选修4-4极坐标系的概念

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2014年人教A版选修4-4课件 2.极坐标系

G
x
C (3, ). D(1, 5 ). E(2.5, ). 2
第 1、2、3 题.
1. 写出图中 A, B, C, D, E, F, G 各点的极坐标 (r >0, 0≤q <2).
2
解: 图中各点的极坐标
分别为 A(3, 0). B(2, ).
4 6 4 5 F (5, ). G(4, ). 3 3
5 6
4
C D E
4 3

B A
C (120, ). D(60 3 , ). E (50, 3 ). 3 2 4
A(0, 0).
B(60, 0).
45
60 A 60 m
B
x
2 ), 问题 3. 在极坐标系中, (4, ), (4, 6 6 (4, 4 ), (4, 2 ) 表示的点有什么关系? 一个
7 2 12 3 3 5 4 E 116 2
B
12 A(1, 0), B(4, ), 2 4 13 C (5, ). 12 3 7 点 D, E, F 的位置如图: 6 5
5 12 3 4 6
D
A F
12
23 12
x
C 7 4 4 5 3 17 3 19 3 4 12 2 12
A(340 10, 0). B(340 10, ).
2
B
问题2. 如图是某校园的平面示意图. 假设某同学在教学楼处. 类似问题1, 以正东为参照方向, 你能描述下列问题吗? (1) 该同学向东偏北 60 方向走 120 m 后到达的位置; (2) 体育馆和办公楼的位置. 实验楼画射线 AB 为参照方向. D C 图书馆 (1) 该同学最后到达图书馆 C (120, ). 3 办公室 120 m (2) 体育馆位置: E 45 B(60, 0). 50 m 60 办公楼位置: E(50, 3 ). A 60 m B 体育馆 4

选修4-4知识点

选修4-4复习讲义1. 极坐标系的概念：在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线OX 叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。

2．点M 的极坐标：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的∠XOM 叫做点M 的极角，记为θ。

有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为M ),(θρ.极坐标),(θρ与)Z k )(2k ,(∈+πθρ表示同一个点。

极点O 的坐标为)R )(,0(∈θθ.3. 若0<ρ,则0>-ρ,规定点),(θρ-与点),(θρ关于极点对称，即),(θρ-与),(θπρ+表示同一点。

如果规定πθρ20,0≤≤>，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示；同时，极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的。

4．极坐标与直角坐标的互化：)0x (xy tan ,sin y ,cos x ,y x 222≠===+=θθρθρρ5. 圆的极坐标方程：在极坐标系中，以极点为圆心，r 为半径的圆的极坐标方程是 r =ρ；在极坐标系中，以 )0,a (C (a>0)为圆心， a 为半径的圆的极坐标方程是 θρ2acos =；在极坐标系中，以)2,a (C π(a>0)为圆心，a为半径的圆的极坐标方程是 θρ2asin =；6. 在极坐标系中，)0(≥=ραθ表示以极点为起点的一条射线；)R (∈=ραθ表示过极点的一条直线.在极坐标系中，过点)0a )(0,a (A >，且垂直于极轴的直线l 的极坐标方程是a cos =θρ.7．参数方程的概念：在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y 都是某个变数t 的函数⎩⎨⎧==),t (g y ),t (f x 并且对于t 的每一个允许值，由这个方程所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x,y 的变数t 叫做参变数，简称参数。

人教版高中数学选修4-4 第一讲坐标系二极坐标系 (共34张PPT)教育课件

A. y 1
sin t
1
x t2
C.
1
yt 2
x cos t
B. y 1
cos t
x tan t
D. y 1
tan t
7.极坐标方程
2
arcsin化(为直0)角坐标方程的形
式是（）
A. x2 y2 x 0
B．y x(1 x)
C. 2x 1 4y2 1 D.．y (x 1)
2.极坐标（,）与(ρ，2kπ+θ)( k )表z 示同一个点.即一点的极坐标的统一的表达式为(ρ，2kπ+θ)
3.如果规定ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除极点外,平面内的点和极坐标就可以一一对应了。
我们学了直角坐标,也学了极坐标，那么这两种坐标有什么关系呢? 已知点的直角坐标为,如何用极坐标表示这个点呢?
M (, )
0
x
2
4
5
6
C
1.如图，在极坐标系中，写出点 AF(,6B, ,4C3 ,)D的, G极(坐5, 标53，所) 并在标的出位E置( 72 , ) ,
E D BA
O
X
4 F
3
G 5
3
解：如图可得A,B,C,D的坐标分别为
(4,0)
(2, )
(3, )
(1, 5 )
4
2
6
点E,F,G的位置如图所示
1
4.极坐标方程ρ=cosθ与ρcosθ= 的2 图形是（） B
A
B
C
D
解x=：12把，ρc故os排θ=除A，、12 化D；为又直圆角ρ坐=c程os，θ显得然: 过点 (0,1)，又排除C，故选B。
5、若A、B的两点极坐标为A(4,

人教版高中数学选修4-4《§1.2极坐标系》

M (,)
没有说明时 ≥0

O
x
例在图中,用点A,B,C,D,E分别表示教学楼,体育馆,图书馆,实验楼,办公楼的位置.建立适当的极实验楼坐标系,写出各点的极坐标. 图书馆
D
解： A0,0
B60,0
C
C 120, D 60 3, 3 2
基点参照方向和角
实验楼
D
距离
图书馆
C
办公楼
E
45
60m B 教学楼体育馆
A
60
(一) 极坐标系：
在平面内取一个定点O,叫做极点; 自极点O引一条射线Ox,叫做极轴; 再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样建立了一个极坐标系.

O
x
极坐标系内点的极坐标 |OM| ∠xOM (,) 极径极角 M的极坐标
120, 4 3
120, 2 3
M (,)
极坐标(,)与(,+2k)(k) 表示同一个点
极点(0,) )( R)
给定和就可以在平面内惟一确定点M；
O
x
但给定平面内一点M,却有无数个极坐标与之对应
当规定>0,0≤<2,那么除极点外,平面内的点可用惟一的极坐标(,)表示;而极坐标(,)表示的点也是惟一确定.
数学家笛卡尔
瑞典公主克里斯汀
1 sin
作业
课本第12页习题1.2
y x y , tan x 0（直角坐标化极坐标） x
2 2 2
2 例1: 将点M的极坐标 5, 3
化成直角坐标 .

高中数学选修4-4-极坐标

极坐标知识集结知识元极坐标知识讲解1．极坐标系【知识点的认识】极坐标系与点的极坐标在平面上取一个定点O，自点O引一条射线Ox，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向（通常取逆时针方向为正方向），这样就建立了一个极坐标系．其中，点O称为极点，射线Ox称为极轴．设M是平面上任一点，ρ表示OM的长度，θ表示以射线Ox为始边，射线OM为终边所成的角．那么，有序数对（ρ，θ）称为点M的极坐标．显然，每一个有序实数对（ρ，θ）决定一个点的位置．其中，ρ称为点M 的极径，θ称为点M的极角．由极径的意义可知ρ≥0，当极角θ的取值范围是[0，2π）时，平面上的点（除去极点）就与极坐标（ρ，θ）（ρ≠0）建立一一对应的关系，我们约定，极点的极坐标是极径ρ＝0，极角θ可取任意角．2．简单曲线的极坐标方程【知识点的认识】一、曲线的极坐标方程定义：如果曲线C上的点与方程f（ρ，θ）＝0有如下关系（1）曲线C上任一点的坐标（所有坐标中至少有一个）符合方程f（ρ，θ）＝0；（2）以方程f（ρ，θ）＝0的所有解为坐标的点都在曲线C上．则曲线C的方程是f（ρ，θ）＝0．二、求曲线的极坐标方程的步骤：与直角坐标系里的情况一样①建系（适当的极坐标系）②设点（设M（ρ，θ）为要求方程的曲线上任意一点）③列等式（构造△，利用三角形边角关系的定理列关于M的等式）④将等式坐标化⑤化简（此方程f（ρ，θ）＝0即为曲线的方程）三、圆的极坐标方程（1）圆心在极点，半径为r，ρ＝r．（2）中心在C（ρ0，θ0），半径为r．ρ2+ρ02﹣2ρρ0cos（θ﹣θ0）＝r2．四、直线的极坐标方程（1）过极点，θ＝θ0（ρ∈R）（2）过某个定点垂直于极轴，ρcosθ＝a（3）过某个定点平行于极轴，r sinθ＝a（4）过某个定点（ρ1，θ1），且与极轴成的角度α，ρsin（α﹣θ）＝ρ1sin（α﹣θ1）五、直线的极坐标方程步骤1、据题意画出草图；2、设点M（ρ，θ）是直线上任意一点；3、连接MO；4、根据几何条件建立关于ρ，θ的方程，并化简；5、检验并确认所得的方程即为所求．3．点的极坐标和直角坐标的互化【知识点的认识】坐标之间的互化（1）点的极坐标和直角坐标的互化以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位（如图）．平面内任意一点P的直角坐标与极坐标分别为（x，y）和（ρ，θ），则由三角函数的定义可以得到如下两组公式：，．通常情况下，将点的直角坐标化为极坐标时，取ρ≥0，0≤θ＜2π．（2）空间点P的直角坐标（x，y，z）与柱坐标（ρ，θ，z）之间的变换公式为：．（3）空间点P的直角坐标（x，y，z）与球坐标（r，φ，θ）之间的变换关系为：．例题精讲极坐标例1.在极坐标系中，已知M（1，），N，则|MN|=（）A．B．C．1+D．2例2.在极坐标系中，已知A（3，），B（4，），O为极点，则△AOB的面积为（）A．3B．C．D．2例3.已知直线l：（t为参数）与曲线ρ2=的相交弦中点坐标为（1，1），则a等于（）A．-B．C．-D．当堂练习单选题练习1.已知曲线C的极坐标方程为：ρ=2cosθ-4sinθ，P为曲线C上的动点，O为极点，则|PO|的最大值为（）A．2B．4C．D．2练习2.在极坐标中，O为极点，曲线C：ρ=2cosθ上两点A、B对应的极角分别为，则△AOB 的面积为（）A．B．C．D．练习3.已知直线l过点P（-2，0），且倾斜角为150°，以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2-2ρcosθ=15．若直线l交曲线C于A，B两点，则|PA|∙|PB|的值为（）A．5B．7C．15D．20练习4.在平面直角坐标系中，记曲线C为点P（2cosθ-1，2sinθ+1）的轨迹，直线x-ty+2=0与曲线C 交于A，B两点，则|AB|的最小值为（）A．2B．C．D．4练习5.在极坐标系中，直线ρcosθ=2与圆ρ=4cosθ交于A，B两点，则|AB|=（）A．4B．C．2D．练习6.在同一平面直角坐标系中，将直线x-2y=2按φ：变换后得到的直线l，若以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l的极坐标方程为（）A．4ρcosθ-ρsinθ=4B．ρcosθ-16ρsinθ=4C．ρcosθ-4ρsinθ=4D．ρcosθ-8ρsinθ=4填空题练习1.在极坐标系中，圆ρ=1上的点到直线的距离的最大值是___．练习2.在极坐标系中，点（2，）到直线ρsinθ-ρcosθ-6=0的距离为___．练习3.在极坐标系下，已知圆，则圆O的直角坐标方程是_________________练习4.在极坐标系中，若点A（3，），B（3，），则△AOB的面积为___解答题练习1.'在平面直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴为极轴建立极坐标系，曲线C的方程是，直线l的参数方程为（t为参数，0≤α<π），设P （1，2），直线l与曲线C交于A，B两点．（1）当α=0时，求|AB|的长度；（2）求|PA|2+|PB|2的取值范围．'练习2.'在直角坐标xOy中，直线l的参数方程为{（t为参数）在以O为极点．x轴正半轴为极轴的极坐标系中．曲线C的极坐标方程为ρ=4sinθ-2cosθ．（I）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程：（Ⅱ）若直线l与y轴的交点为P，直线l与曲线C的交点为A，B，求|PA||PB|的值．'。

高考数学冲刺讲义选修4-4坐标系与参数方程(选考)

解:把直线的参数方程代入圆的方程，得
(1 t ) (1 t ) 4,
2 2
因此t1 1, t2 1
t 1
2
x1 0 分别代入直线方程，得 y1 2 交点为A(0，2)和B(2，0)。
x2 2 y2 0
选修4-4
六.圆锥曲线的参数方程
x x0 lt ,t R y y0 mt
例10:直线过点A(1，3)，且与向量(2，-4)共线: (1)求出直线的参数方程；(2)练习:求点P(-2，-1) 到此直线的距离。
x 1 2t y 3 4t
解:(1)
(2)解第二问的方法很多，最简单的方法就是把直线才参数方程转换为直线的一般方程，然后利用点到直线的距离公式求解。答案: 2 2
又因为(t以s为单位)，得参数方程
x 2 cos 60 t ,t 0 y 2 sin t 60

O
A 2 x
曲线的直角坐标方程常常可以转化为参数方程，转化的关键是找到一个适当的参数。
曲线的普通方程和参数方程之间有些容易转化，有些则较困难，有些无法转化。
由此可见，平面上的点与它的极坐标不是一一对应关系。这是极坐标与直角坐标的 0 ，此时极坐标 ( , ) 对应的点M 的位置下面规则确定:点M在与极轴成角的射线的反向延长线上，它到极点O的距离为，即规定当 0 时，点
M ( , ) 就是点M ( , ) 。
选修4-4
坐标系与参数方程
选修4-4
一.坐标系在生产实践中，随着活动范围的扩大和对精度要求的提高，为了更快，更准确的表述物体的位置，我们通常要建立新的坐标系，叫做极坐标。

选修4-4坐标系与参数方程_知识点总结

选修4-4坐标系与参数方程_知识点总结-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN坐标系与参数方程知识点(一)坐标系1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点(,)P x y 是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0):(0)x xy yλλϕμμ'=>⎧⎨'=>⎩的作用下,点(,)P x y 对应到点(,)P x y ''',称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.2.极坐标系的概念 (1)极坐标系如图所示,在平面内取一个定点O ,叫做极点,自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.(2)极坐标设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ.有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ.一般地,不作特殊说明时,我们认为0,ρ≥θ可取任意实数.特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为(0, θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定0,02ρθπ>≤<,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示;同时,极坐标(,)ρθ表示的点也是唯一确定的.3.极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:(2)互化公式:设M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(,)x y ,极坐标是(,)ρθ(0ρ≥),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:点M直角坐标(,)x y极坐标(,)ρθ互化公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩ 222tan (0)x y yx x ρθ⎧=+⎪⎨=≠⎪⎩在一般情况下,由tan θ确定角时,可根据点M 所在的象限最小正角. 4.常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点,半径为r 的圆(02)r ρθπ=≤<圆心为(,0)r ,半径为r 的圆2cos ()22r ππρθθ=-≤<圆心为(,)2r π,半径为r 的圆2sin (0)r ρθθπ=≤<圆心为(,)2r π,半径为r 的圆2sin (0)r ρθθπ=≤<过极点,倾斜角为α的直线(1)()()R R θαρθπαρ=∈=+∈或 (2)(0)(0)θαρθπαρ=≥=+≥和过点(,0)a ,与极轴垂直的直线cos ()22a ππρθθ=-<<过点(,)2a π,与极轴平行的直线sin (0)a ρθθπ=<<注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即(,),(,2),(,),(,),ρθρπθρπθρπθ+-+--+都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程,ρθ=点(,)44M ππ可以表示为5(,2)(,2),444444ππππππππ+-或或(-)等多种形式,其中,只有(,)44ππ的极坐标满足方程ρθ=. 5.圆与直线一般极坐标方程（1）圆的极坐标方程若圆的圆心为 00(,)M ρθ，半径为r ，求圆的极坐标方程。

选修4-4 1.2 极坐标系

y 5 sin
2 3 5 2
2 3

5 3 2
5 5 3 ) 所以, 点M的直角坐标为( , 2 2
已知下列点的极坐标，求它们的直角坐标。
A ( 3,

6
)
B ( 2,

2
)
C (1, 3 4

2
)
3 D ( , ) 2 4
E ( 2,
)
例2. 将点M的直角坐标
( 3, 1)
D (0,2)
π），（3，） π 例3 已知两点（2，
求两点间的距离.
用余弦定理求 AB的长即可.
3
π 解：∠AOB =
6
B
A
2
推广：极坐标下，任意两点 P1 ( 1 , 1 ), P2 ( 2 , 2 ) 在
之间的距离可总结如下： P1 P2
o
x
1 2 2 1 2 cos( 1 2 )
化成极坐标.
（）解: ( 3 ) 1 2
2 2
tan
1 3

3 3
因为点在第三象限, 所以因此, 点M的极坐标为( 2,
7 6 )
7 6
练习: 已知点的直角坐标, 求它们的极坐标.
A ( 3, 3 ) B (1, 3 )
C (5,0) E ( 3,3)
5
2
( , ) 关于极轴的对称点为
( , 2 )
关于极点的对称点为
关于过极点且垂直与极为( , )
( , )
轴的直线的对称点
小结
[1]建立一个极坐标系需要哪些要素
极点；极轴；长度单位；角度单位和它的正方向。 [2]极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式？无数，极角有无数个。 [3]一点的极坐标有否统一的表达式？

人教版A版高中数学选修4-4：极坐标的概念

E
D
BA
O
X
4 F
3
G 5
3
例2.（2）3B在(4,极34π坐), 标C(系72里, 53标π )出的A位(2置, π6.),
4

B
6
A
O
X
C
5
3
思考：标出下列几个点的位置
D(4, π ), E(4, π 2 ), F (4, π 2 ),G(4, π 4 )
6
6
6
6

3
3
探究总结：
在极坐标下，任意两点P1(1 ，1 ) 、P2 (2 ，2 )
之间的距离可总结如下：
P1P2 12 22 212 cos(1 2 )
练习1：在极坐标系中，若
A(2
3, ), B(4, 7 )
3
6
（1）求 AB .
（2）求ABO （O为极点）的面积.

O
x
极坐标系内点的极坐标：
对于平面内任意一点M，极径：极点与点M的距离，用表示；
极角：以Ox为始边,OM为终边的角，
用表示；
有序数对（，）就叫做M的极坐标.
如何确定两船的位置关系呢？
30º
缉私O 船

A（5，6） x
例1.用点A,B,C,D,E分表示教学楼,体育馆,
图书馆,实验楼,办公楼的位置.建立适当的极
（1）他向东偏北方向走120m后到达什么位置？该位置唯一确定吗？
（2）如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描述？
实验楼 D
C 图书馆
120m
办公楼 E
450
50m
600
A教学楼 60m

选修4-4数学全部教案人教版

(1)⊙O1，⊙O2 的极坐标方程化为直角坐标方程分别为
________，________；
(2) 经过 ⊙ O1 ， ⊙ O2 交点的直线的直角坐标方程是
________．
(1)ρ＝4cos θ，两边同乘以ρ，得ρ2＝4ρcos θ； ρ＝－4sin θ，两边同乘以ρ，得ρ2＝－4ρsin θ.
二、极坐标和直角坐标的互化
1．互化背景：把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的
正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，如图所示．
2．互化公式：设 M 是坐标平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)(ρ≥0)，于是极坐标与
直角坐标的互化公式如下表：
点 M 直角坐标(x，y) 极坐标(ρ，θ)
|－6|
tan2α＋（－1）2＝3，解得
tan
α＝
3或 tan α＝
－ 3(舍去)．又 0≤α≤π2 ，所以α＝π3 .
π 3
§2 参数方程
考点
考纲解读
1
普通方程与参数方理解普通方程与参
程
数方程的概念
2
直线、圆和圆锥曲线的参数方程，以及普通方程与参数
方程的互化
理解直线、圆和圆锥曲线的参数方程，并能利用曲线的参数方程解决弦长和最值问题
程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫作普通方程．二、参数方程和普通方程的互化
1．曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，
一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程．
2．如果知道变数 x，y 中的一个与参数 t 的关系，例如 x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关
系 y＝g(t)，那么xy＝＝fg（（tt）），就是曲线的参数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使 x，y 的取值范围保持

2014-2015学年高中数学(人教版选修4-4)配套课件第一讲 1.2 极坐标系

ρsin θ
或
x2＋y2 ，
y x
栏目链接
x≠0.
预习思考
1.写出下图中各点的极坐标：
栏目链接
π π 3， 2， 4 A________，B________ ，C________. 2
(4,0)
预习思考
2．回答下列问题： (1)平面上一点的极坐标是否唯一？ (2)若不唯一，那有多少种表示方法？ (3)坐标不唯一是由谁引起的？
第一讲
坐标系
1.2 极坐标系
栏目链接
1.理解极坐标的概念. 2.能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐
栏目链接
标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别.
3.能进行极坐标与平面直角坐标的互化.
栏目链接
1．极坐标系的建立．在平面上取一个定点 O，自点 O 引一条射线 Ox，同时确
栏目链接
栏目链接
题型1
极坐标的概念
例1 写出下图中各点的极坐标(ρ>0,0≤θ<2π)．
栏目链接
分析：根据极坐标定义，若 M 是平面上任一点， ρ 表示 OM 的长度，θ 表示以射线 Ox 为始边，射线 OM 为终边所成的角，则 M 的极坐标为(ρ，θ)．
π π 3π 解析： A(5,0)， B2，6， C4，2， D5， 4 ， E(2， 4π 5π π)，F5， 3 ，G3.5， 3 .
栏目链接
为直角坐标为( 3，－1)． ∴A、B 两点间的距离 d＝
(
3－ 3)2＋[1－－1]2＝2.
变式训练
π π 2．已知两点的极坐标 A3，2，B3，6 ，求：

(完整版)高中数学选修4—4(坐标系与参数方程)知识点总结

坐标系与参数方程知识点1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0):(0)x xy yλλϕμμ'=>⎧⎨'=>⎩g g 的作用下,点P(x,y)对应到点(,)P x y ''',称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.2.极坐标系的概念 (1)极坐标系如图所示,在平面内取一个定点O ,叫做极点,自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.(2)极坐标设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ.有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ.一般地,不作特殊说明时,我们认为0,ρ≥θ可取任意实数. 特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为(0, θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定0,02ρθπ>≤<,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示;同时,极坐标(,)ρθ表示的点也是唯一确定的.3.极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:(2)互化公式:设M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(,)x y ,极坐标是(,)ρθ(0ρ≥),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:点M直角坐标(,)x y极坐标(,)ρθ互化公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩222tan (0)x y yx xρθ=+=≠ 在一般情况下,由tan θ确定角时,可根据点M 所在的象限最小正角. 4.常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点,半径为r 的圆(02)r ρθπ=≤<圆心为(,0)r ,半径为r 的圆2cos ()22r ππρθθ=-≤<圆心为(,)2r π,半径为r 的圆2sin (0)r ρθθπ≤<过极点,倾斜角为α的直线(1)()()R R θαρθπαρ=∈=+∈或 (2)(0)(0)θαρθπαρ=≥=+≥和过点(,0)a ,与极轴垂直的直线cos ()22a ππρθθ=-<<过点(,)2a π,与极轴平行的直线sin (0)a ρθθπ=<<注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即(,),(,2),(,),(,),ρθρπθρπθρπθ+-+--+都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程,ρθ=点(,)44M ππ可以表示为5(,2)(,2),444444ππππππππ+-或或(-)等多种形式,其中,只有(,)44ππ的极坐标满足方程ρθ=.二、参数方程 1.参数方程的概念一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标,x y 都是某个变数t 的函数()()x f t y g t =⎧⎨=⎩①,并且对于t 的每一个允许值,由方程组①所确定的点(,)M x y 都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数,x y 的变数t 叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.2.参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.(2)如果知道变数,x y 中的一个与参数t 的关系,例如()x f t =,把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系()y g t =,那么()()x f t y g t =⎧⎨=⎩就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使,x y 的取值范围保持一致.注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。

第1讲-极坐标系

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，x 轴的
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正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，如图 1－2－1 所示．
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图 1－2－1
菜
单
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(2)互化公式：设 M 是平面内任意一点，它的直角坐标是
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菜
单
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课前自主导学
1．点的极坐标与直角坐标的互化公式的三个前提条件： ①极点与直角坐标系的原点重合；②极轴与直角坐标系的 x 轴的正半轴重合；③两种坐标系的长度单位相同．
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2．将点的极坐标(ρ，θ)化为点的直角坐标(x，y)时，运用到求角 θ 的正弦值和余弦值，熟练掌握特殊角的三角函数值，灵活运用三角恒等变换公式是关键．
欲写出点的极坐标，首先应确定 ρ 和 θ
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菜
单
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π 【自主解答】如图所示，关于极轴的对称点为 B(2，－3)．
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2 关于直线 l 的对称点为 C(2，3π)． 2 关于极点 O 的对称点为 D(2，－ π)． 3 四个点 A，B，C，D 都在以极点为圆心，2 为半径的圆上．
(x，y)，极坐标是(ρ，θ)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如表：点M 直角坐标(x，y) 极坐标(ρ，θ) ρ2＝ x2＋y2 y tan θ＝ (x≠0) x
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高中数学选修4-4-极坐标与参数方程-知识点与题型

选做题部分极坐标系与参数方程一、极坐标系1．极坐标系与点的极坐标(1)极坐标系：如图4－4－1所示，在平面内取一个定点O ，叫做极点，自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标：平面上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ来刻画，这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标．其中ρ称为点M 的极径，θ称为点M 的极角． 2．极坐标与直角坐标的互化点M 直角坐标(x ，y ) 极坐标(ρ，θ)互化公式题型一极坐标与直角坐标的互化1、已知点P 的极坐标为)4,2(π，则点P 的直角坐标为（）A.（1，1）B.（1，-1）C.（-1，1）D.（-1，-1）2、设点P 的直角坐标为(3,3)-，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系(02)θπ≤<，则点P 的极坐标为（）A ．3)4πB ．5()4π-C ．5(3,)4πD ．3(3,)4π-3．若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________．4．在极坐标系中，过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是( ) A ．ρ＝cos θ B ．ρ＝sin θ C ．ρcos θ＝1 D ．ρsin θ＝15．曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________．6. 在极坐标系中，求圆ρ＝2cos θ与直线θ＝π4(ρ>0)所表示的图形的交点的极坐标．题型二极坐标方程的应用由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，可先转化为直角坐标方程，然后求解．1.在极坐标系中，已知圆C 经过点P(2，π4)，圆心为直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的直角坐标方程．2.圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，圆心为C ，点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π3，则|CP|＝________.3.在极坐标系中，已知直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1，圆C 的圆心的极坐标是C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π4，圆的半径为1.(i)则圆C 的极坐标方程是________； (ii)直线l 被圆C 所截得的弦长等于________．4.在极坐标系中，已知圆C ：ρ＝4cos θ被直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝a 截得的弦长为23，则实数a 的值是________．二、参数方程1．参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程．(2)如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f t ，y ＝gt就是曲线的参数方程．2．常见曲线的参数方程和普通方程点的轨迹普通方程参数方程直线y －y 0＝tan α(x －x 0)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos αy ＝y 0＋t sin α (t 为参数)题型一参数方程与普通方程的互化【例1】把下列参数方程化为普通方程： (1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θ，y ＝2－sin θ；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝5＋32t .题型二直线与圆的参数方程的应用1、已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t ，y ＝4－2t (参数t ∈R )，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ＋2，y ＝2sin θ(参数θ∈[0,2π])，求直线l 被圆C所截得的弦长．2、曲线C的极坐标方程为：ρ=acosθ（a＞0），直线l的参数方程为：（1）求曲线C与直线l的普通方程；（2）若直线l与曲线C相切，求a值．3、在直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为，（α为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（Ⅰ）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上点的距离最小值．综合应用 1、曲线25()12x tt y t=-+⎧⎨=-⎩为参数与坐标轴的交点是（）A 21(0,)(,0)52、 B 11(0,)(,0)52、 C (0,4)(8,0)-、 D 5(0,)(8,0)9、3、参数方程222sin sin x y θθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）化为普通方程为（） A ．2y x =- B ．2y x =+ C ．2(23)y x x =-≤≤ D ．2(01)y x y =+≤≤ 3．判断下列结论的正误．(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系( )(2)若点P 的直角坐标为(1，－3)，则点P 的一个极坐标是（2，－π3）( )(3)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的( ) (4)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线( )4.参数方程为1()2x t t t y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩为参数表示的曲线是（）A ．一条直线B ．两条直线C ．一条射线D ．两条射线5．与参数方程为)x t y ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数等价的普通方程为（） A ．214y +=2x B ．21(01)4y x +=≤≤2xC ．21(02)4y y +=≤≤2x D ．21(01,02)4y x y +=≤≤≤≤2x15.参数方程()为参数θθθ⎩⎨⎧+==cot tan 2y x 所表示的曲线是（）A ．直线B ．两条射线C ．线段D ．圆16.下列参数方程（t 是参数）与普通方程y x 2=表示同一曲线的方程是： ( )A ．x t y t ==⎧⎨⎩2B ．x t y t ==⎧⎨⎩sin sin 2C ．x t y t ==⎧⎨⎪⎩⎪D ．⎪⎩⎪⎨⎧=+-=t y t t x tan 2cos 12cos 13.由参数方程()⎪⎭⎫⎝⎛<<-⎩⎨⎧=-=202tan 21sec 22ππθθθ为参数，y x 给出曲线在直角坐标系下的方程是。

【北师大版】选修4-4数学：第2章《极坐标系的概念》学案(含答案)

§2 极坐标系 2.1 极坐标系的概念2.2 点的极坐标与直角坐标的互化1．掌握极坐标的概念，弄清极坐标的结构(建立极坐标的四要素)．2．理解广义极坐标下点的极坐标(ρ，θ)与点之间的多对一的对应关系．3．已知一点的极坐标，能在极坐标系中描点，能进行点的极坐标与直角坐标的互化．1．极坐标系的概念 (1)极坐标系的建立．如图，在平面内取一个定点O ，叫作____，从点O 引一条射线Ox ，叫作____，选定一个________和__的正方向(通常取逆时针方向)．这样就确定了一个平面极坐标系，简称为________．(2)点的极坐标的规定．①如图，对于平面内任意一点M ，用ρ表示线段OM 的长，θ表示以Ox 为始边、OM 为终边的角，ρ叫作点M 的____，θ叫作点M 的____，有序实数对(ρ，θ)叫作点M 的______，记作M ______.当点M 在极点时，它的极径ρ＝__，极角θ可以取______．②为了研究问题方便，极径ρ也允许取负值．当ρ＜0时，点M (ρ，θ)的位置可以按下列规则确定：作射线OP ，使∠xOP ＝θ，在OP 的__________上取一点M ，使|OM |＝|ρ|，这样点M 的坐标就是(ρ，θ)，如下图：【做一做1－1】在极坐标系中，与点π36⎛⎫ ⎪⎝⎭，重合的点是( )． A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫3，136π B ．⎝⎛⎭⎪⎫3，－π6C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫3，176πD ．⎝⎛⎭⎪⎫3，－56π【做一做1－2】在极坐标系中，与(ρ，θ)关于极轴对称的点是( )．A ．(ρ，θ)B ．(ρ，－θ)C ．(ρ，θ＋π)D ．(ρ，π－θ) 2．点的极坐标与直角坐标的互化 (1)互化的前提条件．如图，建立一个平面直角坐标系，把平面直角坐标系的原点作为____，x 轴的正半轴作为____，建立极坐标系，并且两种坐标系中取相同的________．(2)互化公式．如上图，设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标是(ρ，θ)．如果限定ρ取正值，θ∈[0,2π)，那么除____外，平面内点的直角坐标与极坐标之间就是一一对应的．①点M 的极坐标(ρ，θ)化为直角坐标(x ，y )的公式是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝，y ＝ .②点M 的直角坐标(x ，y )化为极坐标(ρ，θ)的公式是⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝，tan θ＝ .【做一做2－1】点M 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫5，23π，化成直角坐标形式是__________．【做一做2－2】点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－2，－π3，化成直角坐标形式是__________．【做一做2－3】点P 的直角坐标为(6，2)，化成极径是正值，极角在0到2π之间的极坐标为__________．1．建立极坐标系的意义剖析：我们已经知道，确定平面内一个点的位置时，有时是依靠水平距离与垂直距离(即“长度”与“长度”，这就是直角坐标系的基本思想)这两个量来刻画，有时却是依靠距离与方位角(即“长度”与“角度”，这就是极坐标系的基本思想)这两个量来刻画．在生活中，如在台风预报、地震预报、测量、航空、航海中，甚至更贴近我们生活的如我们听到的声音，不但有高低之分，还有方向之分，我们能够辨别出声源的相对位置，这些都要用距离和方向来确定一点的位置．有些复杂的曲线，比如说环绕一点作旋转运动的点的轨迹，用直角坐标表示，形式极其复杂，但用极坐标表示，就变得十分简单且便于处理．在应用上有重要价值的等速螺线，它的直角坐标x 与y 之间的关系很难确定，可是它的极坐标ρ与θ却有一个简单的一次函数关系，我们将在后一节的内容中学习极坐标形式下的一些简单曲线方程．总之，使用极坐标是人们生产生活的需要．平面内建立直角坐标系是人们公认的最容易接受并且被经常采用的方法，但它并不是确定点的位置的唯一方法．2．极坐标系下点与它的极坐标对应情况剖析：(1)给定点(ρ，θ)，就可以在极坐标平面内确定唯一的一个点M ；(2)给定平面上一点M ，却有无数个极坐标与之对应．原因在于极角有无数个．答案：1．(1)极点极轴单位长度角极坐标系(2)①极径极角极坐标 (ρ，θ) 0 任意值 ②反向延长线【做一做1－1】A 当k ∈Z 时，(ρ，θ)，(ρ，θ＋2k π)，(－ρ，θ＋(2k ＋1)π)表示同一个点．因为13π6＝π6＋2π，所以点⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π6与⎝ ⎛⎭⎪⎫3，13π6表示同一个点，即重合．【做一做1－2】B 极径为ρ，极角为θ，θ关于极轴对称的角为负角－θ，故所求的点为(ρ，－θ)．2．(1)极点极轴单位长度 (2)原点 ①ρcos θ ρsin θ ②x 2＋y 2y x(x ≠0) 【做一做2－1】⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，532 x ＝5cos 23π＝－52，y ＝5sin 23π＝532.所以点M 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，532.【做一做2－2】(－1，3) 因为点A 的极坐标又可以写成⎝⎛⎭⎪⎫2，2π3，所以x ＝ρcos θ＝2cos 2π3＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1， y ＝ρsin θ＝2sin2π3＝2×32＝ 3. 所以点A 的直角坐标为(－1，3)．【做一做2－3】⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π6 ρ＝62＋22＝22，tan θ＝26＝33，又点P 在第一象限，得θ＝π6，因此点P 的极坐标是⎝⎛⎭⎪⎫22，π6.题型一极坐标系中点的表示【例1】已知点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫5，π3，下列给出的四个坐标中能表示点M 的坐标的是( )．A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫5，－π3B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫5，43πC ．⎝ ⎛⎭⎪⎫5，－23πD ．⎝⎛⎭⎪⎫5，－53π 反思：在极坐标系中，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2k π)(k ∈Z )表示同一个点．特别注意，极点O 的坐标为(0，θ)(其中θ可以取任意值)．这与直角坐标系中的点与有序实数对一一对应的关系不同，极坐标平面内的点的极坐标可以有无数多种表示．题型二对称性问题【例2】在极坐标系中，点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫3，π6.(限定ρ＞0，0≤θ＜2π)(1)点A 关于极轴对称的点的极坐标是__________； (2)点A 关于极点对称的点的极坐标是__________；(3)点A 关于直线θ＝π2对称的点的极坐标是__________．反思：在极坐标系中，点(ρ，θ)关于极轴所在直线对称的点的极坐标为(ρ，2k π－θ)(k ∈Z )，关于直线θ＝π2对称的点的极坐标为(ρ，2k π＋π－θ)(k ∈Z )，关于极点对称的点的极坐标为(ρ，θ＋π＋2k π)(k ∈Z )．题型三点的极坐标与直角坐标的互化【例3】(1)把点M 的极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫8，2π3化成直角坐标；(2)把点P 的直角坐标(6，－2)化成极坐标(ρ＞0,0≤θ＜2π)．分析：本题考查的是直角坐标与极坐标的互化公式的应用．反思：由直角坐标化成极坐标时，算出tan θ＝－33，仅根据0≤θ＜2π，只能得出θ＝5π6或θ＝11π6，要确定极角，需再根据点所在的象限来判断．答案：【例1】D 与点M 终边相同的极坐标可以表示为⎝⎛⎭⎪⎫5，2k π＋π3(k ∈Z )，即极径相等，极角相差2π的整数倍．根据选项，当k ＝－1时，2k π＋π3＝－2π＋π3＝－53π，即⎝ ⎛⎭⎪⎫5，－53π能表示点M . 【例2】(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫3，11π6 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫3，7π6 (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫3，5π6 通过作图可求解．【例3】解：(1)x ＝8cos 2π3＝－4，y ＝8sin 2π3＝43，因此点M 的直角坐标是(－4,43)．(2)ρ＝62＋－22＝22，tan θ＝－26＝－33，又因为点P 在第四象限，故θ＝11π6.因此点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，11π6. 1在极坐标系中与点A(3，π3-)关于极轴所在的直线对称的点的极坐标是( )． A ．2π33⎛⎫ ⎪⎝⎭， B ．π33⎛⎫ ⎪⎝⎭， C ．4π33⎛⎫ ⎪⎝⎭， D ．5π36⎛⎫ ⎪⎝⎭，2在极坐标系中，确定点π26M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，的位置，下面方法正确的是( )．A ．作射线OP ，使π6xOP ∠=，再在射线OP 上取点M ，使|OM |＝2B ．作射线OP ，使π6xOP ∠=，再在射线OP 的反向延长线上取点M ，使|OM |＝2 C ．作射线OP ，使7π6xOP ∠=，再在射线OP 的反向延长线上取点M ，使|OM |＝2D ．作射线OP ，使π6xOP ∠=-，再在射线OP 上取点M ，使|OM |＝23点M 的极坐标为π4,4⎛⎫- ⎪⎝⎭，化为直角坐标为__________．4将下列各点由直角坐标化为极径ρ是正值，极角在0到2π之间的极坐标．(1)；(2)(2--，．答案： 1．B 极坐标系中的点(ρ，θ)关于极轴所在直线的对称点的极坐标为(ρ，2k π－θ)(k ∈Z )，利用这个规律即可判断之．与点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－π3关于极轴所在直线的对称的点的极坐标可以表示为⎝⎛⎭⎪⎫3，2k π＋π3(k ∈Z )，这时只有选项B 满足条件．2．B 本题涉及到极径为负值时的坐标表示．当ρ＜0时，表示点(ρ，θ)的方法如下：作射线OP ，使∠xOP ＝θ.在OP 反向延长线上取一点M ，使|OM |＝|ρ|，故B 项正确．3．(22，－22) x ＝ρcos θ＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝4×22＝22， y ＝ρsin θ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝－22，∴M (22，－22)． 4．解：(1)ρ＝32＋32＝23，tan θ＝yx ＝33，又点(3，3)在第一象限，所以θ＝π6.所以点(3，3)的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，π6. (2)ρ＝－2＋－232＝4，tan θ＝y x ＝－23－2＝3，又点(－2，－23)在第三象限，所以θ＝4π3.所以点(－2，－23)的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，4π3.。

选修4-4坐标系和参数方程

数学选修4-4坐标系与参数方程2016-7第一讲坐标系一、平面直角坐标系1.平面直角坐标系在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。

它使平面上任一点P 都可以由惟一的实数对（x,y ）确定.例1 某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到一声巨响，正东观测点听到巨响的时间比其他两个观测点晚4s ，已知各观测点到中心的距离都是1020m ，试确定该巨响的位置。

（假定当时声音传播的速度为340m/s ，各相关点均在同一平面上）以接报中心为原点O ，以BA 方向为x 轴，建立直角坐标系.设A 、B 、C 分别是西、东、北观测点，则 A(1020,0), B(－1020,0), C(0,1020) 设P （x,y ）为巨响为生点，由B 、C 同时听到巨响声，得|PC|=|PB|，故P 在BC 的垂直平分线PO 上，PO 的方程为y=－x ，因A 点比B 点晚4s 听到爆炸声，故|PA|－ |PB|=340×4=1360，由双曲线定义知P 点在以A 、B 为焦点的双曲线22221x y a b-=上，2222222222680,1020102068053401(0)6805340a c b c a x y x ∴==∴=-=-=⨯-=<⨯故双曲线方程为用y=－x代入上式，得x =± ， ∵|PA|>|PB|,(x y P PO ∴=-=-=即故答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心处.上述问题的解决体现了坐标法的思想. 建系时，根据几何特点选择适当的直角坐标系:(1)如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点； (2)如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴； (3)使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上。

变式训练1．一炮弹在某处爆炸,在A 处听到爆炸的时间比在B 处晚2s,已知A 、B 两地相距800米，并且此时的声速为340m/s,求曲线的方程.2．在面积为1的PMN ∆中，2tan ,21tan -=∠=∠MNP PMN ，建立适当的坐标系，求以M ，N 为焦点并过点P 的椭圆方程.课后作业1.若P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上的一点，且PF 1→·PF 2→＝0，tan ∠PF 1F 2＝12，则此椭圆的离心率为( )． A.53 B.23 C.13 D.122.设F 1、F 2是双曲线x23－y 2＝1的两个焦点，P 在双曲线上，当△F 1PF 2的面积为2时，1PF ·2PF 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．6 3.若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点在圆x 2＋y 2＋2x －3＝0上，则p ＝( )A.12B ．1C ．2D ．3 4.已知两定点A (1,1)，B (－1，－1)，动点P 满足P A →·PB →＝x22，则点P 的轨迹方程是_________.5.△ABC 的顶点A (－5,0)、B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是___________.6. 已知动圆过点(1,0)，且与直线x ＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________．7.已知：圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0. (1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2)当直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，且AB ＝22时，求直线l 的方程．8. 已知长方形ABCD ，22=AB ，BC=1。

人教A版2019年高中数学选修4-4教学案：第一讲第2节极坐标系_含答案

[核心必知]1．极坐标系的概念 (1)极坐标系的建立在平面内取一个定点O ，叫做极点，自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．(2)点的极坐标设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离|OM |叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ．有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记作M (ρ，θ)．一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数． 2．极坐标与直角坐标的互化 (1)互化的前提条件①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；②极轴与x 轴的正半轴重合；③两种坐标系取相同的长度单位．(2)互化公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ； ⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx （x ≠0）Ｗ. [问题思考]1．平面上的点与这一点的极坐标是一一对应的吗？为什么？提示：不是．在极坐标系中，与给定的极坐标(ρ，θ)相对应的点是唯一确定的；反过来，同一个点的极坐标却可以有无穷多个．如一点的极坐标是(ρ，θ)(ρ≠0)，那么这一点也可以表示为(ρ，θ＋2n π)或(－ρ，θ＋(2n ＋1)π)(其中n ∈Z )．2．若ρ>0，0≤θ<2π，则除极点外，点M (ρ，θ)与平面内的点之间是否是一一对应的？提示：如果我们规定ρ＞0，0≤θ＜2π，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(ρ，θ)来表示，这时，极坐标与平面内的点之间就是一一对应的关系．3．若点M 的极坐标为(ρ，θ)，则M 点关于极点、极轴、过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是什么？提示：设点M 的极坐标是(ρ，θ)，则M 点关于极点的对称点的极坐标是(－ρ，θ)或(ρ，θ＋π)；M 点关于极轴的对称点的极坐标是(ρ，－θ)；M 点关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是(ρ，π－θ)或(－ρ，－θ)．已知定点P ⎝⎛⎭⎫4，π3.(1)将极点移至O ′⎝⎛⎭⎫23，π6处极轴方向不变，求P 点的新坐标；(2)极点不变，将极轴顺时针转动π6角，求P 点的新坐标．[精讲详析] 本题考查极坐标系的建立及极坐标的求法．解答本题需要根据题意要求建立正确的极坐标系，然后求相应的点的极坐标．(1)设P 点新坐标为(ρ，θ)，如图所示，由题意可知|OO ′|＝23， |OP |＝4，∠POx ＝π3，∠O ′Ox ＝π6，∴∠POO ′＝π6.在△POO ′中，ρ2＝42＋(23)2－2·4·23·cos π6＝16＋12－24＝4，∴ρ＝2. 即|O ′P |＝2.∴|OP |2＝|OO ′|2＋|O ′P |2，∠OO ′P ＝π2.∴∠OPO ′＝π3.∴∠OP ′P ＝π－π3－π3＝π3.∴∠PP ′x ＝2π3.∴∠PO ′x ′＝2π3.∴P 点的新坐标为(2，2π3)．(2)如图，设P 点新坐标为(ρ，θ)，则ρ＝4，θ＝π3＋π6＝∴P 点的新坐标为(4，π2)．—————————————建立极坐标系的要素是(1)极点；(2)极轴；(3)长度单位；(4)角度单位和它的正方向．四者缺一不可．极轴是以极点为端点的一条射线，它与极轴所在的直线是有区别的；极角θ的始边是极轴，它的终边随着θ的大小和正负而取得各个位置；θ的正方向通常取逆时针方向，θ的值一般是以弧度为单位的量数；点M 的极径ρ表示点M 与极点O 的距离|OM |，因此ρ≥0；但必要时，允许ρ＜0.1．边长为a 的正六边形的一个顶点为极点，极轴通过它的一边，求正六边形各顶点坐标．解：由点的极坐标的定义可知，正六边形各顶点的极坐标分别为：(0，0)、(a ，0)、(3a ，π6)、(2a ，π3)、(3a ，π2)、(a ，23π)或(0，0)、(a ，0)、(3a ，－π6)、(2a ，－π3)、(3a ，－π2)、(a ，－23π)．若以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系． (1)已知点A 的极坐标⎝⎛⎭⎫4，5π3，求它的直角坐标；(2)已知点B 和点C 的直角坐标为(2，－2)和(0，－15)，求它们的极坐标．(ρ＞0，0≤θ＜2π)[精讲详析] 本题考查极坐标和直角坐标的互化．解答此题只需将已知条件代入相关公式即可．(1)∵x ＝ρcos θ＝4·cos 5π3＝2. y ＝ρsin θ＝4sin5π3＝－2 3. ∴A 点的直角坐标为(2，－23)． (2)∵ρ＝x 2＋y 2＝22＋（－2）2＝22， tan θ＝－22＝－1.且点B 位于第四象限内， ∴θ＝7π4.∴点B 的极坐标为(22，7π4)．又∵x ＝0，y ＜0，ρ＝15， ∴点C 的极坐标为(15，3π2)．(1)将极坐标(ρ，θ)化为直角坐标(x ，y )的公式是：x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ；(2)将直角坐标(x ，y )化为极坐标(ρ，θ)的公式是：ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx (x ≠0)，在利用此公式时要注意ρ和θ的取值范围．2．(1)把点M 的极坐标⎝⎛⎭⎫8，2π3化成直角坐标；(2)把点P 的直角坐标(6，－2)化成极坐标．(ρ＞0，0≤θ＜2π) 解：(1)x ＝8cos 2π3＝－4， y ＝8sin2π3＝43，因此，点M 的直角坐标是(－4，43)． (2)ρ＝（6）2＋（－2）2＝22， tan θ＝－26＝－33，又因为点在第四象限，得θ＝116π.因此，点P 的极坐标为(22，11π6)．在极坐标系中，已知A ⎝⎛⎭⎫3，－π3，B ⎝⎛⎭⎫1，23π，求A 、B 两点之间的距离． [精讲详析] 本题考查极坐标与直角坐标的互化、极坐标系中两点间的距离公式．解答此题可直接利用极坐标系中两点间的距离公式求解，也可以先将极坐标化为直角坐标，然后利用两点间的距离公式求解．法一：由A (3，－π3)、B (1，2π3)在过极点O 的一条直线上，这时A 、B 两点的距离为|AB |＝3＋1＝4，所以，A 、B 两点间的距离为4.法二：∵ρ1＝3，ρ2＝1，θ1＝－π3，θ2＝2π3，由两点间的距离公式得|AB |＝ρ21＋ρ22－2ρ1ρ2cos （θ1－θ2）＝32＋12－2×3×1×cos （－π3－23π）＝10－6cos π ＝10＋6 ＝16 ＝4.法三：将A (3，－π3)，B (1，2π3)由极坐标化为直角坐标，对于A (3，－π3)有x ＝3cos (－π3)＝32，y ＝3sin(－π3)＝－332，∴A (32，－332)．对于B (1，2π3)有x ＝1×cos 2π3＝－12，y ＝1×sin2π3＝32， ∴B (－12，32)．∴|AB |＝（32＋12）2＋（－332－32）2＝4＋12＝4. ∴AB 两点间的距离为4.对于这类问题的解决方法，可以直接用极坐标内两点间的距离公式d ＝ρ21＋ρ22－2ρ1ρ2cos （θ1－θ2）求得；也可以把A 、B 两点由极坐标化为直角坐标，利用直角坐标中两点间的距离公式d ＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2求得；极坐标与直角坐标的互化体现了化归的解题思想；还可以考虑其对称性，根据对称性求得．3．在极坐标系中，如果等边三角形的两个顶点是A ⎝⎛⎭⎫2，π4，B ⎝⎛⎭⎫2，54π，则求第三个顶点C 的坐标．解：由题设知，A 、B 两点关于极点O 对称，又|AB |＝4，由正三角形的性质知，|CO |＝23，∠AOC ＝π2，从而C 的极坐标为(23，34π)或(23，－π4)．极坐标与直角坐标的互化在高考模拟中经常出现．本考题将极坐标与直角坐标的互化同极坐标系中两点间的距离和简单的三角恒等变换相结合考查，是高考模拟命题的一个新亮点．[考题印证]已知极坐标系中，极点为O ，将点A (4，π6)绕极点逆时针旋转π4得到点B ，且|OA |＝|OB |，则点B 的直角坐标为________．[命题立意] 本题主要考查点的极坐标的求法以及直角坐标与极坐标的转化． [解析] 依题意，点B 的极坐标为(4，5π12)，∵cos 5π12＝cos (π4＋π6)＝cos π4cos π6－sin π4·sin π6＝22·32－22·12＝6－24， sin 5π12＝sin (π4＋π6)＝sin π4cos π6＋cos π4·sin π6＝22·32＋22·12＝6＋24， ∴x ＝ρcos θ＝4×6－24＝6－2， y ＝ρsin θ＝6＋ 2.∴点B 的直角坐标为(6－2，6＋2)． [答案] (6－2，6＋2)一、选择题1．在极坐标系中，点M ⎝⎛⎭⎫－2，π6的位置，可按如下规则确定( )A ．作射线OP ，使∠xOP ＝π6，再在射线OP 上取点M ，使|OM |＝2 B ．作射线OP ，使∠xOP ＝7π6，再在射线OP 上取点M ，使|OM |＝2 C ．作射线OP ，使∠xOP ＝7π6，再在射线OP 的反向延长线上取点M ，使|OM |＝2 D ．作射线OP ，使∠xOP ＝－π6，再在射线OP 上取点M ，使|OM |＝2解析：选B 当ρ＜0时，点M (ρ，θ)的位置按下列规定确定：作射线OP ，使∠xOP ＝θ，在OP 的反向延长线上取|OM |＝|ρ|，则点M 就是坐标(ρ，θ)的点．2．在极坐标平面内，点M ⎝⎛⎭⎫π3，200π，N ⎝⎛⎭⎫－π3，201π，G ⎝⎛⎭⎫－π3，－200π，H ⎝⎛⎭⎫2π＋π3，200π中互相重合的两个点是( )A ．M 和NB ．M 和GC ．M 和HD ．N 和H 解析：选A 由极坐标定义可知，M 、N 表示同一个点．3．若ρ1＋ρ2＝0，θ1＋θ2＝π，则点M 1(ρ1，θ1)与点M 2(ρ2，θ2)的位置关系是( ) A ．关于极轴所在直线对称 B ．关于极点对称C ．关于过极点垂直于极轴的直线对称D ．两点重合解析：选A 因为点(ρ，θ)关于极轴所在直线对称的点为(－ρ，π－θ)．由此可知点 (ρ1，θ1)和(ρ2，θ2)满足ρ1＋ρ2＝0，θ1＋θ2＝π，是关于极轴所在直线对称． 4．已知极坐标平面内的点P ⎝⎛⎭⎫2，－5π3，则P 关于极点的对称点的极坐标与直角坐标分别为( )A.⎝⎛⎭⎫2，π3，(1，3)B.⎝⎛⎭⎫2，－π3，(1，－3)C.⎝⎛⎭⎫2，2π3，(－1，3)D.⎝⎛⎭⎫2，－2π3，(－1，－3)解析：选D 点P (2，－5π3)关于极点的对称点为(2，－5π3＋π)，即(2，－2π3)，且x ＝2cos (－2π3)＝－2cos π3＝－1，y ＝2sin (－2π3)＝－2sin π3＝－ 3.二、填空题5．限定ρ>0，0≤θ<2π时，若点M 的极坐标与直角坐标相同，则点M 的直角坐标为________．解析：点M 的极坐标为(ρ，θ)，设其直角坐标为(x ，y )，依题意得ρ＝x ，θ＝y ，即x 2＋y 2＝x 2. ∴y ＝θ＝0，ρ>0，∴M (ρ，0)．答案：(ρ，0)6．已知极坐标系中，极点为O ，0≤θ<2π，M ⎝⎛⎭⎫3，π3，在直线OM 上与点M 的距离为4的点的极坐标为________．解析：如图所示，|OM |＝3，∠xOM ＝π3，在直线OM 上取点P 、Q ，使|OP |＝7，|OQ |＝1，∠xOP ＝π3，∠xOQ ＝4π3，显然有|PM |＝|OP |－|OM |＝7－3＝4，|QM |＝|OM |＋|OQ |＝3＋1＝4.答案：(7，π3)或(1，4π3)7．直线l 过点A ⎝⎛⎭⎫3，π3，B ⎝⎛⎭⎫3，π6，则直线l 与极轴夹角等于________．解析：如图所示，先在图形中找到直线l 与极轴夹角(要注意夹角是个锐角)，然后根据点A ，B 的位置分析夹角大小．因为|AO |＝|BO |＝3， ∠AOB ＝π3－π6＝π6，所以∠OAB ＝π－π62＝5π12.所以∠ACO ＝π－π3－5π12＝π4.答案：π48．已知点M 的极坐标为(5，θ)，且tan θ＝－43，π2<θ<π，则点M 的直角坐标为________．解析：∵tan θ＝－43，π2<θ<π，∴cos θ＝－35，sin θ＝45.∴x ＝5cos θ＝－3，y ＝5sin θ＝4. ∴点M 的直角坐标为(－3，4)．答案：(－3，4) 三、解答题9．设点A ⎝⎛⎭⎫1，π3，直线L 为过极点且垂直于极轴的直线，分别求出点A 关于极轴，直线L ，极点的对称点的极坐标(限定ρ＞0，－π＜θ≤π)解：如图所示：关于极轴的对称点为 B (1，－π3)关于直线L 的对称点为C (1，2π3)．关于极点O 的对称点为D (1，－2π3)．10．已知点P 的直角坐标按伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝2x ，y ′＝3y变换为点P ′(6，－3)，限定ρ>0，0≤θ≤2π时，求点P 的极坐标．解：设点P 的直角坐标为(x ，y )，由题意得⎩⎨⎧6＝2x －3＝3y ，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝－ 3.∴点P 的直角坐标为(3，－3)．ρ＝32＋（－3）2＝23，tan θ＝－33，∵0≤θ<2π，点P 在第四象限， ∴θ＝11π6.∴点P 的极坐标为(23，11π6)． 11．在极轴上求与点A ⎝⎛⎭⎫42，π4的距离为5的点M 的坐标．解：设M (r ，0)，因为A (42，π4)，所以（42）2＋r 2－82r ·cos π4＝5. 即r 2－8r ＋7＝0.解得r ＝1或r ＝7.所以M 点的坐标为(1，0)或(7，0)．。

极坐标系的概念

极坐标系的概念
负极径总结：极径是负的，等于极角增加。负极径的负与数学中历来的习惯相同，用
来表示“反向” 特别强调：以后不特别声明， 0 。
因为，负极径只在极少数情况用。
极坐标系的概念
五、极坐标系下点的极坐标
探索点M（3，/4）的所有极坐标
P
M
[1]极径是正的时候：
3， 2k O
X
极径相同，不同的是极角。
思考：这些极角有何关系？
这些极角的始边相同，终边也相同，也就是说它们是终边相同的角。
本题点M的极坐标统极坐标一系的概表念达式： 4 ，2 k π +
π 4
题组二：在极坐标系里描出下列各点
A(3, 0)
4
D(5, ) 3
G(6, 5 )
3
B(6, 2 ) 5
E(3, ) 6
4
[2]极径用“-3” （3， 2k)
4
极坐标系的概念
五、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况
[1]首先，给定极坐标M（，）
P
M
在平面上可以确定唯一的一点。
[2]反过来，给定平面上一
点，却有无数正有负；极
M
角有无数个。
但是，有统一表达式两个。 O
X
P
极坐标系的概念
如果限定ρ≥0,0≤θ＜2π 那么除极点外,平面内的点和极坐标就可以一一对应了.
极坐标系的概念
在直角坐标系中, 以原点作为极点, x轴的正半轴作为极轴, 并且两种坐标系中取相同的长度单位
点M的直角坐标为 (1, 3)
设点M的极坐标为(ρ,θ)
y
M (1, 3)
极坐标系的概念
四、4、正、负极径时，点的确定过程比较

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O X π +2kπ 4， 4
这些极角的始边相同，终边也相同。也就是说它们是终边相同的角。
指出下列各点的极坐标的统一表达式。 π/2
巩固训练
π/4
5π /6
D
C（5.5，π/2 ＋2kπ ）
（7，5π/6 ＋2kπ ）
（3，π/4 ＋2kπ ） B
A （5，2kπ ） X G（3，5π/3＋2kπ）
极坐标系的概念
建构数学
1、极坐标系的建立：在平面内取一个定点O，叫做极点. 引一条射线OX，叫做极轴。再选定一个长度单位和计算角度的正方向。（通常取逆时针方向）. O 这样就建立了一个极坐标系. X
2、极坐标系内一点的极坐标的规定对于平面上任意一点M,用表示线段OM的长度, 用表示以射线OX为始边,射线OM为终边所成的角,叫做点M的极径, 叫做点M的极角,有序数对 (,)就叫做M的极坐标。思考: 对比直角坐标系，比较异同。极点、极轴、长度单位、 (1) 要素：____________________ 计算角度的正方向 ____________________； O (, ) 表示. (2) 平面内点的极坐标用_____

3
, 0的点M（，）所么样的图形？
5、关于负极径
在一般情况下，极径都是取正值。但在某些必要的情况下，也允许取负值(<0): 时如何规定 )对应的点的位置？当<0时，点 M(,( , )的位置规定：点M：在角终边的反向延长线上，且|OM|=||
[3]一点的极坐标有否统一的表达式？有。（ρ ，2kπ +θ ）
（4，9π /4）（4，-7π /4）
A π/4
O X
发现：（1）一个点的极坐标不唯一极角变化
（2）极角之间是什么关系？
3、点的极坐标的表达式的研究
如图：OM的长度为4，

4

M
请说出点M的极坐标的表达式？思考：这些极坐标之间有何异同？极径相同，不同的是极角. 思考：这些极角有何关系？
M X
极点的极坐标为 (0, ), 可为任意值. ____________________
数学运用
例1、如图，写出各点的极坐标：
2 4
5 6
D

• E •
F
•
C
A(4,0) B(3, ) 4 C(2, 2 )
。 O1
• B
• •
A
x
5 D(5, ) 6 E(4.5, )
4、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况
M
P (ρ,θ)
[1]给定（,）,就可以在极坐标平面内确定唯一的一点M
O
X
[2]给定平面上一点M，但却有无数个极坐标与之对应。原因在于：极角有无数个。如果限定ρ ＞0,0≤θ ＜2π 那么除极点外,平面内的点和极坐标就可以一一对应了.
数学运用
例2、在极坐标系中，（ 1）已知两点P（5、），Q（ 1，），求线段PQ的长度。 4 4 5 （2）已知两点P（5、），Q（ 1，），求线段PQ的长度。 4 ,4 （3）说明满足条件
4 3
•
G
5 3
F(6,4) 3 G(7, 5 ) 3
巩固训练指出下列各点在极坐标系中的位置
A（7，5π/6） B（3，- 3π/4）
π/2
C （6，7π/2）
π/4
5π /6
A
π
B
X
0
11π /6 5π /4
C
3π/2
巩固训练
指出下列各点在极坐标系中的位置（4，π /4）
哇！原来这些极角都是终边相同的角。
5 6 ° O M(-2, 5) 6 ° O

x
x • •M(-2, 5) M (, ) 6 小结：从比较来看, 负极径比正极径多了一个操作, 将射线OP“反向延长”.
课堂小结
[1]建立一个极坐标系需要哪些要素? 极点；极轴；长度单位；计算角度的正方向. [2]极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式？无数，极角有无数个.
π
（2，π ＋2kπ ） E
0
（6，4π/3 ＋2kπ ）
F
4π /3
5π /3
课堂小结：
[1]极坐标系的建立需确定几条？极点；极径；长度单位和角度正方向。 [2]极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式？
无数种。是因为极角引起的。
[3]一点的极坐标有否统一的表达式？
有。 (ρ ,θ )
(ρ ,θ
+2kπ )