由递推公式求通项公式典型例题素材

如何由递推公式求通项公式

高中数学递推数列通项公式的求解是高考的热点之一，是一类考查思维能力的题型，要求考生进行严格的逻辑推理。找到数列的通项公式，重点是递推的思想：从一般到特殊，从特殊到一般；化归转换思想，通过适当的变形，转化成等差数列或等比数列，达到化陌生为熟悉的目的。

下面就递推数列求通项的基本类型作一个归纳，以供参考。

类型一：1()n n a a f n +-= 或 1()n n

a g n a += 分析：利用迭加或迭乘方法。即：112211()()+()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-+-+…… 或121121

n n n n n a a a a a a a a ---=…… 例1.(1) 已知数列{}n a 满足11211,2n n a a a n n

+=

=++，求数列{}n a 的通项公式。 （2）已知数列{}n a 满足1(1)1,2n n n a a s +==，求数列{}n a 的通项公式。 解：（1）由题知：121111(1)1

n n a a n n n n n n +-===-+++ 112211()())n n n n n a a a a a +(a -a a ---∴=-+-++…… 1111111()()()121122n n n n =-+-++-+---…… 312n =

- （2）2(1)n n s n a =+

112(2)n n s na n --∴=≥

两式相减得：12(1)(2)n n n a n a na n -=+-≥ 即：

1(2)1

n n a n n a n -=≥- 121121

n n n n n a a a a a a a a ---∴=⋅⋅ (121121)

n n n n -=⋅⋅--…… n = 类型二：1(,(1)0)n n a pa q p q pq p +=+-≠其中为常数，

分析：把原递推公式转为：1(),1n n q a t p a t p

+-=--其中t=

，再利用换元法转化为等比数列求解。 例2.已知数列{}n a 中，111,23n n a a a +==+，求{}n a 的通项公式。 解：由123n n a a +=+ 可转化为：

132(3)n n a a ++=+

令3,n n b a =+11n+1n 则b =a +3=4且b =2b

{}n b ∴1是以b =4为首项，公比为q=2的等比数列

1142

2n n bn -+∴=⋅= 即 1

23n n a +=- 类型三：1()(n n a pa f n +=+其中p 为常数)

分析：在此只研究两种较为简单的情况，即()f x 是多项式或指数幂的形式。

（1）()f x 是多项式时转为1(1)()n n a A n B p a An B ++++=++，再利用换元法转为等比数列

（2）()f x 是指数幂：11(0)n n n a pa rq

pqr ++=+≠ 若p q =时则转化为11n n n n a a r q q

++=+，再利用换元法转化为等差数列 若p q ≠时则转化为11(),n n n n qr a tq p a tq t p q

+++=+=-其中 例3.（1）设数列{}n a 中，111,321n n a a a n +==++，求{}n a 的通项公式。

（2）设数列{}n a 中，111,32n

n n a a a +==+，求{}n a 的通项公式。 解：（1）设1(1)3()n n a A n B a An B ++++=++

1322n n a a An B A +∴=++-

与原式比较系数得：221211

A A

B A B ==⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩

即1(1)13(1)n n a n a n ++++=++

令1,n n b a n =++n+1n 11则b =3b 且b =a +1+1=3

{}n b ∴1是b =3为首项，公比q=3的等比数列

133331

n n

n n n b a n -∴=⋅==--即: (2)设1123(2)n n n n a t a t +++=+

展开后得：132n n n a a +=+

对比得：1t =

1123(2)n n n n a a ++∴+=+

令1

1,12,323n n n n n b a b b a +=+=+=1则且b = {}n b ∴1是b =3为首项，公比q=3的等比数列

133332

n n

n n n n b a -∴=⋅==-即: 类型四：1(0,0)r n n n a pa p a +=>>

分析：这种类型一般是等式两边取对数后得：1lg lg lg n n a r a p +=+，再采用类型二进行求解。

例4.设数列{}n a 中，21111,(0)n n a a a a a +==

⋅>，求{}n a 的通项公式。 解：由211n n a a a

+=⋅，两边取对数得: 11lg 2lg lg n n a a a

+=+ 设1lg 2(lg )n n a t a t ++=+展开后与上式对比得：1lg t a

= 112(lg lg )n a a a a

∴=+n+1原式可转化为lg +lg

令1(lg lg )n n b a a =+，则1,1n n b b a

+=且b1=lg {}1n b a ∴1是b =lg 为首项，公比q=2的等比数列