2018年重庆市普通高等学校招生全国统一考试调研测试卷 文科数学(含答案)

重庆市高三4月调研测试（二诊）数学文试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1． 设集合{1,0,1,2,3}A =-，2
{|30}B x x x =->，则()R A
C B =（ ）
A ． {1}-
B ．{0,1,2}
C ．{1,2,3}
D ．{0,1,2,3}
2．若复数z 满足2(1)1z i i +=-，其中i 为虚数单位，则z 在复平面内所对应的点位于（ ） A ． 第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．已知向量(,1)a x =-，(1,3)b =，若a b ⊥，则||a =（ ） A
B
C ．2
D ． 4
4．在平面直角坐标系xOy 中，不等式组130x y x x y ≥⎧⎪
≥⎨⎪+-≤⎩
所表示的平面区域的面积为（ ）
A ．
29 B ．14 C ． 13 D ．12
5． 《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今共织九十尺，问织几日？”，已知“日减功迟”的具体含义是每天比前一天少织同样多的布，则此问题的答案是（ ）
A ．10日
B ． 20日
C ． 30日
D ．40日
6． 设直线0x y a --=与圆2
2
4x y +=相交于,A B 两点，O 为坐标原点，若AOB ∆为等边三角形，则实数a 的值为（ ）
A
．
． C ． 3± D ．9±
7． 方程
22
123
x y m m +=-+表示双曲线的一个充分不必要条件是（ ） A ．30m -<< B ．32m -<< C ． 34m -<< D ．13m -<< 8． 执行如图所示的程序框图，若输出的结果为3，则输入的数不可能是（ ）
A ．15
B ．18
C ． 19
D ．20
9． 如图1所示，是一个棱长为2的正方体被削去一个角后所得到的几何体的直观图，其中11DD =，
12AB BC AA ===，若此几何体的俯视图如图2所示，则可以作为其正视图的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10． 已知函数2sin()y x ωϕ=+(0,0)ωϕπ><<的部分图象如图所示，则ϕ=（ ）
A ．
6
π
B ．
4
π
C ．
3
π
D ．
2
π
11． 设F 为双曲线C ：22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右焦点，过坐标原点的直线依次与双曲线C 的左、右
支交于点,P Q ，若||2||PQ QF =，60PQF ∠=，则该双曲线的离心率为（ ）
A B ．1+． 2 D ．4+ 12．已知函数2
()(3)x
f x x e =-，设关于x 的方程22
12
()()0()f x mf x m R e --=∈有n 个不同的实数解，则n 的所有可能的值为（ ）
A ． 3
B ． 1或3
C ． 4或6
D ．3或4或6
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．若关于x 的不等式(2)()0a b x a b -++>的解集为{|3}x x >-，则
b
a
= ． 14．设ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若ABC ∆
，则C = ．
15． 甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，其中m 为小于10的自然数，已知甲组数据的中位数大于乙组数据的中位数，则甲组数据的平均数也大于乙组数据的平均数的概率为 ．
16． 设函数22log (),12
()142,13
33x x f x x x x ⎧-≤-⎪⎪=⎨⎪-++>-⎪⎩，若()f x 在区间[,4]m 上的值域为[1,2]-，则实数m 的取
值范围为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17． 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，49a =，315S =． （1）求n S ； （2）设数列1
{
}n
S 的前n 项和为n T ，证明：34n T <．
18． “微信运动”已成为当下热门的健身方式，小王的微信朋友圈内也有大量好友参与了“微信运动”，他随机选取了其中的40人（男、女各20人），记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下：
（1）若采用样本估计总体的方式，试估计小王的所有微信好友中每日走路步数超过5000步的概率； （2）已知某人一天的走路步数超过8000步被系统评定“积极型”，否则为“懈怠型”，根据题意完成下面的22⨯列联表，并据此判断能否有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关？
附：2
2
()()()()()
n ad bc k a b c d a c b d -=++++，
20()P K k ≥ 0．10
0．05 0．025 0．010 0k
2．706
3．841
5．024
6．635
19． 如图，矩形ABCD 中，AB =，AD =，M 为DC 的中点，将DAM ∆沿AM 折到'D AM
∆的位置，'AD BM ⊥．
（1）求证：平面'
D AM ⊥平面ABCM ；
（2）若E 为'
D B 的中点，求三棱锥'
A D EM -的体积．
20． 已知椭圆E ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的左顶点为A ，右焦点为(1,0)F ，过点A 且斜率为1的直线
交椭圆E 于另一点B ，交y 轴于点C ，6AB BC =．
（1）求椭圆E 的方程；
（2）过点F 作直线l 与椭圆E 交于,M N 两点，连接MO （O 为坐标原点）并延长交椭圆E 于点Q ，求
MNQ ∆面积的最大值及取最大值时直线l 的方程．
21． 已知函数2ln ln 1()x x f x x ++=，2
()x x g x e
=．
（1）分别求函数()f x 与()g x 在区间(0,)e 上的极值； （2）求证：对任意0x >，()()f x g x >．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 1
sin 2
x t y t αα=-+⎧⎪
⎨=+⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为222
4
4sin cos ρθθ
=+． （1）写出曲线C 的直角坐标方程；
（2）已知点P 的直角坐标为1(1,)2
-，直线l 与曲线C 相交于不同的两点,A B ，求||||PA PB 的取值范围． 23．选修4-5：不等式选讲
已知函数()|||3|f x x a x a =-+-． （1）若()f x 的最小值为2，求a 的值；
（2）若对x R ∀∈，[1,1]a ∃∈-，使得不等式2
||()0m m f x --<成立，求实数m 的取值范围．
试卷答案
一、选择题 1～6 DCCBBC
7～12 AAABBB
第（11）题解析：︒=∠=60|,|2||PQF QF PQ ，︒=∠∴90PFQ ，设双曲线的左焦点为1F ，连接
Q F P F 11,，
由对称性可知，PFQ F 1为矩形，且||3|||,|2||11QF QF QF F F ==，
故131
32||||||2211+=-=-==
QF QF F F a c e .
第（12）题解析：x
x x x f +-='e )3)(1()(，)(x f ∴在)3,(--∞和),1(+∞上单增，
)1,3(-上单减，又当-∞→x 时0)(→x f ，
+∞→x 时+∞→)(x f ，故)(x f 的图象大致为：
令t x f =)(，则方程0e 1222=-
-mt t 必有两根21,t t )(21t t <且2
2
1e 12
-=t t ， 当e 21-=t 时恰有3
2e 6-=t ，此时1)(t x f =有1个根，2)(t x f =有2个根； 当e 21-<t 时必有3
2e 60-<<t ，此时1)(t x f =无根，2)(t x f =有3个根； 当0e 21<<-t 时必有32e 6->t ，此时1)(t x f =有2个根，2)(t x f =有1个根； 综上，对任意R m ∈，方程均有3个根.
二、填空题 （13）
4
5
（14）︒30
（15）
5
3 （16）]1,8[--
第（15）题解析：由甲的中位数大于乙的中位数知，4,3,2,1,0=m ，又由甲的平均数大于乙的平均数知，
3<m 即2,1,0=m ，故所求概率为5
3
.
第（16）题解析：函数)(x f 的图象如图所示，结合图象易得， 当]1,8[--∈m 时，]2,1[)(-∈x f . 三、解答题
（17）解：（Ⅰ）5153223=⇒==a a S ，22
2
4=-=
∴a a d ， 12+=∴n a n ，)2(2
1
23+=⋅++=
n n n n S n ； （Ⅱ）)2
1151314121311(21)2(1421311+-++-+-+-=+++⨯+⨯=
n n n n T n 43
)2111211(21<+-+-+=
n n .
（18）解：（Ⅰ）由题知，40人中该日走路步数超过5000步的有34人，频率为34
40
，所以估计他的所有微信好友中每日走路步数超过5000步的概率为1720
； （Ⅱ）
841.31140
18
222020)861214
(40
2<=
⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=
K ，故没有95%以上的把握认为二者有关.
（19）解：（Ⅰ）由题知，在矩形ABCD 中，︒=∠=∠45BMC AMD ，︒=∠∴90AMB ，又BM A D ⊥'，
⊥∴BM 面AM D '，∴面⊥ABCM 面AM D '； （Ⅱ）1111
212663
A D EM E AD M
B AD M D AM V V V BM S ''''---∆===⋅⋅=⋅⋅=.
（20）解：（Ⅰ）由题知),0(),0,(a C a A -，故)7
6,7(a
a B -，代入椭圆E 的方程得
1493649122=+b a ，又122=-b a ，
故3,42
2
==b a ，椭圆13
4:2
2=+y x E ；
（Ⅱ）由题知，直线l 不与x 轴重合，故可设1:+=my x l ，由⎪⎩⎪
⎨⎧=++=134
12
2y x my x 得096)43(22=-++my y m ， 设),(),,(2211y x N y x M ，则4
39
,4362
21221+-=+-=
+m y y m m y y ，由Q 与M 关于原点对称知， 431
124)(||222212
2121++=
-+=-==∆∆m m y y y y y y S S MON
MNQ 1
1131222++
+=m m ，
211m +≥，4∴，即3MNQ S ∆≤，当且仅当0=m 时等号成立，
MNQ ∆∴面积的最大值为3，此时直线l 的方程为1=x
（21）解：（Ⅰ）2
ln (ln 1)
()x x f x x
--'=
，()01e f x x '>⇒<<， 故()f x 在(0,1)和(e,)+∞上递减，在(1,e)上递增，
)(x f ∴在e),0(上有极小值1)1(=f ，无极大值；x
x x x g e
)
2()(-=
'，200)(<<⇒>'x x g ， 故)(x g 在)2,0(上递增，在),2(+∞上递减，
)(x g ∴在e),0(上有极大值2e
4
)2(=
g ，无极小值； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，当e),0(∈x 时，()1f x ≥，24
()1e
g x <≤
，故)()(x g x f >； 当)[e,+∞∈x 时，2
ln ln 11113x x ++++=≥，令x x x h e )(3=，则x
x x x h e
)
3()(2-='， 故)(x h 在]3[e,上递增，在),3(+∞上递减，33
2727()(3)3e 2.7
h x h ∴=<<≤，)(1ln ln 2
x h x x >++； 综上，对任意0>x ，)()(x g x f >.
（22）解：（Ⅰ）14
444cos sin 422
2
2
2
2
2
2
=+⇒=+⇒=+y x x y θρθρ；
（Ⅱ）因为点P 在椭圆C 的内部，故l 与C 恒有两个交点，即R ∈α，将直线l 的参数方程与椭圆C 的直角
坐标方程联立，得4)sin 2
1
(
4)cos 1(22=+++-ααt t ，整理得 02)cos 2sin 4()sin 31(22=--++t t ααα，则]2,21
[sin 312||||2∈+=
⋅α
PB PA . （23）解：（Ⅰ）|||3||()(3)||2|x a x a x a x a a -+----=≥，当且仅当x 取介于a 和a 3之间的数时，
等号成立，故)(x f 的最小值为||2a ，1±=∴a ；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知)(x f 的最小值为||2a ，故]1,1[-∈∃a ，使||2||2a m m <-成立，即 2||2<-m m ，
0)2|)(|1|(|<-+∴m m ，22<<-∴m .。