2017年四川省省级联考高考模拟数学文
四川省成都市2017届高考数学模拟试卷(理科)Word版含解析
四川省成都市2017届高考模拟试卷（理科数学）一.选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知i 为虚数单位，a ∈R ，若（a 2+2a ﹣3）+（a+3）i 为纯虚数，则a 的值为（ ）A ．1B ．﹣3C ．﹣3或1D ．3或12．已知集合M={x||x|≤2，x ∈R}，N={x||x ﹣1|≤a ，a ∈R}，若N ⊆M ，则a 的取值范围为（ ）A ．0≤a ≤1B ．a ≤1C ．a ＜1D ．0＜a ＜13．设命题p ：存在四边相等的四边形不是正方形；命题q ：若cosx=cosy ，则x=y ，则下列判断正确的是（ ）A ．p ∧q 为真B ．p ∨q 为假C ．￢p 为真D ．￢q 为真4．已知抛物线x 2=﹣2py （p ＞0）经过点（2，﹣2），则抛物线的焦点坐标为（ ）A ．B ．C ．D ．5．小明、小王、小张、小李4名同学排成一纵队表演节目，其中小明不站排头，小张不站排尾，则不同的排法共有（ ）种．A ．14B ．18C ．12D ．166．执行如图所示的程序框图，输出P 的值为（ ）A ．﹣1B ．1C ．0D ．20167．设x ，y 满足约束条件，则的最大值为（ ）A ．1024B ．256C ．8D ．48．已知O 为△ABC 内一点，且有，记△ABC ，△BCO ，△ACO 的面积分别为S 1，S 2，S 3，则S 1：S 2：S 3等于（ ）A ．3：2：1B ．3：1：2C ．6：1：2D ．6：2：19．若椭圆和圆为椭圆的半焦距），有四个不同的交点，则椭圆的离心率e 的取值范围是（ ）A．B． C．D．10．已知函数，若存在x1，x2，当0≤x1＜x2＜2时，f（x1）=f（x2），则x1f（x2）﹣f（x2）的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11．若样本数据x1，x2，…，x10的平均数为8，则数据2x1﹣1，2x2﹣1，…，2x10﹣1的平均数为_______．12．在二项式的展开式中，所有二项式系数之和为128，则展开式中x5的系数为_______．13．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，P为棱AA1的中点，在面BB1D1D上任取一点E，使得EP+EA最小，则最小值为_______．14．在平面直角坐标系中，以（0，﹣1）为圆心且与直线ax+y++1=0（a∈R）相切的所有圆中，最大圆面积与最小圆面积的差为_______．15．已知a＞0，f（x）=a2lnx﹣x2+ax，若不等式e≤f（x）≤3e+2对任意x∈[1，e]恒成立，则实数a的取值范围为_______．三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且=（I）求角A；（Ⅱ）若=（0，﹣1），=（cosB，2cos2），求|+|的取值范围．17．为了解班级学生对任课教师课堂教学的满意程度情况．现从某班全体学生中，随机抽取12名，测试的满意度分数（百分制）如下：65，52，78，90，86，86，87，88，98，72，86，87根据学校体制标准，成绩不低于76的为优良．（Ⅰ）从这12名学生中任选3人进行测试，求至少有1人成绩是“优良”的概率；（Ⅱ）从抽取的12人中随机选取3人，记ξ表示测试成绩“优良”的学生人数，求ξ的分布列及期望．18．如图所示，在三棱锥P ﹣ABQ 中，PB ⊥平面ABQ ，BA=BP=BQ ，D ，C ，E ，F 分别是AQ ，BQ ，AP ，BP 的中点，AQ=2BD ，PD 与EQ 交于点G ，PC 与FQ 交于点H ，连接GH ．（Ⅰ）求证：AB ∥GH ；（Ⅱ）求异面直线DP 与BQ 所成的角；（Ⅲ）求直线AQ 与平面PDC 所成角的正弦值．19．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n =2a n ﹣4，数列{b n }满足b n+1﹣b n =1，其n 项和为T n ，且T 2+T 6=32． （Ⅰ）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（Ⅱ）若不等式nlog 2（S n +4）≥λb n +3n ﹣7对任意的n ∈N *恒成立，求实数λ的取值范围．20．已知椭圆C ： +=1（a ＞b ＞0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且|A 1A 2|=4，上顶点为B ，若直线BA 1与圆M ：（x+1）2+y 2=相切．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）直线l ：x=2与x 轴交于D ，P 是椭圆C 上异于A 1、A 2的动点，直线A 1P 、A 2P 分别交直线l 于E 、F 两点，求证：|DE|•|DF|为定值．21．设函数f （x ）=x 2﹣x+t ，t ≥0，g （x ）=lnx ．（Ⅰ）若对任意的正实数x ，恒有g （x ）≤x 2α成立，求实数α的取值范围；（Ⅱ）对于确定的t ，是否存在直线l 与函数f （x ），g （x ）的图象都相切？若存在，讨论直线l 的条数，若不存在，请说明理由．四川省成都市2017届高考模拟试卷（理科数学）参考答案与试题解析一.选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知i为虚数单位，a∈R，若（a2+2a﹣3）+（a+3）i为纯虚数，则a的值为（）A．1 B．﹣3 C．﹣3或1 D．3或1【考点】复数的基本概念．【分析】直接由实部等于0且虚部不为0列式求得a值．【解答】解：∵（a2+2a﹣3）+（a+3）i为纯虚数，∴，解得：a=1．故选：A．2．已知集合M={x||x|≤2，x∈R}，N={x||x﹣1|≤a，a∈R}，若N⊆M，则a的取值范围为（）A．0≤a≤1 B．a≤1 C．a＜1 D．0＜a＜1【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】分别化简集合M，N，对a分类讨论，利用集合之间的关系即可得出．【解答】解：集合M={x||x|≤2，x∈R}=[﹣2，2]，N={x||x﹣1|≤a，a∈R}，∴当a＜0时，N=∅，满足N⊆M．当a≥0时，集合N=[1﹣a，1+a]．∵N⊆M，∴，解得0≤a≤1．综上可得：a的取值范围为a≤1．故选：B．3．设命题p：存在四边相等的四边形不是正方形；命题q：若cosx=cosy，则x=y，则下列判断正确的是（）A．p∧q为真B．p∨q为假C．￢p为真D．￢q为真【考点】命题的否定．【分析】根据复合命题的真假关系进行判断即可．【解答】解：菱形的四边形的边长相等，但不一定是正方形，故命题p是真命题，当x=﹣y时，满足cosx=cosy，但x=y不成立，即命题q是假命题，故￢q为真，其余都为假命题，故选：D4．已知抛物线x2=﹣2py（p＞0）经过点（2，﹣2），则抛物线的焦点坐标为（）A．B．C．D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】抛物线x2=﹣2py（p＞0）经过点（2，﹣2），代值计算即可求出p，能求出焦点坐标．【解答】解：抛物线x2=﹣2py（p＞0）经过点（2，﹣2），∴4=4p，∴p=1，∴抛物线的焦点坐标为（0，﹣），故选：C．5．小明、小王、小张、小李4名同学排成一纵队表演节目，其中小明不站排头，小张不站排尾，则不同的排法共有（）种．A．14 B．18 C．12 D．16【考点】计数原理的应用．【分析】小明不站排头，小张不站排尾，可按小明在排尾与不在排尾分为两类，根据分类计数原理可得．【解答】解：小明不站排头，小张不站排尾排法计数可分为两类，第一类小明在排尾，其余3人全排，故有A33=6种，第二类小明不在排尾，先排小明，有A21种方法，再排小张有A21种方法，剩下的2人有A22种排法，故有2×2×2=8种根据分类计数原理可得，共有6+8=14种，故选：A．6．执行如图所示的程序框图，输出P的值为（）A．﹣1 B．1 C．0 D．2016【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图的运行过程，写出每次循环得到的P，i的值，当i=2017＞2016时，满足条件，终止循环，输出P的值．【解答】解：执行程序框图，有p=0，i=1，P=0+cosπ=﹣1，i=2，不满足条件i＞2016？，有P=﹣1+cos2π=0，i=3，不满足条件i＞2016，有P=0+cos3π=﹣1，，…，i=2016，不满足条件i＞2016，有P=﹣1+cos2016π=0，i=2017，满足条件i＞2016，输出P的值为0．故选：C ．7．设x ，y 满足约束条件，则的最大值为（ ）A ．1024B ．256C ．8D ．4【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．【解答】解：由z==22x ﹣y ，令u=2x ﹣y ，作出约束条件，对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线y=2x ﹣u由图象可知当直线y=2x ﹣u 过点A 时，直线y=2x ﹣u 的截距最小，此时u 最大，由，解得，即A （5，2）．代入目标函数u=2x ﹣y ，得u=2×5﹣2=8，∴目标函数z==22x ﹣y ，的最大值是28=256．故选：B ．8．已知O 为△ABC 内一点，且有，记△ABC ，△BCO ，△ACO 的面积分别为S 1，S 2，S 3，则S 1：S 2：S 3等于（ ）A ．3：2：1B ．3：1：2C ．6：1：2D ．6：2：1【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】如图所示，延长OB到点E，使得=2，分别以，为邻边作平行四边形OAFE．则+2=+=，由于+2+3=，可得﹣=3．又=2，可得=2．于是=，得到S△ABC =2S△AOB．同理可得：S△ABC=3S△AOC，S△ABC=6S△BOC．即可得出．【解答】解：如图所示，延长OB到点E，使得=2，分别以，为邻边作平行四边形OAFE．则+2=+=，∵+2+3=，∴﹣=3．又=2，可得=2．于是=，∴S△ABC =2S△AOB．同理可得：S△ABC =3S△AOC，S△ABC=6S△BOC．∴ABC，△BOC，△ACO的面积比=6：1：2．故选：C．9．若椭圆和圆为椭圆的半焦距），有四个不同的交点，则椭圆的离心率e的取值范围是（）A．B． C．D．【考点】圆与圆锥曲线的综合．【分析】由题设知，由，得2c＞b，再平方，4c2＞b2，；由，得b+2c＜2a，．综上所述，．【解答】解：∵椭圆和圆为椭圆的半焦距）的中心都在原点，且它们有四个交点，∴圆的半径，由，得2c＞b，再平方，4c2＞b2，在椭圆中，a 2=b 2+c 2＜5c 2，∴；由，得b+2c ＜2a ，再平方，b 2+4c 2+4bc ＜4a 2，∴3c 2+4bc ＜3a 2，∴4bc ＜3b 2，∴4c ＜3b ，∴16c 2＜9b 2，∴16c 2＜9a 2﹣9c 2，∴9a 2＞25c 2，∴，∴．综上所述，． 故选A ．10．已知函数，若存在x 1，x 2，当0≤x 1＜x 2＜2时，f （x 1）=f （x 2），则x 1f （x 2）﹣f （x 2）的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】分段函数的应用．【分析】先作出函数图象然后根据图象，根据f （x 1）=f （x 2），确定x 1的取值范围然后再根据x 1f （x 2）﹣f （x 2），转化为求在x 1的取值范围即可．【解答】解：作出函数的图象：∵存在x 1，x 2，当0≤x 1＜x 2＜2时，f （x 1）=f （x 2）∴0≤x 1＜，∵x+在[0，）上的最小值为；2x ﹣1在[，2）的最小值为，∴x 1+≥，x 1≥，∴≤x 1＜．∵f （x 1）=x 1+，f （x 1）=f （x 2）∴x 1f （x 2）﹣f （x 2）=x 1f （x 1）﹣f （x 1）2=﹣（x 1+）=x 12﹣x 1﹣，设y=x 12﹣x 1﹣=（x 1﹣）2﹣，（≤x 1＜），则对应抛物线的对称轴为x=，∴当x=时，y=﹣，当x=时，y=，即x 1f （x 2）﹣f （x 2）的取值范围为[﹣，）．故选：B ．二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11．若样本数据x 1，x 2，…，x 10的平均数为8，则数据2x 1﹣1，2x 2﹣1，…，2x 10﹣1的平均数为 15 ．【考点】众数、中位数、平均数．【分析】根据平均数与方差的公式即可求出数据2x 1﹣1，2x 2﹣1，…，2x 10﹣1的平均数．【解答】解：∵样本数据x 1，x 2，…，x 10的平均数是10，∴=（x 1+x 2+…+x 10）=8；∴数据2x 1﹣1，2x 2﹣1，…，2x 10﹣1的平均数是：=[（2x 1﹣1）+（2x 2﹣1）+…+（2x 10﹣1）]=2×（x 1+x 2+…+x 10）﹣1=2×8﹣1=15．故答案为：15．12．在二项式的展开式中，所有二项式系数之和为128，则展开式中x 5的系数为 35 ．【考点】二项式定理的应用．【分析】由条件利用二项式系数的性质求得n=7，再利用二项展开式的通项公式求得x5的系数．【解答】解：由题意可得2n=128，n=7，∴=，它的通项公式为Tr+1=•x21﹣4r，令21﹣4r=5，求得r=4，故展开式中x5的系数为=35，故答案为：35．13．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，P为棱AA1的中点，在面BB1D1D上任取一点E，使得EP+EA最小，则最小值为 a ．【考点】棱柱的结构特征．【分析】由图形可知AC⊥平面BB1D1D，且A到平面BB1D1D的距离与C到平面BB1D1D的距离相等，故EA=EC，所以EC就是EP+EP的最小值；【解答】解：连接AC交BD于N，连接EN，EC，则AC⊥BD，∵BB1⊥平面ABCD，∴BB1⊥AC，∴AC⊥平面BB1D1 D，∴AC⊥EN，∴△AEN≌△CEN，∴EA=EC，连接EC，∴线段EC的长就是EP+EA的最小值．在Rt△EAC中，AC=a，EA=a，∴EC==a．故答案为： a．14．在平面直角坐标系中，以（0，﹣1）为圆心且与直线ax+y++1=0（a∈R）相切的所有圆中，最大圆面积与最小圆面积的差为2π．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】圆半径r=，a=﹣1时，r min ==1，a=1时，r max ==，由此能求出最大圆面积与最小圆面积的差．【解答】解：∵圆以（0，﹣1）为圆心且与直线ax+y++1=0（a ∈R ）相切，∴圆半径r===， ∴a=﹣1时，r min ==1，最小圆面积S min =π×12=π，a=1时，r max ==，最大圆面积S max ==3π，∴最大圆面积与最小圆面积的差为：3π﹣π=2π．故答案为：2π．15．已知a ＞0，f （x ）=a 2lnx ﹣x 2+ax ，若不等式e ≤f （x ）≤3e+2对任意x ∈[1，e]恒成立，则实数a 的取值范围为 [e+1，] ．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】利用导数可求得f （x ）的单调区间，由f （1）=﹣1+a ≥e 可得a ≥e+1，从而可判断f （x ）在[1，e]上的单调性，得到f （x ）的最大值，令其小于等于3e+2可得答案．【解答】解：f′（x ）=﹣2x+a=，∵x ＞0，又a ＞0，∴x ∈（0，a ）时f′（x ）＞0，f （x ）递增；x ∈（a ，+∞）时，f′（x ）＜0，f （x ）递减．又f （1）=﹣1+a ≥e ，∴a ≥e+1，∴f （x ）在[1，e]上是增函数，∴最大值为f （e ）=a 2﹣e 2+ae ≤3e+2，解得：a ≤，又a ≥e+1，而e+1＜，∴a 的取值集合是[e+1，]，故答案为：[e+1，]．三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且=（I）求角A；（Ⅱ）若=（0，﹣1），=（cosB，2cos2），求|+|的取值范围．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】（I）将切化弦，利于和角公式和正弦定理化简得出cosA；（II）求出+的坐标，计算|+|2，根据B的范围解出|+|的范围．【解答】解：（I）∵=，∴，整理得cosA=．∴A=．（II）∵2cos2=1+cosC=1﹣cos（B+）=1﹣cosB+sinB，∴=（cosB，1﹣cosB+sinB）．∴=（cosB，﹣cosB+sinB），∴（）2=cos2B+（﹣cosB+sinB）2=+﹣sin2B=1+cos（2B+）．∵0＜B＜，∴＜2B+＜．∴﹣1≤cos（2B+）＜，∴≤（）2＜．∴≤|+|＜．17．为了解班级学生对任课教师课堂教学的满意程度情况．现从某班全体学生中，随机抽取12名，测试的满意度分数（百分制）如下：65，52，78，90，86，86，87，88，98，72，86，87根据学校体制标准，成绩不低于76的为优良．（Ⅰ）从这12名学生中任选3人进行测试，求至少有1人成绩是“优良”的概率；（Ⅱ）从抽取的12人中随机选取3人，记ξ表示测试成绩“优良”的学生人数，求ξ的分布列及期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）12名学生中成绩是“优良”的学生人数为9人，至少有1人成绩是“优良”的对立事件是抽到的两人的成绩都不是“优良”，由此能求出至少有1人成绩是“优良”的概率．（Ⅱ）由已知得ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．【解答】解：（Ⅰ）∵随机抽取12名，测试的满意度分数（百分制）如下：65，52，78，90，86，86，87，88，98，72，86，87，根据学校体制标准，成绩不低于76的为优良，∴12名学生中成绩是“优良”的学生人数为9人，从这12名学生中任选3人进行测试，基本事件总数n==220，至少有1人成绩是“优良”的对立事件是抽到的两人的成绩都不是“优良”，∴至少有1人成绩是“优良”的概率：p=1﹣=．（Ⅱ）由已知得ξ的可能取值为0，1，2，3，P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，Eξ==．18．如图所示，在三棱锥P﹣ABQ中，PB⊥平面ABQ，BA=BP=BQ，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，AQ=2BD，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH．（Ⅰ）求证：AB∥GH；（Ⅱ）求异面直线DP与BQ所成的角；（Ⅲ）求直线AQ与平面PDC所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；异面直线及其所成的角．【分析】（I）根据中位线及平行公理可得CD∥EF，于是CD∥平面EFQ，利用线面平行的性质得出CD∥GH，从而GH∥AB；（II）由AQ=2BD可得AB⊥BQ，以B为原点建立空间直角坐标系，求出，的坐标，计算，的夹角得出异面直线DP与BQ所成的角；（III）求出和平面PDC的法向量，则直线AQ与平面PDC所成角的正弦值为|cos＜＞|．【解答】证明：（I）∵CD是△ABQ的中位线，EF是△PAB的中位线，∴CD∥AB，EF∥AB，∴CD∥EF，又EF⊂平面EFQ，CD⊄平面EFQ，∴CD∥平面EFQ，又CD⊂平面PCD，平面PCD∩平面EFQ=GH，∴GH∥CD，又CD∥AB，∴GH∥AB．（II）∵D是AQ的中点，AQ=2BD，∴AB⊥BQ．∵PB⊥平面ABQ，∴BA，BP，BQ两两垂直．以B为原点以BA，BQ，BP为坐标轴建立空间直角坐标系如图：设BA=BP=BQ=1，则B（0，0，0），P（0，0，1），D（，，0），Q（0，1，0）．∴=（﹣，﹣，1），=（0，1，0）．∴=﹣，||=，||=1，∴cos＜＞=﹣．∴异面直线DP与BQ所成的角为arccos．（III）设BA=BP=BQ=1，则A（1，0，0），Q（0，1，0），P（0，0，1），D（，，0），C（0，，0）．=（﹣1，1，0），=（，0，0），=（0，﹣，1）．设平面CDP的一个法向量为=（x，y，z），则， =0，∴，令z=1，得=（0，2，1）．∴=2，||=，||=，∴cos＜＞==，∴直线AQ与平面PDC所成角的正弦值为．19．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n =2a n ﹣4，数列{b n }满足b n+1﹣b n =1，其n 项和为T n ，且T 2+T 6=32． （Ⅰ）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（Ⅱ）若不等式nlog 2（S n +4）≥λb n +3n ﹣7对任意的n ∈N *恒成立，求实数λ的取值范围．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I ）利用等差数列与等比数列的通项公式及其前n 项和公式、递推关系即可得出．（Ⅱ）S n =2×4n ﹣4．不等式nlog 2（S n +4）≥λb n +3n ﹣7，化为：λ≤，利用单调性求出的最小值即可得出．【解答】解：（I ）∵S n =2a n ﹣4，∴n=1时，a 1=2a 1﹣4，解得a 1=4；当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=2a n ﹣4﹣（2a n ﹣1﹣4），化为：a n =2a n ﹣1． ∴数列{a n }是等比数列，首项为4，公比为2，∴a n =4×2n ﹣1=2n+1．∵数列{b n }满足b n+1﹣b n =1，∴数列{b n }是等差数列，公差为1．∵T 2+T 6=32，∴2b 1+1+6b 1+×1=32，解得b 1=2．∴b n =2+（n ﹣1）=n+1．（Ⅱ）S n =2×2n+1﹣4．∴不等式nlog 2（S n +4）≥λb n +3n ﹣7，化为：λ≤，∵=（n+1）+﹣3≥2﹣3=3，当n=2时，取得最小值3，∴实数λ的取值范围是λ≤3．20．已知椭圆C ： +=1（a ＞b ＞0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且|A 1A 2|=4，上顶点为B ，若直线BA 1与圆M ：（x+1）2+y 2=相切．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）直线l ：x=2与x 轴交于D ，P 是椭圆C 上异于A 1、A 2的动点，直线A 1P 、A 2P 分别交直线l 于E 、F 两点，求证：|DE|•|DF|为定值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由条件可得到A 1（﹣2，0），B （0，b ），从而可以写出直线BA 1的方程，这样即可得出圆心（﹣1，0）到该直线的距离为，从而可以求出b ，这便可得出椭圆C 的标准方程为；（Ⅱ）可设P （x 1，y 1），从而有，可写出直线A 1P 的方程为，从而可以求出该直线和直线x=的交点E 的坐标，同理可得到点F 的坐标，这样即可得出|DE|，|DF|，然后可求得|DE|•|DF|=3，即得出|DE|•|DF|为定值．【解答】解：（Ⅰ）由题意得A 1（﹣2，0），B （0，b ）；∴直线BA 1的方程为；∴圆心（﹣1，0）到直线BA 1的距离为；解得b 2=3；∴椭圆C 的标准方程为；（Ⅱ）证明：设P （x 1，y 1），则，；∴直线A 1P 的方程为；∴；同理得，；∴；∴|DE|•|DF|为定值．21．设函数f （x ）=x 2﹣x+t ，t ≥0，g （x ）=lnx ．（Ⅰ）若对任意的正实数x ，恒有g （x ）≤x 2α成立，求实数α的取值范围；（Ⅱ）对于确定的t ，是否存在直线l 与函数f （x ），g （x ）的图象都相切？若存在，讨论直线l 的条数，若不存在，请说明理由．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）由题意可得lnx ﹣x 2α≤0恒成立，讨论当α≤0时，h （x ）=lnx ﹣x 2α递增，无最大值；当α＞0时，求出导数，求得单调区间，可得极大值，也为最大值，由恒成立思想解不等式即可得到所求范围；（2）分别设出切点，再根导数的几何意义求出切线方程，构造方程组，消元，再构造函数F （x ）=ln x +﹣（t +1），利用导数求出函数F （x ）的最小值，再分类讨论，得到方程组的解得个数，继而得到切线的条数．【解答】解：（1）对任意的正实数x ，恒有g （x ）≤x 2α成立，即为lnx ﹣x 2α≤0恒成立，当α≤0时，h （x ）=lnx ﹣x 2α递增，无最大值；当α＞0时，h′（x ）=﹣2α•x 2α﹣1，当x ＞时，h′（x ）＜0，h （x ）递减；当0＜x ＜时，h′（x ）＞0，h （x ）递增．即有x=时，h （x ）取得最大值，且为ln ﹣，由ln ﹣≤0，可得α≥，综上可得，实数α的取值范围是[，+∞）； （2）记直线l 分别切f （x ），g （x ）的图象于点（x 1，x 12﹣x 1+t ），（x 2，ln x 2），由f′（x ）=2x ﹣1，得l 的方程为y ﹣（x 12﹣x 1+t ）=（2x 1﹣1）（x ﹣x 1），即y =（2x 1﹣1）x ﹣x 12+t ．由g′（x ）=，得l 的方程为y ﹣ln x 2=（x ﹣x 2），即y =•x +ln x 2﹣1．所以（*）消去x 1得ln x 2+﹣（t +1）=0 （**）．令F （x ）=ln x +﹣（t +1），则F′（x ）=﹣==，x ＞0．由F'（x ）=0，解得x =1．当0＜x ＜1时，F'（x ）＜0，当x ＞1时，F'（x ）＞0，所以F （x ）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，从而F （x ）min =F （1）=﹣t ．当t=0时，方程（**）只有唯一正数解，从而方程组（*）有唯一一组解，即存在唯一一条满足题意的直线；当t＞0时，F（1）＜0，由于F（e t+1）＞ln（e t+1）﹣（t+1）=0，故方程（**）在（1，+∞）上存在唯一解；令k（x）=ln x+﹣1（x≤1），由于k'（x）=﹣=≤0，故k（x）在（0，1]上单调递减，故当0＜x＜1时，k（x）＞k（1）=0，即ln x＞1﹣，从而ln x+﹣（t+1）＞（﹣）2﹣t．所以F（）＞（+）2﹣t=+＞0，又0＜＜1，故方程（**）在（0，1）上存在唯一解．所以当t＞0时，方程（**）有两个不同的正数解，方程组（*）有两组解．即存在两条满足题意的直线．综上，当t=0时，与两个函数图象同时相切的直线的条数为1；当t＞0时，与两个函数图象同时相切的直线的条数为2．。
2017年四川省省级联考高考数学模拟试卷(理科)
2017年四川省省级联考高考数学模拟试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共10小题，共50.0分)1.已知i是虚数单位，复数（2+i）2的共轭复数为（）A.3-4iB.3+4iC.5-4iD.5+4i【答案】A【解析】解：复数（2+i）2=3+4i共轭复数为3-4i．故选：A．利用的运算法则、共轭复数的定义即可得出．本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.设向量=（2x-1，3），向量=（1，-1），若⊥，则实数x的值为（）A.-1B.1C.2D.3【答案】C【解析】解：∵向量=（2x-1，3），向量=（1，-1），⊥，∴=（2x-1，3）•（1，-1）=2x-1-3=0，解得x=2．故选：C．利用向量垂直的性质求解．本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量垂直的性质的合理运用．3.设集合A={-1，1}，集合B={x|ax=1，a∈R}，则使得B⊆A的a的所有取值构成的集合是（）A.{0，1}B.{0，-1}C.{1，-1}D.{-1，0，1}【答案】D【解析】解：∵B⊆A，∴①当B是∅时，可知a=0显然成立；②当B={1}时，可得a=1，符合题意；③当B={-1}时，可得a=-1，符合题意；故满足条件的a的取值集合为{1，-1，0}故选：D．利用B⊆A，求出a的取值，注意要分类讨论．本题主要考查利用集合子集关系确定参数问题，注意对集合B为空集时也满足条件．4.执行如图所示的程序框图，输出S的值为（）A.45B.55C.66D.110【答案】B【解析】解：模拟程序的运行，可得：s=0，i=1，i＜10，s=1，i=2，i＜10，s=3，i=3，i＜10，s=6，i=4＜10，s=10，i=5＜10，s=15，i=6＜10，s=21，i=7＜10，s=28，i=8＜10，s=36，i=9＜10，s=45，i=10≤10，s=55，i=11＞10，输出s=5，5，故选：B．分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出变量S的值，模拟程序的运行，对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．本题考查程序框图的应用，解决程序框图中的循环结构的输出结果问题时，常采用写出几次的结果找规律，属于基础题．5.小孔家有爷爷、奶奶、姥爷、姥姥、爸爸、妈妈，包括他共7人，一天爸爸从果园里摘了7个大小不同的梨，给家里每人一个，小孔拿了最小的一个，爷爷、奶奶、姥爷、姥姥4位老人之一拿最大的一个，则梨子的不同分法共有（）A.96种B.120种C.480种D.720种【答案】C【解析】解：由题意知，小孔拿了最小的一个，爷爷、奶奶、姥爷、姥姥4位老人之一拿最大的一个的拿法有种，其余人的拿法有种，则梨子的不同分法共有480种，故选：C．小孔的拿法有一种，爷爷、奶奶、姥爷、姥姥4位老人的拿法有4种，其余人的拿法有种，根据乘法原理求得梨子的不同分法．本题主要考查排列组合的实际应用题，注意特殊元素优先考虑，属于基础题．6.函数＞，＞，＜的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解：由题意可知A=2，T=4（-）=π，ω=2，因为：当x=时取得最大值2，所以：2=2sin（2×+φ），所以：2×+φ=2kπ+，k∈Z，解得：φ=2kπ-，k∈Z，因为：|φ|＜，所以：可得φ=-，可得函数f（x）的解析式：f（x）=2sin（2x-）．故选：B．由题意求出A，T，利用周期公式求出ω，利用当x=时取得最大值2，求出φ，即可得到函数的解析式．本题是基础题，考查由y=A sin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，注意函数的周期的求法，考查计算能力，常考题型．7.设直角坐标平面内与两个定点A（-2，0），B（2，0）的距离之差的绝对值等于2的点的轨迹是E，C是轨迹E上一点，直线BC垂直于x轴，则=（）A.-9B.-3C.3D.9【答案】D【解析】解：根据题意知，轨迹E是以A，B为焦点的双曲线，方程为，x=2带入方程得：y=±3；∴C点的坐标为（2，3），或（2，-3）；（1）若C点坐标为（2，3），则：，，，；∴；（2）若C点坐标为（2，-3），则：，，，；∴；综上得，．故选：D．由条件便可得出轨迹E为双曲线，并可求得方程为，并可求出点C的坐标为（2，3），或（2，-3），从而可分别求出向量，的坐标，这样即可得出的值．考查双曲线的定义，以及双曲线的标准方程，根据点的坐标求向量的坐标，向量数量积的坐标运算．8.利用计算机产生120个随机正整数，其最高位数字（如：34的最高位数字为3，567的最高位数字为5）的频数分布图如图所示，若从这120个正整数中任意取出一个，设其最高位数字为d（d=1，2，…，9）的概率为P，下列选项中，最能反映P与d的关系的是（）A.P=lg（1+）B.P=C.P=D.P=×【答案】A【解析】解：当d=5时，其概率为P==，对于B，P=，对于C，P=0，对于D，P=，故B，C，D均不符合，故选：A．利用排除法，即可判断．本题考查了函数模型在实际问题中的应用，以及概率的问题，属于基础题．9.如图，A1，A2为椭圆+=1的长轴的左、右端点，O为坐标原点，S，Q，T为椭圆上不同于A1，A2的三点，直线QA1，QA2，OS，OT围成一个平行四边形OPQR，则|OS|2+|OT|2=（）A.5B.3+C.9D.14【答案】D【解析】解：设Q（x0，y0），则+=1，∴=．设直线OS，OT的方程分别为：y=k1x，y=k2x，则=k1，=k2．∵•===-．∴k1k2=-．联立，解得=，=．同理可得：=，=．∴|OS|2+|OT|2=+++=+++=+==14．故选：D．设Q（x0，y0），则+=1，可得：•=-．设直线OS，OT的方程分别为：y=k1x，y=k2x，则=k1，=k2．可得k1k2．直线方程与椭圆方程分别联立可得，；，．即可得出：|OS|2+|OT|2．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、平行四边形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．10.设a，b是不相等的两个正数，且blna-alnb=a-b，给出下列结论：①a+b-ab＞1；②a+b＞2；③+＞2．其中所有正确结论的序号是（）A.①②B.①③C.②③D.①②③【答案】D【解析】解：①由blna-alnb=a-b，得blna+b=alnb+a，即=，设f（x）=，x＞0，则f′（x）=-=，由f′（x）＞0得-lnx＞0，得lnx＜0，得0＜x＜1，由f′（x）＜0得-lnx＜0，得lnx＞0，得x＞1，即当x=1时，函数f（x）取得极大值，则=，等价为f（a）=f（b），则a，b一个大于1，一个小于1，不妨设0＜a＜1，b＞1．则a+b-ab＞1等价为（a-1）（1-b）＞0，∵0＜a＜1，b＞1．∴（a-1）（1-b）＞0，则a+b-ab＞1成立，故①正确，②由即=，得=，由对数平均不等式得=＞，即lna+lnb＞0，即lnab＞0，则ab＞1，由均值不等式得a+b2，故②正确，③令g（x）=-xlnx+x，则g′（x）=-lnx，则由g′（x）＞0得-lnx＞0，得lnx＜0，得0＜x＜1，此时g（x）为增函数，由g′（x）＜0得-lnx＜0，得lnx＞0，得x＞1，此时g（x）为减函数，再令h（x）=g（x）-g（2-x），0＜x＜1，则h′（x）=g′（x）+g′（2-x）=-lnx-lm（2-x）=-ln[x（2-x）]＞0，则h（x）=g（x）-g（2-x），在0＜x＜1上为增函数，则h（x）=g（x）-g（2-x）＜h（1）=0，则g（x）＜g（2-x），即g（）＜g（2-），∵g（）=-ln=+lna==，∴g（）=g（）则g（）=g（）＜g（2-），∵g（x）在0＜x＜1上为增函数，∴＞2-，即+＞2．故③正确，故选：D①由blna-alnb=a-b得=，构造函数f（x）=，x＞0，判断a，b的取值范围即可．②由对数平均不等式进行证明，③构造函数，判断函数的单调性，进行证明即可．本题主要考查命题的真假判断，涉及不等式的证明，利用构造法，结合函数的单调性和导数的关系是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．二、填空题(本大题共5小题，共25.0分)11.在（2-）6的展开式中，含x3项的系数是______ （用数字填写答案）【答案】64【解析】解：二项式（2-）6展开式的通项公式为T r+1=••=（-1）r•26-r••x3-r，令3-r=3，解得r=0；∴展开式中x3项的系数是26×=64．故答案为：64．根据二项式展开式的通项公式，令展开式中含x项的指数等于3，求出r的值，即可求出展开式中x3项的系数．本题考查了利用二项式展开式的通项公式求展开式中特定项的系数问题，是基础题目．12.一个几何体的三视图如图所示，则几何体的体积为______ ．【答案】π【解析】解：该几何体是一个半圆柱，如图，其体积为．故答案为：π．该几何体是一个半圆柱，即可求出其体积．本题考查由三视图求体积，考查学生的计算能力，确定直观图的现状是关键．13.已知tanα=3，则sinαsin（-α）的值是______ ．【答案】-【解析】解：∵tanα=3，则sinαsin（-α）=-sinαcosα=-=-=-=-．故答案为：-．利用诱导公式、同角三角函数基本关系式、“弦化切”即可得出．本题考查了诱导公式、同角三角函数基本关系式、“弦化切”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14.已知圆的方程为x2+y2-6x=0，过点（1，2）的该圆的三条弦的长a1，a2，a3构成等差数列，则数列a1，a2，a3的公差的最大值是______ ．【答案】2【解析】解：如图，由x2+y2-6x=0，得（x-3）2+y2=9，∴圆心坐标C（3，0），半径r=3，由圆的性质可知，过点P（1，2）的该圆的弦的最大值为圆的直径，等于6，最小值为过P且垂直于CP的弦的弦长，∵|CP|=，∴|AB|=2，即a1=2，a3=6，∴公差d的最大值为．故答案为：2．化圆的一般方程为标准方程，求出圆心坐标和半径，得到最大弦长，再求出过P且垂直于CP的弦的弦长，即最小弦长，然后利用等差数列的通项公式求得公差得答案．本题考查圆的性质，考查了等差数列的通项公式，是基础的计算题．15.已知=（1，0），=（1，1），（x，y）=，若0≤λ≤1≤μ≤2时，z=+（m＞0，n＞0）的最大值为2，则m+n的最小值为______ ．【答案】+【解析】解：∵=（1，0），=（1，1），∴（x，y）=λ（1，0）+μ（1，1），∴x=λ+μ，y=μ；z=+=+，∵0≤λ≤1≤μ≤2，z=+（m＞0，n＞0）的最大值为2，∴+=2，即+=1；故（m+n）（+）=+1++≥+2=+；（当且仅当=时，等号成立）．故答案为：+．化简可得（x，y）=λ（1，0）+μ（1，1），从而可得x=λ+μ，y=μ；从而可得+=1；再化简（m+n）（+）=+1++，从而利用基本不等式求最小值．本题考查了平面向量的线性运算的应用及基本不等式的应用，属于中档题．三、解答题(本大题共6小题，共75.0分)16.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足acos B=bcos A．（1）判断△ABC的形状；（2）求sin（2A+）-2cos2B的取值范围．【答案】解：（1）由acos B=bcos A，结合正弦定理可得，sin A cos B=cos A sin B，即sin A cos B-cos A sin B=0，得sin（A-B）=0，∵A，B∈（0，π），∴A-B∈（-π，π），则A-B=0，∴A=B，即△ABC为等腰三角形；（2）sin（2A+）-2cos2B=sin2A cos+cos2A sin-2cos2B=-（1+cos2B）=-cos2A-1==．∵0＜＜，∴＜＜，则，．即sin（2A+）-2cos2B的取值范围是，．【解析】（1）由已知等式结合正弦定理化边为角，再由两角差的余弦求得sin（A-B）=0，可得A=B，则△ABC为等腰三角形；（2）把sin（2A+）-2cos2B利用两角和的正弦及降幂公式化简，得到关于A的三角函数，再由A的范围求得答案．本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查了正弦定理和余弦定理在求解三角形中的应用，是中档题．17.设数列{a n}各项为正数，且a2=4a1，a n+1=+2a n（n∈N*）（I）证明：数列{log3（1+a n）}为等比数列；（Ⅱ）令b n=log3（1+a2n-1），数列{b n}的前n项和为T n，求使T n＞345成立时n的最小值．【答案】（I）证明：∵a2=4a1，a n+1=+2a n（n∈N*），∴a2=4a1，a2=，解得a1=2，a2=8．∴a n+1+1=+2a n+1=，两边取对数可得：log3（1+a n+1）=2log3（1+a n），∴数列{log3（1+a n）}为等比数列，首项为1，公比为2．（II）解：由（I）可得：log3（1+a n）=2n-1，∴b n=log3（1+a2n-1）=22n-2=4n-1，∴数列{b n}的前n项和为T n==．不等式T n＞345，化为＞345，即4n＞1036．解得n＞5．∴使T n＞345成立时n的最小值为6．【解析】（I）由a2=4a1，a n+1=+2a n（n∈N*），可得a2=4a1，a2=，解得a1，a2．由于a n+1+1=+2a n+1=，两边取对数可得：log3（1+a n+1）=2log3（1+a n），即可证明．（II）由（I）可得：log3（1+a n）=2n-1，可得b n=log3（1+a2n-1）=22n-2=4n-1，可得数列{b n}的前n项和为T n，代入化简即可得出．本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式、对数的运算性质、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.某商场进行有奖促销活动，顾客购物每满500元，可选择返回50元现金或参加一次抽奖，抽奖规则如下：从1个装有6个白球、4个红球的箱子中任摸一球，摸到红球就可获得100元现金奖励，假设顾客抽奖的结果相互独立．（Ⅰ）若顾客选择参加一次抽奖，求他获得100元现金奖励的概率；（Ⅱ）某顾客已购物1500元，作为商场经理，是希望顾客直接选择返回150元现金，还是选择参加3次抽奖？说明理由；（Ⅲ）若顾客参加10次抽奖，则最有可能获得多少现金奖励？【答案】解：（Ⅰ）因为从装有10个球的箱子中任摸一球的结果共有种，摸到红球的结果共有种，所以顾客参加一次抽奖获得100元现金奖励的概率是．…（2分）（Ⅱ）设X表示顾客在三次抽奖中中奖的次数，由于顾客每次抽奖的结果是相互独立的，则X-B（3，0.4），所以E（X）=np=3×0.4=1.2．由于顾客每中奖一次可获得100元现金奖励，因此该顾客在三次抽奖中可获得的奖励金额的均值为1.2×100=120元．由于顾客参加三次抽奖获得现金奖励的均值120元小于直接返现的150元，所以商场经理希望顾客参加抽奖．…（7分）（Ⅲ）设顾客参加10次抽奖摸中红球的次数为Y．由于顾客每次抽奖的结果是相互独立的，则Y-B（10，0.4）．于是，恰好k次中奖的概率为，k=0，1， (10)从而，k=1，2， (10)当k＜4.4时，P（Y=k-1）＜P（Y=k）；当k＞4.4时，P（Y=k-1）＞P（Y=k），则P（Y=4）最大．所以，最有可能获得的现金奖励为4×100=400元．于是，顾客参加10次抽奖，最有可能获得400元的现金奖励．…（12分）【解析】（Ⅰ）因为从装有10个球的箱子中任摸一球的结果共有种，摸到红球的结果共有种，由此能求出顾客参加一次抽奖获得100元现金奖励的概率．（Ⅱ）设X表示顾客在三次抽奖中中奖的次数，由于顾客每次抽奖的结果是相互独立的，则X-B（3，0.4），由此能求出商场经理希望顾客参加抽奖．（Ⅲ）设顾客参加10次抽奖摸中红球的次数为Y．由于顾客每次抽奖的结果是相互独立的，则Y-B（10，0.4）．恰好k次中奖的概率为，k=0，1，…，10．由此能求出顾客参加10次抽奖，最有可能获得400元的现金奖励．本题主要考查随机事件的概率、古典概型、二项公布、数学期望等基础知识，考查运算求解能力、应用意识，考查运用概率与统计的知识与方法分析和解决实际问题的能力．19.如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点．将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于P．（1）求证：平面PBD⊥平面BFDE；（2）求二面角P-DE-F的余弦值．【答案】证明：（1）由正方形ABCD知，∠DCF=∠DAE=90°，EF∥AC，BD⊥AC，EF⊥BD，∵点E，F分别是AB，BC的中点．将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于P．∴PD⊥PF，PD⊥PE，∵PE∩PF=P，PE、PF⊆平面PEF．又∵EF⊂平面PEF，∴PD⊥EF，又BD∩PD=D，∴EF⊥平面PBD，又EF⊂平面BFDE，∴平面PBD⊥平面BFDE．解：（2）连结BD、EF，交于点O，连结OP，∵平面PBD⊥平面BFDE，平面PBD∩平面BFDE=BD，又EF⊥平面PBD，PO，BD⊂平面PBD，∴PO⊥EF，BD⊥EF，∵PD⊥平面PEF，以O为原点，OF为x轴，OD为y轴，过O作平面BFDE的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，设在正方形ABCD的边长为2，则DO=，=，PE=PF=1，PD=2，PO==，∴P（0，，），D（0，，0），E（-，0，0），F（，0，0），=（-，-，0），=（0，-，），=（，-，0），设平面PDE的法向量=（x，y，z），则，取y=1，则=（-3，1，2），平面DEF的法向量=（0，0，1），设二面角P-DE-F的平面角为θ，则cosθ===．∴二面角P-DE-F的余弦值为．【解析】（1）推导出PD⊥PF，PD⊥PE，则PD⊥平面PEF，由此能证明平面PBD⊥平面BFDE．（2）连结BD、EF，交于点O，以O为原点，OF为x轴，OD为y轴，过O作平面BFDE 的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，由此能求出二面角P-DE-F的余弦值．本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．20.已知直线l的方程为y=x+2，点P是抛物线y2=4x上到直线l距离最小的点，点A是抛物线上异于点P的点，直线AP与直线l交于点Q，过点Q与x轴平行的直线与抛物线y2=4x交于点B．（Ⅰ）求点P的坐标；（Ⅱ）证明直线AB恒过定点，并求这个定点的坐标．【答案】所以，点P到直线l的距离．当且仅当y0=2时等号成立，此时P点坐标为（1，2）．…（4分）（Ⅱ）设点A的坐标为，，显然y1≠2．当y1=-2时，A点坐标为（1，-2），直线AP的方程为x=1；可得B（，3），直线AB：y=4x-6；当y1≠-2时，直线AP的方程为，化简得4x-（y1+2）y+2y1=0；综上，直线AP的方程为4x-（y1+2）y+2y1=0．与直线l的方程y=x+2联立，可得点Q的纵坐标为．因为，BQ∥x轴，所以B点的纵坐标为．因此，B点的坐标为，．当，即时，直线AB的斜率．所以直线AB的方程为，整理得．当x=2，y=2时，上式对任意y1恒成立，此时，直线AB恒过定点（2，2），也在y=4x-6上，当时，直线AB的方程为x=2，仍过定点（2，2），故符合题意的直线AB恒过定点（2，2）．…（13分）【解析】（Ⅰ）利用点到直线的距离公式，求出最小值，然后求点P的坐标；（Ⅱ）设点A的坐标为，，显然y1≠2．通过当y1=-2时，求出直线AP的方程为x=1；当y1≠-2时，求出直线AP的方程，然后求出Q的坐标，求出B点的坐标，解出直线AB的斜率，推出AB的方程，判断直线AB恒过定点推出结果．本题主要考查抛物线的标准方程与几何性质、直线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合、化归与转化、特殊与一般，分类与整合等数学思想．21.设a，b∈R，函数，g（x）=e x（e为自然对数的底数），且函数f（x）的图象与函数g（x）的图象在x=0处有公共的切线．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅲ）若g（x）＞f（x）在区间（-∞，0）内恒成立，求a的取值范围．【答案】（Ⅰ）f'（x）=x2+2ax+b，g'（x）=e x，由f'（0）=b=g'（0）=1，得b=1．…（2分）（Ⅱ）f'（x）=x2+2ax+1=（x+a）2+1-a2，当a2≤1时，即-1≤a≤1时，f'（x）≥0，从而函数f（x）在定义域内单调递增，当a2＞1时，′，此时若∞，，f'（x）＞0，则函数f（x）单调递增；若，，f'（x）＜0，则函数f（x）单调递减；若，∞时，f'（x）＞0，则函数f（x）单调递增．…（6分）（Ⅲ）令h（x）=g'（x）-f'（x）=e x-x2-2ax-1，则h（0）=e0-1=0．h'（x）=e x-2x-2a，令u（x）=h'（x）=e x-2x-2a，则u'（x）=e x-2．当x≤0时，u'（x）＜0，从而h'（x）单调递减，令u（0）=h'（0）=1-2a=0，得．先考虑的情况，此时，h'（0）=u（0）≥0；又当x∈（-∞，0）时，h'（x）单调递减，所以h'（x）＞0；故当x∈（-∞，0）时，h（x）单调递增；又因为h（0）=0，故当x＜0时，h（x）＜0，从而函数g（x）-f（x）在区间（-∞，0）内单调递减；又因为g（0）-f（0）=0，所以g（x）＞f（x）在区间（-∞，0）恒成立．接下来考虑＞的情况，此时，h'（0）＜0，令x=-a，则h'（-a）=e-a＞0．由零点存在定理，存在x0∈（-a，0）使得h'（x0）=0，当x∈（x0，0）时，由h'（x）单调递减可知h'（x）＜0，所以h（x）单调递减，又因为h（0）=0，故当x∈（x0，0）时h（x）＞0．从而函数g（x）-f（x）在区间（x0，0）单调递增；又因为g（0）-f（0）=0，所以当x∈（x0，0），g（x）＜f（x）．综上所述，若g（x）＞f（x）在区间（-∞，0）恒成立，则a的取值范围是∞，．…（14分）【解析】（Ⅰ）求出两个函数的导数，利用函数f（x）的图象与函数g（x）的图象在x=0处有公共的切线．列出方程即可求解b．（Ⅱ）求出导函数f'（x）=，通过-1≤a≤1时，当a2＞1时，分别判断导函数的符号，推出函数的单调区间．（Ⅲ）令h（x）=g'（x）-f'（x）=e x-x2-2ax-1，可得h（0）0．求出h'（x）=e x-2x-2a，令u（x）=h'（x）=e x-2x-2a，求出导数u'（x）=e x-2．当x≤0时，u'（x）＜0，从而h'（x）单调递减，求出．考虑的情况，＞的情况，分别通过函数的单调性以及函数的最值，推出a的范围即可．本题主要考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数的零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识，考查函数与方程、数形结合、分类与整合、化归与转化等数学思想．。
2017年四川高考文科数学试题含答案(Word版)
2017年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数 学（文史类）本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共4页。
满分150分。
考试时间120分钟。
考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效。
考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷 （选择题 共50分）注意事项：必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。
第Ⅰ卷共10小题。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1、已知集合{|(1)(2)0}A x x x =+-≤，集合B 为整数集，则AB =（ ）A 、{1,0}-B 、{0,1}C 、{2,1,0,1}--D 、{1,0,1,2}-2、在“世界读书日”前夕，为了了解某地5000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析。
在这个问题中，5000名居民的阅读时间的全体是（ ） A 、总体 B 、个体C 、样本的容量D 、从总体中抽取的一个样本3、为了得到函数sin(1)y x =+的图象，只需把函数sin y x =的图象上所有的点（ ）A 、向左平行移动1个单位长度B 、向右平行移动1个单位长度C 、向左平行移动π个单位长度D 、向右平行移动π个单位长度 4、某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示，则该三棱锥的体积是（ ）（锥体体积公式：13V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高） A 、3 B 、2 C 、3 D 、1 5、若0a b >>，0c d <<，则一定有（ ）A 、a b d c > B 、a b d c < C 、a b c d > D 、a b c d<6、执行如图的程序框图，如果输入的,x y R ∈，那么输出的S 的最大值为（ ）A 、0B 、1C 、2D 、3 7、已知0b >，5log b a =，lg b c =，510d=，则下列等式一定成立的是（ ） A 、d ac = B 、a cd = C 、c ad = D 、d a c =+侧视图俯视图112222118、如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75，30，此时气球的高是60m ，则河流的宽度BC 等于（ ）A、1)m B、1)mC、1)m D、1)m9、设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则||||PA PB +的取值范围是（ ）A、 B、 C、 D、10、已知F 为抛物线2y x =的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB ⋅=（其中O 为坐标原点），则ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是（ ） A 、2 B 、3 C、8D第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所示的答题区域内作答。
四川省成都市2017届高三数学摸底(零诊)考试试题文
四川省成都市2017届高三数学摸底(零诊)考试试题文成都市2017届高三摸底（零诊）数学试题（文科）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.某班50名学生中有女生20名，按男女比例用分层抽样的方法，从全班学生中抽取部分学生进行调查，已知抽到的女生有4名，则本次调查抽取的人数是（）A．8 B．10 C．12 D．152.对抛物线$x=12y$，下列判断正确的是（）A．焦点坐标是$(3,0)$ B．焦点坐标是$(0,-3)$ C．准线方程是$y=-3$ D．准线方程是$x=3$3.计算$\sin5\cos55+\cos5\sin55$的结果是（）A。
$-\dfrac{2}{3}$ B。
$\dfrac{1}{3}$ C。
$-\dfrac{1}{3}$ D。
$\dfrac{2}{3}$4.已知$m,n$是两条不同的直线，$\alpha,\beta$是两个不同的平面，若$m \perp \alpha,n \perp \beta$，且$\beta \perp \alpha$，则下列结论一定正确的是（）A．$m \perpn$ B．$m//n$ C．$m$与$n$相交 D．$m$与$n$异面5.若实数$x,y$满足条件$\begin{cases} x+y\geq-2 \\ x-2y\geq-2 \end{cases}$，则$z=2x+y$的最大值是（）A．10B．8 C．6 D．46.曲线$y=x\sin x$在点$P(\pi,0)$处的切线方程是（）A．$y=-\pi x+\pi$ B．$y=\pi x+\pi$ C．$y=-\pi x-\pi$ D．$y=\pi x-\pi$7.已知数列$\{a_n\}$是等比数列，则“$a_1<a_2$”是“数列$\{a_n\}$为递增数列”的（）A．充分不必要条件 B．充分必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件8.已知函数$f(x)=\dfrac{1}{x^2-4}$，则$f(x)$的反函数为（）A．$f^{-1}(x)=\dfrac{1}{x}-2$ B．$f^{-1}(x)=\dfrac{1}{x+2}$ C．$f^{-1}(x)=\dfrac{1}{x-2}$ D．$f^{-1}(x)=\dfrac{1}{2-x}$9.设命题$p:\exists x\in(0,+\infty),3+x=\sqrt{x}$，命题$q:x>1$。
四川省成都市2017届高三三诊模拟文科数学试题有答案AlKKPn
成都2017届第三次高考模拟文科数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在一次抛硬币实验中，甲、乙两人各抛一次硬币一次，设命题p 是“甲抛的硬币正面向上”，q 是“乙抛的硬币正面向上”，则命题“至少有一人抛的硬币是正面向下”可表示为（ ） A ．()()p q ⌝∨⌝ B ．()p q ∨⌝ C ．()()p q ⌝∧⌝ D ．()p q ⌝∨2.已知集合{}{}2|02,|10A x x B x x =<<=-<，则A B =U （ ） A ． ()1,1- B ．()1,2- C ．()1,2 D ．()0,1 3.若1122aii i+=++，则a =（ ） A ．5i -- B ．5i -+ C ．5i - D ． 5i +4.设()f x 是定义在R 上周期为2的奇函数，当01x ≤≤时，()2f x x x =-，则52f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A ．14-B ． 12- C. 14 D ．125.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．3612π+B ．3616π+ C. 4012π+ D ．4016π+ 6.设D 为ABC ∆中BC 边上的中点，且O 为AD 边的中点，则（ ）A ．3144BO AB AC =-+u u u r u u u r u u u r B ． 1144BO AB AC =-+u u u r u u ur u u u rC. 3144BO AB AC =-u u u r u u u r u u u r D ．1124BO AB AC =--u u u r u u ur u u u r7.执行如图的程序框图，则输出x 的值是（ ）A ． 2016B ．1024 C.12D ．-1 8. 函数()()2sin 4cos 1f x x x =-g 的最小正周期是（ ） A ．23π B ． 43π C. π D ．2π 9. 等差数列{}n a 中的24030a a 、是函数()3214613f x x x x =-+-的两个极值点，则()22016log a =（ ）A ．2B ．3 C. 4 D ．510. 已知()00,P x y 是椭圆22:14x C y +=上的一点，12,F F 是C 的两个焦点，若120PF PF <u u u r u u u u r g ，则0x 的取值范围是（ ） A ．2626⎛ ⎝⎭ B ．2323⎛ ⎝⎭ C. 33⎛ ⎝⎭ D ．66⎛ ⎝⎭ 11. 已知函数()221f x x ax =-+对任意(]0,2x ∈恒有()0f x ≥成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．51,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．[]1,1- C. (],1-∞ D ．5,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦12.设集合()()()()()()2222436,|34,,|3455A x y x y B x y x y ⎧⎫⎧⎫=-+-==-+-=⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，(){},|234C x y x y λ=-+-=，若()A B C φ≠U I ，则实数λ的取值范围是（ ） A ．25652⎤⎤⎥⎥⎣⎦⎣⎦U B ．25⎤⎥⎣⎦C. []2524,6⎤⎥⎣⎦U D ．{}652⎤⎥⎣⎦U第Ⅱ卷二、填空题：本大题共四小题，每小题5分13.已知向量1,2a b ==r r ，且()21b a b +=r r r g ，则向量,a b r r的夹角的余弦值为 ．14.若,m n 满足101040m n a m n n -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2u m n =-的取值范围是 ．15.直线1y kx =+与曲线3y x ax b =++相切于点()1,2A ，则b a -= .16.已知函数()11,112,1x x x f x x e x +⎧->⎪=-⎨⎪-≤⎩，若函数()()2h x f x mx =--有且仅有一个零点，则实数m 的取值范围是 ．三、解答题 （共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在ABC ∆中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，已知4B π=，cos cos20A A -=.（1）求角C ；（2）若222b c a bc +=-+，求ABC S ∆.18.某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种家里和品种乙）进行田间实验.选取两大块地分成n 小块地，在总共2n 小块地中，随机选n 小块地种植品种甲，另外n 小块地种植品种乙. （1）假设2n =，求第一大块地都种植品种甲的概率；（2）试验时每大块地分成8小块，即8n =，试验结束后得到的品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产量（单位：2/kg hm ）如下表：品种甲 403 397 390 404 388 400 412 406 品种乙 419 403 412 418 408 423 400 413根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？ 19. 如图三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 为菱形，1B C 的中点为O ，且AO ⊥平面11BB C C ．（1）证明：1B C AB ⊥；（2）若011,60AC AB CBB ⊥∠=，1BC =，求三棱柱111ABC A B C -的高．20.如图，椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点为F ，过点F 的直径交椭圆于,A B 两点.当直线AB 经过椭圆的一个顶点时，其倾斜角为60°.（1）求该椭圆的离心率；（2）设线段AB 的中点为G ，AB 的中垂线与x 轴和y 轴分别交于,D E 两点．记GFD ∆的面积为1S ，OED ∆（O 为原点）的面积为2S ，求12S S 的取值范围． 21. 已知函数()1ln f x x ax a ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭（,0a R a ∈≠且）． （1）讨论()f x 的单调区间；（2）若直线y ax =的图象恒在函数()y f x =图象的上方，求a 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系下，知圆:cos sin O ρθθ=+和直线)2:sin 0,0242l πρθρθπ⎛⎫-=≥≤≤ ⎪⎝⎭． （1）求圆O 与直线l 的直角坐标方程；（2）当()0,θπ∈时，求圆O 和直线l 的公共点的极坐标． 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()2321f x x x =++-． （1）求不等式()5f x ≤的解集；（2）若关于x 的不等式()1f x m <-的解集非空，求实数m 的取值范围．试卷答案一、选择题1-5: ABDCC 6-10: ADAAA 11、12：CA二、填空题13. 4-14. 1,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦15. 5 16. (]{}{},06m e ∈-∞-U U 三、解答题17. 解：（1）因为cos cos20A A -=，所以22cos cos 10A A --=，解得1cos 2=-，cos 1A =（舍去）． 所以23A π=，又4B π=，所以12C π=． （2）因为23A π=，所以222222cos a b c bc A b c bc =+-=++，又222b c a bc +=-+， 所以22a a =+，所以2a =，又因为sin sinsin 1234C πππ⎛⎫==-=⎪⎝⎭，由sin sin c a C A =得3c =，所以1sin 123ABC S ac B ∆==-g ．18.解：（1）设第一大块地中的两小块地编号为1，2，第二大块地中的两小块地编号为3，4，令事件A = “第一大块地都种品种甲”．从4小块地中任选2小块地种植品种甲的基本事件共6个；()()()1,2,1,3,1,4，()2,3，()2,4，()3,4．而事件A 包含1个基本事件：()1,2．所以()16P A =； （2）品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：()14033973904043884004124064008x =+++++++=甲， ()()()()2222222213310412012657.258S =+-+-++-+++=甲， 品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：()14194034124184084234004134128x =+++++++=乙， ()()()()22222222217906411121568S =+-+++-++-+=乙， 由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙．19.解：（1）连接1BC ，则O 为1B C 与1BC 的交点，因为侧面11BB C C 为菱形，所以11B C BC ⊥． 又AO ⊥平面11BB C C ，所以1B C AO ⊥，故1B C ⊥平面ABO ．由于AB ⊂平面ABO ，故1B C AB ⊥． （2）作OD BC ⊥，垂足为D ，连接AD ．作OH AD ⊥，垂足为H ．由于BC AO ⊥，BC OD ⊥，故BC ⊥平面AOD ，所以OH BC ⊥．又OH AD ⊥，所以OH ⊥平面ABC ，因为0160CBB ∠=，所以1CBB ∆为等边三角形，又1BC =，可得OD =．由于1AC AB ⊥，所以11122OA B C ==．由OH AD OD OA =g g ，且4AD ==，得14OH =．又O 为1B C 的中点，所以点1B 到平面ABC 的距离为7故三棱柱111ABC A B C -的距离为7． 20.解：（1）由题意，当直线AB 经过椭圆的顶点()0,b 时，其倾斜角为60°．设(),0F c -，则0tan 60b c ==222a b c -=，所以2a c =．所以椭圆的离心率为12c e a ==． （2）由（1）知，椭圆的方程可表示为2222143x y c c+=．设()()1122,,,A x y B x y ．根据题意，设直线AB 的方程为()y k x c =+，将其带入2223412x y c +=，整理得()2222224384120k x ck x k c c +++-=，则()21212122286,24343ck ckx x y y k x x c k k -+=+=++=++，22243,443ck ck G kk ⎛⎫- ⎪+⎝⎭． 因为GD AB ⊥，所以2223431443Dckk k ck x k +⨯=---+，2243D ck x k -=+．因为GFD OED ∆∆:，所以2122299GD S S k OD ==+，由题意，()0,k ∈∞，∴()290,k ∈∞，所以12S S 的取值范围是()9,+∞． 21.解：（1）()f x 的定义域为1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，且()2111a x f x a ax x a'=-=-++． ①当0a <时，∵1x a >-，∴1ax <-，∴()0f x '>，函数在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭是增函数； ②当0a >时，10ax +>，在区间1,0a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上，()0f x '>；在区间()0,+∞上，()0f x '<． 所以()f x 在区间1,0a ⎛⎫-⎪⎝⎭上是增函数；在区间()0,+∞上是减函数． （2）当0a <时，取1x e a=-，则1111201f e a e ae ae a e a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=->>-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，不合题意．当0a >时，令()()h x ax f x =-，则()12ln h x ax x a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． 问题转化为()0h x >恒成立时a 的取值范围．由于()1212211a x a h x a x x a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭'=-=++，所以在区间11,2a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上，()0h x '<；在区间1,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上，()0h x '>．所以()h x 的最小值为12h a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以只需102h a ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，即1112ln 022a a a a ⎛⎫⎛⎫---+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭g ，所以1ln12a <-，所以2ea >． 22.解：（1）圆:cos sin O ρθθ=+，即2cos sin ρρθρθ=+，故圆O 的直角坐标方程为：220x y x y +--=，直线:sin 4l πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭sin cos 1ρθρθ-=，则直线的直角坐标方程为：10x y -+=．（2）由（1）知圆O 与直线l 的直角坐标方程，将两方程联立得22010x y x y x y ⎧+--=⎨-+=⎩解得01x y =⎧⎨=⎩．即圆O 与直线l 的在直角坐标系下的公共点为()0,1，转化为极坐标为1,2π⎛⎫⎪⎝⎭． 23.解：（1）原不等式为：23215x x ++-≤， 当32x ≤-时，原不等式可转化为425x --≤，即7342x -≤≤-； 当3122x -<<时，原不等式可转化为45≤恒成立，所以3122x -<<； 当12x ≥时，原不等式可转化为425x +≤，即1324x ≤≤． 所以原不等式的解集为73|44x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭． （2）由已知函数()342,2314,22142,2x x f x x x x ⎧--≤-⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪+≥⎪⎩，可得函数()y f x =的最小值为4，所以24m ->，解得6m >或2m <-．。
2017年四川省绵阳高中高三年级高考模拟试题数学试题
2017年四川省绵阳高中高三年级高考模拟试题数学（理科）试题卷本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷共4页, 选择题部分1至2页, 非选择题部分3至4页．满分150分, 考试时间120分钟．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．参考公式：柱体的体积公式V =Sh 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 锥体的体积公式 V =13Sh 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高台体的体积公式1()123V h S S =+ 其中S 1,S 2分别表示台体的上,下底面积球的表面积公式S =4πR 2其中R 表示球的半径，h 表示台体的高 球的体积公式V =43πR 3其中R 表示球的半径第I 卷（共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知定义域为R 的函数错误！未找到引用源。
不是奇函数，则下列命题一定为真命题的是（ ） A ．错误！未找到引用源。
B ．错误！未找到引用源。
C ．错误！未找到引用源。
D ．错误！未找到引用源。
2．设等差数列错误！未找到引用源。
的前n 项和为错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
且错误！未找到引用源。
，则错误！未找到引用源。
（ ）A ．11B ．10C ．9D ．8 3．函数)sin()(ϕω+=x A x f （其中)2,0πϕ<>A ）的图象如图所示，为了得到()sin g x x ω=的图象，则只要将)(x f 的图象（ ）A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移12π个单位长度C ．向左平移6π个单位长度 D ．向左平移12π个单位长度4．设R b a ∈,，则“a b >”是“a a b b >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5．若变量,x y 满足210201xy x y x -+≤⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩，则点(2,)P x y x y -+所在区域的面积为（ ）A ．34 B. 43 C. 12D. 1 6．已知函数2|log |,02()sin(),2104x x f x x x π<<⎧⎪=⎨≤≤⎪⎩，若存在实数1x ，2x ，3x ，4x ，满足1234x x x x <<<，且1234()()()()f x f x f x f x ===，则3412(2)(2)x x x x -⋅-⋅的取值范围是（ ）A ．(4,16)B ．(0,12)C ．(9,21)D ．(15,25)7．已知点P 为双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 右支上一点，21,F F 分别为双曲线的左右焦点，且ab F F 221||=，I 为三角形21F PF 的内心，若1212IPF IPF IF F S S S λ∆∆∆=+成立， 则λ的值为（ ）A ．2221+ B ．132- C ．12+ D ．12- 8．过正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1棱DD 1的中点与直线BD 1所成角为40°，且与平面AC C 1A 1所成角为50°的直线条数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．无数第II 卷（共110分）二、填空题：本大题共7小题，第9至12题每小题6分，第13至15题每题4分，共36分．9．设全集为R ，集合2{|430},M x R x x =∈-+>集合{|24},xN x R =∈>则M N ⋃= ；M N ⋂= ；()R C M N ⋂= .10．已知02πα<<,02πβ-<<,3cos()5αβ-=，且3tan 4α=，则cos α=________,sin β=_______. 11．在如图所示的空间直角坐标系O —xyz 中，一个四面体的顶点坐标分别是(2，0，0)，(0，2，0)，(0，0，2)，(2，2，2)．给出编号为①，②，③，④的四个图，则该四面体的正视图、侧视图和俯视图分别为（填写编号） ，此四面体的体积为 .1A12．已知圆22:(cos )(sin )2(R)C x y ααα-++=∈与直线:cos sin 10(R)l x y βββ--=∈，则圆C 的圆心轨迹方程为 ，直线l 与圆C 的位置关系是______． 13．已知点)21,21(-A 在抛物线)0(2:2>=p px y C 的准线上，点M ，N 在抛物线C 上，且位于x 轴的两侧，O 是坐标原点，若3=⋅，则点A 到动直线MN 的最大距离为 ．14．在直径AB 为2的圆上有长度为1的动弦CD ，则AC BD ⋅的取值范围是 ．15．已知,,a b c 为非零实数，(),ax b f x x R cx d +=∈+，且(2)2,(3)3f f ==.若当dx c≠-时，对于任意实数x ，均有(())f f x x =，则()f x 值域中取不到的唯一的实数是 ．三、解答题：本大题共5小题，第16至19题每题15分，第20题14分，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．ABC ∆中，内角,A B C ,的对边分别是,,a b c ，已知,,a b c 成等比数列，且3cos 4B =. （Ⅰ）求11tan tan A B +的值； （Ⅱ）设32BA BC ⋅= ，求a c +的值.17．已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为23ABC π∠=的菱形，PA ⊥平面ABCD ，点Q 在直线PA上.（Ⅰ）证明：直线QC ⊥直线BD ；18．已知数列{a n }中，111,1,33,n n na n n a a a n n +⎧+⎪==⎨⎪-⎩为奇数为偶数， （Ⅰ）求证：数列23{}2n a -是等比数列；（Ⅱ）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，求满足0n S >的所有正整数n ．19．如图，中心在坐标原点，焦点分别在x 轴和y 轴上的椭圆1T ，2T 都过点(0,M ，且椭圆1T 与2T （Ⅰ）求椭圆1T 与椭圆2T 的标准方程；（Ⅱ）过点M 引两条斜率分别为,k k '的直线分别交1T ，2T 于点P ，Q ，当k '=时，问直线PQ20．设1)(2+--=ax x x f ，22()ax x a g x x ++=，（Ⅰ）若0)(=+b x f 在]2,1[上有两个不等实根，求(1)g b +的取值范围；（Ⅱ）若存在]2,1[1∈x ，使得对任意的21[,1]2x ∈，都有)()(21x g x f ≥成立，求实数a 的取值范围.参考答案一、选择题二、填空题：9. (,1)(2,)-∞⋃+∞；(3,)+∞；(,3]-∞ 10.45；725- 11. ③ ② ② ；83；12. 221x y +=；相交; 13. 214. 31[,]22-; 15. 52三、解答题：16. 解：（Ⅰ）因为,,a b c 成等比数列，所以ac b =2,由余弦定理可知：)1(2122cos 22222-+=-+=-+=caa c ac ac c a acbc a B 又3cos 4B =，所以47sin =B ，且43)1(21=-+c a a c ，解得212或=a c . 于是772778sin sin sin sin sin cos sin cos tan 1tan 1或=⋅=⋅=+=+B a c B A C B B A A B A . （Ⅱ）因为32BA BC ⋅= ,所以23cos =B ca ，所以2=ca ，又212或=a c ，于是3=+a c . 【另解】由32BA BC ⋅= 得3cos 2ca B ⋅=，由3cos 4B =可得2ca =，即22b =由余弦定理 2222cos b a c ac B =+-⋅得2222cos 5a c b ac B +=+⋅=()2222549a c a c ac +=++=+= ∴ 3a c +=.17. （Ⅰ）证明：显然BD AC ⊥，PA ⊥平面ABCD ，则PA BD ⊥，故BD PAC ⊥平面,QC PAC ⊆平面,则直线QC ⊥直线BD ；（Ⅱ）由已知和对称性可知，二面角A B QC --的大小为3π，设底面ABCD 的棱长为单位长度2，AQ x = ，设AC ，BD 交于点E,则有点B 到平面AQC 的距离BE 为1，过点E 做QC 的垂线，垂足设为F ，则有tan tan3BE BFE EF π∠==，BE=1，则，点A 到QC ，则有3x =⋅2x =. 过点M 作AB 的平行线交AD 的中点为G ，则GM=2，QG =AM ==QM ==，22234104cos 234QM GM QG QMG QM GM +-+-∠===⋅， 即所求的QM 与AB所成角的余弦值为34.18.（Ⅰ）证明：21222(1)22221313113(21)(6)(21)13232322333332222n n n n n n n n a n a n n a a a a a a ++++--++---====----， 所以数列23{}2n a -是以23126a -=-为首项，13为公比的等比数列。
【数学】四川省成都市2017届高考一诊试卷(文)
四川省成都市2017届高考数学一诊试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合U=R，A={x|（x+l）（x﹣2）＜0}，则∁U A=（）A．（-∞，﹣1）∪（2，+∞）B．[﹣l，2]C．（-∞，﹣1]∪[2，+∞）D．（-1，2）2．命题“若a＞b，则a+c＞b+c”的逆命题是（）A．若a＞b，则a+c≤b+c B．若a+c≤b+c，则a≤bC．若a+c＞b+c，则a＞b D．若a≤b，则a+c≤b+c3．双曲线的离心率为（）A．4B．C．D．4．已知α为锐角，且sinα=，则cos（π+α）=（）A．-B．C．﹣D．5．执行如图所示的程序框图，如果输出的结果为0，那么输入的x为（）A．B．﹣1或1C．﹣1D．16．已知x与y之间的一组数据：x1234y m 3.2 4.87.5若y关于x的线性回归方程为=2.1x﹣1.25，则m的值为（）A．1B．0.85C．0.7D．0.57．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+3）=f（x），且当x∈[0，）时，f（x）=-x3．则f（）=（）A．﹣B．C．﹣D．8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的所有棱中，最长的棱的长度为（）A．B．C．5D．39．将函数f（x）=sin2x+cos2x图象上所有点向右平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，则g（x）图象的一个对称中心是（）A．（，0）B．（，0）C．（﹣，0）D．（，0）10．在直三棱柱ABC﹣A1B l C1中，平面α与棱AB，AC，A1C1，A1B1分别交于点E，F，G，H，且直线AA1∥平面α．有下列三个命题：①四边形EFGH是平行四边形；②平面α∥平面BCC1B1；③平面α⊥平面BCFE．其中正确的命题有（）A．①②B．②③C．①③D．①②③11．已知A，B是圆O：x2+y2=4上的两个动点，||=2，=﹣，若M是线段AB的中点，则•的值为（）A．3B．2C．2D．﹣312．已知曲线C1：y2=tx（y＞0，t＞0）在点M（，2）处的切线与曲线C2：y=e x+l﹣1也相切，则t的值为（）A．4e2B．4e C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．复数z=（i为虚数单位）的虚部为．14．我国南北朝时代的数学家祖暅提出体积的计算原理（组暅原理）：“幂势既同，则积不容异”．“势”即是高，“幂”是面积．意思是：如果两等高的几何体在同高处裁得两几何体的裁面积恒等，那么这两个几何体的体积相等，类比祖暅原理，如图所示，在平面直角坐标系中，图1是一个形状不规则的封闭图形，图2是一个矩形，且当实数t取[0，4]上的任意值时，直线y=t被图1和图2所截得的线段始终相等，则图1的面积为．15．若实数x，y满足约束条件，则3x﹣y的最大值为．16．已知△ABC中，AC=，BC=，△ABC的面积为，若线段BA的延长线上存在点D，使∠BDC=，则CD=．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．某省2016年高中数学学业水平测试的原始成绩采用百分制，发布成绩使用等级制．各等级划分标准为：85分及以上，记为A等；分数在[70，85）内，记为B等；分数在[60，70）内，记为C等；60分以下，记为D等．同时认定A，B，C为合格，D为不合格．已知甲，乙两所学校学生的原始成绩均分布在[50，100]内，为了比较两校学生的成绩，分别抽取50名学生的原始成绩作为样本进行统计．按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出甲校的样本频率分布直方图如图1所示，乙校的样本中等级为C，D 的所有数据的茎叶图如图2所示．（I）求图中x的值，并根据样本数据比较甲乙两校的合格率；（Ⅱ）在乙校的样本中，从成绩等级为C，D的学生中随机抽取两名学生进行调研，求抽出的两名学生中至少有一名学生成绩等级为D的概率．18．在等比数列{a n}中，已知a4=8a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{|a n﹣4|}的前n项和S n．19．如图l，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，BD与EF交于点H，点G，R分别在线段DH，HB上，且=．将△AED，△CFD，△BEF分别沿DE，DF，EF折起，使点A，B，C重合于点P，如图2所示，（I）求证：GR⊥平面PEF；（Ⅱ）若正方形ABCD的边长为4，求三棱锥P﹣DEF的内切球的半径．20．已知椭圆的右焦点为F，设直线l：x=5与x轴的交点为E，过点F且斜率为k的直线l1与椭圆交于A，B两点，M为线段EF的中点．（I）若直线l1的倾斜角为，|AB|的值；（Ⅱ）设直线AM交直线l于点N，证明：直线BN⊥l．21．已知函数f（x）=x ln x+（l﹣k）x+k，k∈R．（I）当k=l时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x＞1时，求使不等式f（x）＞0恒成立的最大整数k的值．请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，倾斜角为α（α≠）的直线l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρcos2θ﹣4sinθ=0．（I）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点P（1，0）．若点M的极坐标为（1，），直线l经过点M且与曲线C相交于A，B两点，设线段AB的中点为Q，求|PQ|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=x+1+|3﹣x|，x≥﹣1．（I）求不等式f（x）≤6的解集；（Ⅱ）若f（x）的最小值为n，正数a，b满足2nab=a+2b，求2a+b的最小值．参考答案一、选择题1．C 2．B 4．A 5．C 6．D 7．B 8．B 9．D 10．C 11．A 12．A 二、填空题13．114．815．6 16．三、解答题17．解：（Ⅰ）由题意知10x+0.012×10+0.056×10+0.018×10+0.010×10=1，解得x=0.004，∴甲学校的合格率为1﹣10×0.004=0.96，而乙学校的合格率为：1﹣=0.96，故甲乙两校的合格率相同．（Ⅱ）由题意，将乙校样本中成绩等级为C，D的6名学生记为C1，C2，C3，C4，D1，D2，则随机抽取2名学生的基本事件有：{C1，C2}，{C1，C3}，{C1，C4}，{C1，D1}，{C1，D2}，{C2，C3}，{C2，C4}，{C2，D1}，{C2，D2}，{C3，C4}，{C3，D1}，{C3，D2}，{C4，D1}，{C4，D2}，{D1，D2}，共15个，其中“抽出的两名学生中至少有一名学生成绩等级为D”包含的基本事件有9个，∴抽出的两名学生中至少有一名学生成绩等级为D的概率p=．18．解：（I）设等比数列{a n}的公比为q，∵a4=8a1，∴=8a1，a1≠0，解得q=2．又a1，a2+1，a3成等差数列，∴2（a2+1）=a1+a3，∴2（2a1+1）=a1（1+22），解得a1=2．∴a n=2n．（II）n=1时，a1﹣4=﹣2＜0，∴S1=2．当n≥2时，a n﹣4≥0．∴数列{|a n﹣4|}的前n项和S n=2+（a2﹣4）+（a3﹣4）+…+（a n﹣4）=2+22+23+…+2n﹣4（n﹣1）=﹣4（n﹣1）=2n+1﹣4n+2．∴S n=．19．证明：（Ⅰ）在正方形ABCD中，∠A、∠B、∠C均为直角，∴在三棱锥P﹣DEF中，PE，PF，PD三条线段两两垂直，∴PD⊥平面PEF，∵=，即，∴在△PDH中，RG∥PD，∴GR⊥平面PEF．解：（Ⅱ）正方形ABCD边长为4，由题意PE=PF=2，PD=4，EF=2，DF=2，∴S△PDF=2，S△DEF=S△DPE=4，=6，设三棱锥P﹣DEF的内切球半径为r，则三棱锥的体积：=，解得r=，∴三棱锥P﹣DEF的内切球的半径为．20．解：（I）由题意可知：椭圆，a=，b=2，c=1，则F（1，0），E（5，0），M（3，0），由直线l1的倾斜角为，则k=1，直线l的方程y=x﹣1，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，整理得：9x2﹣10x﹣15=0，则x1+x2=，x1x2=﹣，则丨AB丨=•=，|AB|的值；（Ⅱ）设直线l1的方程为y=k（x﹣1），设A（x1，y1），B（x2，y2），则，整理得：（4+5k2）x2﹣10k2x+5k2﹣20=0，则x1+x2=，x1x2=，设N（5，y0），由A，M，N三点共线，有=，则y0=，由y0﹣y2=﹣y2=﹣k（x2﹣1）=，==0，∴直线BN∥x轴，∴BN⊥l．21．解：（Ⅰ）当k=1时，f（x）=x ln x+1，∴f′（x）=ln x+1，由f′（x）＞0，得x＞；由f′（x）＜0，得0＜x＜，∴f（x）的单调递增区间为（，+∞），单调减区间为（0，）．（Ⅱ）由f（x）＞0恒成立，得x ln x+（1﹣k）x+k＞0，∴（x﹣1）k＜x ln x+x，∵x＞1，∴k＜恒成立，设g（x）=，则g′（x）=，令μ（x）=﹣ln x+x﹣2，则，∵x＞0，∴μ′（x）＞0，μ（x）在（1，+∞）上单调递增，而μ（3）=1﹣ln3＜0，μ（4）=2﹣ln4＞0，∴存在x0∈（3，4），使μ（x0）=0，即x0﹣2=ln x0，∴当x∈（x0，+∞）时，g′（x）＜0，此时函数g（x）单调递减，当x∈（x0，+∞）时，g′（x0）＞0，此时函数g（x）单调递增，∴g（x）在x=x0处有极小值（也是最小值），∴==x0∈（3，4），又由k＜g（x）恒成立，即k＜g（x）min=x0，∴k的最大整数值为3．22．解：（Ⅰ）∵直线l的参数方程为（t为参数）．∴直线l的普通方程为y=tanα•（x﹣1），由曲线C的极坐标方程是ρcos2θ﹣4sinθ=0，得ρ2cos2θ﹣4ρsinθ=0，∴x2﹣4y=0，∴曲线C的直角坐标方程为x2=4y．（Ⅱ）∵点M的极坐标为（1，），∴点M的直角坐标为（0，1），∴tanα=﹣1，直线l的倾斜角为，∴直线l的参数方程为，代入x2=4y，得，设A，B两点对应的参数为t1，t2，∵Q为线段AB的中点，∴点Q对应的参数值为，又P（1，0），则|PQ|=||=3．23．解：（Ⅰ）根据题意，函数f（x）=x+1+|3﹣x|，x≥﹣1．若f（x）≤6，则有或，解可得﹣1≤x≤4，故原不等式的解集为{x|﹣1≤x≤4}；（Ⅱ）函数f（x）=x+1+|3﹣x|=，分析可得f（x）的最小值为4，即n=4；则正数a，b满足8ab=a+2b，即+=8，2a+b=（+）（2a+b）=（++5）≥（5+2）=；即2a+b的最小值为．。
四川省乐山市2017年高考数学二模试卷(文科) 有答案
2017年四川省乐山市高考数学二模试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合U={1，2，3，4，5，6}M={1，2}，N={2，3，4}，则M∩（∁U N）=（）A．{1} B．{2} C．{1，2，5，6}D．{1，2，3，4}2．已知i是虚数单位，若复数满足，则复数z对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．命题“∃x0∈（0，+∞），lnx0=2x0+1”的否定是（）A．∃x0∈（0，+∞），lnx0≠2x0+1 B．∃x0∉（0，+∞），lnx0=2x0+1C．∀x∈（0，+∞），lnx≠2x+1 D．∀x∉（0，+∞），lnx≠2x+14．若向量满足条件3与共线，则x的值为（）A．﹣2 B．﹣4 C．2 D．45．如图是某公司10个销售店某月销售某产品数量（单位：台）的茎叶图，则数据落在区间[22，30）内的概率为（）A．0.2 B．0.4 C．0.5 D．0.66．已知某几何体的三视图如，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（）A．B．C．2cm3D．4cm37．设p在[0，5]上随机地取值，则关于x的方程x2+px+1=0有实数根的概率为（）A．B．C．D．8．如图，已知点P（﹣3，﹣1），OA为第一象限的角平分线，将OA沿逆时针旋转θ角到OB，若，则tanθ的值为（）A．2 B．3 C．﹣2 D．﹣39．设偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），则满足f（a﹣2）＞0的实数a的取值范围为（）A．（2，+∞） B．（4，+∞） C．（0，4）D．（﹣∞，0）∪（4，+∞）10．对于数列{a n}，定义H0=为{a n}的“优值”．现已知某数列的“优值”H0=2n+1，记数列{a n﹣20}的前n项和为S n，则S n的最小值为（）A．﹣64 B．﹣68 C．﹣70 D．﹣7211．如图，M（x M，y M），N（x N，y N）分别是函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象与两条直线l1：y=m（A≥m≥0），l2：y=﹣m的两个交点，记S（m）=|x M﹣x N|，则S （m）的图象大致是（）A．B．C．D．12．定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，则不等式e x f（x）＞e x+3（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（0，+∞） B．（﹣∞，0）∪（3，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（3，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．利用分层抽样的方法在学生总数为800的年级中抽取20名同学，其中女生人数为8人，则该年级男生人数为．14．某算法的程序框图如图所示，则改程序输出的结果为．15．双曲线C的左右焦点分别为F1、F2，且F2恰为抛物线y2=4x的焦点．设双曲线C与该抛物线的一个交点为A，若△AF1F2是以AF1的底边的等腰三角形，则双曲线C的离心率为．16．对于函数f（x）=x|x|+px+q，现给出四个命题：①q=0时，f（x）为奇函数②y=f（x）的图象关于（0，q）对称③p=0，q＞0时，方程f（x）=0有且只有一个实数根④方程f（x）=0至多有两个实数根其中正确命题的序号为．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．（12分）已知数列{a n}满足a1=3，．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=log2，数列{b n}的前n项和为S n，求使S n＜﹣4的最小自然数n．18．（12分）某加油站20名员工日销售量的频率分布直方图，如图所示：（Ⅰ）补全该频率分布直方图在[20，30）的部分，并分别计算日销售量在[10，20），[20，30）的员工数；（Ⅱ）在日销量为[10，30）的员工中随机抽取2人，求这两名员工日销量在[20，30）的概率．19．（12分）如图，已知⊙O的直径AB=3，点C为⊙O上异于A，B的一点，VC⊥平面ABC，且VC=2，点M为线段VB的中点．（1）求证：BC⊥平面VAC；（2）若直线AM与平面VAC所成角为，求三棱锥B﹣ACM的体积．20．（12分）已知椭圆C：的离心率为，其左、右焦点分别为F1，F2，点P是坐标平面内一点，且，其中O为坐标原点．（1）求椭圆C的方程；（2）过点，且斜率为k的直线l交椭圆于A，B两点，在y轴上是否存在定点M，使得以AB为直径的圆恒过这个定点？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=e x﹣x2+a，x∈R，曲线y=f（x）在（0，f（0））处的切线方程为y=bx．（1）求f（x）的解析式；（2）当x∈R时，求证：f（x）≥﹣x2+x；（3）若f（x）≥kx对任意的x∈（0，+∞）恒成立，求实数k的取值范围．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按照所做的第一题计分．[选修4-4：极坐标与参数方程]（共1小题，满分10分）22．（10分）在平面直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为（t为参数，0≤θ＜π），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=﹣4cosα，圆C的圆心到直线l的距离为（1）求θ的值；（2）已知P（1，0），若直线l与圆C交于A，B两点，求的值．[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）23．已知定义在R上的函数f（x）=|x﹣m|+|x|，m∈N*，若存在实数x使得f（x）＜2成立．（1）求实数m的值；（2）若α，β＞1，f（α）+f（β）=6，求证：．2017年四川省乐山市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合U={1，2，3，4，5，6}M={1，2}，N={2，3，4}，则M∩（∁U N）=（）A．{1} B．{2} C．{1，2，5，6}D．{1，2，3，4}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】先求出C U N，由此利用交集定义能求出M∩（∁U N）．【解答】解：∵集合U={1，2，3，4，5，6}，M={1，2}，N={2，3，4}，∴C U N={1，5，6}，∴M∩（∁U N）={1}．故选：A．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意补集、交集定义的合理运用．2．已知i是虚数单位，若复数满足，则复数z对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把已知等式变形，求出复数z对应的点的坐标得答案．【解答】解：由，得z=2i（1+i）=﹣2+2i，对应的点的坐标为（﹣2，2），∴复数z对应的点位于第二象限．故选：B．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3．命题“∃x0∈（0，+∞），lnx0=2x0+1”的否定是（）A．∃x0∈（0，+∞），lnx0≠2x0+1 B．∃x0∉（0，+∞），lnx0=2x0+1C．∀x∈（0，+∞），lnx≠2x+1 D．∀x∉（0，+∞），lnx≠2x+1【考点】命题的否定．【分析】根据特称命题否定的方法，结合已知中的原命题，可得答案．【解答】解：命题“∃x0∈（0，+∞），lnx0=2x0+1”的否定是：“∀x∈（0，+∞），lnx≠2x+1”故选：C．【点评】本题考查的知识点是命题的否定，难度不大，属于基础题．4．若向量满足条件3与共线，则x的值为（）A．﹣2 B．﹣4 C．2 D．4【考点】平面向量的坐标运算．【分析】先利用平面向量运算法则求出，再由向量共线的条件能求出x．【解答】解：∵向量，∴3=（﹣6，0）+（2，1）=（﹣4，1），∵3与共线，∴﹣=，解得x=﹣4．故选：B．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量运算法则的合理运用．5．如图是某公司10个销售店某月销售某产品数量（单位：台）的茎叶图，则数据落在区间[22，30）内的概率为（）A．0.2 B．0.4 C．0.5 D．0.6【考点】古典概型及其概率计算公式；茎叶图．【分析】由茎叶图10个原始数据数据，数出落在区间[22，30）内的个数，由古典概型的概率公式可得答案．【解答】解：由茎叶图10个原始数据，数据落在区间[22，30）内的共有4个，包括2个22，1个27，1个29，则数据落在区间[22，30）内的概率为=0.4．故选B．【点评】本题考查古典概型及其概率公式，涉及茎叶图的应用，属基础题．6．已知某几何体的三视图如，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（）A．B．C．2cm3D．4cm3【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由题目给出的几何体的三视图，还原得到原几何体，然后直接利用三棱锥的体积公式求解．【解答】解：由三视图可知，该几何体为底面是正方形，且边长为2cm，高为2cm的四棱锥，如图，故，故选B．【点评】本题考查了棱锥的体积，考查了空间几何体的三视图，能够由三视图还原得到原几何体是解答该题的关键，是基础题．7．设p在[0，5]上随机地取值，则关于x的方程x2+px+1=0有实数根的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】由题意知方程的判别式大于等于零求出p的范围，再判断出所求的事件符合几何概型，再由几何概型的概率公式求出所求事件的概率．【解答】解：若方程x2+px+1=0有实根，则△=p2﹣4≥0，解得，p≥2或p≤﹣2；∵记事件A：“P在[0，5]上随机地取值，关于x的方程x2+px+1=0有实数根”，由方程x2+px+1=0有实根符合几何概型，∴P（A）==．故选C．【点评】本题考查了求几何概型下的随机事件的概率，即求出所有实验结果构成区域的长度和所求事件构成区域的长度，再求比值．8．如图，已知点P（﹣3，﹣1），OA为第一象限的角平分线，将OA沿逆时针旋转θ角到OB，若，则tanθ的值为（）A．2 B．3 C．﹣2 D．﹣3【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由已知，求出tan（θ+45°）=﹣3，利用角的等价变换45°=θ+45°﹣θ，求出tanθ．【解答】解：∵，则，又点P（﹣3，﹣1），则tan（θ+45°）=﹣3，所以tanθ=tan（θ+45°﹣θ）==；故选A【点评】本题考查了平面向量垂直的性质、三角函数的坐标法定义以及两角和的正切公式；关键是求出tan（θ+45°），利用角的等价变换求出tanθ．9．设偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），则满足f（a﹣2）＞0的实数a的取值范围为（）A．（2，+∞） B．（4，+∞） C．（0，4）D．（﹣∞，0）∪（4，+∞）【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．【解答】解：∵偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），∴函数f（x）在[0，+∞）上为增函数，f（2）=0∴不等式f（a﹣2）＞0等价为f（|a﹣2|）＞f（2），即|a﹣2|＞2，即a﹣2＞2或a﹣2＜﹣2，解得a＞4或a＜0，故选D．【点评】本题主要考查不等式的求解，以及函数奇偶性和单调性的应用，综合考查函数的性质．10．对于数列{a n}，定义H0=为{a n}的“优值”．现已知某数列的“优值”H0=2n+1，记数列{a n﹣20}的前n项和为S n，则S n的最小值为（）A．﹣64 B．﹣68 C．﹣70 D．﹣72【考点】数列的求和．【分析】由{a n}的“优值”的定义可知a1+2a2+…+2n﹣1•a n=n•2n+1，当n≥2时，a1+2a2+…+2n﹣2•a n﹣1=（n﹣1）•2n，则求得a n=2（n+1），则a n﹣20=2n﹣18，由数列的单调性可知当n=8或9时，{a n ﹣20}的前n项和为S n，取最小值．【解答】解：由题意可知：H0==2n+1，则a1+2a2+…+2n﹣1•a n=n•2n+1，当n≥2时，a1+2a2+…+2n﹣2•a n﹣1=（n﹣1）•2n，两式相减得：2n﹣1•a n=n•2n+1﹣（n﹣1）•2n，a n=2（n+1），当n=1时成立，∴a n﹣20=2n﹣18，当a n﹣20≤0时，即n≤9时，故当n=8或9时，{a n﹣20}的前n项和为S n，取最小值，最小值为S8=S9==﹣72，故选D．【点评】本题考查等差数列的通项公式，数列与函数单调性的应用，考查计算能力，属于中档题．11．如图，M（x M，y M），N（x N，y N）分别是函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象与两条直线l1：y=m（A≥m≥0），l2：y=﹣m的两个交点，记S（m）=|x M﹣x N|，则S （m）的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】正弦函数的图象．【分析】由已知条件及所给函数的图象知，图象从M点到N点的变化正好是半个周期，故|x M﹣x N|=，S（m）的图象大致是常函数．【解答】解：如图所示，作曲线y=f（x）的对称轴x=x1，x=x2，点M与点D关于直线x=x1对称，点N与点C关于直线x=x2对称，∴x M+x D=2x1，x C+x N=2x2；∴x D=2x1﹣x M，x C=2x2﹣x N；又点M与点C、点D与点N都关于点B对称，∴x M+x C=2x B，x D+x N=2x B，∴x M+2x2﹣x N=2x B，2x1﹣x M+x N=2x B，∴x M﹣x N=2（x B﹣x2）=﹣，∴x N﹣x M=2（x B﹣x1）=，∴|x M﹣x N|=，T为f（x）的最小正周期；S（m）的图象大致是常数函数．故选：C．【点评】本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了转化思想与数形结合的应用问题，是综合性题目．12．定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，则不等式e x f（x）＞e x+3（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（0，+∞） B．（﹣∞，0）∪（3，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（3，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算．【分析】构造函数g（x）=e x f（x）﹣e x，（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解【解答】解：设g（x）=e x f（x）﹣e x，（x∈R），则g′（x）=e x f（x）+e x f′（x）﹣e x=e x[f（x）+f′（x）﹣1]，∵f（x）+f′（x）＞1，∴f（x）+f′（x）﹣1＞0，∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定义域上单调递增，∵e x f（x）＞e x+3，∴g（x）＞3，又∵g（0）═e0f（0）﹣e0=4﹣1=3，∴g（x）＞g（0），∴x＞0故选：A．【点评】本题考查函数单调性与奇偶性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．利用分层抽样的方法在学生总数为800的年级中抽取20名同学，其中女生人数为8人，则该年级男生人数为480．【考点】系统抽样方法．【分析】先求得分层抽样的抽取比例，根据样本中女生抽到的人数，求总体中女生数，可得总体中男生数．【解答】解由于样本容量为20，则男生的人数为12人，则该年级男生人数为×800=480，故答案为：480【点评】本题考查了分层抽样方法，熟练掌握分层抽样的特征是解答本题的关键．14．某算法的程序框图如图所示，则改程序输出的结果为．【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，i的值，当i=10时，不满足条件i≤9，退出循环，由裂项法即可计算可得输出S的值．【解答】解：模拟程序的运行，可得i=1，S=0，满足条件i≤9，执行循环体，S=，i=2满足条件i≤9，执行循环体，S=+，i=3…i=9，满足条件i≤9，执行循环体，S=++…+，i=10不满足条件i≤9，退出循环，输出S=++…+=1﹣=．故答案为：．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，依次写出每次循环得到的S，i的值是解题的关键，属于基本知识的考查．15．双曲线C的左右焦点分别为F1、F2，且F2恰为抛物线y2=4x的焦点．设双曲线C与该抛物线的一个交点为A，若△AF1F2是以AF1的底边的等腰三角形，则双曲线C的离心率为1+．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出抛物线的焦点坐标，即可得到双曲线C的值，利用抛物线与双曲线的交点以及△AF1F2是以AF1为底边的等腰三角形，结合双曲线a、b、c关系求出a的值，然后求出离心率．【解答】解：抛物线的焦点坐标（1，0），所以双曲线中，c=1，因为双曲线C与该抛物线的一个交点为A，若△AF1F2是以AF1为底边的等腰三角形，由抛物线的定义可知，抛物线的准线方程过双曲线的左焦点，所以，c2=a2+b2=1，解得a=﹣1，双曲线的离心率e==1+．故答案为：1+．【点评】本题考查抛物线的简单性质以及双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．16．对于函数f（x）=x|x|+px+q，现给出四个命题：①q=0时，f（x）为奇函数②y=f（x）的图象关于（0，q）对称③p=0，q＞0时，方程f（x）=0有且只有一个实数根④方程f（x）=0至多有两个实数根其中正确命题的序号为①②③．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①若f（x）为奇函数，则f（0）=q=0，反之若q=0，f（x）=x|x|+px为奇函数；②y=x|x|+px为奇函数，图象关于（0，0）对称，再利用图象变换可得结论；③当p=0，q＞0时，x＞0时，方程f（x）=0的无解，x＜0时，f（x）=0的解为x=；④q=0，p=1时，方程f（x）=0的解为x=0或x=1或x=﹣1，即方程f（x）=0有3个实数根．【解答】解：①若f（x）为奇函数，则f（0）=q=0，反之若q=0，f（x）=x|x|+px为奇函数，所以①正确．②y=x|x|+px为奇函数，图象关于（0，0）对称，把y=x|x|+px图象上下平移可得f（x）=x|x|+px+q 图象，即得f（x）的图象关于点（0，q）对称，所以②正确．③当p=0，q＞0时，x＞0时，方程f（x）=0的无解，x＜0时，f（x）=0的解为x=﹣（舍去正根），故③正确．④q=0，p=﹣1时，方程f（x）=0的解为x=0或x=1或x=﹣1，即方程f（x）=0有3个实数根，故④不正确．故答案为：①②③【点评】本题考查命题的真假判断和应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．（12分）（2017•乐山二模）已知数列{a n}满足a1=3，．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=log2，数列{b n}的前n项和为S n，求使S n＜﹣4的最小自然数n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）由数列{}是以2为首项，1为公差的等差数列，=2+n﹣1=n+1，即可求得数列{a n}的通项公式；（2）由（1）可知b n=log2=log2=log2（n+1）﹣log2（n+2），求得S n=b1+b2+…+b n=1﹣log2（n+2），由S n＜﹣4，利用对数的运算性质，即可求得最小自然数n的值．【解答】解：（1）由，则数列{}是以2为首项，1为公差的等差数列，∴=2+n﹣1=n+1，∴a n=n2+2n，数列{a n}的通项公式a n=n2+2n；（2）b n=log2=log2=log2=log2（n+1）﹣log2（n+2），数列{b n}的前n项和为S n，S n=b1+b2+…+b n=log22﹣log23+log23﹣log24+…+log2（n+1）﹣log2（n+2），=1﹣log2（n+2），由S n＜﹣4，1﹣log2（n+2）＜﹣4，log2（n+2）＞5=log232，∴n+2＞32，解得：n＞30，满足S n＜﹣4的最小自然数n为31．【点评】本题考查等差数列的性质，等差数列通项公式，对数的运算性质，考查计算能力，属于中档题．18．（12分）（2017•乐山二模）某加油站20名员工日销售量的频率分布直方图，如图所示：（Ⅰ）补全该频率分布直方图在[20，30）的部分，并分别计算日销售量在[10，20），[20，30）的员工数；（Ⅱ）在日销量为[10，30）的员工中随机抽取2人，求这两名员工日销量在[20，30）的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）先求出日销售量在[20，30）的频率，从而能求出销售量在[20，30）的小矩形高度，进而能求出频率分布图，由此能求出日销售量在[10，20）的员工数和日销售量在[20，30）的员工数．（Ⅱ）由（Ⅰ）知日销售量在[10，30）的员工共有6人，在[10，20）的员工共有2人，在[20，30）的员工有4人，由此利用等可能事件概率计算公式能求出这两名员工日销量在[20，30）的概率．【解答】解：（Ⅰ）日销售量在[20，30）的频率为1﹣10×（0.010+0.030+0.025+0.015）=0.2，故销售量在[20，30）的小矩形高度为=0.02，∴频率分布图如右图所示：日销售量在[10，20）的员工数为：20×10×0.010=2，日销售量在[20，30）的员工数为：20×10×0.020=4．（Ⅱ）由（Ⅰ）知日销售量在[10，30）的员工共有6人，在[10，20）的员工共有2人，在[20，30）的员工有4人，从此6人中随机抽2人，基本事件总数n==15，这2名员工日销售量在[20，30）包含的基本事件个数m=，∴这两名员工日销量在[20，30）的概率p=．【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．19．（12分）（2017•乐山二模）如图，已知⊙O的直径AB=3，点C为⊙O上异于A，B的一点，VC⊥平面ABC，且VC=2，点M为线段VB的中点．（1）求证：BC⊥平面VAC；（2）若直线AM与平面VAC所成角为，求三棱锥B﹣ACM的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）根据线面垂直的判定定理即可证明BC⊥平面VAC；（2）根据线面所成角的大小确定三棱锥的边长关系，结合三棱锥的体积公式进行计算即可．【解答】（1）证明：因为VC⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以VC⊥BC，又因为点C为圆O上一点，且AB为直径，所以AC⊥BC，又因为VC，AC⊂平面VAC，VC∩AC=C，所以BC⊥平面VAC．…（2）如图，取VC的中点N，连接MN，AN，则MN∥BC，由（I）得BC⊥平面VAC，所以MN⊥平面VAC，则∠MAN为直线AM与平面VAC所成的角．即∠MAN=，所以MN=AN；…令AC=a，则BC=，MN=；因为VC=2，M为VC中点，所以AN=，所以，=，解得a=1…（10分）因为MN∥BC，所以…（12分）【点评】本题主要考查线面垂直的判断以及三棱锥的体积的计算，考查学生的推理能力．20．（12分）（2017•乐山二模）已知椭圆C：的离心率为，其左、右焦点分别为F1，F2，点P是坐标平面内一点，且，其中O为坐标原点．（1）求椭圆C的方程；（2）过点，且斜率为k的直线l交椭圆于A，B两点，在y轴上是否存在定点M，使得以AB为直径的圆恒过这个定点？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）由椭圆的离心率为，得a2=2c2，设p（m，n），又F1（﹣c，0），F2（c，0），由，列出方程组求出c=1，从而a=，b=1，由此能求出椭圆C的方程．（2）设直线AB为：y=kx﹣，代入椭圆，得：（2k2+1）x2﹣﹣﹣=0，由此利用根的判别式、韦达定理、向量的数量积，结合已知条件，能求出在y轴上存在定点M（0，1），以AB为直径的圆恒过这个定点．【解答】解：（1）∵椭圆C：的离心率为，∴=，解得a2=2c2，设p（m，n），又F1（﹣c，0），F2（c，0），∵椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，点P是坐标平面内一点，且，∴，解得c=1，∴a=，b=1，∴椭圆C的方程为=1．（2）设直线AB为：y=kx﹣，代入椭圆，整理，得：（2k2+1）x2﹣﹣﹣=0，△＞0成立，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，设存在定点M（m，0），使=0，则（x1，y1﹣m）•（x2，y2﹣m）==0，整理，得+=0，即﹣16（k2+1）﹣12k2（m+）+9（2k2+1）（m2+）=0，要满足题意，则有，解得m=1，∴在y轴上存在定点M（0，1），使得以AB为直径的圆恒过这个定点（0，1）．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、直线方程、向量的数量积、椭圆性质的合理运用．21．（12分）（2017•乐山二模）已知函数f（x）=e x﹣x2+a，x∈R，曲线y=f（x）在（0，f（0））处的切线方程为y=bx．（1）求f（x）的解析式；（2）当x∈R时，求证：f（x）≥﹣x2+x；（3）若f（x）≥kx对任意的x∈（0，+∞）恒成立，求实数k的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；导数的运算；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）利用图象在点x=0处的切线为y=bx，求出a，b，即可求函数f（x）的解析式；（2）令φ（x）=f（x）+x2﹣x=e x﹣x﹣1，确定函数的单调性，可得φ（x）min=φ（0）=0，即可证明：f（x）≥﹣x2+x；（3）f（x）≥kx对任意的x∈（0，+∞）恒成立⇔≥k对任意的x∈（0，+∞）恒成立，k≤g（x）min=g（1）=0，即可求实数k的取值范围．【解答】解：（1）f（x）=e x﹣x2+a，f'（x）=e x﹣2x．由已知⇒，f（x）=e x﹣x2﹣1．…（2）令φ（x）=f（x）+x2﹣x=e x﹣x﹣1，φ'（x）=e x﹣1，由φ'（x）=0，得x=0，当x∈（﹣∞，0）时，φ'（x）＜0，φ（x）单调递减；当x∈（0，+∞）时，φ'（x）＞0，φ（x）单调递增．∴φ（x）min=φ（0）=0，从而f（x）≥﹣x2+x．…（8分）（3）f（x）＞kx对任意的x∈（0，+∞）恒成立⇔≥k对任意的x∈（0，+∞）恒成立，令g（x）=，x＞0，∴g′（x）=，由（2）可知当x∈（0，+∞）时，e x﹣x﹣1＞0恒成立，…（10分）令g'（x）＞0，得x＞1；g'（x）＜0，得0＜x＜1．∴g（x）的增区间为（1，+∞），减区间为（0，1）．g（x）min=g（1）=0．∴k≤g（x）min=g（1）=e﹣2，∴实数k的取值范围为（﹣∞，e﹣2]．…（14分）【点评】此题主要考查了利用导数求闭区间上函数的最值问题，考查了函数的单调性，属于中档题．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按照所做的第一题计分．[选修4-4：极坐标与参数方程]（共1小题，满分10分）22．（10分）（2017•乐山二模）在平面直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为（t为参数，0≤θ＜π），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=﹣4co sα，圆C的圆心到直线l的距离为（1）求θ的值；（2）已知P（1，0），若直线l与圆C交于A，B两点，求的值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）消去参数t，可得直线l的普通方程，根据ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2可得圆C 的普通坐标方程，利用圆心到直线的距离可得θ的值．（2）利用直线的参数的几何意义，将直线带入圆中，利用韦达定理可得答案．【解答】解：（1）由直线l的参数方程为（t为参数，0≤θ＜π），消去参数t，可得：xsinθ﹣ycosθ﹣sinθ=0．圆C的极坐标方程为ρ=﹣4cosα，即ρ2=﹣4ρcosα．可得圆C的普通坐标方程为：x2+y2+4x=0，可知圆心为（﹣2，0），圆C的圆心到直线l的距离为d=由题意：d=，即∴sinθ=．∵0≤θ＜π，∴或．（2）已知P（1，0），在P在直线l上，直线l与圆C交于A，B两点，将带入圆C的普通坐标方程x2+y2+4x=0可得：（1+tcosθ）2+（tsinθ）2+4（1+tcosθ）=0∴t2+6tcosθ+5=0．设A，B对于的参数为t1．t2，则t1+t2=﹣6cosθ，t1•t2=5，∵t1•t2＞0，t1，t2是同号．∴=．【点评】本题考查参数方程、极坐标方程、普通方程的互化，以及应用，本题考查了直线参数方程的几何意义，属于中档题[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）23．（2017•乐山二模）已知定义在R上的函数f（x）=|x﹣m|+|x|，m∈N*，若存在实数x使得f（x）＜2成立．（1）求实数m的值；（2）若α，β＞1，f（α）+f（β）=6，求证：．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（1）|x﹣m|+|x|≥|x﹣m﹣x|=|m|，要使|x﹣m|+|x|＜2有解，则|m|＜2，m∈N*，解得m；（2）α，β＞1，f（α）+f（β）=2α﹣1+2β﹣1=6，可得α+β=4．再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：（1）∵|x﹣m|+|x|≥|x﹣m﹣x|=|m|，∴要使|x﹣m|+|x|＜2有解，则|m|＜2，解得﹣2＜m＜2．∵m∈N*，∴m=1．（2）证明：α，β＞1，f（α）+f（β）=2α﹣1+2β﹣1=6，∴α+β=4，∴+≥（+）（α+β）=（5++）≥（5+2=，当且仅当=即α=，β=时“=”成立，故+≥．【点评】本题考查了绝对值不等式的性质、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。
2017年四川省乐山市高考数学二模试卷(文科)(解析版)
2017年四川省乐山市高考数学二模试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合U＝{1，2，3，4，5，6}M＝{1，2}，N＝{2，3，4}，则M∩（∁U N）＝（）A．{1}B．{2}C．{1，2，5，6}D．{1，2，3，4} 2．（5分）已知i是虚数单位，若复数满足，则复数z对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）命题“∃x0∈（0，+∞），lnx0＝2x0+1”的否定是（）A．∃x0∈（0，+∞），lnx0≠2x0+1B．∃x0∉（0，+∞），lnx0＝2x0+1C．∀x∈（0，+∞），lnx≠2x+1D．∀x∉（0，+∞），lnx≠2x+14．（5分）若向量满足条件3与共线，则x的值为（）A．﹣2B．﹣4C．2D．45．（5分）如图是某公司10个销售店某月销售某产品数量（单位：台）的茎叶图，则数据落在区间[22，30）内的概率为（）A．0.2B．0.4C．0.5D．0.66．（5分）已知某几何体的三视图如，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（）A．B．C．2cm3D．4cm37．（5分）设p在[0，5]上随机地取值，则关于x的方程x2+px+1＝0有实数根的概率为（）A．B．C．D．8．（5分）如图，已知点P（﹣3，﹣1），OA为第一象限的角平分线，将OA沿逆时针旋转θ角到OB，若，则tanθ的值为（）A．2B．3C．﹣2D．﹣39．（5分）设偶函数f（x）满足f（x）＝2x﹣4（x≥0），则满足f（a﹣2）＞0的实数a的取值范围为（）A．（2，+∞）B．（4，+∞）C．（0，4）D．（﹣∞，0）∪（4，+∞）10．（5分）对于数列{a n}，定义H0＝为{a n}的“优值”．现已知某数列的“优值”H0＝2n+1，记数列{a n﹣20}的前n项和为S n，则S n的最小值为（）A．﹣64B．﹣68C．﹣70D．﹣7211．（5分）如图，M（x M，y M），N（x N，y N）分别是函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象与两条直线l1：y＝m（A≥m≥0），l2：y＝﹣m的两个交点，记S（m）＝|x M﹣x N|，则S（m）的图象大致是（）A．B．C．D．12．（5分）定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f′（x）＞1，f（0）＝4，则不等式e x f （x）＞e x+3（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（3，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（3，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）利用分层抽样的方法在学生总数为800的年级中抽取20名同学，其中女生人数为8人，则该年级男生人数为．14．（5分）某算法的程序框图如图所示，则改程序输出的结果为．15．（5分）双曲线C的左右焦点分别为F1、F2，且F2恰为抛物线y2＝4x的焦点．设双曲线C与该抛物线的一个交点为A，若△AF1F2是以AF1的底边的等腰三角形，则双曲线C 的离心率为．16．（5分）对于函数f（x）＝x|x|+px+q，现给出四个命题：①q＝0时，f（x）为奇函数②y＝f（x）的图象关于（0，q）对称③p＝0，q＞0时，方程f（x）＝0有且只有一个实数根④方程f（x）＝0至多有两个实数根其中正确命题的序号为．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17．（12分）已知数列{a n}满足a1＝3，．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝log2，数列{b n}的前n项和为S n，求使S n＜﹣4的最小自然数n．18．（12分）某加油站20名员工日销售量的频率分布直方图，如图所示：（Ⅰ）补全该频率分布直方图在[20，30）的部分，并分别计算日销售量在[10，20），[20，30）的员工数；（Ⅱ）在日销量为[10，30）的员工中随机抽取2人，求这两名员工日销量在[20，30）的概率．19．（12分）如图，已知⊙O的直径AB＝3，点C为⊙O上异于A，B的一点，VC⊥平面ABC，且VC＝2，点M为线段VB的中点．（1）求证：BC⊥平面VAC；（2）若直线AM与平面VAC所成角为，求三棱锥B﹣ACM的体积．20．（12分）已知椭圆C：的离心率为，其左、右焦点分别为F1，F2，点P是坐标平面内一点，且，其中O为坐标原点．（1）求椭圆C的方程；（2）过点，且斜率为k的直线l交椭圆于A，B两点，在y轴上是否存在定点M，使得以AB为直径的圆恒过这个定点？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．21．（12分）已知函数f（x）＝e x﹣x2+a，x∈R，曲线y＝f（x）在（0，f（0））处的切线方程为y＝bx．（1）求f（x）的解析式；（2）当x∈R时，求证：f（x）≥﹣x2+x；（3）若f（x）≥kx对任意的x∈（0，+∞）恒成立，求实数k的取值范围．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按照所做的第一题计分．[选修4-4：极坐标与参数方程]（共1小题，满分10分）22．（10分）在平面直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为（t为参数，0≤θ＜π），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝﹣4cosα，圆C的圆心到直线l的距离为（1）求θ的值；（2）已知P（1，0），若直线l与圆C交于A，B两点，求的值．[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）23．已知定义在R上的函数f（x）＝|x﹣m|+|x|，m∈N*，若存在实数x使得f（x）＜2成立．（1）求实数m的值；（2）若α，β＞1，f（α）+f（β）＝6，求证：．2017年四川省乐山市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合U＝{1，2，3，4，5，6}M＝{1，2}，N＝{2，3，4}，则M∩（∁U N）＝（）A．{1}B．{2}C．{1，2，5，6}D．{1，2，3，4}【解答】解：∵集合U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{1，2}，N＝{2，3，4}，∴∁U N＝{1，5，6}，∴M∩（∁U N）＝{1}．故选：A．2．（5分）已知i是虚数单位，若复数满足，则复数z对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：由，得z＝2i（1+i）＝﹣2+2i，对应的点的坐标为（﹣2，2），∴复数z对应的点位于第二象限．故选：B．3．（5分）命题“∃x0∈（0，+∞），lnx0＝2x0+1”的否定是（）A．∃x0∈（0，+∞），lnx0≠2x0+1B．∃x0∉（0，+∞），lnx0＝2x0+1C．∀x∈（0，+∞），lnx≠2x+1D．∀x∉（0，+∞），lnx≠2x+1【解答】解：命题“∃x0∈（0，+∞），lnx0＝2x0+1”的否定是：“∀x∈（0，+∞），lnx≠2x+1”故选：C．4．（5分）若向量满足条件3与共线，则x的值为（）A．﹣2B．﹣4C．2D．4【解答】解：∵向量，∴3＝（﹣6，0）+（2，1）＝（﹣4，1），∵3与共线，∴﹣＝，解得x＝﹣4．故选：B．5．（5分）如图是某公司10个销售店某月销售某产品数量（单位：台）的茎叶图，则数据落在区间[22，30）内的概率为（）A．0.2B．0.4C．0.5D．0.6【解答】解：由茎叶图10个原始数据，数据落在区间[22，30）内的共有4个，包括2个22，1个27，1个29，则数据落在区间[22，30）内的概率为＝0.4．故选：B．6．（5分）已知某几何体的三视图如，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（）A．B．C．2cm3D．4cm3【解答】解：由三视图可知，该几何体为底面是正方形，且边长为2cm，高为2cm的四棱锥，如图，故，故选：B．7．（5分）设p在[0，5]上随机地取值，则关于x的方程x2+px+1＝0有实数根的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：若方程x2+px+1＝0有实根，则△＝p2﹣4≥0，解得，p≥2或p≤﹣2；∵记事件A：“P在[0，5]上随机地取值，关于x的方程x2+px+1＝0有实数根”，由方程x2+px+1＝0有实根符合几何概型，∴P（A）＝＝．故选：C．8．（5分）如图，已知点P（﹣3，﹣1），OA为第一象限的角平分线，将OA沿逆时针旋转θ角到OB，若，则tanθ的值为（）A．2B．3C．﹣2D．﹣3【解答】解：∵，则，又点P（﹣3，﹣1），则tan（θ+45°）＝﹣3，所以tanθ＝tan（θ+45°﹣θ）＝＝；故选：A．9．（5分）设偶函数f（x）满足f（x）＝2x﹣4（x≥0），则满足f（a﹣2）＞0的实数a的取值范围为（）A．（2，+∞）B．（4，+∞）C．（0，4）D．（﹣∞，0）∪（4，+∞）【解答】解：∵偶函数f（x）满足f（x）＝2x﹣4（x≥0），∴函数f（x）在[0，+∞）上为增函数，f（2）＝0∴不等式f（a﹣2）＞0等价为f（|a﹣2|）＞f（2），即|a﹣2|＞2，即a﹣2＞2或a﹣2＜﹣2，解得a＞4或a＜0，故选：D．10．（5分）对于数列{a n}，定义H0＝为{a n}的“优值”．现已知某数列的“优值”H0＝2n+1，记数列{a n﹣20}的前n项和为S n，则S n的最小值为（）A．﹣64B．﹣68C．﹣70D．﹣72【解答】解：由题意可知：H0＝＝2n+1，则a1+2a2+…+2n﹣1•a n＝n•2n+1，当n≥2时，a1+2a2+…+2n﹣2•a n﹣1＝（n﹣1）•2n，两式相减得：2n﹣1•a n＝n•2n+1﹣（n﹣1）•2n，a n＝2（n+1），当n＝1时成立，∴a n﹣20＝2n﹣18，当a n﹣20≤0时，即n≤9时，故当n＝8或9时，{a n﹣20}的前n项和为S n，取最小值，最小值为S8＝S9＝＝﹣72，故选：D．11．（5分）如图，M（x M，y M），N（x N，y N）分别是函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象与两条直线l1：y＝m（A≥m≥0），l2：y＝﹣m的两个交点，记S（m）＝|x M ﹣x N|，则S（m）的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：如图所示，作曲线y＝f（x）的对称轴x＝x1，x＝x2，点M与点D关于直线x＝x1对称，点N与点C关于直线x＝x2对称，∴x M+x D＝2x1，x C+x N＝2x2；∴x D＝2x1﹣x M，x C＝2x2﹣x N；又点M与点C、点D与点N都关于点B对称，∴x M+x C＝2x B，x D+x N＝2x B，∴x M+2x2﹣x N＝2x B，2x1﹣x M+x N＝2x B，∴x M﹣x N＝2（x B﹣x2）＝﹣，∴x N﹣x M＝2（x B﹣x1）＝，∴|x M﹣x N|＝，T为f（x）的最小正周期；S（m）的图象大致是常数函数．故选：C．12．（5分）定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f′（x）＞1，f（0）＝4，则不等式e x f （x）＞e x+3（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（3，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（3，+∞）【解答】解：设g（x）＝e x f（x）﹣e x，（x∈R），则g′（x）＝e x f（x）+e x f′（x）﹣e x＝e x[f（x）+f′（x）﹣1]，∵f（x）+f′（x）＞1，∴f（x）+f′（x）﹣1＞0，∴g′（x）＞0，∴y＝g（x）在定义域上单调递增，∵e x f（x）＞e x+3，∴g（x）＞3，又∵g（0）═e0f（0）﹣e0＝4﹣1＝3，∴g（x）＞g（0），∴x＞0故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）利用分层抽样的方法在学生总数为800的年级中抽取20名同学，其中女生人数为8人，则该年级男生人数为480．【解答】解由于样本容量为20，则男生的人数为12人，则该年级男生人数为×800＝480，故答案为：48014．（5分）某算法的程序框图如图所示，则改程序输出的结果为．【解答】解：模拟程序的运行，可得i＝1，S＝0，满足条件i≤9，执行循环体，S＝，i＝2满足条件i≤9，执行循环体，S＝+，i＝3…i＝9，满足条件i≤9，执行循环体，S＝++…+，i＝10不满足条件i≤9，退出循环，输出S＝++…+＝1﹣＝．故答案为：．15．（5分）双曲线C的左右焦点分别为F1、F2，且F2恰为抛物线y2＝4x的焦点．设双曲线C与该抛物线的一个交点为A，若△AF1F2是以AF1的底边的等腰三角形，则双曲线C 的离心率为1+．【解答】解：抛物线的焦点坐标（1，0），所以双曲线中，c＝1，因为双曲线C与该抛物线的一个交点为A，若△AF1F2是以AF1为底边的等腰三角形，由抛物线的定义可知，抛物线的准线方程过双曲线的左焦点，所以，c2＝a2+b2＝1，解得a＝﹣1，双曲线的离心率e＝＝1+．故答案为：1+．16．（5分）对于函数f（x）＝x|x|+px+q，现给出四个命题：①q＝0时，f（x）为奇函数②y＝f（x）的图象关于（0，q）对称③p＝0，q＞0时，方程f（x）＝0有且只有一个实数根④方程f（x）＝0至多有两个实数根其中正确命题的序号为①②③．【解答】解：①若f（x）为奇函数，则f（0）＝q＝0，反之若q＝0，f（x）＝x|x|+px为奇函数，所以①正确．②y＝x|x|+px为奇函数，图象关于（0，0）对称，把y＝x|x|+px图象上下平移可得f（x）＝x|x|+px+q图象，即得f（x）的图象关于点（0，q）对称，所以②正确．③当p＝0，q＞0时，x＞0时，方程f（x）＝0的无解，x＜0时，f（x）＝0的解为x＝﹣（舍去正根），故③正确．④q＝0，p＝﹣1时，方程f（x）＝0的解为x＝0或x＝1或x＝﹣1，即方程f（x）＝0有3个实数根，故④不正确．故答案为：①②③三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17．（12分）已知数列{a n}满足a1＝3，．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝log2，数列{b n}的前n项和为S n，求使S n＜﹣4的最小自然数n．【解答】解：（1）由，则数列{}是以2为首项，1为公差的等差数列，∴＝2+n﹣1＝n+1，∴a n＝n2+2n，数列{a n}的通项公式a n＝n2+2n；（2）b n＝log2＝log2＝log2＝log2（n+1）﹣log2（n+2），数列{b n}的前n项和为S n，S n＝b1+b2+…+b n＝log22﹣log23+log23﹣log24+…+log2（n+1）﹣log2（n+2），＝1﹣log2（n+2），由S n＜﹣4，1﹣log2（n+2）＜﹣4，log2（n+2）＞5＝log232，∴n+2＞32，解得：n＞30，满足S n＜﹣4的最小自然数n为31．18．（12分）某加油站20名员工日销售量的频率分布直方图，如图所示：（Ⅰ）补全该频率分布直方图在[20，30）的部分，并分别计算日销售量在[10，20），[20，30）的员工数；（Ⅱ）在日销量为[10，30）的员工中随机抽取2人，求这两名员工日销量在[20，30）的概率．【解答】解：（Ⅰ）日销售量在[20，30）的频率为1﹣10×（0.010+0.030+0.025+0.015）＝0.2，故销售量在[20，30）的小矩形高度为＝0.02，∴频率分布图如右图所示：日销售量在[10，20）的员工数为：20×10×0.010＝2，日销售量在[20，30）的员工数为：20×10×0.020＝4．（Ⅱ）由（Ⅰ）知日销售量在[10，30）的员工共有6人，在[10，20）的员工共有2人，在[20，30）的员工有4人，从此6人中随机抽2人，基本事件总数n＝＝15，这2名员工日销售量在[20，30）包含的基本事件个数m＝，∴这两名员工日销量在[20，30）的概率p＝．19．（12分）如图，已知⊙O的直径AB＝3，点C为⊙O上异于A，B的一点，VC⊥平面ABC，且VC＝2，点M为线段VB的中点．（1）求证：BC⊥平面VAC；（2）若直线AM与平面VAC所成角为，求三棱锥B﹣ACM的体积．【解答】（1）证明：因为VC⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以VC⊥BC，又因为点C为圆O上一点，且AB为直径，所以AC⊥BC，又因为VC，AC⊂平面VAC，VC∩AC＝C，所以BC⊥平面VAC．…（4分）（2）如图，取VC的中点N，连接MN，AN，则MN∥BC，由（I）得BC⊥平面VAC，所以MN⊥平面VAC，则∠MAN为直线AM与平面VAC所成的角．即∠MAN＝，所以MN＝AN；…（6分）令AC＝a，则BC＝，MN＝；因为VC＝2，M为VC中点，所以AN＝，所以，＝，解得a＝1…（10分）因为MN∥BC，所以…（12分）20．（12分）已知椭圆C：的离心率为，其左、右焦点分别为F1，F2，点P是坐标平面内一点，且，其中O为坐标原点．（1）求椭圆C的方程；（2）过点，且斜率为k的直线l交椭圆于A，B两点，在y轴上是否存在定点M，使得以AB为直径的圆恒过这个定点？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵椭圆C：的离心率为，∴＝，解得a2＝2c2，设p（m，n），又F1（﹣c，0），F2（c，0），∵椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，点P是坐标平面内一点，且，∴，解得c＝1，∴a＝，b＝1，∴椭圆C的方程为＝1．（2）设直线AB为：y＝kx﹣，代入椭圆，整理，得：（2k2+1）x2﹣﹣﹣＝0，△＞0成立，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，设存在定点M（m，0），使＝0，则（x1，y1﹣m）•（x2，y2﹣m）＝＝0，整理，得+＝0，即﹣16（k2+1）﹣12k2（m+）+9（2k2+1）（m2+）＝0，要满足题意，则有，解得m＝1，∴在y轴上存在定点M（0，1），使得以AB为直径的圆恒过这个定点（0，1）．21．（12分）已知函数f（x）＝e x﹣x2+a，x∈R，曲线y＝f（x）在（0，f（0））处的切线方程为y＝bx．（1）求f（x）的解析式；（2）当x∈R时，求证：f（x）≥﹣x2+x；（3）若f（x）≥kx对任意的x∈（0，+∞）恒成立，求实数k的取值范围．【解答】解：（1）f（x）＝e x﹣x2+a，f'（x）＝e x﹣2x．由已知⇒，f（x）＝e x﹣x2﹣1．…（4分）（2）令φ（x）＝f（x）+x2﹣x＝e x﹣x﹣1，φ'（x）＝e x﹣1，由φ'（x）＝0，得x＝0，当x∈（﹣∞，0）时，φ'（x）＜0，φ（x）单调递减；当x∈（0，+∞）时，φ'（x）＞0，φ（x）单调递增．∴φ（x）min＝φ（0）＝0，从而f（x）≥﹣x2+x．…（8分）（3）f（x）＞kx对任意的x∈（0，+∞）恒成立⇔≥k对任意的x∈（0，+∞）恒成立，令g（x）＝，x＞0，∴g′（x）＝，由（2）可知当x∈（0，+∞）时，e x﹣x﹣1＞0恒成立，…（10分）令g'（x）＞0，得x＞1；g'（x）＜0，得0＜x＜1．∴g（x）的增区间为（1，+∞），减区间为（0，1）．g（x）min＝g（1）＝0．∴k≤g（x）min＝g（1）＝e﹣2，∴实数k的取值范围为（﹣∞，e﹣2]．…（14分）请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按照所做的第一题计分．[选修4-4：极坐标与参数方程]（共1小题，满分10分）22．（10分）在平面直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为（t为参数，0≤θ＜π），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝﹣4cosα，圆C的圆心到直线l的距离为（1）求θ的值；（2）已知P（1，0），若直线l与圆C交于A，B两点，求的值．【解答】解：（1）由直线l的参数方程为（t为参数，0≤θ＜π），消去参数t，可得：x sinθ﹣y cosθ﹣sinθ＝0．圆C的极坐标方程为ρ＝﹣4cosα，即ρ2＝﹣4ρcosα．可得圆C的普通坐标方程为：x2+y2+4x＝0，可知圆心为（﹣2，0），圆C的圆心到直线l的距离为d＝由题意：d＝，即∴sinθ＝．∵0≤θ＜π，∴或．（2）已知P（1，0），在P在直线l上，直线l与圆C交于A，B两点，将带入圆C的普通坐标方程x2+y2+4x＝0可得：（1+t cosθ）2+（t sinθ）2+4（1+t cosθ）＝0∴t2+6t cosθ+5＝0．设A，B对于的参数为t1．t2，则t1+t2＝﹣6cosθ，t1•t2＝5，∵t1•t2＞0，t1，t2是同号．∴＝．[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）23．已知定义在R上的函数f（x）＝|x﹣m|+|x|，m∈N*，若存在实数x使得f（x）＜2成立．（1）求实数m的值；（2）若α，β＞1，f（α）+f（β）＝6，求证：．【解答】解：（1）∵|x﹣m|+|x|≥|x﹣m﹣x|＝|m|，∴要使|x﹣m|+|x|＜2有解，则|m|＜2，解得﹣2＜m＜2．∵m∈N*，∴m＝1．（2）证明：α，β＞1，f（α）+f（β）＝2α﹣1+2β﹣1＝6，∴α+β＝4，∴+≥（+）（α+β）＝（5++）≥（5+2＝，当且仅当＝即α＝，β＝时“＝”成立，故+≥．。
成都市2017级高中毕业班摸底测试数学文科
成都市2017级高中毕业班摸底测试数学文科摘要：一、引言1.成都市2017 级高中毕业班摸底测试数学文科的背景和目的2.数学文科在高考中的重要性二、考试内容概述1.选择题部分2.填空题部分3.解答题部分三、试题分析1.选择题部分解析2.填空题部分解析3.解答题部分解析四、备考建议1.针对选择题的备考策略2.针对填空题的备考策略3.针对解答题的备考策略五、总结1.成都市2017 级高中毕业班摸底测试数学文科的整体评价2.对考生备考的鼓励和期望正文：一、引言成都市2017 级高中毕业班摸底测试数学文科是为了检测学生在数学文科方面的掌握情况，以及帮助他们更好地备战高考。
数学文科在高考中的地位举足轻重，不仅能够拉开分数差距，而且对于大多数专业来说，都是必考科目。
因此，本次摸底测试对于学生来说具有重要的参考价值。
二、考试内容概述成都市2017 级高中毕业班摸底测试数学文科共分为选择题、填空题和解答题三个部分。
选择题部分涵盖了代数、几何、概率与统计等多个方面的知识；填空题部分则主要考察学生对基础知识的掌握程度；解答题部分则侧重于考察学生的综合运用能力和解题技巧。
三、试题分析1.选择题部分解析选择题部分共有12 道题，每题5 分，共计60 分。
试题涵盖了函数、导数、三角函数、数列、立体几何、解析几何等多个方面的知识。
题目设置较为合理，既有基础题型，也有部分拔高题型，能够较好地检验学生的知识掌握程度。
2.填空题部分解析填空题部分共有4 道题，每题10 分，共计40 分。
试题主要考察学生对基础知识的掌握程度，如代数式、分式、二次根式等。
题目难度适中，有利于学生稳定发挥。
3.解答题部分解析解答题部分共有6 道题，共计80 分。
试题涵盖了函数与导数、三角函数、概率与统计、立体几何、解析几何等多个方面的知识。
题目设置较为合理，既有基础题型，也有部分拔高题型，能够较好地检验学生的综合运用能力和解题技巧。
四、备考建议1.针对选择题的备考策略在选择题的备考过程中，学生应该注重基础知识的学习和巩固，加强对数学概念的理解。
【数学】四川省成都市2017届高考一诊试卷(文)
四川省成都市2017届高考数学一诊试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合U=R，A={x|（x+l）（x﹣2）＜0}，则∁U A=（）A．（-∞，﹣1）∪（2，+∞）B．[﹣l，2]C．（-∞，﹣1]∪[2，+∞）D．（-1，2）2．命题“若a＞b，则a+c＞b+c”的逆命题是（）A．若a＞b，则a+c≤b+c B．若a+c≤b+c，则a≤bC．若a+c＞b+c，则a＞b D．若a≤b，则a+c≤b+c3．双曲线的离心率为（）A．4 B．C．D．4．已知α为锐角，且sinα=，则cos（π+α）=（）A．-B．C．﹣D．5．执行如图所示的程序框图，如果输出的结果为0，那么输入的x为（）A．B．﹣1或1 C．﹣1 D．16．已知x与y之间的一组数据：若y关于x的线性回归方程为=2.1x﹣1.25，则m的值为（）A．1 B．0.85 C．0.7 D．0.57．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+3）=f（x），且当x∈[0，）时，f（x）=-x3．则f（）=（）A．﹣B．C．﹣D．8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的所有棱中，最长的棱的长度为（）A．B．C．5 D．39．将函数f（x）=sin2x+cos2x图象上所有点向右平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，则g（x）图象的一个对称中心是（）A．（，0）B．（，0）C．（﹣，0）D．（，0）10．在直三棱柱ABC﹣A1B l C1中，平面α与棱AB，AC，A1C1，A1B1分别交于点E，F，G，H，且直线AA1∥平面α．有下列三个命题：①四边形EFGH是平行四边形；②平面α∥平面BCC1B1；③平面α⊥平面BCFE．其中正确的命题有（）A．①②B．②③C．①③D．①②③11．已知A，B是圆O：x2+y2=4上的两个动点，||=2，=﹣，若M是线段AB的中点，则•的值为（）A．3 B．2C．2 D．﹣312．已知曲线C1：y2=tx（y＞0，t＞0）在点M（，2）处的切线与曲线C2：y=e x+l﹣1也相切，则t的值为（）A．4e2B．4e C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．复数z=（i为虚数单位）的虚部为．14．我国南北朝时代的数学家祖暅提出体积的计算原理（组暅原理）：“幂势既同，则积不容异”．“势”即是高，“幂”是面积．意思是：如果两等高的几何体在同高处裁得两几何体的裁面积恒等，那么这两个几何体的体积相等，类比祖暅原理，如图所示，在平面直角坐标系中，图1是一个形状不规则的封闭图形，图2是一个矩形，且当实数t取[0，4]上的任意值时，直线y=t被图1和图2所截得的线段始终相等，则图1的面积为．15．若实数x，y满足约束条件，则3x﹣y的最大值为．16．已知△ABC中，AC=，BC=，△ABC的面积为，若线段BA的延长线上存在点D，使∠BDC=，则CD=．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．某省2016年高中数学学业水平测试的原始成绩采用百分制，发布成绩使用等级制．各等级划分标准为：85分及以上，记为A等；分数在[70，85）内，记为B等；分数在[60，70）内，记为C等；60分以下，记为D等．同时认定A，B，C为合格，D为不合格．已知甲，乙两所学校学生的原始成绩均分布在[50，100]内，为了比较两校学生的成绩，分别抽取50名学生的原始成绩作为样本进行统计．按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出甲校的样本频率分布直方图如图1所示，乙校的样本中等级为C，D 的所有数据的茎叶图如图2所示．（I）求图中x的值，并根据样本数据比较甲乙两校的合格率；（Ⅱ）在乙校的样本中，从成绩等级为C，D的学生中随机抽取两名学生进行调研，求抽出的两名学生中至少有一名学生成绩等级为D的概率．18．在等比数列{a n}中，已知a4=8a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{|a n﹣4|}的前n项和S n．19．如图l，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，BD与EF交于点H，点G，R分别在线段DH，HB上，且=．将△AED，△CFD，△BEF分别沿DE，DF，EF折起，使点A，B，C重合于点P，如图2所示，（I）求证：GR⊥平面PEF；（Ⅱ）若正方形ABCD的边长为4，求三棱锥P﹣DEF的内切球的半径．20．已知椭圆的右焦点为F，设直线l：x=5与x轴的交点为E，过点F且斜率为k的直线l1与椭圆交于A，B两点，M为线段EF的中点．（I）若直线l1的倾斜角为，|AB|的值；（Ⅱ）设直线AM交直线l于点N，证明：直线BN⊥l．21．已知函数f（x）=x ln x+（l﹣k）x+k，k∈R．（I）当k=l时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x＞1时，求使不等式f（x）＞0恒成立的最大整数k的值．请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，倾斜角为α（α≠）的直线l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρcos2θ﹣4sinθ=0．（I）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点P（1，0）．若点M的极坐标为（1，），直线l经过点M且与曲线C相交于A，B两点，设线段AB的中点为Q，求|PQ|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=x+1+|3﹣x|，x≥﹣1．（I）求不等式f（x）≤6的解集；（Ⅱ）若f（x）的最小值为n，正数a，b满足2nab=a+2b，求2a+b的最小值．参考答案一、选择题1．C 2．B 4．A 5．C 6．D 7．B 8．B 9．D 10．C 11．A 12．A 二、填空题13．114．815．6 16．三、解答题17．解：（Ⅰ）由题意知10x+0.012×10+0.056×10+0.018×10+0.010×10=1，解得x=0.004，∴甲学校的合格率为1﹣10×0.004=0.96，而乙学校的合格率为：1﹣=0.96，故甲乙两校的合格率相同．（Ⅱ）由题意，将乙校样本中成绩等级为C，D的6名学生记为C1，C2，C3，C4，D1，D2，则随机抽取2名学生的基本事件有：{C1，C2}，{C1，C3}，{C1，C4}，{C1，D1}，{C1，D2}，{C2，C3}，{C2，C4}，{C2，D1}，{C2，D2}，{C3，C4}，{C3，D1}，{C3，D2}，{C4，D1}，{C4，D2}，{D1，D2}，共15个，其中“抽出的两名学生中至少有一名学生成绩等级为D”包含的基本事件有9个，∴抽出的两名学生中至少有一名学生成绩等级为D的概率p=．18．解：（I）设等比数列{a n}的公比为q，∵a4=8a1，∴=8a1，a1≠0，解得q=2．又a1，a2+1，a3成等差数列，∴2（a2+1）=a1+a3，∴2（2a1+1）=a1（1+22），解得a1=2．∴a n=2n．（II）n=1时，a1﹣4=﹣2＜0，∴S1=2．当n≥2时，a n﹣4≥0．∴数列{|a n﹣4|}的前n项和S n=2+（a2﹣4）+（a3﹣4）+…+（a n﹣4）=2+22+23+…+2n﹣4（n﹣1）=﹣4（n﹣1）=2n+1﹣4n+2．∴S n=．19．证明：（Ⅰ）在正方形ABCD中，∠A、∠B、∠C均为直角，∴在三棱锥P﹣DEF中，PE，PF，PD三条线段两两垂直，∴PD⊥平面PEF，∵=，即，∴在△PDH中，RG∥PD，∴GR⊥平面PEF．解：（Ⅱ）正方形ABCD边长为4，由题意PE=PF=2，PD=4，EF=2，DF=2，∴S△PDF=2，S△DEF=S△DPE=4，=6，设三棱锥P﹣DEF的内切球半径为r，则三棱锥的体积：=，解得r=，∴三棱锥P﹣DEF的内切球的半径为．20．解：（I）由题意可知：椭圆，a=，b=2，c=1，则F（1，0），E（5，0），M（3，0），由直线l1的倾斜角为，则k=1，直线l的方程y=x﹣1，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，整理得：9x2﹣10x﹣15=0，则x1+x2=，x1x2=﹣，则丨AB丨=•=，|AB|的值；（Ⅱ）设直线l1的方程为y=k（x﹣1），设A（x1，y1），B（x2，y2），则，整理得：（4+5k2）x2﹣10k2x+5k2﹣20=0，则x1+x2=，x1x2=，设N（5，y0），由A，M，N三点共线，有=，则y0=，由y0﹣y2=﹣y2=﹣k（x2﹣1）=，==0，∴直线BN∥x轴，∴BN⊥l．21．解：（Ⅰ）当k=1时，f（x）=x ln x+1，∴f′（x）=ln x+1，由f′（x）＞0，得x＞；由f′（x）＜0，得0＜x＜，∴f（x）的单调递增区间为（，+∞），单调减区间为（0，）．（Ⅱ）由f（x）＞0恒成立，得x ln x+（1﹣k）x+k＞0，∴（x﹣1）k＜x ln x+x，∵x＞1，∴k＜恒成立，设g（x）=，则g′（x）=，令μ（x）=﹣ln x+x﹣2，则，∵x＞0，∴μ′（x）＞0，μ（x）在（1，+∞）上单调递增，而μ（3）=1﹣ln3＜0，μ（4）=2﹣ln4＞0，∴存在x0∈（3，4），使μ（x0）=0，即x0﹣2=ln x0，∴当x∈（x0，+∞）时，g′（x）＜0，此时函数g（x）单调递减，当x∈（x0，+∞）时，g′（x0）＞0，此时函数g（x）单调递增，∴g（x）在x=x0处有极小值（也是最小值），∴==x0∈（3，4），又由k＜g（x）恒成立，即k＜g（x）min=x0，∴k的最大整数值为3．22．解：（Ⅰ）∵直线l的参数方程为（t为参数）．∴直线l的普通方程为y=tanα•（x﹣1），由曲线C的极坐标方程是ρcos2θ﹣4sinθ=0，得ρ2cos2θ﹣4ρsinθ=0，∴x2﹣4y=0，∴曲线C的直角坐标方程为x2=4y．（Ⅱ）∵点M的极坐标为（1，），∴点M的直角坐标为（0，1），∴tanα=﹣1，直线l的倾斜角为，∴直线l的参数方程为，代入x2=4y，得，设A，B两点对应的参数为t1，t2，∵Q为线段AB的中点，∴点Q对应的参数值为，又P（1，0），则|PQ|=||=3．23．解：（Ⅰ）根据题意，函数f（x）=x+1+|3﹣x|，x≥﹣1．若f（x）≤6，则有或，解可得﹣1≤x≤4，故原不等式的解集为{x|﹣1≤x≤4}；（Ⅱ）函数f（x）=x+1+|3﹣x|=，分析可得f（x）的最小值为4，即n=4；则正数a，b满足8ab=a+2b，即+=8，2a+b=（+）（2a+b）=（++5）≥（5+2）=；即2a+b的最小值为．。
2017年四川省省级联考高考模拟数学文
2017年四川省省级联考高考模拟数学文一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={-2，-1，0，1，2}，集合B={x|x2≤1}，A∩B=( )A.{-2，-1，0，1}B.{-1，1}C.{-1，0}D.{-1，0，1}解析：∵集合A={-2，-1，0，1，2}，集合B={x|x2≤1}={x|-1≤x≤1}，∴A∩B={-1，0，1}.答案：D.2.已知i是虚数单位，复数(2+i)2的共轭复数为( )A.3-4iB.3+4iC.5-4iD.5+4i解析：复数(2+i)2=3+4i共轭复数为3-4i.答案：A.3.设向量m=(2x-1，3)，向量n=(1，-1)，若m⊥n，则实数x的值为( )A.-1B.1C.2D.3解析：利用向量垂直的性质求解.答案：C.4.执行如图所示的程序框图，输出S的值为( )A.45B.55C.66D.110解析：模拟程序的运行，可得： s=0，i=1，i ＜10， s=1，i=2，i ＜10， s=3，i=3，i ＜10， s=6，i=4＜10， s=10，i=5＜10， s=15，i=6＜10， s=21，i=7＜10， s=28，i=8＜10， s=36，i=9＜10， s=45，i=10≤10， s=55，i=11＞10， 输出s=5，5. 答案：B.5.已知圆的方程为x 2+y 2-6x=0，过点(1，2)的该圆的所有弦中，最短弦的长为( )A.12B.1C.2D.4解析：化圆的一般方程为标准方程，求出圆心坐标与半径，如何利用垂径定理求得答案. 答案：C.6.已知双曲线E ：x 2-23y =1的左焦点为F ，直线x=2与双曲线E 相交于A ，B 两点，则△ABF 的面积为( ) A.12 B.24解析：求出双曲线的左焦点，求出AB 坐标，然后求解三角形的面积. 答案：A.7.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜2)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为( )A.f(x)=2sin(x-6π)B.f(x)=2sin(2x-3π)C.f(x)=2sin(x+12π)D.f(x)=2sin(2x-6π)解析：由题意求出A ，T ，利用周期公式求出ω，利用当x=512π时取得最大值2，求出φ，即可得到函数的解析式. 答案：B.8.实数x ，y 满足不等式组0010210x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨--≤⎪⎪-+≥⎩，则2x-y 的最大值为( )A.-12B.0C.2D.4解析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数k 的几何意义，进行平移，结合图象得到k=2x-y 的最大值. 答案：D.9.利用计算机产生120个随机正整数，其最高位数字(如：34的最高位数字为3，567的最高位数字为5)的频数分布图如图所示，若从这120个正整数中任意取出一个，设其最高位数字为d(d=1，2，…，9)的概率为P ，下列选项中，最能反映P 与d 的关系的是( )A.P=lg(1+1d)B.P=12 d+C.P=()25 120 d-D.P=31 52d ⨯解析：利用排除法，即可判断.答案：A.10.设a，b是不相等的两个正数，且blna-alnb=a-b，给出下列结论：①a+b-ab＞1；②a+b＞2；③11a b+＞2.其中所有正确结论的序号是( )A.①②B.①③C.②③D.①②③解析：①由blna-alnb=a-b得1ln1lna ba b++=，构造函数f(x)=1ln xx+，x＞0，判断a，b的取值范围即可.②由对数平均不等式进行证明，③构造函数，判断函数的单调性，进行证明即可.答案：D.二、填空题(每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上)11.某单位有500位职工，其中35岁以下的有125人，35～49岁的有280人，50岁以上的有95人，为了了解职工的健康状态，采用分层抽样的方法抽取一个容量为100的样本，需抽取35岁以下职工人数为_____.解析：分层抽样应按各层所占的比例从总体中抽取，即可得出结论.答案：25.12.一个几何体的三视图如图所示，则几何体的体积为_____.解析：该几何体是一个半圆柱，即可求出其体积.答案：π.13.已知tanα=3，则sinαsin(32π-α)的值是_____.解析：利用诱导公式、同角三角函数基本关系式、“弦化切”即可得出.答案：-3 10.14.已知函数f(x)=2x-2-x，若不等式f(x2-ax+a)+f(3)＞0对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是_____.解析：由函数解析式可得函数f(x)为定义域上的增函数且为奇函数，把不等式f(x2-ax+a)+f(3)＞0对任意实数x恒成立转化为x2-ax+a+3＞0恒成立，由判别式小于0求得实数a的取值范围.答案：(-2，6).15.如图，A1，A2为椭圆2295x y+=1的长轴的左、右端点，O为坐标原点，S，Q，T为椭圆上不同于A1，A2的三点，直线QA1，QA2，OS，OT围成一个平行四边形OPQR，则|OS|2+|OT|2=_____.解析：当Q选在短轴的端点上，取Q(0，由于A1(-3，0)，A2(3，0)根据直线的斜率公式代入椭圆方程，即可求得T点坐标，则|OS|2+|OT|2=7+7=14.答案：14.三、解答题(本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)16.一种饮料每箱装有6听，经检测，某箱中每听的容量(单位：ml)如以下茎叶图所示.(Ⅰ)求这箱饮料的平均容量和容量的中位数； (Ⅱ)如果从这箱饮料中随机取出2听饮用，求取到的2听饮料中至少有1听的容量为250ml 的概率.解析：(Ⅰ)由茎叶图，能示出这箱饮料的平均容量的容量的中位数.(Ⅱ)把每听饮料标上号码，其中容量为248ml ，249ml 的4听分别记作1，2，3，4，容量炎250ml 的2听分别记作：a ，b.抽取2听饮料，得到的两个标记分别记为x 和y ，则{x ，y}表示一次抽取的结果，由此利用列举法能求出从这箱饮料中随机取出2听饮用，取到的2听饮料中至少有1听的容量为250ml 的概率. 答案：(Ⅰ)由茎叶图知，这箱饮料的平均容量为249+1100116--++++=249，容量的中位数为2492492+=249. (Ⅱ)把每听饮料标上号码，其中容量为248ml ，249ml 的4听分别记作1，2，3，4， 容量炎250ml 的2听分别记作：a ，b.抽取2听饮料，得到的两个标记分别记为x 和y ，则{x ，y}表示一次抽取的结果， 即基本事件，从这6听饮料中随机抽取2听的所有可能结果有： {1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，a}，{1，b} {2，3}，{2，4}，{2，a}，{2，b} {3，4}，{3，a}，{3，b} {4，a}，{4，b} {a ，b}共计15种，即事件总数为15.其中含有a 或b 的抽取结果恰有9种，即“随机取出2听饮用， 取到的2听饮料中至少有1听的容量为250ml ”的基本事件个数为9. 所以从这箱饮料中随机取出2听饮用，取到的2听饮料中至少有1听的容量为250ml 的概率为915=0.6.17.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足acosB=bcosA. (Ⅰ)判断△ABC 的形状； (Ⅱ)求sinB+cos(A+6π)的取值范围. 解析：(Ⅰ)由正弦定理以及两角差的正弦函数公式化简已知可得sin(A-B)=0，结合A ，B 的范围，可求A=B ，可得△ABC 是等腰三角形.(Ⅱ)由(Ⅰ)及三角函数恒等变换的应用可得：sinB+cos(A+6π)=sin(A+3π)，由0＜A ＜2π，可求范围3π＜A+3π＜56π，利用正弦函数的图象和性质可求其取值范围.答案：(Ⅰ)由acosB=bcosA ，根据正弦定理，得sinAcosB=sinBcosA ，即sin(A-B)=0，在△ABC 中，有-π＜A-B ＜π， 所以A-B=0，即A=B ， 所以△ABC 是等腰三角形.(Ⅱ)由(Ⅰ)，A=B ，则sinB+cos(A+6π)=sinA+(2cosA-12sinA)=12sinA+2cosA=sin(A+3π). 因为A=B ，所以0＜A ＜2π，则3π＜A+3π＜56π，所以-12＜sin(A+3π)≤1， 于是sinB+cos(A+6π)的取值范围是(12，1].18.设数列{a n }各项为正数，且a 2=4a 1，a n+1=a n 2+2a n (n ∈N *). (Ⅰ)证明：数列{log 3(1+a n )}为等比数列；(Ⅱ)设数列{log 3(a n +1)}的前n 项和为T n ，求使T n ＞520成立时n 的最小值.解析：(Ⅰ)求出首项，化简已知条件，利用等比数列的定义证明：数列{log 3(1+a n )}为等比数列；(Ⅱ)求出首项的通项公式，然后求和，列出不等式求解即可.答案：(Ⅰ)证明：由已知，a 2=a 12+2a 1=4a 1，则a 1(a 1-2)=0， 因为数列{a n }各项为正数，所以a 1=2，由已知，a n+1+1=(a n +1)2＞0， 得log 3(a n+1+1)=2log 3(a n +1). 又log 3(a 1+1)=log 33=1，所以，数列{log 3(1+a n )}是首项为1，公比为2的等比数列.(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，log 3(1+a n )=2n-1，所以T n =1+2+22+…+2n-1=2n-1.由T n ＞520，得2n ＞521(n ∈N *)， 所以n ≥10.于是T n ＞520成立时n 的最小值为10.19.如图，在边长为2的正方形ABCD 中，点E ，F 分别是AB ，BC 的中点，将△AED ，△DCF 分别沿DE ，DF 折起，使A ，C 两点重合于P.(Ⅰ)求证：平面PBD ⊥平面BFDE ； (Ⅱ)求四棱锥P-BFDE 的体积.解析：(Ⅰ)连接EF 交BD 于O ，连接OP ，在正方形ABCD 中，点E 是AB 中点，点F 是BC 中点，可得EF ⊥OP ，又EF ⊂平面BFDE ，即可证得平面PBD ⊥平面BFDE ；(Ⅱ)由(Ⅰ)的证明可知平面POD ⊥平面DEF ，进一步得到∠OPD=90°，作PH ⊥OD 于H ，则PH ⊥平面DEF ，求出PH 的值，则答案可求.答案：(Ⅰ)证明：连接EF 交BD 于O ，连接OP.在正方形ABCD 中，点E 是AB 中点，点F 是BC 中点， ∴BE=BF ，DE=DF ， ∴△DEB ≌△DFB ，∴在等腰△DEF 中，O 是EF 的中点，且EF ⊥OD ， 因此在等腰△PEF 中，EF ⊥OP ， 从而EF ⊥平面OPD ， 又EF ⊂平面BFDE ，∴平面BFDE ⊥平面OPD ， 即平面PBD ⊥平面BFDE ；(Ⅱ)解：由(Ⅰ)的证明可知平面POD ⊥平面DEF ，可得，OP=OE=OF=2，OD=2，PD=2， 由于OP 2+PD 2=OD 2=184， ∴∠OPD=90°，作PH ⊥OD 于H ，则PH ⊥平面DEF ， 在Rt △POD 中，由OD ·PH=OP ·PD ，得PH=23.又四边形BFDE 的面积S=12EF ·BD=12×， ∴四棱锥P-BFDE 的体积V=13S ·PH=49.20.过点C(2，2)作一直线与抛物线y 2=4x 交于A ，B 两点，点P 是抛物线y 2=4x 上到直线l ：y=x+2的距离最小的点，直线AP 与直线l 交于点Q.(Ⅰ)求点P 的坐标；(Ⅱ)求证：直线BQ 平行于抛物线的对称轴.解析：(Ⅰ)设点P 的坐标为(x 0，y 0)，利用点到直线的距离公式通过最小值，求出P 点坐标.(Ⅱ)设点A 的坐标为(214y ，y 1)，显然y 1≠2.当y 1=-2时，求出直线AP 的方程；当y 1≠-2时，求出直线AP 的方程与直线l 的方程y=x+2联立，可得点Q 的纵坐标，求出B 点的纵坐标，推出BQ ∥x 轴，求出直线AC 的方程与抛物线方程y 2=4x 联立，求得点B 的纵坐标，然后推出结果BQ ∥x 轴.答案：(Ⅰ)设点P 的坐标为(x 0，y 0)，则20y =4x 0，所以，点P 到直线l 的距离2==≥. 当且仅当y 0=2时等号成立，此时P 点坐标为(1，2).(Ⅱ)设点A 的坐标为(214y ，y 1)，显然y 1≠2.当y 1=-2时，A 点坐标为(1，-2)，直线AP 的方程为x=1； 当y 1≠-2时，直线AP 的方程为y-2=121214y y --(x-1)， 化简得4x-(y 1+2)y+2y 1=0；综上，直线AP 的方程为4x-(y 1+2)y+2y 1=0.与直线l 的方程y=x+2联立，可得点Q 的纵坐标为y Q =11282y y --. 当21y =8时，直线AC 的方程为x=2，可得B 点的纵坐标为y B =-y 1. 此时y Q =()11121114228422224y y y y y y +-=-=-=----， 即知BQ ∥x 轴，当21y ≠8时，直线AC 的方程为y-2=121214y y --(x-2)， 化简得(4y 1-8)x-(21y -8)y+(221y -8y 1)=0， 与抛物线方程y 2=4x 联立，消去x ， 可得(y 1-2)y 2-(21y -8)y+(221y -8y 1)=0，所以点B 的纵坐标为y B =21111182822y y y y y ---=--.从而可得BQ∥x轴，所以，BQ∥x轴.21.设a，b∈R，函数f(x)=13x3+ax2+bx+1，g(x)=e x(e为自然对数的底数)，且函数f(x)的图象与函数g(x)的图象在x=0处有公共的切线. (Ⅰ)求b的值；(Ⅱ)讨论函数f(x)的单调性；(Ⅲ)证明：当a≤12时，g(x)＞f(x)在区间(-∞，0)内恒成立.解析：(Ⅰ)求出两个函数的导函数，利用函数f(x)的图象与函数g(x)的图象在x=0处有公共的切线，列出方程，即可求出b.(Ⅱ)求出导函数f′(x)，通过-1≤a≤1时，判断函数的单调性，当a2＞1时，判断导函数的符号，判断函数的单调性.(Ⅲ)令h(x)=g′(x)-f′(x)=e x-x2-2ax-1，求出导函数h′(x)=e x-2x-2a，令u(x)=h′(x)=e x-2x-2a，求出u′(x)=e x-2.通过当a≤12时，利用函数的单调性与最值求解即可.答案：(Ⅰ)f′(x)=x2+2ax+b，g′(x)=e x，由f′(0)=b=g′(0)=1，得b=1.(Ⅱ)f′(x)=x2+2ax+1=(x+a)2+1-a2，当a2≤1时，即-1≤a≤1时，f′(x)≥0，从而函数f(x)在定义域内单调递增，当a2＞1时，f′)，此时若x∈(-∞，)，f′(x)＞0，则函数f(x)单调递增；若x∈，)，f′(x)＜0，则函数f(x)单调递减；若x∈，+∞)时，f′(x)＞0，则函数f(x)单调递增.(Ⅲ)令h(x)=g′(x)-f′(x)=e x-x2-2ax-1，则h(0)=e0-1=0.h′(x)=e x-2x-2a，令u(x)=h′(x)=e x-2x-2a，则u′(x)=e x-2.当a≤12时，u(0)=h′(0)=1-2a≥0，又当x≤0时，u′(x)＜0，从而u(x)单调递减；所以u(x)＞0.故当x∈(-∞，0)时，h(x)单调递增；又因为h(0)=0，故当x＜0时，h(x)＜0，从而函数g(x)-f(x)在区间(-∞，0)单调递减；又因为g(0)-f(0)=0所以g(x)＞f(x)在区间(-∞，0)恒成立.。
四川省成都市九校2017届高三第四次联合模拟文科数学试卷Word版含答案
成都市9校2017届高三第四次联合模拟文科数学试卷 考试时间共120分钟，满分150分试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题） 注意事项： 1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、班级、准考证号用毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条码由监考老师粘贴在答题卡上的“条码粘贴处”。
2.选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效。
3.考试结束后由监考老师将答题卡收回。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设集合{}2230A x x x =--<,{}ln(2)B x y x ==-,则A B =A ．{}13x x -<< B ．{}12x x -<< C ．{}32x x -<<D ．{}12x x <<2．已知212zii =++，则复数5z +的实部与虚部的和为A ．0B ．-10C ．10D ．-53．在等差数列{}n a 中，已知51012a a ＋=，则793a a ＋=A ．12B ．18C ．24D ．30 右侧程序框图所示的算法来自于《九章算术》.若输入a 的值 为16，b 的值为24，则执行该程序框图输出的结果为 A ．6B ．7C ．8D ．95．直线2550x y +-+=被圆22240x y x y +--=截得的弦长为 A ．1B ．2C ．46D ．46．设0.32a =，20.3b =，()2log 0.3(1)x c x x =+>，则,,a b c 的大小关系是A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．b c a <<7．若,x y 满足不等式2620x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，则22z x y =+的最小值是A ．2B ．5C ．4D ．5开始是否是否a ab =-b b a=-a输出结束,a b输入a b ≠ a b > （第4题图）8．已知函数()[][)20,212,0x x f x x x ⎧∈⎪=⎨+∈-⎪⎩,在集合{}()M y y f x ==中随机取一个数m ，则事件“0m >”的概率为A ．34B ．14C ．45D ．159．如图为某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面 积为 A ．π27B ．π327C ．π227D ．π232710．定义在R 上的函数()||x xg x e e x -=++，则满足 (21)(3)g x g -<的x 取值范围是A ．(-∞，2)B ．(2-，2)C ．(2，)+∞D ．(1-，2) 11．已知函数()()()()sin cos 0,0=+++><<ωϕωϕωϕπf x x x 是奇函数，直线2y =与函数()f x 的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为2π，则A ．()f x 在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减B ．()f x 在3,88ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增C ．()f x 在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增D ．()f x 在3,88ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减已知函数()2f x x ax =-（1x e e ≤≤，e 为自然对数的底数）与()xg x e =的图象上存在关于直线y x =对称的点，则实数a 取值范围是A ．11,e e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦ B ． 11,e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ． 11e ,e e e ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦ D ． 1,e e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.13．已知1sin cos ,5αα-=则sin 2α= ． （第9题图）14．设直线过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，与C 交于A 、B 两点，AB为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为 ．15．在直角三角形ABC 中，2π=C ,,3=AC 对平面内的任一点M ，平面内有一点D 使得23+=，则=• ．16．设n S 为数列{}n a 的前n 项和, 已知12a =,对任意*,p q N ∈,都有p q p q a a a +=+， 则()601n S f n n +=+)(*N n ∈的最小值为 .三、解答题：本大题共6小题，前5题每题12分，选考题10分，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）如图, 在△ABC 中, 点P 在BC 边上,60,2,4PAC PC AP AC ︒∠==+=. （Ⅰ）求ACP ∠；（Ⅱ）若△APB 33求sin ∠BAP .18．（本小题满分12分）某中学拟在高一下学期开设游泳选修课，为了了解高一学生喜欢游泳是否与性别有关，该学校对100名高一新生进行了问卷调查，得到如下22⨯列联表： 喜欢游泳 不喜欢游泳 合计 男生 10 女生 20 合计已知在这100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为35．（Ⅰ）请将上述列联表补充完整；（Ⅱ）并判断是否有%的把握认为喜欢游泳与性别有关？并说明你的理由；（Ⅲ）已知在被调查的学生中有5名来自甲班，其中3名喜欢游泳，现从这5名学生中随机P CBA抽取2人，求恰好有1人喜欢游泳的概率． P （K2≥k ）k参考公式：2K 的观测值：()()()()()2n ad bc k a b c d a c b d -=++++（其中n a b c d =+++）19．（本小题满分12分） 如图1，在直角梯形ABCD中，AD BC AB BC BD DC E BC ABD BD ABD BCD AE AC DE （Ⅰ）求证：AB ⊥平面ADC ；（Ⅱ）若1,AD =2AB =，求点B 到平面ADE 的距离.E DCB AEDCB A图1 图220. （本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>3且过点()2,1A .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若,P Q 是椭圆C 上的两个动点,且使PAQ ∠的角平分线总垂直于x 轴, 试判断直线PQ 的斜率是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由.21. （本小题满分12分）已知函数()()ln 0=+>af x x a x .（Ⅰ）若函数()f x 有零点, 求实数a 的取值范围；（Ⅱ）证明：当2a e ≥时, ()->xf x e .请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，解答时请写清题号. 22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线3:sin x aC y a ⎧=⎪⎨=⎪⎩（a 为参数），在以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为 1)4cos(22-=+πθρ.（Ⅰ）求曲线C 的普通方程和直线的直角坐标方程；（Ⅱ）过点(1,0)M -且与直线平行的直线1l交C 于A ，B 两点，求点M 到A ，B 两点的距离之积.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 已知函数()12=+-+-f x x a x a.（Ⅰ）若()13<f ，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若1,≥∈a x R ，求证：()2≥f x .文数双向细目表序号 知识考点 能力要求 考点 分值 识记 理解 简单应用 综合应用 1 集合的运算 √ 5 2 复数的运算 √ 5 3等差数列√54 框图算法√ 55 直线和圆√ 56 指数对数的运算√ 57 线性规划√ 58 几何概率√ 59 三视图√ 510 函数单调性、偶函数√ 511 三角函数√ 512 函数与导数√ 513 三角函数√ 514 双曲线的离心率√ 515 平面向量的运算√ 516 数列的最值√ 517 正弦定理、余弦定理√1218 变量的相关性、古典概率√1219 空间位置关系证明、点到平面的距离√1220 直线与椭圆综合应用√1221 函数零点、函数与导数的综合应用√122223 参数方程、极坐标方程的互化直线参数方程的应用解绝对值不等式及证明√10√合计150 比例文数答案一、选择题（1）B （2）A （3）C （4）C （5）D （6）B （7）D （8）C （9）A （10）D （11）B （12）A二、填空题（13）2425（143（15）6（16）292三、解答题(17) 解:(Ⅰ) 在△APC 中, 因为60,2,4PAC PC AP AC ︒∠==+=, 由余弦定理得2222cos PC AP AC AP AC PAC =+-⋅⋅⋅∠, ………………………1分 所以()()2222424cos 60AP AP AP AP ︒=+--⋅⋅-⋅,整理得2440AP AP -+=, ………………………2分 解得2AP =. ………………………3分 所以2AC =. ………………………4分 所以△APC 是等边三角形. ………………………5分 所以60.ACP ︒∠= ………………………6分(Ⅱ)由于APB ∠是△APC 的外角, 所以120APB ︒∠=. ………………………7分因为△APB 33所以133sin 2⋅⋅⋅∠=AP PB APB .…………………8分 所以3PB =. ………………………………………………………………………9分 在△APB 中, 2222cos AB AP PB AP PB APB =+-⋅⋅⋅∠ 2223223cos120︒=+-⨯⨯⨯ 19=,所以19AB =………………………………………………………………………10分在△APB 中, 由正弦定理得sin sin =∠∠AB PBAPB BAP , ………………………11分所以sin ∠BAP 19=357=12分 （18）解：（1）因为在100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为35， 所以喜欢游泳的学生人数为3100605⨯=人P CBA其中女生有20人，则男生有40人，列联表补充如下： 喜欢游泳 不喜欢游泳 合计 男生 40 10 50 女生 20 30 50 合计6040100（2）因为()221004030201016.6710.82860405050k ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯所以有%的把握认为喜欢游泳与性别有关（3）5名学生中喜欢游泳的3名学生记为a ，b ，c ，另外2名学生记为1， 2，任取2名学生，则所有可能情况为（a ，b ）、（a ，c ）、（a ，1）、（a ，2）、（b ，c ）、（b ，1）、（b ，2）、（c ，1）、（c ，2）、（1，2），共10种…其中恰有1人喜欢游泳的可能情况为（a ，1）、（a ，2）、（b ，1）、（c ，1）、（c ，2），共6种…所以，恰好有1人喜欢游泳的概率为63105= (19) 解：(Ⅰ) (Ⅰ) 因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD平面BCD BD =，又BD ⊥DC ，所以DC ⊥平面ABD ……………………1分 因为AB ⊂平面ABD ，所以DC ⊥AB ………………………2分 又AD ⊥ABDC ∩AD D =所以AB ⊥平面ADC . …………………………………………4分 (Ⅱ)2AB =1AD =.3BD ∴=依题意△ABD ～△BDC ，所以AB CD AD BD =23=6CD ∴= …………5分 故3BC =. ……………………………6分由于AB ⊥平面ADC ，AB ⊥AC , E 为BC 的中点,得AE322BC ==EDCA同理DE322==BC ……………………………8分所以22131212222ADES…………………9分因为DC ⊥平面ABD ，所以3331=⋅=-ABD BCD A S CD V . …………………10分 设点B 到平面ADE 的距离为d ,则632131====⋅---BCD A BDE A ADE B ADE V V V S d , ……………………11分 所以26=d ，即点B 到平面ADE 的距离为26. ……………………12分（20）解：(Ⅰ) 因为椭圆C 3且过点()2,1A ,所以22411a b +=, 3c a= ………………………………………………2分 因为222a b c =+,解得28a =, 22b =, ………………………………………………3分所以椭圆C 的方程为22182x y +=. ……………………………………………4分(Ⅱ)因为PAQ ∠的角平分线总垂直于x 轴, 所以PA 与AQ 所在直线关于直线2x =对 称. 设直线PA 的斜率为k , 则直线AQ 的斜率为k -. ………………………………5分 所以直线PA 的方程为()12y k x -=-,直线AQ 的方程为()12y k x -=--.设点(),P P P x y ,(),Q QQ x y ,由()2212,1,82y k x x y -=-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ,得()()222214168161640k x k k x k k +--+--=. ①因为点()2,1A 在椭圆C 上, 所以2x =是方程①的一个根, 则2216164214P k k x k --=+,……………………………………………6分所以2288214P k k x k --=+. ……………………………………………7分 同理2288214Q k k x k +-=+. ……………………………………………8分 所以21614P Q kx x k -=-+. ……………………………………………9分又()28414P Q P Q ky y k x x k -=+-=-+. ……………………………………………10分所以直线PQ 的斜率为12P Q PQ P Qy y k x x -==-. …………………………………………11分所以直线PQ 的斜率为定值，该值为12. ……………………………………………12分（21）解:(Ⅰ)函数()ln af x x x =+的定义域为()0,+∞.由()ln a f x x x =+, 得()221a x af x x x x -'=-=. ……………………………………1分因为0a >,则()0,x a ∈时,()0f x '<;(),x a ∈+∞时,()0f x '>.所以函数()f x 在()0,a 上单调递减, 在(),a +∞上单调递增. ………………………2分当x a =时, ()min ln 1f x a =+⎡⎤⎣⎦. …………………………………………………3分 当ln 10a +≤, 即0a <≤1e 时, 又()1ln10=+=>f a a , 则函数()f x 有零点. …4分 所以实数a 的取值范围为10,e ⎛⎤⎥⎝⎦. ……………………………………………………5分(Ⅱ) 要证明当2a e ≥时, ()->xf x e ,即证明当0,x >2a e ≥时, ln x a x e x -+>, 即ln x x x a xe -+>.………………………6分 令()ln h x x x a =+, 则()ln 1h x x '=+.当10x e <<时, ()0f x '<;当1x e >时, ()0f x '>. 所以函数()h x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减, 在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增. 当1x e =时, ()min 1h x a e =-+⎡⎤⎣⎦. ……………………………………………………7分于是,当2a e ≥时, ()11.h x a e e ≥-+≥ ① ……………………………………8分令()x x xe ϕ-=, 则()()1x x x x e xe e x ϕ---'=-=-.当01x <<时, ()0f x '>;当1x >时, ()0f x '<.所以函数()x ϕ在()0,1上单调递增, 在()1,+∞上单调递减.当1x =时, ()max 1x e ϕ=⎡⎤⎣⎦. ……………………………………………………9分于是, 当0x >时, ()1.x e ϕ≤ ② ……………………………………………………10分 显然, 不等式①、②中的等号不能同时成立. …………………………………11分 故当2a e ≥时, ()->x f x e . ……………………………………………………12分（22）解：（Ⅰ）曲线C 化为普通方程为：2213x y +=,………………………（2分）由1)4cos(22-=+πθρ，得2sin cos -=-θρθρ，……………………（4分）所以直线的直角坐标方程为02=+-y x .……………………………………（5分）（2）直线1l 的参数方程为21,2.x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（为参数），……………………（8分）代入2213x y +=化简得：22220t t -=，…………………………（9分）设B A ,两点所对应的参数分别为21,t t ，则121t t =-， ∴12||||||1MA MB t t ⋅==. …………………………………………（10分）（23）解： (Ⅰ) 因为()13<f ，所以123+-<a a . ………………………………………1分① 当0≤a 时，得()123-+-<a a ，解得23>-a ，所以203-<≤a ; ……………2分 ② 当102<<a 时，得()123+-<a a ，解得2>-a ，所以102<<a ; ……………3分 ③ 当12a ≥时，得()123--<a a ，解得43<a ，所以1423a ≤<; ……………4分综上所述，实数a 的取值范围是24,33⎛⎫- ⎪⎝⎭. ………………………………………5分(Ⅱ) 因为1,≥∈a x R ,所以()()()1212=+-+-≥+---f x x a x a x a x a ……………………………7分 31=-a ……………………………………………………………………8分 31=-a ……………………………………………………………………9分 2≥. ……………………………………………………………………10分。
四川省资阳市2017届高考模拟数学试卷(文)(4月份)
四川省资阳市2017届高考数学模拟试卷（文科）（4月份）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U=R，集合A={x|（x+1）（x﹣3）＜0}，B={x|x﹣1≥0}，则图中阴影部分所表示的集合为（）A．{x|x≤﹣1或x≥3} B．{x|x＜1或x≥3} C．{x|x≤1} D．{x|x≤﹣1} 2．等差数列{a n}中，a1+a5=10，a4=7，则数列{a n}的公差为（）A．1 B．2 C．3 D．43．在集合{x|0≤x≤a，a＞0}中随机取一个实数m，若|m|＜2的概率为，则实数a的值为（）A．5 B．6 C．9 D．124．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图相同，其上部分是半圆，下部分是边长为2的正方形；俯视图是边长为2的正方形及其外接圆．则该几何体的体积为（）A．B．C．D．5．双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点F到E的渐近线的距离为，则E 的离心率是（）A．B．C．2 D．36．定义在R上的函数f（x）满足f（x）=则f（3）=（）A．3 B．2 C．log29 D．log277．已知MOD函数是一个求余函数，记MOD（m，n）表示m除以n的余数，例如MOD（8，3）=2．如图是某个算法的程序框图，若输入m的值为48时，则输出i的值为（）A．7 B．8 C．9 D．108．已知函数（其中ω＞0）图象的一条对称轴方程为x=，则ω的最小值为（）A．2 B．4 C．10 D．169．已知0＜c＜1，a＞b＞1，下列不等式成立的是（）A．c a＞c b B．a c＜b c C．D．log a c＞log b c10．对于两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，以下结论正确的是（）A．若m⊂α，n∥β，m，n是异面直线，则α，β相交B．若m⊥α，m⊥β，n∥α，则n∥βC．若m⊂α，n∥α，m，n共面于β，则m∥nD．若m⊥α，n⊥β，α，β不平行，则m，n为异面直线11．抛物线y2=4x的焦点为F，点A（5，3），M为抛物线上一点，且M不在直线AF上，则△MAF周长的最小值为（）A．10 B．11 C．12 D．6+12．如图，在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AB∥DC，AB=2，AD=DC=1，图中圆弧所在圆的圆心为点C，半径为，且点P在图中阴影部分（包括边界）运动．若，其中x，y∈R，则4x﹣y的最大值为（）A．B．C．2 D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知复数z满足z（1+i）=2，则|z|=．14．某厂在生产某产品的过程中，产量x（吨）与生产能耗y（吨）的对应数据如表所示．根据最小二乘法求得回归直线方程为=0.7x+a．当产量为80吨时，预计需要生产能耗为吨．x30 40 50 60y25 30 40 4515．设命题p：函数f（x）=lg（ax2﹣2x+1）的定义域为R；命题q：当时，恒成立，如果命题“p∧q”为真命题，则实数a的取值范围是．16．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲（水生植物名）生一日，长三尺；莞（植物名，俗称水葱、席子草）生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？”意思是：今有蒲生长1日，长为3尺；莞生长1日，长为1尺．蒲的生长逐日减半，莞的生长逐日增加1倍．若蒲、莞长度相等，则所需的时间约为日．（结果保留一位小数，参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48）三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin2．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=，△ABC的面积为，求b+c的值．18．（12分）共享单车是指由企业在校园、公交站点、商业区、公共服务区等场所提供的自行车单车共享服务，由于其依托“互联网+”，符合“低碳出行”的理念，已越来越多地引起了人们的关注．某部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照[50，60），[60，70），…，[90，100]分成5组，制成如图所示频率分直方图．（Ⅰ）求图中x的值；（Ⅱ）已知满意度评分值在[90，100]内的男生数与女生数的比为2：1，若在满意度评分值为[90，100]的人中随机抽取2人进行座谈，求所抽取的两人中至少有一名女生的概率．19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC是等边三角形，且AA1⊥平面ABC，D为AB的中点．（Ⅰ）求证：直线BC1∥平面A1CD；（Ⅱ）若AB=BB1=2，E是BB1的中点，求三棱锥A1﹣CDE的体积．20．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆Ω：的离心率为，直线l：y=2上的点和椭圆Ω上的点的距离的最小值为1．（Ⅰ）求椭圆Ω的方程；（Ⅱ）已知椭圆Ω的上顶点为A，点B，C是Ω上的不同于A的两点，且点B，C关于原点对称，直线AB，AC分别交直线l于点E，F．记直线AC与AB的斜率分别为k1，k2①求证：k1•k2为定值；②求△CEF的面积的最小值．21．（12分）已知函数f（x）=ln x+a（x﹣1），其中a∈R．（Ⅰ）当a=﹣1时，求证：f（x）≤0；（Ⅱ）对任意t≥e，存在x∈（0，+∞），使t ln t+（t﹣1）[f（x）+a]＞0成立，求a的取值范围．（其中e是自然对数的底数，e=2.71828…）请考生在22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（共1小题，满分10分）22．（10分）已知在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程是（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=2sinθ．（Ⅰ）求曲线C1与C2交点的平面直角坐标；（Ⅱ）点A，B分别在曲线C1，C2上，当|AB|最大时，求△OAB的面积（O为坐标原点）．[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）23．已知函数f（x）=|x+1|．（Ⅰ）解不等式f（x+8）≥10﹣f（x）；（Ⅱ）若|x|＞1，|y|＜1，求证：f（y）＜|x|•f（）．--☆参考答案☆--一、选择题1．D 2．B 3．B 4．C 5．C 6．A 7．C 8．B 9．D 10．C 11．B 12．B 二、填空题13．14．59.5 15．（1，2）16．2.6三、解答题17．解：（Ⅰ）由已知得，化简得，整理得，即，由于0＜B+C＜π，则，所以．（Ⅱ）因为，所以bc=2．根据余弦定理得，即7=（b+c）2﹣2，所以b+c=3．18．解：（Ⅰ）由（0.008+0.021+0.035+0.030+x）×10=1，解得x=0.006．（Ⅱ）满意度评分值在[90，100]内有100×0.006×10=6人，其中女生2人，男生4人．设其中女生为a1，a2，男生为b1，b2，b3，b4，从中任取两人，所有的基本事件为（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a1，b4），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（a2，b4），（b1，b2），（b1，b3），（b1，b4），（b2，b3），（b2，b4），（b3，b4）共15个，至少有1人年龄在[20，30）内的有（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a1，b4），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（a2，b4）共9个．所以，抽取的两人中至少有一名女生的概率为，即为．19．（Ⅰ）证明：连接AC1，交A1C于点F，则F为AC1的中点，又D为AB的中点，∴BC1∥DF，又BC1⊄平面A1CD，DF⊂平面A1CD，∴BC1∥平面A1CD；（Ⅱ）解：三棱锥A1﹣CDE的体积．其中三棱锥A1﹣CDE的高h等于点C到平面ABB1A1的距离，可知．又．∴．20．解：（Ⅰ）由题知b=1，由，所以a2=2，b2=1．故椭圆的方程为．（Ⅱ）①证法一：设B（x0，y0）（y0＞0），则，因为点B，C关于原点对称，则C（﹣x0，﹣y0），所以．证法二：直线AC的方程为y=k1x+1，由得，解得，同理，因为B，O，C三点共线，则由，整理得（k1+k2）（2k1k2+1）=0，所以．②直线AC的方程为y=k1x+1，直线AB的方程为y=k2x+1，不妨设k1＞0，则k2＜0，令y=2，得，而，所以，△CEF的面积==．由得，则S△CEF=，当且仅当取得等号，所以△CEF的面积的最小值为．21．解：（Ⅰ）当a=﹣1时，f（x）=ln x﹣x+1（x＞0），则，令f'（x）=0，得x=1．当0＜x＜1时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当x＞1时，f'（x）＜0，f（x）单调递减．故当x=1时，函数f（x）取得极大值，也为最大值，所以f（x）max=f（1）=0，所以，f（x）≤0，得证．（II）原题即对任意t≥e，存在x∈（0，+∞），使成立，只需．设，则，令u（t）=t﹣1﹣ln t，则对于t≥e恒成立，所以u（t）=t﹣1﹣ln t为[e，+∞）上的增函数，于是u（t）=t﹣1﹣ln t≥u（e）=e﹣2＞0，即对于t≥e恒成立，所以为[e，+∞）上的增函数，则．令p（x）=﹣f（x）﹣a，则p（x）=﹣ln x﹣a（x﹣1）﹣a=﹣ln x﹣ax，当a≥0时，p（x）=﹣ln x﹣ax为（0，+∞）的减函数，且其值域为R，符合题意．当a＜0时，，由p'（x）=0得，由p'（x）＞0得，则p（x）在上为增函数；由p'（x）＜0得，则p（x）在上为减函数，所以，从而由，解得．综上所述，a的取值范围是．22．解：（Ⅰ）由得则曲线C1的普通方程为（x+1）2+y2=1．又由ρ=2sinθ，得ρ2=2ρsinθ，得x2+y2=2y．把两式作差得，y=﹣x，代入x2+y2=2y，可得交点坐标为为（0，0），（﹣1，1）．（Ⅱ）由平面几何知识可知，当A，C1，C2，B依次排列且共线时，|AB|最大，此时，直线AB的方程为x﹣y+1=0，则O到AB的距离为，所以△OAB的面积为．23．（Ⅰ）解：原不等式即为|x+9|≥10﹣|x+1|．当x＜﹣9时，则﹣x﹣9≥10+x+1，解得x≤﹣10；当﹣9≤x≤﹣1时，则x+9≥10+x+1，此时不成立；当x＞﹣1时，则x+9≥10﹣x﹣1，解得x≥0．所以原不等式的解集为{x|x≤﹣10或x≥0}．（Ⅱ）证明：要证，即，只需证明．则有====．因为|x|2＞1，|y|2＜1，则=，所以，原不等式得证．。
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一、选择题：本大题共 10 个小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. 2 1.已知集合 A={-2，-1，0，1，2}，集合 B={x|x ≤1}，A∩B=( ) A.{-2，-1，0，1} B.{-1，1} C.{-1，0} D.{-1，0，1} 解析：∵集合 A={-2，-1，0，1，2}， 2 集合 B={x|x ≤1}={x|-1≤x≤1}， ∴A∩B={-1，0，1}. 答案：D. 2.已知 i 是虚数单位，复数(2+i) 的共轭复数为( A.3-4i B.3+4i C.5-4i D.5+4i 2 解析：复数(2+i) =3+4i 共轭复数为 3-4i. 答案：A.
A.f(x)=2sin(x解析：由题意求出 A，T，利用周期公式求出ω，利用当 x= 可得到函数的解析式. 答案：B.
5 时取得最大值 2，求出φ，即 12
x 0 y 0 8.实数 x，y 满足不等式组 ，则 2x-y 的最大值为( x y 1 0 x 2 y 1 0 1 A.2
2 2
)
1 A. 2
B.1 C.2 D.4 解析：化圆的一般方程为标准方程，求出圆心坐标与半径，如何利用垂径定理求得答案. 答案：C.
6.已知双曲线 E：x 的面积为( A.12 B.24 C.4 3 D.8 3 )
2
y2 =1 的左焦点为 F，直线 x=2 与双曲线 E 相交于 A，B 两点，则△ABF 3
)
A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 解析：①由 blna-alnb=a-b 得
1 ln a 1 ln b 1 ln x ，构造函数 f(x)= ，x＞0，判断 a， a b x
b 的取值范围即可. ②由对数平均不等式进行证明， ③构造函数，判断函数的单调性，进行证明即可. 答案：D. 二、填空题(每题 5 分，满分 25 分，将答案填在答题纸上) 11.某单位有 500 位职工，其中 35 岁以下的有 125 人，35～49 岁的有 280 人，50 岁以上的 有 95 人，为了了解职工的健康状态，采用分层抽样的方法抽取一个容量为 100 的样本，需 抽取 35 岁以下职工人数为_____. 解析：分层抽样应按各层所占的比例从总体中抽取，即可得出结论.
A.P=lg(1+ B.P=
1 ) d
1 d 2
2
d 5 C.P=
120
D.P=
3 1 5 2d
解析：利用排除法，即可判断. 答案：A. 10.设 a，b 是不相等的两个正数，且 blna-alnb=a-b，给出下列结论：①a+b-ab＞1；②a+b ＞2；③
1 1 ＞2.其中所有正确结论的序号是( a b
x -x 2
14.已知函数 f(x)=2 -2 ，若不等式 f(x -ax+a)+f(3)＞0 对任意实数 x 恒成立，则实数 a 的 取值范围是_____. 解 析 ： 由 函 数 解 析 式 可 得 函 数 f(x) 为 定 义 域 上 的 增 函 数 且 为 奇 函 数 ， 把 不 等 式 2 2 f(x -ax+a)+f(3)＞0 对任意实数 x 恒成立转化为 x -ax+a+3＞0 恒成立，由判别式小于 0 求 得实数 a 的取值范围. 答案：(-2，6).
15.如图，A1，A2 为椭圆
x2 y2 =1 的长轴的左、右端点，O 为坐标原点，S，Q，T 为椭圆上 9 5
2 2
不同于 A1， A2 的三点， 直线 QA1， QA2， OS， OT 围成一个平行四边形 OPQR， 则|OS| +|OT| =_____.
解析：当 Q 选在短轴的端点上，取 Q(0， 5 )，由于 A1(-3，0)，A2(3，0)根据直线的斜率 公式代入椭圆方程，即可求得 T 点坐标，则|OS| +|OT| =7+7=14. 答案：14. 三、解答题(本大题共 6 小题，共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 16.一种饮料每箱装有 6 听，经检测，某箱中每听的容量(单位：ml)如以下茎叶图所示.
2
)
3.设向量 m =(2x-1，3)，向量 n =(1，-1)，若 m ⊥ n ，则实数 x 的值为( A.-1 B.1 C.2 D.3 解析：利用向量垂直的性质求解. 答案：C. 4.执行如图所示的程序框图，输出 S 的值为( )
)
A.45
B.55 C.66 D.110 解析：模拟程序的运行，可得： s=0，i=1，i＜10， s=1，i=2，i＜10， s=3，i=3，i＜10， s=6，i=4＜10， s=10，i=5＜10， s=15，i=6＜10， s=21，i=7＜10， s=28，i=8＜10， s=36，i=9＜10， s=45，i=10≤10， s=55，i=11＞10， 输出 s=5，5. 答案：B. 5.已知圆的方程为 x +y -6x=0，过点(1，2)的该圆的所有弦中，最短弦的长为(
解析：求出双曲线的左焦点，求出 AB 坐标，然后求解三角形的面积. 答案：A.
7.函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜ 解析式为( )
)的部分图象如图所示，则函数 f(x)的 2
) 6 B.f(x)=2sin(2x- ) 3 C.f(x)=2sin(x+ ) 12 D.f(x)=2sin(2x- ) 6
答案：25. 12.一个几何体的三视图如图所示，则几何体的体积为_____.
解析：该几何体是一个半圆柱，即可求出其体积. 答案：π.
13.已知 tanα=3，则 sinαsin(
3 -α)的值是_____. 2
解析：利用诱导公式、同角三角函数基本关系式、 “弦化切”即可得出. 答案：-
3 . 10
)
B.0 C.2 D.4 解析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数 k 的几何意义，进行平移，结合图象得 到 k=2x-y 的最大值. 答案：D. 9.利用计算机产生 120 个随机正整数，其最高位数字(如：34 的最高位数字为 3，567 的最 高位数字为 5)的频数分布图如图所示，若从这 120 个正整数中任意取出一个，设其最高位 数字为 d(d=1，2，…，9)的概率为 P，下列选项中，最能反映 P 与 d 的关系的是( )