高考数学总复习基础知识第七章第二节两条直线的位置关系理

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高考数学一轮复习第七章第二讲两直线的位置关系课件

③应用两平行线间的距离公式要把两直线方程中 x，y 的系数分别化为相等.
【变式训练】 1.已知点 P(1，2)，则当点 P 到直线 2ax＋y－4＝0 的距离最大时，a＝( )
A.1B.－41Biblioteka 1 C.4D. 5
解析：因为直线恒过定点 A(0，4)，则当 PA 与直线垂直时，点 P 到直线的距离达到最大值，此时过点 P，A 的直线的斜率为
将点A(－1，2)的坐标代入动直线(m2＋2m＋3)x＋(1＋m－ m2)y＋3m2＋1＝0中，
(m2＋2m＋3)·(－1)＋(1＋m－m2)·2＋3m2＋1＝(3－1－2)m2 ＋(－2＋2)m＋2＋1－3＝0，
2.三个距离公式 (1)两点间的距离公式两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离： |P1P2|＝ (x1－x2)2＋(y1－y2)2. (2)点到直线的距离公式点 A(x0，y0)到直线 l：Ax＋By＋C＝0 的距离： d＝|Ax0＋A2B＋y0B＋2 C|.
(3)两条平行直线间的距离公式 l1：Ax＋By＋C＝0，l2：Ax＋By＋C′＝0(C≠C′)，l1 与 l2 间的距离：
|2k－k32＋＋k1＋2|＝|－4k－k25＋＋1k＋2|，即|3k－1|＝|－3k－3|，解得
k＝－13.所以直线 l 的方程为 y－2＝－13(x＋1)，即 x＋3y－5＝0. 当直线 l 的斜率不存在时，直线 l的方程x＝－1，也符合题意.
答案：x＋3y－5＝0 或 x＝－1
考点三对称问题
－2＝0互相垂直，∴(m－4)m＋m(m＋2)＝0，∴2m2－2m＝0，∴m
＝0 或 m＝1，∴“m＝1”是“直线 l1：(m－4)x＋my＋1＝0 与直线 l2：mx＋(m＋2)y－2＝0 互相垂直”的充分不必要条件.故选 A.

高三数学两直线的位置关系

行直线l1：x+y+1=0和l2：x+y+6=0截得的线段之长为5。求直线l的方程。y
A B
P
O
x
θ A1
B1
〖思维点拨〗；要求直线方程只要有：点和斜
率（可有倾斜角算，也可以先找两点）。
备用题：
例5、已知A（0，3），B（-1，0），
C（3，0）求D点的坐标，使四边形ABCD
是等腰梯形。
A
D2
A2 B2
平行直线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0之间的
距离为
d C1 C2
A2 B2
1、与直线Ax+By+C=0平行的直线方程为 Ax+By+m=0
2、与直线Ax+By+C=0垂直的直线方程为 Bx-Ay+m=0
3、过直线l1：A1x+B1y+C1=0，l2： A2x+B2y+C2=0交点的直线系方程为： A1x+B1y+C1+λ（A2x+B2y+C2）=0（ λ∈R）(除l2外)。
l1与l2的夹角θ，θ∈ k1·k2≠-1）。
[0, 有] tanθ=|
2
k2 1 k1
kk|1（2
若点P（x0，y0）在直线Ax+By+C=0上，则有Ax0+By0+C=0；若点P（x0，y0）不在直线 Ax+By+C=0上，则有Ax0+By0+C≠0，此时点 P（x0，y0）到直线的距离： d Ax0 By0 C
〖思维点拨〗先讨论ｘ、ｙ系数为０的情况。
例2、(优化设计P105例1)等腰三角形一腰所

两直线的位置关系课件

平行线的性质
01
02
03
性质1
平行线之间的距离处处相等。
性质2
两条平行线被一条横截线所截，同位角相等，内错角相等。
性质3
平行线的交替内角相等，即交替内角和为180度。
平行线的判定方法
判定方法1
同一平面内，如果两条直线被第三条直线所截，同位角相等或内错角相等，则这两条直线平行。
判定方法2
两直线的位置关系课件
目录
Contents
• 两直线的位置关系概述 • 两直线平行 • 两直线垂直 • 两直线相交 • 两直线异面
01 两直线的位置关系概述
定义与分类
分类
平行、相交、重合。
相交
两直线在同一平面内，有一个公共点。
定义
两直线位置关系是指两条直线在同一平面内的相对位置。
平行
两直线在同一平面内，没有公共点。
判定方法3
如果一条直线与另一条直线的斜率的乘积为-1，则这两条直线互相垂直。
04 两直线相交
相交线的定义
相交线
两条直线在同一平面内只有一个公共点，则称这两条直线为相交线。
分类
根据相交的角度，相交线可以分为垂直相交和平行相交。
相交线的性质
唯一公共点
两条相交线只有一个公共点，即交点。
垂直性质
如果两条直线垂直相交，则它们的斜率互为负倒数。
垂直线的性质
性质1
垂直线上的任意一点到另一条直线的距离都相等，且等于两条直
线之间的距离。
性质2
两条垂直线之间的夹角为90度。
性质3
两条垂直线之间的线段是互相平分的。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
垂直线的判定方法

1.两条直线的位置关系(基础)知识讲解

两条直线的位置关系（基础）知识讲解【要点梳理】要点一、同一平面内两条直线的位置关系同一平面内，两条直线的位置关系:相交和平行．(1）平行线:在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.两直线平行，用符号“∥”表示. 如下图，两条直线互相平行，记作ＡB∥CＤ或a∥b.(2)互相重合的直线通常看做一条直线，两条线段或射线平行是指它们所在的直线平行. （3）相交线：若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线，这个公共点叫做交点.两条直线相交只有一个交点.一组相交线产生两对对顶角。

即∠1和∠3是对顶角，∠2和∠4是对顶角。

∠１和∠２，∠２和∠3，,３和∠４,∠4和∠１是邻补角要点二、对顶角、补角、余角1.余角与补角(1)定义:如果两个角的和是180°,那么这两个角互为补角,简称互补,其中一个角叫做另一个角的补角．类似地，如果两个角的和是90°，那么这两个角互为余角.简称互余,其中一个角叫做另一个角的余角．(２）性质:同角(等角）的余角相等．同角(等角）的补角相等．要点诠释：(1）互余互补指的是两个角的数量关系,而与它们的位置无关．(2)一个锐角的补角比它的余角大９0°．2.对顶角、同位角、内错角、同旁内角的概念“三线八角”模型如图,直线AB、CD与直线EF相交(或者说两条直线AB、CD被第三条直线ＥF所截)，构成八个角，简称为“三线八角”,如图.(1)条直线AB,CD与同一条直线EF相交.(2)“三线八角”中的每个角是由截线与一条被截线相交而成．(3)∠1和∠３,∠2和∠4是对顶角；∠1和∠2，∠1和∠4互为邻补角；∠4和∠5是同旁内角;∠1和∠5是同位角；∠4和∠6是内错角(2)性质：对顶角相等.邻补角互补即和为180︒要点三、垂线1．垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就称这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫垂足.如图.要点诠释：⊥；(1)记法：直线a与b垂直,记作:a b直线ＡB和CＤ垂直于点O,记作：ＡB⊥ＣD于点O.(2) 垂直的定义具有二重性,既可以作垂直的判定,又可以作垂直的性质,即有:AOC∠=°判定90ＣD⊥AＢ.性质2.垂线的性质：（1)平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.(２)直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短．要点诠释:(1）性质(1)成立的前提是在“同一平面内”,“有”表示存在,“只有”表示唯一，“有且只有”说明了垂线的存在性和唯一性．(２）性质(2)是“垂线段最短．”实际上，连接直线外一点和直线上各点的线段有无数条,但只有一条最短，即垂线段最短．在实际问题中经常应用其“最短性”解决问题.4．点到直线的距离：定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．要点诠释:（1）点到直线的距离是垂线段的长度,是一个数量,不能说垂线段是距离;（2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度.类型一、两条直线的位置关系１.如图,在正方体中:（１)与线段AB平行的线段_______＿_；（2)与线段AB相交的线段_＿____；(3）与线段AB既不平行也不相交的线段____＿_.类型二、对顶角、补角、余角２.如图所示,直线AB、CD相交于点O，∠1＝6５°，求∠2、∠3、∠4的度数.举一反三:【变式】如图所示,两直线相交,已知∠ｌ与∠２的度数之比为3:２,求∠1与∠2的度数．类型三、垂线３．下列语句中,正确的有()①一条直线的垂线只有一条．②在同一平面内，过直线上一点有且仅有一条直线与已知直线垂直．③两直线相交,则交点叫垂足．④互相垂直的两条直线形成的四个角一定都是直角.A．0个 B.1个Ｃ．2个Ｄ．3个举一反三：【变式】直线l外有一点P，则点P到直线l的距离是( )．A.点P到直线l的垂线的长度.B．点P到直线l的垂线段．C.点P到直线l的垂线段的长度.D.点P到直线l的垂线.4. (山东济宁)如图所示,直线AＢ、ＣＤ相交于点O，EO⊥AＢ于点O,∠ＣOＥ=55°.则∠BOD的度数为().A.40°B．45°C．30°Ｄ.35°举一反三：【变式】如图, 直线ＡＢ和ＣD交于O点，OD平分∠ＢOF, OＥ⊥ＣD于点O, ∠ＡOＣ＝４0 ,则∠EOＦ＝＿＿_____．5. 如图所示，要把水渠中的水引到水池C,在渠岸AB的什么地方开沟，才能使沟最短?画出图来,并说明原因．。

高中数学课件-第2讲两条直线的位置关系

第2讲　两条直线的位置关系1.能根据斜率判定两条直线的平行或垂直.2.能用解方程组考试要求的方法求两条直线的交点坐标. 3.掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.01聚焦必备知识1.两条直线的位置关系知识梳理(1)当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.拓展(2)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2.3.三种距离公式(1)两点间的距离公式平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|＝ __________________________.(2)点到直线的距离公式点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝______________.(3)两平行直线间的距离公式两条平行直线A x＋B y＋C1＝0与A x＋B y＋C2＝0间的距离d＝________________.1.与直线Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)垂直或平行的直线方程可设为：(1)垂直：Bx －Ay ＋m ＝0；(2)平行：Ax ＋By ＋n ＝0(n ≠C ).2.有关对称点的结论常用结论点关于点、线对称点(x ，y )(a ，b )(2a －x ，2b －y )x ＝a(2a －x ，y )y ＝x(y ，x )x ＋y ＝k(k －y ，k －x )x －y ＝k (k ＋y ，x －k )夯基诊断××√√2.回源教材(1)与直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线的方程为________.答案：3x ＋4y ＋5＝0设所求对称直线的点的坐标(x ，y )，关于x 轴的对称点的坐标(x ，－y )在已知的直线上，所以所求对称直线方程为3x ＋4y ＋5＝0.(2)已知直线l 过点(0，3)，且与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则l 的方程是________.答案：x －y ＋3＝0由题意，设直线l 的方程为x －y ＋a ＝0，又过点(0，3)，则0－3＋a ＝0，得a ＝3，故直线l 的方程为x －y ＋3＝0.(3)两条平行直线l1：2x＋3y－8＝0，l2：2x＋3y－10＝0之间的距离为________.02突破核心命题例1　(1)(2024·合肥质检)若l 1：3x －my －1＝0与l 2：3(m ＋2)x －3y ＋1＝0是两条不同的直线，则“m ＝1”是“l 1∥l 2”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件考点一两条直线的平行与垂直CC　若l1∥l2，则3×(－3)＝－m×3(m＋2)，解得m＝1或m＝－3，而当m＝－3时，l1，l2重合，故舍去，则“m＝1”是“l1∥l2”的充要条件.(2)(2024·宿迁调研)若直线l 1：ax ＋2ay ＋1＝0与直线l 2：(a －1)x －(a ＋1)y －1＝0垂直，则a 的值为( )A.0B.－1C.－2D.－3D D　因为直线l 1：ax ＋2ay ＋1＝0与直线l 2：(a －1)x －(a ＋1)y －1＝0垂直，所以a (a －1)－2a (a ＋1)＝0，解得a ＝0或a ＝－3.当a ＝0时，直线l 1不存在，故舍去；当a ＝－3时，满足题意.故选D.判断两条直线位置关系的注意点(1)斜率不存在的特殊情况.(2)可直接利用直线方程系数间的关系得出结论.反思感悟训练1　(1)已知直线l 1：(k －3)x ＋(4－k )y ＋1＝0与l 2：2(k －3)x －2y ＋3＝0平行，则k 的值是( )A.1或3B.1或5C.3或5D.1或2C(2)已知a 2－3a ＋2＝0，则直线l 1：ax ＋(3－a )y －a ＝0和直线l 2：(6－2a )x ＋(3a －5)y －4＋a ＝0的位置关系为( )A.垂直或平行B.垂直或相交C.平行或相交 D.垂直或重合D例2　(1)两条平行直线2x －y ＋3＝0和ax －3y ＋4＝0间的距离为d ，则a ，d 分别为( )考点二两条直线的交点与距离问题D(2)(2024·广州调研)直线l经过原点，且经过两条直线2x＋3y＋8＝0，x －y－1＝0的交点，则直线l的方程为________.法二：设所求直线l的方程为2x＋3y＋8＋λ(x－y－1)＝0(λ∈R)，因为直线l经过原点，所以2×0＋3×0＋8＋λ(0－0－1)＝0，解得λ＝8.所以直线l的方程为2x－y＝0.答案：2x－y＝01.求过两直线交点的直线方程的方法：先求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.2.利用距离公式应注意：(1)点P (x 0，y 0)到直线x ＝a 的距离d ＝|x 0－a |，到直线y ＝b 的距离d ＝|y 0－b |；(2)两平行线间的距离公式要把两直线方程中x ，y 的系数化为相等.反思感悟(2)已知直线经过点(1，2)，并且与点(2，3)和(0，－5)的距离相等，则此直线的方程为________.此时直线方程为4x－y－2＝0.若所求直线的斜率不存在，则直线方程为x＝1，满足题设条件.故所求直线的方程为4x－y－2＝0或x＝1.答案：4x－y－2＝0或x＝1考点三　对称问题考向 1　中心对称例3　过点P(0，1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y ＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l 的方程为________.设l1与l的交点为A(a，8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a，2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4，0)在直线l上，所以直线l的方程为x＋4y－4＝0.答案：x＋4y－4＝0例4　如图，一束平行光线从原点O(0，0)出发，经过直线l：8x＋6y＝25反射后通过点P(－4，3)，则反射光线所在的直线的方程为________.2轴对称因为反射光线所在的直线过点A(4，3)，且反射光线过点P(－4，3)，点A和点P的纵坐标相等，所以反射光线所在直线的方程为y＝3.答案：y＝3对称问题的求解策略(1)解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解.(2)中心对称问题可以利用中点坐标公式解题，两点轴对称问题可以利用垂直和中点两个条件列方程组解题.训练3　已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2).求：(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；(3)直线l关于点A对称的直线l′的方程.(3)法一：在l：2x－3y＋1＝0上任取两点，如P(1，1)，N(4，3)，则P，N关于点A的对称点P′，N′均在直线l′上.易知P′(－3，－5)，N′(－6，－7)，由两点式可得l′的方程为2x－3y－9＝0.法二：设Q(x，y)为l′上任意一点，则Q(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为Q′(－2－x，－4－y).∵Q′在直线l上，∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，即直线l′的方程为2x－3y－9＝0.03限时规范训练(五十八)A级　基础落实练A1.两条直线l1：x＝2和l2：3x＋2y－12＝0的交点坐标是( )A.(2，3)B.(－2，3)C.(3，－2)D.(－3，2)2.已知直线l1经过点A(2，a－1)，B(a，4)，且与直线l2：2x＋y－3＝0C平行，则a等于( )A.－2B.2C.－1D.13.过点P(4，－1)且与直线3x－4y＋6＝0垂直的直线方程是( )A A.4x＋3y－13＝0 B.4x－3y－19＝0C.3x－4y－16＝0D.3x＋4y－8＝0A5.(2024·绍兴调研)平面直角坐标系中与直线y＝2x＋1关于点(1，1)对D称的直线方程是( )A.y＝2x－1B.y＝－2x＋1C.y＝－2x＋3D.y＝2x－36.在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在的直线方程分别为x －2y＋1＝0和x－2y＋3＝0，另一组对边所在的直线方程分别为3x＋4y＋c1＝0和3x＋4y＋c2＝0，则|c1－c2|等于( )B7.(多选)设直线l1：y＝px＋q，l2：y＝kx＋b，则下列说法正确的是(　BC　)A.直线l1或l2可以表示平面直角坐标系内任意一条直线B.l1与l2至多有无穷多个交点C.l1∥l2的充要条件是p＝k且q≠bD.记l1与l2的交点为M，则y－px－q＋λ(y－kx－b)＝0可表示过点M的所有直线BC　对于A，当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝m(m为直线与x 轴交点的横坐标)，此时直线l1或l2的方程无法表示，故A错误；对于B，当p＝k且q＝b时，两直线重合，此时两直线有无穷多个交点，故B正确；对于C，当p＝k且q≠b时，l1∥l2，故C正确；对于D，记l1与l2的交点为M，则M的坐标满足l1：y＝px＋q且满足l2：y＝kx＋b，则y－px－q＋λ(y－kx－b)＝0不表示过点M的直线l2，故D错误.A A.2 B.－2C.3D.－3。

两直线间的位置关系概念

两直线间的位置关系概念在几何学中，直线是无限延伸的一维几何对象，由无数个点组成。

直线与其他直线之间可以有不同的位置关系，例如相交、平行、重合等。

下面将详细介绍直线间的各种位置关系概念。

1. 相交：两条直线有一个交点，即两条直线在空间中的某个点相互重合。

相交的直线既可以是同一平面内的直线，也可以是不同平面的直线。

2. 平行：两条直线在同一平面内且不存在交点，即两条直线之间的距离在无限远。

平行的直线具有相同的斜率，但不一定具有相同的截距。

3. 重合：两条直线完全重合，即每一点都位于两条直线上。

重合的直线具有相同的方程。

此时，两条直线可以看作是同一条直线。

4. 相交于一点：两条不同直线在空间中有一个共同的交点，但除此之外没有其他交点。

相交于一点的直线可以是同一平面内的两条直线，也可以是不同平面的两条直线。

5. 相交于一条直线：两条直线在空间中有一个共同的交点，且还有其他交点。

相交于一条直线的直线可以是同一平面内的两条直线，也可以是不同平面的两条直线。

6. 垂直交叉：两条直线相互垂直地交叉在一起。

垂直交叉的直线具有截距为互为相反数的性质。

在平面几何中，垂直交叉的直线相当于平面中的两个正交坐标轴。

7. 夹角：直线与直线之间的夹角可以描述它们的位置关系。

夹角可以被划分为三类：锐角（小于90度）、钝角（大于90度）和直角（等于90度）。

8. 柱面：两条直线沿着同一方向无限延伸，在空间中绕着一个轴线旋转形成的曲面。

这些直线称为柱面的母线，轴线称为柱面的轴。

9. 平行于同一平面：三条或三条以上的直线在同一个平面内且不存在交点，即它们相互平行。

10. 共面：多条直线在同一个平面内。

共面的直线可能相互交叉、平行或重合。

11. 平行于不同平面：两组或两组以上的直线在空间中平行，并且每组直线都在不同的平面上。

12. 垂直于同一平面：三条或三条以上的直线与同一个平面相交，且相交点与平面上任意一点之间的连线垂直于该平面。

总之，直线间的位置关系概念涉及到相交、平行、重合、垂直交叉、夹角、共面等。

大纲版数学理科高考总复习7-2两条直线的位置关系

解：解法一：设直线 l 的方程为 y－2＝k(x＋1)，即 kx－y＋k＋2＝0. 由题意知|2k－k32＋＋k1＋2|＝|－4k－k25＋＋1k＋2|，即|3k－1|＝|－3k－3|，∴k＝－13. ∴直线 l 的方程为 y－2＝－13(x＋1)，即 x＋3y－5＝0. 当直线 l 的斜率不存在时，直线方程为 x＝－1，也符合题意．
• y＝(a＋2)x＋1⇔(a＋2)x－y＋1＝0.
• ∵两直线垂直，
• ∴a(x＋2)＋(－1)(－1)＝0.
• 题型一两条直线的位置关系
• 典例1 已知两直线l1：x＋m2y＋6＝0， l2：(m－2)x＋3my＋2m＝0，当m为何值合【 l当2：．时解mx＝】＝，20，l时1当与∴，mlll1＝21∥：：0lx2时＋(1，4)y相＋l1：交6＝x＋；0，6＝(l220：)，平3y＋行2；＝0(，3)重
• A．1或3
B．1或5
• C．3或5
D．1或2
• 解析：由2(k－3)(4－k)＋2(k－3)＝0，得k＝3或k＝5.
• 经检验，可知它们均满足题意．
• 答案：C
• 4．直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是( )
• A．x＋2y－1＝0 ＝0
B ． 2x ＋ y － 1
• C．2x＋y－3＝0 ＝0
由 PP′⊥l，可知 kPP′＝－32＝x0y＋0 5，而 PP′的中点 Q 的坐标为(x0－2 5，y20)， Q 点在 l 上，∴3·x0－2 5－2·y20＋7＝0.
由x0y＋0 5＝－32， 32x0－5－y0＋7＝0，
得xy00＝＝－－11317323，.
根据直线的两点式方程可得 l 的方程为：29x－2y＋33＝0.

2015届高考数学总复习第七章第二节两条直线的位置关系课时精练试题文(含解析)

1. (2013·开封模拟)直线2x －y －2＝0绕它与y 轴的交点逆时针旋转π2所得的直线方程是( )A ．－x ＋2y －4＝0B ．x ＋2y －4＝0C ．－x ＋2y ＋4＝0D ．x ＋2y ＋4＝0解析：直线2x －y －2＝0过点(0，－2)且斜率为2，此直线绕点(0，－2)，逆时针旋转π2所得直线的斜率为－12，故直线方程为y ＝－12x －2，即x ＋2y ＋4＝0. 答案：D2．两条平行直线4x －3y ＋m ＝0和8x －6y ＋n ＝0间的距离是( )A.⎪⎪⎪⎪⎪⎪m －n 2 B ．|m －n | C.|2m －n |10 D.|m －n |5解析：第一条直线方程为8x －6y ＋2m ＝0，由两平行直线间距离公式得d ＝|2m －n |82＋62＝|2m －n |10. 答案：C 3. (2013·山东济南3月模拟)直线l 1：kx ＋(1－k )y －3＝0和l 2：(k －1)x ＋(2k ＋3)y －2＝0互相垂直，则k ＝( )A ．－3或－1B ．3或1C ．－3或1D ．－1或3解析：若k ＝1，直线l 1：x ＝3，l 2：y ＝25满足两直线垂直；若k ≠1，直线l 1，l 2的斜率分别为k 1＝k k －1，k 2＝1－k2k ＋3，由k 1·k 2＝－1，得k ＝－3，综上知k ＝1或k ＝－3，故选C.答案：C4．(2012·哈尔滨模拟)若k ，－1，b 三个数成等差数列，则直线y ＝kx ＋b 必经过定点( )A ．(1，－2)B ．(1,2)C ．(－1,2)D ．(－1，－2)解析：因为k ，－1，b 三个数成等差数列，所以k ＋b ＝－2，即b ＝－k －2，于是直线方程可化为y ＝kx －k －2，即y ＋2＝k (x －1)，故直线必过定点(1，－2)．答案：A5．已知p ：直线l 1：x －y －1＝0与直线l 2：x ＋ay －2＝0平行，q ：a ＝－1，则p 是q 的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件答案：A 6．(2013·金华模拟)已知两点A (3,2)和B (－1,4)到直线mx ＋y ＋3＝0的距离相等，则m 的值为( )A ．0或－12 B.12或－6C ．－12或12D ．0或12解析：依题意得|3m ＋2＋3|m 2＋1＝|－m ＋4＋3|m 2＋1，所以|3m ＋5|＝|m －7|.所以3m ＋5＝m －7或3m ＋5＝7－m .所以m ＝－6或m ＝12.故应选B.答案：B7．过点P (－3,2)的两条直线m ，n 与x 轴围成直角三角形，若直线n 的方程为x ＋2y －1＝0，则围成的直角三角形的面积为( )A ．2或3B ．3或4C ．4或5D ．5或6解析：若m ⊥n ，依题意可得直线m 的方程为2x －y ＋8＝0，其在x 轴上的截距为－4，此时，直角三角形的斜边长为5，斜边上的高为2，所以面积为5；若m ⊥x 轴，则直线m 的方程为x ＝－3，此时三角形的两条直角边的长为2和4，所以面积为4.故选C.答案：C8．(2013·东北三省三校联考)直角坐标系中坐标原点O 关于直线l ：2x tan α＋y －1＝0的对称点为A (1,1)，则tan 2α的值为( )A ．－43 B.43 C ．1 D.45解析：线段OA 的中点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12在直线l ：2x tan α＋y －1＝0上，即tan α＋12－1＝0，所以tan α＝12，tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝11－14＝43. 答案：B9．△ABC 的两点A ，B 在直线l 1：2x －y ＋3＝0上，点C 在直线l 2：2x －y －1＝0上，若△ABC 的面积为2，则AB 边的长为__________．解析：∵l 1∥l 2，∴△ABC 的边AB 上的高为h ＝|3－－4＋1＝45，∴面积为12×45|AB |＝2，得|AB |＝ 5.答案： 510．(2013·石家庄质检)若函数y ＝ax ＋8与y ＝－12x ＋b 的图象关于直线y ＝x 对称，则a ＋b ＝____________.解析：直线y ＝ax ＋8关于y ＝x 对称的直线方程为x ＝ay ＋8，所以x ＝ay ＋8与y ＝－12x ＋b 为同一直线，故得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝4，所以a ＋b ＝2.答案：211. (2013·武汉学校月考)已知A 、B 两点分别在两条互相垂直的直线2x －y ＝0和x ＋ay ＝0上，且AB 线段的中点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，10a ，则线段AB 的长为____________．解析：由已知两直线互相垂直可得：2×1＋(－1)×a ＝0，解得a ＝2，∴线段AB 中点为P (0,5)，且AB 为直角三角形AOB 的斜边，因为直角三角形斜边的中线PO 的长为斜边AB 的一半，且|PO |＝5，故|AB |＝2|PO |＝10.答案：1012．已知直线l 1的倾斜角α1＝40°，直线l 1与l 2的交点为A (2,1)，把直线l 2绕点A 按逆时针方向旋转到和直线l 1重合时所转的最小正角为70°，则直线l 2的方程是________________．解析：设直线l 2的倾斜角为α2，如图可得，α2＝150°，所以直线l 2的斜率为k ＝tan 150°＝－33. 又直线l 2经过点A (2,1)，所以直线方程为y －1＝－33(x －2)，即x ＋3y －2－3＝0.答案：x ＋3y －2－3＝013．已知两条直线l 1：(3＋m )x ＋4y ＝5－3m ，l 2：2x ＋(5＋m )y ＝8.当m 分别为何值时，l 1与l 2：(1)相交？(2)平行？(3)垂直？解析：当m ＝－5时，显然，l 1与l 2相交；当m ≠－5时，易得两直线l 1和l 2的斜率分别为k 1＝－3＋m 4，k 2＝－25＋m ，它们在y 轴上的截距分别为b 1＝5－3m 4，b 2＝85＋m.(1)由k 1≠k 2，得－3＋m 4≠－25＋m，m ≠－7且m ≠－1.∴当m ≠－7且m ≠－1时，l 1与l 2相交．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝k 2，b 1≠b 2，得⎩⎪⎨⎪⎧－3＋m 4＝－25＋m，5－3m 4≠85＋m .解得m ＝－7.∴当m ＝－7时，l 1与l 2平行．(3)由k 1k 2＝－1，得⎝ ⎛⎭⎪⎫－3＋m 4·⎝ ⎛⎭⎪⎫－25＋m ＝－1，m ＝－133. ∴当m ＝－133时，l 1与l 2垂直．14．已知点P (2，－1)．(1)求过点P 且与原点距离为2的直线l 的方程；(2)求过点P 且与原点距离最大的直线l 的方程，最大距离是多少？解析：(1)①当l 的斜率k 不存在时显然成立，此时l 的方程为x ＝2. ②当l 的斜率k 存在时，设l ：y ＋1＝k (x －2)，即kx －y －2k －1＝0，由点到直线的距离公式得|－2k －1|1＋k2＝2，解得k ＝34，所以l ：3x －4y －10＝0.故所求l 的方程为x ＝2或3x －4y －10＝0.(2)数形结合可得，过点P 且与原点O 距离最大的直线是过点P 且与PO 垂直的直线．由l ⊥OP ，得k l k OP ＝－1，所以k l ＝－1k OP＝2.由直线方程的点斜式得直线l 的方程为y ＋1＝2(x －2)，即2x －y －5＝0，即直线2x －y －5＝0是过点P 且与原点O 距离最大的直线，最大距离为|－5|5＝ 5.15．已知两点A (2,3)，B (4,1)，直线l ：x ＋2y －2＝0，在直线l 上求一点P . (1)使|PA |＋|PB |最小； (2)使|PA |－|PB |最大．解析：(1)可判断A ，B 在直线l 的同侧，设A 点关于l 的对称点A 1的坐标为(x 1，y 1)．则有⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋22＋2×y 1＋32－2＝0，y 1－3x 1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－25，y 1＝－95.由两点式求得直线A 1B 的方程为y ＝711x －＋1，直线A 1B 与l 的交点可求得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫5625，－325.由平面几何知识可知|PA |＋|PB |最小．(2)由两点式求得直线AB的方程为y－1＝－(x－4)，即x＋y－5＝0. 直线AB与l的交点可求得P(8，－3)，它使|PA|－|PB|最大．。

两条直线的位置关系(高三数学第一轮复习)

方法规律小结：
1、数形结合是解析几何的突出特点，求解析几何问题时，应充分注意利用平面几何知识使解题过程简化 2、在判断两直线平行、垂直、重合时，要考虑两直线是否有斜率不存在的情况，以免丢解，数形结合是解决此类问题的一个好方法 3、解决中心对称问题要利用中点坐标公式，解决轴对称问题要利用中点和垂直 4、合理利用直线系方程可简化解题过程
5、直线ax+(1-a)y=3与直线、直线与直线(a-1)x+(2a+3)y=2 与直线互相垂直,则 . 互相垂直则a=
基础练习训练：基础练习训练：
6、已知点A(-1,0)和B(1,0),直线、已知点直线y=-2x+b与线和直线与线相交,则的取值范围是 ; 段AB相交则b的取值范围是相交直线y=kx-1与线段没交点则k的取值范围与线段AB没交点直线与线段没交点,则的取值范围是 . 7、点P(sinθ,cosθ)到直线、到直线x+y-2=0的距离的最 θ θ 到直线的距离的最小值是 ;最大值是最大值是 .
能力提高训练：能力提高训练：
1、三条直线x+y-1=0,x-ay+8=0,2x+3y-5=0共、三条直线共有两个不同的交点,则的值是 . 有两个不同的交点则a的值是 2、直线l经过点、直线经过点经过点(-1,1),则当点则当点(2,-1)与直线的与直线l的则当点与直线距离最远时,则直线则直线l的方程为 . 距离最远时则直线的方程为 3、直线2x+y-3=0关于点、直线关于点A(1,1)对称的直线方关于点对称的直线方 ) 程( A. 2x+y3+=0 C. 2x+y=0 B. 2x+y-3=0 D. 2x&系方程(2+m)x+(1-2m)y+(4-3m)=0 、设直线系方程 (1)求证不论为何实数值直线过定点求证不论m为何实数值求证不论为何实数值,直线过定点 (2)过这定点引一直线分别与x轴,y轴的负半过这定点引一直线l分别与轴轴的负半过这定点引一直线分别与轴交于A,B两点求△AOB的最小值及此时直两点,求轴交于两点的最小值及此时直的方程. 线 l的方程的方程

两条直线的位置关系ppt课件

解:(1)d= +(−) =.
(2)直线 3x=5 的一般形式为 3x-5=0
|×(−)−|
d= + =.
6
二、探究提高
【例1】 (1)过点P(2,-1)且平行于直线x-2y+3=0的直线方
程为 (
)
A.2x-y-5=0 B.2x+y-3=0
C.x-2y-4=0 D.x+2y=0
【小结】 (1)与直线 Ax+By+C=0 平行的直线的方程可设
为:Ax+By+C1=0;
(2)与直线 Ax+By+C=0 垂直的直线的方程可设为:Bx-Ay+C1=0.
8
【例3】求经过直线l1:x+4y-8=0与直线l2:4x-y-15=0的
交点,且与直线y=3x+4平行的直线l的方程.
分析:通过解方程组可以求出两条直线交点的坐标,再根
6.求 x 轴上到直线 x-y+1=0 的距离等于 2 的点的坐标.
解:设 x 轴上点 A(m,0),
由题意得
|+|
+(−)
=2
解得 m=-5 或 3
∴点 A 的坐标为(-5,0)或(3,0).
13
7.已知三条直线2x+ay+8=0,3x+4y=10,2y-x=10相交于
一点,求a.
分析:求两平行线之间的距离可以求一条直线上一点到另一
条直线的距离;求三角形的面积关键在于求它的高,它的高可以
用点到直线的距离公式求顶点到对边的距离.
【解】 (1)方法 1:在直线 2x-3y+8=0 上取一点 A(-4,0),利用点

高考数学总复习第七章第2讲两直线的位置关系课件理

(2)方法一：由直线l1的方程知，其斜率为－a2. 当a＝1时，直线l2的斜率不存在，l1与l2不垂直；当a≠1时，直线l2的斜率为－a－1 1.
由－a2·－a－1 1＝－1⇒a＝23. 故所求实数a的值为23. 方法二：直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0 垂直的等价条件是A1A2＋B1B2＝0.
解：(1)方法一：①当m＝0时，l1：x＋6＝0，l2：x＝0，l1 ∥l2；
②当m≠0时，l1：y＝－m12x－m62，l2：y＝2－ 3mmx－23.
由－m12＝2－ 3mm，且－m62≠－23，得m＝－1. 故所求实数m的值为0或－1. 方法二：直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0 平行的等价条件是A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0或A1C2－ A2C1≠0.由所给直线方程，得 1·3m－m2·(m－2)＝0，且1·2m－6·(m－2)≠0 ⇒m(m2－2m－3)＝0，且m≠3⇒m＝0或m＝－1. 故所求实数m的值为0或－1.
D．(0,3)
解析：由题意知，直线l2 的方程为y－1＝2(x＋1)，令x＝0，
得 y＝3，即点 P 的坐标为(0,3)．
考点 2 直线系中的过定点问题例 2：求证：不论 m 取什么实数，直线(m－1)x＋(2m－1)y ＝m－5 都通过一定点．
证明：方法一：取m＝1，得直线方程y＝－4；再取m＝12，得直线方程x＝9. 从而得两条直线的交点为(9，－4)．又当x＝9，y＝－4时，有9(m－1)＋(－4)(2m－1)＝m－5，即点(9，－4)在直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5上．故直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5都通过定点(9，－4)．

两条直线的位置关系知识点总结

两条直线的位置关系知识点总结关键信息项1、直线的斜率定义：＿___________________________计算方法：＿___________________________斜率不存在的情况：＿___________________________ 2、两条直线平行条件：＿___________________________斜率关系：＿___________________________特殊情况：＿___________________________3、两条直线垂直条件：＿___________________________斜率关系：＿___________________________证明方法：＿___________________________4、两条直线相交交点坐标的求解方法：＿___________________________夹角的计算：＿___________________________5、点到直线的距离公式公式：＿___________________________推导过程：＿___________________________6、两平行线间的距离公式公式：＿___________________________应用场景：＿___________________________11 直线的斜率直线的斜率是描述直线倾斜程度的一个重要概念。

它通常用字母$k$表示。

斜率的定义是直线上任意两点的纵坐标之差与横坐标之差的比值。

如果直线上有两点$（x_1,y_1)＄和$（x_2,y_2)＄，则斜率$k ＝＼frac{y_2 y_1}｛x_2 x_1}＄。

需要注意的是，当直线垂直于$x$轴时，斜率不存在。

111 斜率的计算方法计算斜率可以通过已知的直线上两点的坐标来进行。

此外，如果直线的方程为斜截式$y ＝ kx ＋ b$，其中$k$就是直线的斜率。

112 斜率不存在的情况当直线垂直于$x$轴时，即直线与$x$轴的夹角为$90^＼circ$，此时直线上任意两点的横坐标相同，横坐标之差为$0$，导致斜率不存在。

数学第一轮复习第七章平面解析几何第二节两条直线的位置关系ppt文档

设P(x0，y0)，对称中心为A(a，b)，则P关于A的对称点为P′(__2_a_－__x_0 _，__2_b_－__y0__)．
2．点关于直线成轴对称问题．
由轴对称定义知，对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线”．利用“垂直”、“平分”这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标．一般情形如下：
基础自测
1．(2012·江西师大附中开学考卷)“a=3”是“直线 ax+2y+2a=0和直线3x+(a-1)y-a+7=0平行”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：a＝3 代入，知直线 ax＋2y＋2a＝0 和直线 3x＋(a －1)y－a＋7＝0 平行．由直线 ax＋2y＋2a＝0 和 3x＋(a－1)y －a＋7＝0 平行，得a3＝a－2 1≠－2aa＋7，解得 a＝3 或 a＝－ 2.∴“a＝3”是“直线 ax＋2y＋2a＝0 和直线 3x＋(a－1)y－ a＋7＝0 平行”的充分不必要条件．故选 A.
4．两点关于点对称、两点关于直线对称的常见结论： (1)点(x，y)关于x轴的对称点为_(_x_，__－__y_) ； (2)点(x，y)关于y轴的对称点为_(－__x_，__y_)_； (3)点(x，y)关于原点的对称点为_(_－__x_，__－__y_)__； (4)点(x，y)关于直线x-y=0的对称点为_(_y_，__x_)__； (5)点(x，y)关于直线x+y=0的对称点为_(_－__y_，__－__x_)_．
数学第一轮复习第七章平面解析几何第二节两条直线的位置关系
考纲要求
1．在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素．
2．能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直． 3．能用解方程组的方法求两直线的交点坐标． 4．掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离． 5．了解中心对称、对称轴图形的几何特性． 6．能利用几何图形的对称性解决简单的点关于点对称、点关于线对称、线关于点对称、线关于线对称的问题.

高考数学(理)总复习课件：两条直线的位置关系

n
[解析] 因为l1⊥l2，所以m(m＋2)＋1×(－n)＝0，得n＝m2＋ m m 1 1 2m，因为m＞0，所以 n ＝ 2 ＝，则0＜＜ m ＋2m m＋2 m＋ 2
1 1 m ，故 n 的取值范围为0，2. 2
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[解题技法] 1．已知两直线的斜率存在，判断两直线平行或垂直的方法
(2)点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离： |Ax0＋By0＋C| d＝ . 2 2 A ＋B
应用点到直线的距离公式时，直线方程必须是一般式
(3)平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间距离： |C1－C2| d＝ 2 2 . A ＋B
两平行线的距离公式中，两直线方程的一般式中x，y的系数要对应相等
[解析]
( C ) C．3或5 D．1或2
B．1或5
由两直线平行得，当k－3＝0时，两直线的方程分
3 别为y＝－1和y＝，显然两直线平行．当k－3≠0时，由 2 k－3 4－k 1 ＝ ≠ ，可得k＝5.综上，k的值是3或5. 2k－3 －2 3
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(2)已知点O(0,0)，A(0，b)，B(a，a3)，若△OAB为直角三角形，则必有 A．b＝a
8．点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x,2b－y)．
9．点(x，y)关于直线x＋y＝k的对称点为(k－y，k－x)，关于直线x－y＝k的对称点为(k＋y，x－k)．
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[ 小题查验基础]
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2. ( × )
2 9 所以两直线的交点为－5，5.
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2．若直线ax＋2y－1＝0与直线2x－3y－1＝0垂直，则a的值为 ( D ) A．－3 C．2 4 B.－ 3 D．3