函数单调性、奇偶性、周期性和对称性的综合应用

函数单调性、奇偶性、周期性和对称性的综合应用

一、知识回顾：

1、对于给定区间D 上的函数)(x f ，如果_____，则称)(x f 是区间D 上的增（减）

函数.

2、判断函数单调性的常用方法： 观察图像法 、定义法

3、关于函数单调性还有以下一些常见结论：

①两个增（减）函数的和为_____；一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是______；

②奇函数在对称的两个区间上有_____的单调性；偶函数在对称的两个区间

上有_____的单调性；

4、函数的奇偶性：

（1）对于函数)(x f ，其定义域关于原点对称．．．．．．．．．

： 如果______________________________________，那么函数)(x f 为奇函数； 如果______________________________________，那么函数)(x f 为偶函数.

（2）奇函数的图象关于__________对称，偶函数的图象关于_________对称.

周期函数的定义：对于函数()x f ，存在非0常数T ，使得对于其定义域

内总有()()x f T x f =+，则称的常数T 为函数的周期。

5、函数的周期性

① ()()()x f x f a x f ⇒-=+的周期为a 2；②如()()

()x f x f a x f ⇒=+1的周期为a 2； ③如()()

()x f x f a x f ⇒-=+1的周期为a 4； ④对于三角函数()()B x A y B x A y ++=++=ϕωϕωcos .sin ，其周期ω

π2=T ； ⑤对于()()B x A y B x A y ++=++=ϕωϕωcot .tan ，其周期ω

π=T ⑥若()x f y =关于直线()b a b x a x ≠==,对称，则()x f y =一定为周期函数，()a b -2为()x f y =的周期

二、例题

例1、已知5)(357++++=dx cx bx ax x f ，其中d c b a ,,,为常数，若7)7(-=-f ，则=)7(f _______（构造奇偶函数）

变式1、已知f(x)是定义在R 上的奇函数，则f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)= _______ 变式2、已知f(x)是定义在R 上的偶函数，它在),0[+∞上递减，那么一定有

A ．)1()43(2+->-a a f f

B ．)1()43(2+-≥-a a f f

C ．)1()43(2+-<-a a f f

D ．)1()4

3(2+-≤-a a f f

例2、若f(x)=-x 2+2ax 与1

)(+=x a x g 在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是 A ．)1,0()0,1(⋃- B ．]1,0()0,1(⋃- C ．（0，1） D ．]1,0(

变式1、若函数f(x)=a b x -在[0,+∞]上为增函数,则实数a 、b 的取值范围是 .

例3、已知奇函数)(x f 是定义在)2,2(-上的减函数，若0)12()1(>-+-m f m f ，求实数m 的取值范围

变式1、已知)(x f 是R 上的增函数，A （0，－1），B （3,1）是其图象上的两点，

则不等式1|)1(|<+x f 的解集为________

例4、已知函数22)(2++=ax x x f

（１）若方程0)(=x f 有两不相等的根，求a 的取值范围；

（２）若函数)(x f 满足)0()2(f f =，求函数在]5,5[-∈x 的最大值和最小值；

（3）若a 为任何实数，讨论)(x f 在]5,5[-∈x 的最小值．（ 条件)0()2(f f =改

为)1()1(x f x f +=-有什么区别）

变式1、已知函数322+-=x x y 在区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是

A 、[ 1，+∞）

B 、[0，2]

C 、（-∞，2]

D 、[1，2]

变式2、已知二次函数

)0()(2≠+=a bx ax x f 满足条件：)3()5(-=-x f x f 且方程x x f =)(有等根，

⑴ 求)(x f 的解析式；

⑵ 是否存在实数)(,n m n m <，使得)(x f 的定义域为],[n m ，值域为]3,3[n m 。 例5、已知函数f (x )，x ∈F ，那么集合{(x ，y )|y =f (x )，x ∈F }∩{(x ，y )|x =1｝中所含元素的个数是．（ ）

A ．0

B ．1

C ．0或1

D ．1或2

分析：这个问题是求函数y =f (x )，x ∈F 的图象与直线x =1的交点个数(这是一次数到形的转化)，这里给出了函数y =f (x )的定义域是F ，但未明确给出1与F 的关系，当1∈F 时有1个交点，当1∉F 时没有交点，所以选C ．

例6、(一次函数f (x )=k x +h(k ≠0)，若m ＜n 有f (m )＞0，f (n )＞0，则对于任意x ∈(m ，n )都有f (x )＞0，试证明之；

证明：

当k ＞0时，函数f (x )=k x +h 在x ∈R 上是增函数，m ＜x ＜n ，f (x )＞f (m )＞0； 当k ＜0时，函数f (x )=k x +h 在x ∈R 上是减函数，m ＜x ＜n ，f (x )＞f (n )＞0． 所以对于任意x ∈(m ，n )都有f (x )＞0成立．。

例7.设()f x 定义在+∞（0，）上的单调增函数，满足()()+()f xy f x f y =，(3)1f =。 求：

（1）(1);f

(2) 若()+(8)2,f x f x -≤求x 的取值范围。

例8、（2006年山东卷）已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x+2)=－f (x ),则,f (6)的值为 (B)

(A)－1 (B) 0 (C) 1 (D)2

【考点分析】本题考查函数的周期性和奇偶性，基础题。

解析：由()()()()()x f x f x f x f x f =+-=+⇒-=+242

由()x f 是定义在R 上的奇函数得()00=f ，∴()()()()002246=-==+=f f f f ，故选择B 。

【窥管之见】本题用到两重要性质：①()()()x f x f a x f ⇒-=+的周期为a 2；②如()x f 是定义在R 上的奇函数，则()00=f 。

例9、设f (x )是定义在R 上的奇函数，且()x f y =的图象关于直线2

1=x 对称，则f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4)+ f (5)=_0_______________.

【考点分析】本题考查函数的周期性

解析：()()00f f -=-得()00f =，假设()0f n =

因为点（n -，0）和点（1,0n +）关于12

x =对称，所以()()()10f n f n f n +=-=-= 因此，对一切正整数n 都有：()0f n =

从而：()()()()()123450f f f f f ++++=。本题答案填写：0

例10、（2006福建卷）已知()f x 是周期为2的奇函数，当01x <<时，()lg .f x x = 设63(),(),52a f b f ==5(),2

c f =则 （A ）a b c << （B ）b a c << （C ）c b a << （D ）c a b << 解：已知()f x 是周期为2的奇函数，当01x <<时，()lg .f x x = 设644()()()555a f f f ==-=-，311()()()222b f f f ==-=-，51()()22

c f f ==<0，∴c a b <<，选D.

例11、（2006年安徽卷理）函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()

12f x f x +=，若()15,f =-则()()5f f =__________。