2.2.2等差数列的前n项和

课 堂 小 练
1.求等差数列5,9,13, ,73
的各项的和．
702
2. 等差数列－10，－6，2，· · · 前多少 项和是54 ？
n(n 1) 分析 ： 10 n · 4 54 2
得 n2-6n-27=0 得 n1=9, n2=-3(舍去）。
n（n 1) Sn na1 d 2
x=

sn na1 ,
a1 0时, sn单调递增; a1 0时, sn单调递减; a 0时, s 0. 1 n
例2：已知数列{an}的前n项和公式为 2 sn 2n 30n :
(1)这个数列是等差数列吗 ? 求出它的通项公式 ; (2)求使得sn最小的序号 n的值.
1.等差数列前n项和Sn公式的推导;
2.等差数列前n项和Sn公式的记忆与运用.
n(a1 an ) Sn 2
n( n 1) Sn na1 d 2
d 2 d S n n (a1 ) n 2 2
课本41页：练习B第3,4题
课本42页:第8题
(四)公式应用
例１. 根据下列条件,求相应的等差数列an 的前n项和S n .
(1)a1 2, an 16, n 8; (2) a1 6, d 3, n 10;
4 10
s10 195
s8 72
(3)d 2, an 29, n 20; s20 200 (4) a 10, a 2, n 12. s12 60
(三)数学理论
等差数列的前n项和公式的推导 由等差数列 a1 , a 2 , a3 , … an , … 的前n项和
Sn a1 a2 a3 an1 an (1)
Sn an an1 an2 a2 a1 (2)
n个 2 Sn （a1 an ) （a1 an ) （a1 an )
2
例2：已知数列{an}的前n项和公式为 2 sn 2n 30n :
(1)这个数列是等差数列吗 ? 求出它的通项公式 ; (2)求使得sn最小的序号 n的值.
又因为n是正整数, 所以当n 7或8时, sn最小.最小值是 112.
15 2 225 解： (2)因为 sn 2n 30 n 2(n ) 2 2
an dn (a1 d )即an an b
1.当d 0，a1 0时，sn有最小值. an 0 由 解出正整数n. an 1 0 2.当d 0，a1 0时，sn有最大值. an 0 由 解出正整数n. an 1 0
(五)回顾小结
2
d 2 d Sn n (a1 )n, 即S an2 bn n 2 2
1.当公差d <0即a<0时, Sn 有最大值, (n取与对称轴距离最近的正整数, n有 1或2个值),如右图所示:
2.当公差d>0即a>0时,
y
Sn
有最小值.
o1
b 2a
x
3.当公差d =0即a=0时,an 是常数列,
问：在等差数列 {an} 中，如果已知五个元 素a1, an, n, d, Sn 中的任意三个, 能否求出其余 两个量 ?
例2：已知数列{an}的前n项和公式为
sn 2n 30n :
2
(1)这个数列是等差数列吗 ? 求出它的通项公式 ;
解(1)将n-1代入数列的前n 项ห้องสมุดไป่ตู้公式，得
sn 1 2(n 1) 2 30(n 1). 因此an sn sn 1 4n 32(n 2), 当n 1时, a1 s1 2 30 28，也适合 上式，所以这个数列的 通项公式为 an 4n 32.
思考与讨论
2.如果一个数列的前 n项和sn an2 bn c (a, b, c为常数)，那么这个数列一定是 等差数列吗？
2an b a, (n 2) an a b c, (n 1)
结论： c 0时，是等差数列； c 0时，不是等差数列 .
若sn an bn(a, b为常数),则{an }是等差数列 . 2 若{an }是等差数列 , 则sn an bn(a, b为常数).
又因为n是正整数, 所以当n 7或8时, sn最小.最小值是 112.
15 2 225 解： (2)因为 sn 2n 30 n 2(n ) 2 2
2
问：能否通过 an 4n 32 ， 求sn的最小值 .
an 0 分析：由 , 解得7 n 8， an 1 0
等差数列的前n项和
(一)问题情景
问题 1:
1+2+3+· · · · · · +100=？
问题 1:
1+2+3+· · · · · · +100=？
S100 = 1+2+3+ · · · · · ·+100 = 101×50 = 5050 100 =(1+100) ·
2
100 (a1 a100 ) · 2
n（a1 an ) n（a1 an ) Sn 2
倒序相加法
等差数列的前n项和公式的其它形式
n（a1 an ) Sn 2
an a1 ( n 1) d
n（n 1) Sn na1 2 d
d 2 d S n n (a1 )n 2 2
又因为an an1 (4n 32) [4(n 1) 32] 4(n 2)，所以 {an }是等差数列 .
思考与讨论
数列确定了吗？如果确 定了，那么如何求它的 通项公式？应注意一些 什么问题？
1.如果已知数列 {an }的前n项和sn的公式，那么这个
sn sn 1 , ( n 2) an s1 , ( n 1)