最新公开课--5.3垂径定理及其推论课件.讲义教学讲义PPT课件
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《垂径定理推论》课件
04
答案4
圆上一点P(a,b)到圆心的距离公 式为sqrt((a - h)^2 + (b - k)^2) 。解析：利用两点之间的距离公 式，我们知道点P到圆心的距离 等于点P的横坐标与圆心横坐标 之差的平方和加上点P的纵坐标 与圆心纵坐标之差的平方和的平 方根。
06
总结与展望
本节课的总结
知识要点回顾 垂径定理推论的基本概念和定理表述。
能力目标
能够运用垂径定理及其推 论解决实际问题，提高数 学应用能力。
情感态度与价值观
培养学生对数学的兴趣和 热爱，增强数学学习的自 信心和成就感。
02
垂径定理推论的基本概念
定义与性质
定义
垂径定理推论是关于圆的定理， 它描述了从圆心到圆上任一点的 连线（即半径）与通过该点的圆 的切线之间的关系。
性质
对定理的深入理解
定理的证明过程
深入理解垂径定理推论的证明过程，可以帮助我们更好地掌握其内涵和应用。通 过逐步推导和解析，可以更清晰地理解定理的逻辑和严密性。
定理的几何意义
垂径定理推论不仅是一个数学定理，还具有深刻的几何意义。通过图形演示和实 例分析，可以更直观地理解其在解决实际问题中的应用。
对定理的推广与改进
05
习题与解答
习题
题目1
题目2
若圆心到直线的距离为d，圆的半径为r， 则直线被圆所截得的弦长为多少？
已知圆的方程为x^2 + y^2 = r^2，求圆 上一点P(a,b)到直线x=h的距离公式。
题目3
题目4
若直线l与圆相切于点A，且直线l的方程为 Ax + By + C = 0，求点A到直线l的距离公 式。
垂径定理推论在几何问题解决中的应用实例。
公开垂径定理及其推论讲义PPT课件
M
证明：作直径MN垂直于弦AB
D ∵ AB∥CD
B ∴ 直径MN也垂直于弦CD
∴A⌒M＝B⌒M，
O
C⌒M＝D⌒M
∴A⌒M－C⌒M ＝B⌒M－D⌒M
即 A⌒C＝B⌒D
N
两条弦在圆心的同侧
垂径定理的推论2 有这两种情况：
O
A
B 两条弦在圆心的两侧
C
D
A
B
O
C
D
SUCCESS
THANK YOU
2019/8/21
∵AB＝16cm
∴AE＝8cm
在Rt△AOE中，根据勾股定理有OA＝
10cm
∴⊙O的半径为10cm．
4、如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，
CE=1，AB=10，求直径CD的长。
解：连接OA，
A
∵ CD是直径，OE⊥AB
C E O·
D
∴ AE=1/2 AB=5 B
设OA=x，则OE=x-1，由勾股定理得
SUCCESS
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2019/8/21
③④ ①②⑤ 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，垂直于弦
③⑤ ①②④ ，并且平分弦所对的另一条弧．
④⑤ ①②③ 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心，并且垂直平分弦．
4． 解决有关弦的问题
经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直 于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径 定理创造条件．
随堂练习
1． 判断：
x2=52+(x-1)2 解得：x=13
∴ OA=13 ∴ CD=2OA=26 即直径CD的长为26.
9． 在以O为圆心的
两个同心圆中，大圆的弦AB交
O．
垂径定理说课PPT课件
可以发现： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是 它的对称轴．
活动二
在自己的圆形纸片中做一条弦AB，再做直径CD，使CD⊥AB， 垂足为E．沿CD所在的直线折叠，你能发现图中有那些相等的 线段和弧？为什么？
C
线弧段：：Ａ⌒AＣE=＝BＢE⌒Ｃ ，Ａ⌒Ｄ＝Ｂ⌒Ｄ
⌒ ⌒ 把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，
Learning Is To Achieve A Certain Goal And Work Hard, Is A Process To Overcome Various Difficulties For A Goal
▪ 情感与态度：通过创建和引导学生所参与的情景， 激发学生强烈的好奇心和求知欲，在探究中体验 成功的喜悦。培养独立思考、敢于质疑、善于表 达的习惯。
教学重难点
▪ 重点：探究，发现，理解和掌 握垂径定理。
▪ 难点：定理的证明及它的几个 推论之间实质性的联系和应用。
教学方法和手段
▪ 以参与式探究教学法为主 ▪ 以学生手中的圆形纸片为工具 ▪ 以多媒体演示为辅助
在解决有关圆的问题时，可以利用垂径定理将其转化 为解直角三角形的问题 。
板书设计
探索一： 圆的对称性 探索二： 垂径定理 推论
垂直于弦的直径
定理问与解答环节
Questions And Answers
谢谢聆听
·学习就是为了达到一定目的而努力去干, 是为一个目标去 战胜各种困难的过程,这个过程会充满压力、痛苦和挫折
A
点A与点B重合，AE与BE重合，ＡＣ 和 ＢＣ
⌒ ⌒ 重合，ＡＤ和 ＢＤ重合．
·O
E B
D
Ｃ
Ｏ
Ａ
ＥＢ
垂径定理：垂直于弦的直径平分 弦，并且平分弦所对的两条弧．
活动二
在自己的圆形纸片中做一条弦AB，再做直径CD，使CD⊥AB， 垂足为E．沿CD所在的直线折叠，你能发现图中有那些相等的 线段和弧？为什么？
C
线弧段：：Ａ⌒AＣE=＝BＢE⌒Ｃ ，Ａ⌒Ｄ＝Ｂ⌒Ｄ
⌒ ⌒ 把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，
Learning Is To Achieve A Certain Goal And Work Hard, Is A Process To Overcome Various Difficulties For A Goal
▪ 情感与态度：通过创建和引导学生所参与的情景， 激发学生强烈的好奇心和求知欲，在探究中体验 成功的喜悦。培养独立思考、敢于质疑、善于表 达的习惯。
教学重难点
▪ 重点：探究，发现，理解和掌 握垂径定理。
▪ 难点：定理的证明及它的几个 推论之间实质性的联系和应用。
教学方法和手段
▪ 以参与式探究教学法为主 ▪ 以学生手中的圆形纸片为工具 ▪ 以多媒体演示为辅助
在解决有关圆的问题时，可以利用垂径定理将其转化 为解直角三角形的问题 。
板书设计
探索一： 圆的对称性 探索二： 垂径定理 推论
垂直于弦的直径
定理问与解答环节
Questions And Answers
谢谢聆听
·学习就是为了达到一定目的而努力去干, 是为一个目标去 战胜各种困难的过程,这个过程会充满压力、痛苦和挫折
A
点A与点B重合，AE与BE重合，ＡＣ 和 ＢＣ
⌒ ⌒ 重合，ＡＤ和 ＢＤ重合．
·O
E B
D
Ｃ
Ｏ
Ａ
ＥＢ
垂径定理：垂直于弦的直径平分 弦，并且平分弦所对的两条弧．
第3课--垂径定理及其推论幻灯片课件
第3课--垂径定理及其推论
1. 如图，直径CD⊥AB，AB＝6，OE＝4，求⊙O的半径． 5
方法总结：构造由____半__径______、_____半__弦_____、____弦__心__距____ 组成的直角三角形，用_____勾__股__定__理_____求解．
2. 如图，半径OD⊥AB，弦AB＝16，CD＝4，求⊙O的半径.
∵ C为弦AB的中点， ∴ 半径OD⊥AB. ∴ AC＝1 AB＝ 1 ×10＝5. 连接 OA2，设OA＝2 OD＝x， 在Rt△OAC中，CO＝x－1， ∵ OC 2＋AC 2＝OA 2， ∴ (x－1)2＋52＝x2. ∴ x＝13. ∴ ⊙O半径为13.
6. 如图，D为»A B 的中点，⊙O半径为10，CD＝4，求AB的长． 16
菱形 提示：∵AC垂直平分OB, ∴AC⊥OB，PO＝PB. ∴PA＝PC. ∴四边形OABC为平行四边形. ∵AC⊥OB, ∴四边形OABC为菱形.
四、拓展提升
13．如图，在⊙O中，AB∥A′B′.求证 ¼ AA' B¼B'.
过O作OE⊥AB交AB于C，交A′B′于D，交⊙O于E，
∵AB∥A′B′
二、垂径定理的推论
平分弦(不是直径)的直径________弦，并且________弦所对的弧． ∵________________， ∴________________
________________ ________________.
5. (例1)如图，C为弦AB的中点，CD＝1，AB＝10，求⊙O半径．
最大深度． 18 cm 提示：过O作OC⊥AB，垂足为C, 延长CO交⊙O于D. 在Rt△OBC中，OB＝13 cm BC＝ 1 AB＝12 cm
1. 如图，直径CD⊥AB，AB＝6，OE＝4，求⊙O的半径． 5
方法总结：构造由____半__径______、_____半__弦_____、____弦__心__距____ 组成的直角三角形，用_____勾__股__定__理_____求解．
2. 如图，半径OD⊥AB，弦AB＝16，CD＝4，求⊙O的半径.
∵ C为弦AB的中点， ∴ 半径OD⊥AB. ∴ AC＝1 AB＝ 1 ×10＝5. 连接 OA2，设OA＝2 OD＝x， 在Rt△OAC中，CO＝x－1， ∵ OC 2＋AC 2＝OA 2， ∴ (x－1)2＋52＝x2. ∴ x＝13. ∴ ⊙O半径为13.
6. 如图，D为»A B 的中点，⊙O半径为10，CD＝4，求AB的长． 16
菱形 提示：∵AC垂直平分OB, ∴AC⊥OB，PO＝PB. ∴PA＝PC. ∴四边形OABC为平行四边形. ∵AC⊥OB, ∴四边形OABC为菱形.
四、拓展提升
13．如图，在⊙O中，AB∥A′B′.求证 ¼ AA' B¼B'.
过O作OE⊥AB交AB于C，交A′B′于D，交⊙O于E，
∵AB∥A′B′
二、垂径定理的推论
平分弦(不是直径)的直径________弦，并且________弦所对的弧． ∵________________， ∴________________
________________ ________________.
5. (例1)如图，C为弦AB的中点，CD＝1，AB＝10，求⊙O半径．
最大深度． 18 cm 提示：过O作OC⊥AB，垂足为C, 延长CO交⊙O于D. 在Rt△OBC中，OB＝13 cm BC＝ 1 AB＝12 cm
数学公开课优质课件精选《垂径定理》
解析
要证明FM垂直于FN， 只需证明角MFN等于 90度。根据抛物线的 性质可知AF = AM， BF = BN。因此，角 AFM和角BFN均为45 度。所以角MFN等于 90度，即FM垂直于FN
。
例题6
已知椭圆C： (x^2)/a^2 + (y^2)/b^2 = 1 (a > b > 0)的左、右焦点分别 为F1、F2，过F1的直 线l与椭圆C交于A、B 两点。若|AF1| = 3|F1B|，且|AB| = 4√3 ，求椭圆C的方程。
利用垂径定理求线段中点
01
通过构造以线段为直径的圆，利用垂径定理可求得线段的中点
Hale Waihona Puke 。判定线段中点的性质
02
根据垂径定理，若一条线段是某圆的直径，则该线段的中点是
圆心，从而可判定线段中点的性质。
解决与线段中点相关的几何问题
03
利用垂径定理可以解决与线段中点相关的各种问题，如求线段
的长度、证明线段的平行或垂直等。
应用场景
在解决三维几何问题中，如计算球面上两点的最短距离、 判断点到球面的位置关系等问题时，可应用三维空间中的 垂径定理。
垂径定理与其他知识点的联系
与勾股定理的联系
在直角三角形中，垂径定理可视 为勾股定理的特殊情况，当直角 三角形的两条直角边相等时，斜
边上的中线即为垂径。
与圆的性质的联系
垂径定理与圆的性质密切相关，如 圆心角、弧长、弦长等概念在证明 垂径定理时均有涉及。
解决角平分线问题
1 2 3
利用垂径定理构造角平分线
通过构造以角为顶点的圆，利用垂径定理可求得 角的平分线。
判定角平分线的性质
根据垂径定理，若一条射线是某圆的切线，且切 点是角的顶点，则该射线是角的平分线，从而可 判定角平分线的性质。
2024版《垂径定理》优秀ppt课件
《垂径定理》优秀ppt课件目录•垂径定理基本概念与性质•垂径定理证明方法•垂径定理在几何问题中应用•垂径定理在代数问题中应用•垂径定理拓展与延伸•总结回顾与课堂互动环节垂径定理基本概念与性质垂径定义及性质垂径定义从圆上一点向直径作垂线，垂足将直径分成的两条线段相等，且垂线段等于半径与直径之差的平方根。
垂径性质垂径所在的直线是圆的切线，且垂径平分过切点的半径。
垂线与直径关系垂线与直径垂直垂线垂直于直径，且垂足在直径上。
垂线与直径平分垂线平分直径，即垂足将直径分为两段相等的线段。
03垂径长度与直径关系垂径长度等于直径的一半减去半径，即垂径长度与直径成线性关系。
01垂径长度公式垂径长度= 半径-直径/2。
02垂径长度与半径关系垂径长度等于半径与直径之差的平方根，即垂径长度与半径成比例关系。
垂径长度计算垂径定理证明方法通过圆的性质，如弦的中垂线过圆心等，结合已知条件进行推导。
利用圆的性质利用相似三角形利用勾股定理构造与垂径相关的相似三角形，通过相似比和已知条件进行证明。
在直角三角形中，利用勾股定理和已知条件进行推导和证明。
030201建立坐标系以圆心为原点建立平面直角坐标系，将圆的方程表示为$x^2+y^2=r^2$。
垂径表示设垂径的两个端点分别为$(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$，则垂径的方程可表示为$y-y_1=frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1)$。
求解交点联立垂径方程和圆的方程，求解交点坐标，进而证明垂径定理。
1 2 3设圆心为$O$，垂径的一个端点为$A$，另一个端点为$B$，则向量$vec{OA}$和$vec{OB}$可分别表示为垂径的两个向量。
向量表示利用向量的点积运算和模长运算，结合已知条件进行推导和证明。
向量运算通过向量运算，可得垂径定理的向量形式为$(vec{OA}+vec{OB})cdot vec{AB}=0$。
垂径定理的向量形式垂径定理在几何问题中应用求解三角形问题利用垂径定理求解直角三角形01通过垂径将直角三角形划分为两个较小的直角三角形，便于求解边长和角度。
垂径定理公开课用的课件
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感谢观看
4. 根据全等三角形的对应边相等，我们得出 $AM=BM$。
证明中的数学思想
01
垂径定理的证明涉及了圆的性质 、三角形的全等关系以及逻辑推 理等数学思想。
02
通过构造辅助线和利用已知条件 ，逐步推导出结论，体现了数学 证明中的严谨性和逻辑性。
03
垂径定理的应用
在几何作图中的应用
01
02
03
确定圆心位置
在垂径定理中，如果弦变为直径，则直径所对的圆周角为直角。
从平面图形到立体图形
将垂径定理从平面图形推广到立体图形，例如球体，可以得到类似 的性质。
推广后的应用场景
建筑设计
在建筑设计时，可以利用 垂径定理的推广情势来确 保建筑结构的稳定性。
工程测量
在测量中，可以利用垂径 定理的推广情势来确定某 些线段或角度是否满足设 计要求。
数学教育
在数学教育中，垂径定理 的推广可以帮助学生深入 理解几何图形的性质，提 高解题能力。
对推广情势的进一步思考
统一性
视察垂径定理的各种推广情势，可以发现它们都遵循“从特 殊到一般”的逻辑，这种统一性有助于理解几何图形的本质 。
局限性
虽然垂径定理的推广情势具有广泛的应用价值，但在实际应 用中仍需考虑图形的复杂性和具体条件，避免生搬硬套。
答案及解析
题目2答案及解析
答案：解得，CD:AB=3:5。
解析：根据垂径定理，我们知道OE垂 直于CD，所以E是CD的中点。又因为 OE:BE=5:1，所以AB:OE=5:3。然后 利用勾股定理计算出CE的长度为 sqrt(AB^2OE^2)=sqrt(5^2*3^2)=sqrt(75)=5 *sqrt(3)。最后得出CD的长度为 2*CE=2*5*sqrt(3)=10*sqrt(3)。所 以弦CD与直径AB的比值为 CD:AB=10*sqrt(3):5=2*sqrt(3):1=6 :5。
垂径定理PPT课件
请观察下列三个银行标志有何共同点?
圆的对称性
圆是轴对称图形吗？
如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少 条对称轴？ 你是用什么方法解决 上述问题的?
●
O
圆的对称性
圆是轴对称图形.
圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它 有无数条对称轴. 可利用折叠的方法即可解决上述问题.
注意：
●
O
对称轴是直线，不 能说每一条直径都是它 的对称轴；
课外拓展
1. 已知：如图， 在以O为圆心的两 个同心圆中，大圆 的弦AB交小圆于C， D两点。 求证：AC＝BD。
O
A E C D B
.
2．如图，已知AB、AC为弦，OM⊥AB于点M， ON⊥AC于点N ，BC=4，求MN的长．
M
A
．
O
N
C
思路：由垂径定理可得M、 1N分别是 AB、AC的中点，所以MN= BC=2． 2
如图,AB是⊙O的一条弦,CD是 ⊙O直径. (1)该图是轴对称图形吗？ (2)能不能通过改变AB、CD的位置关系, 使它成为轴对称图形?
直径CD和弦AB互相垂直
特殊情况 C A M O D
在⊙O中，AB为弦， CD为直径,CD⊥AB
提问：你在图中能找 到哪些相等的量？并 B 证明你猜想的结论。
A.CE=DE
C．OE=BE
B. BC=BD
⌒⌒
A
． O C
E B D
D． ∠COE=∠DOE
3．过⊙O内一点M的最长弦长为10cm，最 短弦长为8cm，那么OM长为（ A ）
A．3
B．6cm
C． 41cm
D．9cm
4．如图，⊙O的直径为10，弦AB长为8， M是弦AB上的动点，则OM的长的取值范 A 围是（ ）
圆的对称性
圆是轴对称图形吗？
如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少 条对称轴？ 你是用什么方法解决 上述问题的?
●
O
圆的对称性
圆是轴对称图形.
圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它 有无数条对称轴. 可利用折叠的方法即可解决上述问题.
注意：
●
O
对称轴是直线，不 能说每一条直径都是它 的对称轴；
课外拓展
1. 已知：如图， 在以O为圆心的两 个同心圆中，大圆 的弦AB交小圆于C， D两点。 求证：AC＝BD。
O
A E C D B
.
2．如图，已知AB、AC为弦，OM⊥AB于点M， ON⊥AC于点N ，BC=4，求MN的长．
M
A
．
O
N
C
思路：由垂径定理可得M、 1N分别是 AB、AC的中点，所以MN= BC=2． 2
如图,AB是⊙O的一条弦,CD是 ⊙O直径. (1)该图是轴对称图形吗？ (2)能不能通过改变AB、CD的位置关系, 使它成为轴对称图形?
直径CD和弦AB互相垂直
特殊情况 C A M O D
在⊙O中，AB为弦， CD为直径,CD⊥AB
提问：你在图中能找 到哪些相等的量？并 B 证明你猜想的结论。
A.CE=DE
C．OE=BE
B. BC=BD
⌒⌒
A
． O C
E B D
D． ∠COE=∠DOE
3．过⊙O内一点M的最长弦长为10cm，最 短弦长为8cm，那么OM长为（ A ）
A．3
B．6cm
C． 41cm
D．9cm
4．如图，⊙O的直径为10，弦AB长为8， M是弦AB上的动点，则OM的长的取值范 A 围是（ ）
垂径定理PPT课件
A
B
E
.
O
C
练习 1
1．半径为4cm的⊙O中，弦AB=4cm,
O
那么圆心O到弦AB的距离是 2 3cm 。 A E B
2．⊙O的直径为10cm，圆心O到弦AB的
O
距离为3cm，则弦AB的长是 8cm 。 A E B
3．半径为2cm的圆中，过半径中点且
O
垂直于这条半径的弦长是 2 3cm 。 A E
结论
⌒CD⊥⌒AB A⌒C=B⌒C
C
AD=BD
D
Ｏ·
A
·Ｏ
(E)
B
E
A
B
D
C
垂径定理的逆定理
AB是⊙O的一条弦,且AM=BM.
过点M作直径CD.
右图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说 你的想法和理由.
C
A
┗●
M
●O
B 由 ① CD是直径 ③ AM=BM
A
D
B
SUCCESS
THANK YOU
2019/7/20
可编辑
讲解
M
如果圆的两条弦互相平 C 行，那么这两条弦所夹 A 的弧相等吗？
已知：⊙O中弦 AB∥CD。
求证：A⌒C＝B⌒D
D B
.O
N
证∴M明N：⊥作C直D径。M则NA⊥MA⌒＝BB。M∵⌒，ACBM∥＝C⌒DDM，（⌒垂 直平分弦的直径平分弦所对的弦）
O
A C G DB
AM⌒ －CM⌒
＝
⌒
BM
－D⌒M
∴A⌒C＝BD⌒ 圆的两条平行弦所夹的弧相等
垂径定理的推论2
《垂径定理》PPT教学课件
D.圆是轴对称图形，每条直径都是它的对称轴
2.⊙O的弦AB垂直于半径OC，垂足为D，则下列结论中错误的是( C )
A.∠AOD＝∠BOD
B.AD＝BD
C.OD＝DC D.
AC BC
3.半径为5的⊙O内有一点P，且OP＝4，则过点P的最
长弦的长是10，最短弦的长是
6 .
4.已知⊙O中，弦AB＝8 cm，圆心到AB的距离为3 cm，
28.4 垂径定理
学习目标
1.理解垂径定理的证明过程，掌握垂径定理及其
推论.（重点）
2.会用垂径定理进行简单的证明和计算.（难点）
新课导入
操作：在纸上画一个圆，并把这个圆剪下来，再沿着圆的一
条直径所在直线对折，重复做几次，你发现了什么？由此你
能得到什么结论？
问题 ：圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
课堂小结
定 理
垂
径
定
理
推论
辅助线
垂直于弦的直径平分弦,
并且平分弦所对的弧
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.
推论2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.
两 类 辅 助 线 ：
连半径，作弦心距
构造Rt△,利用勾股定理计算或建立方程
·O
A
E
D
B
想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明
为什么？
C
C
A
O
C
B
O
A
A
E
D
是
B
不是，因为
没有垂直
O
O
E
是
B
A
E
D
B
不是，因为CD
2.⊙O的弦AB垂直于半径OC，垂足为D，则下列结论中错误的是( C )
A.∠AOD＝∠BOD
B.AD＝BD
C.OD＝DC D.
AC BC
3.半径为5的⊙O内有一点P，且OP＝4，则过点P的最
长弦的长是10，最短弦的长是
6 .
4.已知⊙O中，弦AB＝8 cm，圆心到AB的距离为3 cm，
28.4 垂径定理
学习目标
1.理解垂径定理的证明过程，掌握垂径定理及其
推论.（重点）
2.会用垂径定理进行简单的证明和计算.（难点）
新课导入
操作：在纸上画一个圆，并把这个圆剪下来，再沿着圆的一
条直径所在直线对折，重复做几次，你发现了什么？由此你
能得到什么结论？
问题 ：圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
课堂小结
定 理
垂
径
定
理
推论
辅助线
垂直于弦的直径平分弦,
并且平分弦所对的弧
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.
推论2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.
两 类 辅 助 线 ：
连半径，作弦心距
构造Rt△,利用勾股定理计算或建立方程
·O
A
E
D
B
想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明
为什么？
C
C
A
O
C
B
O
A
A
E
D
是
B
不是，因为
没有垂直
O
O
E
是
B
A
E
D
B
不是，因为CD
垂径定理课件
其对称轴是 什么？ （2）你能发现图中有哪些等量关
系？说一说你的理由.
新课讲授
定理：
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．
用几何语言表述为：
如图，在⊙O中，
AE BE
CD是直径
CD
AB于点E
AD
BD
AC BC
新课讲授
下列哪些图形可以用垂径定理？你能说明理由吗？
A
图1
O E
拓展与延伸
如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，CD⊥AB于点E，
则下列结论：①∠COE＝∠DOE；②CE＝DE；③BC＝BD；④
OE＝BE.其中，一定正确的有( C)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
命题．
当堂小练
1.如图，在半径为5的⊙O中，弦AB＝6，OP⊥AB，垂足为点P， 则OP的长为( C ) A．3 B．2.5 C．4 D．3.5
当堂小练
2.如图是“明清影视城”的一扇圆弧形门，小红到影视城游玩 ，她了解到这扇门的相关数据：这扇圆弧形门所在的圆与水平 地面是相切的，AB＝CD＝0.25 m，BD＝1.5 m，且AB，CD与 水平地面都是垂直的．根据以上数据，请你帮小红计算出这扇 圆弧形门的最高点离地面的距离是( B ) A．2 m B．2.5 m C．2.4 m D．2.1 m
新课讲授
解：如图，∵OD⊥AB，
∴AD＝
1 2
AB＝
1 2
×37.4＝18.7(m)．
在Rt△ODA中，
OD＝(R－7.2) m，OA＝R m，
∴R2＝(R－7.2)2＋18.72，
解得R≈27.9.
∴桥拱所在圆的半径约为27.9 m.
系？说一说你的理由.
新课讲授
定理：
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．
用几何语言表述为：
如图，在⊙O中，
AE BE
CD是直径
CD
AB于点E
AD
BD
AC BC
新课讲授
下列哪些图形可以用垂径定理？你能说明理由吗？
A
图1
O E
拓展与延伸
如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，CD⊥AB于点E，
则下列结论：①∠COE＝∠DOE；②CE＝DE；③BC＝BD；④
OE＝BE.其中，一定正确的有( C)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
命题．
当堂小练
1.如图，在半径为5的⊙O中，弦AB＝6，OP⊥AB，垂足为点P， 则OP的长为( C ) A．3 B．2.5 C．4 D．3.5
当堂小练
2.如图是“明清影视城”的一扇圆弧形门，小红到影视城游玩 ，她了解到这扇门的相关数据：这扇圆弧形门所在的圆与水平 地面是相切的，AB＝CD＝0.25 m，BD＝1.5 m，且AB，CD与 水平地面都是垂直的．根据以上数据，请你帮小红计算出这扇 圆弧形门的最高点离地面的距离是( B ) A．2 m B．2.5 m C．2.4 m D．2.1 m
新课讲授
解：如图，∵OD⊥AB，
∴AD＝
1 2
AB＝
1 2
×37.4＝18.7(m)．
在Rt△ODA中，
OD＝(R－7.2) m，OA＝R m，
∴R2＝(R－7.2)2＋18.72，
解得R≈27.9.
∴桥拱所在圆的半径约为27.9 m.
垂径定理PPT教学课件
曹雪芹
（1715?──1764?)名霑， 号雪芹，是我国伟大的现实 主义作家。
《红楼梦》是他“披阅
十载，增删五次”，“字字
看来皆是血，十年辛苦不寻
常”的产物。可惜，在他生
前，全书没有完稿。今传 《红楼梦》120回本，其中 前80回的绝大部分出于他的 手笔，后40回则为高鹗所续。 80回以后他已写出一部分初 稿，但由于种种原因而没有 流传下来。
在文中画出黛玉精要概括律诗 要点的句子。
用自己的话进行概括， 完成填空： 律诗 是形式， 词句 是表象，
只有 立意 才是精髓
延伸阅读、探究思考
黛玉指导香菱学诗，这对我们学习 语文有何借鉴作用
首先，要多读。诵读就是学好诗歌 的根基，这是提高鉴赏能力的根本 途径。
其次，要学诗就要学一流的。我们 在阅读时，也要挑选文质兼美的作 品，这对于陶冶情操，培养纯正的 文学趣味是非常有益的。
需积累的词语
起承转合 以词害意
诲人不倦 挖心搜胆
穿凿
揣摩
地灵人杰 精血诚聚
你认为香菱是怎样一个人？
香 菱咏月诗（三）的鉴赏
精华欲掩料应难， 影自娟娟魄自寒。 一片砧敲千里白， 半轮鸡唱五更残。 绿蓑江上秋闻笛， 红袖楼头夜倚栏。 博得嫦娥应自问， 何缘不使永团圆？
思考、讨论：
香菱学诗成 功的原因是什么？
AB是弦，垂足为E.
求证：AE=BE
C
AC=BC,AD=BD
AE B D
C O
A
BA E B
D
连结OA,OB, OA=OB
C和D⊙所O在的直对线称是轴等腰三角形C
1 两个半圆重合
2 A,B两点重合
O
3 AE,BE重合 4 AC,BC重合
垂径定理课件(26张PPT)冀教版数学九年级上册
知识点 2 垂径定理的推论
如图所示，在☉O中，直径CD与弦AB(非直径)相交于点E. C
【思考】
(1)若AE=BE，能判断CD与AB垂直吗？
O
AD 与 BD (或 AC 与 BC )相等吗？说明你的理由. A
EB
D
(2)若 AD = BD (或 AC =BC )，能判断CD与AB垂直吗？
AE与BE相等吗？说明你的理由.
C
O EB D
结论 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平 分这条弦所对的两条弧.
能不能用所学过的知识证明你的结论？
C
O
A
EB
D
已知：如图，在⊙O中，CD为直径，AB为弦，且
CD⊥AB，垂足为E.
求证：AE=BE，AD BD，AC BC.
证明：如图，连接OA，OB.
C
在△OAB中，∵OA=OB，OE⊥AB， ∴AE=BE，∠AOE=∠BOE. ∴ AD BD . ∵∠AOC=180°－∠AOE，∠BOC=180°－∠BOE，
解：(1)CD⊥AB，AD BD (或 AC BC ). C
理由：连接OA，OB，如图所示，则△OAB是等 腰三角形，
∵AE得 AD BD， AC BC .
A
EB
(2)CD⊥AB，AE=BE. 理由： ∵ AD BD，∴∠AOD=∠BOD， 又∵OA=OB，OE=OE， ∴△AEO≌△BEO，
A
E C
O
D
B
拓宽视野： 对于圆中的一条直线，如果具备下列五个条件中的任意两个， 那么一定具备其他三个： （1）过圆心；（2）垂直于弦；（3）平分弦（非直径）；（4） 平分弦所对的劣弧；（5）平分弦所对的优弧. 简记为“知二推三”.
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2
B
在a，d，r，
h中，已知其中任
意两个量，可以
求出其它两个量
．
课堂小结
1． 圆是轴对称图形
任何一条直径所在的直线都是它的对称轴．
O
2． 垂径定理
垂直于弦的直径平分弦，并且平分 弦所对的两条弧．
C
O
E
A
B
D
3．垂径定理的推论
条件 结论
命题
①③ ②④⑤ 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧．
公开课--5.3垂径定理及其推 论课件.讲义
垂径定理 C
O
E
A
B
列 少组个CCDD合命这是 ⊥，题五直 A会？条B径出进，现行A多排B是弦， D
AE＝BE 将A题⌒C设＝与B⌒C结论调换 过A来⌒D，＝还B⌒D成立吗？
①直径 ②垂直于弦
题设
③平分弦 ④平分弦所对的优弧 ⑤平分弦所对的劣弧
结论
垂径定理的推论1
① 直径 ⑤ 平分弦所对的劣弧
C
③ 平分弦 ④ 平分弦所对优弧 ② 垂直于弦
O E A
D
已知：CD是直径，AB是弦，并且A⌒D＝B⌒D 求证：CD平分AB，CD ⊥AB，A⌒C＝BC⌒
B
（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平 分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
垂径定理的推论1
② 垂直于弦 ③ 平分弦
①④ ②③⑤ 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对
①⑤ ②③④ 的另一条弧．
②③ ①④⑤ 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的两条弧．
②④ ①③⑤ 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，并且平 ②⑤ ①③④ 分弦和所对的另一条弧．
③④ ①②⑤ 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，垂直于弦
① 直径 ③ 平分弦
C
② 垂直于弦 ④ 平分弦所对优弧 ⑤ 平分弦所对的劣弧
已知：CD是直径，AB是弦，CD平分AB
O E
求证：CD⊥AB，A⌒D＝B⌒D，A⌒C＝B⌒C
A
B
D
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， 并且平分弦所对的两条弧．
注意 为什么强调这里的弦不是直径？
M A
一个圆的任意两 条直径总是互相平分， C 但它们不一定互相垂 直．因此这里的弦如 果是直径，结论不一 定成立．
C
① 直径过圆心 ④ 平分弦所对优弧 ⑤ 平分弦所对的劣弧
O E A
D
已知：AB是弦，CD平分AB，CD ⊥AB， 求证：CD是直径，A⌒D＝B⌒D，A⌒C＝B⌒C
B
（3）弦的垂直平分线 经过圆心，并且平分 弦所对的两条弧．
推论1的其他命题......
② 垂直于弦 ④ 平分弦所对优弧
① 直径 ③ 平分弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
O
D
B N
垂径定理的推论1
① 直径 ④ 平分弦所对优弧
C
③ 平分弦 ② 垂直于弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
O E A
D
已知：CD是直径，AB是弦，并且A⌒C＝B⌒C 求证：CD平分AB，CD ⊥AB，A⌒D＝B⌒D
B
（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平 分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
垂径定理的推论1
③⑤ ①②④ ，并且平分弦所对的另一条弧．
④⑤ ①②③ 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心，并且垂直平分弦．
4． 解决有关弦的问题
经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦 的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理 创造条件．
随堂练习
1． 判断：
（1）垂直于弦的直线平分这条弦，并且平分弦所对
的两弧．
（）
（5）平分弦并且平分弦所对的一条弧的直径过 圆心，垂直于弦，并且平分弦所对的另一条弧 ．
④ 平分弦所对优弧 ⑤ 平分弦所对的劣弧
① 直径 ② 垂直于弦 ③ 平分弦
（6）平分弦所对的两条弧的直径过圆心， 并且垂直平分弦．
垂径定理的推论2
C A
圆的两条平行弦所夹的弧相等．
M
证明：作直径MN垂直于弦AB
（2）平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所
对的另一弧．
（√ ）
（3）经过弦的中点的直径一定垂直于弦． （ ）
（4）圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行．
（）
（5）弦的垂直平O中，弦AB的长为8cm，圆心O到 AB的距离为3cm，求⊙O的半径．
解： O EA B
9． 在以O为圆心的两个
同心圆中，大圆的弦AB交小圆
O．
于C，D两点．
A
E C
DB
求证：AC＝BD．
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，
则AE＝BE，CE＝DE．
AE－CE＝BE－DE．
所以，AC＝BD
遗传咨询
—— 蚕 豆 病
案例3
❖ 患儿(先证者)，男，3岁，广东人，因进食大量新鲜 的蚕豆12h后，出现面色苍白，畏寒、发热、头晕、 头痛、厌食、恶心、呕吐腹痛，巩膜轻度黄染，尿 色如浓红茶或甚至如酱油。入院后，全身衰竭，脉 搏微弱而速，血压下降，神智迟钝或烦躁不安，少 尿或闭尿等急性循环衰竭和急性肾功能衰竭。表现 突发性急性溶血性贫血。家族史:家族中曾出现类 似病人。
D ∵ AB∥CD
B ∴ 直径MN也垂直于弦CD
∴A⌒M＝B⌒M，
O
C⌒M＝D⌒M
∴A⌒M－C⌒M ＝B⌒M－D⌒M
即 A⌒C＝B⌒D N
两条弦在圆心的同侧
垂径定理的推论2 有这两种情况：
O
A
B 两条弦在圆心的两侧
C
D
A
B
O
C
D
垂径定理三角形
C
有哪些等量关系？
O
rd
E
A
h
D
a
d+h=r r2 d2 (a)2
4、如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD
于E，CE=1，AB=10，求直径CD的长。
解：连接OA，
A
∵ CD是直径，OE⊥AB
C E O·
D
∴ AE=1/2 AB=5 B
设OA=x，则OE=x-1，由勾股定理得
x2=52+(x-1)2 解得：x=13
∴ OA=13 ∴ CD=2OA=26 即直径CD的长为26.
② 垂直于弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
① 直径 ③ 平分弦 ④ 平分弦所对优弧
（4）垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的 直径过圆心，并且平分弦和所对的另一条弧．
③ 平分弦 ④ 平分弦所对优弧
① 直径 ② 垂直于弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
③ 平分弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
① 直径 ② 垂直于弦 ④ 平分弦所对优弧
A
AE1AB184 22
在 R tA O E 中
E
B
O·
A O 2O E2A E2
A O O E 2A E 2=3 2+ 4 2= 5 cm 答：⊙O的半径为5cm．
4． 已知在⊙O中，弦AB A 的长为16cm，圆心O到AB的距 离为6cm，求⊙O的半径．
E
B
．
O
解：连结OA．过O作OE⊥AB，垂足为E， 则OE＝3cm，AE＝BE． ∵AB＝16cm ∴AE＝8cm 在Rt△AOE中，根据勾股定理有OA＝10cm ∴⊙O的半径为10cm．
B
在a，d，r，
h中，已知其中任
意两个量，可以
求出其它两个量
．
课堂小结
1． 圆是轴对称图形
任何一条直径所在的直线都是它的对称轴．
O
2． 垂径定理
垂直于弦的直径平分弦，并且平分 弦所对的两条弧．
C
O
E
A
B
D
3．垂径定理的推论
条件 结论
命题
①③ ②④⑤ 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧．
公开课--5.3垂径定理及其推 论课件.讲义
垂径定理 C
O
E
A
B
列 少组个CCDD合命这是 ⊥，题五直 A会？条B径出进，现行A多排B是弦， D
AE＝BE 将A题⌒C设＝与B⌒C结论调换 过A来⌒D，＝还B⌒D成立吗？
①直径 ②垂直于弦
题设
③平分弦 ④平分弦所对的优弧 ⑤平分弦所对的劣弧
结论
垂径定理的推论1
① 直径 ⑤ 平分弦所对的劣弧
C
③ 平分弦 ④ 平分弦所对优弧 ② 垂直于弦
O E A
D
已知：CD是直径，AB是弦，并且A⌒D＝B⌒D 求证：CD平分AB，CD ⊥AB，A⌒C＝BC⌒
B
（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平 分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
垂径定理的推论1
② 垂直于弦 ③ 平分弦
①④ ②③⑤ 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对
①⑤ ②③④ 的另一条弧．
②③ ①④⑤ 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的两条弧．
②④ ①③⑤ 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，并且平 ②⑤ ①③④ 分弦和所对的另一条弧．
③④ ①②⑤ 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，垂直于弦
① 直径 ③ 平分弦
C
② 垂直于弦 ④ 平分弦所对优弧 ⑤ 平分弦所对的劣弧
已知：CD是直径，AB是弦，CD平分AB
O E
求证：CD⊥AB，A⌒D＝B⌒D，A⌒C＝B⌒C
A
B
D
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， 并且平分弦所对的两条弧．
注意 为什么强调这里的弦不是直径？
M A
一个圆的任意两 条直径总是互相平分， C 但它们不一定互相垂 直．因此这里的弦如 果是直径，结论不一 定成立．
C
① 直径过圆心 ④ 平分弦所对优弧 ⑤ 平分弦所对的劣弧
O E A
D
已知：AB是弦，CD平分AB，CD ⊥AB， 求证：CD是直径，A⌒D＝B⌒D，A⌒C＝B⌒C
B
（3）弦的垂直平分线 经过圆心，并且平分 弦所对的两条弧．
推论1的其他命题......
② 垂直于弦 ④ 平分弦所对优弧
① 直径 ③ 平分弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
O
D
B N
垂径定理的推论1
① 直径 ④ 平分弦所对优弧
C
③ 平分弦 ② 垂直于弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
O E A
D
已知：CD是直径，AB是弦，并且A⌒C＝B⌒C 求证：CD平分AB，CD ⊥AB，A⌒D＝B⌒D
B
（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平 分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
垂径定理的推论1
③⑤ ①②④ ，并且平分弦所对的另一条弧．
④⑤ ①②③ 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心，并且垂直平分弦．
4． 解决有关弦的问题
经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦 的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理 创造条件．
随堂练习
1． 判断：
（1）垂直于弦的直线平分这条弦，并且平分弦所对
的两弧．
（）
（5）平分弦并且平分弦所对的一条弧的直径过 圆心，垂直于弦，并且平分弦所对的另一条弧 ．
④ 平分弦所对优弧 ⑤ 平分弦所对的劣弧
① 直径 ② 垂直于弦 ③ 平分弦
（6）平分弦所对的两条弧的直径过圆心， 并且垂直平分弦．
垂径定理的推论2
C A
圆的两条平行弦所夹的弧相等．
M
证明：作直径MN垂直于弦AB
（2）平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所
对的另一弧．
（√ ）
（3）经过弦的中点的直径一定垂直于弦． （ ）
（4）圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行．
（）
（5）弦的垂直平O中，弦AB的长为8cm，圆心O到 AB的距离为3cm，求⊙O的半径．
解： O EA B
9． 在以O为圆心的两个
同心圆中，大圆的弦AB交小圆
O．
于C，D两点．
A
E C
DB
求证：AC＝BD．
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，
则AE＝BE，CE＝DE．
AE－CE＝BE－DE．
所以，AC＝BD
遗传咨询
—— 蚕 豆 病
案例3
❖ 患儿(先证者)，男，3岁，广东人，因进食大量新鲜 的蚕豆12h后，出现面色苍白，畏寒、发热、头晕、 头痛、厌食、恶心、呕吐腹痛，巩膜轻度黄染，尿 色如浓红茶或甚至如酱油。入院后，全身衰竭，脉 搏微弱而速，血压下降，神智迟钝或烦躁不安，少 尿或闭尿等急性循环衰竭和急性肾功能衰竭。表现 突发性急性溶血性贫血。家族史:家族中曾出现类 似病人。
D ∵ AB∥CD
B ∴ 直径MN也垂直于弦CD
∴A⌒M＝B⌒M，
O
C⌒M＝D⌒M
∴A⌒M－C⌒M ＝B⌒M－D⌒M
即 A⌒C＝B⌒D N
两条弦在圆心的同侧
垂径定理的推论2 有这两种情况：
O
A
B 两条弦在圆心的两侧
C
D
A
B
O
C
D
垂径定理三角形
C
有哪些等量关系？
O
rd
E
A
h
D
a
d+h=r r2 d2 (a)2
4、如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD
于E，CE=1，AB=10，求直径CD的长。
解：连接OA，
A
∵ CD是直径，OE⊥AB
C E O·
D
∴ AE=1/2 AB=5 B
设OA=x，则OE=x-1，由勾股定理得
x2=52+(x-1)2 解得：x=13
∴ OA=13 ∴ CD=2OA=26 即直径CD的长为26.
② 垂直于弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
① 直径 ③ 平分弦 ④ 平分弦所对优弧
（4）垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的 直径过圆心，并且平分弦和所对的另一条弧．
③ 平分弦 ④ 平分弦所对优弧
① 直径 ② 垂直于弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
③ 平分弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
① 直径 ② 垂直于弦 ④ 平分弦所对优弧
A
AE1AB184 22
在 R tA O E 中
E
B
O·
A O 2O E2A E2
A O O E 2A E 2=3 2+ 4 2= 5 cm 答：⊙O的半径为5cm．
4． 已知在⊙O中，弦AB A 的长为16cm，圆心O到AB的距 离为6cm，求⊙O的半径．
E
B
．
O
解：连结OA．过O作OE⊥AB，垂足为E， 则OE＝3cm，AE＝BE． ∵AB＝16cm ∴AE＝8cm 在Rt△AOE中，根据勾股定理有OA＝10cm ∴⊙O的半径为10cm．