第一章 数学模型和数值方法引论
01绪论
第一章 数学建模概论§1.1数学与数学模型数学是研究现实世界数量关系和空间形式的科学.数和形是数学研究的最基本的对象，自然界无不可以用数和形以及它们的发展和变化形态及规律加以描述的，因此，数学是无时不在、无处不在的。
不回顾数学历史的辉煌，仅看当今，现代化的生产手段方便、快捷、高效，无一不包含数学的贡献，现代化的产品比比皆是、层出不穷，哪一件离得开数学的支撑? “科学技术是生产力”，而数学是生产力发展的基石和源泉.当今信息时代的一个重要特点是数学的应用向一切领域渗透，高科技与数学的关系日益密切，产生了许多与数学相接结合的新学科.如数学化学、数学生物学、数学地质学、数学社会学，等等.“信息时代高科技的竞争本质上是数学的竞争。
”“当今如此受到称颂的‘高科技’本质上是一种数学技术”.数学的产生和发展一直和数学模型（Mathematical Model ）紧密相联的.什么是数学模型呢？我们常见的模型有儿童玩具、人物塑像、作战沙盘、风洞中的飞机、地质图、地形图等等.模型是为了一定目的，对客观事物的一部分进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物.数学模型是为了一个特定目的，根据一个现实对象的内在规律，做出必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构.三千多年前创立的欧几里德几何就是一个很好的数学模型.近代牛顿创立的万有引力定律、开普靳三大定律、爱因斯坦的狭义相对论等都是在当今科学技术的很多领域发挥着巨大作用的数学模型.从科学、工程、经济、管理等角度看，数学模型就是用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立的能近似刻画并“解决”实际问题的一个强有力的数学工具.数学模型具有预测、判别、解释三大作用，其中预测功能是数学模型价值的最重要的体现.为了说明这三大作用，下面举例如下.例1 谷神星的发现1764年,瑞士波奈特哲学家出版了《自然观察》一书，德国人提丢斯在读了该书后,从中总结出一个级数,用于表示太阳与当时已发现的六颗行星的距离.后来波德修改为如下“提丢斯--波德”定则:)234(101n R ⨯+⨯= 当5,4,2,1,0,10-分别取值n 时,从上述公式可以计算出太阳与水星、金星、地球、火星、木星和土星的近似距离分别为0.400292968、0.7、1.0、1.6、5.2、10.0个天文单位.人们很自然地思考为什么3=n 时没有行星对应？1801年元旦之夜，意大利人皮亚齐用望远镜发现了一颗光线暗弱的新天体.当时许多正在寻找新行星的天文学家们获此消息后异常兴奋,因为从该天体的运行特点分析,它可能是一颗新行星.遗憾的是皮亚齐由于生病,不得不中断了已进行六个星期的观察,当他痊愈后却搜遍苍穹也不见这颗星的踪影.为了重新找到这颗星星,德国年轻数学家高斯应用皮亚齐的观察资料、提丢斯--波德”定则和基于万有引力定律的轨道计算法，算出了这颗星星的轨道及太阳与它的平均距离，它的轨道在火星与木星之间.1802年1月1日夜间,人们根据数学家高斯的计算结果和预言终于又找到了这颗曾经跟丢了的后来被命名为谷神星的星星. 继谷神星发现之后,数学家们应用数学模型又计算预测出了海王星、冥王星的存在和位置，接着天文工作者才在天空中找到它们.从这个例子可见,数学模型的预测功能就是用数学模型的知识和规律预测未来发展,为人们的行为提高指导.例2 跑步问题如果某人在任何一个5 min 的时间区间内均不跑500m,试问他能否恰好用10 min 跑完1000m?有人认为用5min 跑慢一点、而用5min 跑快一点，因此他可以恰好用10min 跑完1000m ；也有人直观上感到在题目的要求下不可能用10min 跑1000m.如何判断这两种答案哪个正确呢？我们可以建立数学模型来解决这一问题.设[]t ,0内跑过的距离为)(t s ,显然)(t s 是时间t 的广义单调增加的连续函数,且0)0(=s ,如果假设恰好用10min 跑完1000m,那么1000)10(=s .构造连续函数500)()5()(--+=t s t s t f ,易知)5(500)5(,500)5()0(s f s f -=-=,因此0))5(500()5()0(2≤--=⋅s f f .如果0)5()0(=⋅f f ,那么0)5(0)0(==f f 或,恒有500)5(=s ,这与条件“在任何一个5 min 的时间区间内均不跑500m ”矛盾. 如果0)5()0(<⋅f f ,根据连续函数的零点定理,必存在)5,0(0∈t ,使0)(0=t f ,即500)()5(00=-+t s t s ,这表明从时刻0t 开始到时刻50+t 为止的5min 内跑了500m,故仍然与题目中的条件相悖.所以, 在题目的要求下不可能用10min 跑1000m.从上述例子可知, 数学模型的判断功能就是用数学模型来判断原来知识、认识的可靠性.例3 随机事件的频率稳定性在概率论发展的早期，人们发现，虽然个别随机事件在某次试验中可以出现也可以不出现，但是在大量重复试验中却呈现出明显的规律性，即某个随机事件出现的频率在某个范围内摆动称之为“频率稳定性”.这是什么原因呢？曾经很长一段时期未得到理论上的解释.历史上，贝努里（Bernoulli ）第一个研究了这个问题.他提出了一种“在同样条件下进行重复试验或观察”的数学模型—-贝努里概型.在贝努里试验中，若以n μ记n 次试验中事件A 出现的次数，则n n μ便是A 出现的频率，所谓频率稳定性无非是指当n 增大时，频率n nμ接近于某个固定的常数.这个固定的常数就是事件A 在一次试验中发生的概率p .当时已经知道，n μ是随机变量，它服从二项分布{}n i p q q p C k P k n k k n n ,,1,0,1, =-===-μ其数学期望np E n =μ，方差npq D n =μ.这在一定程度上帮助贝努里进一步认识了频率n n μ的性质.但是他更需要认识的是n 非常大时n μ或n n μ的性质.显然，当n 很大时，n μ一般也会很大，故研究n μ不太方便，还是直接研究n n μ为宜.因为npq n D p n E nn==μμ,,所以当∞→n 时,频率的数学期望不变,而方差则趋于0.他知道方差为0的随机变量一定是常数,于是自然预期频率应该趋于常数p .但是频率n nμ是随机变量,关于它的极限又将如何提法呢?经过艰苦的努力, 贝努里在1713年发表的一篇论文中(这是概率论的第一篇论文!)提出并证明了贝努里大数定律:对任意的0>ε,都有1lim =⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-∞→εμp n P n n 这是一大类概率论极限定理—大数定律中的第一个.贝努里概型与贝努里大数定律从理论上完全解释了“频率稳定性”问题.该例说明了数学模型的解释功能就是用数学模型说明事物发生的原因.§1.2 数学建模实际问题的，因此,如何建立合理有效的这就是数学建模（Mathematical Modeling ）问题.下面先举一个简单的数学建模例子——“鸡兔同笼问题”.一户农家的鸡兔同笼，鸡兔的头共有8个，鸡兔的腿共有26只，问鸡、兔各有多少只?鸡兔同笼问题建立数学模型的基本步骤为:(1).做出假设:按正常情况考虑，鸡长1只头2条腿，兔长1只头4条腿.(2).用符号表示有关量:用x 表示鸡的个数，y 表示兔的个数.(3).用初等代数，列出数学式子（二元一次方程）:(4).求解得到数学解答:x =3, y =5.(5).回答原问题: 该农家的笼中有3只鸡、5只兔.一般来说，数学建模是指为了构建数学模型而进行的准备、假设、建立、求解、分析、检验和应用的全过程.显然，几乎一切科学研究都与数学建模紧密相联的，首先研究和建立模型，然后才在实际系统上实现。
计算方法第一章引论
§2 数值问题与数值算法
求解数值问题的计算机上可 以执行的系列计算公式。
2-2 数值方法与数值算法
2. 数值算法
指有步骤地完成解数值问题的过程，数值方法是它 的前提和基础，它是数值方法的具体化。具备以下四
个特性：
(1) 目的性：给出输入数据和输出数据的明确的规定
与要求。
(2) 确定性：必须精确地给出每一步的操作定义，不 允许有歧义。
3. 算法的分类
(1) 按面向求解问题的不同分为：数值算法和非数值 算法
(2) 按面向计算机的不同分为：串行算法和并行算法
(3) 按算法的内部特征分为：确定型算法和非确定型 本课程只讨论计算机上串行确定型的数值 算法 算法 即通过按规定顺序执行一个完整且有限的 运算序列后，将输入的数据（向量）变成输 出的数据（向量）。
每秒1亿次的计算机计算也要30万年； 而若改用高斯消去法作为算法进行求解，只需乘除 运算约2670次。
§2 数值问题与数值算法
N=0, S=0 若N<10000 N=N+1, S = S +N 输出N和S
输入 循环条件 循环体 输出
省略
§2 数值问题与数值算法
2-2 数值方法与数值算法
说明：对于大型数值问题，使用不同的算法其计算复
杂性将大不相同。
如对20阶线性方程组，用克莱姆法则作为算法进行
求解，其乘、除法运算次数共需约 9.7×1020 次，若用
②《计算方法》：武汉大学，高等教育出版社
③《数值计算方法》：李有法，高等教育出版社
④《数值分析》：李庆扬，王能超，易大义。
⑤《计算方法引论》：徐萃薇。
④《数值分析引论》：易大义，陈道琦。
§2 数值问题与数值算法
第1讲 引论
若近似值 x 与准确值的误差绝对值不超过某一位的 半个单位，该位到 x 的第一位非零数字共有 n位，则 称 x 有 n位有效数字
如： 3.1415926 1 3.14 e 0.0015926 0.005 102 3位
特别，经“四舍五入”得到的数均为有效数 15
（Matlab, Mathematica, Maple, MathCAD etc. ）为工具，以数学
模型为基础进行模拟研究。 促使一些边缘学科的相继出现： 计算数学,计算物理学,计算力学,计算化学,计算生物学, 计算地质学,计算经济学,等等
5
数值分析
第1讲 数值分析引论
二、研究内容和研究方法
研 究 内 容 数 值 代 数
x f ( x) Cp f ( x)
对数学问题而言，如果输入数据有微小扰动，引起
输出数据（即数学问题的解）有很大扰动，则称数学问
题是病态问题，否则称为良态问题。
19
数值分析
第1讲 数值分析引论
它是数学问题本身性质所决定的，与算法无关， 也就是说对病态问题，用任何算法（或方法）直接计 算都将产生不稳定性。
13
数值分析
第1讲 数值分析引论
Def 1.2
（相对误差/* relative error */ ）
近似值x 的误差 e 与准确值
x的比值：
r
e x x x x
称为近似值
注：
x
实际计算时，相对误差通常取
e 的相对误差，记作 e x
e 2 ( ) e e e ( x x) (e ) x 因为 e x x xx x ( x e ) 1 x
数值分析全册完整课件
算法基本结构：顺序，分支，循环
算法描述：程序或流程图
常采用的处理方法：
构造性方法 离散化方法 递推化方法 迭代法 近似替代方法 以直代曲法 化整为零的处理方法 外推法
数学基础：
微积分的若干定理： 罗尔定理和微分中值定理； 介值定理及推论； 泰勒公式（一元、二元）； 积分中值定理；
设y=f(x)为一元函数，自变量准确值x*，对应函数准确 值y*=f(x*)，x误差为e(x)，误差限为ε(x)，函数近似值 误差e(y)，误差限为ε(y)。则（可由Taylor公式推得）
( y) | f '(x) | (x)
r
(
y)
|
xf |f
'(x) (x) |
|
r
(
x)
对于多元函数 z f (x1, x2 ,, xn )
定义1.1 设x*为某一数据的准确值，x为x*的一个近 似值，称e(x)=x-x*(近似值－准确值)为近似值x的绝对 误差，简称误差。
e(x) 可正可负，当e(x) >0时近似值偏大，叫强近似值；当e(x) <0时近似值偏小，叫弱近似值。
由于x*通常无法确定，只能估计其绝对误差值 不超过某整数ε(x)，即
设准确值
z* f (x1*, x2*,, xn* )
由多元函数Taylor公式，可得误差估计：
n
(z)
k 1
f xk
(xk )
相对误差限为：
r (z)
n k 1
xk
f xk
r (xk )
z
2. 算术运算的误差估计：
数值分析第1章引论放大_138706526解读
教材：关治、陆金甫数值方法清华大学出版社，2006第1章引论§1 数值分析研究对象与特点（I）数学与科学、工程技术有非常密切关系，并相互影响。
科学与工程技术领域中的问题通过简化、抽象建立数学模型。
对数学模型的研究和求解，应用于科学与工程实践。
数学模型的建立与研究是数学研究的重要任务。
例如，设有一个质量为m 的质点作直线运动（设其在x 轴上运动），其坐标用x 表示。
在质点运动过程中，其坐标x 随时间t 而变动，要知道质点如何运动，就要知道x 对时间t 的依赖关系。
假定运动是在力F 的作用下进行的，而力F 又与时间t ，质量的位置x ，速度v dx dt =有关，即(,,)dx F f t x dt=。
由Newton 第二定律，22v ,d d x F ma a dt dt===，即在时刻t 有 22(,,)d x dx m F t x dt dt= 为使问题定解，还需加上初始条件 00()x t x =00v t t dxdt ==这样的初值问题，其解存在，唯一，连续依赖于初始数据…是数学工作者要研究和解决的问题。
作为科学与工程技术工作者，仅知道其解的存在，唯一…是不够的，还必须知道其数量是多少。
很多线性与非线性问题很难用解析方法来求得，甚至于看来简单的问题，也难于解析求解，如21sin xdxx不能用解析方法求得。
很多需要数字结果的科学与工程问题，得到数学模型后，必须采用数值方法来求解。
数值分析则是研究数值方法求解科学与工程问题的一门学科，主要是构造适合于不同类型问题的数值方法，分析方法的精度、稳定性、收敛性等一系列理论与实际问题。
改进计算方法，创造新的数值方法是数值分析很重要的任务。
数值分析具有两个显明特点：1.实践性数值求解的总是来源于科学与工程实践，解决之后又为科学与工程技术服务。
2.与计算机的密切相关虽然数值分析早于计算机的出现，但是数值分析的飞速发展是计算机出现之后，并随计算机发展而迅速发展。
第1章 数值分析引论
数值分析
15
§3 误差定性分析、避免误差危害
误差分析简介(p8): 概率分析法
向后误差分析法
x g (a1,, an )， x fl g (a1 1,, an n ).
区间分析法
x [ , ], y [ , ], xy
数值分析
2
三. 数值分析的特点p3
1、面向计算机 2、可靠的理论分析,保证收敛性、稳定性 3、良好的计算复杂性 4、数值实验
数值分析
3
四、数值分析的研究内容和研究方法 研 究 内 容
1、数值逼近 插值法 函数逼近与曲线拟和 数值积分与数值微分 2、数值代数 线性代数问题(方程组和特征值) 非线性方程(组)数值解法
* I1 * I0
We just got lucky?
1 * (1 I 2 ) 0 .36787944 2 1 * (1 I 1 ) 0 .63212056 1
数值分析
20
考察反推一步的误差：
1 1 1 * | E N 1 | (1 I N ) (1 I N ) | E N | N N N
10
一般C p 10认为是病态.
其他计算问题也要考虑 条件数, 考虑是否病态 .
数值分析
22
三、避免误差危害的若干原则
除了分清问题是否病态和算法是否数值稳定外,还要考 虑避免误差危害和防止有效数字损失的如下原则. 1.避免‘大数’除以‘小数’ 例6 仿计算机，采用3位十进制，用消元法求解方程组
一元函数f ( x)，x为准确值, x * 为近似值,由Taylor公式 f ( x) f ( x*) f ( x*)( x x*)
数学模型姜启源课件第一章
数学模型姜启源课件第一章1. 引言数学模型是数学和实际问题之间的桥梁，通过建立合适的数学模型，我们可以更好地理解和解决实际问题。
本课程旨在介绍数学模型的基本原理和方法，帮助学生学习如何应用数学模型来解决实际问题。
在本章中，我们将首先介绍数学模型的基本概念和分类。
然后，我们将讨论数学模型的建立过程和解决方法。
最后，我们将通过几个具体案例来说明数学模型在实际问题中的应用。
2. 数学模型的概念和分类2.1 数学模型的定义数学模型是利用数学语言和符号来描述和分析实际问题的工具。
它可以是一个公式、一个方程、一个图表或者更复杂的数学结构。
数学模型能够将实际问题的复杂性简化，并提供一种定量的方法来研究问题。
2.2 数学模型的分类数学模型可以根据其特征和用途进行分类。
常见的数学模型分类包括：•线性模型：模型中的变量和参数之间的关系为线性关系。
•非线性模型：模型中的变量和参数之间的关系为非线性关系。
•离散模型：模型中的变量和参数取有限个或可数个值。
•连续模型：模型中的变量和参数可以取任意实数值。
•动态模型：模型中的变量和参数随时间变化。
•静态模型：模型中的变量和参数不随时间变化。
3. 数学模型的建立过程3.1 问题的描述数学模型的建立首先需要明确问题的目标和约束条件。
问题描述应该清晰明确，包含必要的数据和信息。
3.2 变量的选择通过分析问题，确定和描述影响问题的因素。
这些因素可以成为模型中的变量，用来表示问题的不同方面和特征。
3.3 建立数学关系根据变量的选择，建立模型中各变量之间的数学关系。
这些关系可以通过物理定律、统计分析或者经验公式来确定。
3.4 模型的求解利用数学工具和方法，对建立的数学模型进行求解，得到问题的解析解或数值解。
求解过程中需要考虑求解方法的合理性和稳定性。
4. 数学模型的求解方法4.1 解析解法解析解法是指通过数学推导和计算，得到数学模型的解析表达式。
这种方法可以提供问题的准确解，但通常只适用于简单的数学模型。
数值计算第一章
6
0.1120
7
0.2180
算法不稳定。
8
-0.7280
9
7.5520
,9 。
精确值
0.63212… 0.36787… 0.26424… 0.20727… 0.17089… 0.14553… 0.12680… 0.11238… 0.10093… 0.09161…12
稳定的算法：
0
In
1 n 1
0 ，取
对阶时 0.0001 0.000000001105 ，计算机表示为 0，计算结果为
10000
0.12345105 ，结果不可靠。这时得改变算法：先计算 i =1 ，再 i 1
与第一项相加得到12345+1=12346 。
15
4. 绝对值较小的数不宜做分母。 用绝对值很小的数做除数，会使误差增大；还有可能因计算溢出 而停机。
例：取 3.141592653...的近似值为 3.14，3.141，3.142，3.14159，
3.141592 分别有几位有效数字？
注：四舍五入得到的近似数，从其最后一位数字开始到前面第一位 非零数字为止的所有数字，均是有效数字。
8
3. 有效数字与误差限的关系
有效数的浮点表示：具有 n 位有效数字的近似数 x* 可以写成标准
0.1709
5
0.1480
0.14553…
0.1455
6
0.1120
0.12680…
0.1268
7
0.2180
0.11238…
0.1125
8
-0.7280
0.10093…
0.1000
9
7.5520
0.09161…
数值分析第一章 数值计算引论
减少运算误差的若干原则
两个相近的数相减，会严重损失有效数字
设y=x-A
其中A和x均为准确值，假设A运算时不发生误差， 而x有误差，其近似值为x*，由此可估计出当用x* 近似代替x时，y的相对误差
r
*(
y*)
*( y*) y*
(x A) (x * A) x*A
x x* x*A
*(x*)
所以，四舍五入得到近似数的绝对误差限是其 末位的半个单位，即
例1.4.2：圆周率л＝3.14159…，用四舍五入取 小数点后4位时，近似值为3.1416，此时m=1， n=5，m-n=1-5=-4，绝对误差限ε*＝1/2×10-4。 取小数点后2位时，近似值为3.14，其绝对误差 限ε*＝1/2×10-2
11
有效数字
例1.4.6：л＝3.141592…，当取3.142和3.141作 为其近似值时，有效数字分别为多少位？
解： |л-3.142|=0.000407<0.0005=1/2×10-3 即m-n=-3，m=1, n=4, 所以3.142作为л的近似值具有 4位有效数字 当取3.141作为л的近似值时 |л-3.141|=0.00059<0.005=1/2×10-2 即m-n=-2, m=1, n=3, 所以3.141作为л的近似值时有3 位有效数字
0.1000
106
x2
0.2000105
解得 x1=0, x2=－0.2
准确解为x1=1.399972…, x2=－0.199986…
x*
0.x1 0.x1
x2 x2
...xn 10m ,当xn1 （4 四舍） ...xn1(xn 1) 10m ,当xn1 （5 五入）
5
第一章数学建模概论
则他先遇 上B方向来的车的概率为 否AB则发一9出0处%车的。次车显辆然将是会一越样积多越的多，。
例7 飞机失事时，黑匣子会自动打开，发射 出某种射线。为了搞清失事原因，人们必须 尽快找回匣子。确定黑匣子的位置，必须确 定其所在的方向和距离，试设计一些寻找黑 匣子的方法。由于要确定两个参数，至少要 用仪器检测两次，除非你事先知道黑匣子发 射射线的强度。
L
例4 餐馆每天都要洗大量的盘子，为了方便，
某餐馆是这样清洗盘子的：先用冷水粗粗洗 一下，再放不进妨热可水以提池出洗以涤下 简，化水假温设：不能太高， 否则会烫手（盘，1子）但吸水也热池，不、盘空能子气太的吸大低热小不，、计否材，料则只相考不同虑干净。 由于想节省（开2）支盘，子餐初始馆温老度板与气想温了相解同，一洗池热水 到下底这可一以问可问准究洗题见题备的完（度（个不多 。建深，有后3为4常要立 入））假关少的T数）什程水每1，设盘温。盘盘假均盘清，么度那你然素意大池个还条不洗洗冲了根衡易一下度（子子设为子洗最子样有么想应都只约中盘和件难盘过洗，据定回下瓷与这有是我瓷浸。终的关热建当考是可的子，看子的，而上律答一盘的你水一大怎们质泡换模，水一把虑想以水的出的，更是述，了池的准提请温假小样了菜在水型即为个水进了洗量洗，数其换因简餐，水吸备出相设吗洗解盘热时你以在什较池去解多为涤是量后热为化馆当的热利不同甚的到，水的及你么精、，一少?常时帮水可水假老然质系用。至水：洗中是温仅你提会细空但下盘?数间能并设板，量数哪盘他可不的盘涤，什度和准出变的气餐一子，…还非，的你是和△些子以够温子时然么为你建假冷模等馆池，开…会因利问还多质T知是去热度大先后样设T是研备呢型吸老热…始模再为用题应少量杀先掉了在2小将的识时一的研？，热板水温用水热就当，等鸡用分。决相一盘不，、假你的的平一清太量很调查。冷同叠子妨定析如当因原均水脏守容查一水，？一
第一章 数学模型和数值方法引论
x x* ，则称 为绝对误差限，有了绝对误差限
就可以知道x范围为
x x x
* *
即x落在 [ [ xx * x* ,, x ] ] 内。在应用上，常常采用下列
* *
写法来刻划x*的精度。
x x
*
主页 数学与统计学院
相对误差和相对误差限
数学与统计学院
数值计算的主要内容
数值代数：方程求根、线性方程组求解、 特征值和特征向量的计算、 非线性方程组的求解； 数值逼近：插值、数值微分和积分、 最小二乘法； 微分方程数值解：常微分方程数值解； 偏微分方程数值解： 差分法 有限元法
数学与统计学院
数值分析的特点
• 面向计算机，要根据计算机特点提供切实 可行的有效算法。 • 有可靠的理论分析，能任意逼近并达到精 度要求，对近似算法要保证收敛性数值稳 定性，还要对误差进行分析。 • 有好的计算复杂性，包括时间复杂性和空 间复杂性。 • 有数值实验，通过数值试验来证明所给算 法行之有效
主页 数学与统计学院
大家知道，我们所碰到的许多数学 问题必须借助于计算机才能解决。然而 仅依据我们在大学期间所学的 “高等数 学”、 “线性代数” 等数学知识是无法 编写出计算程序的。
主页 数学与统计学院
1、在线性代数中我们学过线性方程组 的求解问题， 而线性代数中所学方法只适 用于手算，只能用于求解低阶线性方程组， 而要在计算机上实现是不可能的， 若想借 助于计算机来解决线性方程组的求解问题, 就必须给出一种较好的,且能在计算机上实 现的算法（ 包括一系列的计算公式及规范 的运算程序）.
*
x 10m 0. x1x2 xn
(1.4.2.4)
其中x1 , x2 ,, xn是 0,1, 2, ,9 中的一个数,且 x1 0 , m为整数,且 的绝对误差限满足不等式
01 数学模型的建立及数值求解
向后差分
T T (i, j ) T (i 1, j ) x x
T T (i, j 1) T (i, j ) y y
2T T (i, j ) T (i 1, j ) T (i, j ) 2T (i 1, j ) T (i 2, j ) 2 x x x x 2
构造数学模型之后，根据已知条件和数据，分
析模型的特征和模型的结构特点，设计或选择 求解模型的数学方法和算法，然后编写计算机 程序或运用与算法相适应的软件包，并借助计 算机完成对模型的求解。
1.2.5 模型分析
稳定性分析（分析结果重复获得的可能性）
系统参数灵敏度分析，或进行误差分析
对模型进行评价、预测、优化等方面的分析
建模准备
建模假设
构造模型
模型求解
F
模型应用
F T
模型分析
T
模型检验
对模型求解的数字结果，进行分析， 例如稳定性、灵敏度或误差分析。 如果不符合要求，就修改假设条件 重新建模，直到符合要求；如果符 合，还可以进行评价、预测或者优 化等方面的工作。
பைடு நூலகம்
模型分析符合要求之后， 还需要回到客观实际中 进行检验，若不符合， 仍需对模型进行修复， 重新建模，直到获得满 意的结果。
模型应用是数学建模的 宗旨，也是对模型最客 观、最公正的检验。
1.3 常用的数学建模方法
理论分析法：应用自然科学中的定理和定律，对被 研究系统的有关因素进行分析、演绎、归纳，从而 建立系统的数学模型。理论分析方法是人们在一切 科学研究中广泛使用的方法。
例：在渗碳工艺过程过程中通过平衡理论找出控制
类比分析法：如果有两个系统，可以用同一形式的数学 模型来描述，则此两个系统就可以互相类比。类比分析 法是根据两个（或两类）系统某些属性或关系的相似， 去猜想两者的其他属性或关系也可能相似的一种方法。 例：在聚合物的结晶过程中，结晶度随时间的延续不断
第1章数值计算引论方案
数值计算方法
第1章 误差 第2章 非线性方程求根 第3章 线性代数方程组的数值解法 第4章 插值与拟合 第5章 数值积分和数值微分 第6章 常微分方程初李有法 李晓勤，数值计算方法，高等教育出版社，2006
2、数值计算方法参考书
李庆扬，王能超，易大义：数值分析。清华大学出版社，2001 颜庆津，数值分析。北航出版社，2006 马东升，数值计算方法，机械工业出版社
x* 具有 n 位有效数字，它准确到第 n 位。
若近似值x*的绝对误差(限)是某位的 半个单位，则说 x* 精确到该位，若从该位到 x* 的左面第一位非零数字一共有n位，则称近 似值x*有n位有效数字。
例：求 3.142 和 3.141 作为圆周率 的近似值有几位有效数
字。
解： 3.142 0.000407 0.0005 1 103 ， m 1，
0
0
上述积分称为第二类椭圆积分,它不能用普
通方法来计算.
数值积分!
数值分析是做什么用的？
求解复杂问题或运算 如
x,
ax,
ln x,
Ax
b,
b f ( x)dx,
d f ( x), ......
a
dx
近似解
计算机
数学 模型
数值 计算 方法
•
研究(构造）使用计算机求解各种科学 与工程计算问题的数值方法 对求得的数值解的精度进行评估（误 差，稳定性） 如何在计算机上实现求解
3. 数值计算的特点：对算法的要求。 1.只能包括计算机能够直接处理的运算,即加减乘除 等基本运算。 2.能任意逼近并达到精度要求，对近似算法要保证收 敛性和稳定性。 3.计算时间少，存储空间小。 4.数值试验证明算法有效。
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§1.3 数值方法的研究对象
数值方法是数学的一个分支学科，它研究各种数学问题 的数值计算方法的设计、分析，以及有关的数学理论和如何 具体实现，常常也称为数值分析。 本课程讨论的是科学和工程计算中的一些基础的数值方 法以及它们的分析，其内容包括线性代数问题（方程组和特 征值问题）及非线性方程的数值解法，函数的差值和逼近， 数值积分以及常微分方程的数值解法等。其中又包含:误差、 稳定性、收敛性、自适应性、运算量和存储量等，这些基本 概念可用来描述数值方法的适用范围、可靠性、准确性、效 率和使用的方便性等问题。
d 2s m 2 mg dt
其中 g 为重力加速度。
（1.4.1）
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通过测量得到模型中参数的值 —— 观测误差 求近似解 —— 方法误差 (截断误差）
机器字长有限 —— 舍入误差
用计算机、计算器和笔算，都只能用有限位小数
来代替无穷小数或用位数较少的小数来代替位数较多 的有限小数，如：
故x至少有n位有效数字.
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§1.4.3
求函数值和算术运算的误差估计
假设一元函数 f 具有二阶连续导数，自变量 x 的一个近似值 为 x 。我们用 f ( x) 来近似 f ( x) ，由Taylor公式可得到
| f ( ) || x x |2 | f ( x) f ( x) || f ( x) || x x | 2
n=20 需要运 算多少次？
存贮量少 逻辑结构简单
n=100?
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§1.4 数值计算的误差
1.4.1 误差的来源和分类 1.4.2 误差与有效数字 1.4.3 求函数值和算术运算的 误差估计
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§1.4.1
误差的来源与分类
从实际问题中抽象出数学模型 —— 模型误差 例1:质量为m的物体，在重力作用下，自由下落， 其下落距离s 与时间t 的关系是：
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数值分析
刘丁酉
liudingyou487@
武 汉 大 学
数学与统计学院基础数学系
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§1 数学模型和数值方法引论
1.1 数学模型及其建立方法和步骤 1.2 数学模型举例 1.3 数值方法的研究对象 1.4 数值计算的误差 1.5 病态问题、数值稳定性与避免误差危害 1.6 线性代数的一些基础知识
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大家知道，我们所碰到的许多数学 问题必须借助于计算机才能解决。然而 仅依据我们在大学期间所学的 “高等数 学”、 “线性代数” 等数学知识是无法 编写出计算程序的。
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1、在线性代数中我们学过线性方程组 的求解问题， 而线性代数中所学方法只适 用于手算，只能用于求解低阶线性方程组， 而要在计算机上实现是不可能的， 若想借 助于计算机来解决线性方程组的求解问题, 就必须给出一种较好的,且能在计算机上实 现的算法（ 包括一系列的计算公式及规范 的运算程序）.
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定理2:若近似值的相对误差限为
1 er ( x) 10 n1 2( x1 1)
则x至少有n位有效数字. 证明:由于
x* x x x x x x er ( x) x
*
( x1 1) 10
m 1
1 1 mn n 1 10 10 2( x1 1) 2
定义2：设x是准确值，x*是近似值，称
e x x* x x
（1.4.2.2）
为近似值x的相对误差，相应地，若正数 r，
满足
x x* r x
则称 r为x的相对误差限。
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Δx x * x 说明:常用公式 ε r * * 来代替相对误差. x x
在分析误差时,相对误差比绝对误差更能刻画误差的特性. 例如，甲用米尺测量10米长的物体所产生的绝对误差为2厘米, 乙用同一米尺测量1米长的物体所产生的绝对误差为1厘米.表 面上看,乙测量的结果比甲的测量结果好,实际不然.因为如果 比较二者所测的相对误差,甲的相对误差为 2 r 0.2%
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数值计算的主要内容
数值代数：方程求根、线性方程组求解、 特征值和特征向量的计算、 非线性方程组的求解； 数值逼近：插值、数值微分和积分、 最小二乘法； 微分方程数值解：常微分方程数值解； 偏微分方程数值解： 差分法 有限元法
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数值分析的特点
• 面向计算机，要根据计算机特点提供切实 可行的有效算法。 • 有可靠的理论分析，能任意逼近并达到精 度要求，对近似算法要保证收敛性数值稳 定性，还要对误差进行分析。 • 有好的计算复杂性，包括时间复杂性和空 间复杂性。 • 有数值实验，通过数值试验来证明所给算 法行之有效
3.14 0.0015926
1 2
3.14159 105
1 2
有效数位为3位 有效数位为5位 有效数位为4位
3.1416 0.0000074
3.1415 0.0000926
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把四舍五入原则抽象成数学语言如下:
定义4: 设 x 是 x 的近似值,将 x 写成:
解：
2.718=(2 10-1 7 102 1103 8 104 ) 10 n=4,m=1
即有效数字为4位,绝对误差限为
1 1 e 2.718 10n m 103 2 2
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注
意:
8.000033的具有五位有效数字 的近似值是8.0000,而不是8,8只有 一位有效数字.
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Hale Waihona Puke 定理1:若x具有n位有效数字,(x用(1.4.2.4)式表示),
er ( x) 1 10 n 1 2 x1
1 10 n1 , 即 则其相对误差限为 2 x1
• 证明:
x1 10m1 x ( x1 1) 10m1 1 mn x x 2 10 1 n 1 er ( x) 10 x x110m1 2 x1
x x* ，则称 为绝对误差限，有了绝对误差限
就可以知道x范围为
x x x
* *
即x落在 [ [ xx * x* ,, x ] ] 内。在应用上，常常采用下列
* *
写法来刻划x*的精度。
x x
*
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相对误差和相对误差限
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例2:指出下列各数具有几位有效数字及其绝对误限:2.0004, -0.00200,9000 解:
x1 (2 101 4 105 )101 1 mn 1 15 n=5,m=1, x1 10 10 2 2
即 x1 有5位有效数字，且 类似地, x2 有3位有效数字，且
*
• 说明:此定理的意义在于只要知道了近似值的 有效数字的位数n和第一个非零数字,就可以 估计出它的相对误差限.
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例3 当用3.1416来表示 的近似值时，它 的相对误差是多少？
解：3.1416具有5位有效数字，a1
* r
3
1 1 5 1 4 ( x) 10 10 23 6
定义1：设x是准确值，x*为x的一个近似值，称
e( x ) x x *
（1.4.2.1）
是近似值x的绝对误差,简称为误差。 例 2:若用以厘米为最小刻度的尺去量桌子的长， 大约为1.45米，求1.45米的绝对误差。
1.45米的 绝对误差=？
不知道！
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但实际问题往往可以估计出 e( x) 不超过某个正数，即，
*
x 10m 0. x1x2 xn
(1.4.2.4)
其中x1 , x2 ,, xn是 0,1, 2, ,9 中的一个数,且 x1 0 , m为整数,且 的绝对误差限满足不等式
则称
x
1 x x 10m n 2 具有n位有效数字.
*
x
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例1:e的近似值为2.718,它的有效数字是几位?
1 4 x x1 10 2
*
1 x* x2 103 2 2
1 x* x3 104 4 2
x3 有4位有效数字，且
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对近似值而言,它的有效数字越多,它的绝对误 差就越小.而且,只要知道了其有效数字的位数,就可 以知道绝对误差限. 其次, 有效数字与相对误差和相对误差限有同 样的关系,即有: 对于的近似值而言,有效数字越多, 它的相对误 差就越小.而且,只要知道了有效数字的位数,就可以 知道相对误差限.
§1.1.3 建立数学模型的方法与步骤
1. 形成问题 2. 模型假设
3. 模型的建立
5. 模型分析
4. 模型求解
6. 模型检验与修正
7. 模型的应用
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§1.2
数学模型举例
1.2.1 投入产出数学模型 1.2.2 两物种群竞争系统 1.2.3 矿道中的梯子问题
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§1.1
数学模型及其建立方法与步骤
1.1.1 数学模型 1.1.2 人口增长模型 1.1.3 建立数学模型的方法和步骤
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§1.1.1
数学模型
数学模型是人们为了一定目的作出的一 些必要假设、归纳、抽象所形成的能表 达事物的特征、内在规律的数学表式或 数学结构.
1000
乙的相对误差为
r
1 1% 100
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有效数字
定义3：如果
1 x x 10 n 2
*
（1.4.2.3）
即：若近似数的绝对误差限小于某一数位上的半个单位，