常微分方程测试题22

常微分方程第三章测试试卷

一、 填空

1、求),(y x f dx

dy =满足00)(y x =ϕ的解等价于求积分方程⎰+=x x dx y x f y y 0),(0的连续解。

2、若)(x ϕ为毕卡逼近序列{})(x n ϕ的极限，则有)()(x x n ϕϕ-≤1)!

1(++n n

h n ML 3、微分方程的奇解是指对某些微分方程，存在一条特殊的积分曲线，在积分曲线上的每一点处，都有积分曲线族中的一条曲线和它在此点相切，则这条特殊的积分曲线所对应的解称为方程的奇解。

二、 解答下列各题

1、方程2y x dx

dy -=经过（0，0）的第二次近似解。 524002122

020*********)()(2

1)()(0)(x x dx x x dx x x x x dx x x x x x x x -=-=-==-==⎰⎰⎰ϕϕϕϕφ

2、求下列方程01)(

22=-+y dx dy 的奇解。 解：从0122=-+y p

02=p

消去p ，得到-p 判别曲线

1±=y

容易验证，此两直线都是方程的奇解，因为容易求得原方程的通解为 )s i n (c x y +=

而1±=y 是微分方程的解，且正好是通解的包络。

3、求方程2)(2dx

dy dx dy x y -=的奇解。 解：从 22p xp y -=

022=-p x

消去p ，得到-p 判别曲线

2x y =

但2x y =不是方程的解，故此方程没有奇解。

4、求y

y b y 2

2-='的奇解。 解：易求得方程的通解是

222)(b y c x =+-

对c 求导，得,0)(2=--c x 按-c 消去法，解

222)(b y c x =+-

0)(2=--c x

得b y ±=，验证，它显然是解，又是通解——圆族的包络线，因此b y ±=是奇解。

5、022=-+y xp xp

解：从 022=-+y xp xp

022=+x xp

中消去p 得;x y -=

再求通解，将方程写为

xp xp y 22+=

),222(112xdp pdx pxdp dx p p

dy p dx +++== 即,2p

dp x dx =- 通积分为,4)(2cx c y =-

从 c c y cx c y 4)(2,

4)(2=--=-中消去c ，得

0=x 及,x y -=

按p c -消去法知x y -=是奇解。