【原创】广州市2016届高三下学期高考数学模拟试题精选汇总：立体几何02 Word版含答案

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【原创】广州市2016届高三下学期高考数学模拟试题精选汇总：函数01 Word版含答案

函数01一、选择题1 ．已知函数12x f (x )x ,g(x )x ,h(x )x ln x =-=+=+的零点分别为x 1，x 2，x 3，则（）A ．x 1<x 2<x 3B ．x 2<x 1<x 3C ．x 3<x 1<x 2D ．x 2<x 3<x 12 ．己知函数1f (x )+是偶函数，当1x (,)∈-∞时，函数f (x )单调递减，设1122a f (),b f (),c f ()=-=-=，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．c<a<bB ．a<b<cC ．a<c<bD ．c<b<a3 ．定义在R 上的函数满足，当时，，则（）（）A ．B ．C ．D ．4 ．已知函数的图象如图所示则函数的图象是（）5 ．函数的定义域为（）（）A ．B ．C ．D ．6 ．设函数1()ln (0)3f x x x x =->,则函数()f x（）A ．在区间(0,1)(1,)+∞，　内均有零点B ．在区间(0,1)(1,)+∞，　内均无零点C ．在区间(0,1)内有零点,在区间(1,)+∞内无零点D ．在区间(0,1)内无零点,在区间(1,)+∞内有零点7 ．定义在R 上的奇函数f(x),当x≥0时,f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧+∞∈∈+）,1[3-x -1)1,0[x ），1x （log 21x ,则关于x 的函数F(x)=f(x)-a(0<a<1)的所有零点之和为（）A ．2a -1B ．1-2aC ．2-a -1D ．1-2-a8 ．设)(x f 是定义在R 上的周期函数,周期为4=T ,对R x ∈都有)()(x f x f =-,且当]0,2[-∈x 时,121)(-⎪⎭⎫⎝⎛=xx f ,若在区间]6,2(-内关于x 的方程)2(log )(+-x x f a =0)1(>a 恰有3个不同的实根,则a 的取值范围是（）A ．(1,2)B ．),2(+∞C ．()4,1D ．()32,4本卷共12小题,共110分.9 ．已知函数()=ln f x x ，则函数()=()'()g x f x f x -的零点所在的区间是（）A ．（0,1）B ．（1,2）C ．（2,3）D ．（3,4）10．定义域为R 的函数()f x 满足(+2)=2()f x f x ，当x ∈[0，2)时，2|x-1.5|-,[0,1)()=-(0.5),[1,2)x x x f x x ⎧∈⎨∈⎩若[-4,-2]x ∈时，1()-42t f x t ≥恒成立，则实数t 的取值范围是（）A ．[-2，0)(0，l)B ．[-2，0) [l ，+∞)C ．[-2，l]D ．(-∞，-2](0，l]11．在下列区间中，函数()=+43xf x e x -的零点所在的区间为（）A ．（1-4，0） B ．（0，14） C ．（14，12） D ．（12，34）12．定义在R 上的偶函数f(x),当x ∈[0,+∞)时,f(x)是增函数,则f(-2),f(π),f(-3)的大小关系是（） A ．f(π)>f(-3)>f(-2) B ．f(π)>f(-2)>f(-3)C ．f(π)<f(-3)<f(-2)D ．f(π)<f(-2)<f(-3)13．偶函数f （x ）满足(1)(1)f x f x +=-，且在x ∈[0，1]时，f （x ）=x 2，则关于x 的方程f （x ）=x⎪⎭⎫⎝⎛101在10[0,]3上根的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．5个14．设5log 4a =, 25(log 3)b =,4log 5c =，则（）A ．a<c<bB ．b<c<aC ．a<b<cD ．b a c <<15．设函数1(1)|-1|)=1(=1)x x f x x ⎧≠⎪⎨⎪⎩（，若关于x 的方程2[()]+()+c=0f x bf x 有三个不同的实数根123,,x x x ，则222123++x x x 等于（）A ．13B ．5C ．223c +2c D ．222b +2b16．函数()f x 的定义域为R ，若(1)f x +与(1)f x -都是奇函数，则（）A ．()f x 是偶函数B ．()f x 是奇函数C ．()(2)f x f x =+D ．(3)f x +是奇函数17．给定函数①12=y x-，②23+3=2xx y -，③12=log |1-|y x ，④=sin2xy π，其中在(0,1)上单调递减的个数为（） A ．0B ．1 个C ．2个 D ．3个18．已知定义在区间[0,2]上的函数=()y f x 的图象如图所示，则=(2-)y f x 的图象为19．已知函数()()2531m f x m m x --=--是幂函数且是()0,+∞上的增函数，则m 的值为（）A ．2B ．－1C ．－1或2D ．020．已知函数2342013()12342013x x x x f x x =+-+-++,2342013()12342013x x x x g x x =-+-+--,设函数()(3)(4)F x f x g x =+⋅-,且函数()F x 的零点均在区间),,](,[Z ∈<b a b a b a 内,则-b a 的最小值为（）A ．8B ．9C ．10D ．1121．函数21(0)()(1)(0)x x f x f x x -⎧-≤=⎨->⎩若方程()f x x a =+有且只有两个不等的实数根,则实数a 的取值范围为（）A ．(-∞,0)B ．[0,1)C ．(-∞,1)D ．[0,+∞)22．函数x x x f 2log 12)(+-=的零点所在的一个区间是（）A ．⎪⎭⎫⎝⎛41,81 B ．⎪⎭⎫⎝⎛21,41 C ．⎪⎭⎫⎝⎛1,21 D ．)2,1(23．若直角坐标平面内的两点P 、Q 满足条件：①P 、Q 都在函数)(x f y =的图像上；②P 、Q关于原点对称，则称点对[P ,Q]是函数)(x f y =的一对“友好点对”（注：点对[P ,Q]与[Q,P]看作同一对“友好点对”）.已知函数⎩⎨⎧≤-->=)0(4)0(log )(22x x x x x x f ，则此函数的“友好点对”有（）A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对答案 1. D 2. A3. 【答案】D【解析】由题意可知，函数的图象关于y 轴对称，且周期为2，故可画出它的大致图象，如图所示：∵且,而函数在是减函数， ∴，选D.4. 【答案】A【解析】由函数的两个根为.x a x b ==，图象可知01,1a b <<<-。

2016年数学立体几何高考试题及答案

2016年数学立体几何高考试题及答案1.如图所示，PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点.(1)求证：MN∥平面PAD.(2)求证：MN⊥CD.(3)若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD.2如图，四棱锥P﹣ABCD中，AP⊥平面PCD，AD∥BC，AB=BC=AD，E，F分别为线段AD，PC的中点．（Ⅰ）求证：AP∥平面BEF；（Ⅱ）求证：BE⊥平面PAC．解答证明：（Ⅰ）连接CE，则∵AD∥BC，BC=AD，E为线段AD的中点，∴四边形ABCE是平行四边形，BCDE是平行四边形，设AC∩BE=O，连接OF，则O是AC的中点，∵F为线段PC的中点，∴PA∥OF，∵PA⊄平面BEF，OF⊂平面BEF，∴AP∥平面BEF；（Ⅱ）∵BCDE是平行四边形，∴BE∥CD，∵AP⊥平面PCD，CD⊂平面PCD，∴AP⊥CD，∴BE⊥AP，∵AB=BC，四边形ABCE是平行四边形，∴四边形ABCE是菱形，∴BE⊥AC，∵AP∩AC=A，∴BE⊥平面PAC．3如图，在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5．求证：（1）直线PA∥平面DEF；（2）平面BDE⊥平面ABC．解答：证明：（1）∵D、E为PC、AC的中点，∴DE∥PA，又∵PA⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，∴PA∥平面DEF；（2）∵D、E为PC、AC的中点，∴DE=PA=3；又∵E、F为AC、AB的中点，∴EF=BC=4；∴DE2+EF2=DF2，∴∠DEF=90°，∴DE⊥EF；∵DE∥PA，PA⊥AC，∴DE⊥AC；∵AC∩EF=E，∴DE⊥平面ABC；∵DE⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABC．4如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，AD=PA=2，CD=2，E、F分别是AB、PD 的中点．（1）求证：AF∥平面PCE；（2）求证：平面PCE⊥平面PCD；（3）求四面体PEFC的体积．解答：解：（1）证明：设G为PC的中点，连接FG，EG，∵F为PD的中点，E为AB的中点，∴FG CD，AE CD∴FG AE，∴AF∥GE∵GE⊂平面PEC，∴AF∥平面PCE；（2）证明：∵PA=AD=2，∴AF⊥PD又∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD，∵AD⊥CD，PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD，∵AF⊂平面PAD，∴AF⊥CD．∵PD∩CD=D，∴AF⊥平面PCD，∴GE⊥平面PCD，∵GE⊂平面PEC，∴平面PCE⊥平面PCD；（3）由（2）知，GE⊥平面PCD，所以EG为四面体PEFC的高，又GF∥CD，所以GF⊥PD，EG=AF=，GF=CD=，S△PCF=PD•GF=2．得四面体PEFC的体积V=S△PCF•EG=．5如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD．E和F分别是CD和PC的中点，求证：（Ⅰ）PA⊥底面ABCD；（Ⅱ）BE∥平面PAD；（Ⅲ）平面BEF⊥平面PCD．解答：解：（Ⅰ）∵PA⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，由平面和平面垂直的性质定理可得PA⊥平面ABCD．（Ⅱ）∵AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，E和F分别是CD和PC的中点，故四边形ABED为平行四边形，故有BE∥AD．又AD⊂平面PAD，BE不在平面PAD内，故有BE∥平面PAD．（Ⅲ）平行四边形ABED中，由AB⊥AD可得，ABED为矩形，故有BE⊥CD ①．由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥AB，再由AB⊥AD可得AB⊥平面PAD，∴CD⊥平面PAD，故有CD⊥PD．再由E、F分别为CD和PC的中点，可得EF∥PD，∴CD⊥EF ②．而EF和BE是平面BEF内的两条相交直线，故有CD⊥平面BEF．由于CD⊂平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD．6如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱A1A⊥底面ABC，且各棱长均相等．D，E，F分别为棱AB，BC，A1C1的中点．（Ⅰ）证明：EF∥平面A1CD；（Ⅱ）证明：平面A1CD⊥平面A1ABB1；（Ⅲ）求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值．解答：证明：（I）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC∥A1C1，AC=A1C1，连接ED，可得DE∥AC，DE=AC，又F为棱A1C1的中点．∴A1F=DE，A1F∥DE，所以A1DEF是平行四边形，所以EF∥DA1，DA1⊂平面A1CD，EF⊄平面A1CD，∴EF∥平面A1CD（II）∵D是AB的中点，∴CD⊥AB，又AA1⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，∴AA1⊥CD，又AA1∩AB=A，∴CD⊥面A1ABB1，又CD⊂面A1CD，∴平面A1CD⊥平面A1ABB1；（III）过B作BG⊥A1D交A1D于G，∵平面A1CD⊥平面A1ABB1，且平面A1CD∩平面A1ABB1=A1D，BG⊥A1D，∴BG⊥面A1CD，则∠BCG为所求的角，设棱长为a，可得A1D=，由△A1AD∽△BGD，得BG=，在直角△BGC中，sin∠BCG==，∴直线BC与平面A1CD所成角的正弦值．7如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B1=A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点（点D 不同于点C），且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证：（1）平面ADE⊥平面BCC1B1；（2）直线A1F∥平面ADE．解答：解：（1）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，∴CC1⊥平面ABC，∵AD⊂平面ABC，∴AD⊥CC1又∵AD⊥DE，DE、CC1是平面BCC1B1内的相交直线∴AD⊥平面BCC1B1，∵AD⊂平面ADE∴平面ADE⊥平面BCC1B1；（2）∵△A1B1C1中，A1B1=A1C1，F为B1C1的中点∴A1F⊥B1C1，∵CC1⊥平面A1B1C1，A1F⊂平面A1B1C1，∴A1F⊥CC1又∵B1C1、CC1是平面BCC1B1内的相交直线∴A1F⊥平面BCC1B1又∵AD⊥平面BCC1B1，∴A1F∥AD∵A1F⊄平面ADE，AD⊂平面ADE，∴直线A1F∥平面ADE．8如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC=45°，AD=AC=1，O 为AC中点，PO⊥平面ABCD，PO=2，M为PD中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面ACM；（Ⅱ）证明：AD⊥平面PAC；（Ⅲ）求直线AM与平面ABCD所成角的正切值．解答：解：（I）证明：连接BD，MO在平行四边形ABCD中，因为O为AC的中点，所以O为BD的中点，又M为PD的中点，所以PB∥MO因为PB⊄平面ACM，MO⊂平面ACM所以PB∥平面ACM（II）证明：因为∠ADC=45°，且AD=AC=1，所以∠DAC=90°，即AD⊥AC又PO⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以PO⊥AD，AC∩PO=O，AD⊥平面PAC （III）解：取DO中点N，连接MN，AN因为M为PD的中点，所以MN∥PO，且MN=PO=1，由PO⊥平面ABCD，得MN⊥平面ABCD所以∠MAN是直线AM与平面ABCD所成的角．在Rt△DAO中，，所以，∴，在Rt△ANM中，==即直线AM与平面ABCD所成的正切值为9三棱锥P﹣ABC中，PC⊥平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一点，且CD⊥平面PAB．（1）求证：AB⊥平面PCB；（2）求二面角C﹣PA﹣B的大小的余弦值．解答：（1）证明：∵PC⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，∴PC⊥AB．∵CD⊥平面PAB，AB⊂平面PAB，∴CD⊥AB．又PC∩CD=C，∴AB⊥平面PCB．（2）解：取AP的中点O，连接CO、DO．∵PC=AC=2，∴C0⊥PA，CO=，∵CD⊥平面PAB，由三垂线定理的逆定理，得DO⊥PA．∴∠COD为二面角C﹣PA﹣B的平面角．由（1）AB⊥平面PCB，∴AB⊥BC，又∵AB=BC，AC=2，求得BC=PB=，CD=∴cos∠COD=．1111AD上一点，且AP＝a3，过B1，D1，P的平面交底面ABCD于PQ，Q在直线CD上，则PQ＝________.2．如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，∠ADC＝90°，且AA1＝AD＝DC＝2，M∈平面ABCD，当D1M⊥平面A1C1D时，DM＝________.3．如图，在底面是矩形的四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝2，BC＝4，E是PD的中点．(1)求证：平面PDC⊥平面PAD；(2)求点B 到平面PCD 的距离；4．如图，PO ⊥平面ABCD ，点O 在AB 上，EA ∥PO ，四边形ABCD 为直角梯形，BC ⊥AB ，BC ＝CD ＝BO ＝PO ，EA ＝AO ＝12CD .(1)求证：BC ⊥平面ABPE ；(2)直线PE 上是否存在点M ，使DM ∥平面PBC ，若存在，求出点M ；若不存在，说明理由．5．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为DD 1、DB 的中点．(1)求证：EF ∥平面ABC 1D 1； (2)求证：EF ⊥B 1C ；(3)求三棱锥B 1－EFC 的体积．6．如图，四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝BC＝1，AB＝2，AB∥DC，∠BCD＝90°(1)求证：PC⊥BC(2)求点A到平面PBC的距离．1. 223a∵B1D1∥平面ABCD，平面B1D1P∩平面ABCD＝PQ，∴B1D1∥PQ，又B1D1∥BD，∴BD∥PQ，设PQ∩AB＝M，∵AB∥CD，∴△APM∽△DPQ，∴PQPM＝PDAP＝2，即PQ＝2PM，又△APM∽△ADP，∴PMBD＝APAD＝13，∴PM＝13BD，又BD ＝2a ，∴PQ ＝223a .2.[答案] 22 ∵DA ＝DC ＝DD 1且DA 、DC 、DD 1两两垂直，故当点M 使四边形ADCM为正方形时，D 1M ⊥平面A 1C 1D ，∴DM ＝2 2.(2)过A 作AF ⊥PD ，垂足为F .在Rt PAD 中，PA ＝2，AD ＝BC ＝4，PD ＝42＋22＝25，AF ·PD ＝PA ·AD ，∴AF ＝2×425＝455，即点B 到平面PCD 的距离为455.4.[解析] (1)∵PO ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴BC ⊥PO ，又BC ⊥AB ，AB ∩PO ＝O ，AB ⊂平面ABP ，PO ⊂平面ABP ，∴BC ⊥平面ABP ，又EA ∥PO ，AO ⊂平面ABP ，∴EA ⊂平面ABP ，∴BC ⊥平面ABPE . (2)点E 即为所求的点，即点M 与点E 重合．取PO 的中点N ，连结EN 并延长交PB 于F ，∵EA ＝1，PO ＝2，∴NO ＝1，又EA 与PO 都与平面ABCD 垂直，∴EF ∥AB ，∴F 为PB 的中点，∴NF ＝12OB ＝1，∴EF ＝2，又CD ＝2，EF ∥AB ∥CD ，∴四边形DCFE 为平行四边形，∴DE ∥CF ， ∵CF ⊂平面PBC ，DE ⊄平面PBC ，∴DE ∥平面PBC .∴当M 与E 重合时即可． 5. (1)证明：连结BD 1，在△DD 1B 中，E 、F 分别为D 1D ，DB 的中点，则EF ∥D 1B ，又EF ⊄平面ABC 1D 1，D 1B ⊂平面ABC 1D 1，∴EF ∥平面ABC 1D 1.(2)证明：∵B 1C ⊥AB ，B 1C ⊥BC 1，AB ∩BC 1＝B ， ∴B 1C ⊥平面ABC 1D 1，又BD 1⊂平面ABC 1D 1，∴B 1C ⊥BD 1，又EF ∥BD 1，∴EF ⊥B 1C .(3)解：∵CF ⊥BD ，CF ⊥BB 1，∴CF ⊥平面BDD 1B 1，即CF ⊥平面EFB 1，且CF ＝BF ＝2∵EF ＝12BD 1＝3，B 1F ＝BF 2＋BB 12＝(2)2＋22＝6，B 1E ＝B 1D 12＋D 1E 2＝12＋(22)2＝3，∴EF 2＋B 1F 2＝B 1E 2，即∠EFB 1＝90°， ∴VB 1－EFC ＝VC －B 1EF ＝13·S △B 1EF ·CF＝13×12·EF ·B 1F ·CF ＝13×12×3×6×2＝1.6.[解析] (1)∵PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥BC .由∠BCD ＝90°知，BC ⊥DC ，∵PD ∩DC ＝D ，∴BC ⊥平面PDC ，∴BC ⊥PC . (2)设点A 到平面PBC 的距离为h ， ∵AB ∥DC ，∠BCD ＝90°，∴∠ABC ＝90°， ∵AB ＝2，BC ＝1，∴S △ABC ＝12AB ·BC ＝1，∵PD ⊥平面ABCD ，PD ＝1，∴V P －ABC ＝13S △ABC ·PD ＝13，∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥DC，∵PD＝DC＝1，∴PC＝2，∵PC⊥BC，BC＝1，∴S△PBC＝12PC·BC＝22，∵V A－PBC＝V P－ABC，∴13S△PBC·h＝13，∴h＝2，∴点A到平面PBC的距离为 2.。

2016年广东省广州市高考数学一模试卷(理科)

2016年广东省广州市高考数学一模试卷（理科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x||x|＜1}，B={x|x2﹣x≤0}，则A∩B=（）A．{x|﹣1≤x≤1}B．{x|0≤x≤1}C．{x|0＜x≤1}D．{x|0≤x＜1}2．（5分）已知复数，其中i为虚数单位，则复数z的共轭复数所对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入x=3，则输出k的值为（）A．6 B．8 C．10 D．124．（5分）如果函数（ω＞0）的相邻两个零点之间的距离为，则ω的值为（）A．3 B．6 C．12 D．245．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2+a7+a12=24，则S13=（）A．52 B．78 C．104 D．2086．（5分）如果P1，P2，…，P n是抛物线C：y2=4x上的点，它们的横坐标依次为x1，x2，…，x n，F是抛物线C的焦点，若x1+x2+…+x n=10，则|P1F|+|P2F|+…+|P n F|=（）A．n+10 B．n+20 C．2n+10 D．2n+207．（5分）在梯形ABCD中AD∥BC，已知AD=4，BC=6，若=m+n（m，n∈R）则=（）A．﹣3 B．﹣C． D．38．（5分）设实数x，y满足约束条件，则x2+（y+2）2的取值范围是（）A．[，17]B．[1，17] C．[1，]D．[，]9．（5分）一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，所有棱的长都为1，顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（）A．20πB． C．5πD．10．（5分）已知下列四个命题：p1：若直线l和平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；p2：若f（x）=2x﹣2﹣x，则∀x∈R，f（﹣x）=﹣f（x）；p3：若，则∃x0∈（0，+∞），f（x0）=1；p4：在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB．其中真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．411．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为（）A．8+8+4 B．8+8+2 C．2+2+D．++12．（5分）以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角性”．该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为（）A．2017×22015B．2017×22014C．2016×22015D．2016×22014二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）一个总体中有60个个体，随机编号为0，1，2，…59，依编号顺序平均分成6个小组，组号为1，2，3，…6．现用系统抽样方法抽取一个容量为6的样本，若在第1组中抽取的号码为3，则在第5组中抽取的号码是．14．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的左顶点为A，右焦点为F，点B（0，b），且，则双曲线C的离心率为．15．（5分）（x2﹣x﹣2）4的展开式中，x3的系数为（用数字填写答案）16．（5分）已知函数f（x）=，则函数g（x）=2|x|f（x）﹣2的零点个数为．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）如图，在△ABC中，点D在边AB上，CD⊥BC，AC=5，CD=5，BD=2AD．（Ⅰ）求AD的长；（Ⅱ）求△ABC的面积．18．（12分）从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间[55，65），[65，75），[75，85]内的频率之比为4：2：1．（I）求这些产品质量指标值落在区间[75，85]内的频率；（Ⅱ）若将频率视为概率，从该企业生产的这种产品中随机抽取3件，记这3件产品中质量指标值位于区间[45，75）内的产品件数为X，求X的分布列与数学期望．19．（12分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，AC∩BD=O，A1O⊥底面ABCD，AB=AA1=2．（I）证明：平面A1CO⊥平面BB1D1D；（Ⅱ）若∠BAD=60°，求二面角B﹣OB1﹣C的余弦值．20．（12分）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，左顶点为A，左焦点为F1（﹣2，0），点B（2，）在椭圆C上，直线y=kx（k≠0）与椭圆C交于E，F两点，直线AE，AF分别与y轴交于点M，N；（1）求椭圆C的方程；（2）以MN为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标，若不经过，请说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=e x+m﹣x3，g（x）=ln（x+1）+2．（1）若曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为1，求实数m的值；（2）当m≥1时，证明：f（x）＞g（x）﹣x3．【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图所示，△ABC内接于⊙O，直线AD与⊙O相切于点A，交BC 的延长线于点D，过点D作DE∥CA交BA的延长线于点E．（I）求证：DE2=AE•BE；（Ⅱ）若直线EF与⊙O相切于点F，且EF=4，EA=2，求线段AC的长．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ，θ∈[0，2π）．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）在曲线C上求一点D，使它到直线l：，（t为参数，t∈R）的距离最短，并求出点D的直角坐标．【选修4-5：不等式选讲】24．设函数f（x）=|x+|﹣|x﹣|．（I）当a=1时，求不等式f（x）≥的解集；（Ⅱ）若对任意a∈[0，1]，不等式f（x）≥b的解集为空集，求实数b的取值范围．2016年广东省广州市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2016•广州一模）已知集合A={x||x|＜1}，B={x|x2﹣x≤0}，则A∩B=（）A．{x|﹣1≤x≤1}B．{x|0≤x≤1}C．{x|0＜x≤1}D．{x|0≤x＜1}【考点】交集及其运算．【专题】集合思想；定义法；集合．【分析】求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中不等式解得：﹣1＜x＜1，即A={x|﹣1＜x＜1}，由B中不等式变形得：x（x﹣1）≤0，解得：0≤x≤1，即B={x|0≤x≤1}，则A∩B={x|0≤x＜1}，故选：D．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）（2016•广州一模）已知复数，其中i为虚数单位，则复数z的共轭复数所对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【专题】数形结合；转化思想；数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数、复数的几何意义即可得出．【解答】解：∵复数===1+2i，复数z的共轭复数=1﹣2i所对应的点在第四象限．故选：D．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数、复数的几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．（5分）（2016•蚌埠三模）执行如图所示的程序框图，如果输入x=3，则输出k的值为（）A．6 B．8 C．10 D．12【考点】程序框图．【专题】计算题；图表型；试验法；算法和程序框图．【分析】根据框图的流程依次计算程序运行的结果，直到满足条件x＞100，跳出循环体，确定输出k的值．【解答】解：模拟执行程序，可得x=3，k=0x=9，k=2不满足条件x＞100，x=21，k=4不满足条件x＞100，x=45，k=6不满足条件x＞100，x=93，k=8不满足条件x＞100，x=189，k=10满足条件x＞100，退出循环，输出k的值为10．故选：C．【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程依次计算程序运行的结果是解答此类问题的常用方法．4．（5分）（2016•广州一模）如果函数（ω＞0）的相邻两个零点之间的距离为，则ω的值为（）A．3 B．6 C．12 D．24【考点】三角函数的周期性及其求法；y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】由条件利用余弦函数的周期性，求得ω的值．【解答】解：∵函数（ω＞0）的相邻两个零点之间的距离为，∴•=，求得ω=6，【点评】本题主要考查余弦函数的图象，余弦函数的周期性，属于基础题．5．（5分）（2016•广州一模）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2+a7+a12=24，则S13=（）A．52 B．78 C．104 D．208【考点】等差数列的性质．【专题】方程思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】由题意和等差数列的性质可得a7的值，再由等差数列的性质和求和公式可得S13=13a7，代值计算可得．【解答】解：由题意和等差数列的性质可得3a7=a2+a7+a12=24，解得a7=8，故S13===13a7=104，故选：C．【点评】本题考查等差数列的性质和求和公式，求出a7是解决问题的关键，属基础题．6．（5分）（2016•广州一模）如果P1，P2，…，P n是抛物线C：y2=4x上的点，它们的横坐标依次为x1，x2，…，x n，F是抛物线C的焦点，若x1+x2+…+x n=10，则|P1F|+|P2F|+…+|P n F|=（）A．n+10 B．n+20 C．2n+10 D．2n+20【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由抛物线性质得|P n F|==x n+1，由此能求出结果．【解答】解：∵P1，P2，…，P n是抛物线C：y2=4x上的点，它们的横坐标依次为x1，x2，…，x n，F是抛物线C的焦点，x1+x2+…+x n=10，∴|P1F|+|P2F|+…+|P n F|=（x1+1）+（x2+1）+…+（x n+1）=x1+x2+…+x n+n故选：A．【点评】本题考查抛物线中一组线段和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意抛物线的性质的合理运用．7．（5分）（2016•广州一模）在梯形ABCD中AD∥BC，已知AD=4，BC=6，若=m+n （m，n∈R）则=（）A．﹣3 B．﹣C． D．3【考点】平面向量的基本定理及其意义．【专题】计算题；数形结合；向量法；平面向量及应用．【分析】利用平面向量的三角形法以及平面向量基本定理求出m，n．【解答】解：由题意，如图，=m+n=，所以n=，m=1，所以=﹣3．故选：A．【点评】本题考查了平面向量的三角形法则和平面向量基本定理；属于基础题．8．（5分）（2016•福建校级模拟）设实数x，y满足约束条件，则x2+（y+2）2的取值范围是（）A．[，17]B．[1，17] C．[1，]D．[，]【考点】简单线性规划．【专题】计算题；作图题；转化思想；数形结合法；不等式．【分析】由题意作平面区域，而x2+（y+2）2的几何意义是点A（0，﹣2）与阴影内的点的距离的平方，从而结合图象解得．【解答】解：由题意作平面区域如下，，x2+（y+2）2的几何意义是点A（0，﹣2）与阴影内的点的距离的平方，而点A到直线y=x﹣1的距离d==，B（﹣1，2），故|AB|==，故（）2≤x2+（y+2）2≤（）2，即≤x2+（y+2）2≤17，故选：A．【点评】本题考查了线性规划的变形应用及数形结合的思想应用，同时考查了转化思想的应用．9．（5分）（2016•广州一模）一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，所有棱的长都为1，顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（）A．20πB． C．5πD．【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；规律型；数形结合；转化思想；空间位置关系与距离．【分析】作出六棱柱的最大对角面与外截球的截面，设正六棱柱的上下底面中心分别为O1，O2，球心为O，一个顶点为A，如右图．可根据题中数据结合勾股定理算出球的半径OA，再用球的体积公式即可得到外接球的体积．【解答】解：作出六棱柱的最大对角面与外截球的截面，如右图，则该截面矩形分别以底面外接圆直径和六棱柱高为两边，设球心为O，正六棱柱的上下底面中心分别为O1，O2，则球心O是O1，O2的中点．∵正六棱柱底面边长为1，侧棱长为1，∴Rt△AO1O中，AO1=1，O1O=，可得AO==，因此，该球的体积为V=π•（）3=．故选：D．【点评】本题给出一个正六棱柱，求它的外接球的体积，着重考查了球的内接多面体和球体积公式等知识点，属于中档题．10．（5分）（2016•广州一模）已知下列四个命题：p1：若直线l和平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；p2：若f（x）=2x﹣2﹣x，则∀x∈R，f（﹣x）=﹣f（x）；p3：若，则∃x0∈（0，+∞），f（x0）=1；p4：在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB．其中真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】命题的真假判断与应用．【专题】对应思想；定义法；简易逻辑．【分析】p1：根据线面垂直的判断定理判定即可；p2：根据奇函数的定义判定即可；p3：对表达式变形可得=x+1+﹣1，利用均值定理判定即可；p4：根据三角形角边关系和正弦定理判定结论成立．【解答】解：p1：根据判断定理可知，若直线l和平面α内两条相交的直线垂直，则l⊥α，若没有相交，无数的平行直线也不能判断垂直，故错误；p2：根据奇函数的定义可知，f（﹣x）=2﹣x﹣2x=﹣f（x），故∀x∈R，f（﹣x）=﹣f（x），故正确；p3：若=x+1+﹣1≥1，且当x=0时，等号成立，故不存在x0∈（0，+∞），f（x0）=1，故错误；p4：在△ABC中，根据大边对大角可知，若A＞B，则a＞b，由正弦定理可知，sinA＞sinB，故正确．故选：B．【点评】考查了线面垂直，奇函数的定义，均值定理和三角形的性质及正弦定理的应用．属于基础题型，应熟练掌握．11．（5分）（2016•福建校级模拟）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为（）A．8+8+4 B．8+8+2 C．2+2+D．++【考点】由三视图求面积、体积．【专题】数形结合；数形结合法；立体几何．【分析】由三视图可知几何体为从边长为4的正方体切出来的三棱锥．作出直观图，计算各棱长求面积．【解答】解：由三视图可知几何体为从边长为4的正方体切出来的三棱锥A﹣BCD．作出直观图如图所示：其中A，C，D为正方体的顶点，B为正方体棱的中点．∴S△ABC ==4，S△BCD==4．∵AC=4，AC⊥CD，∴S△ACD==8，由勾股定理得AB=BD==2，AD=4．∴cos∠ABD==﹣，∴sin∠ABD=．∴S△ABD==4．∴几何体的表面积为8+8+4．故选A．【点评】本题考查了不规则放置的几何体的三视图和面积计算，作出直观图是解题关键．12．（5分）（2016•广州一模）以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角性”．该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为（）A．2017×22015B．2017×22014C．2016×22015D．2016×22014【考点】归纳推理．【专题】计算题；规律型；探究型；推理和证明．【分析】数表的每一行都是等差数列，且第一行公差为1，第二行公差为2，第三行公差为4，…，第2015行公差为22014，第2016行只有M，由此可得结论【解答】解：由题意，数表的每一行都是等差数列，且第一行公差为1，第二行公差为2，第三行公差为4，…，第2015行公差为22014，故第1行的第一个数为：2×2﹣1，第2行的第一个数为：3×20，第3行的第一个数为：4×21，…第n行的第一个数为：（n+1）×2n﹣2，第2016行只有M，则M=（1+2016）•22014=2017×22014故选：B．【点评】本题考查了由数表探究数列规律的问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）（2016•蚌埠三模）一个总体中有60个个体，随机编号为0，1，2，…59，依编号顺序平均分成6个小组，组号为1，2，3，…6．现用系统抽样方法抽取一个容量为6的样本，若在第1组中抽取的号码为3，则在第5组中抽取的号码是43．【考点】系统抽样方法．【专题】计算题；整体思想；定义法；概率与统计．【分析】由总体容量及组数求出间隔号，然后用3加上40即可．【解答】解：总体为60个个体，依编号顺序平均分成6个小组，则间隔号为=10，所以在第5组中抽取的号码为3+10×4=43．故答案为：43．【点评】本题考查了系统抽样，系统抽样是根据分组情况求出间隔号，然后采用简单的随机抽样在第一组随机抽取一个个体，其它的只要用第一组抽到的号码依次加上间隔号即可．此题为基础题．14．（5分）（2016•广州一模）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的左顶点为A，右焦点为F，点B（0，b），且，则双曲线C的离心率为．【考点】双曲线的简单性质．【专题】方程思想；分析法；平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设出A，F的坐标，运用向量的数量积的坐标表示，结合a，bc的关系和离心率公式，计算即可得到所求值．【解答】解：由题意可得A（﹣a，0），F（c，0），B（0，b），可得=（﹣a，﹣b），=（c，﹣b），由，可得﹣ac+b2=0，即有b2=c2﹣a2=ac，由e=，可得e2﹣e﹣1=0，解得e=（负的舍去）．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用向量的数量积的坐标表示，考查双曲线的渐近线方程和离心率公式，考查运算能力，属于中档题．15．（5分）（2016•广州一模）（x2﹣x﹣2）4的展开式中，x3的系数为﹣40（用数字填写答案）【考点】二项式定理的应用．【专题】转化思想；综合法；二项式定理．【分析】解法一：根据（x2﹣x﹣2）4 =（x﹣2）4•（x+1）4 ，把（x﹣2）4和（x+1）4 分别使用二项式定理展开，可得x3的系数．解法二：根据乘方的意义，分类讨论求得x3的系数．【解答】解：解法一：∵（x2﹣x﹣2）4 =（x﹣2）4•（x+1）4 =[•x4+•x3•（﹣2）+•x2•（﹣2）2+•x•（﹣2）3+•（﹣2）4]•（•x4+•x3+•x2+•x+）故x3的系数为﹣2•1+4•+（﹣8）•+16•=﹣40，故答案为：﹣40．解法二：∵（x2﹣x﹣2）4 表示4个因式（x2﹣x﹣2）的乘积，x3的系数可以是：从4个因式中选一因式提供x2，其余的3个因式中有一个提供（﹣x），其余的2个因式都提供（﹣2），也可以是从4个因式中选3个因式都提供（﹣x），其余的1个提供（﹣2），可得x3的系数，故x3的系数为：•（﹣1）•（﹣2）2+（﹣1）•（﹣2）=﹣48+8=﹣40．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，乘方的意义，属于中档题．16．（5分）（2016•广州一模）已知函数f（x）=，则函数g（x）=2|x|f（x）﹣2的零点个数为2．【考点】函数零点的判定定理．【专题】计算题；作图题；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】函数g（x）=2|x|f（x）﹣2的零点个数转化为方程g（x）=2|x|f（x）﹣2=0的解的个数，再转化为函数f（x）与y=的图象的交点的个数，从而解得．【解答】解：令g（x）=2|x|f（x）﹣2=0得，f（x）=，作函数f（x）与y=的图象如下，，结合图象可知，函数的图象有两个不同的交点，故函数g（x）=2|x|f（x）﹣2的零点个数为2，故答案为：2．【点评】本题考查了函数的零点与方程的根，方程的根与函数的图象的交点的关系应用，考查了数形结合的思想．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）（2016•江苏模拟）如图，在△ABC中，点D在边AB上，CD⊥BC，AC=5，CD=5，BD=2AD．（Ⅰ）求AD的长；（Ⅱ）求△ABC的面积．【考点】解三角形．【专题】数形结合；数形结合法；解三角形．【分析】（1）假设AD=x，分别在△ACD和△ABC中使用余弦定理计算cosA，列方程解出x；（2）根据（1）的结论计算sinA，代入面积公式计算．【解答】解：（1）设AD=x，则BD=2x，∴BC==．在△ACD中，由余弦定理得cosA==，在△ABC中，由余弦定理得cosA==．∴=，解得x=5．∴AD=5．（2）由（1）知AB=3AD=15，cosA==，∴sinA=．===．∴S△ABC【点评】本题考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题．18．（12分）（2016•蚌埠三模）从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间[55，65），[65，75），[75，85]内的频率之比为4：2：1．（I）求这些产品质量指标值落在区间[75，85]内的频率；（Ⅱ）若将频率视为概率，从该企业生产的这种产品中随机抽取3件，记这3件产品中质量指标值位于区间[45，75）内的产品件数为X，求X的分布列与数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．【专题】综合题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】（I）由题意，质量指标值落在区间[55，65），[65，75），[75，85]内的频率之和，利用之比为4：2：1，即可求出这些产品质量指标值落在区间[75，85]内的频率；（Ⅱ）求出每件产品质量指标值落在区间[45，75）内的概率为0.6，利用题意可得：X～B（3，0.6），根据概率分布知识求解即可．【解答】解：（I）由题意，质量指标值落在区间[55，65），[65，75），[75，85]内的频率之和为1﹣0.04﹣0.12﹣0.19﹣0.3=0.35，∵质量指标值落在区间[55，65），[65，75），[75，85]内的频率之比为4：2：1，∴这些产品质量指标值落在区间[75，85]内的频率为0.05；（Ⅱ）根据样本频率分布直方图，每件产品质量指标值落在区间[45，75）内的概率为0.6，由题意可得：X～B（3，0.6）∴X的概率分布列为X0123P0.0640.2880.4320.216∴EX=0.288+2×0.432+3×0.216=1.8【点评】本题考查概率分布在实际问题中的应用，结合了统计的知识，综合性较强，属于中档题．19．（12分）（2016•南昌校级二模）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD 是菱形，AC∩BD=O，A1O⊥底面ABCD，AB=AA1=2．（I）证明：平面A1CO⊥平面BB1D1D；（Ⅱ）若∠BAD=60°，求二面角B﹣OB1﹣C的余弦值．【考点】用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．【专题】综合题；向量法；空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用．【分析】（1）根据面面垂直的判定定理进行证明即可．（2）建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用向量法进行求解．【解答】证明：（1）∵A1O⊥面ABCD，且BD，AC⊂面ABCD，∴A1O⊥BD，又∵在菱形ABCD中，AC⊥BD，∵A1O∩AC=O，∴BD⊥面A1AC，∵BD⊂平面BB1D1D，∴平面A1CO⊥平面BB1D1D（2）建立以O为坐标原点，OA，OB，OA1分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：∵AB=AA1=2，∠BAD=60°，∴OB=1，OA=，∵AA1=2，∴A1O=1．则A（，0，0），B（0，1，0），A1（0，0，1），C（﹣，0，0），==（﹣，1，0），=（0，1，0），=（﹣，0，0），=（0，0，1），则=+=（﹣，1，1），设平面BOB1的一个法向量为=（x，y，z），则，令x=，则y=0，z=3，即=（，0，3），设平面OB1C的一个法向量为=（x，y，z），则，令y=1，则z=﹣1，x=0，则=（0，1，﹣1），cos＜，＞===﹣，∵二面角B﹣OB1﹣C是钝二面角，∴二面角B﹣OB1﹣C的余弦值是﹣．【点评】本小题主要考查面面垂直的判断和二面角的求解，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，综合性较强，运算量较大．20．（12分）（2016•福建校级模拟）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，左顶点为A，左焦点为F1（﹣2，0），点B（2，）在椭圆C上，直线y=kx（k ≠0）与椭圆C交于E，F两点，直线AE，AF分别与y轴交于点M，N；（1）求椭圆C的方程；（2）以MN为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标，若不经过，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【专题】综合题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由题意可设椭圆标准方程，结合已知及隐含条件列关于a，b，c的方程组，求解方程组得到a2，b2的值，则椭圆方程可求；（2）设F（x0，y0），E（﹣x0，﹣y0），写出AE、AF所在直线方程，求出M、N 的坐标，得到以MN为直径的圆的方程，由圆的方程可知以MN为直径的圆经过定点（±2，0）．【解答】解：（1）由题意可设椭圆方程为，则，解得：a2=8，b2=4．∴椭圆C的方程为；（2）如图，设F（x0，y0），E（﹣x0，﹣y0），则，A（﹣，0），AF所在直线方程，取x=0，得，∴N（0，），AE所在直线方程为，取x=0，得y=．则以MN为直径的圆的圆心坐标为（0，），半径r=，圆的方程为=，即．取y=0，得x=±2．∴以MN为直径的圆经过定点（±2，0）．【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查直线与圆位置关系的应用，考查整体运算思想方法，是中档题．21．（12分）（2016•广州一模）已知函数f（x）=e x+m﹣x3，g（x）=ln（x+1）+2．（1）若曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为1，求实数m的值；（2）当m≥1时，证明：f（x）＞g（x）﹣x3．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】方程思想；分析法；导数的概念及应用；不等式的解法及应用．【分析】（1）求出f（x）的导数，求得切线的斜率，解方程可得m；（2）f（x）＞g（x）﹣x3即为e x+m＞ln（x+1）+2．由函数y=e x﹣x﹣1，求得最小值，可得e x≥x+1，则e x+m＞x+m+1，再由h（x）=x+m+1﹣ln（x+1）﹣2=x+m﹣ln（x+1）﹣1，求出导数，求得最小值，由条件即可得证．【解答】解：（1）函数f（x）=e x+m﹣x3的导数为f′（x）=e x+m﹣3x2，在点（0，f（0））处的切线斜率为k=e m=1，解得m=0；（2）证明：f（x）＞g（x）﹣x3即为e x+m＞ln（x+1）+2．由y=e x﹣x﹣1的导数为y′=e x﹣1，当x＞0时，y′＞0，函数递增；当x＜0时，y′＜0，函数递减．即有x=0处取得极小值，也为最小值0．即有e x≥x+1，则e x+m≥x+m+1，由h（x）=x+m+1﹣ln（x+1）﹣2=x+m﹣ln（x+1）﹣1，h′（x）=1﹣，当x＞0时，h′（x）＞0，h（x）递增；﹣1＜x＜0时，h′（x）＜0，h（x）递减．即有x=0处取得最小值，且为m﹣1，当m≥1时，即有h（x）≥m﹣1≥0，即x+m+1≥ln（x+1）+2，则有f（x）＞g（x）﹣x3成立．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查不等式的证明，注意运用构造法，以及不等式的传递性，考查推理能力，属于中档题．【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）（2016•广州一模）如图所示，△ABC内接于⊙O，直线AD与⊙O相切于点A，交BC的延长线于点D，过点D作DE∥CA交BA的延长线于点E．（I）求证：DE2=AE•BE；（Ⅱ）若直线EF与⊙O相切于点F，且EF=4，EA=2，求线段AC的长．【考点】与圆有关的比例线段．【专题】证明题；转化思想；综合法；推理和证明．【分析】（Ⅰ）推导出△AED∽△DEB，由此能证明DE2=AE•BE．（Ⅱ）由切割线定理得EF2=EA•EB，由DE∥CA，得△BAC∽△BED，由此能求出AC．【解答】证明：（Ⅰ）∵AD是⊙O的切线，∴∠DAC=∠B，∵DE∥CA，∴∠DAC=∠EDA，∴∠EDA=∠B，∵∠AED=∠DEB，∴△AED∽△DEB，∴，∴DE2=AE•BE．解：（Ⅱ）∵EF是⊙O的切线，EAB是⊙O割线，∴EF2=EA•EB，∵EF=4，EA=2，∴EB=8，AB=EB﹣EA=6，由（Ⅰ）知DE2=AE•BE，∴DE=4，∵DE∥CA，∴△BAC∽△BED，∴，∴AC==．【点评】本题考查与圆有关的线段间等量关系的证明，考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意切割线定理的合理运用．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．（2016•广州一模）在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ，θ∈[0，2π）．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）在曲线C上求一点D，使它到直线l：，（t为参数，t∈R）的距离最短，并求出点D的直角坐标．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【专题】选作题；数形结合；转化思想；消元法；坐标系和参数方程．【分析】（I）利用可把圆C的极坐标方程化为普通方程．（II）消去参数把直线l的参数方程化为普通方程，求出圆心C到直线l的距离d，得出直线与圆的位置关系即可得出．【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ，θ∈[0，2π），即ρ2=2ρsinθ，化为x2+y2﹣2y=0，配方为x2+（y﹣1）2=1．（2）曲线C的圆心C（0，1），半径r=1．直线l：，（t为参数，t∈R）化为普通方程：﹣y﹣1=0，可得圆心C到直线l的距离d==1=0，∴直线l与圆C相切，其切点即为所求．联立，解得D．【点评】本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、直线与圆相切问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【选修4-5：不等式选讲】24．（2016•淮南二模）设函数f（x）=|x+|﹣|x﹣|．（I）当a=1时，求不等式f（x）≥的解集；（Ⅱ）若对任意a∈[0，1]，不等式f（x）≥b的解集为空集，求实数b的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用．【分析】（I）当a=1时，利用绝对值的意义求得不等式的解集．（Ⅱ）由题意可得b大于f（x）的最大值．再根据绝对值的意义可得f（x）的最大值为+，可得实数b的范围．【解答】解：（I）当a=1时，不等式f（x）≥，即|x+1|﹣|x|≥，即数轴上的x对应点到﹣1对应点的距离减去它到原点的距离大于，而﹣0.25对应点到﹣1对应点的距离减去它到原点的距离正好等于，故|x+1|﹣|x|≥的解集为{x|x≥﹣0.25}．（Ⅱ）若对任意a∈[0，1]，不等式f（x）≥b的解集为空集，即f（x）＜b恒成立，则b大于f（x）的最大值．函数f（x）=|x+|﹣|x﹣|表示数轴上的x对应点到﹣对应点的距离减去它到对应点的距离，故f（x）的最大值为+，故实数b＞+．【点评】本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，属于中档题．参与本试卷答题和审题的老师有：sllwyn；沂蒙松；w3239003；caoqz；lincy；zlzhan；changq；炫晨；qiss；洋洋；zhczcb；豫汝王世崇；whgcn；双曲线；刘长柏；maths；sxs123（排名不分先后）菁优网2017年3月12日考点卡片1．交集及其运算【知识点的认识】由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A ∩B．符号语言：A∩B={x|x∈A，且x∈B}．A∩B实际理解为：x是A且是B中的相同的所有元素．当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．运算形状：①A∩B=B∩A．②A∩∅=∅．③A∩A=A．④A∩B⊆A，A∩B⊆B．⑤A∩B=A⇔A⊆B．⑥A∩B=∅，两个集合没有相同元素．⑦A∩（CUA）=∅．⑧CU（A∩B）=（CUA）∪（CUB）．【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图．【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集．命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域，函数的单调性、复合函数的单调性等联合命题．2．命题的真假判断与应用【知识点的认识】判断含有“或”、“且”、“非”的复合命题的真假，首先要明确p、q及非p的真假，然后由真值表判断复合命题的真假．注意：“非p”的正确写法，本题不应将“非p”写成“方程x2﹣2x+1=0的两根都不是实根”，因为“都是”的反面是“不都是”，而不是“都不是”，要认真区分．。

【原创】广州市2016届高三下学期高考数学模拟试题精选汇总：三角函数02 Word版含答案

三角函数02填空题1．试题）已知函数，给出下列四个说法：①若，则； ②的最小正周期是； ③在区间上是增函数； ④的图象关于直线对称．其中正确说法的序号是______.2．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若222+=2012a b c ，则(+)t a nAt a nBt a n C t a nA t a nB 的值为；3．函数()=(+)(,,f x Asin x A ωϕωϕ为常数，A>0, ω>0)的部分图象如图所示，则f (0)的值是；4．函数()sin(2)3f x x π=-(x ∈R)的图象为C,以下结论中: ①图象C 关于直线1112x π=对称; ②图象C 关于点2(,0)3π对称;③函数f(x)在区间5(,)1212ππ-内是增函数; ④由3sin 2y x =的图象向右平移3π个单位长度可以得到图象C. 则正确的是 .(写出所有正确结论的编号)5．已知3sin cos 8x x =,且(,)42x ππ∈,则cos sin x x -=_________. 6．在△ABC 中，若sinA=2sinBcosC 则△ABC 的形状为________。

三、解答题7．已知函数.（1）求函数图象的对称轴方程；（2）求的单调增区间. （3）当时,求函数的最大值，最小值.8．如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边作两个锐角，它们的终边分别与单位圆交于两点．已知的横坐标分别为．（1）求的值；（2）求的值．9．设函数22()(sin cos )2cos (0)f x x x x ωωωω=++>的最小正周期为23π. (Ⅰ)求ω的值; (Ⅱ)求()f x 在区间-63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的值域; (Ⅲ)若函数()y g x =的图像是由()y f x =的图像向右平移2π个单位长度得到,求()y g x =的单调增区间.答案填空题1. 【答案】③④【解析】函数1()sin cos sin 22f x x x x ==，若12()=()f x f x -，即1211sin 2=sin 222x x -，所以12sin 2=sin 2x x -，即12sin 2=sin(2)x x -，所以122=22x x k π-+或122=22,x x k k Z ππ-+∈，所以①错误；2,ω=所以周期2T ππω==，所以②错误；当44x ππ-≤≤时，222x ππ-≤≤，函数递增，所以③正确；当34x π=时，313131()sin 2)=sin =424222f πππ=⨯-（为最小值，所以④正确。

2016年度广州市调研模拟数学试题及标准答案(理科数学)

2016年广州市普通高中毕业班模拟考试理科数学注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）若全集U=R ，集合{}124xA x =<<，{}10B x x =-≥，则U A B I ð＝（A ）{}12x x << （B ）{}01x x <≤ （C ）{}01x x << （D ）{}12x x ≤< （2）已知,a b ∈R ，i 是虚数单位，若i a -与2i b +互为共轭复数，则()2i =a b +（A ）3+4i （B ）5+4i （C ）34i - （D ）54i - （3）下列说法中正确的是（A ）“(0)0f =”是“函数()f x 是奇函数”的充要条件（B ）若2000:,10p x x x ∃∈-->R ，则2:,10p x x x ⌝∀∈--<R（C ）若p q ∧为假命题，则p ，q 均为假命题（D ）命题“若6απ=，则1sin 2α=”的否命题是“若6απ≠，则1sin 2α≠”（4）已知()f x 在R 上是奇函数,且满足()()4f x f x +=,当()0,2x ∈时,()22f x x =，则()7f =（A ） 2 （B ）2- （C ）98- （D ）98 （5）执行如图所示的程序框图，输出的结果为（A ）()22-，（B ）()40-，（C ）()44--，（D ）()08-，（6）各项均为正数的等差数列{}n a 中，3694=a a ，则前12项和12S 的最小值为（A ）78 （B ）48 （C ）60（D ）72（7）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是斜边长为2开始x =1，y =1，k =0s =x -y ，t =x +y x =s ，y =tk =k +1k ≥3输出(x ，y )结束是否的直角三角形，俯视图是半径为1的四分之一圆周和两条半径，则这个几何体的体积为（A（Bπ （C（Dπ （8）已知3sin 5ϕ=，且2ϕπ⎛⎫∈π ⎪⎝⎭，，函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于2π，则4f π⎛⎫⎪⎝⎭的值为（A ）35- （B ）45- （C ）35 （D ）45（9）若实数,x y 满足约束条件220,240,2,x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩则x y 的取值范围是（A ）2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （B ）13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （C ）3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦（D ）[]1,2（10）过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，垂足为点A ，与另一条渐近线交于点B ，若2FB FA =uu r uu r，则此双曲线的离心率为（A（B（C ）2 （D（11）将5位同学分别保送到北京大学，上海交通大学，中山大学这3所大学就读，每所大学至少保送1人，则不同的保送方法共有（A ） 150种（B ） 180种（C ） 240种（D ）540种（12）已知ABC ∆的三个顶点A ，B ，C 的坐标分别为())()0,1,,0,2-，O 为坐标原点，动点P 满足1CP =uu r ，则OA OB OP ++uu r uu u r uu u r的最小值是（A1 （B1- （C1 （D1第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．（13）已知向量a ，b 满足||4=b ，a 在b 方向上的投影是12，则=g a b ．（14）已知()1cos 3θ+π=-，则sin 22θπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ．（15）102a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中的常数项为180，则a = ．（16）已知()y f x =为R 上的连续可导函数，且()()0xf x f x '+>，则函数()()1g x xf x =+()0x >的零点个数为___________．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分12分）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知12a =，对任意*n ∈N ，都有()21n n S n a =+．(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式； (Ⅱ）若数列4(2)n n a a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为nT ,求证：112n T ≤<.（18）(本小题满分12分)如图，在三棱柱11ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面ABC ，12AB AC AA ==，120BAC ∠=o，1,D D分别是线段11,BC B C 的中点，过线段AD 的中点P 作BC 的平行线，分别交AB ，AC 于点M ，N ．（Ⅰ）证明：MN ⊥平面11ADD A ；（Ⅱ）求二面角1A A M N --的余弦值．（19）（本小题满分12分）计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X (年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米）都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频ABCDPMNA 1B 1C 1D 1率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立．（Ⅰ）求在未来4年中，至多1年的年入流量超过120的概率；（Ⅱ）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X 限制，并有如下关系；若某台发电机运行，则该台发电机年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台发电机年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？（20）（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆221221x y C a b +=：()1a b >≥的离心率2e =，且椭圆1C 上一点M 到点()30，Q 的距离的最大值为4．（Ⅰ）求椭圆1C 的方程；（Ⅱ）设1016A ⎛⎫⎪⎝⎭，，N 为抛物线22x y C =：上一动点，过点N 作抛物线2C 的切线交椭圆1C 于B ，C 两点，求ABC ∆面积的最大值．（21）（本小题满分12分）已知函数()e xf x ax =-（e 为自然对数的底数，a 为常数）在点()0,1处的切线斜率为1-.（Ⅰ）求a 的值及函数()x f 的极值；（Ⅱ）证明：当0>x 时，2e xx <；（III ）证明：对任意给定的正数c ，总存在0x ，使得当()∞+∈，0x x ，恒有2e xx c <.请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答时请写清题号．（22）（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于点D ，以BD 为直径的圆O与BC 交于点E ．（Ⅰ）求证：BC CE AD DB ⋅=⋅；（Ⅱ）若4BE =，点N 在线段BE 上移动，90ONF ∠=o,NF 与O e 相交于点F ，求NF 的最大值．（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1C ：1,12x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）与曲线2C ：cos 3sin x a y θθ=⎧⎨=⎩，(θ为参数，0a >)．（Ⅰ）若曲线1C 与曲线2C 有一个公共点在x 轴上，求a 的值；（Ⅱ）当3a =时，曲线1C 与曲线2C 交于A ，B 两点，求A ，B 两点的距离．（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知定义在R 上的函数()||||f x x m x =-+，*m ∈N ，存在实数x 使()2f x <成立．（Ⅰ）求实数m 的值；（Ⅱ）若,1αβ≥，()()4f f αβ+=，求证：413αβ+≥．2016年广州市普通高中毕业班模拟考试理科数学答案及评分参考评分说明:1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题不给中间分．一．选择题（1）C （2）A （3）D （4）B （5）B （6）D （7）A （8）B（9）B（10）C（11）A（12）A二．填空题（13）2（14）79- （15）2或2- （16）0 （其中第15题中，答对2个给5分，答对1个给3分）三．解答题（17）证明：（Ⅰ）因为()21n n S n a =+，当2≥n 时，112n n S na --=，两式相减，得()121n n n a n a na -=+-，即()11n n n a na --=，所以当2≥n 时，11n n a a n n -=-. 所以11n a a n =. 因为12a =，所以2n a n =. （Ⅱ）因为2n a n =，4(2)n n n b a a =+，*∈N n ，所以41112(22)(1)1n b n n n n n n ===-+++．所以12n n T b b b =+++L 1111112231n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭L =1111nn n -=++．因为101n >+，所以1111n -<+．因为()11f n n =+在*N 上是单调递减函数，所以111n -+在*N 上是单调递增函数．所以当1n =时，n T 取最小值21．所以112n T ≤<.广东数学教师QQ 群：179818939。

2016年广东省广州市高考一模数学试卷(理科)【解析版】

]
D．[
，
]
9．（5 分）一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，所有棱的长都为 1，顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（ A．20π B． C．5π ） D．
10．（5 分）已知下列四个命题： p1：若直线 l 和平面 α 内的无数条直线垂直，则 l⊥α； p2：若 f（x）＝2x﹣2﹣x，则∀x∈R，f（﹣x）＝﹣f（x）； p3：若，则∃x0∈（0，+∞），f（x0）＝1；
该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为（
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）
A．2017×22015
B．2017×22014
C．2016×22015
D．2016×22014
二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分． 13．（5 分）一个总体中有 60 个个体，随机编号为 0，1，2，…59，依编号顺序平均分成 6 个小组，组号为 1，2，3，…6．现用系统抽样方法抽取一个容量为 6 的样本，若在第 1 组中抽取的号码为 3，则在第 5 组中抽取的号码是．（a＞0，b＞0）的左顶点为 A，右焦点为，则双曲线 C 的离心率为．
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19．（12 分）如图，四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 的底面 ABCD 是菱形，AC∩BD＝ O，A1O⊥底面 ABCD，AB＝AA1＝2．（I）证明：平面 A1CO⊥平面 BB1D1D；（Ⅱ）若∠BAD＝60°，求二面角 B﹣OB1﹣C 的余弦值．
20．（12 分）已知椭圆 C 的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，左顶点为 A，左焦点为 F1（﹣2，0），点 B（2，）在椭圆 C 上，直线 y＝kx（k≠0）与椭圆 C

专题06 立体几何-2016年高考+联考模拟理数试题分项版解析(解析版)含解析

第一部分 2016高考试题立体几何1. 【2016高考新课标1卷】如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是283π,则它的表面积是（）（A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π【答案】A【解析】试题分析：该几何体直观图如图所示：是一个球被切掉左上角的18,设球的半径为R ,则37428V R 833ππ=⨯=,解得R 2=,所以它的表面积是78的球面面积和三个扇形面积之和2271=42+32=1784S πππ⨯⨯⨯⨯故选A ．考点：三视图及球的表面积与体积【名师点睛】由于三视图能有效的考查学生的空间想象能力,所以以三视图为载体的立体几何题基本上是高考每年必考内容,高考试题中三视图一般常与几何体的表面积与体积交汇.由三视图还原出原几何体,是解决此类问题的关键.2.【2016高考新课标2理数】下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）（A）20π（B）24π（C）28π（D）32π【答案】C考点：三视图，空间几何体的体积.【名师点睛】由三视图还原几何体的方法:3.【2016年高考北京理数】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A.16B.13C.12D.1【答案】A【解析】试题分析：分析三视图可知，该几何体为一三棱锥P ABC -，其体积111111326V =⋅⋅⋅⋅=，故选A.考点：1.三视图；2.空间几何体体积计算.【名师点睛】解决此类问题的关键是根据几何体的三视图判断几何体的结构特征.常见的有以下几类：①三视图为三个三角形，对应的几何体为三棱锥；②三视图为两个三角形，一个四边形，对应的几何体为四棱锥；③三视图为两个三角形，一个圆，对应的几何体为圆锥；④三视图为一个三角形，两个四边形，对应的几何体为三棱柱；⑤三视图为三个四边形，对应的几何体为四棱柱；⑥三视图为两个四边形，一个圆，对应的几何体为圆柱.4.【2016高考新课标3理数】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）（A ）185+（B ）54185+（C ）90 （D ）81【答案】B【解析】试题分析：由三视图该几何体是以侧视图为底面的斜四棱柱，所以该几何体的表面积236233233554185S=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=+，故选B．考点：空间几何体的三视图及表面积．【技巧点拨】求解多面体的表面积及体积问题，关键是找到其中的特征图形，如棱柱中的矩形，棱锥中的直角三角形，棱台中的直角梯形等，通过这些图形，找到几何元素间的关系，建立未知量与已知量间的关系，进行求解．5.【2016高考山东理数】一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为（）（A）1233+π（B）1233+π（C）1236+π（D）216+π【答案】C考点：1.三视图；2.几何体的体积.【名师点睛】本题主要考查三视图及几何体的体积计算，本题涉及正四棱锥及球的体积计算，综合性较强，较全面的考查考生的视图用图能力、空间想象能力、数学基本计算能力等.6.【2016高考浙江理数】已知互相垂直的平面αβ，交于直线l .若直线m ，n 满足,m n αβ∥⊥，则（）A ．m ∥lB ．m ∥nC ．n ⊥lD ．m ⊥n【答案】C【解析】试题分析：由题意知,l l αββ=∴⊂I ，,n n l β⊥∴⊥Q ．故选C ．考点：空间点、线、面的位置关系．【思路点睛】解决这类空间点、线、面的位置关系问题，一般是借助长方体（或正方体），能形象直观地看出空间点、线、面的位置关系．7.【2016年高考四川理数】已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是.正视图331【答案】3 考点：三视图，几何体的体积.【名师点睛】本题考查三视图，考查几何体体积，考查学生的识图能力．解题时要求我们根据三视图想象出几何体的形状，由三视图得出几何体的尺寸，为此我们必须掌握基本几何体（柱、锥、台、球）的三视图以及各种组合体的三视图．8.【2016高考浙江理数】某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积是 cm 2，体积是 cm 3.【答案】72 32【解析】试题分析：几何体为两个相同长方体组合，长方体的长宽高分别为4,2,2，所以体积为2(224)32⨯⨯⨯=，由于两个长方体重叠部分为一个边长为2的正方形，所以表面积为2(222244)2(22)72⨯⨯+⨯⨯-⨯= 考点：1、三视图；2、空间几何体的表面积与体积．【方法点睛】解决由三视图求空间几何体的表面积与体积问题，一般是先根据三视图确定该几何体的结构特征，再准确利用几何体的表面积与体积公式计算该几何体的表面积与体积．9.【2016高考新课标2理数】 ,αβ是两个平面，,m n 是两条直线，有下列四个命题：（1）如果,,//m n m n αβ⊥⊥，那么αβ⊥.（2）如果,//m n αα⊥，那么m n ⊥.（3）如果//,m αβα⊂，那么//m β.（4）如果//,//m n αβ，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等.其中正确的命题有． (填写所有正确命题的编号）【答案】②③④【解析】试题分析：对于①，,,//m n m n αβ⊥⊥，则,αβ的位置关系无法确定，故错误；对于②,因为//n α，所以过直线n 作平面γ与平面β相交于直线c ，则//n c ，因为,,m m c m n α⊥∴⊥∴⊥，故②正确；对于③，由两个平面平行的性质可知正确；对于④，由线面所成角的定义和等角定理可知其正确，故正确的有②③④.考点：空间中的线面关系.【名师点睛】求解本题应注意在空间中考虑线、面关系.10.【2016高考浙江理数】如图，在△ABC 中，AB =BC =2，∠ABC =120°.若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，满足PD =DA ，PB =BA ，则四面体PBCD的体积的最大值是.【答案】12故2234BD x x =-+在PBD ∆中，PD AD x ==，2PB BA ==.由余弦定理可得2222222(234)3cos 2PD PB BD x x x BPD PD PB +-+--+∠===⋅，所以30BPD ∠=o .EDC B A P过P 作直线BD 的垂线，垂足为O .设PO d = 则11sin 22PBD S BD d PD PB BPD ∆=⨯=⋅∠，12sin 302d x =⋅o ，解得d =而BCD ∆的面积111sin )2sin 30)222S CD BC BCD x x =⋅∠=⋅=o . 设PO 与平面ABC 所成角为θ，则点P 到平面ABC 的距离sin h d θ=.故四面体PBCD的体积11111sin )33332BcD BcD BcD V S h S d S d x θ∆∆∆=⨯=≤⋅=⨯=.设t ==0x ≤≤12t ≤≤.则|x =（1）当0x ≤≤|x x ==故x =此时，V = 21414()66t t t t-=⋅=-. 214()(1)6V t t'=--，因为12t ≤≤，所以()0V t '<，函数()V t 在[1,2]上单调递减，故141()(1)(1)612V t V ≤=-=. （2x <≤|x x ==故x =此时，V =21414()66t t t t -=⋅=-. 由（1）可知，函数()V t 在(1,2]单调递减，故141()(1)(1)612V t V <=-=. 综上，四面体PBCD 的体积的最大值为12. 考点：1、空间几何体的体积；2、用导数研究函数的最值．【思路点睛】先根据已知条件求出四面体的体积，再对x 的取值范围讨论，用导数研究函数的单调性，进而可得四面体的体积的最大值．11.【2016高考新课标1卷】平面α过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A ,α//平面CB 1D 1,αI 平面ABCD =m ,αI 平面AB B 1A 1=n ,则m 、n 所成角的正弦值为(A)3 (B )2 (C)3 (D)13【答案】A考点：平面的截面问题,面面平行的性质定理,异面直线所成的角.【名师点睛】求解本题的关键是作出异面直线所成角,求异面直线所成角的步骤是：平移定角、连线成形,解形求角、得钝求补.12.【2016高考新课标3理数】在封闭的直三棱柱111ABC A B C -内有一个体积为V 的球，若AB BC ⊥， 6AB =，8BC =，13AA =，则V 的最大值是（）（A ）4π （B ）92π （C ）6π （D ）323π 【答案】B【解析】试题分析：要使球的体积V 最大，必须球的半径R 最大．由题意知球的与直三棱柱的上下底面都相切时，球的半径取得最大值32，此时球的体积为334439()3322R πππ==，故选B ．考点：1、三棱柱的内切球；2、球的体积．【思维拓展】立体几何是的最值问题通常有三种思考方向：（1）根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值；（2）将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解；（3）建立函数，通过求函数的最值来求解．13.【2016高考天津理数】已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位：m ），则该四棱锥的体积为_______m 3.【答案】2考点：三视图【名师点睛】1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图．2．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．14.【2016高考新课标1卷】（本小题满分为12分）如图,在以A ,B ,C ,D ,E ,F 为顶点的五面体中,面ABEF 为正方形,AF =2FD , 90AFD ∠=o ,且二面角D -AF -E 与二面角C -BE -F 都是60o．（I ）证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ；（II ）求二面角E -BC -A 的余弦值．【答案】（I ）见解析（II ）【解析】试题分析：（I ）先证明F A ⊥平面FDC E ,结合F A ⊂平面F ABE ,可得平面F ABE ⊥平面FDC E ．（II ）建立空间坐标系,分别求出平面C B E 的法向量m u r 及平面C B E 的法向量n r ,再利用cos ,n m n m n m⋅=r r r rr r 求二面角.由已知,//F AB E ,所以//AB 平面FDC E ．又平面CD AB I 平面FDC DC E =,故//CD AB ,CD//F E ．由//F BE A ,可得BE ⊥平面FDC E ,所以C F ∠E 为二面角C F -BE -的平面角,C F 60∠E =o ．从而可得(C -．所以(C E =u u u r ,()0,4,0EB =u u u r ,(C 3,A =--u u u r ,()4,0,0AB =-u u u r．设(),,n x y z =r是平面C B E 的法向量,则C 00n n ⎧⋅E =⎪⎨⋅EB =⎪⎩u u u r r u u u r r ,即3040x z y ⎧+=⎪⎨=⎪⎩, 所以可取()3,0,3n =-r．设m r 是平面CD AB 的法向量,则C 00m m ⎧⋅A =⎪⎨⋅AB =⎪⎩u u u r r u u u rr , 同理可取()0,3,4m =r ．则219cos ,19n m n m n m ⋅==-r rr rr r ．故二面角C E-B -A 的余弦值为21919-．考点：垂直问题的证明及空间向量的应用【名师点睛】立体几何解答题第一问通常考查线面位置关系的证明,空间中线面位置关系的证明主要包括线线、线面、面面三者的平行与垂直关系,其中推理论证的关键是结合空间想象能力进行推理,要防止步骤不完整或考虑不全致推理片面,该类题目难度不大,以中档题为主.第二问一般考查角度问题,多用空间向量解决. 15.【2016高考新课标2理数】如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，5,6AB AC ==，点,E F 分别在,AD CD 上，54AE CF ==，EF 交BD 于点H ．将DEF ∆沿EF 折到D EF '∆位置，10OD '=．（Ⅰ）证明：D H '⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求二面角B D A C '--的正弦值．【答案】（Ⅰ）详见解析；295.【解析】试题分析：（Ⅰ）证//AC EF ，再证'D H OH ⊥，最后证'D H ABCD ⊥平面；（Ⅱ）用向量法求解.又D H EF '⊥，而OH EF H ⋂=，所以D H ABCD '⊥平面.ABDD'E H Oz xF（II ）如图，以H 为坐标原点，HF u u u r的方向为x 轴的正方向，建立空间直角坐标系H xyz -，则()0,0,0H ，()3,2,0A --，()0,5,0B -，()3,1,0C -，()0,0,3D '，(3,4,0)AB =-u u u r ，()6,0,0AC =u u u r，()3,1,3AD '=u u u u r .设()111,,m x y z =u r 是平面ABD '的法向量，则0m AB m AD ⎧⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩u r u u u ru r u u u u r，即11111340330x y x y z -=⎧⎨++=⎩，所以可以取()4,3,5m =-u r .设()222,,n x y z =r 是平面'ACD 的法向量，则00n AC n AD ⎧⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩r u u u rr u u u u r，即222260330x x y z =⎧⎨++=⎩，所以可以取()0,3,1n =-r .于是75cos ,||||5010m n m n m n ⋅<>===⋅⨯u r ru r r u r r ， 295sin ,m n <>=u r r因此二面角B D A C '--的正弦值是295. 考点：线面垂直的判定、二面角.【名师点睛】证明直线和平面垂直的常用方法有：①判定定理；②a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α；③α∥β，a ⊥α⇒a ⊥β；④面面垂直的性质．线面垂直的性质，常用来证明线线垂直．求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．16.【2016高考山东理数】在如图所示的圆台中，AC 是下底面圆O 的直径，EF 是上底面圆O '的直径，FB 是圆台的一条母线.（I ）已知G ,H 分别为EC ，FB 的中点，求证：GH ∥平面ABC ；（II ）已知EF =FB =12AC =23，AB =BC .求二面角F BC A --的余弦值.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）77【解析】试题分析：（Ⅰ）根据线线、面面平行可得与直线GH 与平面ABC 平行；（Ⅱ）立体几何中的角与距离的计算问题，往往可以利用几何法、空间向量方法求解，其中解法一建立空间直角坐标系求解；解法二则是找到FNM ∠为二面角F BC A --的平面角直接求解. 试题解析：（II ）解法一：连接'OO ,则'OO ⊥平面ABC ，又,AB BC =且AC 是圆O 的直径，所以.BO AC ⊥ 以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，由题意得(0,23,0)B ，(23,0,0)C -，过点F 作FM OB 垂直于点M ，所以223,FM FB BM =-=可得(0,3,3)F故(23,23,0),(0,3,3)BC BF =--=-u u u r u u u r. 设(,,)m x y z =u r是平面BCF 的一个法向量.由0,0m BC m BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u r u r u u u r可得23230, 330x yy z⎧--=⎪⎨-+=⎪⎩可得平面BCF的一个法向量3(1,1,),3m=-u r因为平面ABC的一个法向量(0,0,1),n=r所以7cos,||||m nm nm n⋅<>==u r ru r ru r r.所以二面角F BC A--的余弦值为77.解法二：连接'OO，过点F作FM OB⊥于点M，则有//'FM OO,又'OO⊥平面ABC，所以FM⊥平面ABC,可得223,FM FB BM-=过点M作MN BC垂直于点N，连接FN，可得FN BC⊥,从而FNM∠为二面角F BC A--的平面角. 又AB BC=,AC是圆O的直径，所以6sin45MN BM==o从而422FN =，可得7cos .FNM ∠=所以二面角F BC A --的余弦值为77. 考点：1.平行关系；2. 异面直线所成角的计算.【名师点睛】此类题目是立体几何中的常见问题.解答本题，关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，给出规范的证明.立体几何中的角与距离的计算问题，往往可以利用几何法、空间向量方法求解，应根据题目条件，灵活选择方法.本题能较好的考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力\转化与化归思想及基本运算能力等. 17.【2016高考江苏卷】(本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在侧棱B 1B 上，且11B D A F ⊥ ，1111AC A B ⊥.求证：（1）直线DE ∥平面A 1C 1F ；（2）平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F .【答案】（1）详见解析（2）详见解析【解析】试题分析：（1）利用线面平行判定定理证明线面平行，而线线平行的寻找往往结合平几知识，如中位线性质（2）利用面面垂直判定定理证明，即从线面垂直出发给予证明，而线面垂直的证明，往往需要多次利用线面垂直性质与判定定理,如将线线垂直1111AC A B ⊥先转化到线面垂直11AC ⊥平面11ABB A ，从而得到线线垂直111AC B D ⊥，再结合11B D A ⊥F ，转化到线面垂直111C F B D A ⊥平面试题解析：证明：（1）在直三棱柱111ABC A B C -中，11//AC AC 在三角形ABC 中，因为D,E 分别为AB,BC 的中点.所以//DE AC ，于是11//DE AC又因为DE ⊄平面1111,AC F AC ⊂平面11AC F 所以直线DE//平面11AC F（2）在直三棱柱111ABC A B C -中，1111AA ⊥平面A B C 因为11AC ⊂平面111A B C ，所以111AA ⊥A C又因为111111*********,,AC A B AA ABB A A B ABB A A B AA A ⊥⊂⊂=I ，平面平面所以11AC ⊥平面11ABB A因为1B D ⊂平面11ABB A ，所以111AC B D ⊥又因为1111111111111C F,C F,B D A AC A A F A AC A F A ⊥⊂⊂=I F ，平面平面所以111C F B D A ⊥平面因为直线11B D B DE ⊂平面，所以1B DE 平面11.AC F ⊥平面考点：直线与直线、平面与平面位置关系【名师点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型. (1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行. (2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直. (3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.(4)证明面面垂直，需转化为证明线面垂直，进而转化为证明线线垂直. 18.【2016高考天津理数】（本小题满分13分）如图，正方形ABCD 的中心为O ，四边形OBEF 为矩形，平面OBEF ⊥平面ABCD ，点G 为AB 的中点，AB =BE =2.（I ）求证：EG ∥平面ADF ；（II ）求二面角O -EF -C 的正弦值；（III ）设H 为线段AF 上的点，且AH =23HF ，求直线BH 和平面CEF 所成角的正弦值.【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）3（Ⅲ）7【解析】试题解析：依题意，OF ABCD ⊥平面，如图，以O 为点，分别以,,AD BA OF u u u r u u u r u u u r的方向为x 轴，y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得(0,0,0)O ，()1,1,0,(1,1,0),(1,1,0),(11,0),(1,1,2),(0,0,2),(1,0,0)A B C D E F G -------，.（I ）证明：依题意，()(2,0,0),1,1,2AD AF ==-u u u r u u u r .设()1,,n x y z =u r 为平面ADF 的法向量，则110n AD n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u ru r u u u r，即2020x x y z =⎧⎨-+=⎩ .不妨设1z =，可得()10,2,1n =u r ，又()0,1,2EG =-u u u r ，可得10EG n ⋅=u u u r u r ，又因为直线EG ADF ⊄平面，所以//EG ADF 平面.（II ）解：易证，()1,1,0OA =-u u u r 为平面OEF 的一个法向量.依题意，()()1,1,0,1,1,2EF CF ==-u u u r u u u r.设()2,,n x y z =u u r 为平面CEF 的法向量，则220n EF n CF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u r u u u r u u r u u u r，即020x y x y z +=⎧⎨-++=⎩.不妨设1x =，可得()21,1,1n =-u u r.因此有222cos ,3OA n OA n OA n ⋅<>==-⋅u u u r u u ru u u r u u r u u u r u u r，于是2sin ,3OA n <>=u u u r u u r ，所以，二面角O EF C --的正弦值（III ）解：由23AH HF =，得25AH AF =.因为()1,1,2AF =-u u u r ，所以2224,,5555AH AF ⎛⎫==- ⎪⎝⎭u u u r u u u r ，进而有334,,555H ⎛⎫- ⎪⎝⎭，从而284,,555BH ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r，因此222cos ,BH n BH n BH n ⋅<>==⋅u u u r u u ru u u r u u r u u u r u u r .所以，直线BH 和平面CEF所成角的正弦值为21. 考点：利用空间向量解决立体几何问题 19.【2016年高考北京理数】（本小题14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，PA PD =，AB AD ⊥，1AB =，2AD =，AC CD ==（1）求证：PD ⊥平面PAB ；（2）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值；（3）在棱PA 上是否存在点M ，使得//BM 平面PCD ？若存在，求AM AP的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）见解析；（2）3；（3）存在，14AM AP =试题解析：（1）因为平面PAD ⊥平面ABCD ，AB AD ⊥，所以⊥AB 平面PAD ，所以PD AB ⊥，又因为PD PA ⊥，所以⊥PD 平面PAB ；（2）取AD 的中点O ，连结PO ，CO ，因为PA PD =，所以AD PO ⊥.又因为⊂PO 平面PAD ，平面⊥PAD 平面ABCD ，所以⊥PO 平面ABCD .因为⊂CO 平面ABCD ，所以⊥PO CO .因为CD AC =，所以AD CO ⊥.如图建立空间直角坐标系xyz O -，由题意得，)1,0,0(),0,1,0(),0,0,2(),0,1,1(),0,1,0(P D C B A -.设平面PCD 的法向量为),,(z y x n =，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,0,0PC n PD n 即⎩⎨⎧=-=--,02,0z x z y 令2=z ，则2,1-==y x .所以)2,2,1(-=n .又)1,1,1(-=PB ，所以33,cos -=>=<PB n PBn PB n . 所以直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为33.（3）设M 是棱PA 上一点，则存在]1,0[∈λ使得AP AM λ=.因此点),,1(),,1,0(λλλλ--=-BM M .因为⊄BM 平面PCD ，所以∥BM 平面PCD 当且仅当0=⋅n BM ，即0)2,2,1(),,1(=-⋅--λλ，解得41=λ. 所以在棱PA 上存在点M 使得BM ∥平面PCD ，此时41=AP AM . 考点：1.空间垂直判定与性质；2.异面直线所成角的计算；3.空间向量的运用.【名师点睛】平面与平面垂直的性质的应用：当两个平面垂直时，常作的辅助线是在其中一个面内作交线的垂线，把面面垂直转化为线面垂直，进而可以证明线线垂直(必要时可以通过平面几何的知识证明垂直关系)，构造(寻找)二面角的平面角或得到点到面的距离等.20.【2016高考新课标3理数】如图，四棱锥P ABC -中，PA ⊥地面ABCD ，AD BC P ，3AB AD AC ===，4PA BC ==，M 为线段AD 上一点，2AM MD =，N 为PC 的中点．（I ）证明MN P 平面PAB ；（II ）求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值.【答案】（Ⅰ）见解析；85．【解析】试题分析：（Ⅰ）取PB 的中点T ，然后结合条件中的数据证明四边形AMNT 为平行四边形，从而得到MN AT P ，由此结合线面平行的判断定理可证；（Ⅱ）以A 为坐标原点，以,AD AP 所在直线分别为,y z 轴建立空间直角坐标系，然后通过求直线AN 的方向向量与平面PMN 法向量的夹角来处理AN 与平面PMN 所成角．试题解析：（Ⅰ）由已知得232==AD AM ，取BP 的中点T ，连接TN AT ,，由N 为PC 中点知BC TN //，221==BC TN . 又BC AD //，故TN AM P ，四边形AMNT 为平行四边形，于是AT MN //.因为⊂AT 平面PAB ，⊄MN 平面PAB ，所以//MN 平面PAB .（Ⅱ）取BC 的中点E ，连结AE ，由AC AB =得BC AE ⊥，从而AD AE ⊥，且5)2(2222=-=-=BC AB BE AB AE . 以A 为坐标原点，AE uuu r 的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系xyz A -，由题意知，)4,0,0(P ，)0,2,0(M ，)0,2,5(C ，)2,1,25(N ， (0,2,4)PM =-u u u u r ，)2,1,25(-=PN ，)2,1,25(=AN . 设(,,)n x y z =r 为平面PMN 的法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00PN n PM n ，即⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-0225042z y x z x ，可取(0,2,1)n =r ，于是||85|cos ,|25||||n AN n AN n AN ⋅<>==r u u u r r u u u r r u u u r .考点：1、空间直线与平面间的平行与垂直关系；2、棱锥的体积．【技巧点拨】（1）证明立体几何中的平行关系，常常是通过线线平行来实现，而线线平行常常利用三角形的中位线、平行四边形与梯形的平行关系来推证；（2）求解空间中的角和距离常常可通过建立空间直角坐标系，利用空间向量中的夹角与距离来处理．21.【2016高考浙江理数】(本题满分15分)如图,在三棱台ABC DEF -中,平面BCFE ⊥平面ABC ,=90ACB ∠o ,BE =EF =FC =1,BC =2,AC =3.(I)求证：EF ⊥平面ACFD ；(II)求二面角B -AD -F 的平面角的余弦值.【答案】（I ）证明见解析；（II ）34．【解析】试题分析：（I ）先证F C B ⊥A ，再证F C B ⊥K ，进而可证F B ⊥平面CFD A ；（II ）方法一：先找二面角D F B-A -的平面角，再在Rt QF ∆B 中计算，即可得二面角D F B-A -的平面角的余弦值；方法二：先建立空间直角坐标系，再计算平面C A K 和平面ABK 的法向量，进而可得二面角D F B-A -的平面角的余弦值．所以F B ⊥平面CFD A ．（II ）方法一：过点F 作FQ ⊥AK ，连结Q B ．因为F B ⊥平面C A K ，所以F B ⊥AK ，则AK ⊥平面QF B ，所以Q B ⊥AK ．所以，QF ∠B 是二面角D F B-A -的平面角．在Rt C ∆A K 中，C 3A =，C 2K =，得313FQ =．在Rt QF ∆B 中，313FQ =，F 3B =3cos QF ∠B = 所以，二面角D F B-A -的平面角的余弦值为34．方法二：如图，延长D A ，BE ，CF 相交于一点K ，则C ∆B K 为等边三角形．取C B 的中点O ，则C KO ⊥B ，又平面CF B E ⊥平面C AB ，所以，KO ⊥平面C AB ．以点O 为原点，分别以射线OB ，OK 的方向为x ，z 的正方向，建立空间直角坐标系xyz O ．由题意得()1,0,0B ，()C 1,0,0-，()0,0,3K ， ()1,3,0A --，13,0,2⎛⎫E ⎪ ⎪⎝⎭，13F ,0,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭．因此， ()C 0,3,0A =u u u r ，()1,3,3AK =u u u r ，()2,3,0AB =u u u r ．设平面C A K 的法向量为()111,,m x y z =r ，平面ABK 的法向量为()222,,n x y z =r．由C 00m m ⎧A ⋅=⎪⎨AK ⋅=⎪⎩u u u r r u u u r r ，得111130330y x y z =⎧⎪⎨++=⎪⎩，取()3,0,1m =-r ；由00n n ⎧AB⋅=⎪⎨AK ⋅=⎪⎩u u u r r u u u r r ，得22222230330x y x y z +=⎧⎪⎨++=⎪⎩，取()3,2,3n =-r ．于是，3cos ,m n m n m n ⋅==⋅r r r r r r ．所以，二面角D F B-A -的平面角的余弦值为3．考点：1、线面垂直；2、二面角．【方法点睛】解题时一定要注意二面角的平面角是锐角还是钝角，否则很容易出现错误．证明线面垂直的关键是证明线线垂直，证明线线垂直常用的方法是直角三角形、等腰三角形的“三线合一”和菱形、正方形的对角线．22.【2016年高考四川理数】（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=12AD，E为边AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°.（Ⅰ）在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；（Ⅱ）若二面角P-CD-A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.E D CB PA【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）1 3 .【解析】试题解析：（Ⅰ）在梯形ABCD中，AB与CD不平行.延长AB，DC，相交于点M（M∈平面P AB），点M即为所求的一个点.理由如下：由已知，BC∥ED，且BC=ED.所以四边形BCDE是平行四边形.，所以CD∥EB从而CM∥EB.又EB⊂平面PBE，CM⊄平面PBE，所以CM∥平面PBE.（说明：延长AP至点N，使得AP=PN，则所找的点可以是直线MN上任意一点）（Ⅱ）方法一：由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PA⋂AD=A，所以CD⊥平面PAD.从而CD⊥PD.所以∠PDA是二面角P-CD-A的平面角.所以∠PDA=45°.设BC=1，则在Rt △PAD 中，PA=AD=2.过点A 作AH ⊥CE ，交CE 的延长线于点H ，连接PH.易知PA ⊥平面ABCD ，从而PA ⊥CE.于是CE ⊥平面PAH.所以平面PCE ⊥平面PAH.过A 作AQ ⊥PH 于Q ，则AQ ⊥平面PCE.所以∠APH 是PA 与平面PCE 所成的角.在Rt △AEH 中，∠AEH=45°，AE=1，所以AH=22. 在Rt △PAH 中，PH=22PA AH +=322，所以sin ∠APH=AH PH =13.方法二：由已知，CD ⊥PA ，CD ⊥AD ，PA ⋂AD=A ，所以CD ⊥平面PAD.于是CD ⊥PD.从而∠PDA 是二面角P-CD-A 的平面角.所以∠PDA=45°.由PA ⊥AB ，可得PA ⊥平面ABCD.设BC=1，则在Rt △PAD 中，PA=AD=2.作Ay ⊥AD ，以A 为原点，以AD u u u r ,AP u u u r 的方向分别为x 轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz ，则A （0,0,0），P （0,0,2），C(2,1,0)，E(1,0,0)，所以PE u u u r =（1,0,-2），EC uuu r =（1,1,0），AP u u u r =（0,0,2）设平面PCE 的法向量为n=(x,y,z)，由0,0,PE EC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u u u u u r u u u r n n 得20,0,x z x y -=⎧⎨+=⎩ 设x=2，解得n=(2,-2,1). 设直线PA 与平面PCE 所成角为α，则sin α=||||||n AP n AP ⋅⋅u u u u r u u u r13= . 所以直线PA 与平面PCE 所成角的正弦值为13. P考点：线线平行、线面平行、向量法.【名师点睛】本题考查线面平行、线线平行、向量法等基础知识，考查空间想象能力、分析问题的能力、计算能力.证明线面平行时，可根据判定定理的条件在平面内找一条平行线，而这条平行线一般是由过面外的直线的一个平面与此平面相交而得，证明时注意定理的另外两个条件（线在面内，线在面外）要写全，否则会被扣分，求线面角（以及其他角），一种方法可根据定义作出这个角（注意还要证明），然后通过解三角形求出这个角．另一种方法建立空间直角坐标系，用向量法求角，这种方法主要是计算，不需要“作角、证明”，关键是记住相应公式即可．23. 【2016高考上海理数】将边长为1的正方形11AAO O （及其内部）绕的1OO 旋转一周形成圆柱，如图，»AC 长为23π，¼11A B 长为3π，其中1B 与C 在平面11AAO O 的同侧。

【原创】广州市2016届高三下学期高考数学模拟试题精选汇总：导数02 Word版含答案

导数021．已知函数f(x)=aln(e x+1)-(a+1)x,g(x)=x 2-(a-1)x-f(lnx), a ∈R,且g(x)在x=1处取得极值.(1)求a 的值;(2)若对0≤x ≤3, 不等式g(x)≤|m-1|成立,求m 的取值范围;(3)已知∆ABC 的三个顶点A,B,C 都在函数f(x)的图像上,且横坐标依次成等差数列,讨论∆ABC 是否为钝角三角形,是否为等腰三角形.并证明你的结论.2．已知函数f(x)=(x 2+ax-2a 2+3a)e x(x ∈R),其中A ∈R.(1)当a=0时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率; (2)当a ≠2/3时,求函数f(x)的单调区间与极值.3．已知函数f （x ）=21ax 2-（2a+1）x+2lnx(a ∈Ｒ). （1）若曲线y=f （x ）在x=1和x=3处的切线互相平行，求a 的值；（2）求f （x ）的单调区间；（3）设g （x ）=x 2-2x ，若对任意x 1∈（0，2]，均存在x 2∈（0，2]，使得f （x 1）<g （x 2），求a 的取值范围。

4．设函数()ln af x x x x=+,32()3g x x x =--. (Ⅰ)讨论函数()()f x h x x=的单调性;(Ⅱ)如果存在12,[0,2]x x ∈,使得12()()g x g x M -≥成立,求满足上述条件的最大整数M ;(Ⅲ)如果对任意的1,[,2]2s t ∈,都有()()f s g t ≥成立,求实数a 的取值范围.5．设函数f(x)=ax-(a+1)ln(x+1),其中a>0.(1)求f(x)的单调区间;(2)当x>0时,证明不等式:x x +1<ln(x+1)<x;(3)设f(x)的最小值为g(a),证明不等式:-1<ag(a)<06．已知函数ln () 1.xf x x=- (1)求函数()f x 的单调区间;(2)设0m >,求函数()f x 在[,2]m m 上的最大值; (3)证明:对*∀∈n N ,不等式22ln()e n nn n++<恒成立7．已知函数()ln f x x a x =-，1(), (R).ag x a x+=-∈ （Ⅰ）若1a =，求函数()f x 的极值；（Ⅱ）设函数()()()h x f x g x =-，求函数()h x 的单调区间；(Ⅲ)若在[]1,e （e 2.718...=）上存在一点0x ，使得0()f x <0()g x 成立，求a 的取值范围.8．已知函数x x ppx x f ln )(--=，)21(ln )(22p e e x p x x g -+-=，其中无理数e=2.71828…. （1）若p=0，求证：x x f -≥1)(；（2）若)(x f 在其定义域内是单调函数，求p 的取值范围；（3）对于在区间（1,2）中的任意常数p ，是否存在00>x 使得)()(00x g x f ≤成立？若存在，求出符合条件的一个x 0；若不存在，请说明理由.参考答案2. （1）解:.3)1(')2()(')(022e f e x x x f e x x f a xx =+===，故，时，当 .3))1(,1()(e f x f y 处的切线的斜率为在点所以曲线=（2）[].42)2()('22x e a a x a x x f +-++=解：.2232.220)('-≠-≠-=-==a a a a x a x x f 知，由，或，解得令以下分两种情况讨论。

2016年高考立体几何汇编(含答案)

2016年高考立体几何汇编一、选择题1、（2016年山东高考）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为（）（A ）12+π33（B ）12+π33 （C ）12+π36 （D ）21+π6 【答案】c2、（2016年上海高考）如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BC 、BB 1的中点，则下列直线中与直线EF 相交的是（） (A)直线AA 1 (B)直线A 1B 1 (C)直线A 1D 1 (D)直线B 1C 1【答案】D3、（2016年天津高考）将一个长方形沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧（左）视图为（）【答案】B4、（2016年全国I 卷高考）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是（A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π【答案】A5、（2016年全国I 卷高考）如平面α过正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的顶点A ，11//CB D α平面,ABCD m α= 平面，11ABB A n α= 平面，则m ，n 所成角的正弦值为（A ）32（B ）22（C ）33（D ）13【答案】A6、（2016年全国II 卷高考）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）（A ）20π （B ）24π （C ）28π （D ）32π 【答案】C7、（2016年全国III 卷高考）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（A）18365+（C）90 （D）81 +（B）54185【答案】B8、（2016年浙江高考）已知互相垂直的平面αβ，交于直线l.若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则（）A.m∥lB.m∥nC.n⊥lD.m⊥n【答案】C二、填空题1、（2016年北京高考）某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为___________.【答案】3.22、（2016年四川高考）已知某三菱锥的三视图如图所示，则该三菱锥的体积。

2016全国卷高考文科数学模拟试题汇编--空间立体几何

2016全国卷高考文科数学模拟试题汇编—空间立体几何 2016-2-1教学内容一，三视图与几何体的表面积体积1．[2015·正三棱柱ABC A 1B 1C 1的底面边长为2，侧棱长为3，D 为BC 中点，则三棱锥A B 1DC 1的体积为________．2．已知一个正方体的所有顶点都在一个球面上，若球的体积为9π2，则正方体的棱长为3 一个六棱锥的体积为23，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为__________．4已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为2，线段EF ，GH 分别在AB ，CC 1上移动，且EF ＋GH ＝12，则四面体EFGH 的体积的最大值为________．5 某四面体的三视图均为直角三角形，如图129所示，则该四面体的表面积为( )A ．72＋242B ．96＋242C ．126D ．646三棱锥P ABC 中，PA ⊥底面ABC ，PA ＝3，底面ABC 是边长为2的正三角形，则三棱锥P ABC 的体积等于________．7一块石材表示的几何体的三视图如图1210所示，将该石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于( )A ．1 B ．2C ．3 D ．48 球面上有四个点P ，A ，B ，C ，若PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且PA ＝PB ＝PC ＝1，则该球的表面积是________．9 若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为1，则圆锥的体积为二 (1)点线面的位置关系(2)线线角线面角面面角点面距离1．]已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，若m ⊥α，n ⊂α，则m 与n 的位置关系为________． 2．如图131所示，直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，D 是AB 的中点．则BC 1与平面A 1CD 的位置关系②是________．3．如图132所示，三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AA 1⊥BC ，A 1B ⊥BB 1，则A 1C 与CC 1的位置关系③是______ 4．图133所示，三棱锥A BCD 中，AB ⊥平面BCD ，CD ⊥BD ，则CD 与平面ABD 的位置关系④是5．若三棱锥C 1A 1EB 1的体积为3，则异面直线AC 与C 1E 所成的角⑤为 ________．6 (1设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面( )A ．若m ⊥n ，n ∥α，则m ⊥αB ．若m ∥β，β⊥α则m ⊥αC ．若m ⊥β，n ⊥β，n ⊥α则m ⊥αD ．若m ⊥n ，n ⊥β，β⊥α，则m ⊥α 7下列命题为真命题的是( )A ．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B ．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C ．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D ．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行8 (1)已知直线a ，b 异面，给出以下命题：①一定存在平行于a 的平面α，使得b ⊥α；②一定存在平行于a 的平面α，使得b ∥α；③一定存在平行于a 的平面α，使得b ⊂α；④一定存在无数个平行于a 的平面α与b 交于一定点．其中真命题的序号是( )A ．①④B ．②③C ．①②③D ．②③④9已知E ，F ，G ，H 是空间四点，条件甲：E ，F ，G ，H 四点不共面，条件乙：直线EF 和GH 不相交，则甲是乙成立的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10 如图135所示，四棱锥P ABCD 中，AP ⊥平面PCD ，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝12AD ，E ，F 分别为线段AD ，PC 的中点. 求证：AP ∥平面BEF11如图136所示，四边形ABCD为矩形，四边形ADEF为梯形，AD∥FE，FE＝2AD，点G为AC的中点．求证：EG∥平面ABF.12 如图137所示，在四棱锥PABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点，求证：(1)PA⊥平面ABCD；(2)平面BEF⊥平面PCD.13 如图138所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，AB⊥侧面BB1C1C，已知BB1＝2，BA＝2，BC＝1，BCC1＝π3.(1)求证：C1B⊥平面ABC；(2)试在棱CC1(不包含端点C，C1)上确定一点E，使得EA⊥EB1.14 如图139所示，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．(1)证明：PB∥平面AEC；(2)设AP＝1，AD＝3，三棱锥PABD的体积V＝34，求A到平面PBC的距离．15 如图1310所示，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，O是AC的中点，A1O⊥平面ABC，∠BCA＝90°，AA1＝AC＝BC.16空间中，若a，b，c为三条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，则下列命题为真命题的是A．若a∥α，b∥α，则a∥b B．若a∥α，a∥β，则α∥βC．若a⊥α，b⊥α，则a∥b D．若α⊥β，α⊥γ，则β∥γ17如图所示，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，正方体的六个面所在的平面与直线CE，EF相交的平面个数分别记为m，n，那么m＋n＝18已知一个四棱锥的三视图和直观图如图所示，且俯视图中∠DAB＝60°，直观图中E为侧棱PD的中点．(1)求证：PB∥平面AEC.(2)若F为侧棱PA上的一点，且PFFA＝λ，则当λ为何值时，PA⊥平面BDF？并求此时几何体FBDC的体积19在三棱柱ABCA1B1C1中，AB⊥平面BB1C1C，已知BC＝1，∠BCC1＝π3，AB＝CC1＝2.(1)求证：C1B⊥平面ABC；(2)设E是CC1的中点，求A E和平面ABC1所成角的正弦值．20如图所示，四棱锥PABCD的底面为正方形，AC∩BD＝O，PO⊥平面ABCD，PA＝AB，E，F，G分别是PO，AD，AB的中点．(1)求证：PC⊥平面EFG；(2)若AB＝1，求三棱锥OEFG的高．。

2016年广东省广州市高考数学二模试卷(理科)(解析版)

第1页（共21页）2016年广东省广州市高考数学二模试卷（理科）一•选择题：本大题共12小题，每小题5M= {x| — 1 v x v 1}, N= {x| x 2v 2, x € Z}，则( B . N? M2.已知复数V3Hz=其中 i 为虚数单位，则|z| =（3.已知 cos0) 1 nt =—，则1B 迟C .-—3 3 3sin 哥0 ）的值是（D*),且 P (x w 4)=0.84,贝U P (2 v x v 4)=(5.不等式组的解集记为 D ，若（a, b ） € D ，则z=2a - 3b 的最小值是（C . 126.使(x 2+n （ n € N ）展开式中含有常数项的 n 的最小值是（C . 5D . 67.已知函数 f (x ) =sin (2x+0) 0v兀~2 3兀兀兀5兀A . [2k 冗-, 2k n + :] ( k € Z ) B .[2k n+ .., 2k n+ 'C . [k n-3兀"T7T，kn+_8 ](k € Z )D .兀 [k n — 5兀,kn+ir](k € Z ),0）,则函已知球O 的半径为R , A , B , C 三点在球O 的球面上，球心 O 到平面ABC 的距离为，则球O 的表面积为（16 IE 6464j n B . :nC .「D .::n)X ，命题 q : ?中为真命题的是（A . p A qB .厂 p ）A 10.如图，网格纸上的小正方形的边长为体的体积是（）） q C . p A （「q ） D .厂 p ）A （「q ）1,粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何A .4.已知随机变量x 服从正态分布 N ( 3, A . 0.84 B . 0.68 C . 0.32 D . 0.16 ）的图象的一个对称中心为（X数f （x ）的单调递减区间是（ )](k €Z )O.AB=AC=2，/ BAC=120A .* 9.已知命题 p ： ? x € N *,(寺‘分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合C. M n N={ 0} D . M U N=NA. M? NA . 4+6 n B. 8+6 n C. 4+12 n D . 8+12 n2 211. 已知点o为坐标原点，点M在双曲线C: x - y =入(入为正常数)上，过点M作双曲线C的某一条渐近线的垂线，垂足为N，则| ON| ?|MN |的值为( )k I XA.—…B. —-C.入 D .无法确定12. 设函数f (x)的定义域为R, f (- x) =f (x), f (x) =f (2- x),当x € ［ 0, 1］时，fo 11. B(x) =x3.则函数g (x) =| cos ( nc) | - f (x)在区间［-q■，专］上的所有零点的和为() A . 7 B. 6 C. 3 D. 2二•填空题：本大题共4小题，每小题5分.13. _____________________________________________________ 曲线f (x) =^+3x在点(1, f (1))处的切线方程为___________________________________________ .Tf —”14. 已知平面向量■与n的夹角为_____________________ ，■! = (1, . ：), |.1 - 2.| =2 ::.则「・|= .15. 已知中心在坐标原点的椭圆C的右焦点为F ( 1, 0),点F关于直线y*x的对称点在椭圆C上，则椭圆C的方程为_________ .16. 在△ ABC 中，a, b, c 分别为内角A , B , C 的对边，a+c=4, (2 - cosA) ta =si nA, 则厶ABC的面积的最大值为 ________ .三•解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 设S n是数列｛a n｝的前n 项和，已知a1=3, a n+1=2S n+3 (n€ N)(I)求数列｛a n｝的通项公式；(n )令b n= (2n- 1) a n,求数列｛b n｝的前n项和T n.18. 班主任为了对本班学生的考试成绩进行分折，决定从本班24名女同学，18名男同学中随机抽取一个容量为7的样本进行分析.(I)如果按照性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？(写出算式即可，不必计算出结果) (n )如果随机抽取的7名同学的数学，物理成绩(单位：分)对应如表：学生序号i1234567数学成绩60657075858790 x i物理成绩70778085908693y i(i)若规定85分以上(包括85分)为优秀，从这7名同学中抽取3名同学，记3名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为&求E的分布列和数学期望；(ii )根据上表数据，求物理成绩y 关于数学成绩x 的线性回归方程(系数精确到0.01);若班上某位同学的数学成绩为96分，预测该同学的物理成绩为多少分？E _ s) (y t _ v) y=bx+a|，其中 b_-L 心广i=l19•如图，在多面体 ABCDM 中，△ BCD 是等边三角形，△ CMD 是等腰直角三角形，/ CMD=90 °平面 CMD 丄平面 BCD , AB 丄平面 BCD • (I )求证：CD 丄AM ;(n )若AM=BC=2，求直线AM 与平面BDM 所成角的正弦值.20. 已知点F (1 , 0),点A 是直线11： x= - 1上的动点，过 A 作直线12, I l 丄12，线段AF 的垂直平分线与I 2交于点P .(I )求点P 的轨迹C 的方程；(n )若点M , N 是直线I 1上两个不同的点，且△ PMN 的内切圆方程为21. 已知函数 f (x ) =e -x - ax (x € R ).(I )当a=- 1时，求函数f (x )的最小值；(n ) 若x >0时，f (- x ) +ln (x+1)> 1，求实数a 的取值范围; (in )求证£ 匚 ~.四•请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.［选修4-1 :几何证明选讲］22. 如图，四边形 ABCD 是圆O 的内接四边形，AB 是圆O 的直径，BC=CD , AD 的延长线与BC 的延长线交于点 E ，过C 作CF 丄AE ，垂足为点F . (I )证明：CF 是圆O 的切线； (n )若 BC=4 , AE=9，求 CF 的长.附：回归直线的方程是:2冋7T_ _E (叮/E (x L - y) (y- - y)1=1 i=l的斜率为 k ,求Ikl | W I 的取值范围.x 2+y 2=1，直线 PF812526点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线I 的极坐标方程为 psin ((I )将曲线C 和直线I 化为直角坐标方程；(H)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线 I 的距离的最大值.［选修4-5 :不等式选讲］24.已知函数 f (x ) =Iog 2 (|x+1|+| x - 2| - a ). (I )当a=7时，求函数f (x )的定义域；(n )若关于x 的不等式f (x )> 3的解集是R ，求实数a 的最大值.［选修4-4 :坐标系与参数方程］23.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为 y=sin 9(B 为参数).以2016年广东省广州市高考数学二模试卷(理科)参考答案与试题解析一•选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.21 .已知集合 M={x| - 1 v x v 1}, N={x| x v 2, x € Z}，则()A . M? NB . N? MC . M A N={ 0}D . M U N=N 【考点】集合的包含关系判断及应用.【分析】N={x|x 2v 2, x € Z}={ - 1, 0, 1}，从而解得. 【解答】解：N={X |X 2V 2, x € Z}={ - 1, 0, 1}, 故 M A N={0}, 故选：C .z=.，其中i 为虚数单位，则| z| =(11+1 )复数求模.先根据复数的运算法则化简，再根据计算复数的模即可.•- |z|=1 , 故选：B . 故选：A .4.已知随机变量x 服从正态分布 N ( 3, d 2),且P (x w 4) =0.84,则P (2 v x v 4)=( )A . 0.84B . 0.68C . 0.32D . 0.16【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.【分析】根据对称性，由 P (x w 4) =0.84的概率可求出 P (x v 2) =P (x >4) =0.16，即可求出 P (2v x v 4).【解答】解：I P (x w 4) =0.84,2.已知复数 12【考点】【解答】Vs+iClH)2 2i ]-2 2 3.已知 cos13【考点】兀L迅3 \0)1 ntl ，贝U sin1C.巧 D .的值是(【解答】三角函数的化简求值. 由已知及诱导公式即可计算求值. 兀12解：cos (-0) =sin[兀120) ] =sin (5兀12解: z=/• P (x > 4) =1 - 0.84=0.16 P (x v 2) =P (x >4) =0.16,/• P (2 v x v 4) =P (x W 4)- P (x v 2) =0.84 - 0.16=0.68 故选B .、-y<05.不等式组- 2的解集记为K - 2y> - 2A . - 4B . - 1C . 1D . 4 【考点】简单线性规划.【分析】由题意作平面区域，从而可得当【解答】解：由题意作平面区域如下，结合图象可知，当a= - 2, b=0，即过点A 时, z=2a - 3b 有最小值为-4, 故选：A .6 •使（x 2+「- ） n （ n € N ）展开式中含有常数项的 n 的最小值是（）2 zA . 3B . 4C . 5D . 6 【考点】二项式定理的应用.【分析】在二项展开式的通项公式中，令 x 的幕指数等于0，求出n 与r 的关系值，即可求得n 的最小值.【解答】解：（X 2+*T ） n （n € N ）展开式的通项公式为 T r +仁C ：?（*）'?x 2n -5r ,令2n - 5r=0 ,求得2n=5r ，可得含有常数项的 n 的最小值是5, 故选：C .D ，若（a, b ） € D ，则z=2a - 3b 的最小值是（a=- 2, b=0时有最小值，从而求得.37.已知函数 f (x ) =sin (2x+0) O v （））＜）的图象的一个对称中心为（ ,0）,则函数f (x )的单调递减区间是( ,2k n +丄](k € Z ) 7T I ,k n^] (k € Z ) A . [ 2k n — C . [ k n — 3兀 V 3兀 B . D . 兀兀 [k n — [2k n 5兀，2k — 5兀，kr ](k €Z ) ](k € Z )【考点】【分析】正弦函数的图象. 由题意和函数的对称性待定系数可得函数解析式，可得单调递减区间.【解答】解：由题意可得sin （2X 解得0=k n — 3J T ~T 丄+■：兀 7T—可得0= • f (x ) =sin (2x+ 7T T 兀7),可得k 函数 f (x ) 的单凋递减区间为 [k,kn- 8 故选：D . 0=k n &已知球O 11—R . AB=AC=2，/ BAC=120 .16g 【考点】球的体积和表面积. 【分析】利用余弦定理求出 BC 的长，进而由正弦定理求出平面ABC 截球所得圆的半径, 结合球心距，求出球的半径，代入球的表面积公式，可得答案. 【解答】解：在△ ABC 中， •/ AB=AC=2，/ BAC=120 ° • BC=』4+「2X2X2X （-寺）=2岳, 由正弦定理可得平面 ABC 截球所得圆的半径（即△ ABC 的外接圆半径）， 2/3 的半径为R , A , B , C 三点在球 O 的球面上，球心 O 到平面 ABC 的距离为，则球O 的表面积为（ IE 3 64 964 ::nr= 又•••球心到平面 ABC 的距离 •••球O 的半径R= , 5丄声 • •• R2= IS第9页(共21页)9.已知命题p ： ? x € N *,（寺）x 》（寺）x ，命题q : ? x € N *, 2x +21 x =£，则下列命题中为真命题的是（）A . p A qB .厂 p ）A qC . p A （^ q ）D .厂 p ）A （「q ）【考点】复合命题的真假.【分析】命题p :利用指数函数的性质可得：是真命题；命题 q :由2L21 — x =2一］,化为: （2x ） 2 -2「?2x +2=0，解得2x = .x=」-，即可判断出真假，再利用复合命题真假的判定方法即可得出.命题 q ：由 2x +21-x =2 ［，化为:（2x ） 2-2 T2x +2=0，解得 2x = ［，因此 q 是假命题.则下列命题中为真命题的是 P A （「q ）, 故选：C .A . 4+6 nB . 8+6 nC . 4+12 nD . 8+12 n 【考点】由三视图求面积、体积.【分析】根据三视图知几何体是组合体：下面是半个圆柱、上面是一个以圆柱轴截面为底的四棱锥，并求出圆柱的底面半径、母线，四棱锥的高和底面边长，代入体积公式求值即可. 【解答】解：根据三视图知几何体是组合体，下面是半个圆柱、上面是一个以圆柱轴截面为底的四棱锥，圆柱的底面半径为 2,母线长为3;四棱锥的高是2,底面是边长为4、3的矩形， •••该几何体的体积 V== X 冗天/ x 汁gx 3 x 4 x 2=6 n +8, 故选：B .11. 已知点O 为坐标原点，点 M 在双曲线C : x 2- y 2=入（入为正常数）上，过点 M 作双曲线C 的某一条渐近线的垂线，垂足为 N ，则| ON| ?|MN |的值为（）X XA . ——B . ——C .入D .无法确定故球0的表面积S=4【解答】解:命题p ： ? x € N *,（寺）x 》（舟）x，利用指数函数的性质可得：是真命题;1,粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何第10页（共21页）【考点】双曲线的简单性质.【分析】设M (m , n ),即有m 2-n 2=入，求出双曲线的渐近线为离公式，结合勾股定理可得 |0N|，化简整理计算即可得到所求值. 【解答】解：设M (m , n ),即有m 2-n 2=人双曲线的渐近线为 y= ± x ,由勾股定理可得|0N|=二吩-故选：B .12. 设函数 f (x )的定义域为 R , f (- x ) =f (x ) , f (x ) =f (2- x ),当 x € ［0, 1］时，f (x ) =x 3.则函数g (x ) =| cos (nc) | - f (x )在区间［-£ ,寺］上的所有零点的和为 ()A . 7B . 6C . 3D . 2【考点】函数零点的判定定理.1 5【分析】根据f (x )的对称性和奇偶性可知 f (x )在［-耳，耳］上共有3条对称轴，x=0 , y= | cos ( n ) | 也关于 x=0 , x=1 , x=2 对称，故而 f (x )和y=| cos ( nc) |在［0, 1］上的函数图象，15判断g (x )在［-二-，二］上的零点分布情况，利用函数的对称性得出零点之和. 【解答】解：••• f (x ) =f (2-x ), ••• f (x )关于x=1对称,••• f (- x ) =f (x ), • f (x )根与 x=0 对称, •/f (x ) =f (2- x ) =f (x - 2), ••• f (x ) =f (x+2), • f (x )是以2为周期的函数，i R• f (x )在［-〒，豆］上共有3条对称轴，分别为 x=0 , x=1 , x=2 , 又 y=| cos ( nc)关于 x=0, x=1 , x=2 对称，• x=0 , x=1 , x=2 为 g ( x )的对称轴.作出y=|cos (n <) |和y=x 3在［0, 1］上的函数图象如图所示：y= ± x ,运用点到直线的距可得| MN | =x=1 , x=2，根据三角函数的对称性可知 (x )在［-「二］上3条对称轴，根据可得 | 0N| ?|设这6个零点从小到大依次为X1, X2, X3, ••X6,则X1，X2关于X=0对称，X3, X4关于X=1对称，X5，X6关于X=2对称.• X1+X2+X +X4+X5+X6=6.故选：B.二•填空题：本大题共4小题，每小题5分.|'2|13. 曲线f （X） =^+3x在点（1, f （1））处的切线方程为y=x+4 .【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.【分析】求函数的导数，利用导数的几何意义进行求解即可.\2\【解答】解：函数的导数f' （X）=-丁+3,则f' （1）= - 2+3=1，即切线斜率k=1 ,••• f （1）=2+3=5,「.切点坐标为（1, 5）,则切线方程为y - 5=X - 1，即y=x+4,故答案为：y=x+414•已知平面向量占与b的夹角为丁，n= （1,體），-乐|=2S% •则|b|=_2_ 【考点】平面向量数量积的运算.【分析】对| .:- 2「」=2 . 一；两边平方得出关于| |',|的方程，即可解出.兀【解答】解：|£|=2,；斥=|?|| £|co g = |駐| ,丨3 —2M =2V^,•（色°2b）2=『- 4了"二12, 1522二X[+X2=0, X+X4=2, X5+X6=4,,1）上各有1个零点.••• g (x)在[-］上共有6个零点,第12页（共21页）即 4| i.|2- 4| 订+4=12,解得 =2 • 故答案为：2.C 的右焦点为F ( 1，0)，点F 关于直线y 令X 的对称点在【考点】椭圆的简单性质.c=1，设点F (1 , 0)关于直线y=±x 的对称点为(m , n ),由两直线垂直的条件：斜率之积为- 解方程可得a , b ,进而得到椭圆方程.【解答】解：设椭圆的方程为 —+ =1 (a > b > 0),由题意可得c=1，即a 2 - b 2=1,设点F (1, 0)关于直线讨=x 的对称点为(m , n ),_ 2 J可得椭圆的方程为「=1.故答案为：詈+詈=「16. 在△ ABC 中，a, b , c 分别为内角 A , B , C 的对边，a+c=4, (2 -cosA ) tan_ =si nA , 则厶ABC 的面积的最大值为 •'；.【考点】余弦定理；正弦定理.【分析】使用半角公式化简条件式，利用正弦定理得出 a , b , c 的关系，使用海伦公式和基本不等式得出面积的最大值.【解答】解：在△ ABC 中，•.•( 2 - cosA ) ta^-=sinA ,「.( 2 - cosA )・—一=sinA ,H1+COSD即 2sinB=sinA +sinAcosB+cosAsinB=sinA +sinC , 2b=a+c=4b=2 .2 K 1 2y 2a b15.已知中心在坐标原点的椭圆椭圆C 上，则椭圆C 的方程为 _ 2 27>■ + T =1门q1，以及中点坐标公式,可得1解得m=7?=-2，且十门=丄2 -5'n=" ，即对称点为(K,).代入椭圆方程可得解得迸,b 2=9 1 &-+25a 2 25b z 4=1,【分析】设椭圆的方程为=1 (a > b > 0),由题意可得T a+c=4,「. a=4 - c..S= I ；］ : / ..■=〔匸二：一1•••( 3-c) (c- 1 )w (3 _ u；c _ 1 )2=1,.S w ；故答案为：.-.三•解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 设S n是数列｛a n｝的前n 项和，已知a i=3, a n+i=2S n+3 (n€ N)(I)求数列｛a n｝的通项公式；(n )令b n= (2n - 1) a n,求数列｛ b n｝的前n项和T n.【考点】数列的求和；数列递推式.【分析】(I)利用递推关系与等比数列的通项公式即可得出；(II)利用错位相减法”与等比数列的其前n项和公式即可得出.【解答】解：(I)T a n+1=2S n+3 ,•••当n> 2时，a n=2S n-1+3, .a n+1 - a n=2 ( S n - S n -1)=2a n,化为a n+1=3a n.••数列｛a n｝是等比数列，首项为3，公比为3.• a n=3n.(II) b n= (2n- 1) a n= (2n - 1) ?3n,•数列｛b n｝的前n 项和T n=3+3X 32+5X 33卄+ (2n - 1) ?3n, 3T n=32+3X 33+" (2n- 3) ?3n+ (2n - 1) ?3n+1,•- 2T n=3+2 (32+33+"+3n)-( 2n - 1) ?3n+1=2X ―-——-3 -( 2n- 1) ?3n+1= (2 -3 - 12n) ?3n+1- 6,n+1• T n= (n - 1) ?3 +3.18. 班主任为了对本班学生的考试成绩进行分折，决定从本班24名女同学，18名男同学中随机抽取一个容量为7的样本进行分析.(I)如果按照性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？(写出算式即可，不必计算出结果)(n)如果随机抽取的7名同学的数学，物理成绩(单位：分)对应如表：学生序号i123 4 567数学成绩X i60657075 858790物理成绩y i(i)若规定70778085 908693 85分以上(包括85分)为优秀，从这7名冋学中抽取3名同学，记3名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为g求E的分布列和数学期望；(ii)根据上表数据，求物理成绩y关于数学成绩x的线性回归方程(系数精确到0.01)；若班上某位同学的数学成绩为96分，预测该同学的物理成绩为多少分？【考点】离散型随机变量的期望与方差；线性回归方程；离散型随机变量及其分布列. 【分析】(I )根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论.(D) (i ) E 的取值为0, 1, 2, 3,计算出相应的概率，即可得E 的分布列和数学期望.(ii )根据条件求出线性回归方程，进行求解即可.7【解答】(I )解：依据分层抽样的方法， 24名女同学中应抽取的人数为 -T -X24=4名,故不同的样本的个数为瑕C 器 (n )( i )解：••• 7名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为 3名,••• E 的取值为0, 1, 2, 3.• E 的分布列为526 — — r 0.65, a=" -「“=83 - 0.65 X 75=33.60 . oL z•••线性回归方程为 =0.65x +33.60 当 x=96 时，2 =0.65 X 96+33.60=96. 可预测该同学的物理成绩为96分.19•如图，在多面体 ABCDM 中，△ BCD 是等边三角形，△ CMD 是等腰直角三角形，/ CMD=90 °平面 CMD 丄平面 BCD , AB 丄平面 BCD . (I )求证：CD 丄AM ；(n )若AM=BC=2，求直线AM 与平面BDM 所成角的正弦值.【考点】直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系.76 y837T_ _E (珥-/E_y)_ y)1=1 i=l'18名男同学中应抽取的人数为 18=3 名,旦 J 4,P ( e=1)18飞_35=也. 11_35>3C 3=35E 0 4 35 E =0 X1 23 18121353354| 丽+1 X 18 _ 12 …1 | 9 35 +2X 35 +3 X 35' _7(ii )解：I b= 附：回归直线的方程是:812 526,P ( =2),P (=3)【分析】(I)取CD的中点0,连接OB , OM，则可证0M // AB，由CD丄OM , CD丄OB 得出CD丄平面AB0M，于是CD丄AM ；(II )以0为原点建立空间直角坐标系，求出和平面BDM的法向量厂则直线AM与平面BDM所成角的正弦值为| cosv,|> | .【解答】(I )证明：取CD的中点0,连接OB, 0M .•••△ BCD是等边三角形，•••0B 丄CD .•••△ CMD是等腰直角三角形，/ CMD=90 °•••0M 丄CD .•••平面CMD丄平面BCD，平面CMD门平面BCD=CD , 0M ?平面CMD ,• 0M丄平面BCD .又••• AB丄平面BCD ,• 0M // AB .• 0 , M , A , B四点共面.•/ 0B A0M=0 , 0B?平面0MAB , 0M?平面0MAB ,• CD 丄平面0MAB .I AM?平面0MAB ,• CD 丄AM .(n )作MN丄AB，垂足为N，贝y MN=0B .•••△ BCD是等边三角形，BC=2 ,•••"=叮尺，CD=2 .在Rt△ ANM中，二「汕■叮…7」< —..•/△ CMD是等腰直角三角形，/ CMD=90 °• AB=AN +NB=AN +0M=2 .以点0为坐标原点，以0C, B0 , 0M为坐标轴轴建立空间直角坐标系0- xyz, 则M (0, 0, 1), B© -听，0), D (- 1, 0, 0),A(h 2).晶 1),匱0).•両二4 価，-1),丽二©设平面BDM的法向量为.；=(x, y, z),由n?T| i, n? i,令y=1，得|j= ：J r --设直线AM与平面BDM所成角为0,20. 已知点F (1 , 0),点A 是直线11： x= - 1上的动点，过 A 作直线12, 11丄12，线段AF 的垂直平分线与12交于点P .(I )求点P 的轨迹C 的方程;【考点】直线与圆锥曲线的综合问题.【分析】(I )点P 到点F (1 , 0)的距离等于它到直线 11的距离，从而点 P 的轨迹是以点 F 为焦点，直线11： x= - 1为准线的抛物线，由此能求出曲线C 的方程.(n )设 P (x o , y o )，点 M (- 1, m ),点 N (- 1, n ),直线 PM 的方程为(y o - m ) x - (x o +1) y+ (y o - m ) +m (x °+1) =0, △ PMN 的内切圆的方程为 x 2+y 2=1，圆心(0, 0)到直线 PM 的距离为 1,由 X 0> 1，得(X 0-1) m 2+2y °m -( X 0+1) =0，同理，- l)n 2+2y Q n- (x Q 41)=0，由此利用韦达定理、弦长公式、直线斜率，结合已知(n )若点M , N 是直线11上两个不同的点，且△PMN 的内切圆方程为x 2+y 2=1，直线PF的斜率为 k ,求十「的取值范围.【解答】解：(I )T 点F ( 1 , 0),点A 是直线11： x= - 1上的动点，过 A 作直线12, 11丄 12,线段AF 的垂直平分线与12交于点P ,•••点P 到点F (1, 0)的距离等于它到直线 11的距离，•••点P 的轨迹是以点F 为焦点，直线1仁x= - 1为准线的抛物线, •曲线C 的方程为y 2=4x .(n )设 P (X 0, y 0),点 M (- 1, m ),点 N (- 1, n ), 直线PM 的方程为：y -m=「_ (x+1),化简，得(y o - m ) x -(x o +1) y+ •/△ PMN 的内切圆的方程为 x 2+y 2=1 ,(y o - m ) +m (x °+1) =0,•圆心(0, 0)到直线PM 的距离为1,即Y Q ~ nr+in(iJ | y 0 Jnr) 2+(x 0+l )2=1,-y,' 1= I] “I 二.’一1 丁！ JT * 丁,条件能求出由题意得 x o > 1，二上式化简，得(X 0- 1) m 2+2y o m -( x o +1) =0, 同理，有 - l)n 2+2y o n _ 6十1)二。

2016届广东省高考数学二轮专题复习空间几何体02

1．在三棱锥A －BCD 中，侧棱AB ，AC ，AD 两两垂直，△ABC ，△ACD ，△ABD 的面积分别为22，32，62，则三棱锥A －BCD 的外接球体积为________．答案6π 【详细分析】如图，以AB ，AC ，AD 为棱把该三棱锥扩充成长方体，则该长方体的外接球恰为三棱锥的外接球，∴三棱锥的外接球的直径是长方体的对角线长．据题意⎩⎪⎨⎪⎧ AB ·AC ＝2，AC ·AD ＝3，AB ·AD ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧ AB ＝2，AC ＝1，AD ＝3， ∴长方体的对角线长为AB 2＋AC 2＋AD 2＝6， ∴三棱锥外接球的半径为62. ∴三棱锥外接球的体积为V ＝43π·(62)3＝6π. 2．如图，在多面体ABCDEF 中，已知四边形ABCD 是边长为1的正方形，且△ADE ，△BCF 均为正三角形，EF ∥AB ，EF ＝2，则该多面体的体积为________．答案 23【详细分析】如图，过A ，B 两点分别作AM ，BN 垂直于EF ，垂足分别为M ，N ，连结DM ，CN ，可证得DM ⊥EF ，CN ⊥EF ，多面体ABCDEF分别为三部分，多面体的体积为V ABCDEF ＝V AMD －BNC ＋V E －AMD ＋V F －BNC .∵NF ＝12，BF ＝1，∴BN ＝32. 作NH 垂直BC 于点H ，则H为BC的中点，则NH ＝22. ∴S △BNC ＝12·BC ·NH ＝12×1×22＝24. ∴V F －BNC ＝13·S △BNC ·NF ＝224， V E －AMD ＝V F －BNC ＝224， V AMD －BNC ＝S △BNC ·MN ＝24. ∴V ABCDEF ＝23.(推荐时间：60分钟)一、填空题1．一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3，则此球的表面积为________．答案 56π【详细分析】长方体外接球直接2R ＝12＋22＋32＝14，∴R ＝142， ∴球的表面积S ＝4πR 2＝4π(14)2＝56π.2． (2012·江苏)如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝3cm ，AA 1＝2 cm ，则四棱锥A －BB 1D 1D 的体积为________ cm 3.答案 6【详细分析】关键是求出四棱锥A －BB 1D 1D 的高．连结AC 交BD 于O ，在长方体中，∵AB ＝AD ＝3，∴BD ＝32且AC ⊥BD .又∵BB 1⊥底面ABCD ，∴BB 1⊥AC .又DB ∩BB 1＝B ，∴AC ⊥平面BB 1D 1D ，∴AO 为四棱锥A －BB 1D 1D 的高且AO ＝12BD ＝322. ∵S 矩形BB 1D 1D ＝BD ×BB 1＝32×2＝62，∴VA －BB 1D 1D ＝13S 矩形BB 1D 1D ·AO ＝13×62×322＝6(cm 3)．3．如图所示，已知底面半径为r 的圆柱被一个平面所截，剩下部分的母线长的最大值为a ，最小值为b ，那么圆柱被截后剩下的部分的体积是________．答案 πr 2(a ＋b )2【详细分析】这样的几何体我们没有可以直接应用的体积计算公式，根据对称性可以把它补成一个高是a ＋b 的圆柱，这个圆柱的体积是所求的几何体体积的2倍，故所求的几何体的体积是πr 2(a ＋b )2. 4．若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为________．答案 33π 【详细分析】设圆锥的底面半径为r ，高为h ，母线长为l ，则⎩⎪⎨⎪⎧ πrl ＝2π，πr 2＝π，∴⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝2.∴h ＝l 2－r 2＝22－12＝3， ∴圆锥的体积V ＝13π·3＝33π. 5．如图(1)所示，一只装了水的密封瓶子，其内部可以看成是由半径为1 cm 和半径为3 cm的两个圆柱组成的简单几何体．当这个几何体如图(2)水平放置时，液面高度为20 cm ，当这个几何体如图(3)水平放置时，液面高度为28 cm ，则这个简单几何体的总高度为________．答案 29 cm【详细分析】设简单几何体的总高度为x cm ，根据图(2)，(3)没有液体部分体积相等得(x －20)·π·12＝(x －28)·π·32，∴x ＝29.6．已知矩形ABCD 的面积为8，当矩形周长最小时，沿对角线AC 把△ACD 折起，则三棱锥D －ABC 的外接球的表面积等于________．答案 16π【详细分析】设矩形的两邻边长度分别为a ，b ，则ab ＝8，此时2a ＋2b ≥4ab ＝82，当且仅当a ＝b ＝22时等号成立，此时四边形ABCD 为正方形，其中心到四个顶点的距离相等，均为2，无论怎样折叠，其四个顶点都在一个半径为2的球面上，这个球的表面积是4π×22＝16π.7．如图所示，在等腰梯形ABCD 中，AB ＝2DC ＝2，∠DAB ＝60°，E为AB 的中点，将△ADE 与△BEC 分别沿ED 、EC 向上折起，使A 、B 重合，形成的三棱锥的外接球的体积为________．答案 68π 【详细分析】由已知条件知，平面图形中AE ＝EB ＝BC ＝CD ＝DA ＝DE ＝EC ＝1.∴折叠后得到一个正四面体．方法一作AF ⊥平面DEC ，垂足为F ，F 即为△DEC 的中心．取EC 的中点G ，连结DG 、AG ，过球心O 作OH ⊥平面AEC .则垂足H 为△AEC 的中心．∴外接球半径可利用△OHA ∽GF A 求得．∵AG ＝32，AF ＝1－⎝⎛⎭⎫332＝63，AH ＝33，在△AFG 和△AHO 中，根据三角形相似可知，OA ＝AG ·AH AF ＝32·3363＝64.∴外接球体积为43π×OA 3＝43·π·6643＝68π.方法二如图所示，把正四面体放在正方体中，显然，正四面体的外接球就是正方体的外接球．∵正四面体的棱长为1，∴正方体的棱长为22， ∴外接球直径2R ＝3·22，∴R ＝64， ∴V ＝68π.8．如图所示，已知在多面体ABC —DEFG 中，AB ，AC ，AD 两两垂直，平面ABC ∥平面DEFG ，平面BEF ∥平面ADGC ，AB ＝AD ＝DG ＝2，AC ＝EF ＝1，则该多面体的体积为________．答案 4【详细分析】方法一 (分割法)如图所示，过点C 作CH ⊥DG 于点H ，连结EH ，这样就把多面体分割成一个直三棱柱DEH —ABC 和一个斜三棱柱BEF —CHG .于是所求几何体的体积为V ＝S △DEH ×AD ＋S △BEF ×DE ＝⎝⎛⎭⎫12×2×1×2＋⎝⎛⎭⎫12×2×1×2＝4.方法二 (补形法)如图所示，将多面体补成棱长为2的正方体，那么显然所求的多面体的体积即为该正方体体积的一半．于是所求几何体为V＝12×23＝4. 9．已知球的直径SC ＝4，A ，B 是该球球面上的两点，AB ＝2，∠ASC ＝∠BSC ＝45°，则棱锥S —ABC 的体积为________．答案 433【详细分析】如图所示，由题意知，在棱锥S —ABC 中，△SAC ，△SBC都是等腰直角三角形，其中AB ＝2，SC ＝4，SA ＝AC ＝SB ＝BC ＝2 2.取SC的中点D ，易证SC 垂直于面ABD ，因此棱锥S —ABC 的体积为两个棱锥S —ABD 和C —ABD 的体积和，所以棱锥S —ABC 的体积V ＝13SC ·S △ADB ＝13×4×3＝433.10．已知正方形ABCD 的边长为22，将△ABC 沿对角线AC 折起，使平面ABC ⊥平面ACD ，得到如右图所示的三棱锥B －ACD .若O 为AC 边的中点，M ，N 分别为线段DC ，BO 上的动点(不包括端点)，且BN ＝CM .设BN ＝x ，则三棱锥N －AMC 的体积的最大值为________．答案 23【详细分析】由平面ABC ⊥平面ACD ，且O 为AC 的中点，可知BO ⊥平面ACD ，易知BO ＝2，故三棱锥N －AMC 的高为ON ＝2－x ，△AMC 的面积为12·MC ·AC ·sin 45°＝2x ，故三棱锥N －AMC 的体积为V ＝f (x )＝13·(2－x )·2x ＝23(－x 2＋2x )(0<x <2)， ∴x ＝1时，V max ＝23. 二、解答题11．如图所示，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，E 、F 是线段AB 上的两点，且DE ⊥AB ，CF ⊥AB ，AB ＝12，AD ＝5，BC ＝42，DE ＝4.现将△ADE ，△CFB 分别沿DE ，CF 折起，使A ，B 两点重合于点G ，得到多面体CDEFG .(1)求证：平面DEG ⊥平面CFG ；(2)求多面体CDEFG 的体积．(1)证明因为DE ⊥EF ，CF ⊥EF ，所以四边形CDEF 为矩形．由GD ＝5，DE ＝4，得GE ＝GD 2－DE 2＝3. 由GC ＝42，CF ＝4，得FG ＝GC 2－CF 2＝4，所以EF ＝5.在△EFG 中，有EF 2＝GE 2＋FG 2，所以EG ⊥GF .又因为CF ⊥EF ，CF ⊥FG ，所以CF ⊥平面EFG .所以CF ⊥EG ，所以EG ⊥平面CFG .又EG ⊂平面DEG ，所以平面DEG ⊥平面CFG .(2)解如图，在平面EGF 中，过点G 作GH ⊥EF 于点H ，则GH ＝EG ·GF EF ＝125.因为平面CDEF ⊥平面EFG ，所以GH ⊥平面CDEF ，所以V 多面体CDEFG ＝13S 矩形CDEF ·GH ＝16.12．如图，四棱锥P —ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，PD ＝DC ＝4，AD ＝2，E 为PC 的中点．(1)求三棱锥A —PDE 的体积；(2)AC 边上是否存在一点M ，使得P A ∥平面EDM ？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由．解 (1)因为PD ⊥平面ABCD ，所以PD ⊥AD .又因ABCD 是矩形，所以AD ⊥CD .因PD ∩CD ＝D ，所以AD ⊥平面PCD ，所以AD 是三棱锥A —PDE 的高．因为E 为PC 的中点，且PD ＝DC ＝4，所以S △PDE ＝12S △PDC ＝12×⎝⎛⎭⎫12×4×4＝4.又AD ＝2，所以V A —PDE ＝13AD ·S △PDE ＝13×2×4＝83.(2)取AC 中点M ，连结EM ，DM ，因为E 为PC 的中点，M 是AC的中点，所以EM ∥P A .又因为EM ⊂平面EDM ，P A ⊄平面EDM ，所以P A ∥平面EDM .所以AM ＝12AC ＝ 5. 即在AC 边上存在一点M ，使得P A ∥平面EDM ，AM 的长为 5.13．如图，在Rt △ABC 中，AB ＝BC ＝4，点E 在线段AB 上．过点E 作EF ∥BC 交AC 于点F ，将△AEF 沿EF 折起到△PEF 的位置(点A 与P 重合)，使得∠PEB ＝30°.(1)求证：EF ⊥PB ；(2)试问：当点E 在何处时，四棱锥P —EFCB 的侧面PEB 的面积最大？并求此时四棱锥P —EFCB 的体积．(1)证明 ∵EF ∥BC 且BC ⊥AB ，∴EF ⊥AB ，即EF ⊥BE ，EF ⊥PE .又BE ∩PE ＝E ，∴EF ⊥平面PBE ，又PB ⊂平面PBE ，∴EF ⊥PB .(2)解设BE ＝x ，PE ＝y ，则x ＋y ＝4.∴S △PEB ＝12BE ·PE ·sin ∠PEB ＝14xy ≤14⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝1. 当且仅当x ＝y ＝2时，S △PEB 的面积最大．此时，BE ＝PE ＝2.由(1)知EF ⊥平面PBE ，∴平面PBE ⊥平面EFCB ，在平面PBE 中，作PO ⊥BE 于O ，则PO ⊥平面EFCB .即PO 为四棱锥P —EFCB 的高．又PO ＝PE ·sin 30°＝2×12＝1. S EFCB ＝12(2＋4)×2＝6. ∴V P —BCFE ＝13×6×1＝2.。

2016年广州市普通高中毕业班模拟考试理科数学试题及参考答案

2016年广州市普通高中毕业班模拟考试理科数学注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一.选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1)若全集U=R ,集合{}124xA x =<<,{}10B x x =-≥,则U A B I ð＝(A){}12x x << (B){}01x x <≤ (C){}01x x << (D){}12x x ≤< (2)已知,a b ∈R ,i 是虚数单位,若i a -与2i b +互为共轭复数,则()2i =a b +(A)3+4i (B)5+4i (C)34i - (D)54i - (3)下列说法中正确的是(A)“(0)0f =”是“函数()f x 是奇函数”的充要条件(B)若2000:,10p x x x ∃∈-->R ,则2:,10p x x x ⌝∀∈--<R(C)若p q ∧为假命题,则p ,q 均为假命题(D)命题“若6απ=,则1sin 2α=”的否命题是“若6απ≠,则1sin 2α≠”(4)已知()f x 在R 上是奇函数,且满足()()4f x f x +=,当()0,2x ∈时,()22f x x =,则()7f =(A) 2 (B)2- (C)98- (D)98 (5)执行如图所示的程序框图,输出的结果为(A)()22-， (B)()40-，(C)()44--，(D)()08-，(6)各项均为正数的等差数列{}n a 中,3694=a a ,则前12项和12S 的最小值为(A)78 (B)48 (C)60(D)72(7)一个几何体的三视图如图所示,其中正视图与侧视图都是斜边长为2的直角三角形,俯视图是半径为1的四分之一圆周和两条半径,则这个几何体的体积为π(8)已知3sin 5ϕ=,且2ϕπ⎛⎫∈π ⎪⎝⎭，,函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于2π,则4f π⎛⎫⎪⎝⎭的值为 (A)35- (B)45- (C)35 (D)45(9)若实数,x y 满足约束条件220,240,2,x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩则x y 的取值范围是(A)2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (B)13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (C)3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦(D)[]1,2(10)过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点F 作一条渐近线的垂线,垂足为点A ,与另一条渐近线交于点B ,若2FB FA =uu r uu r,则此双曲线的离心率为(C)2(11)将5位同学分别保送到北京大学,上海交通大学,中山大学这3所大学就读,每所大学至少保送1人,则不同的保送方法共有(A) 150种 (B) 180种 (C) 240种 (D)540种 (12)已知ABC ∆的三个顶点A ,B ,C 的坐标分别为())()0,1,0,0,2-,O 为坐标原点,动点P 满足1CP =uu r,则OA OB OP ++uu r uu u r uu u r 的最小值是1111俯视图第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题,每个试题考生都必须做答.第22题～第24题为选考题,考生根据要求做答. 二.填空题:本大题共4小题,每小题5分.(13)已知向量a ,b 满足||4=b ,a 在b 方向上的投影是12,则=a b . (14)已知()1cos 3θ+π=-,则sin 22θπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ .(15)102a x ⎫⎪⎭展开式中的常数项为180,则a = .(16)已知()y f x =为R 上的连续可导函数,且()()0xf x f x '+>,则函数()()1g x xf x =+()0x >的零点个数为___________.三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分12分)设n S 为数列{}n a 的前n 项和,已知12a =,对任意*n ∈N ,都有()21n n S n a =+.(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式； (Ⅱ)若数列4(2)n n a a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为nT ,求证:112n T ≤<.(18)(本小题满分12分)如图,在三棱柱11ABC A B C -中,侧棱1AA ⊥底面ABC ,12AB AC AA ==,120BAC ∠=,1,D D 分别是线段11,BC B C 的中点,过线段AD 的中点P 作BC 的平行线,分别交AB ,AC 于点M ,N . (Ⅰ)证明:MN ⊥平面11ADD A ； (Ⅱ)求二面角1A A M N --的余弦值.ABCDPMN A 1B 1C 1D 1(19)(本小题满分12分)计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站,过去50年的水文资料显示,水库年入流量X (年入流量:一年内上游来水与库区降水之和,单位:亿立方米)都在40以上.其中,不足80的年份有10年,不低于80且不超过120的年份有35年,超过120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率,并假设各年的年入流量相互独立.(Ⅰ)求在未来4年中,至多1年的年入流量超过120的概率；(Ⅱ)水电站希望安装的发电机尽可能运行,但每年发电机最多可运行台数受年入流量X 限制,并有如下关系；若某台发电机运行,则该台发电机年利润为5000万元；若某台发电机未运行,则该台发电机年亏损800万元,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机多少台？(20)(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆221221x y C a b +=：()1a b >≥的离心率2e =,且椭圆1C 上一点M到点()30，Q 的距离的最大值为4. (Ⅰ)求椭圆1C 的方程；(Ⅱ)设1016A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,N 为抛物线22x y C =：上一动点,过点N 作抛物线2C 的切线交椭圆1C 于B ,C 两点,求ABC ∆面积的最大值.(21)(本小题满分12分)已知函数()e xf x ax =-(e 为自然对数的底数,a 为常数)在点()0,1处的切线斜率为1-.(Ⅰ)求a 的值及函数()x f 的极值； (Ⅱ)证明:当0>x 时,2e xx <；(III)证明:对任意给定的正数c ,总存在0x ,使得当()∞+∈，0x x ,恒有2e xx c <.请考生在第22、23、24题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.做答时请写清题号.(22)(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲如图90ACB ∠=︒,CD AB ⊥于点D ,以BD 为直径的圆O 与BC 交于点E . (Ⅰ)求证:BC CE AD DB ⋅=⋅；(Ⅱ)若4BE =,点N 在线段BE 上移动,90ONF ∠=o,NF 与O e 相交于点F ,求NF 的最大值.(23)(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中,已知曲线1C :1,12x t y t =+⎧⎨=-⎩(t 为参数)与曲线2C :cos 3sin x a y θθ=⎧⎨=⎩，(θ为参数,0a >).(Ⅰ)若曲线1C 与曲线2C 有一个公共点在x 轴上,求a 的值；(Ⅱ)当3a =时,曲线1C 与曲线2C 交于A ,B 两点,求A ,B 两点的距离.(24)(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲已知定义在R 上的函数()||||f x x m x =-+,*m ∈N ,存在实数x 使()2f x <成立. (Ⅰ)求实数m 的值；(Ⅱ)若,1αβ≥,()()4f f αβ+=,求证:413αβ+≥.2016年广州市普通高中毕业班模拟考试理科数学答案及评分参考评分说明:1.本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则.2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4.只给整数分数.选择题不给中间分.一.选择题(1)C (2)A (3)D (4)B (5)B (6)D (7)A (8)B(9)B(10)C(11)A(12)A二.填空题(13)2(14)79-(15)2或2-(16)0(其中第15题中,答对2个给5分,答对1个给3分)三.解答题(17)证明:(Ⅰ)因为()21n n S n a =+,………………………………………………………………1 分当2≥n 时,112n n S na --=,两式相减,得()121n n n a n a na -=+-, ………………………………………………………2 分即()11n n n a na --=, 所以当2≥n 时,11n n a a n n -=-. ………………………………………………………3分所以11n a a n =. ………………………………………………………4分因为12a =,所以2n a n =. ………………………………………………………5 分 (Ⅱ)因为2n a n =,4(2)n n n b a a =+,*∈N n ,所以41112(22)(1)1n b n n n n n n ===-+++. ………………………………………………………7分所以12n n T b b b =+++1111112231n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭=1111n n n -=++. ………………………………………………………9分因为101n >+,所以1111n -<+.………………………………………………………10 分因为()11f n n =+在*N 上是单调递减函数,所以111n -+在*N 上是单调递增函数.所以当1n =时,n T 取最小值21. ………………………………………………………11 分所以112n T ≤<. ………………………………………………………12 分(18)(Ⅰ)证明:因为AB AC =,D 是BC 的中点,所以,BC AD ⊥.因为M ,N 分别为AB ,AC 的中点,所以MN BC . ……………………………………1 分所以MN AD ⊥. ………………………………………………………2分因为1AA ⊥平面ABC ,MN ⊂平面ABC ,所以1AA ⊥MN .…………………………………3分又因为1,AD AA 在平面11ADD A 内,且AD 与1AA 相交, 所以MN ⊥平面11ADD A . ………………………………………………………4 分(Ⅱ)解法一:连接1A P ,过A 作1AE A P ⊥于E , 过E 作1EF A M ⊥于F ,连接AF . 由(Ⅰ)知,MN ⊥平面1AEA , 所以平面1AEA ⊥平面1AMN . 所以AE ⊥平面1AMN ,则1A M AE ⊥. 所以1A M ⊥平面AEF ,则1A M ⊥AF .故AFE ∠为二面角1A AM N --的平面角(设为θ). ………………………………………6 分设11AA =,则由12AB AC AA ==,120BAC ∠=,有60BAD ∠=,2,1AB AD ==.A BCDP M N A 1B 1C 1D 1F E又P 为AD 的中点,则M 为AB 的中点,所以1,12AP AM ==. 在1Rt AA P,1AP =在1Rt A AM 中,1AM =………………………………8 分从而1155AA AP AE A P ==,1122AA AM AF A M ==. ………………………………………10 分所以sin AE AF θ==. ………………………………………………………11 分因为AFE ∠为锐角,所以cos 5θ===. 故二面角1AAM N --的余弦值为5. ………………………………………………………12 分解法二: 设11AA =.如图,过1A 作1A E 平行于11B C ,以1A 为坐标原点,分别以111,AE AD ,1A A 的方向为x 轴,y 轴,z 轴的正方向,建立空间直角坐标系O xyz -(点O 与点1A 重合). ………………5 分则()10,0,0A ,()0,0,1A .因为P 为AD 的中点,所以,M N 分别为,AB AC 的中点,故11,1,,12222M N ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以131,12A M ⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭,()10,0,1A A =,()3,0,0NM =. (6)分设平面1AAM 的法向量为()1111,,x y z =n , 则1111,,A M A A ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩n n 即11110,0,A M A A ⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩n n 故有()()()1111111,,,10,2,,0,0,10.x y z x y z ⎧⎫∙=⎪⎪⎪⎨⎝⎭⎪∙=⎩…………………………7分从而111110,220.x y z z ++=⎪⎨⎪=⎩取11x =,则1y =, 所以()11,=n 是平面1AAM 的一个法向量. ……………………………………………8 分1C设平面1AMN 的法向量为()2222,,x y z =n , 则212,,A M NM ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩n n 即2120,0,A M NM ⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩n n 故有()())2222221,,,10,22,,0.x y z x y z ⎧⎛⎫∙=⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎪∙=⎪⎩ ………………………9分从而222210,20.x y z ++=⎨⎪=⎩取22y =,则21z =-, 所以()20,2,1=-n 是平面1AMN 的一个法向量. ……………………………………………10 分设二面角1A AM N --的平面角为θ,又θ为锐角, 则1212cos θ∙=∙n n n n ………………………………………………………11 分5==. 故二面角1A AM N --. ………………………………………………………12 分(19)解:(I)依题意1101(4080)505P P X =<<==, 2357(80120)5010P P X =≤≤==,351(120)5010P P X =>==. ……………………………3分由二项分布,在未来4年中至多有1年入流量超过120的概率为:43041343433991C (1)C (1)4101010P P P P ⎛⎫⎛⎫=-+-=+⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭……………………………………4 分94770.947710000==.………………………………………………………5分(Ⅱ)记水电站年总利润为Y (单位:万元),由于水库年入流量总大于40,所以至少安装1台. ………………………………………………6 分 ①安装1台发电机的情形:由于水库年入流量总大于40,所以一台发电机运行的概率为1,对应的年利润5000=Y ,500015000EY =⨯=. ……………………………………………7分②安装2台发电机的情形:当8040<<X 时,一台发电机运行,此时42008005000=-=Y , 因此1(4200)(4080)0.2P Y P X P ==<<==.当80≥X 时,两台发电机运行,此时1000025000=⨯=Y , 因此23(10000)(80)0.8P Y P X P P ==≥=+=. 所以Y 的分布列如下:所以42000.2100000.88840EY =⨯+⨯=. ………………………………………………9分 ③安装3台发电机的情形:当8040<<X 时,一台发电机运行,此时500080023400Y =-⨯=, 因此2.0)8040()3400(1==<<==P X P Y P .当12080≤≤X 时,两台发电机运行,此时920080025000=-⨯=Y , 此时7.0)12080()9200(2==≤≤==P X P Y P .当120>X 时,三台发电机运行,此时1500035000=⨯=y , 因此1.0)120()15000(3==>==P X P Y P . 所以Y 的分布列如下:所以86201.0150007.092002.03400=⨯+⨯+⨯=EY . ……………………………………11 分综上,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装2台发电机.………………………12 分(20)解:(Ⅰ)因为22222234c a b e a a -===,所以224a b =.……………………………………1 分则椭圆方程为,142222=+by b x 即22244x y b +=.设),(y x M ,则MQ == 124)1(394632222+++-=++--=b y b y y .……………………3 分当1-=y 时,||MQ 有最大值为41242=+b .………………………………………4分解得21b =,则24a =.所以椭圆1C 的方程是1422=+y x . ………………………………………………………5 分 (Ⅱ)设曲线C :2y x =上的点2(,)N t t ,因为2y x '=,所以直线BC 的方程为:222),(2t tx y t x t t y -=-=-即. ①…………………………6 分将①代入椭圆方程1422=+y x 中整理, 得04416)161(4322=-+-+t x t x t . ………………………………………………………7分则有)116(16)44)(161(4)16(244223++-=-+-=∆t t t t t .且2421232116144,16116t t x x t t x x +-=+=+. 所以2122122124)(41||41||x x x x t x x t BC -++=-+=2242161116414t t t t +++-+=. ………………………………………………………8分设点A 到直线BC 的距离为d ,则2d =.…………………………………………9 分所以ABC ∆的面积2211||22116S BC d t ==∙+……………10 分== 当22±=t 时取到“=”,经检验此时0>∆,满足题意. …………………………………11 分综上,ABC ∆面积的最大值为865. ………………………………………………………12分(21)(I)解:由()e x f x ax =-,得'()e x f x a =-.因为(0)11f a '=-=-,所以2a =. ………………………………………………………1 分所以()e 2x f x x =-,'()e 2x f x =-.令'()0f x =,得ln 2x =. ………………………………………………………2 分当ln 2x <时, '()0,()f x f x <单调递减；当ln 2x >时, '()0,()f x f x >单调递增.所以当ln 2x =时, ()f x 取得极小值,且极小值为ln2(ln 2)e 2ln 22ln 4,()f f x =-=-无极大值.………………………………………………………4分(Ⅱ)证明:令2()e x g x x =-,则'()e 2x g x x =-.由(I)得'()()(ln 2)0g x f x f =≥>,故()g x 在R 上单调递增. ……………………………5分所以当0x >时,()(0)10g x g >=>,即2e x x <. ……………………………………………6 分 (Ⅲ)证明一:①若1c ≥,则e e x x c ≤. ………………………………………………………7分由(Ⅱ)知,当0x >时,2e x x <.所以当0x >时, 2e x x c <.取00x =,当0(,)x x ∈+∞时,恒有2e x x c <. ……………………………………………………8分 ②若01c <<,令11k c =>, ………………………………………………………9 分要使不等式2e x x c <成立,只要2e x kx >成立.而要使2e x kx >成立,则只要2ln()x kx >,只要2ln ln x x k >+成立.令()2ln ln h x x x k =--,则22'()1x h x x x-=-=. 所以当2x >时, '()0,()h x h x >在(2,)+∞内单调递增.取01616x k =>,所以()h x 在0(,)x +∞内单调递增.又0()162ln(16)ln 8(ln 2)3(ln )5h x k k k k k k k =--=-+-+,易知ln ,ln 2,50k k k k >>>.所以0()0h x >.即存在016x c=,当0(,)x x ∈+∞时,恒有2e x x c <. …………………………11 分综上,对任意给定的正数c ,总存在0x ,当0(,)x x ∈+∞时,恒有2e x x c <. …………………12 分证明二:对任意给定的正数c ,取0x =, ……………………………………………………8分由(Ⅱ)知,当0x >时,2e x x >,所以2222e e e 22xx x x x ⎛⎫⎛⎫=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.…………………………10分当0x x >时,222241e 222x x x x x c c⎛⎫⎛⎫⎛⎫>>= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 因此,对任意给定的正数c ,总存在0x ,当0(,)x x ∈+∞时,恒有2e x x c <. …………………12分证明三:首先证明当()0,x ∈+∞时,恒有31e 3x x <. 令()31e 3x h x x =-,则()2e x h x x '=-. 由(Ⅱ)知,当0x >时,2e x x >,从而()0h x '<,()h x 在()0,+∞上单调递减。

广州高考一模试题数学试卷

2016广州高考一模试题,数学试卷2016年广东省广州市高考数学一模试卷(文科)一.选择题:本大题共 12小题,每小题 5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 A={x |﹣1≤ x ≤ 1}, B={x |x 2﹣2x ≤ 0},则A ∩ B=( ) A . {x |﹣1≤ x ≤ 2} B . {x |﹣1≤ x ≤ 0} C . {x |1≤ x ≤ 2} D . {x |0≤ x ≤ 1}2.已知复数 z 满足 z=(i 为虚数单位) ,则复数 z 所对应的点所在象限为( )A .第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知函数则 f (f (﹣ 2) )的值为( )A .B .C .D .4. 设 P 是△ ABC 所在平面内的一点, 且 =2, 则△ PAB 与△ PBC 的面积之比是 ( )A .B .C .D .5.如果函数(ω>0)的相邻两个零点之间的距离为 ,则ω的值为( ) A . 3 B . 6 C . 12 D . 246.执行如图所示的程序框图,如果输入 x=3,则输出 k 的值为( )A . 6B . 8C . 10D . 127.在平面区域{(x , y ) |0≤ x ≤ 1, 1≤ y ≤ 2}内随机投入一点 P ,则点 P 的坐标(x , y )满足y ≤ 2x 的概率为( ) A .B .C .D . 8.已知 f (x ) =sin(x +) ,若sin α=(<α<π) ,则f (α+) =( )A .B .﹣C .D .9.如果P 1, P 2, … , P n 是抛物线 C :y 2=4x上的点,它们的横坐标依次为x 1, x 2, … , x n ,F 是抛物线 C 的焦点,若x 1+x 2+… +x n =10,则|P 1F |+|P 2F |+… +|P n F |=( ) A . n +10 B. n +20 C. 2n +10 D . 2n +2010.一个六棱柱的底面是正六边形,侧棱垂直于底面,所有棱的长都为 1,顶点都在同一个球面上,则该球的体积为( ) A . 20π B .C . 5πD .11.已知下列四个命题:p 1:若直线 l 和平面α内的无数条直线垂直,则l ⊥ α; p 2:若 f (x ) =2x ﹣ 2﹣ x ,则? x ∈ R , f (﹣ x ) =﹣ f (x ) ; p 3:若,则? x 0∈(0, +∞ ) , f (x 0) =1;p 4:在△ ABC 中,若 A >B ,则 sinA >sinB . 其中真命题的个数是( ) A . 1 B .2 C .3 D . 412.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某个四面体的三视图,则该四面体的表面积为( )A . 8+8+4B . 8+8+2C . 2+2+D . ++二.填空题:本大题共 4小题,每小题 5分.13.函数 f (x ) =x3﹣ 3x 的极小值为 .14. 设实数 x , y 满足约束条件 , 则 z=﹣ 2x +3y 的取值范围是 .15.已知双曲线 C :(a >0, b >0)的左顶点为 A ,右焦点为 F ,点 B (0, b ) ,且 ,则双曲线 C 的离心率为 . 16.在△ ABC 中,点 D 在边 AB 上, CD ⊥ BC , , CD=5, BD=2AD,则 AD 的长为 .三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.已知数列 {a n }是等比数列, a 2=4, a 3+2是 a 2和 a 4的等差中项. (Ⅰ)求数列 {a n }的通项公式;(Ⅱ)设 b n =2log2a n ﹣ 1,求数列 {a n b n }的前 n 项和 T n .18. 从某企业生产的某中产品中抽取 100件, 测量这些产品的质量指标值. 由测量结果得到如图所示的频率分布直方图,质量指标值落在区间 [55, 65) , [65, 75) , [75, 85]内的频率之比为 4:2:1.(Ⅰ)求这些产品质量指标落在区间 [75, 85]内的概率;(Ⅱ)用分层抽样的方法在区间 [45, 75)内抽取一个容量为 6的样本,将该样本看成一个总体,从中任意抽取 2件产品,求这 2件产品都在区间 [45, 65)内的概率.19. 如图, 四棱柱 ABCD ﹣ A 1B 1C 1D 1的底面 ABCD 是菱形, AC ∩ BD=O, A 1O ⊥底面 ABCD , AB=AA1=2.(Ⅰ)证明:BD ⊥平面 A 1CO ;(Ⅱ)若∠ BAD=60°,求点 C 到平面 OBB 1的距离.20.已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,左顶点为 A ,左焦点为 F 1(﹣ 2, 0) , 点 B (2, )在椭圆 C 上,直线y=kx(k ≠ 0)与椭圆 C 交于 E , F 两点,直线AE , AF 分别与 y 轴交于点M , N (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;(Ⅱ)在 x 轴上是否存在点 P ,使得无论非零实数 k 怎样变化,总有∠ MPN 为直角若存在,求出点 P 的坐标,若不存在,请说明理由. 21.已知函数 f (x ) =mex ﹣ lnx ﹣ 1.(Ⅰ)当 m=1时,求曲线 y=f(x )在点(1, f (1) )处的切线方程; (Ⅱ)当m ≥ 1时,证明:f (x )>1.请考生在第 22、 23、 24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答时请写清题号. 【选修 4-1:几何证明选讲】22.如图所示,△ ABC 内接于⊙ O ,直线 AD 与⊙ O 相切于点 A ,交 BC 的延长线于点 D , 过点 D 作DE ∥ CA 交 BA 的延长线于点 E . (I )求证:DE 2=AE? BE ;(Ⅱ)若直线 EF 与⊙ O 相切于点 F ,且 EF=4, EA=2,求线段 AC 的长.选修 4-4:坐标系与参数方程23.在平面直角坐标系 xOy 中,以坐标原点 0为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为ρ=2sinθ, θ∈ [0, 2π) . (1)求曲线 C 的直角坐标方程;(2)在曲线 C 上求一点 D ,使它到直线 l :, (t 为参数, t ∈ R )的距离最短,并求出点 D 的直角坐标.选修 4-5:不等式选讲 24.设函数 f (x ) =|x +|﹣ |x ﹣|.(I )当 a=1时,求不等式f (x )≥ 的解集;(Ⅱ)若对任意a ∈ [0, 1],不等式f (x )≥ b 的解集为空集,求实数 b 的取值范围.2016年广东省广州市高考数学一模试卷(文科)参考答案与试题解析一.选择题:本大题共 12小题,每小题 5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 A={x |﹣1≤ x ≤ 1}, B={x |x 2﹣2x ≤ 0},则A ∩ B=( ) A . {x |﹣1≤ x ≤ 2} B . {x |﹣1≤ x ≤ 0} C . {x |1≤ x ≤ 2} D . {x |0≤ x ≤ 1} 【考点】交集及其运算.【分析】求出集合的等价条件,根据集合的基本运算进行求解即可. 【解答】解:B={x |x 2﹣2x ≤ 0}={x |0≤ x ≤ 2}, 则A ∩ B={x |0≤ x ≤ 1}, 故选:D2.已知复数 z 满足 z=(i 为虚数单位) ,则复数 z 所对应的点所在象限为( )A .第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义. 【分析】根据复数的几何意义,即可得到结论. 【解答】解:z===,对应的坐标为(2,﹣ 1) ,位于第四象限, 故选:D .3.已知函数则 f (f (﹣ 2) )的值为( )A .B .C .D .【考点】函数的值.【分析】利用分段函数的性质求解.【解答】解:∵函数,∴ f (﹣ 2) =(﹣ 2) 2﹣(﹣ 2) =6, f (f (﹣ 2) ) =f(6) ==﹣ .故选:C .4. 设 P 是△ ABC 所在平面内的一点, 且=2, 则△ PAB 与△ PBC 的面积之比是 ( )【考点】向量数乘的运算及其几何意义.【分析】由 =2可知 P 为 AC 上靠近 A 点的三等分点.【解答】解:∵ =2,∴ P 为边 AC 靠近 A 点的三等分点,∴△ PAB 与△ PBC 的面积比为 1:2. 故选:B .5.如果函数(ω>0)的相邻两个零点之间的距离为,则ω的值为( ) A . 3 B . 6 C . 12 D . 24【考点】y=Asin(ωx +φ)中参数的物理意义.【分析】根据余弦函数的相邻两个零点之间的距离恰好等于半个周期,即可求得ω的值. 【解答】解:函数(ω>0)的相邻两个零点之间的距离为,∴ T=2×=,又=,解得ω=6. 故选:B .6.执行如图所示的程序框图,如果输入 x=3,则输出 k 的值为( )A . 6B . 8C . 10D . 12【考点】程序框图.【分析】根据框图的流程依次计算程序运行的结果,直到满足条件 x >100,跳出循环体, 确定输出 k 的值.【解答】解:模拟执行程序,可得 x=3, k=0 x=9, k=2不满足条件 x >100, x=21, k=4 不满足条件 x >100, x=45, k=6 不满足条件x >100, x=93, k=8 不满足条件 x >100, x=189, k=10满足条件 x >100,退出循环,输出 k 的值为 10. 故选:C .7.在平面区域{(x , y ) |0≤ x ≤ 1, 1≤ y ≤ 2}内随机投入一点 P ,则点 P 的坐标(x , y )满足y ≤ 2x的概率为( )【考点】简单线性规划;几何概型.【分析】作出不等式组对应的区域,利用几何概型的概率公式,即可得到结论. 【解答】解:不等式组表示的平面区域为 D 的面积为 1,不等式y ≤ 2x 对应的区域为三角形 ABC , 则三角形 ABC 的面积 S==,则在区域 D 内任取一点 P (x , y ) ,则点 P 满足y ≤ 2x 的概率为 , 故选:A .8.已知 f (x ) =sin(x +) ,若sin α=(<α<π) ,则f (α+) =( )A .B .﹣C .D .【考点】两角和与差的正弦函数.【分析】根据同角的三角函数的关系,以及两角和的正弦公式,即可求出. 【解答】解:∵ <α<π, sin α=,∴ cos α=﹣∵ f (x ) =sin(x +) , ∴ f (α+) =sin(α++) =sin(α+)=sinαcos +cos αsin=﹣(﹣ )=,故选:C .9.如果P 1, P 2, … , P n 是抛物线 C :y 2=4x上的点,它们的横坐标依次为 x 1, x 2, … , x n , F 是抛物线 C 的焦点,若x 1+x 2+… +x n =10,则|P 1F |+|P 2F |+… +|P n F |=( )A . n +10 B. n +20 C. 2n +10 D . 2n +20【考点】抛物线的简单性质.【分析】由抛物线性质得 |P n F |==xn +1,由此能求出结果.【解答】解:∵ P 1, P 2,… , P n 是抛物线 C :y 2=4x上的点, 它们的横坐标依次为x 1, x 2, … , x n , F 是抛物线 C 的焦点, x 1+x 2+… +x n =10,∴ |P 1F |+|P 2F |+… +|P n F |=(x 1+1) +(x 2+1) +… +(x n +1) =x1+x 2+… +x n +n =n+10. 故选:A .10.一个六棱柱的底面是正六边形,侧棱垂直于底面,所有棱的长都为 1,顶点都在同一个球面上,则该球的体积为( ) A . 20π B .C . 5πD .【考点】球的体积和表面积.【分析】作出六棱柱的最大对角面与外截球的截面, 设正六棱柱的上下底面中心分别为 O 1, O 2,球心为 O ,一个顶点为 A ,如右图.可根据题中数据结合勾股定理算出球的半径 OA , 再用球的体积公式即可得到外接球的体积.【解答】解:作出六棱柱的最大对角面与外截球的截面, 如右图, 则该截面矩形分别以底面外接圆直径和六棱柱高为两边,设球心为 O ,正六棱柱的上下底面中心分别为 O 1, O 2,则球心 O 是 O 1, O 2的中点. ∵正六棱柱底面边长为 1,侧棱长为1, ∴ Rt △ AO 1O 中, AO 1=1, O1O=,可得 AO==,因此,该球的体积为V=π? () 3=.故选:D .11.已知下列四个命题:p 1:若直线 l 和平面α内的无数条直线垂直,则l ⊥ α; p 2:若 f (x ) =2x ﹣ 2﹣ x ,则? x ∈ R , f (﹣ x ) =﹣ f (x ) ; p 3:若,则? x 0∈(0, +∞ ) , f (x 0) =1;p 4:在△ ABC 中,若 A >B ,则 sinA >sinB .其中真命题的个数是( ) A . 1 B . 2 C . 3 D . 4【考点】命题的真假判断与应用.【分析】 p 1:根据线面垂直的判断定理判定即可; p 2:根据奇函数的定义判定即可; p 3:对表达式变形可得=x+1+﹣ 1,利用均值定理判定即可;p 4:根据三角形角边关系和正弦定理判定结论成立.【解答】解:p 1:根据判断定理可知,若直线 l 和平面α内两条相交的直线垂直,则l ⊥ α, 若没有相交,无数的平行直线也不能判断垂直,故错误; p 2:根据奇函数的定义可知, f (﹣ x ) =2﹣ x ﹣ 2x =﹣ f (x ) ,故? x ∈ R , f (﹣ x ) =﹣ f (x ) , 故正确; p 3:若=x+1+﹣1≥ 1,且当 x=0时,等号成立,故不存在x 0∈(0, +∞ ) ,f (x 0) =1,故错误;p 4:在△ ABC 中,根据大边对大角可知,若 A >B , 则 a >b , 由正弦定理可知, sinA >sinB , 故正确. 故选:B .12.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某个四面体的三视图,则该四面体的表面积为( )A . 8+8+4B . 8+8+2C . 2+2+D . ++【考点】由三视图求面积、体积.【分析】由三视图可知几何体为从边长为 4的正方体切出来的三棱锥. 作出直观图, 计算各棱长求面积.【解答】解:由三视图可知几何体为从边长为 4的正方体切出来的三棱锥 A ﹣BCD . 作出直观图如图所示:其中 A , C , D 为正方体的顶点, B 为正方体棱的中点. ∴ S △ ABC ==4, S △ BCD ==4.∵ AC=4, AC ⊥ CD ,∴ S △ ACD ==8,由勾股定理得 AB=BD==2, AD=4.∴ cos ∠ ABD==﹣,∴ sin ∠ ABD=.∴ S △ ABD ==4.∴几何体的表面积为 8+8+4.故选 A .二.填空题:本大题共 4小题,每小题 5分. 13.函数 f (x ) =x3﹣ 3x 的极小值为﹣ 2 . 【考点】利用导数研究函数的极值.【分析】首先求导可得f ′ (x ) =3x2﹣ 3,解 3x 2﹣ 3=0可得其根,再判断导函数的符号分析函数的单调性,即可得到极小值.【解答】解析:令f ′ (x ) =3x2﹣ 3=0,得x=±1,可求得 f (x )的极小值为 f (1) =﹣ 2. 故答案:﹣ 2.14. 设实数 x , y 满足约束条件 , 则 z=﹣ 2x +3y 的取值范围是 [﹣ 6,15] . 【考点】简单线性规划.【分析】由题意作平面区域,化简 z=﹣ 2x +3y 为 y=x +,从而结合图象求解. 【解答】解:由题意作平面区域如下,化简 z=﹣ 2x +3y 为 y=x +,故结合图象可知,在点 B (3, 0)处有最小值,在点 C (﹣ 3, 3)处有最大值, 故﹣2×3+3×0≤ z ≤﹣2×(﹣3) +3×3, 即z ∈ [﹣ 6, 15],故答案为:[﹣ 6, 15].15.已知双曲线 C :(a >0, b >0)的左顶点为 A ,右焦点为 F ,点 B (0, b ) ,且 ,则双曲线 C 的离心率为.【考点】双曲线的简单性质.【分析】设出 A , F 的坐标,运用向量的数量积的坐标表示,结合 a , bc 的关系和离心率公式,计算即可得到所求值.【解答】解:由题意可得 A (﹣ a , 0) , F (c , 0) , B (0, b ) , 可得 =(﹣ a ,﹣b ) , =(c ,﹣ b ) , 由 ,可得﹣ ac +b 2=0, 即有 b 2=c2﹣ a 2=ac, 由 e=,可得 e 2﹣ e ﹣ 1=0, 解得 e=(负的舍去) .故答案为:.16.在△ ABC 中,点 D 在边 AB 上, CD ⊥ BC , , CD=5, BD=2AD,则 AD 的长为 5 .【考点】三角形中的几何计算.【分析】根据题意画出图象,延长 BC 、过 A 做AE ⊥ BC 、垂足为 E ,根据平行线的性质和勾股定理依次求出 AE 、 CE 、 BC 、 BD ,由条件求出 AD 的长. 【解答】解:如图所示:延长 BC ,过 A 做AE ⊥ BC ,垂足为E , ∵ CD ⊥ BC ,∴ CD ∥ AE , ∵ CD=5, BD=2AD,∴,解得 AE=,在RT △ ACE , CE===,由得 BC=2CE=5,在RT △ BCD 中, BD===10,则 AD=5, 故答案为:5.三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.已知数列 {a n }是等比数列, a 2=4, a 3+2是 a 2和 a 4的等差中项. (Ⅰ)求数列 {a n }的通项公式;(Ⅱ)设 b n =2log2a n ﹣ 1,求数列 {a n b n }的前 n 项和 T n . 【考点】数列递推式;等差数列与等比数列的综合. 【分析】(Ⅰ)等比数列 {a n }中, a 2=4, a 3+2是 a 2和 a 4的等差中项,有等比数列的首项和公比分别表示出已知条件, 解方程组即可求得首项和公比, 代入等比数列的通项公式即可求得结果;(Ⅱ)把(1)中求得的结果代入 b n =2log2a n ﹣ 1,求出 b n ,利用错位相减法求出 T n . 【解答】解:(Ⅰ)设数列 {a n }的公比为 q , 因为 a 2=4,所以 a 3=4q, . )因为 a 3+2是 a 2和 a 4的等差中项,所以 2(a 3+2) =a2+a 4. 即 2(4q +2) =4+4q 2,化简得 q 2﹣ 2q=0. 因为公比q ≠ 0,所以 q=2. 所以(n ∈ N *) .(Ⅱ)因为 ,所以 b n =2log2a n ﹣ 1=2n﹣ 1.所以 .则, ① , , ② ,① ﹣② 得, .=,所以 .18. 从某企业生产的某中产品中抽取 100件, 测量这些产品的质量指标值. 由测量结果得到如图所示的频率分布直方图,质量指标值落在区间 [55, 65) , [65, 75) , [75, 85]内的频率之比为 4:2:1.(Ⅰ)求这些产品质量指标落在区间 [75, 85]内的概率;(Ⅱ)用分层抽样的方法在区间 [45, 75)内抽取一个容量为 6的样本,将该样本看成一个总体,从中任意抽取 2件产品,求这 2件产品都在区间 [45, 65)内的概率.【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率;频率分布直方图. 【分析】 (I )由题意,质量指标值落在区间 [55, 65) , [65, 75) , [75, 85]内的频率之和, 利用之比为 4:2:1,即可求出这些产品质量指标值落在区间 [75, 85]内的频率;(2) 由频率分布直方图得从 [45, 65) 的产品数中抽取 5件, 记为 A , B , C , D ,E , 从 [65, 75)的产品数中抽取 1件,记为 a ,由此利用列举法求出概率. 【解答】解:(I )由题意,质量指标值落在区间 [55, 65) , [65, 75) , [75, 85]内的频率之和为 1﹣﹣﹣﹣=, ∵质量指标值落在区间 [55, 65) , [65, 75) , [75, 85]内的频率之比为4:2:1, ∴这些产品质量指标值落在区间 [75, 85]内的频率为×=,(Ⅱ)由频率分布直方图得:这些产品质量指标值落在区间 [55, 65)内的频率为×=,这些产品质量指标值落在区间 [65, 75)内的频率为×=, 这些产品质量指标值落在区间 [45, 55)内的频率为×10=, 所以这些产品质量指标值落在区间 [45, 65)内的频率为+=, ∵=∴从 [45, 65)的产品数中抽取6×=5件,记为 A , B , C , D , E ,从 [65, 75)的产品数中抽取6×=1件,记为 a ,从中任取两件,所有可能的取法有:(A , B ) , (A , C ) , (A , D ) , (A , E ) , (A , a ) , (B , C ) , (B , D ) , (B , E ) , (B , a ) , (C , D ) , (D (C , E ) , (C , a ) , (D , E ) , (D ,a ) , (E , a ) ,共 15种,这 2件产品都在区间 [45, 65)内的取法有 10种,∴从中任意抽取 2件产品,求这 2件产品都在区间 [45, 65)内的概率=.19. 如图, 四棱柱 ABCD ﹣ A 1B 1C 1D 1的底面 ABCD 是菱形, AC ∩ BD=O,A 1O ⊥底面 ABCD , AB=AA1=2.(Ⅰ)证明:BD ⊥平面 A 1CO ;(Ⅱ)若∠ BAD=60°,求点 C 到平面 OBB 1的距离.【考点】点、线、面间的距离计算;直线与平面垂直的判定. 【分析】(Ⅰ)证明A 1O ⊥ BD . CO ⊥ BD .即可证明BD ⊥平面 A 1CO .(Ⅱ)解法一:说明点 B 1到平面 ABCD 的距离等于点 A 1到平面 ABCD 的距离A 1O .设点 C 到平面 OBB 1的距离为 d , 通过,求解点 C 到平面 OBB 1的距离.解法二:连接 A 1C 1与 B 1D 1交于点 O 1,连接 CO 1, OO 1,推出 OA 1O 1C 为平行四边形.证明CH ⊥平面 BB 1D 1D ,然后求解点 C 到平面 OBB 1的距离. 【解答】(Ⅰ)证明:因为A 1O ⊥平面 ABCD , BD ? 平面 ABCD , 所以A 1O ⊥ BD . …因为 ABCD 是菱形,所以CO ⊥ BD . …因为A 1O ∩ CO=O, A 1O , CO ? 平面 A 1CO , 所以BD ⊥平面A 1CO . …(Ⅱ)解法一:因为底面 ABCD 是菱形, AC ∩ BD=O, AB=AA1=2,∠ BAD=60°, 所以OB=OD=1, . … 所以△ OBC 的面积为. …因为A 1O ⊥平面 ABCD , AO ? 平面 ABCD , 所以A 1O ⊥ AO ,. …因为A 1B 1∥平面 ABCD ,所以点 B 1到平面 ABCD 的距离等于点 A 1到平面 ABCD 的距离A 1O . … 由(Ⅰ)得, BD ⊥平面 A 1AC .因为 A 1A ? 平面 A 1AC ,所以BD ⊥ A 1A . 因为A 1A ∥ B 1B ,所以BD ⊥ B 1B . … 所以△ OBB 1的面积为. …设点 C 到平面 OBB 1的距离为 d , 因为 ,所以. …所以 .所以点 C 到平面 OBB 1的距离为. …解法二:由(Ⅰ)知BD ⊥平面 A 1CO , 因为 BD ? 平面 BB 1D 1D ,所以平面A 1CO ⊥平面 BB 1D 1D . … 连接 A 1C 1与 B 1D 1交于点 O 1, 连接 CO 1, OO 1,因为AA 1=CC1, AA 1∥ CC 1,所以 CAA 1C 1为平行四边形.又 O , O 1分别是 AC , A 1C 1的中点,所以 OA 1O 1C 为平行四边形. 所以O 1C=OA1=1. …因为平面 OA 1O 1C 与平面 BB 1D 1D 交线为 OO 1, 过点 C 作CH ⊥ OO 1于 H ,则CH ⊥平面BB 1D 1D . …因为O 1C ∥ A 1O , A 1O ⊥平面 ABCD ,所以O 1C ⊥平面 ABCD .因为 OC ? 平面 ABCD ,所以O ? 1C ⊥ OC ,即△ OCO 1为直角三角形. … 所以.所以点 C 到平面 OBB 1的距离为. …20.已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,左顶点为 A ,左焦点为 F 1(﹣ 2, 0) , 点 B (2, )在椭圆 C 上,直线y=kx(k ≠ 0)与椭圆 C 交于 E , F 两点,直线AE , AF 分别与 y 轴交于点M , N (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;(Ⅱ)在 x 轴上是否存在点 P ,使得无论非零实数 k 怎样变化,总有∠ MPN 为直角若存在,求出点 P 的坐标,若不存在,请说明理由. 【考点】椭圆的简单性质.【分析】(Ⅰ)由题意可设椭圆标准方程为+=1(a >b >0) ,结合已知及隐含条件列关于 a , b , c 的方程组,求解方程组得到 a 2, b 2的值,则椭圆方程可求; (Ⅱ)设F (x 0, y 0) , E (﹣ x 0,﹣ y 0) ,写出 AE 、 AF 所在直线方程,求出 M 、 N 的坐标, 得到以 MN 为直径的圆的方程,由圆的方程可知以 MN 为直径的圆经过定点(±2, 0) ,即可判断存在点 P .【解答】解:(Ⅰ)由题意可设椭圆方程为 +=1(a >b >0) ,则 c=2, a 2﹣ b 2=c2,+=1,解得:a 2=8, b 2=4.可得椭圆 C 的方程为 +=1;(Ⅱ)如图,设 F (x 0, y 0) , E (﹣ x 0,﹣ y 0) ,则+=1, A (﹣ 2, 0) ,AF 所在直线方程 y=(x +2) ,取 x=0,得 y=,∴ N (0, ) ,AE 所在直线方程为 y=(x +2) ,取 x=0,得 y=.则以 MN 为直径的圆的圆心坐标为(0, ) ,半径 r=,圆的方程为 x 2+(y ﹣ ) 2==,即 x 2+(y +) 2=.取 y=0,得x=±2.可得以 MN 为直径的圆经过定点(±2, 0) . 可得在 x 轴上存在点P (±2, 0) ,使得无论非零实数 k 怎样变化,总有∠ MPN 为直角.21.已知函数 f (x ) =mex ﹣ lnx ﹣ 1.(Ⅰ)当 m=1时,求曲线 y=f(x )在点(1, f (1) )处的切线方程; (Ⅱ)当m ≥ 1时,证明:f (x )>1.【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用;利用导数研究曲线上某点切线方程. 【分析】(Ⅰ)求得 m=1时, f (x )的导数,可得切点坐标和切线的斜率,由点斜式方程可得所求切线的方程;(Ⅱ)证法一:运用分析法证明,当m ≥ 1时, f (x ) =mex ﹣ lnx ﹣1≥ e x ﹣ lnx ﹣ 1.要证明 f (x )>1,只需证明 e x ﹣ lnx ﹣ 2>0,思路 1:设 g (x ) =ex ﹣ lnx ﹣ 2,求得导数,求得单调区间,可得最小值,证明大于 0即可; 思路 2:先证明e x ≥ x+1(x ∈ R ) ,设 h (x ) =ex ﹣ x ﹣ 1,求得导数和单调区间,可得最小值大于 0;证明x ﹣ lnx ﹣1≥ 0.设 p (x ) =x﹣ lnx ﹣ 1,求得导数和单调区间,可得最小值大于 0,即可得证;思路 3:先证明 e x ﹣ lnx >2. :因为曲线 y=ex 与曲线 y=lnx的图象关于直线 y=x对称,结合点到直线的距离公式,求得两曲线上的点的距离 AB >2,即可得证;证法二:因为 f (x ) =mex ﹣ lnx ﹣ 1,要证明 f (x )>1,只需证明 me x ﹣ lnx ﹣2>0.思路 1:设 g (x ) =mex ﹣ lnx ﹣ 2,求得导数和单调区间,求得最小值,证明大于0,即可得证;思路 2:先证明e x ≥ x +1(x ∈ R ) ,且lnx ≤ x +1(x >0) .设 F (x ) =ex ﹣ x ﹣ 1,求得导数和单调区间,可得最小值大于 0,再证明 me x ﹣ lnx ﹣ 2>0,运用不等式的性质,即可得证. 【解答】(Ⅰ)解:当 m=1时, f (x ) =ex ﹣ lnx ﹣ 1, 所以. …所以 f (1) =e﹣ 1, f' (1) =e﹣1. … 所以曲线 y=f(x )在点(1, f (1) )处的切线方程为 y ﹣(e ﹣ 1) =(e ﹣ 1) (x ﹣ 1) . 即 y=(e ﹣1) x . …(Ⅱ)证法一:当m ≥ 1时, f (x ) =mex ﹣ lnx ﹣1≥ e x ﹣ lnx ﹣ 1. 要证明 f (x )>1,只需证明 e x ﹣ lnx ﹣2>0. … 以下给出三种思路证明 e x ﹣ lnx ﹣ 2>0. 思路 1:设 g (x ) =ex ﹣ lnx ﹣ 2,则 .设,则,所以函数 h (x ) =在(0, +∞ )上单调递增. …因为 , g' (1) =e﹣ 1>0,所以函数在(0, +∞ )上有唯一零点 x 0,且. …因为 g' (x 0) =0时,所以,即 lnx 0=﹣x 0. …当x ∈(0, x 0)时, g' (x )<0;当x ∈(x 0, +∞ )时, g' (x )>0. 所以当 x=x0时, g (x )取得最小值g (x 0) . … 故.综上可知,当m ≥ 1时, f (x )>1. … 思路 2:先证明e x ≥ x +1(x ∈ R ) . …设 h (x ) =ex ﹣ x ﹣ 1,则 h' (x ) =ex ﹣ 1.因为当 x <0时, h' (x )<0,当 x >0时, h' (x )>0,所以当 x <0时,函数 h (x )单调递减,当 x >0时,函数 h (x )单调递增. 所以 h (x )≥ h (0) =0.所以e x ≥ x +1(当且仅当 x=0时取等号) . … 所以要证明 e x ﹣ lnx ﹣ 2>0, 只需证明(x +1)﹣ lnx ﹣2>0. … 下面证明 x ﹣ lnx ﹣1≥ 0.设 p (x ) =x﹣ lnx ﹣ 1,则 .当 01时, p' (x )>0,所以当 01时,函数 p (x )单调递增. 所以p (x )≥ p (1) =0.所以 x ﹣ lnx ﹣1≥ 0(当且仅当 x=1时取等号) . … 由于取等号的条件不同, 所以 e x ﹣ lnx ﹣ 2>0.综上可知,当m ≥ 1时, f (x )>1. …(若考生先放缩 lnx ,或 e x 、 lnx 同时放缩,请参考此思路给分! ) 思路 3:先证明 e x ﹣ lnx >2.因为曲线 y=ex 与曲线 y=lnx的图象关于直线 y=x对称, 设直线 x=t(t >0)与曲线 y=ex , y=lnx分别交于点 A , B , 点 A , B 到直线 y=x的距离分别为 d 1, d 2, 则.其中 , (t >0) .① 设 h (t ) =et ﹣ t (t >0) ,则 h' (t ) =et ﹣ 1.因为 t >0,所以 h' (t ) =et ﹣ 1>0.所以 h (t )在(0, +∞ )上单调递增,则 h (t )>h (0) =1. 所以.② 设 g (t ) =t﹣ lnt (t >0) ,则 .因为当 01时, g' (t )>0,所以当 01时, g (t ) =t﹣ lnt 单调递增. 所以g (t )≥ g (1) =1. 所以 .所以.综上可知,当m ≥ 1时, f (x )>1. … 证法二:因为 f (x ) =mex ﹣ lnx ﹣ 1,要证明 f (x )>1,只需证明 me x ﹣ lnx ﹣2>0. … 以下给出两种思路证明 me x ﹣ lnx ﹣ 2>0. 思路 1:设 g (x ) =mex ﹣ lnx ﹣ 2,则 .设,则.所以函数 h (x ) =在(0, +∞ )上单调递增. …因为 , g' (1) =me﹣ 1>0,所以函数在(0, +∞ )上有唯一零点 x 0,且. …因为 g' (x 0) =0,所以,即 lnx 0=﹣ x 0﹣lnm . …当x ∈(0, x 0)时, g' (x )<0;当x ∈(x 0, +∞ )时, g' (x )>0. 所以当 x=x0时, g (x )取得最小值g (x 0) . … 故.综上可知,当m ≥ 1时, f (x )>1. … 思路 2:先证明e x ≥ x +1(x ∈ R ) ,且 lnx ≤ x +1(x >0) . … 设 F (x ) =ex ﹣ x ﹣ 1,则 F' (x ) =ex ﹣ 1.因为当 x <0时, F' (x )<0;当 x >0时, F' (x )>0,所以 F (x )在(﹣∞ , 0)上单调递减,在(0, +∞ )上单调递增. 所以当 x=0时, F (x )取得最小值 F (0) =0.所以F (x )≥ F (0) =0,即e x ≥ x +1(当且仅当 x=0时取等号) . … 由e x ≥ x +1(x ∈ R ) ,得 e x ﹣1≥ x (当且仅当 x=1时取等号) . … 所以lnx ≤ x ﹣ 1(x >0) (当且仅当 x=1时取等号) . … 再证明 me x ﹣ lnx ﹣ 2>0.因为x >0, m ≥ 1,且e x ≥ x +1与lnx ≤ x ﹣ 1不同时取等号, 所以 me x﹣ lnx ﹣ 2>m (x +1)﹣(x ﹣ 1)﹣ 2=(m ﹣1) (x +1)≥ 0. 综上可知,当m ≥ 1时, f (x )>1. …请考生在第 22、 23、 24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答时请写清题号. 【选修 4-1:几何证明选讲】22.如图所示,△ ABC 内接于⊙ O ,直线 AD 与⊙ O 相切于点 A ,交 BC 的延长线于点 D , 过点 D 作DE ∥ CA 交 BA 的延长线于点 E . (I )求证:DE 2=AE? BE ;(Ⅱ)若直线 EF 与⊙ O 相切于点 F ,且 EF=4, EA=2,求线段 AC 的长.【考点】与圆有关的比例线段.【分析】(Ⅰ)推导出△ AED ∽△ DEB ,由此能证明 DE 2=AE? BE .(Ⅱ)由切割线定理得 EF 2=EA? EB ,由DE ∥ CA ,得△ BAC ∽△ BED ,由此能求出 AC .【解答】证明:(Ⅰ)∵ AD 是⊙ O 的切线,∴∠ DAC=∠ B ,∵ DE ∥ CA ,∴∠ DAC=∠ EDA ,∴∠ EDA=∠ B ,∵∠ AED=∠ DEB ,∴△ AED ∽△ DEB ,∴ ,∴ DE 2=AE? BE .解:(Ⅱ)∵ EF 是⊙ O 的切线, EAB 是⊙ O 割线,∴ EF 2=EA? EB ,∵ EF=4, EA=2,∴ EB=8, AB=EB﹣ EA=6,由(Ⅰ)知DE 2=AE? BE ,∴ DE=4,∵ DE ∥ CA ,∴△ BAC ∽△ BED ,∴, ∴ AC==.选修 4-4:坐标系与参数方程23.在平面直角坐标系 xOy 中,以坐标原点 0为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为ρ=2sinθ, θ∈ [0, 2π) .(1)求曲线 C 的直角坐标方程;(2)在曲线 C 上求一点 D ,使它到直线 l :, (t 为参数, t ∈ R )的距离最短, 并求出点 D 的直角坐标.【考点】简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程.【分析】 (I )利用可把圆 C 的极坐标方程化为普通方程.(II )消去参数把直线 l 的参数方程化为普通方程,求出圆心 C 到直线 l 的距离d ,得出直线与圆的位置关系即可得出.【解答】解:(1)曲线 C 的极坐标方程为ρ=2sinθ, θ∈ [0, 2π) ,即ρ2=2ρsin θ,化为 x 2+y 2﹣ 2y=0,配方为 x 2+(y ﹣ 1) 2=1.(2)曲线 C 的圆心 C (0, 1) ,半径 r=1.直线 l :, (t 为参数, t ∈ R )化为普通方程:﹣ y ﹣ 1=0, 可得圆心 C 到直线 l 的距离 d==1=0, ∴直线 l 与圆 C 相切,其切点即为所求.联立 ,解得 D .选修 4-5:不等式选讲24.设函数 f (x ) =|x +|﹣ |x ﹣ |.(I )当 a=1时,求不等式f (x )≥ 的解集;(Ⅱ)若对任意a ∈ [0, 1],不等式f (x )≥ b 的解集为空集,求实数 b 的取值范围.【考点】绝对值不等式的解法.【分析】 (I )当 a=1时,利用绝对值的意义求得不等式的解集.(Ⅱ)由题意可得 b 大于 f (x )的最大值.再根据绝对值的意义可得 f (x )的最大值为 1, 可得实数 b 的范围.【解答】解:(I )当 a=1时,不等式f (x )≥ ,即 |x +1|﹣|x |≥ ,即数轴上的 x 对应点到﹣ 1对应点的距离减去它到原点的距离大于 ,而﹣对应点到﹣ 1对应点的距离减去它到原点的距离正好等于 ,故 |x +1|﹣|x |≥ 的解集为{x |x ≥﹣ }.(Ⅱ)若对任意a ∈ [0, 1],不等式f (x )≥ b 的解集为空集,则 b 大于 f (x )的最大值.而由绝对值的意义可得 f (x )的最大值为 1,故实数 b >1.2016年 7月 29日相关文档：••••••••••更多相关文档请访问：。

专题06 立体几何-2016年高考+联考模拟理数试题分项版解析(解析版) 含解析

第一部分 2016高考试题立体几何1. 【2016高考新课标1卷】如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是283π,则它的表面积是（）（A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π【答案】A【解析】试题分析：该几何体直观图如图所示：是一个球被切掉左上角的18,设球的半径为R ,则37428V R 833ππ=⨯=,解得R 2=,所以它的表面积是78的球面面积和三个扇形面积之和2271=42+32=1784S πππ⨯⨯⨯⨯故选A ．考点：三视图及球的表面积与体积【名师点睛】由于三视图能有效的考查学生的空间想象能力,所以以三视图为载体的立体几何题基本上是高考每年必考内容,高考试题中三视图一般常与几何体的表面积与体积交汇.由三视图还原出原几何体,是解决此类问题的关键.2.【2016高考新课标2理数】下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）（A ）20π （B ）24π （C ）28π （D ）32π【答案】C考点：三视图，空间几何体的体积.【名师点睛】由三视图还原几何体的方法:3.【2016年高考北京理数】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A.16B.13C.12D.1【答案】A【解析】试题分析：分析三视图可知，该几何体为一三棱锥P ABC -，其体积111111326V =⋅⋅⋅⋅=，故选A.考点：1.三视图；2.空间几何体体积计算.【名师点睛】解决此类问题的关键是根据几何体的三视图判断几何体的结构特征.常见的有以下几类：①三视图为三个三角形，对应的几何体为三棱锥；②三视图为两个三角形，一个四边形，对应的几何体为四棱锥；③三视图为两个三角形，一个圆，对应的几何体为圆锥；④三视图为一个三角形，两个四边形，对应的几何体为三棱柱；⑤三视图为三个四边形，对应的几何体为四棱柱；⑥三视图为两个四边形，一个圆，对应的几何体为圆柱.4.【2016高考新课标3理数】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）（A ）18+（B ）54+（C ）90 （D ）81【答案】B【解析】试题分析：由三视图该几何体是以侧视图为底面的斜四棱柱，所以该几何体的表面积2362332354S=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=+B．考点：空间几何体的三视图及表面积．【技巧点拨】求解多面体的表面积及体积问题，关键是找到其中的特征图形，如棱柱中的矩形，棱锥中的直角三角形，棱台中的直角梯形等，通过这些图形，找到几何元素间的关系，建立未知量与已知量间的关系，进行求解．5.【2016高考山东理数】一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为（）（A）1233+π（B）133+π（C）136+π（D）16+π【答案】C考点：1.三视图；2.几何体的体积.【名师点睛】本题主要考查三视图及几何体的体积计算，本题涉及正四棱锥及球的体积计算，综合性较强，较全面的考查考生的视图用图能力、空间想象能力、数学基本计算能力等.6.【2016高考浙江理数】已知互相垂直的平面αβ，交于直线l .若直线m ，n 满足,m n αβ∥⊥，则（）A ．m ∥lB ．m ∥nC ．n ⊥lD ．m ⊥n【答案】C【解析】试题分析：由题意知,l l αββ=∴⊂，,n n l β⊥∴⊥．故选C ．考点：空间点、线、面的位置关系．【思路点睛】解决这类空间点、线、面的位置关系问题，一般是借助长方体（或正方体），能形象直观地看出空间点、线、面的位置关系．7.【2016年高考四川理数】已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是.正视图33考点：三视图，几何体的体积.【名师点睛】本题考查三视图，考查几何体体积，考查学生的识图能力．解题时要求我们根据三视图想象出几何体的形状，由三视图得出几何体的尺寸，为此我们必须掌握基本几何体（柱、锥、台、球）的三视图以及各种组合体的三视图．8.【2016高考浙江理数】某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积是 cm 2，体积是 cm 3.【答案】72 32【解析】试题分析：几何体为两个相同长方体组合，长方体的长宽高分别为4,2,2，所以体积为2(224)32⨯⨯⨯=，由于两个长方体重叠部分为一个边长为2的正方形，所以表面积为2(222244)2(22)72⨯⨯+⨯⨯-⨯= 考点：1、三视图；2、空间几何体的表面积与体积．【方法点睛】解决由三视图求空间几何体的表面积与体积问题，一般是先根据三视图确定该几何体的结构特征，再准确利用几何体的表面积与体积公式计算该几何体的表面积与体积．9.【2016高考新课标2理数】 ,αβ是两个平面，,m n 是两条直线，有下列四个命题：（1）如果,,//m n m n αβ⊥⊥，那么αβ⊥.（2）如果,//m n αα⊥，那么m n ⊥.（3）如果//,m αβα⊂，那么//m β.（4）如果//,//m n αβ，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等.其中正确的命题有． (填写所有正确命题的编号）【答案】②③④【解析】试题分析：对于①，,,//m n m n αβ⊥⊥，则,αβ的位置关系无法确定，故错误；对于②,因为//n α，所以过直线n 作平面γ与平面β相交于直线c ，则//n c ，因为,,m m c m n α⊥∴⊥∴⊥，故②正确；对于③，由两个平面平行的性质可知正确；对于④，由线面所成角的定义和等角定理可知其正确，故正确的有②③④.考点：空间中的线面关系.【名师点睛】求解本题应注意在空间中考虑线、面关系.10.【2016高考浙江理数】如图，在△ABC 中，AB =BC =2，∠ABC =120°.若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，满足PD =DA ，PB =BA ，则四面体PBCD 的体积的最大值是.【答案】12故BD =在PBD ∆中，PD AD x ==，2PB BA ==.由余弦定理可得222cos 2PD PB BD BPD PD PB +-∠===⋅，所以30BPD ∠=.EDC B A P过P 作直线BD 的垂线，垂足为O .设PO d = 则11sin 22PBD S BD d PD PB BPD ∆=⨯=⋅∠，12sin 302d x =⋅，解得d =而BCD ∆的面积111sin )2sin 30)222S CD BC BCD x x =⋅∠=⋅=. 设PO 与平面ABC 所成角为θ，则点P 到平面ABC 的距离sin h d θ=.故四面体PBCD的体积11111sin )33332BcD BcD BcD V S h S d S d x θ∆∆∆=⨯=≤⋅=⨯=.设t ==0x ≤≤12t ≤≤.则|x =（1）当0x ≤≤|x x =故x =此时，V = 21414()66t t t t-=⋅=-. 214()(1)6V t t'=--，因为12t ≤≤，所以()0V t '<，函数()V t 在[1,2]上单调递减，故141()(1)(1)612V t V ≤=-=. （2x <≤|x x ==，故x =此时，V =21414()66t t t t-=⋅=-. 由（1）可知，函数()V t 在(1,2]单调递减，故141()(1)(1)612V t V <=-=. 综上，四面体PBCD 的体积的最大值为12. 考点：1、空间几何体的体积；2、用导数研究函数的最值．【思路点睛】先根据已知条件求出四面体的体积，再对x 的取值范围讨论，用导数研究函数的单调性，进而可得四面体的体积的最大值．11.【2016高考新课标1卷】平面α过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A ,α//平面CB 1D 1,αI 平面ABCD =m ,αI 平面AB B 1A 1=n ,则m 、n 所成角的正弦值为(B (D)13【答案】A考点：平面的截面问题,面面平行的性质定理,异面直线所成的角.【名师点睛】求解本题的关键是作出异面直线所成角,求异面直线所成角的步骤是：平移定角、连线成形,解形求角、得钝求补.12.【2016高考新课标3理数】在封闭的直三棱柱111ABC A B C -内有一个体积为V 的球，若AB BC ⊥， 6AB =，8BC =，13AA =，则V 的最大值是（）（A ）4π （B ）92π （C ）6π （D ）323π 【答案】B【解析】试题分析：要使球的体积V 最大，必须球的半径R 最大．由题意知球的与直三棱柱的上下底面都相切时，球的半径取得最大值32，此时球的体积为334439()3322R πππ==，故选B ．考点：1、三棱柱的内切球；2、球的体积．【思维拓展】立体几何是的最值问题通常有三种思考方向：（1）根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值；（2）将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解；（3）建立函数，通过求函数的最值来求解．13.【2016高考天津理数】已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位：m ），则该四棱锥的体积为_______m 3.【答案】2考点：三视图【名师点睛】1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图．2．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．14.【2016高考新课标1卷】（本小题满分为12分）如图,在以A ,B ,C ,D ,E ,F 为顶点的五面体中,面ABEF 为正方形,AF =2FD , 90AFD ∠=,且二面角D -AF -E 与二面角C -BE -F 都是60．（I ）证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ；（II ）求二面角E -BC -A 的余弦值．【答案】（I ）见解析（II ）【解析】试题分析：（I ）先证明F A ⊥平面FDC E ,结合F A ⊂平面F ABE ,可得平面F ABE ⊥平面FDC E ．（II ）建立空间坐标系,分别求出平面C B E 的法向量m 及平面C B E 的法向量n ,再利用cos ,n mn m n m⋅=求二面角.由已知,//F AB E ,所以//AB 平面FDC E ．又平面CDAB 平面FDC DC E =,故//CD AB ,CD//F E ．由//F BE A ,可得BE ⊥平面FDC E ,所以C F ∠E 为二面角C F -BE -的平面角,C F 60∠E =．从而可得(C -．所以(C E =,()0,4,0EB =,(C 3,A =--,()4,0,0AB =-．设(),,n x y z =是平面C B E 的法向量,则C 00n n ⎧⋅E =⎪⎨⋅EB =⎪⎩,即040x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩,所以可取(3,0,n =．设m 是平面CD AB 的法向量,则C 00m m ⎧⋅A =⎪⎨⋅AB =⎪⎩,同理可取()0,3,4m =．则219cos ,n m n m n m ⋅==-故二面角C E-B -A 的余弦值为19-．考点：垂直问题的证明及空间向量的应用【名师点睛】立体几何解答题第一问通常考查线面位置关系的证明,空间中线面位置关系的证明主要包括线线、线面、面面三者的平行与垂直关系,其中推理论证的关键是结合空间想象能力进行推理,要防止步骤不完整或考虑不全致推理片面,该类题目难度不大,以中档题为主.第二问一般考查角度问题,多用空间向量解决. 15.【2016高考新课标2理数】如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，5,6AB AC ==，点,E F 分别在,AD CD 上，54AE CF ==，EF交BD 于点H ．将DEF ∆沿EF 折到D EF '∆位置，OD '=（Ⅰ）证明：D H '⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求二面角B D A C '--的正弦值．【答案】（Ⅰ）详见解析；.【解析】试题分析：（Ⅰ）证//AC EF ，再证'D H OH ⊥，最后证'D H ABCD ⊥平面；（Ⅱ）用向量法求解.又D H EF '⊥，而OH EF H ⋂=，所以D H ABCD '⊥平面.B（II ）如图，以H 为坐标原点，HF 的方向为x 轴的正方向，建立空间直角坐标系H xyz -，则()0,0,0H ，()3,2,0A --，()0,5,0B -，()3,1,0C -，()0,0,3D '，(3,4,0)AB =-，()6,0,0AC =，()3,1,3AD '=.设()111,,m x y z =是平面ABD '的法向量，则00m AB m AD ⎧⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩，即11111340330x y x y z -=⎧⎨++=⎩，所以可以取()4,3,5m =-.设()222,,n x y z =是平面'ACD 的法向量，则0n AC n AD ⎧⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩，即222260330x x y z =⎧⎨++=⎩，所以可以取()0,3,1n =-.于是cos ,||||50m n m n m n ⋅<>===⋅， 295sin ,m n <>=因此二面角B D A C '--. 考点：线面垂直的判定、二面角.【名师点睛】证明直线和平面垂直的常用方法有：①判定定理；②a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α；③α∥β，a ⊥α⇒a ⊥β；④面面垂直的性质．线面垂直的性质，常用来证明线线垂直．求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．16.【2016高考山东理数】在如图所示的圆台中，AC 是下底面圆O 的直径，EF 是上底面圆O '的直径，FB 是圆台的一条母线.（I ）已知G ,H 分别为EC ，FB 的中点，求证：GH ∥平面ABC ；（II ）已知EF =FB =12AC =，AB =BC .求二面角F BC A --的余弦值.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）7【解析】试题分析：（Ⅰ）根据线线、面面平行可得与直线GH 与平面ABC 平行；（Ⅱ）立体几何中的角与距离的计算问题，往往可以利用几何法、空间向量方法求解，其中解法一建立空间直角坐标系求解；解法二则是找到FNM ∠为二面角F BC A --的平面角直接求解. 试题解析：（II ）解法一：连接'OO ,则'OO ⊥平面ABC ，又,AB BC =且AC 是圆O 的直径，所以.BO AC ⊥ 以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，由题意得(0,B，(C -，过点F 作FM OB 垂直于点M ，所以3,FM =可得F故(23,23,0),(0,BC BF =--=-. 设(,,)m x y z =是平面BCF 的一个法向量.由0,0m BC mBF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩可得0,30z ⎧--=⎪⎨+=⎪⎩ 可得平面BCF的一个法向量(1,1,3m =- 因为平面ABC 的一个法向量(0,0,1),n =所以7cos ,||||m n m n m n⋅<>==. 所以二面角F BC A --的余弦值为7.解法二：连接'OO ，过点F 作FM OB ⊥于点M ，则有//'FM OO , 又'OO ⊥平面ABC ，所以FM ⊥平面ABC, 可得3,FM =过点M 作MN BC 垂直于点N ，连接FN ，可得FN BC ⊥,从而FNM ∠为二面角F BC A --的平面角. 又AB BC =,AC 是圆O 的直径，所以6sin 45MN BM ==从而2FN =，可得cos FNM ∠=所以二面角F BC A --的余弦值为7. 考点：1.平行关系；2. 异面直线所成角的计算.【名师点睛】此类题目是立体几何中的常见问题.解答本题，关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，给出规范的证明.立体几何中的角与距离的计算问题，往往可以利用几何法、空间向量方法求解，应根据题目条件，灵活选择方法.本题能较好的考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力\转化与化归思想及基本运算能力等. 17.【2016高考江苏卷】(本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在侧棱B 1B 上，且11B D A F ⊥ ，1111A C A B ⊥.求证：（1）直线DE ∥平面A 1C 1F ；（2）平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F .【答案】（1）详见解析（2）详见解析【解析】试题分析：（1）利用线面平行判定定理证明线面平行，而线线平行的寻找往往结合平几知识，如中位线性质（2）利用面面垂直判定定理证明，即从线面垂直出发给予证明，而线面垂直的证明，往往需要多次利用线面垂直性质与判定定理,如将线线垂直1111A C A B ⊥先转化到线面垂直11AC ⊥平面11ABB A ，从而得到线线垂直111AC B D ⊥，再结合11B D A ⊥F ，转化到线面垂直111C F B D A ⊥平面试题解析：证明：（1）在直三棱柱111ABC A B C -中，11//AC AC 在三角形ABC 中，因为D,E 分别为AB,BC 的中点.所以//DE AC ，于是11//DE AC又因为DE ⊄平面1111,AC F AC ⊂平面11AC F 所以直线DE//平面11AC F（2）在直三棱柱111ABC A B C -中，1111AA ⊥平面A B C 因为11AC ⊂平面111A B C ，所以111AA ⊥A C又因为111111*********,,AC A B AA ABB A A B ABB A A B AA A ⊥⊂⊂=，平面平面所以11AC ⊥平面11ABB A因为1B D ⊂平面11ABB A ，所以111AC B D ⊥又因为1111111111111C F,C F,B D A AC A A F A AC A F A ⊥⊂⊂=F ，平面平面所以111C F B D A ⊥平面因为直线11B D B DE ⊂平面，所以1B DE 平面11.AC F ⊥平面考点：直线与直线、平面与平面位置关系【名师点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型. (1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行. (2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直. (3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.(4)证明面面垂直，需转化为证明线面垂直，进而转化为证明线线垂直. 18.【2016高考天津理数】（本小题满分13分）如图，正方形ABCD 的中心为O ，四边形OBEF 为矩形，平面OBEF ⊥平面ABCD ，点G 为AB 的中点，AB =BE =2.（I ）求证：EG ∥平面ADF ；（II ）求二面角O -EF -C 的正弦值；（III ）设H 为线段AF 上的点，且AH =23HF ，求直线BH 和平面CEF 所成角的正弦值.【答案】【解析】试题解析：依题意，OF ABCD ⊥平面，如图，以O 为点，分别以,,AD BA OF 的方向为x 轴，y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得(0,0,0)O ，()1,1,0,(1,1,0),(1,1,0),(11,0),(1,1,2),(0,0,2),(1,0,0)A B C D E F G -------，.（I ）证明：依题意，()(2,0,0),1,1,2AD AF ==-.设()1,,n x y z =为平面ADF 的法向量，则110n AD n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2020x x y z =⎧⎨-+=⎩ .不妨设1z =，可得()10,2,1n =，又()0,1,2EG =-，可得10EG n ⋅=，又因为直线EG ADF ⊄平面，所以//EG ADF 平面.（II ）解：易证，()1,1,0OA =-为平面OEF 的一个法向量.依题意，()()1,1,0,1,1,2EF CF ==-.设()2,,n x y z =为平面CEF 的法向量，则220n E F n C F ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即020x y x y z +=⎧⎨-++=⎩.不妨设1x =，可得()21,1,1n =-.因此有222cos ,3OA n OA n OA n ⋅<>==-⋅，于是23sin ,3OA n <>=，所以，二面角O EF C --的正弦值（III ）解：由23AH HF =，得25AH AF =.因为()1,1,2AF =-，所以2224,,5555AH AF ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，进而有334,,555H ⎛⎫- ⎪⎝⎭，从而284,,555BH ⎛⎫= ⎪⎝⎭，因此222cos ,BH n BH n BH n⋅<>==-⋅.所以，直线BH 和平面CEF 所成角的正弦值为21. 考点：利用空间向量解决立体几何问题 19.【2016年高考北京理数】（本小题14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，PA PD =，AB AD ⊥，1AB =，2AD =，AC CD ==（1）求证：PD ⊥平面PAB ；（2）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值；（3）在棱PA 上是否存在点M ，使得//BM 平面PCD ？若存在，求AM AP的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）见解析；（2）3；（3）存在，14AM AP =试题解析：（1）因为平面PAD ⊥平面ABCD ，AB AD ⊥，所以⊥AB 平面PAD ，所以PD AB ⊥，又因为PD PA ⊥，所以⊥PD 平面PAB ；（2）取AD 的中点O ，连结PO ，CO ，因为PA PD =，所以AD PO ⊥.又因为⊂PO 平面PAD ，平面⊥PAD 平面ABCD ，所以⊥PO 平面ABCD .因为⊂CO 平面ABCD ，所以⊥PO CO .因为CD AC =，所以AD CO ⊥.如图建立空间直角坐标系xyz O -，由题意得，)1,0,0(),0,1,0(),0,0,2(),0,1,1(),0,1,0(P D C B A -.设平面PCD 的法向量为),,(z y x n =，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,0,0即⎩⎨⎧=-=--,02,0z x z y 令2=z ，则2,1-==y x . 所以)2,2,1(-=n . 又)1,1,1(-=PB，所以33,cos -=>=<. 所以直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为33.（3）设M 是棱PA 上一点，则存在]1,0[∈λ使得AP AM λ=. 因此点),,1(),,1,0(λλλλ--=-BM M .因为⊄BM 平面PCD ，所以∥BM 平面PCD 当且仅当0=⋅n BM ，即0)2,2,1(),,1(=-⋅--λλ，解得41=λ. 所以在棱PA 上存在点M 使得BM ∥平面PCD ，此时41=AP AM . 考点：1.空间垂直判定与性质；2.异面直线所成角的计算；3.空间向量的运用.【名师点睛】平面与平面垂直的性质的应用：当两个平面垂直时，常作的辅助线是在其中一个面内作交线的垂线，把面面垂直转化为线面垂直，进而可以证明线线垂直(必要时可以通过平面几何的知识证明垂直关系)，构造(寻找)二面角的平面角或得到点到面的距离等.20.【2016高考新课标3理数】如图，四棱锥P ABC -中，PA ⊥地面ABC D ，AD BC ，3AB AD AC ===，4PA BC ==，M 为线段AD 上一点，2AM MD =，N 为PC 的中点．（I ）证明MN 平面PAB ；（II ）求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）25．【解析】试题分析：（Ⅰ）取PB 的中点T ，然后结合条件中的数据证明四边形AMNT 为平行四边形，从而得到MN AT ，由此结合线面平行的判断定理可证；（Ⅱ）以A 为坐标原点，以,AD AP 所在直线分别为,y z 轴建立空间直角坐标系，然后通过求直线AN 的方向向量与平面PMN 法向量的夹角来处理AN 与平面PMN 所成角．试题解析：（Ⅰ）由已知得232==AD AM ，取BP 的中点T ，连接TN AT ,，由N 为PC 中点知BC TN //，221==BC TN . 又BC AD //，故TN AM ，四边形AMNT 为平行四边形，于是AT MN //.因为⊂AT 平面PAB ，⊄MN 平面PAB ，所以//MN 平面PAB .（Ⅱ）取BC 的中点E ，连结AE ，由AC AB =得BC AE ⊥，从而AD AE ⊥，且5)2(2222=-=-=BC AB BE AB AE . 以A 为坐标原点，AE 的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系xyz A -，由题意知，)4,0,0(P ，)0,2,0(M ，)0,2,5(C ，)2,1,25(N ， (0,2,4)PM =-，)2,1,25(-=，)2,1,25(=. 设(,,)n x y z =为平面PMN 的法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00PM n ，即⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-0225042z y x z x ，可取(0,2,1)n =，于是||85|cos ,|25||||n AN n AN n AN ⋅<>==考点：1、空间直线与平面间的平行与垂直关系；2、棱锥的体积．【技巧点拨】（1）证明立体几何中的平行关系，常常是通过线线平行来实现，而线线平行常常利用三角形的中位线、平行四边形与梯形的平行关系来推证；（2）求解空间中的角和距离常常可通过建立空间直角坐标系，利用空间向量中的夹角与距离来处理．21.【2016高考浙江理数】(本题满分15分)如图,在三棱台ABC DEF -中,平面BCFE ⊥平面ABC ,=90ACB ∠,BE =EF =FC =1,BC =2,AC =3.(I)求证：EF⊥平面ACFD ；(II)求二面角B -AD -F 的平面角的余弦值.【答案】（I ）证明见解析；（II ）4．【解析】试题分析：（I ）先证F C B ⊥A ，再证F C B ⊥K ，进而可证F B ⊥平面CFD A ；（II ）方法一：先找二面角D F B-A -的平面角，再在Rt QF ∆B 中计算，即可得二面角D F B-A -的平面角的余弦值；方法二：先建立空间直角坐标系，再计算平面C A K 和平面ABK 的法向量，进而可得二面角D F B-A -的平面角的余弦值．所以F B ⊥平面CFD A ．（II ）方法一：过点F 作FQ ⊥AK ，连结Q B ．因为F B ⊥平面C A K ，所以F B ⊥AK ，则AK ⊥平面QF B ，所以Q B ⊥AK ．所以，QF ∠B 是二面角D F B-A -的平面角．在Rt C ∆A K 中，C 3A =，C 2K =，得FQ =．在Rt QF ∆B 中，FQ =，F B =cos QF ∠B =所以，二面角D F B-A -的平面角的余弦值为4．方法二：如图，延长D A ，BE ，CF 相交于一点K ，则C ∆B K 为等边三角形．取C B 的中点O ，则C KO ⊥B ，又平面CF B E ⊥平面C AB ，所以，KO ⊥平面C AB ．以点O 为原点，分别以射线OB ，OK 的方向为x ，z 的正方向，建立空间直角坐标系xyz O ．由题意得()1,0,0B ，()C 1,0,0-，(K ，()1,3,0A --，12⎛E ⎝⎭，1F 2⎛- ⎝⎭．因此， ()C 0,3,0A =，(AK =，()2,3,0AB =．设平面C A K 的法向量为()111,,m x y z =，平面ABK 的法向量为()222,,n x y z =．由C 00m m ⎧A ⋅=⎪⎨AK ⋅=⎪⎩，得11113030y x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，取()3,0,1m =-；由00n n ⎧AB⋅=⎪⎨AK ⋅=⎪⎩，得2222223030x y x y +=⎧⎪⎨++=⎪⎩，取(3,n =-．于是，3cos ,m n m n m n ⋅==⋅．所以，二面角D F B-A -考点：1、线面垂直；2、二面角．【方法点睛】解题时一定要注意二面角的平面角是锐角还是钝角，否则很容易出现错误．证明线面垂直的关键是证明线线垂直，证明线线垂直常用的方法是直角三角形、等腰三角形的“三线合一”和菱形、正方形的对角线．22.【2016年高考四川理数】（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=12AD，E为边AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°.（Ⅰ）在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；（Ⅱ）若二面角P-CD-A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.E D CB PA【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）1 3 .【解析】试题解析：（Ⅰ）在梯形ABCD中，AB与CD不平行.延长AB，DC，相交于点M（M∈平面P AB），点M即为所求的一个点.理由如下：由已知，BC∥ED，且BC=ED.所以四边形BCDE是平行四边形.，所以CD∥EB从而CM∥EB.又EB⊂平面PBE，CM⊄平面PBE，所以CM∥平面PBE.（说明：延长AP至点N，使得AP=PN，则所找的点可以是直线MN上任意一点）（Ⅱ）方法一：由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PA⋂AD=A，所以CD⊥平面PAD.从而CD⊥PD.所以∠PDA是二面角P-CD-A的平面角.所以∠PDA=45°.设BC=1，则在Rt△PAD中，PA=AD=2.过点A作AH⊥CE，交CE的延长线于点H，连接PH. 易知PA⊥平面ABCD，从而PA⊥CE.于是CE⊥平面PAH.所以平面PCE⊥平面PAH.过A作AQ⊥PH于Q，则AQ⊥平面PCE.所以∠APH是PA与平面PCE所成的角.在Rt△AEH中，∠AEH=45°，AE=1，所以AH=2.在Rt△PAH中，2，所以sin∠APH=AHPH=13.方法二：由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PA⋂AD=A，所以CD⊥平面PAD.于是CD⊥PD.从而∠PDA是二面角P-CD-A的平面角.所以∠PDA=45°.由PA⊥AB，可得PA⊥平面ABCD.设BC=1，则在Rt△PAD中，PA=AD=2.作Ay⊥AD，以A为原点，以AD,AP的方向分别为x轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，则A（0,0,0），P（0,0,2），C(2,1,0)，E(1,0,0)，所以PE=（1,0,-2），EC=（1,1,0），AP=（0,0,2）设平面PCE的法向量为n=(x,y,z)，由0,0,PEEC⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩nn得20,0,x zx y-=⎧⎨+=⎩设x=2，解得n=(2,-2,1).设直线PA与平面PCE所成角为α，则sinα=||||||n APn AP⋅⋅13=.所以直线PA与平面PCE所成角的正弦值为1 3.P考点：线线平行、线面平行、向量法.【名师点睛】本题考查线面平行、线线平行、向量法等基础知识，考查空间想象能力、分析问题的能力、计算能力.证明线面平行时，可根据判定定理的条件在平面内找一条平行线，而这条平行线一般是由过面外的直线的一个平面与此平面相交而得，证明时注意定理的另外两个条件（线在面内，线在面外）要写全，否则会被扣分，求线面角（以及其他角），一种方法可根据定义作出这个角（注意还要证明），然后通过解三角形求出这个角．另一种方法建立空间直角坐标系，用向量法求角，这种方法主要是计算，不需要“作角、证明”，关键是记住相应公式即可．23. 【2016高考上海理数】将边长为1的正方形11AAO O（及其内部）绕的1OO旋转一周形成圆柱，如图，AC 长为23π，11A B 长为3π，其中1B 与C 在平面11AAO O 的同侧。

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立体几何02
三、解答题
1．如图,四棱柱1111D C B A A B C D -的底面A B C D
是平行四边形,且1=AB ,2=BC ,060=∠ABC ,E 为BC 的中点, ⊥1AA 平面ABCD .
(Ⅰ)证明:平面⊥AE A 1平面DE A 1;
(Ⅱ)若E A DE 1=,试求异面直线AE 与D A 1所成角的余弦值;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,试求二面角1--C A D E 的余弦值.
2．如图,直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中∠ACB=90°,M,N 分别为A 1B,B 1C 1的中点,BC=AA 1=2AC=2,求证:
(1)求三棱柱C 1-A 1CB 的体积;
(2)求直线A 1C 与直线MB 1所成角的余弦值;
(3)求平面B 1MN 与平面A 1CB 所成锐二面角的余弦值
.
A B C D
E
1
A 1
B 1
C 1D
3．已知四棱锥P-ABCD 的底面为直角梯形,AB∥DC,⊥=∠PA DAB ,90 底面ABCD,
且PA=AD=DC=21AB=1,M 是PB 的中点. (Ⅰ)证明:面PAD⊥面PCD;
(Ⅱ)求AC 与PB 所成角的余弦值;
(Ⅲ)求面AMC 与面BMC 所成二面角的余弦值.
4．如图,已知四棱锥E-ABCD 的底面为菱形,且∠ABC=60°,AB=EC=2,AE=BE=2
(1)求证:平面EAB⊥平面ABCD
(2)求二面角A-EC-D 的余弦值
5.在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，12AA =，E 为1BB 中点.（Ⅰ）证明：
1AC D E ⊥；
（Ⅱ）求DE 与平面1AD E 所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱AD 上是否存在一点P ，使得BP ∥平面1AD E ？若存在，求DP 的长；若不存在，说明理由.
D 1
C 1
B 1A 1E
D
C B A
答案
三、解答题
1.解(Ⅰ)依题意,CD AB BC EC BE ====2
1 所以ABE ∆是正三角形,060=∠AEB 又00030)120180(2
1=-⨯=∠CED 所以090=∠AED ,AE DE ⊥
因为⊥1AA 平面ABCD ,⊂DE 平面ABCD ,所以DE AA ⊥1
因为A AE AA = 1,所以⊥DE 平面AE A 1
因为⊂DE 平面DE A 1,所以平面⊥AE A 1平面 DE A 1
(Ⅱ)取1BB 的中点F ,连接EF 、AF ,连接C B 1,则D A C B EF 11////
所以AEF ∠是异面直线AE 与D A 1所成的角因为3=DE ,2211AE A A E A +=,
所以21=A A ,22=BF ,2
6121=+==EF AF 所以6
62cos 222=⨯⨯-+=∠EF AE AF EF AE AEF
(Ⅰ)(Ⅱ)解法2:以A 为原点,过A 且垂直于BC 的直线为x 轴,AD 所在直线为y 轴、1AA 所在直线为z 建立右手系空间直角坐标系
设a AA =1(0>a ),)0 , 0 , 0(A
则)0 , 2 , 0(D ) , 0 , 0(1a A )0 , 2
1 , 23(E (Ⅰ)设平面AE A 1的一个法向量为) , , (1p n m n =, 则⎪⎩⎪⎨⎧==⋅=+=⋅002
12311
1ap AA n n m n 0=p ,取1=m ,则3-=n ,从而)0 , 3 , 1(1-=n ,
同理可得平面DE A 1的一个法向量为)2 , 1 , 3(2a n =, 直接计算知021=⋅n n ,所以平面⊥AE A 1平面DE A 1
(Ⅱ)由E A DE 1=即22222)21()23(0)212()23(
a ++=+-+ 解得2=a
)0 , 21 , 23(
=AE ,)2 , 2 , 0(1-=A 所以异面直线AE 与D A 1所成角的余弦值
6
6cos 11==θ (Ⅲ)由(Ⅱ)可知21=A A ,平面DE A 1
的一个法向量为2n =
又1=,02CD ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
,)2 , 2 , 0(1-=D A 设平面1CA D 的法向量()3=,,n x y z 则
133=0=0A D n CD n ⎧⋅⎪⎨⋅⎪⎩
得(3=n 设二面角1--C A D E 的平面角为ϕ,且ϕ为锐角则232323
cos =cos ,=n n n n n n ϕ⋅
5所以二面角1--C A D E
2.解: (1)32
=V --------------4 (2)55
------------8 (3)
5
3------------------13
3.
4.解:(1)证明:取AB 的中点O,连接EO,CO
∴==,2EB AE △AEB 为等腰直角三角形
∴EO⊥AB,EO=1
又∵AB=BC,∠ABC=60°,∴△ABC 是等边三角形,
3=∴CO ,又CO EO CO EO EC EC ⊥∴+=∴=,,2222
∵EO⊥平面ABCD,又EO ⊂平面EAB,∴平面EAB⊥平面ABCD
(2)以AB 的中点O 为坐标原点,OB 所在直线为y 轴,OE 所在直线为z 轴,如图建系则)1,0,0(),0,2,3(),0,0,3(),0,1,0(E D C A --,)1,0,3(),0,1,3(-==,=(
0,2,0)
设平面DCE 的法向量为)1,,(y x n =,则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0
0n EC ,即⎩⎨⎧==-02013y x ,解得:
⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∴=0
1,0,33,33y n x
同理求得平面EAC 的一个法向量为⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=1,1,33
7
72,cos =>=<∴,所以二面角A-EC-D 的余弦值为772 5. （Ⅰ）证明：连接BD ∵1111ABCD A B C D -是长方体，∴1D D ⊥平面ABCD ，又AC ⊂平面ABCD ∴1D D AC ⊥ ……1分
在长方形ABCD 中，AB BC = ∴BD AC ⊥ …………2分又1BD D D D = ∴AC ⊥平面11BB D D ， …………3分而1D E ⊂平面11BB D D ∴1AC D E ⊥ ………4分（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系Dxyz ，则
1(1,0,0),(0,0,2),(1,1,1),(1,1,0)A D E B ,1(0,1,1),(1,0,2),(1,1,1)AE AD DE ==-= ……
…5分设平面1AD E 的法向量为(,,)n x y z = ，则100n AD n AE ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 200x z y z -+=⎧⎨+=⎩ 令1z =，则(2,1,1)
n =- ………7分
cos ,n DE n DE n DE <>===
…………8分所以 DE 与平面1AD E
………………9分（Ⅲ）假设在棱AD 上存在一点P ，使得BP ∥平面1AD E .
设P 的坐标为(,0,0)(01)t t ≤≤，则(1,1,0)BP t =-- 因为 BP ∥平面1AD E
所以 BP n ⊥ ，即0BP n = ， 2(1)10t -+=，解得12t =， ………………12分所以在棱AD 上存在一点P ，使得BP ∥平面1AD E ,此时DP 的长12.……13分。