最新公开课--5.3垂径定理及其推论课件.讲义教学讲义PPT课件

4、如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD
于E，CE=1，AB=10，求直径CD的长。
解：连接OA，
A
∵ CD是直径，OE⊥AB
C E O·
D
∴ AE=1/2 AB=5 B
设OA=x，则OE=x-1，由勾股定理得
x2=52+(x-1)2 解得：x=13
∴ OA=13 ∴ CD=2OA=26 即直径CD的长为26.
9． 在以O为圆心的两个
同心圆中，大圆的弦AB交小圆
O．
于C，D两点．
A
E C
DB
求证：AC＝BD．
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，
则AE＝BE，CE＝DE．
AE－CE＝BE－DE．
所以，AC＝BD
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—— 蚕 豆 病
案例3
❖ 患儿(先证者)，男，3岁，广东人，因进食大量新鲜 的蚕豆12h后，出现面色苍白，畏寒、发热、头晕、 头痛、厌食、恶心、呕吐腹痛，巩膜轻度黄染，尿 色如浓红茶或甚至如酱油。入院后，全身衰竭，脉 搏微弱而速，血压下降，神智迟钝或烦躁不安，少 尿或闭尿等急性循环衰竭和急性肾功能衰竭。表现 突发性急性溶血性贫血。家族史:家族中曾出现类 似病人。
公开课--5.3垂径定理及其推 论课件.讲义
垂径定理 C
O
E
A
B
列 少组个CCDD合命这是 ⊥，题五直 A会？条B径出进，现行A多排B是弦， D
AE＝BE 将A题⌒C设＝与B⌒C结论调换 过A来⌒D，＝还B⌒D成立吗？
①直径 ②垂直于弦
题设
③平分弦 ④平分弦所对的优弧 ⑤平分弦所对的劣弧
结论
垂径定理的推论1
① 直径 ⑤ 平分弦所对的劣弧
C
③ 平分弦 ④ 平分弦所对优弧 ② 垂直于弦
O E A
D百度文库
已知：CD是直径，AB是弦，并且A⌒D＝B⌒D 求证：CD平分AB，CD ⊥AB，A⌒C＝BC⌒
B
（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平 分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
垂径定理的推论1
② 垂直于弦 ③ 平分弦
A
AE1AB184 22
在 R tA O E 中
E
B
O·
A O 2O E2A E2
A O O E 2A E 2=3 2+ 4 2= 5 cm 答：⊙O的半径为5cm．
4． 已知在⊙O中，弦AB A 的长为16cm，圆心O到AB的距 离为6cm，求⊙O的半径．
E
B
．
O
解：连结OA．过O作OE⊥AB，垂足为E， 则OE＝3cm，AE＝BE． ∵AB＝16cm ∴AE＝8cm 在Rt△AOE中，根据勾股定理有OA＝10cm ∴⊙O的半径为10cm．
①④ ②③⑤ 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对
①⑤ ②③④ 的另一条弧．
②③ ①④⑤ 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的两条弧．
②④ ①③⑤ 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，并且平 ②⑤ ①③④ 分弦和所对的另一条弧．
③④ ①②⑤ 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，垂直于弦
② 垂直于弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
① 直径 ③ 平分弦 ④ 平分弦所对优弧
（4）垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的 直径过圆心，并且平分弦和所对的另一条弧．
③ 平分弦 ④ 平分弦所对优弧
① 直径 ② 垂直于弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
③ 平分弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
① 直径 ② 垂直于弦 ④ 平分弦所对优弧
C
① 直径过圆心 ④ 平分弦所对优弧 ⑤ 平分弦所对的劣弧
O E A
D
已知：AB是弦，CD平分AB，CD ⊥AB， 求证：CD是直径，A⌒D＝B⌒D，A⌒C＝B⌒C
B
（3）弦的垂直平分线 经过圆心，并且平分 弦所对的两条弧．
推论1的其他命题......
② 垂直于弦 ④ 平分弦所对优弧
① 直径 ③ 平分弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
（5）平分弦并且平分弦所对的一条弧的直径过 圆心，垂直于弦，并且平分弦所对的另一条弧 ．
④ 平分弦所对优弧 ⑤ 平分弦所对的劣弧
① 直径 ② 垂直于弦 ③ 平分弦
（6）平分弦所对的两条弧的直径过圆心， 并且垂直平分弦．
垂径定理的推论2
C A
圆的两条平行弦所夹的弧相等．
M
证明：作直径MN垂直于弦AB
D ∵ AB∥CD
B ∴ 直径MN也垂直于弦CD
∴A⌒M＝B⌒M，
O
C⌒M＝D⌒M
∴A⌒M－C⌒M ＝B⌒M－D⌒M
即 A⌒C＝B⌒D N
两条弦在圆心的同侧
垂径定理的推论2 有这两种情况：
O
A
B 两条弦在圆心的两侧
C
D
A
B
O
C
D
垂径定理三角形
C
有哪些等量关系？
O
rd
E
A
h
D
a
d+h=r r2 d2 (a)2
2
B
在a，d，r，
h中，已知其中任
意两个量，可以
求出其它两个量
．
课堂小结
1． 圆是轴对称图形
任何一条直径所在的直线都是它的对称轴．
O
2． 垂径定理
垂直于弦的直径平分弦，并且平分 弦所对的两条弧．
C
O
E
A
B
D
3．垂径定理的推论
条件 结论
命题
①③ ②④⑤ 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧．
③⑤ ①②④ ，并且平分弦所对的另一条弧．
④⑤ ①②③ 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心，并且垂直平分弦．
4． 解决有关弦的问题
经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦 的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理 创造条件．
随堂练习
1． 判断：
（1）垂直于弦的直线平分这条弦，并且平分弦所对
的两弧．
（）
（2）平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所
对的另一弧．
（√ ）
（3）经过弦的中点的直径一定垂直于弦． （ ）
（4）圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行．
（）
（5）弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧．
（）
√
2． 在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到 AB的距离为3cm，求⊙O的半径．
解： O EA B
① 直径 ③ 平分弦
C
② 垂直于弦 ④ 平分弦所对优弧 ⑤ 平分弦所对的劣弧
已知：CD是直径，AB是弦，CD平分AB
O E
求证：CD⊥AB，A⌒D＝B⌒D，A⌒C＝B⌒C
A
B
D
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， 并且平分弦所对的两条弧．
注意 为什么强调这里的弦不是直径？
M A
一个圆的任意两 条直径总是互相平分， C 但它们不一定互相垂 直．因此这里的弦如 果是直径，结论不一 定成立．
O
D
B N
垂径定理的推论1
① 直径 ④ 平分弦所对优弧
C
③ 平分弦 ② 垂直于弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
O E A
D
已知：CD是直径，AB是弦，并且A⌒C＝B⌒C 求证：CD平分AB，CD ⊥AB，A⌒D＝B⌒D
B
（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平 分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
垂径定理的推论1