浅谈二次函数在高中阶段的应用

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谈二次函数在高考中的应用

析式时，可结合题目的具体条件，活选灵
取一种形式进行求解．
２．二次函数的单调性
图象研究其单调性．
（）ｘ２ｘｌ一；１ｙ２ｌ１＝＋＋Ｉ（）ｌ－Ｉ２Ｘ１；２
（ｙｘ＋一．３）＝２２１
４ｃｂａ－＼
二次函数的单调区间的划分依赖于对称轴和开口方向．当ａＯ．二次函数＞时
３１￡＋］即０ ≤ １ｇ￡＝２当 ∈［，１， ≤ｆ，（）一；ｔ
＂
－
ｔ时，（）￡＝２一１当ｔＯ￣ｇ（）＞ｌｇ￡）￡ｔ；４，￡＝－
在高中阶段学习单调性时．须让必学生对二次函数Ｙ似ｂｃ在区间＝＋ｘ＋
这里要使学生注意这些函数与二次函数的差异和联系．掌握把含有绝对值
重点考查数形结合与等价转化两种数
大值４
的充要条件是厂）（＜Ｑ
两根均大于即＜ ≤卢ｄ的充要条
。＜２＜Ｊ且ａ｝的充要条件是
￡２一１ｆ）２ｆ（＿＞１．
解决这类问题．首先要使学生弄清楚
向，，）调区，ｂ题意．一般地．个二次函数在实数集合下一一为增间一，）（单２ａ（＋一
为单调减区间．例１画出下列函数的图象，通过并Ｒ上只有最小值或只有最大值，当定义但域发生变化时，取最大或最小值的情况也

浅谈二次函数在高中阶段的应用

浅谈二次函数在高中阶段的应用
二次函数是一种常见的函数，在高中阶段的应用非常广泛。

一、二次函数在几何图形中的应用
二次函数的图像一般是一个开口向上的抛物线，它可以用来描述许多几何图形，如圆，椭圆，双曲线等。

例如，圆的标准方程是$x^2+y^2=r^2$，它可以写成$y=\sqrt{r^2-x^2}$，也就是一个二次函数。

二、二次函数在非线性方程求解中的应用
二次函数可以用来求解非线性方程，如$x^2+2x+1=0$，可以求出$x=-1$。

此外，二次函数也可以用来求解一些经典的数学问题，如抛物线的顶点坐标，椭圆的长短轴长度，双曲线的焦点坐标等。

三、二次函数在函数变换中的应用
二次函数可以用来描述函数的变换，如平移、缩放、旋转等，可以用来求解函数的最大值、最小值等。

例如，函数
$y=x^2+2x+1$的最小值可以通过缩放和旋转来求解，最小值为$-1$。

二次函数在高中数学教学中的应用

在初中教材中，二次函数作了初步的研究，对由于初中学生基础薄弱，生的理性思维欠缺，知学对识的接受能力有限，对这部份内容的学习多是机械
这个问题理解为，已知对应法则厂下，定义域中
的元素ｚ１＋的象是。ｚ＋ｌ求定义域中元素ｘ一４，
性上掌握二次函数的图象与性质，并能灵活应用。
一
（）所给表达式表示成．＋１的多项式。１把２２
（＋１ — ６ｚ＋１ｚ）（）＋６，
再用Ｘ代ｚ＋ｌ得Ｌ）一一６厂（ｚ＋６。（）变量代换：的适应性强，一般函数都可２它对
函数概念，主要是用映射观点来阐明函数，时就可这以用学生已经有一定了解的函数，别是二次函数特为例来加以更深认识函数的概念。次函数是从一二
从而厂ｚ＝ｚ一６（）：。ｚ＋６二、用二次函数的性质研究与二次函数关联利函数的单调性。最值与图象
这里不能把（ｚ＋１理解为ｚ＝十１）时的函数
的练习，学生逐步自觉地利用图象学习二次函数使
有关的一些函数单调性，合函数的图象研究函数结的最值情况。
’
值，只能理解为自变量为＋１的函数值。类型 Ⅱ：ｆ（１设ｘ十）一ｚ一４＋１求厂），（。
・１９５・

浅谈二次函数的应用

ｉ理研【注】数化究ｌ关
浅谈二次函数的应
、
进一步深入理解函数概念
首先要使学生弄清楚题意，一般地，一个二次函数在实数
集合Ｒ上或是只有最小值或是只有最大值，当定义域发生但
高中阶段是在学习集合的基础上又学习了映射，接着重新学习函数概念。主要是用映射观点来阐明函数，时就可以用学这生已经有一定了解的函数，特别是二次函数为例来加以更深地
般有两种方法：（）给表达式表示成ｘ１１把所＋的多项式。ｆ＋）× 一４＋＝ × １一６Ｘ１＋，（１＝ｘ１（＋）（＋）６再用Ｘｘ１Ｘ。代＋得
以不等式的推导。现以思路② 为例解决这道题：（）１先证明ｘｆ）令ｆ）ｆ）Ｘ因为Ｘ，是方程ｆ）＜（，（＝（一，ｘ × ｘ１２Ｘ（ｘ
令ｔｘｌ贝＝一。．（：ｔ１一（１＋＝６＋，＝＋，４ｔ１ ‘ ｔ（）４ｔ）１ｔ一ｔ６从ｘ．）一一
而ｆ）ｘ６（＝Ｘ一６＋。ｘ
得（Ｘ—Ｘ）Ｘ—Ｘ）０又ａ＞０，１（２＞，因此ｆ）＞０即ｆ）ｘ＞０至（ｘ．（一ｘ，此，得ｘｆ）证＜（。ｘ
例４设二次函数ｆｘ＝ａ２ｂ＋（＞）程ｆｘ一ｘ０（）ｘ＋ｘｃａＯ方（）＝
二次函数是从一个集合Ａ定义域）集合Ｂ值域）（到（上的映射ｆ — Ｂ使得集合Ｂ中的元素ｙａ２ｂ＋（ ≠Ｏ与集合Ａ：Ａ，＝ｘ＋ｘｃａ）

浅谈二次函数在高中数学学习中的重要性

教改教研新教师教学在高中代数中有一块很重要的内容，那就是二次函数。

二次函数概念非常简单，但它具有丰富的内涵和外延。

可以作为函数来研究，同时可以结合图形来研究。

它是最基本的初等函数，我们可以以它为素材，来研究函数的单调性、奇偶性、最大（小）值等性质，还可建立起二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的有机联系；结合图形，二次函数的图象是一条抛物线，它可以联系其它平面曲线讨论相互之间的关系。

我们在高中阶段，讨论这些形式的体形是非常多见的。

二次函数复杂的纵横联系，使得围绕二次函数可以编制出多种多样、复杂多变的数问题。

在高中代数的函数及其图象这一章中，围绕变化、变量、运动等蕴含着丰富的辩证观点。

通过研究恒量、变量变化和运动的关系，我们也能深刻的认识事物变化的哲学思想，对我们唯物主义世界观的建立同样具有很大的帮助。

一、常量与变量以及在运动轨迹的体现我们在哲学的学习中，马克思主义辩证法告诉我们，世界是普遍联系的，也是不断运动、变化、发展的。

常量是相对于某一变化或者某一变量的，是相对的，世界上没有绝对的常量。

我们明白了这个道理，才能理解并准确假设其条件，确定参考系。

既然运动是绝对的，静止时相对的，那么相对的常量也是存在的，而绝对的常量是不存在的。

我们可以以匀加速直线运动为例，加速度是常量，而时间和路程是变量；而实际生活中，绝对的匀加速直线运动是不存在的，而随时可能发生的加速或者急速才是绝对存在的。

这反映在图像中就呈现出曲线的变化，我们通过曲线的轨迹，可以直观的呈现在眼前，更好的理解这一数学模型的构建。

在学习过程中，我们通过抽象的数学表达式，建立形象的图像表达，使我们快速直观的理解其含义。

二、同一参考系中的运动与静止前面我们讨论过，绝对运动与相对静止之间的辩证关系。

我们研究速度，路程，时间的关系，就必须在同一参考系当中。

例如我们看y=2xx+5这样一个表达式，可以画出其图像，但请想一想，图像看似静止，你是否可以画出完整的图像呢？显而易见，你永远无法画出其完整的图像，因为它是向两端无限延伸的，是不断运动变化发展的，表达式中变量x 、y 常量2、5都是在同一参考系中存在的。

高中二次函数论文

浅谈高中二次函数函数是中学中最重要的内容之一，其中二次函数又是高中教材中很重要的一个内容。

大家知道，在初中教材中，对二次函数作了较详细的研究，但由于初中学生基础薄弱，又受其接受能力的限制，这部份内容的学习多是机械的，很难从本质上加以理解。

进入高中以后，尤其是高三复习阶段，面对高考，就必须对二次函数的基本概念和基本性质（图象以及单调性、奇偶性、有界性）有灵活应用，因此对二次函数还需再深入学习。

世界的本质就是简单，复杂只是起外在的表现形式，函数能够很好体现这点，所以性质是函数最本质的东西。

而函数的性质一般有单调性、奇偶性、有界性及周期性。

在高中阶段，能够完美体现上述性质的函数只有三角函数中的正弦函数和余弦函数。

在函数的基本性质中，可以通过函数的奇偶性衍生出对称性，这样就很容易联想到二次函数，事实上，二次函数可以和以上所有性质联系起来，因为这些性质就是在大量的基本函数中抽象的表象出来，只是为了更加形象地描述它们而已。

二次函数是高中数学中很重要的一个内容，而且他在高中数学中函数的教学中占有更为重要的地位。

二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目，尤其是当二次函数和一元二次不等式相结合时，它们贯穿于整个高中数学体系，也是实际生活中数学建模的重要工具之一。

最重要的是在历届高考试题中，以二次函数知识为主的综合性题目是高考的热点考题，基本都是把二次函数与不等式相结合的思想都是压轴题中不可缺少的内容，因为不等式与二次函数相结合才能形象的体现了数形结合的数学思想。

因此把二次函数与不等式等知识相互联系起来，才能使学生能更好地将所学知识融会贯通，才能为学好高中数学奠定坚实的基础。

初中阶段已经讲述了函数的定义，进入高中后在学习集合的基础上又学习了映射，接着重新学习函数概念，主要是用映射观点来阐明函数，这时就可以用学生已经有一定了解的函数，特别是二次函数为例来加以更深认识函数的概念。

二次函数是从一个集合a（定义域）到集合b（值域）上的映射a→b，使得集合b中的元y=ax2+bx+c（a≠0）与集合a的元素x 对应，记为（x）=ax2+bx+c（a≠0）这里ax2+bx+c表示对应法则，又表示定义域中的元素x在值域中的象，从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识，在学生掌握函数值的记号后，可以让学生进一步处理如下问题：类型i：已知（x）=2x2+x+2，求（x+1）这里不能把（x+1）理解为x=x+1时的函数值，只能理解为自变量为x+1的函数值。

浅谈二次函数在高考中的作用

浅谈二次函数在高考中的作用作者：姜忠杰来源：《中学课程辅导高考版·教师版》2011年第02期摘要：进入高中以后，一元二次函数要求加深，尤其是高三复习阶段，对一元二次函数还需再深入学习并跟其它知识进行拓展与研究。

特别加入导数的应用之后，解决一元二次函数的思想方法得到了充分的体现。

关键词：一元二次函数；图象；单调性；奇偶性；有界性中国分类号：G427 文献标识码：A文章编号：1992-7711（2011）02-096-02在初中教材中，对一元二次函数作了较详细的研究，由于初中学生基础薄弱，又受其接受能力的限制，这部份内容的学习多是机械的，很难从本质上加以理解。

进入高中以后，对一元二次函数要求加深，尤其是高三复习阶段，要对他们的基本概念和基本性质（图象以及单调性、奇偶性、有界性）灵活应用，对一元二次函数还需再深入学习并跟其他知识进行拓展与研究。

新课改后，特别加入导数的应用之后，解决一元二次函数的思想方法得到的充分的体现。

一、初中与高中对函数定义的联系与变化初中阶段已经讲述了函数的定义，进入高中后在学习集合的基础上又学习了映射，接着重新学习函数概念，主要是用映射观点来阐明函数，这时就可以用学生已经有一定了解的函数，特别是一元二次函数为例来加以更深认识函数的概念。

一元二次函数是从一个集合A（定义域）到集合B（值域）上的映射?:A→B，使得集合B中的元素与集合A的元素X对应，记为这里表示对应法则，又表示定义域中的元素X在值域中的象，从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识。

在《苏教版》必修一第二章中《函数的概念与基本初等函数》对函数的概念再次具体：将原先的“集合A”改成“数集A”，这样使学生更加通俗易懂。

便于学生自主学习。

二、初中与高中对二次函数图像与性质研究深度变深，面变广，并强调了应用。

初中阶段对二次函数的研究仅仅局限于求解析式、根据求根公式求根以及一些简单的求最大最小值。

那时大部分内容都是机械的，学生只知道所以然，而不知道之所以然，这也是学生为什么在初中害怕函数的主要原因。

关于二次函数在高中阶段的应用

关于二次函数在高中阶段的应用一、进一步深理解函数概念初中阶段已经述了函数的定义，进高中后在学习集合的基础上又习了映射，接着重新学习函数概，主要是用映射观点来阐明函数这时就可以用学生已经有一定解的函数，特别是次函数为例来加以更深认识函数概念。

二次函数是从一个集A（定义域）到集合B（值域）上映射:A→B，使集合B中的元素y=ax2+bx+c与集A的元素X对应，记为=ax2+bx+c这里ax2+bx+c表示对应法，又表示定义域中的元素X 在值域的象，从而使学生对函数的概有一个较明确的认识，在学生握函数值的记号后，可以让学生进步处理如下问题：类型I：已知=2x2+x+2求这里能把理解为x=x+1时的函数值，只能理解为变量为x+1的函数值。

类型Ⅱ：设=x24x+1，求这个问题解为，已知对应法则下，定义域中的元素x+1的象x2－4x+1，定义域中元素X的象，其本是求对应法则。

一般有两种方法：把所给表达式表示x+1的多项式。

=x24x+1=2－6+6，再用x代x+1得=x2－6x+6变量代换：它适应性强，对一般数都可适用。

令t=x+1，则x=t-1∴=2－4+1=t2－6t+6从=x2－6x+6二、二次数的单调性，最值与图像。

在高中阶段学习单调性时，须让学生对二次函数y=ax2+bx+c在区间（－∞－b2a]及[－b2a+∞）上的单性的结论用定义进行严格的论，使它建立在严密理论基础上，与此同时，进一步充分用函数图像的直观性，学生配以适当的练，使学生逐步自觉地利用图像学习次函数有关的一些函数单调性类Ⅲ：画出下列函数图像，并通过图像研究其单性。

（1）y=x2+2|x－1|－1（2）y=|x2－1|（3=x2+2|x|1这要使学生注意这些函数与二函数的差异和联系掌握把含有绝对值记号函数用分段函数去表示，然画出其图像。

类型Ⅳ设=x2－2x－1在区间[t，t+1]上的最小值是g。

：g并画出y=g的像解：=x22x－1=2－2，在x=1时最小值－21∈[t，t+1]即0≤t≤1，g=－2当t＞1，g==t2－2t1当t＜0时，g==t2－2t2－2，g=-2，t2－2t－1，首先使学生弄清楚题意，一般地，一个次函数在实数集合R上或是只最小值或是只有最大值但当定义域发生变化，取最大或最小值的情况也随之化，为了巩固和熟悉这方知识，可以再给学生补充一些练习如y=3x2－5x+6（-3x≤－1），求该数的值域。

高一二次函数与一元二次方程不等式

高一二次函数与一元二次方程不等式摘要：一、二次函数与一元二次方程不等式的基本概念1.二次函数的定义及性质2.一元二次方程的基本概念3.不等式的基本概念二、高一阶段二次函数与一元二次方程不等式的学习内容1.二次函数的图像与性质2.一元二次方程的解法与判别式3.不等式的基本性质与解法4.二次函数与一元二次方程不等式的关系三、高一阶段二次函数与一元二次方程不等式在实际问题中的应用1.利用二次函数解决实际问题2.利用一元二次方程不等式解决实际问题3.二次函数与一元二次方程不等式在实际问题中的综合运用正文：在高一阶段，我们开始接触到二次函数与一元二次方程不等式这两个重要的数学概念。

它们不仅在初高中数学知识体系中占有重要地位，同时也广泛应用于实际生活问题中。

首先，我们需要了解二次函数与一元二次方程不等式的基本概念。

二次函数是指形如f(x) = ax + bx + c 的函数，其中a、b、c 为常数，x 为自变量。

二次函数的性质包括开口方向、对称轴、顶点等。

一元二次方程是指形如ax + bx + c = 0 的方程，其中a、b、c 为常数，x 为未知数。

不等式是指用不等号连接的数学表达式，表示大小关系。

在高一阶段，我们会学习到二次函数的图像与性质，如何通过二次函数的图像来判断其开口方向、对称轴、顶点等性质。

同时，我们也会学习一元二次方程的解法与判别式，了解如何通过判别式判断方程有没有实数解，以及如何求解一元二次方程。

此外，我们还会学习不等式的基本性质与解法，如何通过移项、合并同类项等操作简化不等式，以及如何求解包含一元二次方程的不等式。

二次函数与一元二次方程不等式在实际问题中也有广泛应用。

例如，我们可以利用二次函数来描述抛物线运动，从而解决物理、化学等领域的相关问题。

同时，一元二次方程不等式也可以帮助我们解决实际问题，例如在经济学、社会学等领域中常常需要通过不等式来描述资源分配、收入差距等问题。

此外，二次函数与一元二次方程不等式还可以在实际问题中进行综合运用，例如在解决与增长率相关的问题时，我们可以将二次函数与一元二次方程不等式结合起来，更准确地描述问题的特点。

二元一次函数的基本应用

浅谈二次函数在高中阶段的应用容县杨梅中学梁正松在初中教材中，对二次函数作了较详细的研究，由于初中学生基础薄弱，又受其接受能力的限制，这部份内容的学习多是机械的，很难从本质上加以理解。

进入高中以后，尤其是高三复习阶段，要对他们的基本概念和基本性质（图象以及单调性、奇偶性、有界性）灵活应用，对二次函数还需再深入学习。

一、进一步深入理解函数概念初中阶段已经讲述了函数的定义，进入高中后在学习集合的基础上又学习了映射，接着重新学习函数概念，主要是用映射观点来阐明函数，这时就可以用学生已经有一定了解的函数，特别是二次函数为例来加以更深认识函数的概念。

二次函数是从一个集合A（定义域）到集合B（值域）上的映射ƒ:A→B，使得集合B中的元素y=ax2+bx+c(a≠0)与集合A 的元素X对应，记为ƒ(x)= ax2+ bx+c(a≠0)这里ax2+bx+c表示对应法则，又表示定义域中的元素X在值域中的象，从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识，在学生掌握函数值的记号后，可以让学生进一步处理如下问题：类型I：已知ƒ(x)= 2x2+x+2，求ƒ(x+1)这里不能把ƒ(x+1)理解为x=x+1时的函数值，只能理解为自变量为x+1的函数值。

类型Ⅱ：设ƒ(x+1)=x2－4x+1,求ƒ(x)这个问题理解为，已知对应法则ƒ下，定义域中的元素x+1的象是x2－4x+1，求定义域中元素X的象，其本质是求对应法则。

一般有两种方法：(1)把所给表达式表示成x+1的多项式。

ƒ(x+1)=x2－4x+1=(x+1)2－6(x+1)+6，再用x代x+1得ƒ(x)=x2－6x+6 (2) 变量代换：它的适应性强，对一般函数都可适用。

令t=x+1，则x=t-1 ∴(t)=(t-1)2－4(t-1)+1=t2－6t+6从而ƒ(x)= x2－6x+6二、二次函数的单调性，最值与图象。

在高中阶阶段学习单调性时，必须让学生对二次函数y=ax2+bx+c在区间（－∞，－b2a]及[－b2a，+∞）上的单调性的结论用定义进行严格的论证，使它建立在严密理论的基础上，与此同时，进一步充分利用函数图象的直观性，给学生配以适当的练习，使学生逐步自觉地利用图象学习二次函数有关的一些函数单调性。

高一基本二次函数知识点

高一基本二次函数知识点二次函数是高中数学中的一个重要章节，也是数学学习的一个关键阶段。

在高一阶段，学习和掌握基本的二次函数知识点对于深入理解和应用数学知识具有重要意义。

本文将以介绍、解析和应用的方式，深入探讨高一基本二次函数的知识点。

1. 二次函数的定义二次函数是一种以x的二次项为最高项的函数。

一般形式为f(x) = ax² + bx + c，其中a、b、c为实数且a ≠ 0。

二次函数的图像为一个抛物线，开口方向由a的正负决定。

2. 二次函数的图像特点二次函数的图像是一个抛物线，常常具有以下几个特点：- 开口方向：当a > 0时，抛物线开口向上；当a < 0时，抛物线开口向下。

- 对称轴：抛物线的对称轴为x = -b/2a。

- 顶点：抛物线的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。

- 判别式：二次函数的判别式Δ = b² - 4ac可以判断二次函数的图像与x轴的交点个数和位置。

- 当Δ > 0时，抛物线与x轴有两个交点；- 当Δ = 0时，抛物线与x轴有一个交点；- 当Δ < 0时，抛物线与x轴没有交点。

3. 二次函数的解析式对于一般形式的二次函数f(x) = ax² + bx + c，我们常常需要解析出具体的性质和特点。

常见的解析内容包括：- 利用顶点形式的二次函数：f(x) = a(x - h)² + k，其中(h, k)为顶点坐标，可快速确定二次函数的图像特点。

- 求根公式：当二次函数与x轴相交时，可以利用求根公式x = (-b ± √Δ) / 2a求出交点的横坐标。

- 一次项的判断：通过判断一次项系数b的正负，可以确定抛物线的开口方向。

4. 二次函数的应用除了理论性的解析和计算，高一阶段的二次函数还有一些实际应用场景，如物理、经济、几何等。

以下是一些常见的应用方式：- 物理应用：物体的运动轨迹一般为抛物线，通过二次函数可以描述物体的运动规律和轨迹。

高中生如何用好二次函数[论文]

高中生如何用好二次函数九年级数学下册《二次函数》一章，在整个初中数学阶段占有非常重要的作用，起着承上启下的“桥梁”作用。

不但体现了“数形”结合的重要思想，同时还是高中阶段学习函数提供基础.由于初中学生基础薄弱，又受其接受能力的限制，这部份内容的学习多是机械的，很难从本质上加以理解。

进入高中以后，由于高中数学本身难度就大，再加之函数是高中数学的重点，二次函数作为一个基本函数贯穿于整个函数，很多函数问题最终都可以转换为二次函数问题，所以学好二次函数，灵活用好二次函数成为高中数学一个重要知识，那么如何学好用好二次函数呢，笔者通过几年高中数学的教学，现进行简单的归纳总结。

一. 熟练掌握初中所学知识二次函数是初中数学的重要内容之一，也是学习的一个难点，同时又是“数形结合”思想方法体现的很充分的一个章节。

因此，学好二次函数，要从数形两方面入手。

首先，二次函数的方程为y=ax?+bx+c=a（x+ ）?+ （a≠0）而对应图像则分为开口向上开口向下两种对应图像与性质如下表：初中阶段除了学习二次函数外，还有一个特别重要的知识一元二次方程，而一元二次方程恰好是二次函数的特殊情况，将二者有效的结合起来，不仅对于学好一元二次方程帮助很到，也为高中学习一元二次不等式奠定了良好的基础。

二次函数与一元二次方程的关系：一元二次方程的解是其对应二次函数的图像与x轴交点坐标以上就是初中所学习的与二次函数有关的知识，只有扎实的掌握好初中的知识，才能将其灵活的运用于解决高中数学题。

二. 结合高中数学知识近一步理解二次函数1.结合所学函数定义进一步理解二次函数初中阶段已经讲述了函数的定义，进入高中后在学习集合的基础上又学习了映射，接着重新学习函数概念，主要是用映射观点来阐明函数，这时就可以用学生已经有一定了解的二次函数为例来加以更深认识函数的概念。

二次函数是从一个集合a（定义域）到集合b（值域）上的映射?：a→b，使得集合b中的元素y=ax2+bx+c（a ≠0）与集合a的元素x对应，记为?（x）= ax2+ bx+c（a≠0）这里ax2+bx+c表示对应法则，又表示定义域中的元素x在值域中的象，从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识，又加深了对二次函数的理解。

对高中阶段二次函数的再认识

数的概念的认识．次函数是从一个集合Ａ（义一定域）集合日（域）的映射厂Ａ＋使得集合Ｂ到值上：．，中的元素Ｙ＝＋（ ≠Ｏ与集合Ａ的元素对应，６ａ）
记为厂（）＝ａ６ａ）ｘ＋（ ≠Ｏ这里ａｂ表示对应法则，ｘ＋又表示定义域中的元素在值域中的象，而使学从
因此对二次函数的学习要再深入．
单调性，需用定义进行严格的沧证，使它的成立建立在严密的理论基础Ｅ与此同时，，进—步充分乖用函数图象的直观【Ｊ
性，蜘给学．以适当的练习，倭：自笕浏猁用图象学逐步习二次函数有关的—些函数调性
题型３画出下列函数的图象，通过图象研并究其单调性．
（）－＋１Ｙ－＇Ｘ２ｘ一１一１Ｉｌ；（）２ｙ＝Ｉ一１；Ｉ（）＋ＩＩ．３ｙ＝２ｘ一１
１函数概念的再认识
初中阶段函数的定义与高中阶段函数的定义有
所不同，进人高中后，函数是在集合的基础上定义
以再给学生补充一些练习．
３二次函数知识可以准确反映学生的数学
思维
题型５设二次函数）僦ｂ＋（＞）＝＋ｘｃ口Ｏ方
程厂）一０的两个根，满足Ｏ＜，＜１求：（＝＜
．
般有两种方法：种是把所给表达式表示成一
题型１已知厂）＝ｘ＋，（２＋２求分析：里不能把这＋１．）＋１理解为等＋１时的）

二次函数在高中数学中的应用

二次函数在高中数学中的应用说起二次函数)0(2≠++=a c bx ax y ，对于每一位从事高中数学的教师是再熟悉不过的了。

历年高考试题中函数的知识点和函数思想都占有相当重要的地位，而其中的二次函数在高中数学中又有着非常重要的地位与作用，它犹如一根红线贯穿其中，特别是在求函数的定义域、值域、函数的单调性、奇偶性及最值方面，二次函数问题往往是考查的一个重点。

它也是贯穿初中和高中数学课程的一种很重要的函数，不管在代数中，,还是解析几何中，利用此函数的机会都特别多，例如:配方法、换元法、参数分类讨论法、解方程、解不等式、不等式的证明、抛物线、函数的最值等等，都与这个函数有着密切的关系。

同时各种数学思想如函数的思想,数形结合的思想、分类讨论的思想，利用二次函数作为载体，展现得最为充分。

因此对于二次函数的应用的研究对于高中阶段教学有着重要的意义。

一、从集合角度对二次函数概念的理解初中函数的定义，是从变化的过程中两个相关联量的关系描述的，进入高中后在学习集合的基础上又重新定义了函数，主要是通过两个非空数集间的对应关系来定义函数，因此二次函数是从一个集合A （定义域）到集合B （值域）上的对应f :A →B ，即集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素)0(2≠++=a c bx ax y 和它对应，记为)0()(2≠++=a c bx ax x f ，这里)0(2≠++a c bx ax 表示对应关系，在学生掌握函数值的记号后，可以让学生进一步处理如下问题：例1. 已知22)(2++=x x x f ，求)1(),(),3(+x f a f f ?解析：)3(f 是当x =3时的函数值，)(a f 是当a x =时的函数值，)1(+x f 是把1+x 当作自变量，施加f 的对应关系，所以232332)3(2=++⋅=f ，22)(2++=a a a f ，5522)1()1(2)1(22++=++++=+x x x x x f 。

高中教材知识点：二次函数的图像与性质

高中教材知识点：二次函数的图像与性质一、知识点介绍二次函数是高中阶段数学学习的重要内容之一，它是一种关于自变量的二次多项式函数。

了解二次函数的图像与性质对于理解函数的变化规律和应用具有重要意义。

本文将详细介绍高中教材中二次函数的图像与性质，包括基本定义、图像特点、性质及常见的例题解析。

二、基本定义1. 二次函数：二次函数是一个关于自变量x 的函数，一般可以表示为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c 是实数且 a ≠0。

2. 二次函数的图像：二次函数的图像是平面直角坐标系中的一条曲线，通常是开口向上或向下的抛物线。

三、图像特点1. 抛物线的开口方向：二次函数中的系数a 决定了抛物线的开口方向。

当 a > 0 时，抛物线开口向上；当 a < 0 时，抛物线开口向下。

2. 邻域与单调性：二次函数的图像在抛物线的开口处有一个顶点，抛物线在这个顶点的邻域内是单调递增或单调递减的。

四、性质1. 零点与因式分解：二次函数的零点是方程f(x) = 0 的解，可以通过因式分解或求根公式来得到。

2. 对称性：二次函数的图像关于顶点对称。

即，若(h, k) 是抛物线的顶点，则点(2h, k) 也在抛物线上。

3. 最值：当抛物线开口向上时，最小值为顶点的纵坐标；当抛物线开口向下时，最大值为顶点的纵坐标。

五、例题解析1. 图像特点例题：题目：根据二次函数的表达式f(x) = 2x^2 - 3x + 1，确定该二次函数的开口方向和顶点。

解析：根据系数 a 的值，可以确定开口方向。

由题目中的系数可知 a = 2，因此抛物线开口向上。

顶点可以通过求解抛物线的顶点坐标得到。

根据顶点公式，顶点的横坐标为x = -b/2a，纵坐标为f(x) = f(-b/2a)。

代入系数的值，得到顶点的坐标为(-(-3)/2(2), f(-(-3)/2(2))) = (3/4, 13/8)。

2. 性质应用例题：题目：已知二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，其图像与x 轴交于两点，且顶点的纵坐标为4。

浅谈二次函数在高中阶段的应用

浅谈二次函数在高中阶段的应用在初中教材中，对二次函数作了较详细的研究，由于初中学生基础薄弱，又受其接受能力的限制，这部份内容的学习多是机械的，很难从本质上加以理解。

进入高中以后，尤其是高三复习阶段，要对他们的基本概念和基本性质（图象以及单调性、奇偶性、有界性）灵活应用，对二次函数还需再深入学习。

二次函数高中阶段应用1进一步深入理解函数概念一般有两种方法：（1）把所给表达式表示成x+1的多项式。

（2）变量代换：它的适应性强，对一般函数都可适用。

2二次函数的单调性，最值与图象。

在高中阶阶段学习单调性时，必须让学生对二次函数y=ax2+bx+c在区间（-∞，-b2a）及（-b2a ，+∞）上的单调性的结论用定义进行严格的论证，使它建立在严密理论的基础上，与此同时，进一步充分利用函数图象的直观性，给学生配以适当的练习，使学生逐步自觉地利用图象学习二次函数有关的一些函数单调性。

类型Ⅲ：画出下列函数的图象，并通过图象研究其单调性。

这里要使学生注意这些函数与二次函数的差异和联系。

掌握把含有绝对值记号的函数用分段函数去表示，然后画出其图象。

首先要使学生弄清楚题意，一般地，一个二次函数在实数集合R上或是只有最小值或是只有最大值，但当定义域发生变化时，取最大或最小值的情况也随之变化，为了巩固和熟悉这方面知识，可以再给学生补充一些练习。

解题思路：二次函数，它有丰富的内涵和外延。

作为最基本的幂函数，可以以它为代表来研究函数的性质，可以建立起函数、方程、不等式之间的联系，可以偏拟出层出不穷、灵活多变的数学问题，考查学生的数学基础知识和综合数学素质，特别是能从解答的深入程度中，区分出学生运用数学知识和思想方法解决数学问题的能力。

二次函数的内容涉及很广，本文只讨论至此，希望各位同仁在高中数学教学中也多关注这方面知识，使我们对它的研究更深入。

对初高中函数教学衔接问题的探讨——以二次函数为例

-057-2021年第12期︵总第264期︶教学案例JIAOXUE ANLI引言函数概念是中学数学中一个十分重要的基本概念，在整个中学阶段的数学学习中起着非常重要的作用。

在初中阶段，学生只需了解函数的基本概念及基本性质，如单调性、奇偶性、周期性等即可。

而不同于初中函数的学习，高中阶段，学生要学习函数的概念、定义域、函数解析式等更加抽象的内容。

函数的基本性质也需要在任意函数中体现出来，而并不只局限于某一特殊函数［1］。

正是这些严密抽象的数学语言、多变丰富的表达方式，使得函数成为刚步入高中阶段的学生最难理解与掌握的内容。

因此，要想做好高中函数的入门教学工作，教师就要处理好二次函数的教学衔接工作。

本文主要从初高中二次函数的教学差异着手，提出了初高中二次函数教学衔接的具体建议。

一、初高中二次函数教学差异（一）要求不同初中对二次函数的要求相对较低，只要求学生了解常量与变量的含义，能从变量的角度来理解二次函数的概念，能通过描点、画图掌握二次函数的性质，熟练掌握二次函数的顶点、函数的对称轴、有无最值的求解即可。

高中对二次函数的要求则相对较高，要求学生学会用集合对应的语言来刻画二次函数，并且此阶段学习的二次函数更加抽象、复杂。

对于二次函数解析式和最值的考查，在初中的教学中，教师往往会通过以下例题引入。

例1：已知抛物线y =ax 2+bx +c 经过A (-1,10)，B (1,4)，C (2,7)三点。

（1）求该抛物线的解析式；（2）利用配方法或公式法求该抛物线的顶点坐标和对称轴。

解：（1）由已知的三点，可得关于a ，b ，c 的三元一次方程组解这个方程组，得a =2，b =-3，c =5.所求二次函数是y =2x 2-3x +5（2）根据公式法，对称轴，顶点坐标是,则y =2x 2-3x +5的对称轴为34，顶点坐标为.而在高中数学教学中，例题的难度会增加很多。

例2：已知f (x )=ax 2-2x +1，若13≤a ≤1，且f (x )在[1,3]上的最大值为M (a )，最小值为N (a )，令g (a )=M (a )-N (a )，求g (a )的表达式.解：因为，由13≤a ≤1，得1≤1a ≤3，所以.当1≤1a ≤2，即12≤a ≤1时，M (a )=f (3)=9a -5，故；当2≤1a≤3，即13≤a ≤12时，M (a )=f (1)=a -1，故.所以由以上例题可知，初中求解二次函数的解析式一般是用待定系数法，求顶点或顶点坐标一般也采用配方法或者公式法；而学习高中二次函数，要求学生能够熟练地应用配方法讨论函数的对称轴及最值问题，理解不同形式的最值、单调性问题，掌握所应用的数形结合思想、分类讨论思想及化归与转化的数学思想。

高一知识点讲解数学电子版

高一知识点讲解数学电子版数学作为一门重要的学科，在高中阶段起到了承上启下的作用。

掌握高一的数学知识点，对于后续的学习和应用都具有重要的意义。

今天，我们将通过电子版形式，对一些高一数学知识点进行详细讲解。

一、二次函数在高一数学中，二次函数是一个重要的内容。

我们先来看一下二次函数的定义：二次函数是指定义域为实数集的函数，其函数表达式为y=ax²+bx+c (a≠0)。

其中，a、b、c均为常数。

二次函数的图像一般为抛物线形状，开口的方向和a的正负有关。

若a>0，则开口向上；若a<0，则开口向下。

二次函数的顶点坐标可通过公式x=-b/2a和y=f(-b/2a)求得。

二、三角函数三角函数也是高一数学中重要的内容。

常见的三角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数。

这些函数都与单位圆密切相关。

在解三角函数问题时，常用的工具是三角函数表，其中记录了角度和对应的三角函数值。

正弦函数用sin表示，定义为：sinθ=对边/斜边。

余弦函数用cos表示，定义为：cosθ=邻边/斜边。

正切函数用tan表示，定义为：tanθ=对边/邻边。

三角函数在解决角度和边长之间的关系问题时，具有很重要的作用。

三、概率与统计概率与统计是高一数学中的另一个重要内容。

概率是研究随机事件发生可能性的数学分支。

统计则是通过数据的收集、整理和分析，对现象进行描述和推断的学科。

在概率方面，常用的概念有样本空间、随机事件、事件概率等。

样本空间是指随机试验的所有可能结果的集合；随机事件是样本空间的子集；事件概率是指某个事件发生的可能性。

在统计方面，我们需要了解数据的整理与处理。

统计数据一般通过频数表、频率表和统计图表呈现。

常用的统计图表有条形图、折线图、饼状图等。

这些图表可以直观地展示数据特征和变化趋势。

四、向量与坐标向量和坐标系也是高一数学中的重要内容。

向量是有大小和方向的量，用有向线段表示。

在解决几何问题中，向量可以方便地表示平移和方向关系。