第3章：多自由度振动3

合集下载

第三章多自由度系统

例题
例题
再将初始条件（2）代入式，得
A1(1) 0,
1

2
,
A1(2) 1,
2

π 2
x1 (t) cos p2t cos3
kt m
(cm), x2 (t) cos p2t cos3
kt m
(cm)
这表明，由于初始位移之比等于该系统的第二振幅比，因此，系统按第二主振型以频率p2作谐振动。
将第一固有频率p1代入 x1 A1 sin( pt )

x2 A2 sin( pt )
normal mode 第一主振动
x11 x21

A11 A21
sin( sin(
p1t p1t

1 1
) )

第二主振动
x12 x22
解：系统的质量矩阵和刚度矩阵为
M

m

0
m0 ,
K

k1 k2

k2
k2 k2 k3

5k 4k
4k
5k

将M、K代入频率方程，得
p1
k, m
p2 3
k m
对应的两个主振型和振幅比为
1

A2(1) A1(1)
1,
2

A2(2) A1(2)
代入上式得到
1

2

2
(1)
(2)

1 2

0
因此得到双摆作自由振动的规律
位置的距离x1、x2为广义坐标，两物体沿x方向的受力如图示，它们的运动微分方程分别为

第三章(多自由度系统的振动)

x
x1 1
节点
x3 1
3 2
k m
x2 1
理解固有振型
理解固有振型
理解固有振型
返回
固有振型的正交性
1.固有振型的归一化
2 r 1 3 2 r 1 3
都是固有振型向量 ① 按某一自由度的幅值归一化
( K 2 M ) 0
1 1 1 2 1 1
有非零
det( K 2 M ) 0
1
k (1 2 )k , 2 m m
多自由度系统的固有振动
u1 k1 m1 k2 m2 u2 k3
固有振动：
k (1 2 ) k 1 1 u1 (t ) sin t 2 m t 1 , u2 (t ) 1 sin m 1
固有振型的正交性
加权正交性的简洁表示
T r M s 0, r s
M s M r , r s
T r
rT M s M r rs
rs
def
1, r s 0, r s
rT K s 0, r s
rT K s K r , r s
【问题】在已知固有频率求固有振型时,所得到的N个线性方程中有几个是独
立的?
( K r2 M ) r 0
结论: 当 r 不是特征方程的重根时,上述方程只有N-1个方程是独立的(见 <<振动力学>>刘延柱第74页).
多自由度系统的固有振动
【例】设图中二自由度系统的物理参为 m1 m2 m, k 1 k 3 k , k 2 k , 0 1 ,确定系统的固有振动.

(整理)第三章晶体子的热振动

第三章晶体中原子的热振动第一章、第二章中在讨论晶体的结合、固体中结合力性质以及相关物质性质（例第二章中的压缩系数或体弹性模量、抗张强度等）时曾忽略了晶体中原子热运动的影响（例当时考虑了T=0K 这种最简单的情况），认为固体中原子是处在平衡位置（即()()最小0,00r u rr u rr =∂∂=），这时整个晶体的势能最小，而实际上晶体中原子并非固定不动的，而是在其平衡位置附近或围绕其平衡位置作振动。

这种振动即本章所讨论的所谓热振动，在高于绝于零度以上的任何温度，这种运动都会发生，其振动频率大体在1012-1013次/S ，其振幅的数值决定于温度和晶体本身的性质，其振幅数量便大体为10-9cm 。

在较高温度下，振动原子通过偶然性的统计涨落，可获得高于平均能量的能量，当这种能量的大小足以摆脱周围原子束缚时，原子可离开其平衡位置而到达一个新的平衡位置，即产生扩散现象。

关于这方面的问题将在第四章中讨论。

本章讨论原子的热振动的情况，即在温度不太高时原子作微小振动的情况。

晶体中原子的热振动同晶体的许多重要宏观性质有关，例固体的比热、热膨胀、热传导等热学性质，电阻、超导电性等固体的电学性质，红外吸收与辐射等光学性质等。

所以，对晶体中原子热振动的研究和讨论是认识和了解固体中许多宏观性质、微观过程及其机理的重要基础。

本章只着重讨论其中的有关固体热学性质的部分，其它部分在本章最后的小结及后续章节、后续课程中可能有介绍（例电阻的产生机理、声子、电子运动等），因为热学性质是原子的振动在宏观性质上最直接的表现，对晶体原子振动的研究，最早是从热学性质开始的。

（在“统计热力学”中将讨论有关配分函数的处理及热力学函数的计算，本章中固体比热的计算，同上述内容有联系。

）§3.1晶体中原子的微振动及其量子化1．设晶体由N 个原子组成，它们相对于平衡位置的位移，分别用（x 1，x 2，x 3）、（x 4，x 5，x 6）……、（x 3N-2，x 3N-1，x 3N ）来表示，则其动能可表示为：∑=∙=Ni ii x m T 31221 （1）（)(212∙===x dt dx v mv T ）其中m i 是坐标为x 1的原子的质量。

振动力学(两自由度系统和多自由度系统)

两自由度是多自由度系统最简单的情况。
2
振动理论及应用
第3章多自由度系统的振动
3.1 两自由度系统的振动方程 ——刚度矩阵和质量矩阵
建立运动微分方程的方法和单自由度系统基本一样, 但难度更大。
3.1.1 运动微分方程
标准的m-k-c系统，对每一质量利用牛顿定律得：
3
振动理论及应用
坐标原点仍取在静平衡位置
具体求解时，只假设j坐标处的位移为1，其它各坐标的位移均为0。
7
振动理论及应用
5.2.3 惯性影响系数与质量矩阵
第3章多自由度系统的振动
质量矩阵[M]中的元素称为惯性（质量）影响系数，其 mij的力学意义是：仅在j坐标处产生单位广义加速度，需在i坐标处施加的广义力。
具体求解时，只假设j坐标处的加速度为1，其它各坐标的加速度均为0。
2
x1 5 kx1 5 kx2
V x2
2 5
kx1
1 5
kx2
26
振动理论及应用
第3章多自由度系统的振动
计算广义力，设只有x1处产生虚位移x1，则
Q1
cx1 x1 x1
cx1
同样设x2处产生虚位移x2，则
Q2
c 0
x2
0
代入拉格朗日方程即可。
27
振动理论及应用
第3章多自由度系统的振动
5l 3
48EI
k12
l3 3EI
k22
1
求出各个刚度系数即组成刚度矩阵[K]。
17
振动理论及应用
第3章多自由度系统的振动
用拉格朗日方程建立振动系统的运动微分方程
对于非标准的m-k-c多自由度振动系统，用传统的动力学方法建立运动微分方程比较困难，更适合使用拉格郎日方程和能量的方法。拉格郎日方程为：

3振动系统的运动微分方程

n
W ( j) Qj q j
若主动力为有势力，须将势能U表示为广义坐标的函数。
4. 建立拉氏方程并加以整理，得出n个二阶常微分方程。 5. 求出上述一组微分方程的积分。
Mechanical and Structural Vibration
3.2 拉格朗日运动方程例图示系统，摆的支点在水平方向受到弹性约束，其总刚度为 k ，摆的质量为 m ，摆长为 l 。试用拉格朗日方程求出系统的运动方程。解：（1）选择x及为广义坐标（2）动能及势能
拉格朗日方程
d T T V Q i d t q q q i i i
( i 1 , 2 , , n )
图刚体微幅运动
计算拉格朗日方程中各项导数
d T T m x ; 0 d t x x
Mechanical and Structural Vibration
第二类拉格朗日方程
L L 代入拉氏方程： d ( ) 0( j 1,2, , k ) d t q q j j
d L L ( ) 0 d t x x
例题
d L Ltural Vibration
第3章振动系统的运动微分方程
3.2 拉格朗日（Lagrange）运动方程
Mechanical and Structural Vibration
3.2 拉格朗日运动方程
3.2.3 完整的保守系统的拉格朗日运动方程
拉格朗日方程提供了解决有限自由度完整系统运动的一个普遍的简单而又统一的方法。
3.2 拉格朗日运动方程
d T T I ; 0 O d t
V k ( x a ) a k ( x a ) a k ( y a ) a k ( y a ) a 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4

振动理论作业答案y-作业

小质量m的绝对速度为： 2 & & & & & & && va = x12 + y12 = 4R2θ 2 + x2 + 4x2θ 2 + 4Rxθ cos3θ −8Rxθ 2 sin3θ
3
第5章分析力学基础
习题
第5章分析力学基础
习题
r sinα = Rcos3θ 方法2： ΔOBA中 2 2 2 有：r = R + x − 2 Rx cos(90° − 3θ ) = R 2 + x 2 − 2 Rx sin 3θ 小质量m的绝对速度
ω
2 2
2+ 2 k = J 2
ω
2 R
k = 3J
3k ω′ = 10 J
2 R
ω
2 1
2 1
k ≈ 4J
⎫ 2 θ2 )⎪ ⎪ 2 ⎬ 2 θ2 )⎪ ⎪ 2 ⎭
方法1：广义坐标、频率和主振型都与题3－3相同。待定常数由初始角速度为零，初始转角为[0, 0.01]T，代入下式得到。（ ω 不等于 ω1和 ω2）
1 ⎤ ⎧ A1 cos (ω1t − ϕ1 ) ⎫ ⎧θ1 ⎫ ⎡ 1 ⎨ ⎬=⎢ ⎬ ⎥⎨ ⎩θ 2 ⎭ ⎣ 2 − 2 ⎦ ⎩ A2 cos (ω 2t − ϕ 2 )⎭
+
kT sin ω t ⎧ ⎫ 1 ⎬ 2 2 2 ⎨ 2 J ω − 4 Jk ω + k ⎩ ( 2 k − 2 J ω )T sin ω t ⎭
习题
⎧1 ⎪ (θ1 + θ ⎪2 1 ⎤ ⎧ y1 ⎫ −1 ⎧ 1 ⎫ 1 ⎤ 1 ⎡ 1 ⎡1 ⎨ ⎬ = [u ] ⎨ ⎬ = ⎨ [u ] = [u] = ⎢ ⎢ ⎥ ⎩θ 2 ⎭ ⎪ 1 2 J ⎣ 2 − 2 ⎦ ⎩ y2 ⎭ 2 − 2⎥ ⎣ ⎦ ⎪ 2 (θ1 − ⎩

第三章-多自由度系统振动6.19

第三章多自由度系统振动多自由度系统和单自由度系统的振动特性是有区别的。

单自由度系统受初始扰动后，按系统的固有频率作简谐振动。

多自由度系统有多个固有频率，当系统按某一个固有频率作自由振动时，各独立坐标在振动过程中相互关系是固定的，这个关系叫振幅比，也叫作主振型或模态。

主振型是多自由度系统以及弹性体振动的重要特征。

多自由度系统的振动方程是多个二阶微分方程组，这些方程一般是耦合的。

多自由度振动的求解有两种方法：直接积分法和振型叠加法。

直接积分法可直接根据微分方程求出响应，涉及的概念不多且有应用软件，本章不做介绍。

振形叠加法要先求出系统的固有频率和振型，在此基础用叠加法求响应，物理概念清楚、并且是模态分析与参数识别的理论基础。

因此本章将先用较多的篇幅介绍多自由度系统的固有振动特性、振型叠加法和传递函数。

3.1 振动微分方程虽然一些多自由度系统数目较多，有些相当复杂，但建立多自由度系统振动微分方程并没有新理论和方法，都是动力学基本理论和方法，本节只通过例题介绍多自由度系统振动微分方程基本形式。

[例一] 试建立图3-1所示3自由度系统的运动微分方程。

三个质量只作水平方向的运动，并分别受到激振力()t P 1，()t P 2和()t P 3的作用，质量块的质量分别为1m ，2m 和3m ，弹簧刚度分别为1k ，2k 3k 和4k ，阻尼分别为1c ，2c 3c 和4c 。

图3-1 3自由度系统解：分别用三个独立坐标1x ，2x 和3x 描述三个质量块的运动，坐标原点分别取在1m ，2m 和3m 的静平衡位置。

质量块的速度分别为1x，2x 和3x ，加速度分别为1x，2x 和3x 。

每个质量块的受力图如3-2（a 、b 、c ）所示，则由受力图根据牛顿第二定律，得系统的运动方程为：图3-2 (a) 图3-2(b)图3-2(c))()()(1212112121111t P x x c x c x x k x k xm +------= )()()()()(232321232321222t P x x c x x c x x k x x k x m +---+---= )()()(3343233432333t P x c x x c x k x x k xm +--+--= 或)()()(1221212212111t P x k x k k x c x c c xm =-++-++ )()()(23323212332321222t P x k x k k x k x c x c c x c x m =-++--++- )()()(3343233432333t P x k k x k x c c x c xm =++-++- 上述方程组可以用矩阵表示为：⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--+--++⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--+--++⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡)()()(000032132143333222213214333322221321321t P t P t P x x x k k k k k k k k k k x x x c c c c c c c c c c x x x m m m三个二阶微分方程是耦合的，这是因为矩阵中有非零的非对角元素。

第三章两自由度系统的振动

设两质量块振动时按同频率和同相位作简谐振动，即：令
一组解x1 A1 sin( t )、x2 A2 sin( t )，代入方程后得： [(a 2 ) A1 bA2 ]sin( t ) 0 [cA1 (d 2 )A2 ]sin( t ) 0
(a 2 ) A1 bA2 0
cA1
(d
一阶主振型。
例
练习1 如图，推导系统的频率方程并求主振型。设滑轮为均质圆盘，其质量为m2，质量块质量为m1，弹簧刚度分别为K1和K2，并假定滑轮与绳索间无相对滑动。
解：选取广义坐标为（），
取静x,平衡位置作为坐标原点，
进行受力分析，建立系统的运动微分方程：
m1x K1(x r) I0 K1(x r)r K2r 2
1) 当作用于系统的主动力都是有势力时（系统没有能
量损失时），则系统具有势能U（q1,q2,···,qn)，广义力
为
Qj
U q j
( j 1, 2, , n)
代入方程得： d ( T ) T U 0 dt qj q j q j
( j 1, 2, , n)
或
d ( L ) L 0 ( j 1, 2, , n)
m1l 21 (m1gl Ka2 )1 Ka22 0 m2l 22 Ka21 (m2gl Ka2 )2 0
1 2
K2 (u2 u1)2
u1
u2
代入拉氏方程，得系统的微分方程
(m1
m2 2
)u1
m2 2
u2
(K1
K2 )u1
K2u2
0
m2 2
u1
3u2 2
u2
K 2u1
K2u2
0
m1

多自由度系统振动理论及应用

多自由度系统的作用力方程
对一些较简单的问题,用牛顿定律来建立振动微分方程是简便的.
图４-１所示为无阻尼三自由度弹簧质量系统,可参照二自由度系统的方
法,写出其微分方程:

下一页
返回
４.１
多自由度系统的振动微分方程

或更一般地写成

该式可简单地写成

式(４-２)称为用矩阵符号表示的作用力方程,它可以代表许多种运动方程
种心灵的孤独。
2. 与个别人难以相处
一些学生能够与多数人保持良好的关系,但与个别人交往
不良。因此 ,常会影响情绪 ,如鲠在喉。
上一页下一页
返回
任务一了解自己与人交往的现状

3. 与他人交往平淡

一些学生虽然能与他人交往,但多属点头之交,没有关系
人际关系新起点
1
任务一了解自己与人交往的现状
2
任务二调整不良交际心态
任务一了解自己与人交往的现状

任务提出 :了解自己与人交往的现状。
任务目标 :了解自己与人交往的现状 ,激发学习热情 ,明确努
力方向。
喜欢独来独往。

(3) 嫉妒心理。部分大学生不能正确对待别人的长处和优
点,看到别人冒尖心里嫉妒,对比自己水平高的同学采取
讽刺、挖苦、打击、嘲笑等不当方式 ,给别人造成伤害 ,严
重影响了同学之间的沟通。
上一页

结构动力学-多自由度系统振动

k 2k
y1 y2
0 0
m
M
0
0
k
m, K k
k
2k
解：①由频率方程求固有频率
K 2M 0 k m2
k 0
k 2k m2
展开上式得：(k m2 )(2k m2 ) k 2 0
2 1, 2
3k m
9k 2m2 4k 2m2 2m2
1 0.62
k, m
2 1.62
M20 0
M 21
y2 0
M1y1
M11
列力平衡方程为：M11 M1y1 0 M11 M1 M 21 0, M 31 0
同样的分析可以求得：M12 0, M 22 M 2 , M 23 0; M13 0, M 23 0, M 33 M 3;
所以，得到质量矩阵为： M1 0 0
k2
k3
P
p1 (t) p2 (t)
二、柔度矩阵法用柔度矩阵法或者刚度矩阵建立方程本质上也是基于力的动平衡来建立方程，关键在于求柔度系数或刚度系数。
例题 3-2 梁的跨长为 l ,梁上有两个集中质量 M1 和 M 2 ，分别受到集中力 p1 (t) 和 p2 (t) 的作用。不计梁自身的质量和阻尼，建立系统的垂向振动方程.
上面的方程为惯性解耦，刚度耦合方程。
kij 的物理意义：j 坐标发生单位位移，其余坐标位移全部为
零时, i 坐标引起的恢复力。
mij 的物理意义：仅在 j 坐标发生单位加速度时,在第 i 坐标所产生的惯性力.
用柔度矩阵法建立的一般方程：
Y (P MY)
两边同乘以 1
1Y 1(P MY)
例题:针对下图给出的系统，建立振动微分方程。

第三章多自由度系统振动

U = U ( q1 , q2 ,..., qn )
通常将静平衡位置作为势能零点，并且以静平衡通常将静平衡位置作为势能零点，位置为坐标原点。位置为坐标原点。我们研究的是在静平衡位置附近的微振动，近的微振动，则将 U 在静平衡位置作泰勒展开有
∂U U = U0 + ∑ i =1 ∂qi
0
q
对应的广义力，阻尼力，耗散力。对应的广义力，阻尼力，耗散力。系统的第 k 个质点受到的阻尼力
& Rk = − β k ⋅ rk
与势能形式上对应存在一个耗散函数
m n 1 ∂rk dqi n ∂rk dq j 1 & & Φ = ∑ β k ⋅ rk ⋅ rk = ∑ β k ⋅ ∑ ⋅ ⋅∑ ⋅ dt j =1 ∂q j dt k =1 2 k =1 2 i =1 ∂qi
kn 2 − mn 2ωi2 ) ⋅ ϕ 2i + ... + ( knn − mnnωi2 ) ⋅ ϕ ni = ( mn1ωi2 − kn1 ) ϕ1i (
n − 1 个方程，n − 1 未知数，个方程，未知数，最终可求出 ϕ2i ,..., ϕni 用 ϕ1i
表示，其余都与其成一定比例。表示，其余都与其成一定比例。与其成一定比例
系统的能量等于各阶主振动的能量之和不同阶之间能量不发生变换每一阶主振动的动能和势能在内部交换总和保持常数34多自由度系统的受迫振动mxcxkx1特征值分析求出无阻尼的各阶固有频率和各阶主振型2模态叠加方法分解解耦期望阻尼阵也和mk一样具有正交性即如果这样就可以使用模态叠加法进行解耦分析求解
结构动力学
1 n n ∂ 2U U = ∑∑ 0 qi q j 2 i =1 j =1 ∂qi ∂q j ，令

力学中的弹簧振动与弹簧振子分析

弹簧振动技术
弹簧振动在航空航天中的应用
01、
航空航天技术中的重要性
飞行器性能
安全性
02、振动控制对飞行器性能的影响
振动优化系统稳定性
03、
提高系统稳定性的方法
振动监测
技术创新
04、
弹簧振动的未来发展趋势
弹簧振动理论在科技发展中具有广阔前景，未来的研究将聚焦于创新和应用前景。弹簧振动的持续发展将为各行业带来更多机遇和挑战。
02 生活质量
提高生产效率、改善环境舒适度
03 科技发展
推动科技创新、促进产业升级
弹簧振动的社会影响
01、
应用领域
汽车工程中的悬架系统优化建筑设计中的结构抗震分析
航空航天中的振动控制技术
02、
生活质量
降低机械设备振动噪音，提高环境舒适度
提高生产效率，促进社会经济发展
03、
科技发展
引领智能制造和工业4.0发展
研究成果总结
01 理论探索
深入剖析弹簧振动规律
02 实验验证
通过实验数据验证理论模型
03 应用拓展
探索弹簧振动在工程领域中的应用
研究成果总结
01、
理论探索
从弹簧振动基本方程出发，推导出振动频率和振幅的计算公式
探究材料特性对弹簧振动特性的影响
02、
实验验证
设计实验方案，测量不同弹簧参数下的振动频率
第八章参考文献
参考文献列表
弹簧振动理论经典文献
探讨弹簧振动基本原理
文献来源重要性
引用文献的权威性和可靠性
资料参考价值
为进一步研究提供参考
研究成果汇总
总结弹簧振动领域成果

固体物理(第3章)讲解

2
—— 每一个原子运动方程类似 —— 方程的数目和原子数相同
§ 3-2简谐近似和简正坐标一维单原子链 —— —— 晶格振动与晶体的热学性质 § 3-1 晶格振动与晶体的热学性质
方程解和振动频率设方程组的解 naq — 第n个原子振动相位因子
得到应用三角公式
4 2 aq sin ( ) m 2
—— 常数
—— 平衡条件
§ 3-2简谐近似和简正坐标一维单原子链 —— —— 晶格振动与晶体的热学性质 § 3-1 晶格振动与晶体的热学性质
dv 1 d v v (a ) v (a ) ( )a ( 2 )a 2 High items dr 2 dr
简谐近似 —— 振动很微弱，势能展式中只保留到二阶项
2 1 2 2 任意一个简正坐标 [ 2 i Qi ] (Qi ) i (Qi ) 2 2 Qi
1 能量本征值 i ( ni ) i 2
本征态函数
—— 谐振子方程
n (Qi )
i
i

exp(

2
2
) H ni ( )
— 厄密多项式
§3-1 简谐近似和简正坐标 ——
格波波矢的取值和布里渊区相邻原子相位差格波1的波矢
—— 原子的振动状态相同
相邻原子相位差
§ 3-2简谐近似和简正坐标一维单原子链 —— —— 晶格振动与晶体的热学性质 § 3-1 晶格振动与晶体的热学性质
格波格波2的波矢
aq1 / 2
相邻原子的位相差
—— 两种波矢q1和q2的格波中，原子的振动完全相同
原子位移宗量
N个原子的位移矢量 —— 体系的势能函数在平衡位置按泰勒级数展开

两自由度系统的振动

第3章两自由度系统的振动
振动理论与应用
Theory of Vibration with Applications Theory of Vibration with Applications
制作与设计贾启芬
返回总目录
第3章两自由度系统的振动
目录
3.1 两自由度系统的自由振动 3.2 拍振 3.3 坐标的耦联 3.4 两自由度系统的受迫振动
返回首页
3.1 两自由度系统的自由振动
例题
x m 0 &&1 2k 0 2m && + − k x2
m 0 质量矩阵 M = 0 2m
− k x1 0 x = 0 2k 2
自由振动微分方程
Theory of Vibration with Applications
返回首页
3.1 两自由度系统的自由振动
3.1.1 运动微分方程
m1 0
&& 0 x1 k 1 + k 2 x + − k m2 &&2 2
k 12 k 22
x1(2 ) = A1(2 ) sin( p2t + α 2 ) (2 ) (2 ) x2 = A2 sin( p2t + α 2 )
( A21) a − p12 c ν1 = (1) = = A1 b d − p12
第二主振动 the ratio of the amplitudes 振幅比
2 p1, 2
a+d a+d = m − (ad − bc) 2 2
2
a+d a−d = m + bc 2 2

多自由度(线性)阻尼系统振动讲义

第3章多自由度线性系统的振动 3. 1 振动微分方程 3 多自由度线性系统的振动
例3.2 建立三自由度系统的振动微分方程
柔度系数：单位外力所引起的系统位移，定义系统第j个坐标上作用的单位力在第i个广义坐标上所引起的位移为柔度系数 h 。 ij
三自由度系统
在质量m 上施加单位力，质量m 、 m 和m 的位移： x =1/k ， x =1/k ， 1 1 2 3 1 1 2 1 x =1/k ，即h = h = k = 1/k ； 3 1 11 21 31 1 在质量m 上施加单位力，质量m 、 m 和m 的位移： x =1/k ， 2 1 2 3 1 1 x =1/k +1/k ， x = 1/k +1/k ，即柔度系数h = 1/k ， h = k = 1/k +1/k ，； 2 1 2 3 1 2 12 1 22 32 1 2 在质量m 上施加单位力，质量m 、 m 和m 的位移： x =1/k ， 3 1 2 3 1 1 x =1/k +1/k ， x =1/k +1/k +1/k 。即柔度系数x =1/k ， x =1/k +1/k ， x = 2 1 2 3 1 2 3 1 1 2 1 2 3 1/k +1/k +1/k 。 1 2 é1 3 ù 1 1 振动 ê k m x ü k k ú é 1 0 0 ùì &&1 ü ì x ü ì 0 1 1 1 1 ï ê ú ê 0 m 0 ú ï && ï +ï x ï =ï0 1 1 + 1 x ý í 2 ý í ý 微分 ê 1 k 1 k + k 2 ú í 2 úê k k 1 1 2 1 2 ï ï ï ï ï ï 1 + 1 1 +1 + 1 ú ê 0 0 m ú î&&3 þ îx þ î0 3 û x 3 ë þ 方程 ê 1 ê k k k k k k ú 1 2 1 2 3 û ë 1

建筑结构抗震第3章-2

k11y1 + k12 y2 = m &&1 1y
k21y1 + k22 y2 = m2 &&2 y
m m
2
y2 (t )
1
[m]{&&}+[k]{y} = {0} y
y = X1 sin( ωt +α) 设方程的特解为 1 y2 = X2 sin( ωt +α) k11X1 + k12 X2 mω2 X1 = 0 1
2.振型的正交性振型的正交性 i振型上的惯性力在振型上的惯性力在j 振型上的惯性力在振型上作的虚功
W = ω {X} [m]{X}i ij
2 i T j
2 j
m m 1 2
X1i
mN
XNi
i振型振型
X2i
m2ω2 X2 j j mω X1 j 1
mNω2 XNj j
j振型上的惯性力振型上的惯性力 m m mN 1 2 在任一线性变形体系中, 在任一线性变形体系中,第一状态外力在第二状态 mωi2 X1i 1 2 X Nj X1 j 位移上所作的功等于第二状态外力在第一状态位移上所作 m ωi X2i 2 2 X2 j = ω j [m]{X}j 的功! 的功M ! j振型振型
T T
( j =1 2,Ln) ,
3.求广义坐标; 3.求广义坐标; 求广义坐标
& & Dj (t) + ω Dj (t) =
2 j
P*(t) j M
* j
Pj* (t )
M* j
D j (t )
K* j
( j =1 2,Ln) ,
4.按下式求位移: 4.按下式求位移: 按下式求位移

第三章多自由度系统

0.737 0 0.591 0 F (t ) 0.329
0 0 x 0.198 0.737F0 p1 k x 1 0.591F 0 1.555 0 p2 0 m m x 0 3.247 p3 0 0.329F0
0.328 0.591 1 T Fp (t ) F (t ) 0.737 0.328 m 0.591 0.737 0.737 F (t ) 1 0.591 F ( t ) m 0.329 F (t )
T
x 或者 x x
1
1 M Pi
p
p
5.将刚度矩阵和比例阻尼矩阵对角化。
K p
T
K ; C p C
T
将原坐标表示的广义激励变成正则坐标形式：经过上述变换得到正则坐标下的运动微分方程
(1) (2) (3)
i 1, 2,3
由于系统的阶跃激励属于任意激励，则方程（1）（2）（3）的特解可根据杜哈梅积分式得：
x pi 1
Hale Waihona Puke dit0
eii (t ) sin di (t )d Fpi
全解为：
x pi x pi x pi代入
d 1 2 n n , m 2 n k
可得：
0.737F0 1t 1t x e a sin t b cos t 1 e cos(1t 1 ) p 1 1 1 1 1 k 0.591F0 2t 2t x e a sin t b cos t 1 e cos(2t 2 ) 2 p2 2 2 2 k 0.329F0 3t 3t x e a sin t b cos t 1 e cos(3t 3 ) 3 3 3 3 p3 k

第三章两自由度系统振动

1α，小车与斜面之间摩擦力gk PT π2=，⎪⎭⎫ ⎝⎛+=α2sin 2k P h k P A2。

()2234mr a r k n +=ω 3．确定图2-3系统的固有频率。

()r R gn -=32ω图2-3第三章两自由度系统振动§3-1 概述单自由度系统的振动理论是振动理论的基础。

在实际工程问题中，还经常会遇到一些不能简化为单自由度系统的振动问题，因此有必要进一步研究多自由度系统的振动理论。

两自由度系统是最简单的多自由度系统。

从单自由度系统到两自由度系统，振动的性质和研究的方法有质的不同。

研究两自由度系统是分析和掌握多自由度系统振动特性的基础。

所谓两自由度系统是指要用两个独立坐标才能确定系统在振动过程中任何瞬时的几何位置的振动系统。

很多生产实际中的问题都可以简化为两自由度的振动系统。

例如，车床刀架系统（a ）、车床两顶尖间的工件系统（b ）、磨床主轴及砂轮架系统（c ）。

只要将这些系统中的主要结合面（或芯轴）视为弹簧（即只计弹性，忽略质量），将系统中的小刀架、工件、砂轮及砂轮架等视为集中质量，再忽略存在于系统中的阻尼，就可以把这些系统近似简化成图（d）所示的两自由度振动系统的动力学模型。

以图3.1（c）所示的磨床磨头系统为例分析，因为砂轮主轴安装在砂轮架内轴承上，可以近似地认为是刚性很好的，具有集中质量的砂轮主轴系统支承在弹性很好的轴承上，因此可以把它看成是支承在砂轮架内的一个弹簧——质量系统。

此外，砂轮架安装在砂轮进刀拖板上，如果把进刀拖板看成是静止不动的，而把砂轮架与进刀拖板的结合面看成是弹簧，把砂轮架看成是集中的质量，则砂轮架系统又近似地可以看成是支承在进刀拖板上的另一个弹簧——质量系统。

这样，磨头系统就可以近似地简化为图示的支承在进刀拖板上的两自由度系统。

在这一系统的动力学模型中，m1是砂轮架的质量，k1是砂轮架支承在进刀拖板上的静刚度，m2是砂轮及其主轴系统的质量，k2是砂轮主轴支承在砂轮架轴承上的静刚度。

第3章振动系统的运动微分方程题解

资料范本本资料为word版本，可以直接编辑和打印，感谢您的下载第3章振动系统的运动微分方程题解地点：__________________时间：__________________说明：本资料适用于约定双方经过谈判，协商而共同承认，共同遵守的责任与义务，仅供参考，文档可直接下载或修改，不需要的部分可直接删除，使用时请详细阅读内容习题题3-1图3-1 复摆重P，对质心的回转半径为，质心距转动轴的距离为a，复摆由水平位置无初速地释放，列写复摆的运动微分方程。

解:系统具有一个自由度，选复摆转角为广义坐标，原点及正方向如如题4-1图所示。

复摆在任意位置下，根据刚体绕定轴转动微分方程其中得到复摆运动微分方程为或3-2均质半圆柱体，质心为C，与圆心O1的距离为e，柱体半径为R，质量为m，对质心的回转半径为，在固定平面上作无滑动滚动，如题3-2图所示，列写该系统的运动微分方程。

题3-2图解：系统具有一个自由度，选为广义坐标。

半圆柱体在任意位置的动能为：用瞬心法求：故系统具有理想约束，重力的元功为应用动能定理的微分形式等式两边同除，，等式两边同除故微分方程为①若为小摆动，，并略去二阶以上微量，上述非线性微分方程可线性化，系统微摆动的微分方程为要点及讨论（1）本题也可以用平面运动微分方程求解。

系统的受力图与运动分析图如图（b）所示。

列写微分方程上述方程包含，，，，五个未知量，必须补充运动学关系才能求解。

建立质心坐标与广义坐标之间的关系，所以运动学方程式⑤⑥与方程②③④联立，消去未知约束力，，就可以得到与式①相同的系统运动微分方程。

因为在理想约束的情况下，未知约束力在动能定理的表达式中并不出现，所以用动能定理解决已知力求运动的问题更简便、直接。

（2）本题也可用机械能守恒定律求解。

系统的动能选半圆柱体中心O1所在平面为零势面，系统的势能由两边对时间求导数，即可得到与式①相同的运动微分方程。

3-3 均质杆AB，长l，质量为m，沿光滑墙面滑下，如题3-3图所示。

第3章：多自由度振动3

第三章 多自由度系统

第三章(多自由度系统的振动)

(整理)第三章晶体子的热振动

振动力学(两自由度系统和多自由度系统)

3振动系统的运动微分方程

振动理论作业答案y-作业

第三章-多自由度系统振动6.19

第三章 两自由度系统的振动

多自由度系统振动理论及应用

结构动力学-多自由度系统振动

第三章 多自由度系统振动

力学中的弹簧振动与弹簧振子分析

固体物理(第3章)讲解

两自由度系统的振动

多自由度(线性)阻尼系统振动讲义

建筑结构抗震第3章-2

第三章多自由度系统

第三章 两自由度系统振动

第3章 振动系统的运动微分方程题解

第三章多自由度系统

第三章两自由度系统的振动

第三章多自由度系统振动

第三章两自由度系统振动

第3章振动系统的运动微分方程题解