2017_2018学年高中数学第二讲直线与园的位置关系阶段质量检测B卷(含解析)新人教A版选修4_1
2017-2018学年高中数学(北师大版)必修2课时跟踪检测(二十三)直线与圆的位置关系
∴圆心在 x+ 2y= 0 上,
∴a+ 2b= 0.
又∵3a- 2b- 8=0,
∴a= 2, b=- 1.
∵圆被直线 x- y+ 1= 0 截得的弦长为 2 2,
|2+ 1+ 1| ∴
2+ (
2)2= r2,∴r2= 10,
2
∴圆的方程为 (x- 2)2+ (y+ 1)2= 10.
层级二 应试能力达标
)
A. x+ y- 1=0
B. 2x+ y- 3= 0
C. 2x- y- 5= 0
D. x- y- 3= 0
解析: 选 D 圆心是点 C(1,0),由 CP⊥AB,得 kAB= 1,又直线 AB 过点 P,所以直线 AB 的方
3
)
A.4
B. 2
C.2 2
D. 2
解析: 选 C 直线 y= kx 过圆心,被圆 x2+ y2= 2 所截得的弦长恰为圆的直径
2 2,故选 C.
3.若直线
x+
y=
1与圆
x2+
y2=
r
2
(r
>
0)相切,则实数
r的值等于 (
)
2 A. 2
B. 1
C. 2
D.2
解析: 选 A
由 d= r,得
|- 1|
2
= r,∴r= 12+ 12
)
A.- 2或 12
B. 2或- 12
C.- 2或- 12
D. 2或 12
解析: 选 D
法一 :由
3x+ 4y= b
得
y=-
3b 4x+ 4,
代入 x2+y2- 2x- 2y+ 1= 0,
并化简得 25x2- 2(4+ 3b)x+ b2- 8b+ 16= 0,
2017-2018学年人教A版高中数学二(浙江专版)学案:4.2直线圆的位置关系含答案
4.2 错误!4.2。
1 直线与圆的位置关系1.直线与圆的位置关系有哪几种?2.过圆外一点和圆上一点的切线的方程应分别怎样求?3.直线被圆所截得的弦长公式是什么?弦长公式是怎样推导出来的?错误!1.直线与圆有三种位置关系位置关系交点个数相交有两个公共点相切只有一个公共点相离没有公共预习课本P126~128,思考并完成以下问题2.直线Ax+By+C=)2=r2的位置关系及判断[点睛] 判断直线与圆的位置关系,一般常用几何法,因为代数法计算繁琐,书写量大,易出错,几何法则较简洁,但是在判断直线与其他二次曲线的位置关系时,常用代数法.错误!1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)如果直线与圆组成的方程组有解,则直线与圆相交或相切.( )(2)直线x+2y-1=0与圆2x2+2y2-4x-2y+1=0的位置关系是相交.()答案:(1)√(2)√2.设直线l过点P(-2,0),且与圆x2+y2=1相切,则l的斜率是()A.±1B.±错误!C.±错误!D.±错误!解析:选C 设l:y=k(x+2),即kx-y+2k=0。
又l与圆相切,∴错误!=1.∴k=±错误!.3.直线y=2x+3被圆x2+y2-6x-8y=0所截得的弦长等于________.解析:圆的方程可化为(x-3)2+(y-4)2=25。
故圆心为(3,4),半径r=5.又直线方程为2x-y+3=0,所以圆心到直线的距离为d =错误!=错误!,所以弦长为2错误!=2×错误!=2错误!=4错误!。
答案:4错误!直线与圆位置关系的判断[典例] (1)已知直线l:x-2y+5=0与圆C:(x-7)2+(y-1)2=36,判断直线l与圆C的位置关系.[解] [法一代数法]由方程组错误!消去y后整理,得5x2-50x+61=0。
∵Δ=(-50)2-4×5×61=1 280>0,∴该方程组有两组不同的实数解,即直线l与圆C相交.[法二几何法]圆心(7,1)到直线l的距离为d=错误!=2错误!.∵d<r=6,∴直线l 与圆C相交.判断直线与圆的位置关系常见的方法:(1)几何法:利用d与r的关系.(2)代数法:联立方程之后利用Δ判断.上述方法中最常用的是几何法.[活学活用]1.直线x-ky+1=0与圆x2+y2=1的位置关系是( )A.相交B.相离C.相交或相切D.相切解析:选C 直线x-ky+1=0恒过定点(-1,0),而(-1,0)在圆上,故直线与圆相切或相交.2.设m>0,则直线l:错误!(x+y)+1+m=0与圆O:x2+y2=m的位置关系为()A.相切B.相交C.相切或相离D.相交或相切解析:选C 圆心到直线l的距离为d=错误!,圆的半径为r=错误!,∵d-r=错误!-错误!=错误!(m-2错误!+1)=错误!(错误!-1)2≥0,∴d≥r,故直线l和圆O相切或相离.切线问题[典例](1)C x y x y关于直线2ax+by+6=0对称,则由点(a,b)向圆所作的切线长的最小值是( )A.2 B.3C.4 D.6(2)过点A(-1,4)作圆(x-2)2+(y-3)2=1的切线l,求切线l的方程为________.[解析](1)因为过圆外一点的圆的切线长l、半径长r和这点到圆心的距离d满足勾股定理,即l2=d2-r2,所以切线长最短时该点到圆心的距离最小,转化成求该点与圆心的距离的最小值问题.由题意易知圆心C(-1,2),半径长r=错误!,点(a,b)在直线y=x-3上,所以点(a,b)与圆心的距离的最小值即圆心到直线y=x-3的距离d,易求d=错误!=3错误!,所以切线长的最小值为错误!=错误!=4。
2017_2018学年高中数学第二讲直线与园的位置关系阶段质量检测B卷(含解析)新人教A版选修4_1
第二讲直线与园的位置关系一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.如图,已知:⊙O的内接四边形ABCD中,AB是⊙O的直径,∠BCD=120°.过D点的切线PD与BA的延长线交于P点,则∠ADP的度数是( )A.15° B.30° C.45° D.60°解析:选B 要求弦切角∠ADP,即连接BD,则∠ADP=∠ABD,又AB是直径,所以∠ADB=90°,而四边形ABCD是⊙O的内接四边形,所以∠C+∠DAB=180°,即∠DAB=60°,所以∠ABD=30°,故∠ADP=30°.2.(北京高考)如图,AD,AE,BC分别与圆O切于点D,E,F,延长AF与圆O交于另一点G.给出下列三个结论:①AD+AE=AB+BC+CA;②AF·AG=AD·AE;③△AFB∽△ADG.其中正确结论的序号是( )A.①② B.②③ C.①③ D.①②③解析:选A 逐个判断:由切线定理得CE=CF,BD=BF,所以AD+AE=AB+BD+AC+CE=AB+AC+BC,即①正确;由切割线定理得AF·AG=AD2=AD·AE,即②正确;因为△ADF∽△AGD,所以③错误.3.点P为⊙O的弦AB上一点,且AP=9,PB=4,连接PO,作PC⊥OP交圆于点C,则PC等于( )A.4 B.6 C.8 D.9解析:选B 延长CP交⊙O于点D,则OP垂直平分弦CD,且CP·PD=AP·PB=36,∴PC2=36,PC=6,故选B.4.如图,在⊙O中,弦AB与半径OC相交于点M,且OM=MC,AM=1.5,BM=4,则OC=( )A.2 6 B. 6C.2 3 D.2 2解析:选D 延长CO 交⊙O 于D ,则DM =3CM ,CM ·MD =MA ·MB ,所以1.5×4=3CM 2,CM =2,OC =2 2.5.如图,已知⊙O 是△ABC 的外接圆,⊙I 是△ABC 的内切圆,∠A =80°,则∠BIC 等于( )A .80° B.100° C.120° D .130°解析:选D ∵∠A =80°, ∴∠ABC +∠ACB =100°.∵∠IBC =12∠ABC ,∠ICB =12∠ACB ,∴∠IBC +∠ICB =12(∠ABC +∠ACB )=50°,∴∠BIC =180°-50°=130°.6.如图,在⊙O 中,弦AB 与CD 相交于P 点,∠B =30°,∠APD =80°,则∠A =( )A .40° B.50° C.70° D .110° 解析:选B 易知∠A =∠D ,又∵∠APD =∠B +∠D ,∠B =30°,∠APD =80°, ∴∠D =∠APD -∠B =80°-30°=50°. ∴∠A =50°.7.如图,AB 是⊙O 的直径,C 为半圆上一点,CD ⊥AB 于D ,若BC =3,AC =4,则AD ∶CD ∶BD 等于( )A .4∶6∶3B .6∶4∶3C .4∶4∶3D .16∶12∶9解析:选D 由AB 是⊙O 的直径,可得△ABC 是直角三角形.由勾股定理知AB =5.又CD ⊥AB ,根据射影定理就有AC 2=AD ·AB ,于是AD =165.同理,BD =95,CD =125,据此即得三条线段的比值.8.在等腰△ABC 中,AB =AC ,∠BAC =120°,BC =6 cm ,则其外接圆的直径为( ) A. 3 cm B .2 3 cm C .4 3 cm D .6 3 cm解析:选C 作BC 边上的中线AD ,则AD ⊥BC ,延长AD 交△ABC 外接圆于E ,连接CE .∵AE ⊥BC ,AE 平分BC , ∴AE 为△ABC 外接圆的直径, ∴∠ACE =90°. 在Rt△ACD 中,∠CAD =12∠BAC =60°,CD =12BC =3 cm ,∴AC =CDsin∠CAD=332=23(cm).在Rt△ACE 中,AE =ACcos∠CAD =2312=43(cm).即△ABC 外接圆的直径为4 3 cm.9.如图,四边形ABCD 为圆内接四边形,AC 为BD 的垂直平分线,∠ACB =60°,AB =a ,则CD 等于( )A.33a B.62a C.12a D.13a解析:选A ∵AC 为BD 的垂直平分线, ∴AB =AD =a ,AC ⊥BD ,∵∠ACB =60°,∴∠ADB =60°, ∴AB =AD =BD , ∴∠ACD =∠ABD =60°, ∴∠CDB =30°, ∴∠ADC =90°, ∴CD =tan 30°·AD =33a . 10.如图,在△ABC 中,∠C =90°,AC =8 cm ,AB =10 cm ,点P 由C 出发以每秒2 cm 的速度沿线段CA 向点A 运动(不运动至A 点),⊙O 的圆心在BP 上,且⊙O 分别与AB 、AC 相切,当点P运动2 s 时,⊙O 的半径是( )A.127 cm B.125 cm C.53cm D .2 cm解析:选A ∵PC =2×2=4 cm ,∴P 是AC 的中点,∴BC =6 cm ,BP =213 cm.连接OD ,∵D 为切点, ∴OD ⊥AC ,则OD ∥BC ,即DP OD =PC BC =46=23.设半径OD =3k ,DP =2k , ∴OP =k2+k2=13k ,∴OB =213-13k . ∵AE 、AD 为⊙O 的切线, ∴AE =AD =AP +PD =4+2k ,BE =10-(4+2k )=6-2k .在Rt △BOE 中,∵OB 2=BE 2+OE 2,∴(213-13k )2=(6-2k )2+(3k )2,解得k =47.故半径OD =3k =127.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填写在题中的横线上) 11.如图,过点P 作⊙O 的割线PBA 与切线PE ,E 为切点,连接AE ,BE ,∠APE 的平分线分别与AE 、BE 相交于点C ,D ,若∠AEB =30°,则∠PCE =________.解析:由题易得∠PEB =∠PAE ,又由三角形外角性质得∠PCE =∠CPA +∠PAE ,又△PEC 的内角和为2(∠CPA +∠PAE )+30°=180°,所以∠CPA +∠PAE =75°,即∠PCE =75°.答案:75°12.如图,已知P 是⊙O 外一点,PD 为⊙O 的切线,D 为切点,割线PEF 经过圆心O ,若PF =12,PD =43,则圆O 的半径长为________、∠EFD 的度数为________.解析:由切割线定理得,PD 2=PE ·PF ,∴PE =PD 2PF =16×312=4,EF =8,OD =4.∵OD ⊥PD ,OD =12PO ,∴∠P =30°,∠POD =60°, ∴∠EFD =30°.答案:4 30°13.如图,⊙O 中的弦AB 与直径CD 相交于P ,M 为DC 延长线上一点,MN 为⊙O 的切线,N 为切点,若AP =8,PB =6,PD =4,MC =6,则MN 的长为________.解析:由相交弦定理得:CP ·PD =AP ·PB ,CP =AP ·PB PD=12,又由切割线定理得:MN 2=MC ·MD =6×22,所以,MN =233.答案:23314.(重庆高考)如图,在△ABC 中,∠C =90°,∠A =60°,AB =20,过C 作△ABC 的外接圆的切线CD ,BD ⊥CD ,BD 与外接圆交于点E ,则DE 的长为________.解析:由题意得BC =AB ·sin 60°=103,由弦切角定理知∠BCD =∠A =60°,所以CD =53,BD =15,由切割线定理知,CD 2=DE ·BD ,则DE =5.答案:5三、解答题(本大题共4小题,共50分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分12分)如图,在⊙O 中,半径OA ⊥OB ,弦AC 交OB 于D ,E 是OB 延长线上一点,若∠OAD =30°,ED =CE .求证:EC 是⊙O 的切线. 证明:连接OC . 因为OA ⊥OB ,所以∠CAO +∠ADO =90°. 因为DE =CE ,所以∠ECD =∠EDC =∠ADO . 因为OA =OC , 所以∠ACO =∠CAO . 所以∠ECD +∠ACO =90°. 所以EC 是⊙O 的切线.16.(本小题满分12分)如图,已知AB 为⊙O 的弦,CD 切⊙O 于P ,AC ⊥CD 于C ,BD ⊥DC 于D ,PQ ⊥AB 于Q .求证:PQ 2=AC ·BD .证明:如图,连接PA 、PB , 因为CD 切⊙O 于P ,所以∠1=∠2.因为AC ⊥CD 于C ,PQ ⊥AB 于Q , 所以∠ACP =∠PQB =90°. 所以△ACP ∽△PQB . 所以AC ∶PQ =AP ∶PB . 同理,△BDP ∽△PQA , 所以PQ ∶BD =AP ∶PB .所以AC ∶PQ =PQ ∶BD ,即PQ 2=AC ·BD .17.(本小题满分12分)如图,已知AB 切⊙O 于B ,BC 是⊙O 的直径,AC 交⊙O 于D ,DE 是⊙O 的切线,CE ⊥DE 于E ,DE =3,CE =4,求AB 的长.解:因为CE ⊥DE 于E ,DE =3,CE =4, 所以CD =5.连接BD .因为DE 切⊙O 于点D ,所以∠EDC =∠DBC . 又因为BC 为⊙O 的直径, 所以∠BDC =90°. 所以Rt △BDC ∽Rt △DEC . 所以CD BC =CE CD =DE BD, 即5BC =45=3BD. 所以BC =254,BD =154.又因为AB 与⊙O 相切于点B , 所以AB ⊥BC . 所以AB BC =BD CD. 所以AB =7516.18.(本小题满分14分)如图,已知Rt △ABC ,∠ABC =90°,D 是AC的中点,⊙O 经过A ,B ,D 三点,CB 的延长线交⊙O 于点E ,过点E 作⊙O 的切线,交AC 的延长线于点F .在满足上述条件的情况下,当∠CAB 的大小变化时,图形也随着改变,但在这个变化过程中,有些线段总保持着相等的关系.(1)连接图中已标明字母的某两点,得到一条新线段与线段CE 相等,并说明理由; (2)若CF =CD ,求sin F 的值. 解:(1)连接AE ,则AE =CE .∵∠ABE =90°, ∴AE 为直径,连接DE . 则∠ADE =90°, 又AD =CD , ∴AE =CE . (2)设CF =x ,则FA =3x ,FD =2x ,AD =x . ∵FE 为⊙O 的切线, ∴AE ⊥EF .∴DE 2=AD ·DF =2x 2, 即DE =2x .FE 2=FD ·FA =2x ·3x =6x 2,即FE =6x . ∴sin F =ED FE=2x 6x=33.。
2017_2018学年高中数学第二讲直线与园的位置关系阶段质量检测A卷(含解析)新人教A版选修4_1
第二讲 直线与园的位置关系一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.在⊙O 中,∠AOB =84°,则弦AB 所对的圆周角是( ) A .42° B .138° C.84° D .42°或138°答案:D2.如图,在⊙O 中,弦AB 长等于半径,E 为BA 延长线上一点,∠DAE=80°,则∠ACD 的度数是( )A .60°B .50°C .45°D .30°解析:选B ∠BCD =∠DAE =80°, 在Rt △ABC 中,∠B =90°,AB =12AC ,∴∠ACB =30°.∴∠ACD =80°-30°=50°.3.如图所示,在半径为2 cm 的⊙O 内有长为2 3 cm 的弦AB .则此弦所对的圆心角∠AOB 为( )A .60°B .90° C.120° D .150°解析:选C 作OC ⊥AB 于C ,则BC =3,在Rt △BOC 中,cos ∠B =BO OB =32. ∴∠B =30°.∴∠BOC =60°.∴∠AOB =120°.4.如图,已知⊙O 的半径为5,两弦AB ,CD 相交于AB 的中点E ,且AB=8,CE ∶ED =4∶9,则圆心到弦CD 的距离为( )A.2143 B.289C.273D.809解析:选A 过O 作OH ⊥CD ,连接OD ,则DH =12CD .由相交弦定理知,AE ·BE =CE ·DE .设CE =4x ,则DE =9x , ∴4×4=4x ×9x ,解得x =23,∴OH =OD 2-DH 2=52-⎝ ⎛⎭⎪⎫1332=2143. 5.如图,PA 切⊙O 于A ,PBC 是⊙O 的割线,且PB =BC ,PA =32,那么BC 的长为( )A. 3B .2 3C .3D .3 3解析:选C 根据切割线定理PA 2=PB ·PC , 所以(32)2=2PB 2.所以PB =3=BC .6.两个同心圆的半径分别为3 cm 和6 cm ,作大圆的弦MN =6 3 cm ,则MN 与小圆的位置关系是( )A .相切B .相交C .相离D .不确定解析:选A 作OA ⊥MN 于A .连接OM .则MA =12MN =3 3.在Rt △OMA 中,OA =OM 2-AM 2=3 cm.∴MN 与小圆相切.7.如图,⊙O 的两条弦AD 和CB 相交于点E ,AC 和BD 的延长线相交于点P ,连接AB ,CD ,下面结论:①PA ·PC =PD ·PB ; ②PC ·CA =PB ·BD ; ③CE ·CD =BE ·BA ; ④PA ·CD =PD ·AB . 其中正确的有( )A .1个B .2个C .3个D .4个解析:选A 根据割线定理及相交弦定理知只有①式正确.8.已知⊙O 的两条弦AB ,CD 交于点P ,若PA =8 cm ,PB =18 cm ,则CD 的长的最小值为( )A .25 cmB .24 cmC .20 cmD .12 cm解析:选B 设CD =a cm ,CD 被P 分成的两段中一段长x cm ,另一段长为(a -x ) cm. 则x (a -x )=8×18,即8×18≤⎝⎛⎭⎪⎫x +a -x 22=14a 2.所以a 2≥576=242,即a ≥24.当且仅当x =a -x ,即x =12a =12时等号成立.所以CD 的长的最小值为24 cm.9.如图,点C 在以AB 为直径的半圆上,连接AC ,BC ,AB =10,tan∠BAC =34,则阴影部分的面积为( )A.252π B.252π-24C .24D.252π+24解析:选B ∵AB 为直径,∴∠ACB =90°, ∵tan ∠BAC =34,∴sin ∠BAC =35.又∵sin ∠BAC =BC AB,AB =10, ∴BC =35×10=6.AC =43×BC =43×6=8,∴S 阴影=S 半圆-S △ABC =12×π×52-12×8×6=252π-24.10.(天津高考)如图,△ABC 是圆的内接三角形,∠BAC 的平分线交圆于点D ,交BC 于点E ,过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F .在上述条件下,给出下列四个结论:①BD 平分∠CBF ;②FB 2=FD ·FA ;③AE ·CE =BE ·DE ;④AF ·BD =AB ·BF .则所有正确结论的序号是( )A .①②B .③④C .①②③D .①②④解析:选D 由弦切角定理可得∠DBF =∠DAB ,又∠CBD =∠CAD =∠DAB ,所以∠DBF =∠CBD ,即BD 是∠CBF 的平分线,所以①正确;由切割线定理可得②正确;由相交弦定理可得AE CE =BE DE ,所以③错误;因为△ABF ∽△BDF ,所以AB AF =BD BF,即AF ·BD =AB ·BF ,所以④正确.故正确结论的序号是①②④.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填写在题中的横线上)11.如图所示,已知AB 是⊙O 的直径,CD 与AB 相交于点E ,∠ACD =60°,∠ADC =45°,则∠AEC =________.解析:如图,连接BC .根据圆周角定理的推论1,可知∠ACB =90°.∵∠ACD =60°,∴∠DCB =30°,»BD的度数=60°. ∵∠ADC =45°,∴¼AC 的度数=90°.∴∠AEC =∠DCB +∠CBE =12(»BD +¼AC )的度数=75°.答案:75°12.如图,在圆O 中,直径AB 与弦CD 垂直,垂足为E ,EF ⊥DB ,垂足为F ,若AB =6,AE =1,则DF ·DB =________.解析:由相交弦定理可知ED 2=AE ·EB =1×5=5,又易知△EBD 与△FED 相似,得DF ·DB =ED 2=5.答案:513.如图,PA 与⊙O 相切于点A ,过点P 的割线与弦AC 交于点B ,与⊙O 交于D ,E 两点,且PA =PB =BC ,若PD =4,DE =21,则AB =________.解析:由切割线定理知PA 2=PD ·PE =4×25=100,∴PA =10,∴BD =PB -PD =PA -PD =10-4=6,BE =DE -BD =21-6=15,又AB ·BC =BE ·BD ,BC =PA =10, ∴AB =BE ·BD BC =15×610=9. 答案:914.如图,在△ABC 中,AB =AC ,∠C =72°,圆E 过A ,B 两点且与BC 相切于点B ,与AC 交于点D ,连接BD ,若BC =5-1,则AC =________.解析:∵AB =AC ,∠C =72°,∴∠ABC =72°, 则∠BAC =36°.∵BC 切圆E 于点B ,∴∠CBD =∠BAC =36°, ∴∠ABD =∠BAC =36°,∴∠BDC =∠ABD +∠BAC =36°+36°=72°, ∴∠C =∠BDC ,∴AD =BD =BC =5-1, 设CD =x ,由切割线定理得BC 2=CD ·AC , 即(5-1)2=x ·(x +5-1), 即x 2+(5-1)x -(5-1)2=0, 由于x >0,解得x =3-5,∴AC =CD +AD =(3-5)+(5-1)=2. 答案:2三、解答题(本大题共4小题,共50分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分12分)如图,E 是圆O 内两弦AB 和CD 的交点,过AD 延长线上一点F 作圆O 的切线FG ,G 为切点,已知EF =FG .求证:(1)△DEF ∽△EAF ; (2)EF ∥CB .证明:(1)由切割线定理得FG 2=FA ·FD . 又EF =FG ,所以EF 2=FA ·FD , 即EF FA =FD EF.因为∠EFA =∠DFE , 所以△DEF ∽△EAF . (2)由(1)得∠FED =∠FAE . 因为∠FAE =∠DCB ,所以∠FED =∠BCD ,所以EF ∥CB .16.(本小题满分12分)(江苏高考)如图,AB 是圆O 的直径,C ,D 是圆O 上位于AB 异侧的两点.证明:∠OCB =∠D .证明:因为B,C是圆O上的两点,所以OB=OC.故∠OCB=∠B.又因为C,D是圆O上位于AB异侧的两点,故∠B,∠D为同弧所对的两个圆周角,所以∠B=∠D.因此∠OCB=∠D.17.(本小题满分12分)如图,AF是⊙O的直径,以OA为直径的⊙C与⊙O的弦AB相交于点D,DE⊥OB,垂足为E.求证:(1)D是AB的中点;(2)DE是⊙C的切线;(3)BE·BF=2AD·ED.证明:(1)连接OD.∵OA为⊙C的直径,∴OD⊥AB.又∵OD过⊙O的圆心,∴D为AB的中点.(2)连接CD.∵C为OA的中点,D为AB的中点,∴CD∥OB.又∵DE⊥OB,∴CD⊥DE,即DE为⊙C的切线.(3)∵AF为⊙O的直径,∴∠ABF=90°.∵DE⊥OB,∴∠BED=90°.∴∠ABF=∠BED.又∵OA=OB,∴∠BAF=∠EBD.∴△ABF∽△BED.∴ABBE=BFED,即BE·BF=AB·ED.又AB=2AD,∴BE·BF=2AD·ED.18.(本小题满分14分)如图,已知AP是⊙O的切线,P为切点,AC是⊙O的割线,与⊙O交于B,C两点,圆心O在∠PAC的内部,点M是BC的中点.(1)证明:A,P,O,M四点共圆;(2)求∠OAM+∠APM的大小.解:(1)证明:如图,连接OP,OM.∵AP与⊙O相切于点P,∴OP⊥AP.∵M是⊙O的弦BC的中点,∴OM⊥BC.于是∠OPA+∠OMA=180°.由圆心O在∠PAC的内部,可知四边形APOM的对角互补,∴A,P,O,M四点共圆.(2)由(1)得A,P,O,M四点共圆,∴∠OAM=∠OPM.由(1)得OP⊥AP.由圆心O在∠PAC的内部,可知∠OPM+∠APM=90°.∴∠OAM+∠APM=90°.。
2017-2018学年高中数学必修二 练习:第2章 点、直线、平面之间的位置关系 学业质量标准检测2 含答案 精品
第二章学业质量标准检测本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.直线l1∥l2,在l1上取3个点,在l2上取2个点,由这5个点能确定平面的个数为导学号 09024609( D )A.5 B.4 C.9 D.1[解析] 由经过两条平行直线有且只有一个平面可知分别在两平行直线上的5个点只能确定一个平面.2.教室内有一直尺,无论怎样放置,在地面总有这样的直线,使得它与直尺所在直线导学号 09024610( B )A.平行B.垂直C.相交D.异面[解析] 当直尺垂直于地面时,A不对;当直尺平行于地面时,C不对;当直尺位于地面上时,D不对.3.已知m、n是两条不同直线,α、β是两个不同平面,则下列命题正确的是导学号 09024611( D )A.若α、β垂直于同一平面,则α与β平行B.若m、n平行于同一平面,则m与n平行C.若α、β不平行...,则在α内不存在...与β平行的直线D.若m、n不平行...垂直于同一平面...,则m与n不可能[解析] A项,α、β可能相交,故错误;B项,直线m、n的位置关系不确定,可能相交、平行或异面,故错误;C项,若m⊂α,α∩β=n,m∥n,则m∥β,故错误;D项,假设m、n垂直于同一平面,则必有m∥n,所以原命题正确,故D项正确.4.(2016~2017·枣庄高一检测)△ABC所在的平面为α,直线l⊥AB,l⊥AC,直线m⊥BC,m⊥AC,则直线l,m的位置关系是导学号 09024612( B )A.相交B.平行C.异面D.不确定[解析]⎭⎪⎬⎪⎫ ⎭⎪⎬⎪⎫l ⊥ABl ⊥AC AB ∩AC =A ⇒l ⊥平面ABC⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥BC m ⊥AC AC ∩BC =C ⇒m ⊥平面ABC l ∥m 5.已知α、β是两个平面,直线l ⊄α,l ⊄β,若以①l ⊥α;②l ∥β;③α⊥β中两个为条件,另一个为结论构成三个命题,则其中正确的命题有导学号 09024613( A )A .①③⇒②;①②⇒③B .①③⇒②;②③⇒①C .①②⇒③;②③⇒①D .①③⇒②;①②⇒③;②③⇒①[解析] 因为α⊥β,所以在β内找到一条直线m ,使m ⊥α, 又因为l ⊥α,所以l ∥m .又因为l ⊄β,所以l ∥β,即①③⇒②; 因为l ∥β,所以过l 可作一平面γ∩β=n ,所以l ∥n , 又因为l ⊥α,所以n ⊥α,又因为n ⊂β,所以α⊥β,即①②⇒③.6.设直线l ⊂平面α,过平面α外一点A 与l ,α都成30°角的直线有导学号 09024614( B )A .1条B .2条C .3条D .4条[解析] 如图,和α成30°角的直线一定是以A 为顶点的圆锥的母线所在直线,当∠ABC =∠ACB =30°且BC ∥l 时,直线AC ,AB 都满足条件,故选B .7.(2016~2017·浙江文)已知互相垂直的平面α、β交于直线l .若直线m 、n 满足m ∥α,n ⊥β,则导学号 09024615( C )A .m ∥lB .m ∥nC .n ⊥lD .m ⊥n[解析] 选项A ,只有当m ∥β或m ⊂β时,m ∥l ;选项B ,只有当m ⊥β时,m ∥n ;选项C ,由于l ⊂β,∴n ⊥l ;选项D ,只有当m ∥β或m ⊂β时,m ⊥n ,故选C .8.(2016·南安一中高一检测)如图,在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,M 、N 分别为棱BC 和棱CC 1的中点,则异面直线AC 与MN 所成的角为导学号 09024616( C )A .30°B .45°C .60°D .90°[解析] 如图,连接A 1C 1、BC 1、A 1B . ∵M 、N 分别为棱BC 和棱CC 1的中点, ∴MN ∥BC 1. 又A 1C 1∥AC ,∴∠A 1C 1B 为异面直线AC 与MN 所成的角. ∵△A 1BC 1为正三角形, ∴∠A 1C 1B =60°.故选C .9.等腰Rt △ABC 中,AB =BC =1,M 为AC 的中点,沿BM 把它折成二面角,折后A 与C 的距离为1,则二面角C -BM -A 的大小为导学号 09024617( C )A .30°B .60°C .90°D .120°[解析] 如图,由A ′B =BC =1,∠A ′BC =90°知A ′C = 2.∵M 为A ′C 的中点,∴MC =AM =22,且CM ⊥BM ,AM ⊥BM , ∴∠CMA 为二面角C -BM -A 的平面角. ∵AC =1,MC =MA =22,∴MC 2+MA 2=AC 2, ∴∠CMA =90°,故选C .10.点P 在正方体侧面BCC 1B 1及其边界上运动,并且保持AP ⊥BD 1,则点P 的轨迹为导学号 09024618( A )A .线段B 1CB .BB 1的中点与CC 1的中点连成的线段 C .线段BC 1D .BC 的中点与B 1C 1的中点连成的线段 [解析] ∵AP ⊥BD 1恒成立,∴要保证AP 所在的平面始终垂直于BD 1. ∵AC ⊥BD 1,AB 1⊥BD 1,AC ∩AB 1=A , ∴BD 1⊥面AB 1C ,∴P 点在线段B 1C 上运动.11.如图,α⊥β,α∩β=l ,A ∈α,B ∈β,A 、B 到l 的距离分别是a 和b ,AB 与α、β所成的角分别是θ和φ,AB 在α、β内的射影长分别是m 和n ,若a >b ,则导学号 09024619( D )A .θ>φ,m >nB .θ>φ,m <nC .θ<φ,m <nD .θ<φ,m >n[解析] 由勾股定理得a 2+n 2=b 2+m 2=AB 2. 又a >b ,∴m >n .由已知得sin θ=b AB ,sin φ=aAB,而a >b , ∴sin θ<sin φ,又θ,φ∈(0,π2),∴θ<φ.12.如图,在三棱柱ABC -A ′B ′C ′中,点E 、F 、H 、K 分别为AC ′、CB ′、A ′B 、B ′C ′的中点,G为△ABC的重心,从K、H、G、B′中取一点作为P,使得该三棱柱恰有2条棱与平面PEF平行,则点P为导学号 09024620( C )A.K B.H C.G D.B′[解析] 应用验证法:选G点为P时,EF∥A′B′且EF∥AB,此时恰有A′B′和AB平行于平面PEF,故选C.第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分,把正确答案填在题中横线上)13.空间四边形ABCD中,平面ABD⊥平面BCD,且DA⊥平面ABC,则△ABC的形状是__直角三角形__.导学号 09024621[解析] 如图,过点A作AE⊥BD,E为垂足.∵平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,∴AE⊥平面BCD,∴AE⊥BC.又∵DA⊥平面ABC,∴DA⊥BC.又∵AE∩DA=A,∴BC⊥平面ABD,∴BC⊥AB.∴△ABC为直角三角形.14.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N分别是棱AA1和AB上的点,若∠B1MN是直角,则∠C1MN等于__90°__.导学号 09024622[解析] 因为C1B1⊥平面ABB1A1,MN⊂平面ABB1A1,所以C1B1⊥MN.又因为MN⊥MB1,MB1,C1B1⊂平面C1MB1,MB1∩C1B1=B1,所以MN⊥平面C1MB1,所以MN⊥C1M,所以∠C1MN=90°.15.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一动点,当点M满足__DM⊥PC(或BM⊥PC) __时,平面MBD⊥平面PCD(只要填写一个你认为是正确的条件即可).导学号 09024623[解析] 连接AC,则BD⊥AC,由PA⊥底面ABCD,可知BD⊥PA,∴BD⊥平面PAC,∴BD ⊥PC.故当DM⊥PC(或BM⊥PC)时,平面MBD⊥平面PCD.16.(2017·全国卷Ⅰ文,16)已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,SC是球O的直径.若平面SCA⊥平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱锥S-ABC的体积为9,则球O的表面积为__36π__.导学号 09024624[解析] 如图,连接OA,OB.由SA=AC,SB=BC,SC为球O的直径,知OA⊥SC,OB⊥SC.由平面SCA⊥平面SCB,平面SCA∩平面SCB=SC,OA⊥SC,知OA⊥平面SCB.设球O的半径为r,则OA=OB=r,SC=2r,∴三棱锥S-ABC的体积V=13×(12SC·OB)·OA=r33,即r33=9,∴r=3,∴S球表=4πr2=36π.三、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)(2017·山东文,18)由四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥C1-B1CD1后得到的几何体如图所示.四边形ABCD为正方形,O为AC与BD的交点,E为AD的中点,A1E ⊥平面ABCD.导学号 09024625(1)证明:A1O∥平面B1CD1;(2)设M是OD的中点,证明:平面A1EM⊥平面B1CD1.[解析] (1)证明:取B1D1的中点O1,连接CO1,A1O1,由于ABCD-A1B1C1D1是四棱柱,所以A1O1∥OC,A1O1=OC,因此四边形A1OCO1为平行四边形,所以A1O∥O1C,又O1C⊂平面B1CD1,A1O⊄平面B1CD1,所以A1O∥平面B1CD1.(2)证明:因为AC⊥BD,E,M分别为AD和OD的中点,所以EM⊥BD.又A1E⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以A1E⊥BD,因为B1D1∥BD,所以EM⊥B1D1,A1E⊥B1D1.又A1E,EM⊂平面A1EM,A1E∩EM=E,所以B1D1⊥平面A1EM.又B1D1⊂平面B1CD1,所以平面A1EM⊥平面B1CD1.18.(本小题满分12分)(2016~2017·宁波高二检测)如图,已知四棱锥P-ABCD,底面四边形ABCD为菱形,AB=2,BD=23,M,N分别是线段PA,PC的中点.导学号 09024626(1)求证:MN∥平面ABCD;(2)求异面直线MN与BC所成角的大小.[解析] (1)连接AC,交BD于点O.因为M ,N 分别是PA ,PC 的中点,所以MN ∥AC . 因为MN ⊄平面ABCD ,AC ⊂平面ABCD , 所以MN ∥平面ABCD .(2)由(1)知MN ∥AC ,∴∠ACB 为异面直线MN 与BC 所成的角. ∵四边形ABCD 为菱形,边长AB =2,对角线长BD =23, ∴△BOC 为直角三角形,且sin ∠ACB =BO BC =32, ∴∠ACB =60°.即异面直线MN 与BC 所成的角为60°.19.(本小题满分12分)(2017·北京文,18)如图,在三棱锥P -ABC 中,PA ⊥AB ,PA ⊥BC ,AB ⊥BC ,PA =AB =BC =2,D 为线段AC 的中点,E 为线段PC 上一点.导学号 09024627(1)求证:PA ⊥BD ;(2)求证:平面BDE ⊥平面PAC ;(3)当PA ∥平面BDE 时,求三棱锥E -BCD 的体积.[解析] (1)证明:因为PA ⊥AB ,PA ⊥BC ,所以PA ⊥平面ABC . 又因为BD ⊂平面ABC , 所以PA ⊥BD .(2)证明:因为AB =BC ,D 为AC 的中点,所以BD ⊥AC .由(1)知,PA ⊥BD , 所以BD ⊥平面PAC , 所以平面BDE ⊥平面PAC .(3)解:因为PA ∥平面BDE ,平面PAC ∩平面BDE =DE , 所以PA ∥DE .因为D 为AC 的中点,所以DE =12PA =1,BD =DC = 2.由(1)知,PA ⊥平面ABC , 所以DE ⊥平面ABC ,所以三棱锥E -BCD 的体积V =16BD ·DC ·DE =13.20.(本小题满分12分)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.导学号 09024628(1)请按字母F 、G 、H 标记在正方体相应地顶点处(不需要说明理由); (2)判断平面BEG 与平面ACH 的位置关系.并说明你的结论; (3)证明:直线DF ⊥平面BEG .[解析] (1)点F 、G 、H 的位置如图所示.(2)平面BEC ∥平面ACH .证明如下:因为ABCD -EFGH 为正方体,所以BC ∥FG ,BC =FG , 又FG ∥EH ,FG =EH ,所以BC ∥EH ,BC =EH , 于是四边形BCEH 为平行四边形, 所以BE ∥CH ,又CH ⊂平面ACH ,BE ⊄平面ACH , 所以BE ∥平面ACH , 同理,BG ∥平面ACH , 又BE ∩BG =B ,所以平面BEG ∥平面ACH . (3)连接FH 交EG 于点O ,连接BD .因为ABCD -EFGH 为正方体,所以DH ⊥平面EFGH ,因为EG ⊂平面EFGH ,所以DH ⊥EG , 又EG ⊥FH ,EG ∩FH =O , 所以EG ⊥平面BFHD ,又DF ⊂平面BFHD ,所以DF ⊥EG , 同理DF ⊥BG , 又EG ∩BG =G , 所以DF ⊥平面BEG .21.(本小题满分12分)(2017·天津文,17)如图,在四棱锥P -ABCD 中,AD ⊥平面PDC ,AD ∥BC ,PD ⊥PB ,AD =1,BC =3,CD =4,PD =2.导学号 09024629(1)求异面直线AP 与BC 所成角的余弦值; (2)求证:PD ⊥平面PBC ;(3)求直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值.[解析] (1)解:如图,由已知AD ∥BC ,故∠DAP 或其补角即为异面直线AP 与BC 所成的角.因为AD ⊥平面PDC ,直线PD ⊂平面PDC ,所以AD ⊥PD . 在Rt △PDA 中,由已知,得AP =AD 2+PD 2=5, 故cos ∠DAP =AD AP =55. 所以,异面直线AP 与BC 所成角的余弦值为55. (2)证明:由(1)知AD ⊥PD .又因为BC ∥AD ,所以PD ⊥BC . 又PD ⊥PB ,PB ∩BC =B , 所以PD ⊥平面PBC .(3)解:过点D 作DF ∥AB ,交BC 于点F ,连接PF ,则DF 与平面PBC 所成的角等于AB 与平面PBC 所成的角.因为PD ⊥平面PBC ,所以PF 为DF 在平面PBC 上的射影, 所以∠DFP 为直线DF 和平面PBC 所成的角.由于AD ∥BC ,DF ∥AB ,故BF =AD =1.由已知,得CF =BC -BF =2.又AD ⊥DC ,所以BC ⊥DC .在Rt △DCF 中,可得DF =CD 2+CF 2=25,在Rt △DPF 中,可得sin ∠DFP =PD DF =55. 所以,直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值为55. 22.(本小题满分12分)(2016~2017·济宁高一检测)四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是正方形,E ,F 分别为AC 和PB 上的点,它的直观图,正视图,侧视图.如图所示.导学号 09024630(1)求EF 与平面ABCD 所成角的大小;(2)求二面角B -PA -C 的大小.[解析] 根据三视图可知:PA 垂直于平面ABCD ,点E ,F 分别为AC 和PB 的中点,ABCD 是边长为4的正方形,且PA =4.(1)如图,取AB 中点G ,连接FG ,GE ,则FG ∥PA ,GE ∥BC ,所以FG ⊥平面ABCD ,∠FEG 为EF 与平面ABCD 所成的角,在Rt △FGE 中,FG =2,GE =2,所以∠FEG =45°.(2)因为PA ⊥平面ABCD ,所以PA ⊥BA ,PA ⊥CA ,所以∠BAC 为二面角B -PA -C 的平面角.又因为∠BAC =45°,所以二面角B -AP -C 的平面角的大小为45°.。
2018学年高二数学同步单元双基双测“AB”卷必修2专题11 直线、圆的位置关系B卷 含解析
(测试时间:120分钟 满分:150分)第Ⅰ卷(共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.圆x 2+y 2-4x +4y +6=0截直线x -y -5=0所得弦长等于( ) A . 6 B .522 C .1 D .5答案:A2.圆x 2+y 2+2x +4y -3=0上到直线l :x +y +1=0的距离为2的点有( ) A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 答案:C3.已知直线ax +by +c =0(abc ≠0)与圆x 2+y 2=1相切,则三条边长分别为|a |,|b |,|c |的三角形是( )A .锐角三角形B .直角三角形C .钝角三角形D .不存在 答案:B4.与圆x 2+y 2-4x +2=0相切,在x ,y 轴上的截距相等的直线共有( ) A .1条 B .2条 C .3条 D .4条 答案:C5.已知圆C :(x-a )2+(y-2)2=4(a>0)及直线l :x-y+3=0,当直线l 被圆C 截得的弦长为2错误!未找到引用源。
时,a 等于 ( )A .错误!未找到引用源。
B .2-错误!未找到引用源。
C .错误!未找到引用源。
-1D .错误!未找到引用源。
+1答案:C6.已知圆C 1:(x+1)2+(y-1)2=1,圆C 2与圆C 1关于直线x-y-1=0对称,则圆C 2的方程为( ) A .(x+2)2+(y-2)2=1 B .(x-2)2+(y+2)2=1C.(x+2)2+(y+2)2=1D.(x-2)2+(y-2)2=1解析:设点(x,y)与圆C1的圆心(-1,1)关于直线x-y-1=0对称,则错误!未找到引用源。
解得错误!未找到引用源。
从而可知圆C2的圆心坐标为(2,-2),又知其半径为1,故所求圆C2的方程为(x-2)2+(y+2)2=1.答案:B7.已知点P(a,b)(ab≠0)是圆x2+y2=r2内的一点,直线m是以P为中点的弦所在的直线,直线l的方程为ax+by=r2,则()A.m∥l,且l与圆相交B.m⊥l,且l与圆相切C.m∥l,且l与圆相离D.m⊥l,且l与圆相离答案:C8.若直线ax+by=1与圆x2+y2=1相交,则点P(a,b)的位置是()A.在圆上B.在圆外C.在圆内D.以上都有可能解析:由题意,得错误!未找到引用源。
2017-2018学年高中数学必修2:课下能力提升二十三 直
课下能力提升(二十三) 直线与圆的位置关系1.已知点M (a ,b )在圆O :x 2+y 2=1外,则直线ax +by =1与圆O 的位置关系是________.2.若P (2,-1)为圆C :(x -1)2+y 2=25的弦AB 的中点,则直线AB 的方程是________.3.已知圆C 与直线x -y =0及x -y =4都相切,圆心在直线x +y =0上,则圆C 的方程为________.4.若圆(x -3)2+(y +5)2=r 2上有且只有两个点到直线4x -3y =2的距离等于1,则半径r 的取值范围是________.5.过点(3,1)作圆(x -2)2+(y -2)2=4的弦,其中最短的弦长为________.6.求与x 轴相切,圆心在直线3x -y =0上,且被直线y =x 截得的弦长等于27的圆的方程.7.已知圆C :x 2+y 2-8y +12=0,直线l :ax +y +2a =0.(1)当a 为何值时,直线l 与圆C 相切;(2)当直线l 与圆C 相交于A 、B 两点,且AB =22时,求直线l 的方程.8.已知圆C :x 2+y 2+2x -4y +3=0.(1)若圆C 的切线在x 轴和y 轴上的截距相等,求此切线的方程;(2)在直线l :2x -4y +3=0上找一点P (m ,n ),过该点作圆C 的切线,切点记为M ,使得|PM |最小.答案1.解析:点M (a ,b )在圆x 2+y 2=1外⇒a 2+b 2>1.圆O (0,0)到直线ax +by =1距离d =1a 2+b 2<1=圆的半径,故直线与圆相交. 答案:相交2.解析:由题意知,PC ⊥AB ,∴k AB =-1k PC =1, ∴直线AB 的方程为y +1=x -2,即x -y -3=0.答案:x -y -3=03.解析:设圆心为点C (a ,-a ),由点到直线的距离公式得|2a |2=|2a -4|2,解得a =1,所以圆C 的圆心为(1,-1),半径为2,圆的方程为(x -1)2+(y +1)2=2.答案:(x -1)2+(y +1)2=24.解析:由已知圆心(3,-5)到直线4x -3y =2的距离d =5,又d -1<r <d +1,∴4<r <6.答案:(4,6)5.解析:最短的弦为过点(3,1)且与圆心(2,2)和点(3,1)连线的垂直的弦,弦长l =24-(3-2)2-(1-2)2=2 2.答案:2 26.解:因圆心在直线3x -y =0上,故可设圆心O ′(a,3a ).又因为圆与x 轴相切,所以r =|3a |.从而设圆方程为(x -a )2+(y -3a )2=(3a )2.由弦心距d =|a -3a |2=2|a |, 所以(2a )2+(7)2=(3a )2,解得a =±1.当a =-1时,3a =-3,r =3,圆方程为(x +1)2+(y +3)2=9;当a =1时,3a =3,r =3,圆方程为(x -1)2+(y -3)2=9.7.解:将圆C :x 2+y 2-8y +12=0化为标准方程为x 2+(y -4)2=4,则圆C 的圆心为(0,4),半径为2.(1)若直线l 与圆C 相切则有|4+2a |a 2+1=2, 解得a =-34. (2)过圆心C 作CD ⊥AB ,则根据题意和圆的性质,得 ⎩⎨⎧ CD =|4+2a |a 2+1,CD 2+DA 2=AC 2=4,DA =12AB =2,解得a =-7或-1.∴直线l 的方程为7x -y +14=0或x -y +2=0.8.解:(1)将圆C 的方程整理,得(x +1)2+(y -2)2=2.则圆心(-1,2),半径 2.①当直线在两坐标轴上的截距为零时,设直线方程为y =kx , 由直线与圆相切,得|-k -2|k 2+1=2,解得k =2±6, 从而切线方程为y =(2±6)x .②当直线在两坐标轴上的截距不为零时,设直线方程为x +y -a =0,由直线与圆相切,得|-1+2-a |2=2, 解得a =-1或3,从而切线方程为x +y +1=0或x +y -3=0.(2)因为圆心C (-1,2)到直线l 的距离d =|2×(-1)-4×2+3|22+(-4)2=725 >2=r , 所以直线l 与圆C 相离.当|PM |取最小值时,|CP |取得最小值,此时直线CP ⊥l ,所以直线CP 的方程为2x +y =0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x +y =0,2x -4y +3=0,得点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫-310,35.。
2017-2018学年高中数学人教B版必修2学业分层测评:第2
学业分层测评 (建议用时:45分钟)一、选择题1.直线3x +2y +6=0和2x +5y -7=0的交点坐标为( )【导学号:45722089】A.(-4,-3)B.(4,3)C.(-4,3)D.(3,4)【解析】 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x +2y +6=0,2x +5y -7=0,得⎩⎪⎨⎪⎧x =-4,y =3,故选C.【答案】 C2.若三条直线2x +3y +8=0,x -y -1=0和x +ky =0相交于一点,则k =( ) A.-2 B.-12C.2D.12【解析】 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x +3y +8=0,x -y -1=0解得⎩⎪⎨⎪⎧x =-1,y =-2.代入x +ky =0,得k =-12.【答案】 B3.直线x +a 2y +6=0和直线(a -2)x +3ay +2a =0没有公共点,则a 的值是( ) A.0或3 B.-1或3 C.0或-1或3D.0或-1【解析】 两直线无公共点,即两直线平行, ∴1×3a -a 2(a -2)=0,∴a =0或-1或3,经检验知a =3时两直线重合. 【答案】 D4.设集合A ={(x ,y )|y -3x -1=2,x ,y ∈R },B ={(x ,y )|4x +ay -16=0,x ,y ∈R },若A ∩B =∅,则a 的值为( )A.a =4B.a =-2C.a =4或a =-2D.a =-4或a =2【解析】 集合A 表示直线y -3=2(x -1),即y =2x +1上的点,但除去点(1,3),集合B 表示直线4x +ay -16=0上的点,当A ∩B =∅时,直线y =2x +1与4x +ay -16=0平行或直线4x +ay -16=0过点(1,3),∴-4a=2或4+3a -16=0,∴a =-2或a =4,故选C.【答案】 C5.点(-2,3)关于直线y =x +1的对称点的坐标为( ) A.(2,-1) B.(3,0) C.(3,-1)D.(2,0)【解析】 设对称点为(x ,y ),∴y -3x +2=-1,即x +y -1=0① 又∵y +32=x -22+1,∴y +3=x ,②解①②得,x =2,y =-1,故选A. 【答案】 A 二、填空题6.若直线ax +2y +3a =0与直线3x +(a -1)y =-7+a 平行,则实数a 的值为________________________________________________________.【解析】 显然当a =1时两直线不平行;当a ≠1时,因为两条直线平行,所以-a 2=31-a,解得a =3或a =-2.经检验,a =-2时两直线重合,故a =3.【答案】 37.已知定点M (0,2)、N (-2,0),直线l :kx -y -2k +2=0(k 为常数),若点M 、N 到直线l 的距离相等,则实数k 的值是________.【解析】 直线l 的方程为kx -y -2k +2=0, 即y -2=k (x -2),恒过定点(2,2).又点M 、N 到直线l 的距离相等,∴直线MN 与直线l 平行或MN 的中点在直线l 上,即k =2-00+2=1或k ·0-22-2+02-2k +2=0,k =13. ∴k =1或k =13.【答案】 1或138.已知直线mx +4y -2=0与2x -5y +n =0互相垂直,垂足为(1,p ),则m +n -p =________.【解析】 由两条直线垂直,得k 1·k 2=-1,即-m 4·25=-1,∴m =10,直线为10x +4y -2=0, 又∵垂足为(1,p ),故p =-2,∴垂足为(1,-2),代入2x -5y +n =0,得n =-12, 故m +n -p =10+(-12)-(-2)=0. 【答案】 0 三、解答题9.已知A (1,-1),B (2,2),C (3,0)三点,求点D 的坐标,使CD ⊥AB ,且BC ∥AD .【导学号:45722090】【解】 设点D 的坐标为(x ,y ),由题意知直线CD 、AD 的斜率都存在. 因为k AB =2--2-1=3,k CD =yx -3且CD ⊥AB ,所以k AB ·k CD =-1,即3×yx -3=-1. ①因为k BC =2-02-3=-2,k AD =y +1x -1且BC ∥AD ,所以k BC =k AD ,即-2=y +1x -1. ②由①②可得,x =0,y =1,所以点D 的坐标为(0,1).10.(1)求与直线2x +3y +5=0平行,且在两坐标轴上的截距之和为56的直线的方程;(2)求过两条直线x -y +5=0和3x +4y -2=0的交点,且垂直于直线3x -2y +4=0的直线方程.【解】 (1)设直线的方程为2x +3y +λ=0(λ≠5),令x =0,则在y 轴上的截距为b =-λ3;令y =0,则在x 轴上的截距为a =-λ2,由a +b =-λ2-λ3=56,得λ=-1,∴所求直线方程为2x +3y -1=0.(2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x -y +5=0,3x +4y -2=0,得⎩⎪⎨⎪⎧x =-187y =177,即已知的两条直线的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫-187,177. 设所求直线方程为-2x -3y +C =0, 将点⎝ ⎛⎭⎪⎫-187,177代入方程得,C =157, 故所求直线方程为-2x -3y +157=0,即14x +21y -15=0.1.与直线y =2x +1垂直,且在y 轴上的截距为4的直线的斜截式方程是( )【导学号:45722091】A.y =12x +4B.y =2x +4C.y =-2x +4D.y =-12x +4【解析】 ∵直线y =2x +1的斜率为2, ∴与其垂直的直线的斜率是-12,∴直线的斜截式方程为y =-12x +4,故选D.【答案】 D2.已知两点A (2,0),B (3,4),直线l 过点B ,且交y 轴于点C (0,y ),O 是坐标原点,有O ,A ,B ,C 四点共圆,那么y 的值是( )A.19B.194C.5D.4【解析】 由题意知AB ⊥BC ,∴k AB ·k BC =-1, 即4-03-2×4-y 3-0=-1,解得y =194,故选B. 【答案】 B3.过点A (-1,3)且平行于直线x -2y +3=0的直线方程为________. 【解析】 由题意可设所求直线方程为x -2y +m =0, 将点A (-1,3)代入,可得m =7, 所以所求直线的方程为x -2y +7=0. 【答案】 x -2y +7=04.已知△ABC 的顶点A (3,-1),AB 边上的中线所在直线的方程为6x +10y -59=0,∠B 的平分线所在直线的方程为x -4y +10=0,求BC 边所在直线的方程.【解】 设A 关于∠B 的平分线的对称点为A ′(x 0,y 0), 则⎩⎪⎨⎪⎧x 0+32-4×y 0-12+10=0,y 0+1x 0-3×14=-1,解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0=1,y 0=7.即A ′(1,7).设B 的坐标为(4a -10,a ),所以AB 的中点⎝⎛⎭⎪⎫4a -72,a -12在直线6x +10y -59=0上,所以6×4a -72+10×a -12-59=0,所以a =5,即B (10,5).由直线的两点式方程可得直线BC 的方程为2x +9y -65=0.。
2017-2018学年高中数学必修二 练习:4-2 直线、圆的位置关系 4-2-1 含答案 精品
第四章 4.2 4.2.1A 级 基础巩固一、选择题1.若直线3x +y +a =0平分圆x 2+y 2+2x -4y =0,则a 的值为导学号 09024971( B ) A .-1B .1C .3D .-3[解析] ∵圆心(-1,2)在直线3x +y +a =0上, ∴-3+2+a =0,∴a =1.2.(2016·高台高一检测)已知直线ax +by +c =0(a 、b 、c 都是正数)与圆x 2+y 2=1相切,则以a 、b 、c 为三边长的三角形是导学号 09024972( B )A .锐角三角形B .直角三角形C .钝角三角形D .不存在[解析] 由题意,得|c |a 2+b 2=1,∴a 2+b 2=c 2,故选B .3.(2016·北京文)圆(x +1)2+y 2=2的圆心到直线y =x +3的距离为导学号 09024973( C )A .1B .2C . 2D .2 2[解析] 由圆的标准方程(x +1)2+y 2=2,知圆心为(-1,0),故圆心到直线y =x +3,即x -y +3=0的距离d =|-1-0+3|2= 2. 4.(2016·铜仁高一检测)直线x +y =m 与圆x 2+y 2=m (m >0)相切,则m =导学号 09024974( D )A .12B .22C . 2D .2[解析] 圆心到直线距离|m |2=m ,解得m =2.5.圆心坐标为(2,-1)的圆在直线x -y -1=0上截得的弦长为22,那么这个圆的方程为导学号 09024975( A )A .(x -2)2+(y +1)2=4 B .(x -2)2+(y +1)2=2 C .(x -2)2+(y +1)2=8D .(x -2)2+(y +1)2=16[解析] d =|2+1-1|1+1=2,r =2+2=2,∴圆的方程为(x -2)2+(y +1)2=4.6.圆(x -3)2+(y -3)2=9上到直线3x +4y -11=0的距离等于1的点有导学号 09024976( C )A .1个B .2个C .3个D .4个[解析] 圆心(3,3)到直线3x +4y -11=0的距离,d =|3×3+4×3-11|5=2,又r =3,故有三个点到直线3x +4y -11=0的距离等于1. 二、填空题7.(2016·天津文)已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上,点M (0,5)在圆C 上,且圆心到直线2x -y =0的距离为455,则圆C 的方程为__(x -2)2+y 2=9__.导学号 09024977[解析] 设圆心为(a,0)(a >0),则圆心到直线2x -y =0的距离d =|2a -0|4+1=455,解得a =2,半径r =-2+-52=3,所以圆C 的方程为(x -2)2+y 2=9.8.过点(3,1)作圆(x -2)2+(y -2)2=4的弦,其中最短弦的长为__22__.导学号 09024978[解析] 最短弦为过点(3,1),且垂直于点(3,1)与圆心的连线的弦,易知弦心距d =-2+-2,所以最短弦长为2r 2-d 2=222-22=2 2.三、解答题9.当m 为何值时,直线x -y -m =0与圆x 2+y 2-4x -2y +1=0有两个公共点?有一个公共点?无公共点?导学号 09024979[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧x -y -m =0x 2+y 2-4x -2y +1=0,得2x 2-2(m +3)x +m 2+2m +1=0, Δ=4(m +3)2-8(m 2+2m +1) =-4m 2+8m +28,当Δ>0,即-22+1<m <22+1时,直线与圆相交,有两个公共点; 当Δ=0,即m =-22+1或m =22+1时,直线与圆相切,有一个公共点; 当Δ<0,即m <-22+1或m >22+1时,直线与圆相离,无公共点.10.(2016·潍坊高一检测)已知圆C :x 2+(y -1)2=5,直线l :mx -y +1-m =0.导学号 09024980(1)求证:对m ∈R ,直线l 与圆C 总有两个不同的交点;(2)若直线l 与圆C 交于A 、B 两点,当|AB |=17时,求m 的值.[解析] (1)解法一:由⎩⎪⎨⎪⎧x 2+y -2=5mx -y +1-m =0,消去y 整理,得(m 2+1)x 2-2m 2x +m 2-5=0.∵Δ=(-2m 2)2-4(m 2+1)(m 2-5)=16m 2+20>0,对一切m ∈R 成立,∴直线l 与圆C 总有两个不同交点.解法二:由已知l :y -1=m (x -1), 故直线恒过定点P (1,1).∵12+(1-1)2<5,∴P (1,1)在圆C 内. ∴直线l 与圆C 总有两个不同的交点. (2)解法一:圆半径r =5, 圆心(0,1)到直线l 的距离为d ,d =r 2-⎝⎛⎭⎪⎫|AB |22=32.由点到直线的距离公式,得|-m |m 2+-2=32, 解得m =± 3.解法二:设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), ∴|AB |=x 2-x 12+y 2-y 12=x 2-x 12+m -mx 2--m -mx 1-2=m 2+x 1+x 22-4x 1x 2]=m 2+⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 2m 2+12-4·m 2-5m 2+1 =17. ∴m =± 3.B 级 素养提升一、选择题1.过点(2,1)的直线中,被圆x 2+y 2-2x +4y =0截得的弦最长的直线的方程是导学号 09024981( A )A .3x -y -5=0B .3x +y -7=0C .3x -y -1=0D .3x +y -5=0[解析] x 2+y 2-2x +4y =0的圆心为(1,-2),截得弦最长的直线必过点(2,1)和圆心(1,-2)∴直线方程为3x -y -5=0,故选A .2.(2016·泰安二中高一检测)已知2a 2+2b 2=c 2,则直线ax +by +c =0与圆x 2+y 2=4的位置关系是导学号 09024982( A )A .相交但不过圆心B .相交且过圆心C .相切D .相离[解析] ∵2a 2+2b 2=c 2, ∴a 2+b 2=c 22.∴圆心(0,0)到直线ax +by +c =0的距离d =|c |a 2+b2=|c |c 22=2<2,∴直线ax +by +c =0与圆x 2+y 2=4相交, 又∵点(0,0)不在直线ax +by +c =0上,故选A .3.若过点A (4,0)的直线l 与曲线(x -2)2+y 2=1有公共点,则直线l 的斜率的取值范围为导学号 09024983( D )A .(-3,3)B .[-3,3]C .(-33,33) D .[-33,33] [解析] 解法一:如图,BC =1,AC =2,∴∠BAC =30°, ∴-33≤k ≤33. 解法二:设直线l 方程为y =k (x -4),则由题意知, |2k -0-4k |1+k2≤1,∴-33≤k ≤33. 解法3:过A (4,0)的直线l 可设为x =my +4,代入(x -2)2+y 2=1中得: (m 2+1)y 2+4my +3=0,由Δ=16m 2-12(m 2+1)=4m 2-12≥0得m ≤-3或m ≥ 3.∴l 的斜率k =1m ∈[-33,0)∪(0,33],特别地,当k =0时,显然有公共点,∴k ∈[-33,33]. 4.设圆(x -3)2+(y +5)2=r 2(r >0)上有且仅有两个点到直线4x -3y -2=0的距离等于1,则圆半径r 的取值范围是导学号 09024984( B )A .3<r <5B .4<r <6C .r >4D .r >5[解析] 圆心C (3,-5),半径为r ,圆心C 到直线4x -3y -2=0的距离d =|12+15-2|42+-2=5,由于圆C 上有且仅有两个点到直线4x -3y -2=0的距离等于1,则d -1<r <d +1,所以4<r <6.二、填空题5.(2016~2017·宜昌高一检测)过点P (12,1)的直线l 与圆C :(x -1)2+y 2=4交于A ,B 两点,C 为圆心,当∠ACB 最小时,直线l 的方程为__2x -4y +3=0__.导学号 09024985[解析] 当∠ACB 最小时,弦长AB 最短,此时CP ⊥AB .由于C (1,0),P (12,1),∴k CP =-2,∴k AB =12,∴直线l 方程为y -1=12(x -12),即2x-4y +3=0.6.(2016~2017·福州高一检测)过点(-1,-2)的直线l 被圆x 2+y 2-2x -2y +1=0截得的弦长为2,则直线l 的斜率为__1或177__.导学号 09024986[解析] 圆心C (1,1),半径r =1,弦长为 2.∴C 到l 的距离d =12-222=22. 设l :y +2=k (x +1),即kx -y +k -2=0. 则|k -1+k -2|1+k2=22. 解之得k =1或177.C 级 能力拔高1.求满足下列条件的圆x 2+y 2=4的切线方程:导学号 09024987 (1)经过点P (3,1); (2)斜率为-1; (3)过点Q (3,0).[解析] (1)∵点P (3,1)在圆上. ∴所求切线方程为3x +y -4=0.(2)设圆的切线方程为y =-x +b , 代入圆的方程,整理得2x 2-2bx +b 2-4=0,∵直线与圆相切, ∴Δ=(-2b )2-4×2(b 2-4)=0. 解得b =±2 2.∴所求切线方程为x +y ±22=0. 也可用几何法d =r 求解.(3)解法一:∵32+02>4,∴点Q 在圆外. 设切线方程为y =k (x -3),即kx -y -3k =0. ∵直线与圆相切,∴圆心到直线的距离等于半径, ∴|-3k |1+k2=2,∴k =±255, ∴所求切线方程为2x ±5y -6=0.解法二:设切点为M (x 0,y 0),则过点M 的切线方程为x 0x +y 0y =4,∵点Q (3,0)在切线上,∴x 0=43①又M (x 0,y 0)在圆x 2+y 2=4上,∴x 20+y 20=4② 由①②构成的方程组可解得 ⎩⎪⎨⎪⎧x 0=43y 0=253,或⎩⎪⎨⎪⎧x 0=43y 0=-253.∴所求切线方程为43x +253y =4或43x -253y =4, 即2x +5y -6=0或2x -5y -6=0.2.设圆上的点A (2,3)关于直线x +2y =0的对称点仍在圆上,且与直线x -y +1=0相交的弦长为22,求圆的方程.导学号 09024988[解析] 设圆的方程为(x -a )2+(y -b )2=r 2.由已知可知,直线x +2y =0过圆心,则a +2b =0, ① 又点A 在圆上,则(2-a )2+(3-b )2=r 2, ② 因为直线x -y +1=0与圆相交的弦长为2 2. 所以(2)2+(a -b +112+-2)2=r 2③解由①②③所组成的方程组得⎩⎪⎨⎪⎧a =6b =-3r 2=52,或⎩⎪⎨⎪⎧a =14b =-7r 2=244.故所求方程为(x -6)2+(y +3)2=52或(x -14)2+(y +7)2=244.。
2018版高中数学第二章平面解析几何初步2.2.2直线与圆的位置关系学业分层测评苏教版必修220170722273
2.2.2 直线与圆的位置关系(建议用时:45分钟)[学业达标]一、填空题1.直线l:y-1=k(x-1)和圆x2+y2-2y=0的位置关系是________.【解析】l过定点A(1,1),∵12+12-2×1=0,∴点A在圆上,∵直线x=1过点A且为圆的切线,又l的斜率存在,∴l与圆一定相交.【答案】相交2.若P(2,-1)为圆(x-1)2+y2=25的弦AB的中点,则直线AB的方程为______________.1-2 【解析】由圆的性质可知,此弦与过点P的直径垂直,故k AB=-=1.故所求直线0+1方程为x-y-3=0.【答案】x-y-3=03.已知过点P(2,2)的直线与圆(x-1)2+y2=5相切,且与直线ax-y+1=0垂直,则a=________.【解析】由题意知圆心为(1,0),由圆的切线与直线ax-y+1=0垂直,可设圆的切线|1-2-2a|方程为x+ay+c=0,由切线x+ay+c=0过点P(2,2),∴c=-2-2a,∴=5,1+a2解得a=2.【答案】 24.已知圆C:(x-a)2+(y-2)2=4(a>0)及直线l:x-y+3=0,当直线l被圆C截得的弦长为2 3时,a=________.【解析】因为圆的半径为2,且截得弦长的一半为3,所以圆心到直线的距离为1,即|a-2+3|=1,解得a=± 2-1,因为a>0,所以a=2-1.2【答案】2-15.在平面直角坐标系xOy中,已知圆C与x轴交于A(1,0),B(3,0)两点,且与直线x-y-3=0相切,则圆C的半径为__________.|-1-b|【解析】设圆心为(2,b),则半径r=b2+1.又=b2+1,解得b=1,r= 2.2【答案】 26.在圆x2+y2+2x+4y-3=0上且到直线x+y+1=0的距离为2的点共有________个.|-1-2+1| 【解析】圆心为(-1,-2),半径r=2 2,而圆心到直线的距离d==2,2故圆上有3个点满足题意.1【答案】 37.在平面直角坐标系xOy中,直线3x+4y+c=0与圆x2+y2=4相交于A,B两点,且弦AB的长为2 3,则c=__________.|c| |c| 【解析】圆心到直线的距离为d=,因为弦AB的长为2 ,所以4=3+2,所3 (5 )5以c=±5.【答案】±58.直线y=kx+3与圆(x-3)2+(y-2)2=4相交于M,N两点,若MN≥23,则k的取值范围是________.【解析】设圆心为C,弦MN的中点为A,当MN=2 3时,AC=MC2-MA2=4-3=1.∴当MN≥23时,圆心C到直线y=kx+3的距离d≤1.|3k-2+3|∴≤1,∴(3k+1)2≤k2+1.k2+13 ∴-≤k≤0.43【答案】[-,0]4二、解答题9.(1)圆C与直线2x+y-5=0切于点(2,1),且与直线2x+y+15=0也相切,求圆C的方程;(2)已知圆C和y轴相切,圆心C在直线x-3y=0上,且被直线y=x截得的弦长为2 7,求圆C的方程.【解】(1)设圆C的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.∵两切线2x+y-5=0与2x+y+15=0平行,|15--5|∴2r==4 5,∴r=2 5,22+12|2a+b+15|∴=r=2 5,即|2a+b+15|=10,①22+1|2a+b-5|=r=2 5,即|2a+b-5|=10,②22+1又∵过圆心和切点的直线与过切点的切线垂直,b-1 1∴=,a-2 2由①②③解得Error!∴所求圆C的方程为(x+2)2+(y+1)2=20.(2)设圆心坐标为(3m,m).∵圆C和y轴相切,得圆的半径为3|m|,2|2m|∴圆心到直线y=x的距离为=2|m|.由半径、弦心距、半弦长的关系得9m2=7+2m2,∴2m=±1,∴所求圆C的方程为(x-3)2+(y-1)2=9或(x+3)2+(y+1)2=9.10.已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=4和直线l:kx-y-4k+3=0,(1)求证:不论k取何值,直线和圆总相交;(2)求当k取何值时,圆被直线l截得弦最短,并求此最短值.【解】(1)证明:由圆的方程(x-3)2+(y-4)2=4得圆心(3,4),半径r=2,由直线方程得l:y-3=k(x-4),即直线l过定点(4,3),而(4-3)2+(3-4)2=2<4,所以(4,3)点在圆内.故直线kx-y-4k+3=0与圆C总相交.(2)因为直线经过定点P(4,3),所以当PC与直线l垂直时,圆被直线截得的弦最短,设直线与圆的交点为A,B,1 2则由勾股定理得(AB )=r2-|CP|2=4-2=2,2所以AB=2 2,又因为PC与直线kx-y-4k+3=0垂直,3-4直线PC的斜率为k PC==-1,4-3所以直线kx-y-4k+3=0的斜率为k=1.所以当k=1时,圆被直线截得的弦最短,最短弦的长为2 2.[能力提升]1.直线l:y=x+b与曲线C:y=1-x2有两个公共点,则b的取值范围是________.【解析】如图,直线夹在l1与l2之间,不含l2含l1,故1≤b<2.【答案】[1,2)2.若圆(x-3)2+(y+5)2=r2上有且只有两个点到直线4x-3y=2的距离等于1,则半径r的取值范围是________.【解析】由已知圆心(3,-5)到直线4x-3y=2的距离d=5,又d-1<r<d+1,∴4<r<6.【答案】(4,6)3.已知P是直线3x+4y+8=0上的动点,PA,PB是圆x2+y2-2x-2y+1=0的切线,A,B为切点,C为圆心,那么四边形PABC面积的最小值是________.3【解析】当CP垂直于直线3x+4y+8=0时,切线长最短,四边形PABC的面积最小,此时:|3+4+8| 15CP===3.32+42 5又r=1,∴切线长为32-12=2 2,1∴S=2××22×1=2 2.2【答案】 2 24.已知曲线C:x2+y2-4ax+2ay-20+20a=0.(1)证明:不论a取何实数,曲线C必过定点;(2)当a≠2时,证明:曲线C是一个圆,且圆心在一条直线上;(3)若曲线C与x轴相切,求a的值.【解】(1)证明:曲线C的方程可变形为(x2+y2-20)+(-4x+2y+20)a=0.由Error!解得Error!点(4,-2)满足C的方程,故曲线C过定点(4,-2).(2)证明:配方得(x-2a)2+(y+a)2=5(a-2)2,∵当a≠2时,5(a-2)2>0,∴C的方程表示圆心是(2a,-a),半径是5|a-2|的圆.设圆心坐标为(x,y),则有Error!1 消去a得y=-x,21 故圆心必在直线y=-x上.25 ± 5(3)由题意知5|a-2|=|a|,解得a=.24。
2017-2018学年高中数学人教B版2练习:2.3.3直线与圆的位置关系课下检测含解析
一、选择题1.直线x+y=m与圆x2+y2=m(m〉0)相切,则m=( )A。
错误! B.错误!C。
错误!D.2解析:由d=错误!=错误!,解得m=2。
答案:D2.曲线y=1+错误!与直线y=k(x-2)+4有两个交点,则实数k的取值范围是( )A.(0,错误!) B.(错误!,+∞)C.(错误!,错误!]D.(错误!,错误!]解析:首先明确曲线y=1+4-x2表示半圆,由数形结合可得错误!〈k≤错误!。
答案:D3.圆(x-3)2+(y-3)2=9上到直线3x+4y-11=0的距离等于1的点有()A.1个B.2个C.3个D.4个解析:因为圆心到直线的距离为d=2且r=3,故有三点到直线的距离等于1。
答案:C4.若a,b,c是直角三角形的三边,其中c为斜边,那么直线ax +by+c=0与圆(x-a)2+(y-b)2=1的位置关系是()A.相交B.相切C.相离D.相交或相切解析:由题意,a2+b2=c2,圆心到直线的距离为d=错误!=错误!=c+1>1=r.答案:C二、填空题5.垂直于直线2x-y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程为__________________.解析:设所求直线方程为x+2y+m=0,依题意错误!=错误!,∴m=±5。
答案:x+2y+5=0或x+2y-5=06.过点A(1,-1),B(-1,1)且圆心在x+y-2=0上的圆的方程为______________.解析:线段AB中点C的坐标为(0,0).∵k AB=-1,∴线段AB的垂直平分线方程为x-y=0,联立错误!解之得错误!,即圆心坐标(1,1).又r=错误!=2,∴圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=4.答案:(x-1)2+(y-1)2=47.(2011·重庆高考)过原点的直线与圆x2+y2-2x-4y+4=0相交所得弦的长为2,则该直线的方程为______.解析:设所求直线方程为y=kx,即kx-y=0。
2017-2018学年高中数学 课下能力提升(二十二)直线与圆的位置关系 北师大版必修2
课下能力提升(二十二) 直线与圆的位置关系一、选择题1.若直线ax+by=1与圆x2+y2=1相交,则点P(a,b)与圆的位置关系是( ) A.在圆上B.在圆外C.在圆内 D.以上都有可能2.若直线x-y=2被圆(x-a)2+y2=4所截得的弦长为22,则实数a的值为( ) A.-1或 3 B.1或3C.-2或6 D.0或43.(重庆高考)对任意的实数k,直线y=kx+1与圆x2+y2=2的位置关系一定是( ) A.相离 B.相切C.相交但直线不过圆心 D.相交且直线过圆心ACx+y+3=0相切,1被该圆所截得的AB所三、解答题9.自点P(-6,7)发出的光线l射到x轴上点A处,被x轴反射,其反射光线所在直线与圆x2+y2-8x-6y+21=0相切于点Q.求光线l所在直线的方程.10.已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=4和直线l:kx-y-4k+3=0.(1)求证:不论k取何值,直线和圆总相交;(2)求k取何值时,圆被直线截得的弦最短,并求最短弦的长.答案1.解析:选B 由于直线ax +by =1与圆x 2+y 2=1相交,则1a 2+b2<1,即a 2+b 2>1,从而可知点P (a ,b )在圆x 2+y 2=1的外部.2.解析:选D 圆心C (a,0)到直线x -y =2的距离d =|a -2|2,由题意得d 2+(2)2=22,解得d = 2.所以|a -2|2=2,解得a =0或a =4..1,ABCD y +3a答案:(x -3)2+y 2=48.解析:设圆心为C (-1,0),由题意知:AB ⊥CP , 而k CP =-3-02--=-1,从而k AB =1,∴弦AB 所在的直线方程为y +3=x -2,即x -y -5=0. 答案:x -y -5=0 9.解:如图,作圆x 2+y 2-8x -6y +21=0关于x 轴的对称圆x 2+y 2-8x +6y +21=0, 由几何光学原理知,直线l 与圆x 2+y 2-8x +6y +21=0相切,又∵l 的斜率必存在,故可设直线l :y -7=k (x +6),即kx -y +6k +7=0. 由d =|4k +3+6k +7|k 2+1=10|k +1|k 2+1=2,得k =-34或k =-43,故光线l 所在直线的方程为3x +4y -10=0或4x +3y +3=0. 10.解:由题可知圆心为C (3,4),半径为r =2. (1)证明:直线方程可化为k (x -4)+(3-y )=0, ∴直线过定点P (4,3).∵(4-3)2+(3-4)2<4. ∴点P 在圆C 内部.∴直线kx -y -4k +3=0与圆C 总相交.(2)∵直线经过定点P (4,3),∴当PC 与直线垂直时,圆被直线截得的弦最短. 设直线与圆的交点为A ,B ,则由勾股定理得(12|AB |)2=r 2-|CP |2=4-2=2.∴AB =2 2.∵PC 与直线kx -y -4k +3=0垂直,直线PC 的斜率为k PC =3-44-3=-1,∴直线kx -y-4k +3=0的斜率为k =1.∴当k =1时,圆被直线截得的弦最短,最短弦长为2 2.。
2017-2018学年高中数学 第二章 点_直线_平面之间的位置关系阶段质量检测B卷(含解析)新人教A版必修2
第二章点、直线、平面之间的位置关系(B卷能力素养提升)(时间120分钟,满分150分)一、选择题(共10小题,每小题6分,共60分)1.空间两个角α,β的两边分别对应平行,且α=60°,则β为( )A.60°B.120°C.30°D.60°或120°解析:选D 由等角定理可知β=60°或120°.2.已知空间中有三条线段AB,BC和CD,且∠ABC=∠BCD,那么直线AB与CD的位置关系是( )A.AB∥CDB.AB与CD异面C.AB与CD相交D.AB∥CD或AB与CD异面或AB与CD相交解析:选D 若三条线段共面,如果AB,BC,CD构成等腰三角形,则直线AB与CD相交,否则直线AB与CD平行;若不共面,则直线AB与CD是异面直线.3.如图,正方体ABCDA1B1C1D1中,①DA1与BC1平行;②DD1与BC1垂直;③BC1与AC所成角为60°.以上三个结论中,正确结论的序号是( )A.①B.②C.③D.②③解析:选C ①错,应为DA1⊥BC1;②错,两直线所成角为45°;③正确,将BC1平移至AD1,由于三角形AD1C为等边三角形,故两异面直线所成角为60°,即正确命题序号为③,故选C.4.已知l是直线,α、β是两个不同的平面,下列命题中的真命题( )A.若l∥α,l∥β,则α∥βB.若α⊥β,l∥α,则l⊥βC.若l∥α,α∥β,则l∥βD.若l⊥α,l∥β,则α⊥β解析:选D 对于A,若l∥α,l∥β,则α∥β或α与β相交,所以A错;对于B,若α⊥β,l∥α,则l∥β或l⊥β或l⊂β或l与β相交,所以B错;对于C,若l∥α,α∥β,则l∥β或l⊂β,所以C错;对于D,若l⊥α,l∥β,则α⊥β,由面面垂直的判定可知选项D正确.5.如图,在四面体ABCD中,若截面PQMN是正方形,则在下列命题中,错误的为( ) A.AC⊥BDB.AC∥截面PQMNC.AC=BDD.异面直线PM与BD所成的角为45°解析:选C ∵MN∥PQ,由线面平行的性质定理可得MN∥AC,从而AC∥截面PQMN,B正确;同理可得MQ∥BD,故AC⊥BD,A正确;又∠PMQ=45°,故D正确.6.α,β,γ是三个平面,a、b是两条直线,有下列三个条件:①a∥γ,b⊂β;②a ∥γ,b∥β;③b∥β,a⊂γ.如果命题“α∩β=a,b⊂γ,且________,则a∥b”为真命题,则可以在横线处填入的条件是( )A.①或②B.②或③C.①或③D.只有②解析:选C 若填入①,则由a∥γ,b⊂β,b⊂γ,b=β∩γ,又a⊂β,则a∥b;若填入③,则由a⊂γ,a=α∩β,则a是三个平面α、β、γ的交线,又b∥β,b⊂γ,则b∥a;若填入②,不能推出a∥b,可以举出反例,例如使β∥γ,b⊂γ,画一草图可知,此时能有a∥γ,b∥β,但不一定a∥b,有可能异面.从而A、B、D都不正确,只有C正确.7.平面α∩平面β=a,平面β∩平面γ=b,平面γ∩平面α=c,若a∥b,则c与a,b的位置关系是( )A.c与a,b都异面B.c与a,b都相交C.c至少与a,b中的一条相交D.c与a,b都平行解析:选D 如图,以三棱柱为模型.∵a∥b,a⊄γ,b⊂γ,∴a∥γ.又∵a⊂β,β∩γ=c,∴a∥c.∴a∥b∥c.8.如下图,将无盖正方体纸盒展开,直线AB,CD在原正方体中的位置关系是( )A .平行B .相交且垂直C .异面D .相交成60°解析:选D 还原几何体,如图.可知D 点与B 点重合,△ABC 是正三角形,所以选D.9.在一个45°的二面角的一个面内有一条直线与二面角的棱成45°,则此直线与二面角的另一个面所成的角为( )A .30°B .45°C .60°D .90°解析:选A 如图,二面角αl β为45°,AB ⊂β,且与棱l 成45°角,过A 作AO ⊥α于O ,作AH ⊥l 于H .连接OH 、OB ,则∠AHO 为二面角αl β的平面角,∠ABO 为AB 与平面α所成角.不妨设AH =2,在Rt △AOH 中,易得AO =1;在Rt △ABH 中,易得AB =2.故在Rt △ABO 中,sin ∠ABO =AO AB =12, ∴∠ABO =30°,为所求线面角.10.如图(1)所示,在正方形ABCD 中,E 、F 分别是BC 、CD 的中点,G 是EF 的中点,现在沿AE 、AF 及EF 把这个正方形折成一个四面体,使B 、C 、D 三点重合,重合后的点记为H ,如图(2)所示,那么,在四面体A EFH 中必有( )A .AH ⊥△EFH 所在平面B .AG ⊥△EFH 所在平面C .HF ⊥△AEF 所在平面D .HG ⊥△EFH 所在平面解析:选A 折成的四面体中有AH ⊥EH ,AH ⊥FH ,∴AH ⊥平面HEF .故选A.二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分)11.如图,直四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1的底面是边长为1的正方形,侧棱长AA 1=2,则异面直线A 1B 1与BD 1的夹角大小等于________.解析:∵A 1B 1∥AB ,∴AB 与BD 1所成的角即是A 1B 1与BD 1所成的角.连接AD 1,可知AB ⊥AD 1,在Rt △BAD 1中,AB =1,AD 1=3,∴tan ∠ABD 1=AD 1AB =3, ∴∠ABD 1=60°,故A 1B 1与BD 1的夹角为60°.答案:60°12.如图,在正三棱柱ABC A 1B 1C 1中,已知AB =1,D 在棱BB 1上,且BD =1,则AD 与平面AA 1C 1C 所成角的正弦值为________.解析:取AC ,A 1C 1的中点E ,E 1,连接BE ,B 1E 1,EE 1,由题意知平面BEE 1B 1⊥平面AC 1,过D 作DF ⊥EE 1于F ,连接AF ,则DF ⊥平面AC 1.∴∠DAF即为AD 与平面AC 1所成的角.可求得AD =2,DF =32,∴sin ∠DAF =DF AD =64. 答案:64 13.设a ,b ,c 是空间中的三条直线,下面给出五个命题:①若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c ;②若a ⊥b ,b ⊥c ,则a ∥c ;③若a 与b 相交,b 与c 相交,则a 与c 相交;④若a ⊂平面α,b ⊂平面β,则a ,b 一定是异面直线;⑤若a ,b 与c 成等角,则a ∥b .上述命题中正确的命题是________(只填序号).解析:由公理4知①正确;当a⊥b,b⊥c时,a与c可以相交、平行,也可以异面,故②不正确;当a与b相交,b与c相交时,a与c可以相交、平行,也可以异面,故③不正确;a⊂α,b⊂β,并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”,故④不正确;当a,b与c成等角时,a与b可以相交、平行,也可以异面,故⑤不正确.答案:①14.给出下列命题:①若平面α上的直线a与平面β上的直线b为异面直线,直线c是α与β的交线,那么c至多与a,b中一条相交;②若直线a与b异面,直线b与c异面,则直线a与c异面;③一定存在平面α同时和异面直线a,b都平行.其中正确的命题为________.(写出所有正确命题的序号)解析:①中,异面直线a,b可以都与c相交,故不正确;②中,直线异面不具有传递性,故不正确;③中,过直线b上一点P作a′∥a,则a′、b确定一平面,则与该平面平行的任一平面(平面内不包含直线a、b)都与异面直线a、b平行,故正确.答案:③三、解答题(共6小题,共70分,解答时应写出文字说明,证明过程或演算过程)15.(本小题满分10分)如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别为CC1,AA1的中点,画出平面BED1F与平面ABCD的交线.解:在平面AA1D1D内,延长D1F,∵D1F与DA不平行,∴D1F与DA必相交于一点,设为P,则P∈D1F,P∈DA.又∵D1F⊂平面BED1F,AD⊂平面ABCD,∴P∈平面BED1F,P∈平面ABCD.又B为平面ABCD与平面BED1F的公共点,连接PB,∴PB即为平面BED1F与平面ABCD的交线.如图所示.16.(本小题满分12分)在右图的几何体中,面ABC∥面DEFG, ∠BAC=∠EDG=120°,四边形ABED是矩形,四边形ADGC是直角梯形,∠ADG=90°,四边形DEFG是梯形,EF∥DG,AB=AC=AD=EF=1,DG=2.(1)求证:FG⊥面ADF;(2)求四面体 CDFG 的体积.解:(1)连接DF 、AF ,作DG 的中点H ,连接FH ,EH ,∵EF ∥DH ,EF =DH =ED =1,∴四边形DEFH 是菱形,∴EH ⊥DF ,又∵EF ∥HG, EF =HG ,∴四边形EFGH 是平行四边形,∴FG ∥EH ,∴FG ⊥DF ,由已知条件可知AD ⊥DG ,AD ⊥ED ,所以AD ⊥面EDGF ,所以AD ⊥FG .又∵⎩⎪⎨⎪⎧FG ⊥AD ,FG ⊥DF ,AD ⊂面ADF ,DF ⊂面ADF ,AD ∩DF =D ,∴FG ⊥面ADF .(2)因为DH ∥AC 且DH =AC ,所以四边形ADHC 为平行四边形,所以CH ∥AD ,CH =AD =1,由(1)知AD ⊥面EDGF ,所以CH ⊥面DEFG .由已知,可知在三角形DEF 中,ED =EF =1,∠DEF =60°,所以,△DEF 为正三角形,DF =1,∠FDG =60°,S △DEG =12·DF ·DG ·sin∠FDG =32.四面体CDFG =13·S △DFG ·CH =13×32×1=36.17.(本小题满分12分)如图所示,在四棱锥P ABCD 中,PA ⊥平面ABCD ,AD ⊥AB ,△ABC 是正三角形,AC 与BD 的交点M 恰好是AC 的中点,N 为线段PB 的中点,G 在线段BM 上,且BGGM =2.(1)求证:AB ⊥PD ;(2)求证:GN ∥平面PCD .证明:(1)因为PA ⊥平面ABCD ,所以PA ⊥AB .又因为AD ⊥AB ,AD ∩PA =A ,所以AB ⊥平面PAD .又PD ⊂平面PAD ,所以AB ⊥PD .(2)因为△ABC 是正三角形,且M 是AC 的中点,所以BM ⊥AC . 在直角三角形AMD 中,∠MAD =30°,所以MD =12AD .在直角三角形ABD 中,∠ABD =30°,所以AD =12BD ,所以MD =14BD .又因为BG GM =2,所以BG =GD .又N 为线段PB 的中点,所以GN ∥PD .又GN ⊄平面PCD ,PD ⊂平面PCD ,所以GN ∥平面PCD .18.(本小题满分12分)(浙江高考)如图,在三棱柱ABC A 1B 1C 1中,∠BAC =90°,AB =AC =2,A 1A =4,A 1在底面ABC 的射影为BC 的中点,D 是B 1C 1的中点.(1)证明:A 1D ⊥平面A 1BC ;(2)求直线A 1B 和平面BB 1C 1C 所成的角的正弦值.解:(1)证明:设E 为BC 的中点,连接AE ,A 1E ,DE ,由题意得A 1E ⊥平面ABC ,所以A 1E ⊥AE .因为AB =AC ,所以AE ⊥BC .又因为A 1E ,BC ⊂平面A 1BC ,A 1E ∩BC =E ,故AE ⊥平面A 1BC .由D ,E 分别为B 1C 1,BC 的中点,得DE ∥B 1B 且DE =B 1B ,从而DE ∥A 1A 且DE =A 1A ,所以四边形AA 1DE 为平行四边形.于是A 1D ∥AE .又因为AE ⊥平面A 1BC ,所以A 1D ⊥平面A 1BC .(2)作A 1F ⊥DE ,垂足为F ,连接BF .因为A 1E ⊥平面ABC ,所以BC ⊥A 1E .因为BC ⊥AE ,AE ∩A 1E =E ,所以BC ⊥平面AA 1DE .所以BC ⊥A 1F .又因为DE ∩BC =E ,所以A 1F ⊥平面BB 1C 1C .所以∠A 1BF 为直线A 1B 和平面BB 1C 1C 所成的角.由AB =AC =2,∠CAB =90°,得EA =EB = 2.由A 1E ⊥平面ABC ,得A 1A =A 1B =4,A 1E =14.由DE =BB 1=4,DA 1=EA =2,∠DA 1E =90°,得A 1F =72.所以sin ∠A 1BF =78.19.(本小题满分12分)如图,在三棱柱ABC A 1B 1C 1中,侧棱垂直于底面,AB ⊥BC ,AA 1=AC =2,BC =1,E ,F 分别是A 1C 1,BC 的中点.(1)求证:平面ABE ⊥平面B 1BCC 1 ;(2)求证:C 1F ∥平面ABE ;(3)求三棱锥E ABC 的体积.解:(1)证明:在三棱柱ABC A1B 1C 1中,BB 1⊥底面ABC , 所以BB 1⊥AB .又因为AB ⊥BC ,BB 1∩BC =B ,所以AB ⊥平面B 1BCC 1.又AB ⊂平面ABE ,所以平面ABE ⊥平面B 1BCC 1.(2)证明:取AB 中点G ,连接EG ,FG .因为E ,F ,G 分别是A 1C 1,BC ,AB 的中点,所以FG ∥AC ,且FG =12AC ,EC 1=12A 1C 1. 因为AC ∥A 1C 1,且AC =A 1C 1,所以FG ∥EC 1,且FG =EC 1,所以四边形FGEC 1为平行四边形,所以C 1F ∥EG .又因为EG ⊂平面ABE ,C 1F ⊄平面ABE ,所以C 1F ∥平面ABE .(3)因为AA 1=AC =2,BC =1,AB ⊥BC ,所以AB =AC 2-BC 2= 3.所以三棱锥E ABC 的体积 V =13S △ABC ·AA 1=13×12×3×1×2=33.20.(本小题满分12分)如图所示,在棱长为2的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中,E ,F 分别为DD 1、DB 的中点.(1)求证:EF ∥平面ABC 1D 1;(2)求三棱锥VB 1EFC 的体积;(3)求二面角E CF B 1的大小.解:(1)证明:连接BD1,在△DD 1B 中,E 、F 分别为D 1D ,DB 的中点,则EF 为中位线,∴EF ∥D 1B ,而D 1B ⊂面ABC 1D 1, EF ⊄面ABC 1D 1,∴EF ∥面ABC 1D 1.(2)等腰直角三角形BCD 中,F 为BD 中点,∴CF ⊥BD .①∵ABCD A 1B 1C 1D 1是正方体,∴DD 1⊥面ABCD ,又CF ⊂面ABCD ,∴DD 1⊥CF .②综合①②,且DD 1∩BD =D ,DD 1,BD ⊂面BDD 1B 1,∴CF ⊥平面EFB 1即CF 为高,CF =BF = 2.∵EF =12BD 1=3, B 1F =BF 2+BB 21=22+22=6,B 1E =B 1D 21+D 1E 2=12+22=3,∴EF 2+B 1F 2=B 1E 2,即∠EFB 1=90°,∴S △B 1EF =12EF ·B 1F =322, ∴VB 1EFC =VC B 1EF =13·S △B 1EF ·CF =13×322×2=1. (3)∵CF ⊥平面BDD 1B 1,∴二面角E CF B 1的平面角为∠EFB 1.由(2)知∠EFB1=90°∴二面角ECFB1的大小为90°.。
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第二讲直线与园的位置关系一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.如图,已知:⊙O的内接四边形ABCD中,AB是⊙O的直径,∠BCD=120°.过D点的切线PD与BA的延长线交于P点,则∠ADP的度数是( )A.15° B.30° C.45° D.60°解析:选B 要求弦切角∠ADP,即连接BD,则∠ADP=∠ABD,又AB是直径,所以∠ADB=90°,而四边形ABCD是⊙O的内接四边形,所以∠C+∠DAB=180°,即∠DAB=60°,所以∠ABD=30°,故∠ADP=30°.2.(北京高考)如图,AD,AE,BC分别与圆O切于点D,E,F,延长AF与圆O交于另一点G.给出下列三个结论:①AD+AE=AB+BC+CA;②AF·AG=AD·AE;③△AFB∽△ADG.其中正确结论的序号是( )A.①② B.②③ C.①③ D.①②③解析:选A 逐个判断:由切线定理得CE=CF,BD=BF,所以AD+AE=AB+BD+AC+CE=AB+AC+BC,即①正确;由切割线定理得AF·AG=AD2=AD·AE,即②正确;因为△ADF∽△AGD,所以③错误.3.点P为⊙O的弦AB上一点,且AP=9,PB=4,连接PO,作PC⊥OP交圆于点C,则PC等于( )A.4 B.6 C.8 D.9解析:选B 延长CP交⊙O于点D,则OP垂直平分弦CD,且CP·PD=AP·PB=36,∴PC2=36,PC=6,故选B.4.如图,在⊙O中,弦AB与半径OC相交于点M,且OM=MC,AM=1.5,BM=4,则OC=( )A.2 6 B. 6C.2 3 D.2 2解析:选D 延长CO 交⊙O 于D ,则DM =3CM ,CM ·MD =MA ·MB ,所以1.5×4=3CM 2,CM =2,OC =2 2.5.如图,已知⊙O 是△ABC 的外接圆,⊙I 是△ABC 的内切圆,∠A =80°,则∠BIC 等于( )A .80° B.100° C.120° D .130°解析:选D ∵∠A =80°, ∴∠ABC +∠ACB =100°.∵∠IBC =12∠ABC ,∠ICB =12∠ACB ,∴∠IBC +∠ICB =12(∠ABC +∠ACB )=50°,∴∠BIC =180°-50°=130°.6.如图,在⊙O 中,弦AB 与CD 相交于P 点,∠B =30°,∠APD =80°,则∠A =( )A .40° B.50° C.70° D .110° 解析:选B 易知∠A =∠D ,又∵∠APD =∠B +∠D ,∠B =30°,∠APD =80°, ∴∠D =∠APD -∠B =80°-30°=50°. ∴∠A =50°.7.如图,AB 是⊙O 的直径,C 为半圆上一点,CD ⊥AB 于D ,若BC =3,AC =4,则AD ∶CD ∶BD 等于( )A .4∶6∶3B .6∶4∶3C .4∶4∶3D .16∶12∶9解析:选D 由AB 是⊙O 的直径,可得△ABC 是直角三角形.由勾股定理知AB =5.又CD ⊥AB ,根据射影定理就有AC 2=AD ·AB ,于是AD =165.同理,BD =95,CD =125,据此即得三条线段的比值.8.在等腰△ABC 中,AB =AC ,∠BAC =120°,BC =6 cm ,则其外接圆的直径为( ) A. 3 cm B .2 3 cm C .4 3 cm D .6 3 cm解析:选C 作BC 边上的中线AD ,则AD ⊥BC ,延长AD 交△ABC 外接圆于E ,连接CE .∵AE ⊥BC ,AE 平分BC , ∴AE 为△ABC 外接圆的直径, ∴∠ACE =90°. 在Rt△ACD 中,∠CAD =12∠BAC =60°,CD =12BC =3 cm ,∴AC =CDsin∠CAD=332=23(cm).在Rt△ACE 中,AE =ACcos∠CAD =2312=43(cm).即△ABC 外接圆的直径为4 3 cm.9.如图,四边形ABCD 为圆内接四边形,AC 为BD 的垂直平分线,∠ACB =60°,AB =a ,则CD 等于( )A.33a B.62a C.12a D.13a解析:选A ∵AC 为BD 的垂直平分线, ∴AB =AD =a ,AC ⊥BD ,∵∠ACB =60°,∴∠ADB =60°, ∴AB =AD =BD , ∴∠ACD =∠ABD =60°, ∴∠CDB =30°, ∴∠ADC =90°, ∴CD =tan 30°·AD =33a . 10.如图,在△ABC 中,∠C =90°,AC =8 cm ,AB =10 cm ,点P 由C 出发以每秒2 cm 的速度沿线段CA 向点A 运动(不运动至A 点),⊙O 的圆心在BP 上,且⊙O 分别与AB 、AC 相切,当点P运动2 s 时,⊙O 的半径是( )A.127 cm B.125 cm C.53cm D .2 cm解析:选A ∵PC =2×2=4 cm ,∴P 是AC 的中点,∴BC =6 cm ,BP =213 cm.连接OD ,∵D 为切点, ∴OD ⊥AC ,则OD ∥BC ,即DP OD =PC BC =46=23.设半径OD =3k ,DP =2k , ∴OP =k2+k2=13k ,∴OB =213-13k . ∵AE 、AD 为⊙O 的切线, ∴AE =AD =AP +PD =4+2k ,BE =10-(4+2k )=6-2k .在Rt △BOE 中,∵OB 2=BE 2+OE 2,∴(213-13k )2=(6-2k )2+(3k )2,解得k =47.故半径OD =3k =127.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填写在题中的横线上) 11.如图,过点P 作⊙O 的割线PBA 与切线PE ,E 为切点,连接AE ,BE ,∠APE 的平分线分别与AE 、BE 相交于点C ,D ,若∠AEB =30°,则∠PCE =________.解析:由题易得∠PEB =∠PAE ,又由三角形外角性质得∠PCE =∠CPA +∠PAE ,又△PEC 的内角和为2(∠CPA +∠PAE )+30°=180°,所以∠CPA +∠PAE =75°,即∠PCE =75°.答案:75°12.如图,已知P 是⊙O 外一点,PD 为⊙O 的切线,D 为切点,割线PEF 经过圆心O ,若PF =12,PD =43,则圆O 的半径长为________、∠EFD 的度数为________.解析:由切割线定理得,PD 2=PE ·PF ,∴PE =PD 2PF =16×312=4,EF =8,OD =4.∵OD ⊥PD ,OD =12PO ,∴∠P =30°,∠POD =60°, ∴∠EFD =30°.答案:4 30°13.如图,⊙O 中的弦AB 与直径CD 相交于P ,M 为DC 延长线上一点,MN 为⊙O 的切线,N 为切点,若AP =8,PB =6,PD =4,MC =6,则MN 的长为________.解析:由相交弦定理得:CP ·PD =AP ·PB ,CP =AP ·PB PD=12,又由切割线定理得:MN 2=MC ·MD =6×22,所以,MN =233.答案:23314.(重庆高考)如图,在△ABC 中,∠C =90°,∠A =60°,AB =20,过C 作△ABC 的外接圆的切线CD ,BD ⊥CD ,BD 与外接圆交于点E ,则DE 的长为________.解析:由题意得BC =AB ·sin 60°=103,由弦切角定理知∠BCD =∠A =60°,所以CD =53,BD =15,由切割线定理知,CD 2=DE ·BD ,则DE =5.答案:5三、解答题(本大题共4小题,共50分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分12分)如图,在⊙O 中,半径OA ⊥OB ,弦AC 交OB 于D ,E 是OB 延长线上一点,若∠OAD =30°,ED =CE .求证:EC 是⊙O 的切线. 证明:连接OC . 因为OA ⊥OB ,所以∠CAO +∠ADO =90°. 因为DE =CE ,所以∠ECD =∠EDC =∠ADO . 因为OA =OC , 所以∠ACO =∠CAO . 所以∠ECD +∠ACO =90°. 所以EC 是⊙O 的切线.16.(本小题满分12分)如图,已知AB 为⊙O 的弦,CD 切⊙O 于P ,AC ⊥CD 于C ,BD ⊥DC 于D ,PQ ⊥AB 于Q .求证:PQ 2=AC ·BD .证明:如图,连接PA 、PB , 因为CD 切⊙O 于P ,所以∠1=∠2.因为AC ⊥CD 于C ,PQ ⊥AB 于Q , 所以∠ACP =∠PQB =90°. 所以△ACP ∽△PQB . 所以AC ∶PQ =AP ∶PB . 同理,△BDP ∽△PQA , 所以PQ ∶BD =AP ∶PB .所以AC ∶PQ =PQ ∶BD ,即PQ 2=AC ·BD .17.(本小题满分12分)如图,已知AB 切⊙O 于B ,BC 是⊙O 的直径,AC 交⊙O 于D ,DE 是⊙O 的切线,CE ⊥DE 于E ,DE =3,CE =4,求AB 的长.解:因为CE ⊥DE 于E ,DE =3,CE =4, 所以CD =5.连接BD .因为DE 切⊙O 于点D ,所以∠EDC =∠DBC . 又因为BC 为⊙O 的直径, 所以∠BDC =90°. 所以Rt △BDC ∽Rt △DEC . 所以CD BC =CE CD =DE BD, 即5BC =45=3BD. 所以BC =254,BD =154.又因为AB 与⊙O 相切于点B , 所以AB ⊥BC . 所以AB BC =BD CD. 所以AB =7516.18.(本小题满分14分)如图,已知Rt △ABC ,∠ABC =90°,D 是AC的中点,⊙O 经过A ,B ,D 三点,CB 的延长线交⊙O 于点E ,过点E 作⊙O 的切线,交AC 的延长线于点F .在满足上述条件的情况下,当∠CAB 的大小变化时,图形也随着改变,但在这个变化过程中,有些线段总保持着相等的关系.(1)连接图中已标明字母的某两点,得到一条新线段与线段CE 相等,并说明理由; (2)若CF =CD ,求sin F 的值. 解:(1)连接AE ,则AE =CE .∵∠ABE =90°, ∴AE 为直径,连接DE . 则∠ADE =90°, 又AD =CD , ∴AE =CE . (2)设CF =x ,则FA =3x ,FD =2x ,AD =x . ∵FE 为⊙O 的切线, ∴AE ⊥EF .∴DE 2=AD ·DF =2x 2, 即DE =2x .FE 2=FD ·FA =2x ·3x =6x 2,即FE =6x . ∴sin F =ED FE=2x 6x=33.。