第2章 点和直线的投影
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A0
a' X
α
b'
Z
b A0 a
β
b'
Z b
γ
A0
a YW
O b
YW
a' X
Xa-Xb Ya-Yb
O b
a
a
Y
YH
a
YH
以投影长为底边、直线两端点到该投影面的距离差作 为高建立直角三角形，直角三角形的斜边即为直线的实 长 ，斜边与投影长的夹角即为该直线对该投影面的倾角。
2.2 直线的投影
一、直线的投影 二、各种位置直线的投影特性 三、直线上点的投影 点在直线上，点的各个投影必在该直线的同面投影上。
Ⅱ
S A
A1
a
P
V
Ⅰ
Ⅲ
Ⅳ
H
2.1 点的投影
一、点在两投影面体系中的投影 1.点在第Ⅰ象限中的投影
正立投影面 V
a'
V面保持不动
a'
V
a'
X
ax
A
X O
H面绕X轴向 下旋转90°
ax
O
X
ax
O
V应垂直于H
水平投影面 a H a) 立体图
a
H
a
b) 展开图
c) 投影图
注意：空间点用大写字母或数字表示；点的投影用小圆圈表示。 点在V面上的投影称正面投影，用小写字母或数字加 ′表示。 点在H面上的投影称水平投影，用小写字母或数字表示。
2.2 直线的投影
一、直线的投影 一般情况下，空间直线的投影仍然为直线。
根据几何学定理，空间两点可以确定一条直线，所以在求作直 线的三面投影时，可分别作出直线上任意两点（通常是直线的两个 端点）的三面投影，然后将其同面投影用直线相连接，即可得到直 线的三面投影。
V
b'
Z B
b W X a'
b'
Z
b
2.1 点的投影
一、点在两投影面体系中的投影 1.点在第Ⅰ象限中的投影 2.点在其它象限中的投影 3.在投影面上或投影轴上的点的投影
点位于投影 面上或投影轴 上时，如图a） 所示。投影图 如图b）所示。
a) b)
Ａ点在Ｖ面上，则Ａ点到Ｖ面的距离为零，即Ａ与 a′重合且aax=O,a与aX重合，Ａ点的水平投影a在Ｘ轴上。 Ｂ点在Ｘ轴上，则Ｂ既在Ｖ面上也在Ｈ面上，Ｂ与 b′重合，Ｂ与b重合。
2.1 点的投影
一、点在两投影面体系中的投影 二、点在三投影面体系中的投影
V
a'
A
Z
V面不动
az a
O W
V
a'
Z az
a
W
a'
Z az
a
X ax
O
X ax
aYW
a
H YH
YW
X ax
O
aYW
a YH aY H
YW
a
H
ay
Y
aY H
a) 立体图
b) 展开图
c) 投影图
注意：点在W面上的投影称侧面投影，用小写字母或数字另加 "表示。
点分割线段之比，在投影中保持不变。
C∈AB，则c’ ∈a’b’、c∈ab、c” ∈a”b” AC/BC=a’c’/b’c’=ac/bc=a”c”/b”c”
2.2 直线的投影
一、直线的投影 二、各种位置直线的投影特性 三、直线上点的投影
例2-3 求C点的水平投影。
a' c' b' X a c b YH O Z a
ZA
YA
ZB
YB
O YW
XA
a
XB
b
YH
显然，若要判断两空间点的相对位置，只须判断两 点的坐标大小，X坐标大的在左、Y坐标大的在前、Z坐 标大的在上。
2.1 点的投影
一、点在两投影面体系中的投影 二、点在三投影面体系中的投影 三、两点的相对位置
1.两点相对位置的确定 2.重影点的投影 两点位于垂直于某投影面的同一 条投射线上，则这两点在该投影面上 的投影就重合在一起，称之为重影点。 重影点有两对同名坐标值相等，如图所示，Ａ、Ｂ两点位 于垂直于Ｈ面同一条投射线上，即ab重合，即ＸA=ＸB、ＹA=ＹB 但是ＺA>ＺB，表明点Ａ位于点Ｂ的上方。 由于Ｈ面的投影是由上往下观察，因此Ａ点在Ｈ面投影为 可见，Ｂ点为不可见。规定重影点的标记次序是：可见点标记 在左边，不加括号，不可见点在右边，加括号，如图中的a （b）。同理，Ｖ面的重影点由前向后观察，Ｗ面的重影点由左 向右观察。
O c
d
c
H a
Y
2.3 两直线的相对位置
一、两直线平行 二、两直线相交 三、两直线交叉
两直线既不平行又不相交称之为交叉。 交叉两直线的投影可能会有一组或两组互相平行，但绝不会 三组同面投影都互相平行；交叉两直线的各个同面投影也可能都 是相交的，但它们的交点一定不符合点的投影规律，是重影点。
V b' d' B c' X a' C A c a H b O d D a Z b W d X a c b d YH c' a' b' d' Z
一、两直线平行
空间两直线的相对位置可归结为三种， 即两直线平行、两直线相交和两直线交叉。 平行和相交两直线都位于同一平面上， 称之为“同面直线”。而交叉两直线不位于 同一平面上，称之为“异面直线”。 若空间两直线互相平行，则其在三个投影面上的投影都互相平行。 两直线的线段比，在投影中保持不变。
V b' d' a' c' X Z b' b D d W O b C H c d a c Y a c a' X c' b d YH d' Z
B
A X D E
c'
垂直相交
交叉垂直
总结
（1）点投影的两条基本规律：垂直规律、距离规律。 （2）掌握直线投影特性，尤其是显实性条件。 （3）点、直线从属关系。 （4）两直线相对关系：平行、相交、垂直的特性。
V a' X A a Hຫໍສະໝຸດ b'β γ α
Z B O b
b W
a
Y
b' a' X b a
Z
b a O
YW
因此直线的三个投影均小于实长。
YH
2.2 直线的投影
一、直线的投影 二、各种位置直线的投影特性 ★ 用直角三角形法求一般位置线实长
V
a' X A a H b'
β γ α
Zb-Za
Z B O b
b W
第二章 点和直线的投影
§2.1 点的投影 §2.2 直线的投影 §2.3 两直线的相对位置
2.1 点的投影
一、点在两投影面体系中的投影
过空间点Ａ作Ｐ面的垂直线，该垂直线 与P面的交点a称为空间点Ａ在Ｐ面上的正投 影，但是a不能唯一确定空间点Ａ的具体位置。 因为，在该垂直线上的所有点（如点A1、A、 S）的投影都在a处。因此，点在一个投影面 上的投影不能确定点的空间位置，它需要用 两个或三个投影面上的投影来确定。 如右图所示为水平投影面Ｈ和正立投影 面Ｖ组成的两投影面体系。投影面Ｈ和投影 面Ｖ的交线为OX轴（称投影轴）。投影面Ｖ、 Ｈ把空间分成四个部分，分别称之为Ⅰ、Ⅱ、 Ⅲ、Ⅳ象限。
2.2 直线的投影
一、直线的投影 二、各种位置直线的投影特性
1．投影面平行线 2．投影面垂直线 3．一般位置直线 与三个投影面既不垂直也不平 行的直线称为一般位置直线。 一般位置直线在三个投影面上 的投影长、对三个投影面的倾角和 空间直线实长的关系为： ab=ABcosα a′b′=ABcosβ a＂b＂=ABcosγ。
a'
Z
a
X
O
YW
a
YH
2.1 点的投影
一、点在两投影面体系中的投影 二、点在三投影面体系中的投影 三、两点的相对位置 1.两点相对位置的确定
两空间点的投影沿左右、前 后、上下三个方向所反映的坐标 差，即两空间点对Ｗ、Ｖ、Ｈ面 的距离差，能确定两点的相对位 置，如图所示。
X a' b' Z a″ b″
2.1 点的投影
一、点在两投影面体系中的投影 二、点在三投影面体系中的投影 点在三投影面体系中的投影规律： (1)点的投影的连线垂直于投影轴， 即 aa’⊥OX ；a’a"⊥OZ ；
a'
Z az
a
X ax
O
aYW a YH aY H
YW
(2)点的投影到投影轴的距离等于 该点与相邻投影面的距离， 即 aay=Aa"=a’az=x， aax=Aa′=a"az=y， a’ax=Aa=a"ay=z。
平行于某一投影面且倾斜于其它投影面的直线称 为投影面平行线。
投影面平行线有三种类型，平行于正立投影面Ｖ且倾斜于 其它投影面的直线称为正平线；平行于水平投影面Ｈ且倾斜于 其它投影面的直线称为水平线；平行于侧立投影面Ｗ且倾斜于 其它投影面的直线称为侧平线。 投影面平行线的投影特性如下：
2.2 直线的投影
2.2 直线的投影
一、直线的投影 二、各种位置直线的投影特性 三、直线上点的投影 四、直线的迹点
例2-4 求直线的迹点 直线的迹点既是 直线上的点，又是投 影面上的点，根据这 一特点就可求出直线 上迹点的投影。 a' X m' s b a m YH b' Z s s' b a
O
m YW
2.3 两直线的相对位置
a' X A a H b Y O
a
O b YW
a a
YH
规定：直线对Ｈ面的倾角用α表示，对Ｖ面的 倾角用β表示，对Ｗ面的倾角用γ表示。
2.2 直线的投影
一、直线的投影 二、各种位置直线的投影特性
1．投影面平行线 根据直线对投影面的相对 位置，直线可分为投影面平行 线、投影面垂直线、一般位置 直线三种。
c
b YW X
a' c' b' O a c C0 B0
b
用第三面投影作点的投影
用定比法作点的投影
2.2 直线的投影
一、直线的投影 二、各种位置直线的投影特性 三、直线上点的投影 四、直线的迹点
直线与投影面的交点，称为直线的迹点。 直线与正立投影面的交点称为正面迹点，用Ｎ标记。直线与水 平投影面的交点称为水平迹点，用Ｍ标记。直线与侧立投影面的交 点称为侧面迹点，用Ｓ标记。
2.2 直线的投影
一、直线的投影 二、各种位置直线的投影特性
1．投影面平行线 2．投影面垂直线 正垂线
b'a' X a b Z
铅垂线
a O b a'
Z
侧垂线
a a'
Z b'
ab
YW
X
b' O
b YW X O YW
YH
ab
YH
a
b
YH
正面投影积聚成点； 其它投影反映线段实长、 且垂直相应的投影轴。
水平投影积聚成点； 侧面投影积聚成点； 其它投影反映线段实长、 其它投影反映线段实长、 且垂直相应的投影轴。 且垂直相应的投影轴。
V
a'
A
Z
az a
O W
X ax
a
H
ay
Y
2.1 点的投影
一、点在两投影面体系中的投影 二、点在三投影面体系中的投影
例2-1 已知点Ａ（15，12，10）,试作Ａ点的三面投影图。 Z 15
a'
10
a
X
12
O
YW
a YH
2.1 点的投影
一、点在两投影面体系中的投影 二、点在三投影面体系中的投影
例2-2 已知A点的两个投影a′、a＂，求其第三个投影a。
2.1 点的投影
一、点在两投影面体系中的投影 二、点在三投影面体系中的投影
在两投影面体系的基础上，再 增设一个侧立投影面Ｗ，并使其同 时垂直于Ｖ投影面和Ｈ投影面，如 图所示，称之为三投影面体系。 增加的Ｗ投影面将空间由原为 的四个象限分割为八个分角，其排 列顺序如图所示。 下面介绍点在三投影面体系的 第一分角中的投影：
2.1 点的投影
一、点在两投影面体系中的投影 1.点在第Ⅰ象限中的投影
a'
V a'
X
a
A
x
O
X
O
a
H
a
点在两投影面体系中的投影规律： (1)点的投影的连线垂直于投影轴，即aa′⊥OX ； (2)点的投影到投影轴的距离等于该点与相邻投影面 的距离，即a'ax=Aa，aax=Aa′。
2.1 点的投影
一、直线的投影 二、各种位置直线的投影特性
1．投影面平行线 正平线
γ a' X α O a YW b'
Z
b
水平线
a' b'
侧平线
Z
a
b
a' b'
Z
a
X
a
O
βγ
b
YW
β α b
X
a
O
YW
a
b
YH
YH
b
YH
正面投影反映线段实长； 其它投影为变短的直线、 且平行相应的投影轴。
水平投影反映线段实长； 侧面投影反映线段实长； 其它投影为变短的直线、 其它投影为变短的直线、 且平行相应的投影轴。 且平行相应的投影轴。
b
d
B
O
a
c YW
A
a
2.3 两直线的相对位置
一、两直线平行 二、两直线相交
若空间两直线相交，则其在三个投影面上的投影也都相交， 且投影的交点符合点的投影特性。
V
d' m' c' D b' B Z
Z
b
b'
d' m' c'
b d m a O YW
W
C b d m
a' X
c
a'
X
M
A m
b a d a m c YH
一、点在两投影面体系中的投影 1.点在第Ⅰ象限中的投影 2.点在其它象限中的投影
如图a)所示的空间 点Ｂ、Ｃ、Ｄ分别处在 Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ象限中，各 点分别向Ｈ、Ｖ面投射， 可得其在各投影面上的 投影。
a)
b)
各点投影图如图b）所示，第Ⅱ象限的Ｂ点的正面投影 b′和水平投影b同在Ｘ轴上方，第Ⅲ象限的Ｃ点的正面投 影c′在Ｘ轴下方，而水平投影c在Ｘ轴上方，第Ⅳ象限的 Ｄ点的正面投影d′和水平投影d同在Ｘ轴下方。
b
d
a
O
c YW
c Y
2.3 两直线的相对位置
一、两直线平行 二、两直线相交 三、两直线交叉 四、两直线垂直
如果两直线互相垂直，其中一直线平行于某一投影面（另一 直线不垂直于该投影面），则两直线在该投影面上的投影仍然垂 直（称之为直角投影定理）。
V a' b' a' b' c' X O be ad H C a c c b a b c d O X a' b' c' d' O
a' X
α
b'
Z
b A0 a
β
b'
Z b
γ
A0
a YW
O b
YW
a' X
Xa-Xb Ya-Yb
O b
a
a
Y
YH
a
YH
以投影长为底边、直线两端点到该投影面的距离差作 为高建立直角三角形，直角三角形的斜边即为直线的实 长 ，斜边与投影长的夹角即为该直线对该投影面的倾角。
2.2 直线的投影
一、直线的投影 二、各种位置直线的投影特性 三、直线上点的投影 点在直线上，点的各个投影必在该直线的同面投影上。
Ⅱ
S A
A1
a
P
V
Ⅰ
Ⅲ
Ⅳ
H
2.1 点的投影
一、点在两投影面体系中的投影 1.点在第Ⅰ象限中的投影
正立投影面 V
a'
V面保持不动
a'
V
a'
X
ax
A
X O
H面绕X轴向 下旋转90°
ax
O
X
ax
O
V应垂直于H
水平投影面 a H a) 立体图
a
H
a
b) 展开图
c) 投影图
注意：空间点用大写字母或数字表示；点的投影用小圆圈表示。 点在V面上的投影称正面投影，用小写字母或数字加 ′表示。 点在H面上的投影称水平投影，用小写字母或数字表示。
2.2 直线的投影
一、直线的投影 一般情况下，空间直线的投影仍然为直线。
根据几何学定理，空间两点可以确定一条直线，所以在求作直 线的三面投影时，可分别作出直线上任意两点（通常是直线的两个 端点）的三面投影，然后将其同面投影用直线相连接，即可得到直 线的三面投影。
V
b'
Z B
b W X a'
b'
Z
b
2.1 点的投影
一、点在两投影面体系中的投影 1.点在第Ⅰ象限中的投影 2.点在其它象限中的投影 3.在投影面上或投影轴上的点的投影
点位于投影 面上或投影轴 上时，如图a） 所示。投影图 如图b）所示。
a) b)
Ａ点在Ｖ面上，则Ａ点到Ｖ面的距离为零，即Ａ与 a′重合且aax=O,a与aX重合，Ａ点的水平投影a在Ｘ轴上。 Ｂ点在Ｘ轴上，则Ｂ既在Ｖ面上也在Ｈ面上，Ｂ与 b′重合，Ｂ与b重合。
2.1 点的投影
一、点在两投影面体系中的投影 二、点在三投影面体系中的投影
V
a'
A
Z
V面不动
az a
O W
V
a'
Z az
a
W
a'
Z az
a
X ax
O
X ax
aYW
a
H YH
YW
X ax
O
aYW
a YH aY H
YW
a
H
ay
Y
aY H
a) 立体图
b) 展开图
c) 投影图
注意：点在W面上的投影称侧面投影，用小写字母或数字另加 "表示。
点分割线段之比，在投影中保持不变。
C∈AB，则c’ ∈a’b’、c∈ab、c” ∈a”b” AC/BC=a’c’/b’c’=ac/bc=a”c”/b”c”
2.2 直线的投影
一、直线的投影 二、各种位置直线的投影特性 三、直线上点的投影
例2-3 求C点的水平投影。
a' c' b' X a c b YH O Z a
ZA
YA
ZB
YB
O YW
XA
a
XB
b
YH
显然，若要判断两空间点的相对位置，只须判断两 点的坐标大小，X坐标大的在左、Y坐标大的在前、Z坐 标大的在上。
2.1 点的投影
一、点在两投影面体系中的投影 二、点在三投影面体系中的投影 三、两点的相对位置
1.两点相对位置的确定 2.重影点的投影 两点位于垂直于某投影面的同一 条投射线上，则这两点在该投影面上 的投影就重合在一起，称之为重影点。 重影点有两对同名坐标值相等，如图所示，Ａ、Ｂ两点位 于垂直于Ｈ面同一条投射线上，即ab重合，即ＸA=ＸB、ＹA=ＹB 但是ＺA>ＺB，表明点Ａ位于点Ｂ的上方。 由于Ｈ面的投影是由上往下观察，因此Ａ点在Ｈ面投影为 可见，Ｂ点为不可见。规定重影点的标记次序是：可见点标记 在左边，不加括号，不可见点在右边，加括号，如图中的a （b）。同理，Ｖ面的重影点由前向后观察，Ｗ面的重影点由左 向右观察。
O c
d
c
H a
Y
2.3 两直线的相对位置
一、两直线平行 二、两直线相交 三、两直线交叉
两直线既不平行又不相交称之为交叉。 交叉两直线的投影可能会有一组或两组互相平行，但绝不会 三组同面投影都互相平行；交叉两直线的各个同面投影也可能都 是相交的，但它们的交点一定不符合点的投影规律，是重影点。
V b' d' B c' X a' C A c a H b O d D a Z b W d X a c b d YH c' a' b' d' Z
一、两直线平行
空间两直线的相对位置可归结为三种， 即两直线平行、两直线相交和两直线交叉。 平行和相交两直线都位于同一平面上， 称之为“同面直线”。而交叉两直线不位于 同一平面上，称之为“异面直线”。 若空间两直线互相平行，则其在三个投影面上的投影都互相平行。 两直线的线段比，在投影中保持不变。
V b' d' a' c' X Z b' b D d W O b C H c d a c Y a c a' X c' b d YH d' Z
B
A X D E
c'
垂直相交
交叉垂直
总结
（1）点投影的两条基本规律：垂直规律、距离规律。 （2）掌握直线投影特性，尤其是显实性条件。 （3）点、直线从属关系。 （4）两直线相对关系：平行、相交、垂直的特性。
V a' X A a Hຫໍສະໝຸດ b'β γ α
Z B O b
b W
a
Y
b' a' X b a
Z
b a O
YW
因此直线的三个投影均小于实长。
YH
2.2 直线的投影
一、直线的投影 二、各种位置直线的投影特性 ★ 用直角三角形法求一般位置线实长
V
a' X A a H b'
β γ α
Zb-Za
Z B O b
b W
第二章 点和直线的投影
§2.1 点的投影 §2.2 直线的投影 §2.3 两直线的相对位置
2.1 点的投影
一、点在两投影面体系中的投影
过空间点Ａ作Ｐ面的垂直线，该垂直线 与P面的交点a称为空间点Ａ在Ｐ面上的正投 影，但是a不能唯一确定空间点Ａ的具体位置。 因为，在该垂直线上的所有点（如点A1、A、 S）的投影都在a处。因此，点在一个投影面 上的投影不能确定点的空间位置，它需要用 两个或三个投影面上的投影来确定。 如右图所示为水平投影面Ｈ和正立投影 面Ｖ组成的两投影面体系。投影面Ｈ和投影 面Ｖ的交线为OX轴（称投影轴）。投影面Ｖ、 Ｈ把空间分成四个部分，分别称之为Ⅰ、Ⅱ、 Ⅲ、Ⅳ象限。
2.2 直线的投影
一、直线的投影 二、各种位置直线的投影特性
1．投影面平行线 2．投影面垂直线 3．一般位置直线 与三个投影面既不垂直也不平 行的直线称为一般位置直线。 一般位置直线在三个投影面上 的投影长、对三个投影面的倾角和 空间直线实长的关系为： ab=ABcosα a′b′=ABcosβ a＂b＂=ABcosγ。
a'
Z
a
X
O
YW
a
YH
2.1 点的投影
一、点在两投影面体系中的投影 二、点在三投影面体系中的投影 三、两点的相对位置 1.两点相对位置的确定
两空间点的投影沿左右、前 后、上下三个方向所反映的坐标 差，即两空间点对Ｗ、Ｖ、Ｈ面 的距离差，能确定两点的相对位 置，如图所示。
X a' b' Z a″ b″
2.1 点的投影
一、点在两投影面体系中的投影 二、点在三投影面体系中的投影 点在三投影面体系中的投影规律： (1)点的投影的连线垂直于投影轴， 即 aa’⊥OX ；a’a"⊥OZ ；
a'
Z az
a
X ax
O
aYW a YH aY H
YW
(2)点的投影到投影轴的距离等于 该点与相邻投影面的距离， 即 aay=Aa"=a’az=x， aax=Aa′=a"az=y， a’ax=Aa=a"ay=z。
平行于某一投影面且倾斜于其它投影面的直线称 为投影面平行线。
投影面平行线有三种类型，平行于正立投影面Ｖ且倾斜于 其它投影面的直线称为正平线；平行于水平投影面Ｈ且倾斜于 其它投影面的直线称为水平线；平行于侧立投影面Ｗ且倾斜于 其它投影面的直线称为侧平线。 投影面平行线的投影特性如下：
2.2 直线的投影
2.2 直线的投影
一、直线的投影 二、各种位置直线的投影特性 三、直线上点的投影 四、直线的迹点
例2-4 求直线的迹点 直线的迹点既是 直线上的点，又是投 影面上的点，根据这 一特点就可求出直线 上迹点的投影。 a' X m' s b a m YH b' Z s s' b a
O
m YW
2.3 两直线的相对位置
a' X A a H b Y O
a
O b YW
a a
YH
规定：直线对Ｈ面的倾角用α表示，对Ｖ面的 倾角用β表示，对Ｗ面的倾角用γ表示。
2.2 直线的投影
一、直线的投影 二、各种位置直线的投影特性
1．投影面平行线 根据直线对投影面的相对 位置，直线可分为投影面平行 线、投影面垂直线、一般位置 直线三种。
c
b YW X
a' c' b' O a c C0 B0
b
用第三面投影作点的投影
用定比法作点的投影
2.2 直线的投影
一、直线的投影 二、各种位置直线的投影特性 三、直线上点的投影 四、直线的迹点
直线与投影面的交点，称为直线的迹点。 直线与正立投影面的交点称为正面迹点，用Ｎ标记。直线与水 平投影面的交点称为水平迹点，用Ｍ标记。直线与侧立投影面的交 点称为侧面迹点，用Ｓ标记。
2.2 直线的投影
一、直线的投影 二、各种位置直线的投影特性
1．投影面平行线 2．投影面垂直线 正垂线
b'a' X a b Z
铅垂线
a O b a'
Z
侧垂线
a a'
Z b'
ab
YW
X
b' O
b YW X O YW
YH
ab
YH
a
b
YH
正面投影积聚成点； 其它投影反映线段实长、 且垂直相应的投影轴。
水平投影积聚成点； 侧面投影积聚成点； 其它投影反映线段实长、 其它投影反映线段实长、 且垂直相应的投影轴。 且垂直相应的投影轴。
V
a'
A
Z
az a
O W
X ax
a
H
ay
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2.1 点的投影
一、点在两投影面体系中的投影 二、点在三投影面体系中的投影
例2-1 已知点Ａ（15，12，10）,试作Ａ点的三面投影图。 Z 15
a'
10
a
X
12
O
YW
a YH
2.1 点的投影
一、点在两投影面体系中的投影 二、点在三投影面体系中的投影
例2-2 已知A点的两个投影a′、a＂，求其第三个投影a。
2.1 点的投影
一、点在两投影面体系中的投影 二、点在三投影面体系中的投影
在两投影面体系的基础上，再 增设一个侧立投影面Ｗ，并使其同 时垂直于Ｖ投影面和Ｈ投影面，如 图所示，称之为三投影面体系。 增加的Ｗ投影面将空间由原为 的四个象限分割为八个分角，其排 列顺序如图所示。 下面介绍点在三投影面体系的 第一分角中的投影：
2.1 点的投影
一、点在两投影面体系中的投影 1.点在第Ⅰ象限中的投影
a'
V a'
X
a
A
x
O
X
O
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H
a
点在两投影面体系中的投影规律： (1)点的投影的连线垂直于投影轴，即aa′⊥OX ； (2)点的投影到投影轴的距离等于该点与相邻投影面 的距离，即a'ax=Aa，aax=Aa′。
2.1 点的投影
一、直线的投影 二、各种位置直线的投影特性
1．投影面平行线 正平线
γ a' X α O a YW b'
Z
b
水平线
a' b'
侧平线
Z
a
b
a' b'
Z
a
X
a
O
βγ
b
YW
β α b
X
a
O
YW
a
b
YH
YH
b
YH
正面投影反映线段实长； 其它投影为变短的直线、 且平行相应的投影轴。
水平投影反映线段实长； 侧面投影反映线段实长； 其它投影为变短的直线、 其它投影为变短的直线、 且平行相应的投影轴。 且平行相应的投影轴。
b
d
B
O
a
c YW
A
a
2.3 两直线的相对位置
一、两直线平行 二、两直线相交
若空间两直线相交，则其在三个投影面上的投影也都相交， 且投影的交点符合点的投影特性。
V
d' m' c' D b' B Z
Z
b
b'
d' m' c'
b d m a O YW
W
C b d m
a' X
c
a'
X
M
A m
b a d a m c YH
一、点在两投影面体系中的投影 1.点在第Ⅰ象限中的投影 2.点在其它象限中的投影
如图a)所示的空间 点Ｂ、Ｃ、Ｄ分别处在 Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ象限中，各 点分别向Ｈ、Ｖ面投射， 可得其在各投影面上的 投影。
a)
b)
各点投影图如图b）所示，第Ⅱ象限的Ｂ点的正面投影 b′和水平投影b同在Ｘ轴上方，第Ⅲ象限的Ｃ点的正面投 影c′在Ｘ轴下方，而水平投影c在Ｘ轴上方，第Ⅳ象限的 Ｄ点的正面投影d′和水平投影d同在Ｘ轴下方。
b
d
a
O
c YW
c Y
2.3 两直线的相对位置
一、两直线平行 二、两直线相交 三、两直线交叉 四、两直线垂直
如果两直线互相垂直，其中一直线平行于某一投影面（另一 直线不垂直于该投影面），则两直线在该投影面上的投影仍然垂 直（称之为直角投影定理）。
V a' b' a' b' c' X O be ad H C a c c b a b c d O X a' b' c' d' O