高中数学第1部分第一章 1.4 1.4.2 第二课时正弦、余弦函数的单调性与最值课件新人教A

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高中数学第一章 §4 第2课时单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质单位圆的对称性与诱导公式

第2课时单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质单位圆的对称性与诱导公式[核心必知]正弦函数、余弦函数的诱导公式1．比较公式两边的函数名称，有什么规律？提示：公式(一)～(五)中，左、右两边的函数名称相同；公式(六)、(七)中，左、右两边的函数名称不同，规律为正、余弦互换．2．公式右边的正、负号有规律吗？提示：有，把α看作锐角时，公式左边函数值的符号与右边的正、负号相同．3．公式(二)反映了三角函数的什么性质？提示：由sin(－α)＝－sin α知y＝sin x是奇函数；由cos(－α)＝cos α知y＝cos x是偶函数．讲一讲1．求下列三角函数值． (1)cos 945°；(2)sin 35π6；(3)cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋π3；(4)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－100π3.[尝试解答] (1)cos 945°＝cos (2×360°＋225°) ＝cos 225°＝cos(180°＋45°)＝－cos 45°＝－22. (2)sin 35π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋11π6＝sin 11π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π6＝－sin π6＝－12.(3)cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π2＋π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π3＝－⎝⎛⎭⎪⎫－sin π3＝32. (4)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－100π3）＝－sin （32π＋4π3＝－sin 4π3＝sin π3＝32.1．诱导公式都是角α的正弦、余弦函数与k ×π2±α(k ∈Z )的正弦、余弦函数之间的转化，记忆的口诀是：奇变偶不变，符号看象限．“奇变偶不变”解释如下：α前面加的是k ×π2，当k 是奇数时，得α的异名三角函数值；当k 是偶数时，得α的同名三角函数值．“符号看象限”解释如下：由于对于任意角α，公式都成立，不妨将角α看作一个锐角，考查k ×π2±α(k ∈Z )所在的象限，并判断此时函数值的符号是正还是负．2．利用诱导公式可把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，步骤如下：记忆口诀：负化正，大化小，化到锐角再查表(特殊角的三角函数值表)．练一练1．求下列各式的值： (1)sin 495°cos(－675°)；(2)sin ⎝⎛⎭⎪⎫－43π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π4 解：(1)sin 495°cos(－675°) ＝sin(135°＋360°)cos 675° ＝sin 135°cos 315°＝sin(180°－45°)cos(360°－45°) ＝sin 45°cos 45° ＝22×22＝12. (2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43π6cos 11π4 ＝－sin 43π6cos 11π4＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫6π＋7π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋3π4＝－sin 7π6cos 3π4＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π4＝－sin π6sin π4＝－12×22＝－24.讲一讲 2．(1)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝m (|m |≤1)，求cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋α，sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－α的值．(2)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝－13，求cos(5π＋α)的值．[尝试解答] (1)cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－m . sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝m . (2)∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝－13∴cos α＝－13∴cos(5π＋α) ＝cos[4π＋(π＋α)] ＝cos(π＋α) ＝－cos α＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝13.解决条件求值问题的常见思路是：寻找已知条件与所求问题之间的关系，特别是寻找角与角之间的关系，然后利用有关的诱导公式求解．另外要善于发现已知角与待求角之间的互余、互补关系．常见的互余关系有：π3－α与π6＋α；π3＋α与π6－α；π4＋α与π4－α等．常见的互补关系有：π3＋θ与2π3－θ；π4＋θ与3π4－θ，π6－θ与5π6＋θ等．练一练2. 已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝33，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫10π3－α的值．解：∵103π－α＝3π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫103π－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α又∵⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝π2.∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫10π3－α＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝－33.讲一讲3．化简下列各式：(1)cos （2π－α）sin （3π＋α）cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋αcos （α－3π）sin （－π－α）.(2)cos ⎝⎛⎭⎪⎫4n ＋14π＋x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4n －14π－x ）（n ∈Z .[尝试解答] (1)原式＝cos α（－sin α）（－sin α）sin α（－cos α）sin α＝－1. (2)∵⎝⎛⎭⎪⎫4n ＋14π＋x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4n －14π－x ＝2n π，∴原式＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4n ＋14π＋x ＋cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n π－⎝ ⎛⎭⎪⎫4n ＋14π＋x＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫4n ＋14π＋x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π＋π4＋x .①当n 为奇数，即n ＝2k ＋1(k ∈Z )时，原式＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π＋π4＋x＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ；②当n 为偶数，即n ＝2k (k ∈Z )时，原式＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π4＋x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x .故原式＝⎩⎪⎨⎪⎧－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ，n 是奇数，2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ，n 为偶数.1．所谓化简，就是使表达式经过某种变形，使结果尽可能的简单，也就是项数尽可能的少，次数尽可能的低，函数的种类尽可能的少，分母中尽量不含三角函数符号，能求值的一定要求值．2．利用诱导公式解决化简求值问题的关键是诱导公式的灵活选择，当三角函数式中含有k π±α，k2π±α时，要注意对k 的奇偶性进行讨论．练一练3．设k 为整数，化简：sin （k π－α）cos[（k －1）π－α]sin[（k ＋1）π＋α]cos （k π＋α）.解：法一：当k 为偶数时，不妨设k ＝2m (m ∈Z )，则原式＝sin （2m π－α）cos[（2m －1）π－α]sin[（2m ＋1）π＋α]cos （2m π＋α）＝sin （－α）cos （π＋α）－sin αcos α＝（－sin α）（－cos α）－sin αcos α＝－1；当k 为奇数时，可设k ＝2m ＋1(m ∈Z )，同理，可得原式＝－1.法二：由(k π＋α)＋(k π－α)＝2k π， [(k －1)π－α]＋[(k ＋1)π＋α]＝2k π，得sin(k π－α)＝－sin(k π＋α)＝sin[(k ＋1)π＋α]， cos[(k －1)π－α]＝cos[(k ＋1)π＋α] ＝－cos(k π＋α)，所以原式＝－1.若cos θ＝33，则cos （π－θ）cos θ⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ－1＋ cos （2π－θ）cos （π＋θ）sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋θ的值为________．[错解] 原式＝cos θcos θ（－sin θ－1）＋cos θcos θsin θ＋cos θ＝0.[错因] 混淆了诱导公式，应有sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ＝sin ⎝ ⎛π＋)⎭⎪⎫π2－θ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ－cos θ，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝cos θ.cos(π－θ)＝－cos θ，cos(π＋θ)＝－cos θ.[正解] 原式＝－cos θcos θ（－cos θ－1）＋cos θ－cos θcos θ＋cos θ＝11＋cos θ＋11－cos θ＝21－cos 2θ. 因为cos θ＝33，所以原式＝21－⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝3. [答案] 31．当α∈R 时，下列各式恒成立的是( ) A ．sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－cos α B ．sin(π－α)＝－sin αC ．cos(π＋α)＝cos αD ．cos(－α)＝cos α 答案：D2．cos 2π3的值是( )A ．－32 B.32C.12 D ．－12解析：选D cos 2π3＝cos(π－π3)＝－cos π3＝－12.3．(广东高考)已知sin(5π2＋α)＝15，那么cos α＝( )A ．－25B ．－15C.15D.25解析：选C sin(5π2＋α)＝sin[2π＋(π2＋α)]＝sin(π2＋α)＝cos α＝15.4．已知cos(π＋α)＝－12，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝________．解析：∵cos(π＋α)＝－12，∴cos α＝12.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos α＝12. 答案： 125．已知cos(508°－α)＝1213，则cos(212°＋α)＝________．解析：∵508°＋212°＝720°∴cos(212°＋α)＝cos [2×360°－(508°－α)] ＝cos(508°－α)＝1213.答案： 12136．求sin π4cos 19π6sin 21π4的值．解：原式＝sin π4cos(2π＋7π6)sin(4π＋5π4)＝22cos 7π6sin 5π4 ＝22cos(π＋π6)sin ⎝⎛⎭⎪⎫π＋π4＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos π6⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin π4＝22×32×22＝34.一、选择题1．cos 150°的值是( ) A ．－32 B ．－12 C.12 D.32解析：选A cos 150°＝cos(180°－30°)＝－cos 30°＝－32. 2．已知600°角的终边上有一点P (a ，－3)，则a 的值为( )A. 3 B ．－ 3 C.33 D ．－33解析：选B ∵sin 600°＝sin(360°＋240°)＝sin 240° ＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－32， ∴－3a 2＋32＝－32，∴a ＝± 3. 又∵600°角的终边在第三象限∴a ＝－ 3. 3．在△ABC 中，下列4个等式恒成立的是( ) ①sin(A ＋B )＋sin C ＝0，②cos(A ＋B )＋cos C ＝0， ③sin(2A ＋2B )＋sin 2C ＝0，④cos(2A ＋2B )＋cos 2C ＝0 A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①②解析：选B 对于②，cos(A ＋B )＋cos C ＝cos(180°－C )＋cos C ＝－cos C ＋cos C ＝0，成立．对于③，sin(2A ＋2B )＋sin 2C ＝sin[2(180°－C )]＋sin 2C ＝sin(360°－2C )＋sin 2C ＝－sin 2C ＋sin 2C ＝0，成立．4．下列三角函数中，与sin π3数值相同的是( )①sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π＋4π3 ②cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π＋π6 ③sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π＋π3 ④cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤（2n ＋1）π－π6 ⑤sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤（2n ＋1）π－π3，(n ∈Z )A ．①②B ．①②③C ．②③⑤D ．①③④解析：选C ①中n 为偶数时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π＋4π3＝－sin π3；②中cos(2n π＋π6)＝cos π6＝sin π3；③中sin ⎝⎛⎭⎪⎫2n π＋π3＝sin π3； ④中cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤（2n ＋1）π－π6＝－cos π6＝－sin π3；⑤中sin[(2n ＋1)π－π3]＝sin(π－π3)＝sin π3.故②③⑤正确．二、填空题5．sin ⎝⎛⎭⎪⎫－31π4＝________．解析：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π4＝－sin 31π4＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫8π－π4 ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝sin π4＝22.答案：226．化简sin （90°－α）cos （－α）cos （180°－α）＝________．解析：原式＝cos αcos α－cos α＝－cos α.答案：－cos α7．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α的值等于________．解析：∵sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＝13，∴sin(π3－α)＝－13，又∵⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝π2，∴cos(π6＋α)＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－13.答案：－13.8．若函数f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，其中a ，b ，α，β都是非零实数，且满足f (2 011)＝2，则f (2 012)＝________.解析：∵f (2 011)＝a sin(2 011π＋α)＋b cos(2 011π＋β)＝a sin(π＋α)＋b cos(π＋β)＝－(a sin α＋b cos β)＝2，∴f (2 012)＝a sin(2 012π＋α)＋b cos(2 012π＋β) ＝a sin α＋b cos β＝－2. 答案：－2 三、解答题9．求值：sin （－150°）cos （－210°）cos （－420°）cos （－600°）sin （－1 050°）.解：原式＝（－sin 150°）cos 210°cos 420°cos 600°（－sin 1 050°）＝sin （180°－30°）cos （180°＋30°）cos （360°＋60°）cos （720°－120°）sin （1 080°－30°）＝sin 30°（－cos 30°）cos 60°cos 120°（－sin 30°）你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云＝－sin 30°cos 30°cos 60°sin 30°sin 30°＝－12×32×1212×12＝－32. 10．已知f (α)＝sin （α－3π）cos （2π－α）sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋3π2cos （－π－α）sin （－π－α）， (1)化简f (α)；(2)若α＝－31π3，求f (α)的值．解：(1)f (α)＝－sin α×cos α×（－cos α）（－cos α）sin α＝－cos α； (2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3 ＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫－6×2π＋5π3 ＝－cos 5π3＝－cos π3＝－12.。

高中数学第一章三角函数1.4.2正弦函数、余弦函数的性质第1课时正弦函数、余弦函数的性质(一)

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2．正弦(zhèngxián)函数、余弦函数的周期性与奇偶性
函数周期奇偶性
y＝sin x 2kπ(k∈Z且k≠0)
奇函数
y＝cos x 2kπ(k∈Z且k≠0)
偶函数
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1．想一想由于sin(30°＋120°)＝sin 30°，则120°是函数y＝sin x的一个周期吗？【解析(jiě xī)】不是．因为对于函数y＝f(x)，使f(x＋T)＝f(x)成立的x必须取定义域内的每一个值都可以，即x的任意性．
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对周期函数定义理解不到位致误【示例】判断函数 y＝cos2x－π6，x∈[－π，π]是否是周期函数．若不是，请说明理由，并指出在什么条件下该函数是周期函数．【错解】因为 cos2x－π6＋2π＝cos2x－π6，即满足 f(x＋T) ＝f(12x/1)2，/2021故函数以 2π 为周期．
A．最小正周期为 π 的奇函数
B．最小正周期为 π 的偶函数
C．最小正周期为π2的奇函数
D．最小正周期为π2的偶函数
【答案】B
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【解析】f(x)＝sin2x＋32π＝－cos 2x，则 f(－x)＝－cos(－ 2x)＝－cos 2x＝f(x)，故函数 f(x)是偶函数，最小正周期为 π.故选 B．
D．y＝sin x－1为奇函数
【解题探究】利用函数的奇偶性判断方法逐一判断即可．
【答案】A
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【解析(jiě xī)】y＝sin x为奇函数，正确；y＝|sin x|，因为f(－x)＝ |sin(－x)|＝|sin x|，所以函数y＝|sin x|是偶函数；y＝3sin x＋1，可知f(－x) ＝－3sin x＋1，函数不是奇函数也不是偶函数；y＝sin x－1，可知f(－ x)＝－sin x－1，函数不是奇函数也不是偶函数．故选A.

高中数学第一章三角函数1.4.2正弦函数、余弦函数的性质第2课时正、余弦函数的单调性与最值

因为 y＝sinx 在－π2，π2上是增函数，所以 sin－π6＜sinπ3，即 sin－367π＜sin439π. (2)cos870°＝cos(720°＋150°) ＝cos150°，sin980°＝sin(720°＋260°) ＝sin260°＝sin(90°＋170°)＝cos170°，因为 0°＜150°＜170°＜180°，且 y＝cosx 在[0°，180°]上是减函数，所以 cos150°＞cos170°，即 cos870°＞sin980°.
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2．求函数 y＝－sinx＋π4的单调区间．解：设 x＋π4＝u，y＝－|sinu|的大致图象如图所示，函数的周期是 π.
当 u∈kπ－π2，kπ(k∈Z)时，函数 y＝－|sinu|递增；当 u∈kπ，kπ＋π2(k∈Z)时，函数 y＝－|sinu|递减．
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2．函数 y＝3cos12x－π4在 x＝________时，y 取最大值．
1．下列函数中，在区间π2，π上恒正且是增函数的是(
)
A．y＝sinx
B．y＝cosx
C．y＝－sinx
D．y＝－cosx
解析：选 D.作出四个函数的图象，知 y＝sinx，y＝cosx 在π2，π上单调递减，不符合；而 y＝－sinx 的图象虽满足在π2，π上单调递增但其值为负，所以只有 D 符合，故选 D.
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【解】 (1)因为函数 y＝sinx 在π2，π上单调递减，且π2＜1107π＜1117π＜π，所以 sin1107π＞sin1117π. (2)cos－78π＝cos78π，因为 0＜67π＜78π＜π，y＝cosx 在(0，π)上是减函数，所以 cos78π＜cos67π.

高中数学第一章三角函数1.4.2正弦函数余弦函数的性质二学案含解析新人教A版必修

学习资料1．4。

2 正弦函数、余弦函数的性质(二）内容标准学科素养 1。

掌握y ＝sin x ，y ＝cos x 的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值．2。

掌握y ＝sin x ，y ＝cos x 的单调性，并能利用单调性比较大小． 3.会求函数y ＝A sin(ωx ＋φ）及y ＝A cos （ωx ＋φ)的单调区间。

应用直观想象提升数学运算发展逻辑推理授课提示:对应学生用书第26页[基础认识］知识点一正弦、余弦函数的定义域、值域阅读教材P 37～38，思考并完成以下问题正弦函数y ＝sin x ，余弦函数y ＝cos x ,x ∈R ,有最值吗？值域如何？（1)y ＝sin x ，x ∈[0，2π]图象的最高点坐标、最低点坐标是多少？提示：错误!、错误!.（2)y ＝cos x ，x ∈[0，2π］图象的最高点、最低点坐标是多少？提示：（0，1）、(2π，1），(π,－1)．(3）如果sin x ＝1，cos x ＝1，(x ∈R )，x 的值是多少？sin x ＝－1,cos x ＝－1呢?提示：x ＝2k π＋π2，k ∈Z ，x ＝2k π，k ∈Z 。

x ＝错误!π＋2k π，k ∈Z ，x ＝π＋2k π，k ∈Z .知识梳理可得如下性质：由正弦、余弦曲线很容易看出正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R ，值域都是R ．对于正弦函数y ＝sin x ,x ∈R ，有：当且仅当x ＝2k π＋错误!（k ∈Z ）时,取得最大值1；当且仅当x ＝2k π＋错误!π(k ∈Z ）时,取得最小值－1。

对于余弦函数y ＝cos x ，x ∈R ，有:当且仅当x ＝2k π，k ∈Z 时，取得最大值1；当且仅当x ＝2k π＋π,k ∈Z 时，取得最小值－1. y ＝sin x ,x ∈R 的值域为[－1，1］． y ＝cos x ，x ∈R 的值域为［－1，1]．知识点二正弦、余弦函数的单调性思考并完成以下问题y ＝sin x ，y ＝cos x 都有单调变化,单调区间如何表示？(1)观察正弦函数y ＝sin x ，x ∈错误!的图象,正弦函数在错误!上函数值的变化有什么特点？推广到整个定义域呢？提示：错误!单调递增―→错误!，k ∈Z 单调递增，错误!单调递减―→错误!，k ∈Z 单调递减．（2）观察余弦函数y ＝cos x ，x ∈[－π,π]的图象．余弦函数在[－π，π］上函数值的变化有什么特点？推广到整个定义域呢？提示：[－π，0］单调递增―→［－π，＋2k π，2k π］，k ∈Z 单调递增［0，π]单调递减―→［2kπ，2kπ＋π］，k∈Z单调递减．知识梳理正弦函数余弦函数图象单调性在错误!，（k∈Z)上递增,在错误!，（k∈Z)上递减在［－π＋2kπ,2kπ］，k∈Z上递增，在［2kπ，2kπ＋π],k∈Z上递减1．在下列区间中,使y＝sin x为增函数的是（）A．［0，π]B。

高中数学第一章三角函数1.4.2正弦函数、余弦函数的性质第2课时正弦函数、余弦函数的性质(二)

(2)将函数式转化为 y＝Asin(ωx＋φ)或 y＝Acos(ωx＋φ)的形式．
(3)换元后配方利用二次函数求最值．
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已知函数 f(x)＝sin2x＋cos x＋43x∈0，23π，则
函数 f(x)的值域为( )
A．[1,2]
B．－14，74
C.－34，1
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第九页，共x＋φ)(A＞0，ω＞0)的函数(hánshù)求单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx＋φ”看作一个整体 “z”，即通过求y＝Asin z的单调区间而求出原函数的单调区间．求形如y＝ Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的函数的单调区间，方法同上．
D．cos－π6＜cos－π5
【答案】C
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3 ． (2018 年内蒙古呼伦贝尔二模 ) 若函数 f(x) ＝ 1 ＋ asin ax＋π6 (a ＞ 0) 的最大值为 3 ，则 f(x) 的最小正周期为 ________．
求最值．
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1．函数 y＝cos 2x 在下列哪个区间上是减函数( )
A.－π4，4π C.0，π2 【答案】C
B．π4，34π D．π2，π
【解析】若函数 y＝cos 2x 递减，应有 2kπ≤2x≤π＋2kπ，k
∈Z，即 kπ≤x≤π2＋kπ，k∈Z，令 k＝0 可得 0≤x≤π2.
第2课时(kèshí) 正弦函数、余弦函数的性质(二)
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目标定位
重点难点
1.借助图象理解正、余弦函数在

高中数学第一章三角函数1.4.2正弦函数、余弦函数的性质第1课时正、余弦函数的周期性与奇偶性

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【解】 (1)令 z＝x＋π3，因为 sin(2π＋z)＝sinz，所以 f(2π＋z)＝f(z)，f（x＋2π）＋π3＝fx＋π3，所以 T＝2π. (2)法一(定义法)：因为 f(x)＝12cos(2x＋π3)＝ 12cos(2x＋π3＋2π)＝12cos[2(x＋π)＋π3]＝f(x＋π)，即 f(x＋π)＝f(x)，所以函数 f(x)＝12cos(2x＋π3)的最小正周期 T＝π.
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三角函数的奇偶性与周期性解三角形
定义在 R 上的函数 f(x)既是偶函数，又是周期函数，若 f(x)
的最小正周期为 π，且当 x∈0，π2时，f(x)＝sinx，则 f53π等于
()
A．－12
1 B. 2C．－Fra bibliotek3 2
D.
3 2
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3．判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝sin34x＋32π； (2)f(x)＝sin|x|；
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解：(1)显然 x∈R，f(x)＝sin34x＋32π＝－cos34x，所以 f(－x)＝－cos－34x＝－cos34x＝f(x)，所以函数 f(x)＝sin34x＋32π是偶函数． (2)显然 x∈R， f(－x)＝sin|－x|＝sin|x|＝f(x)，所以函数 f(x)＝sin|x|是偶函数．
第七页，共三十四页。
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若 sinπ4＋π2＝sinπ4，则π2是正弦函数 y＝sinx 的一个周期．(

高中数学必修四第一章三角函数 1.4.2.2 正弦函数、余弦函数的性质

题型一题型二题型三题型四题型五
解:(1)定义域为 R.
f(-x)=sin(-x)cos(-x)=-sin xcos x=-f(x),
∴f(x)是奇函数.
(2)要使函数有意义,自变量 x 的取值应满足 1+sin x≠0,∴sin
x≠-1.∴x≠2kπ−
π 2
,
��
∈Z.
∴函数的定义域为
2��-
π 4
的单调递增区间是
��π-
π 8
,��π
+
3π 8
, ��∈
Z.
(2)由 2kπ≤3x+ π6≤2kπ+π,得
2�� 3
π
−
1π8≤x≤23��
π
+
5π 18
,
��∈Z,
所以函数 y=cos
3��
+
π 6
的单调递减区间是
2�� 3
x
在(0,π)上单调递减,
∴cos
π 8
>
cos
π 7
,
即cos
-
π 8
> cos 137π.
(2)sin
21π 5
=
sin
4π
+
π 5
= sin π5,
sin
42π 5
=
sin
8π
+
2π 5
= sin 25π.
∵0<
π 5
<
2π 5
<
π 2
,
且y=sin
x在

高中数学第一章三角函数 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(2)课件新人教A版必修4.ppt

②cos 1，sin 1. 解因为 cos 1＝sinπ2－1，而 0＜π2－1＜1＜π2且 y＝sin x 在0，π2上单调递增，所以 sinπ2－1＜sin 1，即cos 1＜sin 1.
解析答案
类型二求三角函数的单调区间例 2 求函数 y＝2sinπ4－x的单调递增区间.
反思与感悟解析答案
x∈－π3，π3的单调递减区间为－π3，－29π，π9，π3.
解析答案
类型三正弦函数、余弦函数的最值问题例 3 (1)已知函数 f(x)＝2asin x＋b 的定义域为－π3，23π，函数的最大值为 1，最小值为－5，求 a 和 b 的值. 解 ∵－π3≤x≤23π，∴－ 23≤sin x≤1. 若 a＞0，则－2a＋3ba＝＋1b，＝－5. 解得ab＝＝－ 122－36＋132，3.
跟踪训练 2 函数 y＝sin3x＋π6，x∈－π3，π3的单调递减区间为_－__π3_，__－__2_9π_， __π9_，__π3_______.
解析由π2＋2kπ≤3x＋π6≤32π＋2kπ(k∈Z)，得π9＋23kπ≤x≤49π＋23kπ(k∈Z). 又 x∈－π3，π3，所以函数 y＝sin3x＋π6，
∴f(x)max＝a＋b＝ 3，
f(x)min＝－ 23a＋b＝－2.
a＋b＝ 3，
由－
23a＋b＝－2，
得ab＝＝－ 2，2＋ 3.
解析答案
(2)求函数y＝cos2x＋4sin x的最值及取到最大值和最小值时的x的集合.
解析答案
(2)比较下列各组数的大小：
①cos 158π，cos 149π；解 cos 185π＝cos π8，cos 194π＝cos 49π，因为 0＜π8 ＜49π＜π，而 y＝cos x 在[0，π)上单调递减，

高中数学第一章三角函数 1.4.2 正弦函数、余弦函数

1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(一)学习目标 1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.2.会求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)及y ＝A cos(ωx ＋φ)的周期.3.掌握函数y ＝sin x ，y ＝cos x 的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性.知识点一函数的周期性思考1 如果函数f (x )满足f (x ＋3)＝f (x )，那么3是f (x )的周期吗？答案不一定.必须满足当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋3)＝f (x )，才可以说3是f (x )的周期.思考2 所有的函数都具有周期性吗？答案不是.只有同时符合周期函数定义中的两个条件的函数才具有周期性. 思考3 周期函数都有最小正周期吗？答案周期函数不一定存在最小正周期.例如，对于常数函数f (x )＝c (c 为常数，x ∈R )，所有非零实数T 都是它的周期，而最小正周期是不存在的，所以常数函数没有最小正周期. 梳理函数的周期性(1)对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期.(2)如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫做f (x )的最小正周期.知识点二正弦函数、余弦函数的周期性思考1 证明函数y ＝sin x 和y ＝cos x 都是周期函数. 答案 ∵sin(x ＋2π)＝sin x ，cos(x ＋2π)＝cos x ，∴y ＝sin x 和y ＝cos x 都是周期函数，且2π就是它们的一个周期.思考2 证明函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(或f (x )＝A cos(ωx ＋φ))(A ω≠0)是周期函数. 答案由诱导公式一知，对任意x ∈R ，都有A sin[(ωx ＋φ)＋2π]＝A sin(ωx ＋φ)，所以A sin[ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2πω＋φ]＝A sin(ωx ＋φ)，即f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2πω＝f (x )，所以f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(ω≠0)是周期函数，2πω就是它的一个周期.同理，函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(ω≠0)也是周期函数.梳理由sin(x ＋2k π)＝sin x ，cos(x ＋2k π)＝cos x (k ∈Z )知，y ＝sin x 与y ＝cos x 都是周期函数，2k π (k ∈Z 且k ≠0)都是它们的周期，且它们的最小正周期都是2π. 知识点三正弦函数、余弦函数的奇偶性思考对于x ∈R ，sin(－x )＝－sin x ，cos(－x )＝cos x ，这说明正弦函数、余弦函数具备怎样的性质？答案奇偶性.梳理 (1)对于y ＝sin x ，x ∈R 恒有sin(－x )＝－sin x ，所以正弦函数y ＝sin x 是奇函数，正弦曲线关于原点对称.(2)对于y ＝cos x ，x ∈R 恒有cos(－x )＝cos x ，所以余弦函数y ＝cos x 是偶函数，余弦曲线关于y 轴对称.类型一三角函数的周期性例1 求下列函数的最小正周期. (1)y ＝sin(2x ＋π3)(x ∈R )；(2)y ＝|sin x |(x ∈R ). 解 (1)方法一令z ＝2x ＋π3，因为x ∈R ，所以z ∈R . 函数f (x )＝sin z 的最小正周期是2π，即变量z 只要且至少要增加到z ＋2π，函数f (x )＝sin z (z ∈R )的值才能重复取得.而z ＋2π＝2x ＋π3＋2π＝2(x ＋π)＋π3，所以自变量x 只要且至少要增加到x ＋π，函数值才能重复取得，所以函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3(x ∈R )的最小正周期是π.方法二 f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的最小正周期为2π2＝π.(2)因为y ＝|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x (2k π≤x ≤2k π＋π)，－sin x (2k π＋π<x ≤2k π＋2π)(k ∈Z ).其图象如图所示，所以该函数的最小正周期为π.反思与感悟对于形如函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，A ω≠0时的最小正周期的求法常直接利用T ＝2π|ω|来求解，对于y ＝|A sin ωx |的周期情况常结合图象法来求解. 跟踪训练1 求下列函数的周期.(1)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋π3；(2)y ＝|cos 2x |.解 (1)T ＝2π|－12|＝4π.(2)T ＝π2.类型二三角函数的奇偶性例2 判断下列函数的奇偶性.(1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋π2；(2)f (x )＝lg(1－sin x )－lg(1＋sin x )； (3)f (x )＝1＋sin x －cos 2x1＋sin x .解 (1)显然x ∈R ，f (x )＝cos 12x ，∵f (－x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＝cos 12x ＝f (x )， ∴f (x )是偶函数.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧1－sin x >0，1＋sin x >0，得－1<sin x <1.解得定义域为{x |x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z }.∴f (x )的定义域关于原点对称.又∵f (x )＝lg(1－sin x )－lg(1＋sin x )， ∴f (－x )＝lg[1－sin(－x )]－lg[1＋sin(－x )] ＝lg(1＋sin x )－lg(1－sin x )＝－f (x ). ∴f (x )为奇函数.(3)∵1＋sin x ≠0，∴sin x ≠－1， ∴x ∈R 且x ≠2k π－π2，k ∈Z .∵定义域不关于原点对称，∴该函数是非奇非偶函数.反思与感悟判断函数奇偶性应把握好两个关键点：关键点一：看函数的定义域是否关于原点对称；关键点二：看f (x )与f (－x )的关系.对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断. 跟踪训练2 判断下列函数的奇偶性.(1)f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋2x ＋x 2sin x ；(2)f (x )＝1－2cos x ＋2cos x －1. 解 (1)f (x )＝sin 2x ＋x 2sin x ，∵x ∈R ，f (－x )＝sin(－2x )＋(－x )2sin(－x ) ＝－sin 2x －x 2sin x ＝－f (x )， ∴f (x )是奇函数.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧1－2cos x ≥0，2cos x －1≥0，得cos x ＝12.∴f (x )＝0，x ＝2k π±π3，k ∈Z .∴f (x )既是奇函数又是偶函数.类型三三角函数的奇偶性与周期性的综合应用例3 定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3的值.解 ∵f (x )的最小正周期是π， ∴f ⎝⎛⎭⎪⎫5π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3－2π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3. ∵f (x )是R 上的偶函数， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin π3＝32.∴f ⎝⎛⎭⎪⎫5π3＝32.反思与感悟解决此类问题的关键是运用函数的周期性和奇偶性，把自变量x 的值转化到可求值区间内.跟踪训练3 若f (x )是以π2为周期的奇函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝1，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π6的值. 解因为f (x )是以π2为周期的奇函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π6＋π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝－1.类型四函数周期性的综合应用例4 已知函数f (x )＝cos π3x ，求f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 020)的值.解 ∵f (1)＝cos π3＝12，f (2)＝cos 2π3＝－12，f (3)＝cos π＝－1，f (4)＝cos 4π3＝－12，f (5)＝cos 5π3＝12，f (6)＝cos 2π＝1，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＋f (6)＝0. 同理，可得每连续六项的和均为0. ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 020) ＝f (2 017)＋f (2 018)＋f (2 019)＋f (2 020) ＝cos 2 017π3＋cos 2 018π3＋cos 2 019π3＋cos 2 020π3＝cos π3＋cos 2π3＋cos π＋cos 4π3＝12＋(－12)＋(－1)＋(－12)＝－32. 反思与感悟当函数值的出现具有一定的周期性时，可以首先研究它在一个周期内的函数值的变化情况，再给予推广求值.跟踪训练4 设函数f (x )＝sin π3x ，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 015)＝ .答案 0解析 ∵f (x )＝sin π3x 的周期T ＝2ππ3＝6，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 015)＝335[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＋f (6)]＋f (2 011)＋f (2 012)＋f (2 013)＋f (2 014)＋f (2 015)＝335⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3＋sin 23π＋sin π＋sin 43π＋sin 53π＋sin 2π ＋f (335×6＋1)＋f (335×6＋2)＋f (335×6＋3)＋f (335×6＋4)＋f (335×6＋5)＝335×0＋f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＝sin π3＋sin 23π＋sin π＋sin 43π＋sin 53π＝0.1.函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π4，x ∈R 的最小正周期为( ) A.π2 B.π C.2π D.4π 答案 D2.下列函数中最小正周期为π的偶函数是( ) A.y ＝sin x2B.y ＝cos x2C.y ＝cos xD.y ＝cos 2x答案 D3.设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2，x ∈R ，则f (x )是( ) A.最小正周期为π的奇函数 B.最小正周期为π的偶函数 C.最小正周期为π2的奇函数D.最小正周期为π2的偶函数答案 B解析 ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝－cos 2x ， ∴f (x )＝－cos 2x .又f (－x )＝－cos(－2x )＝－cos 2x ＝f (x )， ∴f (x )是最小正周期为π的偶函数.4.函数y ＝sin(ωx ＋π4)的最小正周期为2，则ω的值为 .答案 ±π解析 ∵T ＝2π|ω|＝2，∴|ω|＝π，∴ω＝±π.5.若函数f (x )的定义域为R ，最小正周期为3π2，且满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x ，－π2≤x ＜0，sin x ，0≤x ＜π，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4＝ .答案22解析 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－154π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4＋3π2×3＝f ⎝⎛⎭⎪⎫3π4＝sin 3π4＝22.1.求函数的最小正周期的常用方法：(1)定义法，即观察出周期，再用定义来验证；也可由函数所具有的某些性质推出使f (x ＋T )＝f (x )成立的T .(2)图象法，即作出y ＝f (x )的图象，观察图象可求出T ，如y ＝|sin x |.(3)结论法，一般地，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(其中A 、ω、φ为常数，A ≠0，ω>0，x ∈R )的周期T ＝2πω.2.判断函数的奇偶性，必须坚持“定义域优先”的原则，准确求函数定义域和将式子合理变形是解决此类问题的关键.如果定义域关于原点对称，再看f (－x )与f (x )的关系，从而判断奇偶性.课时作业一、选择题1.下列函数中，周期为π2的是( )A.y ＝sin x 2B.y ＝sin 2xC.y ＝cos x4D.y ＝cos(－4x )答案 D解析 T ＝2π|－4|＝π2.2.函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6的最小正周期为π5，其中ω>0，则ω等于( ) A.5 B.10 C.15 D.20 答案 B3.已知a ∈R ，函数f (x )＝sin x －|a |(x ∈R )为奇函数，则a 等于( ) A.0 B.1 C.－1 D.±1 答案 A解析因为f (x )为奇函数，所以f (－x )＝sin(－x )－|a |＝－f (x )＝－sin x ＋|a |，所以|a |＝0，从而a ＝0，故选A.4.下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是( ) A.y ＝cos|2x |B.y ＝|sin x |C.y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x D.y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－2x答案 D解析 y ＝cos|2x |是偶函数，y ＝|sin x |是偶函数，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝cos 2x 是偶函数，y＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－2x ＝－sin 2x 是奇函数，根据公式求得其最小正周期T ＝π.5.函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 4x ＋π3(k ＞0)的最小正周期不大于2，则正整数k 的最小值应是( )A.10B.11C.12D.13 答案 D解析 ∵T ＝2πk4≤2，即k ≥4π，∴正整数k 的最小值是13.6.函数y ＝|sin x |(1－sin x )1－sin x 的奇偶性为( )A.奇函数B.既是奇函数也是偶函数C.偶函数D.非奇非偶函数答案 D解析由题意知，当1－sin x ≠0，即sin x ≠1时，y ＝|sin x |(1－sin x )1－sin x＝|sin x |，所以函数的定义域为{x |x ≠2k π＋π2，k ∈Z }，由于定义域不关于原点对称，所以该函数是非奇非偶函数.7.函数f (x )＝3sin(23x ＋15π2)是( )A.周期为3π的偶函数B.周期为2π的偶函数C.周期为3π的奇函数D.周期为4π3的偶函数答案 A 二、填空题8.若0<α<π2，g (x )＝sin(2x ＋π4＋α)是偶函数，则α的值为 .答案π4解析要使g (x )＝sin(2x ＋π4＋α)为偶函数，则需π4＋α＝k π＋π2，k ∈Z ，∴α＝k π＋π4，k ∈Z .∵0<α<π2，∴α＝π4.9.函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋2x ＋1的图象关于对称.(填“原点”或“y 轴”)答案 y 轴解析 f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π2＋2x ＋1＝2cos 2x ＋1，∵f (－x )＝f (x )，∴f (x )是偶函数. ∵偶函数的图象关于y 轴对称， ∴f (x )的图象关于y 轴对称.10.关于x 的函数f (x )＝sin (x ＋φ)有以下说法： ①对任意的φ，f (x )都是非奇非偶函数； ②存在φ，使f (x )是偶函数； ③存在φ，使f (x )是奇函数； ④对任意的φ，f (x )都不是偶函数. 其中错误的是 .(填序号) 答案 ①④解析当φ＝0时，f (x )＝sin x 是奇函数. 当φ＝π2时，f (x )＝cos x 是偶函数.三、解答题11.判断下列函数的奇偶性.(1)f (x )＝cos(π2＋2x )cos(π＋x )；(2)f (x )＝1＋sin x ＋1－sin x ； (3)f (x )＝e sin x＋e－sin xe sin x －e－sin x .解 (1)∵x ∈R ，f (x )＝cos(π2＋2x )cos(π＋x )＝－sin 2x ·(－cos x )＝sin 2x cos x . ∴f (－x )＝sin(－2x )cos(－x )＝－sin 2x cos x ＝－f (x )， ∴y ＝f (x )是奇函数.(2)∵对任意x ∈R ，－1≤sin x ≤1， ∴1＋sin x ≥0，1－sin x ≥0，∴f (x )＝1＋sin x ＋1－sin x 的定义域是R . 又∵f (－x )＝1＋sin (－x )＋1－sin (－x )，＝1－sin x ＋1＋sin x ＝f (x )， ∴y ＝f (x )是偶函数. (3)∵esin x－e－sin x≠0，∴sin x ≠0，∴x ∈R 且x ≠k π，k ∈Z . ∴定义域关于原点对称. 又∵f (－x )＝e sin (－x)＋e －sin (－x)e sin (－x )－e－sin (－x )＝e －sin x ＋esin xe －sin x －e sin x ＝－f (x )， ∴y ＝f (x )是奇函数.12.已知f (x )是以π为周期的偶函数，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝1－sin x ，求当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤52π，3π时，f (x )的解析式.解当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤52π，3π时，3π－x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∵当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝1－sin x ，∴f (3π－x )＝1－sin(3π－x )＝1－sin x . 又∵f (x )是以π为周期的偶函数，11 ∴f (3π－x )＝f (－x )＝f (x )，∴f (x )的解析式为f (x )＝1－sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤52π，3π. 13.已知函数f (x )满足f (x ＋2)＝－1f (x )，求证：f (x )是周期函数，并求出它的一个周期. 证明 ∵f (x ＋4)＝f (x ＋2＋2)＝－1f (x ＋2)＝f (x )， ∴f (x )是周期函数，且4是它的一个周期.四、探究与拓展14.若函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的最小正周期为T ，且T ∈(1，4)，则正整数ω的最大值为 .答案 6解析 ∵T ＝2πω，1＜2πω＜4，则π2＜ω＜2π. ∴ω的最大值是6.15.欲使函数y ＝A sin ωx (A >0，ω>0)在闭区间[0，1]上至少出现50个最小值，求ω的最小值.解函数y ＝A sin ωx 的最小正周期为2πω，因为在每一个周期内，函数y ＝A sin ωx (A >0，ω>0)都只有一个最小值，要使函数y ＝A sin ωx 在闭区间[0，1]上至少出现50个最小值，则y 在区间[0，1]内至少含4934个周期，即⎩⎪⎨⎪⎧ T ＝2πω，4934T ≤1，解得ω≥199π2，所以ω的最小值为199π2.。

高中数学第一章三角函数1.4三角函数的图象与性质1.4.2.1正弦函数余弦函数的周期性与奇偶性课件新

第二十二页，共24页。
2．函数
y＝sin2
0211π－2
010x是(
)
A．奇函数
B．偶函数
C．非奇非偶函数
D．既是奇函数又是偶函数
解析：y＝sin2
0211π－2
010x＝sinπ2－2
010x＋1
005π
＝－sinπ2－2
010x＝－cos2
010x，
所以为偶函数．
答案：B
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结论函数 f(x)叫做周期函数，非零常数 T 叫做这个函数的周期
(2)最小正周期.
条件周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数
结论
这个最小正数叫做 f(x)的最小正周期
第三页，共24页。
2.正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性
函数
y＝sinx
y＝cosx
周期 2kπ(k∈Z 且 k≠0) 2kπ(k∈Z 且 k≠0)
最小正周期
2π
2π
奇偶性
奇函数
偶函数
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[化解疑难] 正确理解函数的周期性
(1)关于函数周期性的理解，应注意以下三点： ①存在一个不等于零的常数 T； ②对于定义域内的每一个值，都有 x＋T 属于这个定义域； ③满足 f(x＋T)＝f(x)． (2)并不是每一个函数都是周期函数，若函数具有周期性，则其周期也不一定唯一． (3)如果 T 是函数 f(x)的一个周期，则 nT(n∈Z 且 n≠0)也是 f(x) 的周期．
第十一页，共24页。
(2)法一：因为 f(x)＝|sinx|，所以 f(x＋π)＝|sin(x＋π)|＝|sinx|＝f(x)，所以 f(x)的周期为 π. 法二：因为函数 y＝|sinx|的图象如图所示．由图象可知 T＝π.

高中数学第一章三角函数 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(2)教案新人教A版必修4(1)

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1.4。

2 正弦函数、余弦函数的性质（二）1。

知识与技能（1)理解正弦函数、余弦函数的性质如周期性、单调性、奇偶性、对称性、最大值、最小值等知识。

（2）掌握正弦函数、余弦函数的图象与性质的灵活应用.2。

过程与方法在求形如y=A sin(ωx+φ)的函数的单调区间时,注意引导学生把ωx+φ看成一个整体，利用整体代换求出。

3.情感、态度与价值观让学生自己探究学习正、余弦函数的图象性质，领会从特殊推广到一般的数学思想，体会三角函数图象所蕴涵的和谐美,体会数形结合的思想,激发学生学习数学的兴趣。

重点：正弦函数、余弦函数的图象及主要性质（包括周期性、单调性、奇偶性、最值或值域)的应用，深化研究函数性质的思想方法.难点：正弦函数、余弦函数的图象与性质的应用。

1.下列函数中，以π为周期且在区间上为增函数的是()A。

y=sin B。

y=sin xC。

y=cos 2x D。

y=—cos 2x解析：由周期为π,排除A,B答案.又y=cos 2x易求递增区间为，k∈Z，从而C不正确.答案：D2.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R,其中ω〉0，-π〈φ≤π,若f（x)的最小正周期为6π，且当x=时,f（x)取得最大值，则（)A。

高中数学第一章三角函数1.4.2正弦函数余弦函数的性质课件新人教A版必修

名师点津 (1)正弦曲线和余弦曲线既是轴对称图形,又是中心对称图形.
(2)求形如 y=Asin(ωx+ )(A>0,ω>0)的函数单调区间、最值时,通常利用“整体代换”,即令ωx+ =z,将函数转化为 y=Asin z 的形式求解.
课堂探究·素养提升
题型一求三角函数的周期
[例1]求下列函数的最小正周期: (1)y=sin( π x+3);
y=sin(2x+ π )的周期为 2π =π.
3
2
(2)作出 y=|sin 2x|的图象.
由图象可知,y=|sin 2x|的周期为 π . 2
题型二三角函数的奇偶性的判断
[例 2] (1)(2019·邢台市高一月考)函数 f(x)=|2sin(2x+ π )|+ 1 是( ) 22
(A)最小周期为π的偶函数 (B)最小周期为π的奇函数 (C)最小周期为 π 的偶函数
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
目标导航课标要求素养达成
1.掌握y=sin x(x∈R),y=cos x(x∈R)的周期性、奇偶性、单调性和最值. 2.会用正弦函数、余弦函数的性质解决一些简单的三角函数问题. 3.了解周期函数、周期、最小正周期的含义.
1.通过对正弦函数、余弦函数的性质的学习,使学生养成直观抽象、数学建模的素养. 2.在利用正弦函数、余弦函数的性质解决问题中, 学会逻辑推理与数学运算的素养.
法二 f(x)=sin( π x+3)的周期 T= 2π =4.
2
π
2
(2)y=|cos x|. 解:(2)作y=|cos x|的图象,如图所示:
由图象知y=|cos x|的最小正周期为π.

教师课件：2020学年高中数学第一章三角函数1.4.2第二课时正弦函数、余弦函数的单调性与最值学案新

第二课时正弦函数、余弦函数的单调性与最值预习课本P37～40，思考并完成以下问题(1)正、余弦函数的单调区间分别是什么？(2)正、余弦函数的最值分别是多少？取最值时自变量x的值是多少？[新知初探]正弦函数、余弦函数的图象和性质正弦函数余弦函数图象值域[－1,1][－1,1]单调性在⎣⎢⎡⎦⎥⎤2kπ－π2，2kπ＋π2(k∈Z)上递增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤2kπ＋π2，2kπ＋3π2(k∈Z)上递减在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上递增，在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上递减最值x＝π2＋2kπ(k∈Z)时，y max＝1；x＝－π2＋2kπ(k∈Z)时，y min＝－1x＝2kπ(k∈Z)时，y max＝1；x＝2kπ＋π(k∈Z)时，y min＝－1[点睛] (1)正弦函数、余弦函数有单调区间，但都不是定义域上的单调函数，即正弦函数、余弦函数在整个定义域内不单调．(2)正弦曲线(余弦曲线)的对称轴一定过正弦曲线(余弦曲线)的最高点或最低点，即此时的正弦值(余弦值)取最大值或最小值．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)正弦函数、余弦函数在定义域内都是单调函数．( )(2)存在x∈R满足sin x＝ 2.( )(3)在区间[0,2π]上，函数y＝cos x仅当x＝0时取得最大值1.( )答案：(1)×(2)×(3)×2．在下列区间中，使函数y ＝sin x 为增函数的是( )A ．[0，π]B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2D ．[π，2π]答案：C3．函数y ＝2－sin x 的最大值及取最大值时x 的值为( ) A ．y max ＝3，x ＝π2B ．y max ＝1，x ＝π2＋2k π(k ∈Z)C ．y max ＝3，x ＝－π2＋2k π(k ∈Z)D ．y max ＝3，x ＝π2＋2k π(k ∈Z)答案：C4．函数y ＝3＋2cos x 的最大值为________．答案：5正、余弦函数的单调性[典例] 求函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫3－2x 的单调递减区间．[解] ∵y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ＝－3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，∴y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3是增函数时，y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3－2x 是减函数． ∵函数y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π(k ∈Z)上是增函数， ∴－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，即－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π(k ∈Z)．∴函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3－2x 的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12＋k π，5π12＋k π(k ∈Z)．与正、余弦函数有关的单调区间的求解技巧(1)结合正、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间．(2)确定函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)单调区间的方法：采用“换元”法整体代换，将ωx ＋φ看作一个整体，可令“z ＝ωx ＋φ”，即通过求y ＝A sin z 的单调区间而求出函数的单调区间．若ω<0，则可利用诱导公式将x 的系数转变为正数．[活学活用]求y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 的单调增区间．解：因为y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，所以令π＋2k π≤2x －π3≤2π＋2k π，k ∈Z ，得2π3＋k π≤x ≤7π6＋k π，k ∈Z. 所以函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3＋k π，7π6＋k π，k ∈Z.三角函数值的大小比较[典例] (1)sin 250°与sin 260°；(2)cos 15π8与cos 14π9.[解] (1)∵函数y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2上单调递减，且90°<250°<260°<270°，∴sin 250°>sin 260°.(2)cos 15π8＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π8＝cos π8，cos 14π9＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－4π9＝cos 4π9. ∵函数y ＝cos x 在[0，π]上单调递减，且0<π8<4π9<π，∴cos π8>cos 4π9，∴cos 15π8>cos 14π9.比较三角函数值大小的方法(1)比较两个同名三角函数值的大小，先利用诱导公式把两个角化为同一单调区间内的角，再利用函数的单调性比较．(2)比较两个不同名的三角函数值的大小，一般应先化为同名的三角函数，后面步骤同上．[活学活用]比较下列各组数的大小． (1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8与cos 13π7； (2)sin 194°与cos 160°. 解：(1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＝cos π8， cos 13π7＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π7＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π7＝cos π7. ∵0＜π8＜π7＜π，且y ＝cos x 在(0，π)上单调递减，∴cos π8＞cos π7，即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＞cos 13π7. (2)sin 194°＝sin (180°＋14°)＝－sin 14°， cos 160°＝cos(180°－20°)＝－cos 20°＝－sin 70°.∵0°＜14°＜70°＜90°且y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增，∴sin 70°＞sin 14°，即－sin 14°＞－sin 70°. 故sin 194°＞cos 160°.正、余弦函数的最值1．若y ＝a sin x ＋b 的最大值为3，最小值为1，则ab ＝________.解析：当a >0时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝3，－a ＋b ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.当a <0时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，－a ＋b ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2.答案：±2题点二：形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋b 型2．求函数y ＝3－4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π6的最大、最小值及相应的x 值．解：因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π6，所以2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，从而－12≤cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1. 所以当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝1，即2x ＋π3＝0，x ＝－π6时，y min ＝3－4＝－1. 当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝－12，即2x ＋π3＝2π3，x ＝π6时，y max ＝3－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝5. 综上所述，当x ＝－π6时，y min ＝－1；当x ＝π6时，y max ＝5.题点三：形如y ＝A sin 2x ＋B sin x ＋C 或y ＝A cos 2x ＋B cos x ＋C 型 3．求函数y ＝3－4sin x －4cos 2x 的值域．解：y ＝3－4sin x －4cos 2x ＝3－4sin x －4(1－sin 2x ) ＝4sin 2x －4sin x －1，令t ＝sin x ，则－1≤t ≤1.∴y ＝4t 2－4t －1＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122－2(－1≤t ≤1)．∴当t ＝12时，y min ＝－2，当t ＝－1时，y max ＝7.即函数y ＝3－4sin x －4cos 2x 的值域为[－2,7]．三角函数最值问题的三种常见类型及求解方法(1)形如y ＝a sin x (或y ＝a cos x )型，可利用正弦函数，余弦函数的有界性，注意对a 正负的讨论．(2)形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋b )型，可先由定义域求得ωx ＋φ的范围，然后求得sin(ωx ＋φ)(或cos(ωx ＋φ))的范围，最后求得最值．(3)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c (a ≠0)型，可利用换元思想，设t ＝sin x ，转化为二次函数y ＝at 2＋bt ＋c 求最值．t 的范围需要根据定义域来确定．层级一学业水平达标1．函数f (x )＝－2sin x ＋1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π的值域是( ) A ．[1,3] B ．[－1,3] C ．[－3,1]D ．[－1,1]解析：选B ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π，∴sin x ∈[－1,1]，∴－2sin x ＋1∈[－1,3]．2．函数y ＝|sin x |的一个单调递增区间是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4C ．⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2 D ．⎝⎛⎭⎪⎫3π2，2π 解析：选 C 由y ＝|sin x |的图象，易得函数y ＝|sin x |的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π，k π＋π2，k ∈Z ，当k ＝1时，得⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2为函数y ＝|sin x |的一个单调递增区间．3．下列函数中，既为偶函数又在(0，π)上单调递增的是( ) A ．y ＝|cos x |B ．y ＝cos|－x |C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2D ．y ＝－sin x2解析：选C y ＝|cos x |在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上是减函数，排除A ；y ＝cos|－x |＝cos|x |在(0，π)上是减函数．排除B ；y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－x ＝－cos x 是偶函数，且在(0，π)上单调递增，符合题意；y ＝－sin x2在(0，π)上是单调递减的．4．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2，x ∈R 在( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是增函数B ．[0，π]上是减函数C ．[－π，0]上是减函数D ．[－π，π]上是减函数解析：选B y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝cos x ，所以在区间[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数，故选B.5．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为( ) A ．－1B ．－22C ．22D ．0解析：选 B ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴－π4≤2x －π4≤3π4，∴当2x －π4＝－π4时，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4有最小值－22.6．已知函数y ＝3cos(π－x )，则当x ＝________时，函数取得最大值．解析：y ＝3cos(π－x )＝－3cos x ，当cos x ＝－1，即x ＝2k π＋π，k ∈Z 时，y 有最大值3.答案：2k π＋π，k ∈Z7．y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3，则y 的范围是________．解析：由正弦函数图象，对于x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3，当x ＝π2时，y max ＝1，当x ＝π6时，ymin ＝12，从而y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，18．函数y ＝sin(x ＋π)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π上的单调递增区间为________．解析：因为sin(x ＋π)＝－sin x ，所以要求y ＝sin(x ＋π)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π上的单调递增区间，即求y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π上的单调递减区间，易知为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π9．求下列函数的最大值和最小值． (1)y ＝1－12sin x ；(2)y ＝3＋2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.解：(1)∵⎩⎪⎨⎪⎧1－12sin x ≥0，－1≤sin x ≤1，∴－1≤sin x ≤1.∴当sin x ＝－1时，y max ＝62；当sin x ＝1时，y min ＝22. (2)∵－1≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1， ∴当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝1时，y max ＝5；当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝－1时，y min ＝1. 10．比较下列各组数的大小．(1)sin 10π17与sin 11π17；(2)cos 5π3与cos 16π9.解：(1)∵函数y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上单调递减，且π2＜10π17＜11π17＜π，∴sin 10π17＞sin 11π17.(2)cos 5π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π3＝cos π3， cos 16π9＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－2π9＝cos 2π9. ∵函数y ＝cos x 在[0，π]上单调递减，且0＜2π9＜π3＜π，∴cos π3<cos 2π9，∴cos 5π3<cos 16π9.层级二应试能力达标1．函数y ＝|sin x |＋sin x 的值域为( ) A ．[－1,1] B ．[－2,2] C ．[－2,0]D ．[0,2]解析：选D ∵y ＝|sin x |＋sin x＝⎩⎪⎨⎪⎧2sin x ，sin x ≥0，0， sin x ＜0.又∵－1≤sin x ≤1，∴y ∈[0,2]，即函数的值域为[0,2]．2．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω＞0)的周期为π，则其单调递增区间为( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π4，k π＋π4(k ∈Z)B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－3π4，2k π＋π4(k ∈Z)C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8(k ∈Z)D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－3π8，2k π＋π8(k ∈Z) 解析：选C 周期T ＝π，∴2πω＝π，∴ω＝2，∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.由－π2＋2k π≤2x＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z.3．下列关系式中正确的是( ) A ．sin 11°＜cos 10°＜sin 168° B ．sin 168°＜sin 11°＜cos 10° C ．sin 11°＜sin 168°＜cos 10° D ．sin 168°＜cos 10°＜sin 11°解析：选C sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°，cos 10°＝cos(90°－80°)＝sin 80°.因为正弦函数y ＝sin x 在区间[0,90°]上为增函数，所以sin 11°＜sin 12°＜sin 80°，即sin 11°＜sin 168°＜cos 10°.4．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x (x ∈R)的最小值等于( )A ．－3B ．－2C ．－1D ．－ 5 解析：选C ∵⎝⎛⎭⎪⎫π3－x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝π2，∴y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，∴y min ＝－1. 5．函数值sin 3π5，sin 4π5，sin 9π10从大到小的顺序为________(用“＞”连接)．解析：∵π2＜3π5＜4π5＜9π10＜π，又函数y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上单调递减，∴sin 3π5＞sin 4π5＞sin 9π10.答案：sin 3π5＞sin 4π5＞sin 9π106．函数y ＝cos x 在区间[－π，a ]上为增函数，则a 的取值范围是________．解析：∵y ＝cos x 在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数， ∴只有－π＜a ≤0时满足条件，故a ∈(－π，0]．答案：(－π，0]7．设函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，x ∈R. (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，3π4上的最小值和最大值，并求出取最值时x 的值．解：(1)最小正周期T ＝2π2＝π，由2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z)，得k π－π8≤x ≤k π＋3π8(k ∈Z)，∴函数f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z)．(2)令t ＝2x －π4，则由π8≤x ≤3π4可得0≤t ≤5π4，∴当t ＝5π4，即x ＝3π4时，y min ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝－1，∴当t ＝π2，即x ＝3π8时，y max ＝2×1＝ 2.8．已知函数f (x )＝2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋a ＋b 的定义域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，值域是[－5,1]，求a ，b 的值．解：∵0≤x ≤π2，∴π6≤2x ＋π6≤7π6， ∴－12≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≤1.当a >0时，⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－5，3a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－5.当a <0时，⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，3a ＋b ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1.文档从互联网中收集，已重新修正排版，word格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。

高中数学第一章三角函数1.4.2正弦函数余弦函数的性质一课件新人教A版必

复习课件
2020_2021学年高中数学第一章三角函数1.4.2正弦函数余弦函数的性质一课件新人教A版必修
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(一)
必备知识·自主学习
1.函数的周期性 (1)周期函数:对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有_f_(_x_+_T_)_=_f_(_x_)_,那么这个函数的周期为T. (2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个_最__小__的__正__数__,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
3
) =1,则 f (－
5 ) 6
=________.
【解析】因为f(x)是以为周期的奇函数,
2
所以f( 5 ) ＝ f( － 5 ＋ ) ＝ f( － ) ＝－ f( ) ＝－ 1 .
6 62 3 3
答案:-1
课堂检测·素养达标
1.下列函数中,周期为的是 ( )
2
A.y=sin x
所以函数 y3sin(2的x最小) 正周期为
34
答案:3π
T 2 3. 2 3
关键能力·合作学习
类型一求函数的周期(数学抽象) 【题组训练】 1.如图是定义在R上的四个函数图象的一部分,其中不是周期函数的是 ( )
பைடு நூலகம்
2.f(x)=sin (2x＋ )的周期为 ( )
4
A ． B ． C ． D ． 2
【思考】是不是所有的函数都是周期函数?若一个函数是周期函数,它的周期是否唯一?
提示:并不是每一个函数都是周期函数,若函数具有周期性,则其周期也不一定唯一.
2.正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性
函数周期最小正周期奇偶性