴DP＝AB.∵DB＝36米，PB＝10米，∴AB＝36－10＝26(米)．答：楼高AB是26米．方法总结：在现实生活中会遇到一些难以直接测量的距离问题，可以利用三角形全等将这些距离进行转化，从而达到测量目的．【类型二】利用三角形全等测量物体的内径要测量圆形工件的外径，工人师傅设计了如图所示的卡钳，点O为卡钳两柄交点，且有OA＝OB＝OC＝OD，如果圆形工件恰好通过卡钳AB，则此工件的外径必是CD的长，其中的依据是全等三角形的判定条件()A．SSS B．SASC．ASA D．AAS解析：如图，连接AB、CD.在△ABO和△DCO中，OA＝OD，∠AOB＝∠DOC，OB＝OC，∴△ABO≌△DCO(SAS)，∴AB＝CD.故选B.方法总结：利用全等三角形的对应边来测量不能直接测量的距离，关键是构造全等三角形．【类型三】与三角形全等测量距离相关的方案设计问题量方案(画出图形)，并说明测量步骤和依据．解析：本题让我们了解测量两点之间的距离的一种方法，设计时，只要符合全等三角形全等的条件，方案具有可操作性，需要测量的线段在陆地一侧可实施，就可以达到目的．解：在平地任找一点O，连OA、OB，延长AO至C使CO＝AO，延BO至D，使DO＝BO，则CD＝AB，依据是△AOB≌△COD(SAS)．方法总结：在解决方案设计探究问题时，符合条件的方案设计往往有多种，解题的关键在于通过分析，将实际问题转化为数学模型，构造出全等三角形进行解决．【类型四】利用三角形全等解决实际问题要使孔口从墙壁对面的B点处打开，墙壁厚是35cm，B点与O点的铅直距离AB长是20cm，工人师傅在旁边墙上与AO水平的线上截取OC＝35cm，画CD⊥OC，使CD＝20cm，连接OD，然后沿着DO的方向打孔，结果钻头正好从B点处打出，这是什么道理呢？请你说出理由．解析：由OC与地面平行，确定了A，O，C三点在同一条直线上，通过说明△AOB≌△COD可得D，O，B三点在同一条直线上．解：∵OC＝35cm，墙壁厚OA＝35cm，∴OC＝OA.∵墙体是垂直的，∴∠OAB＝90°.又∵CD⊥OC，∴∠OAB＝∠OCD＝90°.在△OAB和△OCD中，∠OAB＝∠OCD＝90°，OC＝OA，∠AOB＝∠COD，∴△OAB≌△OCD(ASA)，∴DC＝AB.∵DC＝20cm，∴AB＝20cm，∴钻头正好从B点出打出．三、板书设计1．利用全等三角形测量距离的依据“SAS”“ASA”“AAS”2．运用三角形全等解决实际问题通过实例引入课堂教学，激发学生的探究兴趣，从而了解到全等三角形在实际生活中的应用．在小组间的合作探究过程中，要鼓励学生大胆设想，充分展开联想，对三角形全等的利用进行深层的探究与学习，培养学生的创造性和独立解决问题的能力。
数学北师大版七年级下册45利用三角形全等测距离精品PPT课件
▪
如图，A、B是一条河流两岸的相对的两个点；要
测量A、B之间的距离，有人沿河岸m从B点走到C点，
再继续走到D点，使得DC=BC，然后从D点沿垂直于河
岸的DE方向走到E，发现点E、C、A在同一直线上，
于是他说“量出DE的长度，就知道了河岸AB的宽度”，
你知道这是为什么吗？
A
m BD C E
【当堂训练】2
如图，要测量工件内径，无法直接测量， 现在把两根钢条AB,CD的中点连在一起， 可以做成一个测量内槽宽的工具（卡钳）。 只要量得AC的长度，就可以知道内径BD 的长，你能说明其中道理吗？
【当堂训练】3
四【延伸拓展】1
▪ 实践活动：请使用各组的工具，设计方案测量 出各组容器的内径。
四【延伸拓展】2
四【延伸拓展】3
提问与解答环节
Questions And Answers
谢谢聆听
·学习就是为了达到一定目的而努力去干, 是为一个目标去 战胜各种困难的过程,这个过程会充满压力、痛苦和挫折
Learning Is To Achieve A Certain Goal And Work Hard, Is A Process To Overcome Various Difficulties For A Goal
什么？（结合图形写出）
▪ （4）你能解释其中的的理由吗？
合作探究 1
合作探究1
合作探究1
合作探究 2
▪ 如图：A、B两点分别位于一个池塘的两端，小 明想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长。 你能帮小明设计一个方案，解决此了一个这样的主意：先在地上取一 个可以直接到达A点和B点的点C，连接AC并延 长到D，使CD=AC；连接BC并延长到E，使 CE=CB；连接DE并测量出它的长度；
4.5 利用三角形全等测距离(分层练习)(解析版)
第四章 三角形4.5 利用三角形全等测距离精选练习一、单选题1．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，红红书上的三角形被墨迹污染了一部分，她根据所学的知识很快就画了一个与书上完全一样的三角形，那么红红画图的依据是（ ）A ．SSSB ．SASC ．ASAD ．AAS 【答案】C 【分析】由题意可知：被墨迹污染了的三角形保留了完整的两角及其夹边，于是可根据ASA 进行判断.【详解】解：由题意可知：被墨迹污染了的三角形保留了完整的两角及其夹边，可根据ASA 画出一个与书上完全一样的三角形；故选：C.【点睛】本题考查了全等三角形的判定，正确理解题意、熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.2．（2023春·全国·七年级专题练习）庆阳湖国家水利风景区位于甘肃省庆阳市西峰区，依托庆阳市城市雨洪集蓄工程而建，景区规划面积211km，其中水域面积20.43km ，属于城市河湖型水利风景区，亿万年前，这里是一个巨大的史前湖泊，范围之大，难以想象．如图，小明利用全等三角形的知识测量庆阳湖两端M 、N 的距离，若PQO NMO △≌△，则只需测出其长度的线段是（ ）A．PO B．PQ C．MO D．MQ【答案】B【分析】根据全等三角形的性质求解即可．△≌△，【详解】解：∵PQO NMO=，∴MN PQ∴要测量出M、N的距离，只需要测出线段PQ的长度即可，故选B．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，熟知全等三角形对应边相等是解题的关键．3．（2022秋·广西南宁·八年级南宁三中校考期中）如图，要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C、D，使BC＝CD，再作出BF的垂线DE，使点A、C、E在同一条直线上（如图），可以说明△ABC≌△EDC，得AB＝DE，因此测得DE的长就是AB的长，判定△ABC≌△EDC，最恰当的理由是（ ）A．SAS B．HL C．SSS D．ASA【答案】D【分析】根据全等三角形的判定进行判断，注意看题目中提供了哪些证明全等的要素，要根据已知选择判断方法．【详解】解：因为证明在△ABC≌△EDC用到的条件是：CD＝BC，∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD，所以用到的是两角及这两角的夹边对应相等即ASA这一方法．故选：D．【点睛】此题考查了全等三角形的应用，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，做题时注意选择．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．4．（2022秋·浙江·八年级专题练习）如图，为了测量池塘两岸相对的A，B两点之间的距离，小明同学在池塘外取AB的垂线BF上两点C，D，BC=CD，再画出BF的垂线DE，使点E与A，C在同一条直线上，可得△ABC ≌△EDC ，从而DE =AB ．判定△ABC ≌△EDC 的依据是（ ）A ．ASAB ．SASC ．AASD ．SSS 【答案】A 【分析】根据全等三角形的判定进行判断，注意看题目中提供了哪些证明全等的要素，要根据已知选择判断方法．【详解】解：在△ABC 和△EDC 中：90ABC EDC BC CD ACB ECD Ð=Ð=°ìï=íïÐ=Ðî，∴△ABC ≌△EDC （ASA ）．故选：A ．【点睛】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．5．如图，将两根钢条AA ¢，BB ¢的中点O 连在一起，使AA ¢，BB ¢可绕点O 自由转动，就做成了一个测量工件，则A B ¢¢的长等于内槽宽AB ，那么判定OAB OA B ¢¢△≌△的理由是（ ）A ．边角边B ．角边角C ．边边边D ．角角边【答案】A 【分析】由已知有OA OA ,OB OB ¢¢==，且对顶角相等，则由SAS 可判断OAB OA B ¢¢△≌△，从而问题解决．【详解】由已知OA OA ,OB OB ¢¢==∵AOB A OB ¢¢Ð=Ð∴OAB OA B ¢¢△≌△(SAS )故选：A ．【点睛】本题考查了全等三角形的应用，掌握全等三角形的几个判定方法是关键．6．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上，则两个木桩离旗杆底部的距离BD 与CD 的距离间的关系是（ ）A ．BD CD>B ．BD CD <C ．BD CD =D ．不能确定【答案】C 【分析】根据“两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上”可以判断AB AC =，又AD AD =，AD BC ^，所以ABD ACD @△△，所以BD CD =．【详解】解：AD BC ^Q ，90ADB ADC \Ð=Ð=°，由AB AC =，AD AD =，()ABD ACD HL \@△△，BD CD \=．故选：C ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质的应用；充分运用题目条件，图形条件，寻找三角形全等的条件．本题关键是证明ABD ACD @△△．二、填空题7．（2022秋·江苏南通·八年级校考阶段练习）如图，小明书上的三角形被墨水污染了，他根据所学知识画出了完全一样的一个三角形，他的依据是__．【答案】ASA【分析】根据图形，未污染的部分两角与这两角的夹边可以测量，然后根据全等三角形的判定方法解答即可．【详解】解：小明书上的三角形被墨水污染了，他根据所学知识画出了完全一样的一个三角形，他根据的定理是：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（ASA ）．故答案为：ASA ．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．8．（2022秋·广东河源·八年级校考期末）如图，要测量水池宽AB ，可从点A 出发在地面上画一条线段AC ，使AC AB ^，再从点C 观测，在BA 的延长线上测得一点D ，使ACD ACB Ð=Ð，这时量得120m AD =，则水池宽AB 的长度是__m ．【答案】120【分析】利用全等三角形的性质解决问题即可．【详解】AC BD ^Q ，90CAD CAB \Ð=Ð=°，CA CA =Q ，ACD ACB Ð=Ð，()ACD ACB ASA \D @D ，120AB AD m \==，故答案为120．【点睛】本题考查全等三角形的应用，解题关键是理解题意，正确寻找全等三角形解决问题．9．（2020秋·北京·八年级校考期中）小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块）你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形?应该带______．依据__________________．【答案】 2 角边角【分析】应先假定选择哪块，再对应三角形全等判定的条件进行一一验证．【详解】解：（1）1、3、4块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去，只有第2块有完整的两角及夹边，故应带第2块；（2）第2块具备三角形全等的要素两角及夹边，所紧依据是角边角；故答案为：2；角边角．【点睛】此题主要考查三角形全等的判定，看这4块玻璃中哪个包含的条件符合某个判定．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．10．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的两边分别在坐标轴上，8OA cm =，12OC cm =．点P 是线段CB 上的动点，从点C 出发，以2/cm s 的速度向点B 作匀速运动；点Q 在线段OC 上，从点O 出发向点C 作匀速运动且速度是点P 运动速度的a 倍，若用(),a t 来表示运动t 秒时AOQ D 与QCP D 全等，写出满足AOQ D 与QCP D 全等时(),a t 的所有情况_____________．三、解答题11．（2020秋·安徽铜陵·八年级铜陵市第二中学校考阶段练习）如图，ABF △≌CDE V ，已知30B Ð=°，25DCF Ð=°，求EFC Ð的度数．【答案】55°【分析】由全等三角形的对应角相等知∠B=∠D=30°，然后由三角形外角定理来求∠EFC 的度数．【详解】解：∵ABF △≌CDE V ，B D Ð=Ð．又∵30B Ð=°，∴30D Ð=°．∵25DCF Ð=°，∴55EFC D DCF Ð=Ð+Ð=°．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质．全等三角形的对应边相等及全等三角形的对应角相等是解题的关键．12．（2020秋·江苏南通·八年级校联考阶段练习）如图，AD=CB ，AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，E 、F 是垂足，AE=CF ．求证：（1）AB=CD（2）AB//CD ．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）利用HL 得到直角三角形ADE 与直角三角形CBF 全等，利用全等三角形的对应边相等得到DE=BF ，可得DF=BE ，利用SAS 得到三角形AEB 与三角形CFD 全等，利用全等三角形的对应边相等即可得证；（2）由全等三角形的对应角相等得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行即可得证．【详解】证明：（1）AE BD ^Q ，CF BD^B 90AEB CFD AED CF \Ð=Ð=Ð=Ð=°AE CF =Q ，AD CB=()Rt ADE CBF HL \D @D∴DE=BFDE BD BD BF\-=-BE DF\=∵AEB CFD Ð=Ð，AE CF=∴ABE CDF D @D （SAS ）∴AB=CD ；（2）∵ABE CDFD @D ∴Ð=ÐABE CDF//AB CD\【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．一、填空题1．（2020秋·吉林长春·八年级校考阶段练习）如图，在ABC V 中，AB AC =，BD CD =，点E ，F 是AD 上的任意两点、若8BC =，6AD =，则图中阴影部分的面积为__________．【答案】12【分析】利用SSS 证明△ADC ≌△ADB ，可得△ABD 的面积=△ACD 的面积，通过拼接可得阴影部分的面积=△ABD 的面积，再利用三角形的面积公式可求解．2．（2022秋·全国·八年级假期作业）如图，小明用7块高度都是1cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放一个等腰直角三角尺ABC，点C在DE上，点A，B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为______cm．【答案】7【分析】根据题意可得AC=BC，∠ACB=90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到∠ADC=∠CEB=90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE=∠DAC，再证明△ADC≌△CEB即可，利用全等三角形的性质进行解答．【详解】解：由题意得：AC=BC，∠ACB=90°，AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC=∠CEB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，∠ACD+∠DAC=90°，∴∠BCE=∠DAC，在△ADC和△CEB中，ADC CEB DAC BCE AC BC Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴△ADC ≌△CEB （AAS ）；由题意得：AD =EC =2cm ，DC =BE =5cm ，∴DE =DC +CE =7（cm ），所以两堵木墙之间的距离为7cm ．故答案为：7【点睛】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件．3．（2020秋·北京海淀·八年级海淀实验中学校考期中）教材中有如下一段文字：思考：如图，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆出△ABC ，固定住长木棍，转动短木棍，得到△ABD ，这个实验说明了什么？如图中的△ABC 与△ABD 满足两边和其中一边的对角分别相等，即AB ＝AB ，AC ＝AD ，∠B ＝∠B ，但△ABC 与△ABD 不全等．这说明，有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等．小明通过对上述问题的再思考，提出：两边分别相等且这两边中较大边所对的角相等的两个三角形全等．请你判断小明的说法_____．（填“正确”或“不正确”）【答案】正确【分析】根据题意画出图形，写出已知条件，然后可得∠ACG ＝∠DFH ，进而可根据全等三角形的性质与判定进行分析问题．【详解】解：小明的说法正确．理由：如图，△ABC 和△DEF 中，AB ＞AC ，ED ＞DF ，AB ＝DE ，AC ＝DF ，∠ACB ＝∠DFE ，作AG ⊥BC 于G ，DH ⊥EF 于H ．∵∠ACB ＝∠DFE ，∴∠ACG ＝∠DFH ，在△ACG 和△DFH 中，G H ACG DFH AC DF Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴△ACG ≌△DFH ，∴AG ＝DH ，在Rt △ABG 和Rt △DEH 中，AB DE AG DH =ìí=î，∴△ABG ≌△DEH ，∴∠B ＝∠E ，在△ABC 和△DEF 中，B E ACB DFE AB DE Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴△ABC ≌△DEF ．（当△ABC 和△DEF 是锐角三角形时，证明方法类似）．故答案为正确．【点睛】本题主要考查直角三角形全等的判定及三角形全等的性质与判定，熟练掌握直角三角形全等的判定及三角形全等的性质与判定是解题的关键．4．（2022秋·云南昭通·八年级统考期中）如图，CA BC ^，垂足为C ，2cm =AC ，8cm BC =，射线BM CB ^，垂足为B ，动点P 从点C 出发，以1cm /s 的速度设射线CB 运动，N 为射线BM 上一动点，随着点P 运动而运动，且始终满足PN AB =．设点P 的运动时间为t ()0t >，当t =______s 时，BCA V 与PBN V 全等．【答案】6或10或16【分析】根据题意可分点P 在点B 的左侧和右侧进行分类求解即可．【详解】解：设点P 的运动时间为t 秒，由题意得：cm CP t =，①当点P 在点B 的左侧时，且满足2AC BP cm ==，∵PN AB =，∴ACB PBN V V ≌HL （），∵cm CP t =，∴()8cm BP t =-，即82t -=，解得：6t =；②当点P 在点B 的右侧时，且满足2AC BP cm ==，则ACB PBN V V ≌，∴()8cm BP t =-，即82t -=，解得：10t =；③当点P 在点B 的右侧时，且满足8BC BP cm ==，则ACB NBP V V ≌，∴()8cm BP t =-，即88t -=，解得：16t =；综上所述：当t 为6或10或16秒时，BCA D 与PBN D 全等．故答案为6或10或16．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．CD= 5．（2023秋·河南新乡·八年级统考期末）如图，已知四边形ABCD中，12AB=厘米，8BC=厘米，14Ð=Ð，点E为线段AB的中点．如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，厘米，B C同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为______厘米/秒时，能够使BPEV与以C、P、Q三点所构成的三角形全等．二、解答题6．（2023春·全国·七年级专题练习）（1）如图1，在四边形ABCD 中，12090AB AD BAD B ADC =Ð=°Ð=Ð=°，，，E ，F 分别是BC CD ，上的点，且60EAF Ð=°，请猜想图中线段BE EF FD ，，之间的数量关系，并证明你的猜想．（2）如图2，在新修的小区中，有块四边形绿化ABCD ，四周修有步行小径，且180AB AD B D =Ð+Ð=°，，在小径BC CD ，上各修一凉亭E ，F ，在凉亭E 与F 之间有一池塘，不能直接到达经测量得到12EAF BAD Ð=Ð，10BE =米，15DF =米，试求两凉亭之间的距离EF ．【答案】（1）EF BE FD =+，证明见解析；（2）25米【分析】（1）延长FD 到点G ，使DG BE =，连接AG ，利用SAS 证明ABE ADG ≌△△，推出AE AG BAE DAG =Ð=Ð，，再证明()SAS AEF AGF △△≌，据此即可得到EF BE FD =+；（2）延长CD 至H ，使DH BE =，连接AH ，利用SAS 证明ADH ABE ≌△△，推出AE AH BAE DAH =Ð=Ð，，再证明()SAS AEF AGF △△≌，据此计算即可求解．【详解】解：（1）猜想：EF BE FD =+，证明：如图1，延长FD 到点G ，使DG BE =，连接AG ，∵90180ADC ADC ADG Ð=°Ð+Ð=°，，∴90ADG Ð=°，在ABE V 和ADG △中，BE DG B ADG AB AD =ìïÐ=Ðíï=î，∴()SAS ABE ADG △△≌，∴AE AG BAE DAG =Ð=Ð，，∵60120EAF BAD Ð=°Ð=°，，∴1206060BAE DAF Ð+Ð=°-°=°，∴60GAF DAG DAF BAE DAF EAF Ð=Ð+Ð=Ð+Ð=°=Ð，在AEF △和AGF V 中，AE AG EAF GAF AF AF =ìïÐ=Ðíï=î，∴()SAS AEF AGF △△≌，∴EF FG =，∵FG DG DF BE DF =+=+，∴EF BE DF =+；（2）如图2，延长CD 至H ，使DH BE =，连接AH ，∵180,B ADC Ð+Ð=°∴ADH B Ð=Ð，在ADH V 和ABE V 中，∴(SAS ADH ABE ≌△△7．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的：①在河流的一条岸边B 点，选对岸正对的一棵树A ；②沿河岸直走20m 有一树C ，继续前行20m 到达D 处；③从D 处沿河岸垂直的方向行走，当到达A 树正好被C 树遮挡住的E 处时停止行走；④测得DE 的长为6米．根据他们的做法，回答下列问题：(1)河的宽度是多少米？(2)请你证明他们做法的正确性．【答案】(1)6米(2)见解析【分析】（1）根据全等三角形对应角相等可得AB DE =；（2）利用“角边角”证明ABC V 和EDC △全等，再根据全等三角形对应边相等解答．【详解】（1）由数学兴趣小组的做法可知，AB DE =，故河宽为6米（2）由题意知90ABC CDE Ð=Ð=°，20BC CD ==米又∵光沿直线传播∴ACB ECDÐ=Ð又∵在ABC V 和EDC △中ABC CDE BC CDACB ECD Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî∴ABC EDC △△≌ASA （）∴AB DE =．即他们的做法是正确的．【点睛】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．8．（2023·全国·九年级专题练习）【问题情境】如图，池塘的两端有A ，B 两点，现需要测量该池塘的两端A ，B 之间的距离，需要如何进行呢？【方案解决】同学们想出了如下的两种方案：方案①：如图1，先在平地上取一个可直接到达A ，B 的点C ，再连接AC ，BC ，并分别延长AC 至点D ，BC 至点E ，使DC AC =，EC BC =，最后量出DE 的距离就是AB 的距离；方案②：如图2，过点B 作AB 的垂线BF ，在BF 上取C ，D 两点，使BC CD =．接着过点D 作BD 的垂线DE ，在垂线上选一点E ，使A ，C ，E 三点在一条直线上，则测出DE 的长即是AB 的距离．(1)方案①是否可行？请说明理由；(2)方案②是否可行？请说明理由；(3)李明同学提出在方案②中，并不一定需要BF AB ^，DE BF ^，只需要__________就可以了，请把李明所说的条件补上．【答案】(1)方案①可行，理由见解析(2)方案②可行，理由见解析(3)AB DE ∥．【分析】（1）利用SAS 定理证明ABC DEC ≌△△可得AB DE =；（2）利用ASA 定理证明ABC DEC ≌△△可得AB DE =；（3）AB DE ∥，可得B BDE Ð=Ð，利用ASA 定理证明ABC DEC ≌△△可得AB DE =．【详解】（1）可行，理由如下：在ABC V 和DEC V 中，AC DC ACB ECD CB EC =ìïÐ=Ðíï=î，()ABC DEC SAS \≌△△，AB DE \=；（2）可行，理由如下：BF AB ^Q ，DE BF ^，B BDE \Ð=Ð，在ABC V 和DEC V 中，B CDE CB CDBCA DCE Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，()ABC DEC ASA \V V ≌，AB DE \=；（3）只需AB DE ∥即可，AB DE ∥Q ，B BDE \Ð=Ð，在ABC V 和EDC △中，B CDE CB CDBCA DCE Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，()ABC EDC ASA \V V ≌，AB DE \=，故答案为：AB DE ∥．【点睛】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是掌握全等三角形的判定与性质．。
4-5 利用三角形全等测距离-2022-2023学年七年级数学下册同步精品课件(北师大版)
∴AB=DE；
A．SAS
B．ASA C．AAS D．SSS
【详解】
△OAB与△OA′B′中，
∵AO=A′O，∠AOB=∠A′OB′，BO=B′O，
∴△OAB≌△OA′B′（SAS）．
故选A
要测量河岸相对两点A、B的距离，已知AB垂直于河岸BF，先在BF上取两点C、D，使
CD=CB，再过点D作BF的垂线段DE，使点A、C、E在一条直线上，如图，测出BD=10，
(2)请你证明他们做法的正确性．
如图，某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师带领下不用涉水过河就测得河的宽度，
他们是这样做的：
①在河流的一条岸边B点，选对岸正对的一棵树A；
②沿河岸直走20m有一树C，继续前行20m到达D处；
③从D处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的E处时停止行走；
判定两个三角形全等的方法：
三边分别相等相等的两个三角形全等。（即 “边边边”或“SSS”）
两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。（即 “边角边”或“SAS”）
两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等。（即 “角边角”或“ASA”）
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。
（即 “角角边”或“AAS”）
他们是这样做的：
①在河流的一条岸边B点，选对岸正对的一棵树A；
②沿河岸直走20m有一树C，继续前行20m到达D处；
③从D处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的E处时停止行走；
④测得DE的长为6米．
根据他们的做法，回答下列问题：
(1)河的宽度是多少米？（1）由数学兴趣小组的做法可知，AB=DE，故河宽为6米
北师大七年级下4.5利用三角形全等测距离课件(共28张PPT)
课后作业
Listen attentively
∴△CPD≌△PAB（ASA）， ∴DP=AB， ∵DB=33，PB=8， ∴AB=33﹣8=25（m）， 答：楼高AB是25米．
解：如图所示：连接AC，BD， 在△ODB和△OCA中，
课后作业
Listen attentively
∴△ODB≌△OCA（SAS）， ∴BD=AC． 故只要测量A，C的距离， 就可以知道玻璃容器的内径．
课后作业
Listen attentively
7．（2016春•府谷县期末）如图，A、B两建筑物位 于河的两岸，为了测量它们的距离，可以沿河岸作 一条直线MN，且使MN⊥AB于点B，在BN上截取 BC=CD，过点D作DE⊥MN，使点A、C、E在同一直 线上，则DE的长就是A、B两建筑物之间的距离， 请说明理由． 解：∵AB⊥MN，∴∠ABC=90°， 同理∠EDC=90°∴∠ABC=∠EDC， 在△ABC和△EDC中
课后作业
Listen attentively
4．要测量圆形工件的外径，工人师傅设计了如图 所示的卡钳，点O为卡钳两柄交点，且有 OA=OB=OC=OD，如果圆形工件恰好通过卡钳AB， 则此工件的外径必是CD之长了，其中的依据是全 等三角形的判定条件（B） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
课堂精讲
Listen attentively
再作出BF的垂线DE，使A、C、E在一条直线上， ∵∠ACB=∠ECD，CB=CD，∠ABC=∠EDC， ∴△EDC≌△ABC（ASA）． ∴DE=BA． 答：测出DE的长就是A、B之间的距离．
《第四章5利用三角形全等测距离》作业设计方案-初中数学北师大版12七年级下册
《利用三角形全等测距离》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本课作业旨在通过练习和实际操作，使学生能够：1. 理解三角形全等的概念及其在现实生活中的应用。
2. 掌握利用三角形全等测量距离的基本方法。
3. 培养学生的空间想象能力和实际操作能力。
二、作业内容本课作业主要包括理论练习和实际操作两部分。
（一）理论练习1. 基础概念练习：让学生复习三角形全等的定义及全等三角形的性质。
2. 案例分析：提供几个利用三角形全等测距离的实例，让学生分析其应用过程。
（二）实际操作1. 实地测量任务：要求学生选择校园内的一个场景，利用三角形全等原理，实地测量两点之间的距离，并记录测量过程和结果。
2. 制作报告：学生需将实地测量的过程和结果整理成书面报告，包括测量步骤、所使用的工具、测量结果及误差分析等。
三、作业要求1. 理论练习部分：学生需认真完成案例分析，理解并掌握三角形全等测距离的原理和方法。
2. 实际操作部分：学生需在保证安全的前提下，按照测量步骤进行实地测量，确保测量结果的准确性。
报告需详细记录测量过程和结果，字迹工整，条理清晰。
3. 提交方式：学生需在规定时间内将书面报告交给老师，同时将实地测量的照片或视频（如有）一并提交，以便老师了解学生的实际操作情况。
4. 作业评分：老师将根据学生的理论练习完成情况、实地测量的准确性和报告的完整性、条理性等方面进行评分。
四、作业评价1. 过程评价：老师将关注学生在完成作业过程中的态度、合作能力和实际操作能力，给予相应的指导和建议。
2. 结果评价：老师将根据学生的理论练习和实地测量的结果，以及报告的完整性、条理性等方面进行评价，给出相应的分数。
3. 反馈机制：老师将对学生的作业进行详细批改，指出存在的问题和不足，提出改进建议，帮助学生更好地掌握知识和技能。
五、作业反馈1. 对于学生在作业中表现出的优点和亮点，老师将在课堂上进行表扬和鼓励，激发学生的学习兴趣和自信心。
2. 对于学生在作业中存在的问题和不足，老师将通过个别指导、小组讨论等方式进行辅导和帮助，确保学生能够及时纠正错误，提高学习效果。
4.5利用三角形全等测距离
B之间的距离呢？
把你的设计方案在图上画出来，并与你的同伴
交流你的方案，看看谁是方案更便捷。
在能够到达A、B的空地上取一适
●
当点C，连接AC，并延长AC到D，使 A
●
B
CD=AC，连接BC，并延长BC到E，
C●
方 使CE=BC，连接ED。则只要测出 案 ED的长就可以知道AB的长了。 一理由如下: 在△ACB与△DCE中，
B
C
证明: 在△ACB与△ECD中，
BC＝DC ∠ABC＝ ∠EDC ∠ACB＝ ∠ECD
△ABC≌△ECD ( ASA)
AB＝ED
E G
方法总结：垂直法
想一想 如图所示，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小
明想用绳子测量A，B间的距离但绳子不够长，一个叔叔 帮他出了这样一个主意：先在地上取 一个可以直接到达A点和B点的点C， 连接AC并延长到D，使CD＝CA； 连接BC并延长到E，使CE＝CB， 连接DE并测量出它的长度，DE的长 度就是AB间的距离. 你能说明其中的道理吗?
融合应用
1.某大学计划为新生配备如图①所示的折叠凳．图②是折叠凳撑
开后的侧面示意图(木条等材料宽度忽略不计)，其中凳腿AB和
CD的长相等，O是它们的中点．为了使折叠凳坐着舒适，厂家
将撑开后的折叠凳宽度AD设计为30 cm，则由以上信息可推得
CB的长度也为30 cm，依据是( )
A．SAS
B．ASA
在一次战役中，我军阵地 与敌军碉堡隔河相望.为了炸掉 这个碉堡，需要知道碉堡与我 军阵地的距离.在不能过河测量 又没有任何测量工具的情况下，一个战士想出来这样
一个办法：他面向碉堡的方向站好，然后调整帽子，使 视线通过帽檐正好落在碉堡的底部；然后，他转过一个 角度，保持刚才的姿态，这时视线落在了自己所在岸的 某一点上；接着，他用步测的办法量出自己与那个点的 距离，这个距离就是他与碉堡间的距离.
七年级数学利用三角形全等测距离
§4.5利用三角形全等测距离一、教材分析1．本节内容属于北师大版（2011版）七年级数学下册第四章第五节的内容，位于本册书的第108页至109页（包括练习题）．2．通过本节课的学习，可以加深对三角形全等理解。
此外，本节课与我们日常生活有着密切的联系，因此学习这部分内容有着广泛的现实意义．3．教科书以一个真实的故事引出三角形全等的应用.现实的例子引起学生的兴趣，引发他们去思考，并尝试用三角形全等条件来解决问题.这一节内容教科书中较强调学生动脑和动手相结合，鼓励学生在解决问题的过程中有条理的思考和表达.4．本节课设计了八个教学环节：复习回顾，创设情境，探究新知，学以致用，课堂练习，拓展延伸，课堂小结，布置作业．二、学情分析学生的知识技能基础：学生在本章的前几节内容中已经学习了“三角形”，“全等三角形”以及“探索三角形全等的条件”。
尤其是通过探索三角形全等，得到了“边边边”，“角边角”，“角角边”，“边角边”定理，用这些定理能够判断两个三角形是否全等,掌握了这些知识，学生就具备了“利用三角形全等测距离”的理论基础．学生的活动经验基础：学生在前几节内容中已经经历过解决实际问题的过程，具备了一定的分析问题和解决问题的活动经验．三、教法学法分析本节课的教学中主要渗透以下几个方面的做法。
一是创设问题情景，充分调动学生求知欲，并以此来激发学生的探究心理。
二是运用启发式教学方法，就是把教和学的各种方法综合起来运用于教学过程中。
三是注意在探究问题时留给学生充分的时间，以利于开放学生的思维．四、教学目标知识目标：能利用三角形的全等解决实际问题，体会数学与实际生活的联系．数学思考：1.通过生动、有趣、现实的例子,引发他们去思考,并能在利用三角形全等解决实际问题的过程中进行有条理的思考和表达．2.能利用三角形全等解决实际生活中的“不可测距离”问题，体会数学与实际生活的联系．问题解决：1. 通过让学生体会教科书中提供的情境,明白战士的具体做法,并尝试思考其中的道理．2.会构造全等三角形解决问题．情感与态度：1. 通过生动、有趣、现实的例子激发学生的兴趣,体会数学的应用价值．2.通过情境创设，激发学生的积极性，感受数学与生活的密切联系；在学生合作交流解决问题的过程中，培养学生的合作精神，锻炼口头表达能力．五、教学重难点教学重点：构造全等三角形,将实际问题转化为数学问题.教学难点：能在解决问题的过程中进行有条理的思考和表达.六、教学过程（一）复习回顾1.判断两个三角形全等的条件有：（1）： SSS ；（2）： ASA ；（3）： AAS ；（4）： SAS ；2.全等三角形有什么性质是？（1）全等三角形的对应边相等（2）全等三角形的对应角相等意图：温习与本节有关的知识，帮助基础较弱或掌握不牢的学生巩固旧知识，同时也是本节课的理论基础，为学习新内容作铺垫．（二）创设情境如何用两根等长的木条，一把刻度尺，测量玻璃瓶的内径？（抽象为几何模型）意图：激发学生学习兴趣，向学生进一步渗透数学源于生活，也为生活服务。
4.5利用三角形全等测距离(教案)
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解全等三角形的定义及其判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS）。
-学会运用全等三角形的性质解决实际问题，特别是利用全等三角形测距离的方法。
-掌握在实际测量中，如何根据已知条件和全等三角形的性质，构建全等关系，从而求解未知距离。
4.5利用三角形全等测距离（教案）
一、教学内容
本节课选自八年级下册《几何》第四章“全等三角形”的4.5节“利用三角形全等测距离”。教学内容主要包括：了解全等三角形的性质和判定方法，掌握利用全等三角形测距离的方法。具体内容包括：
1.熟悉全等三角形的定义和性质，如SSS、SAS、ASA、AAS等全等判定方法。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调全等三角形的判定方法和在实际测量中的应用这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与全等三角形测距离相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示如何利用全等三角形的基本原理进行距离测量。
五、教学反思
在今天的教学中，我尝试了通过实际问题引入全等三角形的概念，让学生们感受到几何学的实际应用。我发现，当学生们能够将新知识与现实生活联系起来时，他们对学习内容更感兴趣，也更愿意主动参与课堂讨论。
课堂上，我注意到在讲解全等三角形的判定方法时，有些学生对于SSS、SAS等判定条件的理解还存在困难。于是，我及时调整了教学方法，通过举例和画图，让学生更直观地感受全等三角形的性质。在接下来的时间里，我会继续关注这部分学生的学习情况，适时给予个别辅导，帮助他们突破这个难点。
4.5 利用三角形全等测距离.5利用全等三角形测距离
4.5 利用三角形全等测距离
复习引入
1.要证明两个三角形全等应有哪些必要条件？
（1）“SSS”：三边对应相等的两个三角形全等. （2）“ASA”：两角和它们的夹边对应相等的两个三 角形全等. （3）“AAS”：两角和其中一角的对边对应相等的两个 三角形全等.
2、你能用所学知识说明你设计方案的理由 是什么吗？
先在地上取一个可以直接到达点A和B的点C， 连接AC并延长到D，使AC=CD，连接BC并延长到 E，使CE=CB，连接DE并测量出它的长度，测得 DE的长度就是A、B 间的距离. · A · · E
·
B
C
·
D
1、你能设计出其它的方案来吗？（构建全等三角形）
【规律总结】
利用三角形全等测距离的四个步骤 (1)先定方法：即确定根据哪一判别方法构造三角形全等. (2)画草图：根据实际问题画出草图. (3)结合图形和题意确定已知条件. (4)证明说理.
巩固训练 1. 如图要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在
AB 的垂线BF上取两点C、D，使CD=BC，再定出
(1)在引例中，“保持刚才的姿态”你是怎样理解的？
直立姿态和帽檐不动 答：___________________. 直角 ；帽檐不 (2)直立的姿态从而保证了两个三角形中的两个_____ 夹角 不变. 动，保证了视线和身体的_____ (3)要说明图中两个三角形全等，已知两角，则还差一边，即
身高不变 _________.
BF的垂线DE，可以证明△EDC≌△ABC，得
ED=AB，因此，测得ED的长就是AB的长。判定
4.5 利用三角形全等测距离1
4.4利用三角形全等测距离练习题一、选择题（共15小题）1．根据已知条件作符合条件的三角形，在作图过程中主要依据是（）A．用尺规作一条线段等于已知线段； B．用尺规作一个角等于已知角C．用尺规作一条线段等于已知线段和作一个角等于已知角；D．不能确定答案：C解析：解答：根据已知条件作符合条件的三角形，需要使三角形的要素符合要求，或者是作边等于已知线段，或者是作角等于已知角，故选C。
分析：作一个三角形等于已知的三角形，其根本就是作边与角，属于基本作图。
2．已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形时，第一步骤应为（）A．作一条线段等于已知线段B．作一个角等于已知角C．作两条线段等于已知三角形的边，并使其夹角等于已知角D．先作一条线段等于已知线段或先作一个角等于已知角答案：D解析：解答：已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形，可以先A法，也可以先B法，但是都不全面，因为这两种方法都可以，故选D。
分析：作一个三角形等于已知的三角形，有多种方法，本题是其中的两边及夹角作图，用的是ASA判定定理。
3．用尺规作一个直角三角形，使其两条直角边分别等于已知线段时，实际上已知的条件是（）A．三角形的两条边和它们的夹角； B．三角形的三条边C．三角形的两个角和它们的夹边； D．三角形的三个角答案：A解析：解答：已知作一个直角三角形，就包含着一个条件是直角了。
又要使其直角边等于已知线段，恰好是SAS法作三角形，故A。
分析：作一个三角形等于已知的三角形，有多种方法，本题是其中的两边夹直角作图，用的是SAS判定定理。
4．已知三边作三角形时，用到所学知识是（）A．作一个角等于已知角 B．作一个角使它等于已知角的一半C．在射线上取一线段等于已知线段 D．作一条直线的平行线或垂线答案：C解析：解答：已知三边作三角形时，用到的三角形的判定方法是SSS定理，而第一条边的作法，需要在射线上截取一条线段等于已知的线段。
故C。
分析：作一个三角形等于已知的三角形，有多种方法，本题是其中的三边作图，用的是SSS 判定定理。
4. 5 利用三角形全等测距离
24cm，CF= 3cm，则制成整个金属框架所需这种材料
的长度为( C )。 A. 51 cm B. 48 cm
C. 45 cm
D. 54 cm
解析: 因为BF = EC, 所以BF+FC = CE+FC, 即BC = EF， 所以所需材料的长度为：24×2 – 3 = 45 cm。
又因为∠B =∠E, AB = DE, 所以△ABC≌△DEF(SAS)，
A. 8
C. 10
B. 9
D. 11
解析：因为O 是 AAʹ、BBʹ 的中点，所以OA= OAʹ， OB = OBʹ，∠AOB =∠AʹOBʹ(对顶角相等)，所以 △AOB≌△ AʹOBʹ (SAS)， AʹBʹ ≈ AB = 9 cm。
3. 如图, 已知 AC = DB, AO = DO, CD = 100 m，则A，
解析: 如果要满足△CAP ≌△PBQ，已知AB = 12 m，
AC = 4 m，只需BQ = AP = 8 m，每分走 2 m，需要4分。
6. 要测量圆形工件的外径，工人师傅设计了如图的卡钳，
点O为卡钳两柄交点，且有OA = OB = OC = OD，如果
圆形工件恰好通过卡钳AB，则此工件的外径必是CD之
左边滑梯的高度 AC 与右边滑梯水平方向的长 DF 相等，
则下列结论正确的有 ( C ) 个。
(1) AB = DE；
(2)∠ABC +∠DFE = 90º ；
(3)∠ABC =∠DEF。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 解析： 因为BC = EF， AC = DF，所以 Rt△ABC≌ Rt△DEF(HL), 即选项中的结论都成立。
长了，其中的依据是全等三角形的判定条件( D )。 A. SSS B. ASA
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C
D
2.利用三角形全等测距离 C 有哪些方法？
做一做
有如图的一个零件，它的设计图纸不见了， 现在想要知道AB的长度，你有什么办法？
A
O C D
B
你能运用全等三角形的有关知识说明一下其中的道理吗？
课间，小明和小聪在操场上突然争论起来。他们 都说自己比对方长得高，这时数学老师走过来，笑着 对他们说：“你们不用争了，其实你们一样高，瞧瞧 地上，你俩的影子一样长！”如图，你知道数学老师 为什么能从他们的影长相等就断定它们的身高相同？ 你能运用全等三角形的有关知识说明一下其中的道理 吗？ （假定太阳光线是平行的） 太阳光线
∵
∴ AB=DE（全等三角形对应边相等）
试一试
已知：A，B两点之间被一个池塘隔开， 无法直接测量A，B间的距离， 请给出一个适合可行的方案， 画出设计图，说明依据。
解决办法：
C D E
C D
E
1.利用三角形全等测距离，主要是解决哪些问题？ 2.利用三角形全等测距离有哪些方法？
解决办法：
Hale Waihona Puke 1.利用三角形全等测距离， 主要是解决哪些问题？ D
利用三角形全等测距离
如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子 测量A，B间的距离，但绳子不够长，一个叔叔帮他出了这 样一个主意：先在地上取一个可以直接到达点A和点B的点 C，连接AC并延长到D，使CD=AC；连接BC并延长到E，使 CE=CB，连接DE并测量出它的长度，DE的长就是A，B间的 距离。 你能说明其中的道理吗？请把你的思路写下来。 解：在△ABC与△DEC 中 AC＝DC（已知） ∠ACB＝∠DCE（对顶角相等） BC＝EC（已知） ∴ △ABC ≌ △DEC (SAS)
比 一 比
你们其实一样高，瞧瞧， 你们的影子一样长！
小 结 建模
利用三角形全等测距离 收 获 与 感 受
方案
SSS SAS AAS ASA
谈 谈 你 本 节 课 的
作业
习题 4.10
1、第1题（109页） 2、(课本118页18题)
你能说明其中的道理吗？请把你的思路写下来。 探索：
A
解：在△ABC与△ABD 中 ∠ABC ＝ ∠ABD AB ＝ AB ∠CAB ＝ ∠DAB ∴ △ABC ≌ △DEC (ASA) ∴ BC = BD （全等三角形对应边相等）
C
B
D
方法
建模
在地面上想测量不可以直接到达的两点间 的距离，可以通过建立一个有关于全等三角形 的数学模型，利用三角形全等的知识，由测量 可以直接到达的两点间的距离，得到不可以直 接到达的两点间的距离。
探索：
1.全等三角形的性质及判定条件 2.在下列各图中，以最快的速度画出一个三角形，
使它与△ABC全等，比比看谁快！
C A A B
B
B
C
C
A
问题情境：
在一次战役中，为了炸毁与 我军阵地隔河相望的敌军碉堡， 需要测出我军阵地到敌军碉堡的距离。 由于没有任何测量工具，我军战士为此 绞尽脑汁，这时一位聪明的战士想出了一个 办法，为成功炸毁碉堡立了一功。