高三数学二轮复习课余自主加餐训练“12 4”限时提速练(九)理

“12＋4”限时提速练(九)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知复数z ＝2＋i
2 015
1＋i (i 为虚数单位)，则复数z 的共轭复数在复平面内对应的点位于
( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
2．设集合A ＝{(x ，y )|y ＝x ＋1，x ∈R }，B ＝{(x ，y )|x 2
＋y 2
＝1}，则满足C ⊆(A ∩B )的集合C 的个数为( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．4
3．已知向量a ＝(9，m 2
)，b ＝(1，－1)，则“m ＝－3”是“a ⊥b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
4．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为( )
A ．15
B ．14
C ．7
D ．6
5．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的方程是y ＝3
2
x ，且双曲线的一个焦点
在抛物线y 2
＝47x 的准线上，则双曲线的方程为( )
A.x 221－y 228＝1
B.x 24－y 23＝1
C.
x 2
28－y 2
21＝1 D.x 23－y 2
4
＝1 6．已知⎝
⎛⎭⎪⎫x 2＋k x 6
(k >0)的展开式的常数项为240，则⎠⎛1k 1x d x ＝( )
A ．1
B ．ln 2
C ．2
D ．2ln 2
7．某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为( )
A.43
B.52
C.7
3
D ．3 8．已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≥0，x ＋y －3≥0，3x ＋y －11≤0，
则z ＝2y ＋1
x －1
的取值范围是( )
A ．[－2，3] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，3
C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，52
D.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤52，3 9．若将函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫6x ＋π6的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)，再
向右平移π6个单位长度，得到函数y ＝f (x )的图象，若y ＝f (x )＋a 在x ∈[－π6，π
2]上有两个
不同的零点，则实数a 的取值范围是( )
A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，32
B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32
C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3
D.⎝
⎛⎦⎥⎤－3，－32
10．已知在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝3，记A (n )＝a 1＋a 2＋…＋a n ，B (n )＝a 2＋a 3＋…＋
a n ＋1，C (n )＝a 3＋a 4＋…＋a n ＋2(n ∈N *)，若对任意的n ∈N *，A (n )，B (n )，C (n )成等差数列，则A (n )＝( )
A ．3
n －1
B ．2
n －1
＋n 2
－1
C ．2n 2
－3n ＋2 D ．n 2
11.如图，F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段PF 2与
圆x 2
＋y 2
＝b 2
相切于点Q ，且点Q 为线段PF 2的中点，则a 2＋e 2
3b
(e 为椭圆的离心率)的最小值为
( )
A.
53 B.54
C.
63 D.64
12．以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角形”．
1 2 3 4 5.........
2 01
3 2 01
4 2 01
5 2 01
6 3 5
7 9.................
4 027 4 029 4 031
8 12 16 ......................
8 056 8 060
20 28...................................
16 116
..................................................
该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为( )
A ．2 017×22 015
B ．2 017×22 014
C ．2 016×2
2 015 D ．2 016×2
2 014
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分)
13．在正项等比数列{a n }中，log 2a 3＋log 2a 6＋log 2a 9＝3，则a 1a 11＝________．
14．在长为12厘米的线段AB 上任取一点C ，现以线段AC ，BC 为邻边作一矩形，则该矩形的面积大于20 cm 2
的概率为________．
15．正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则三棱锥B ­A 1B 1C 1与三棱锥A ­A 1B 1D 1的公共部分的体积为________．
16．已知函数f (x )＝13ax 3＋12
bx 2
＋cx ＋d (a ≠0)的导函数为g (x )，且g (1)＝0，a <b <c ，设
x 1，x 2是方程g (x )＝0的两个根，则|x 1－x 2|的取值范围为________．
答 案
一、选择题 1．解析：选A ∵i
2 015
＝i
4×503＋3
＝i 3
＝－i ，∴z ＝2－i 1＋i ＝（2－i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝1－3i 2＝12－
32
i ，∴z ＝12＋3
2
i ，其在复平面内对应的点位于第一象限，故选A.
2．解析：选D 法一：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x 2＋y 2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1或⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0，所以A ∩B ＝{(0，1)， (－1，0)}，即A ∩B 中有两个元素，因为C ⊆(A ∩B )，所以集合C 的个数是4，故选D.
法二：在同一坐标系中作出直线y ＝x ＋1和圆x 2
＋y 2
＝1，由图可知，直线与圆有两个交点，即A ∩B 中有两个元素，因为C ⊆(A ∩B )，所以集合C 的个数是4.
3．解析：选A 当m ＝－3时，a ＝(9，9)，∴a ·b ＝9×1＋9×(－1)＝0，所以a ⊥b ；当
a ⊥
b 时，由a ·b ＝9－m 2＝0，得m ＝±3，故“m ＝－3”是“a ⊥b ”的充分不必要条件．
4．解析：选A 第一次循环，得a ＝2，S ＝1＋2＝3<10；第二次循环，得a ＝4，S ＝3＋4＝7<10；第三次循环，得a ＝8，S ＝7＋8＝15>10，输出S 的值为15.故选A.
5．解析：选B 双曲线的渐近线方程是y ＝±b a x ，所以b a ＝
3
2
，抛物线的准线方程为x ＝－7，所以c ＝7，由a 2
＋b 2
＝c 2
，可得a 2
＝4，b 2
＝3，故选B.
6．解析：选B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋k x 6(k >0)的展开式的通项为T r ＋1＝C r 6(x 2)6－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫k x r
＝C r 6k r x 12－3r
，当12
－3r ＝0时，r ＝4，故常数项为C 46
k 4
＝15k 4
＝240，得k ＝2，⎠⎛12
1
x
d x ＝ln x ⎪⎪⎪2
1＝ln 2.
7．解析：选A 根据几何体的三视图，得该几何体是下部为直三棱柱，上部为三棱锥的组合体，如图所示．
则该几何体的体积是V 几何体＝V 三棱柱＋V 三棱锥＝12×2×1×1＋13×12×2×1×1＝4
3.
8．解析：选B 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，
由题意可知，z ＝2y ＋1x －1＝2·y ＋
1
2x －1，它表示平面区域内的点(x ，y )与定点M ⎝
⎛⎭⎪⎫1，－12的连线
的斜率的2倍．由图可知，当点(x ，y )位于点C 时，直线的斜率取得最小值－1
6；当点(x ，y )
位于点A 时，直线的斜率取得最大值32.故z ＝2y ＋1x －1的取值范围是⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－13，3，选B.
9．解析：选D 把函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫6x ＋π6的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标
不变)，得到函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫6x ＋π6的图象，再向右平移π6个单位长度，得到函数f (x )＝
3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，5π6，结合图形知－a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，3，
可得a ∈⎝
⎛⎦⎥⎤－3，－32.故选D .
10．解析：选D 法一：根据题意A (n )，B (n )，C (n )成等差数列，∴A (n )＋C (n )＝2B (n )， 整理得a n ＋2－a n ＋1＝a 2－a 1＝3－1＝2，∴数列{a n }是首项为1，公差为2的等差数列． ∴a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1.∴A (n )＝
n （a 1＋a n ）2
＝
n （1＋2n －1）
2
＝n 2
，故选D.
法二：(特值法)因为A (n )＋C (n )＝2B (n )，当n ＝1时，得a 3＝5，所以A (1)＝1，A (2)＝4，
A (3)＝9，经检验只有D 选项符合，故选D.
11.解析：选A 连接F 1P ，OQ ，因为点Q 为线段PF 2的中点，所以|F 1P |＝2|OQ |＝2b ，由椭圆的定义得|PF 2|＝2a －2b ，由F 1P ⊥F 2P ，得(2b )2
＋(2a －2b )2
＝(2c )2
，解得2a ＝3b ，e ＝5
3
，所以a 2
＋e
2
3b ＝a 2＋
5
92a ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋59a ≥12
·2
a ·5
9a ＝53⎝ ⎛
⎭
⎪⎫
当且仅当a ＝5
3时等号成立，故选A. 12．解析：选B 当第一行有3个数时，最后一行仅有一个数为8＝23－2
×(3＋1)；当第一
行有4个数时，最后一行仅有一个数为20＝24－2
×(4＋1)；当第一行有5个数时，最后一行仅
有一个数为48＝2
5－2
×(5＋1)；当第一行有6个数时，最后一行仅有一个数为112＝2
6－2
×(6＋
1)；……，归纳推理可得，当第一行有2 016个数时，最后一行仅有一个数为22 016－2
×(2 016
＋1)＝2 017×2
2 014
.
二、填空题
13．解析：∵在正项等比数列{a n }中，log 2a 3＋log 2a 6＋log 2a 9＝3，∴log 2(a 3a 6a 9)＝log 2a 3
6＝3，∴a 6＝2，∴a 1a 11＝a 2
6＝4.
答案：4
14．解析：不妨设长为x cm ，则宽为(12－x )cm ，由x (12－x )>20，得2<x <10，所以该矩形的面积大于20 cm 2
的概率为
10－212＝2
3
. 答案：2
3
15．解析：设A 1C 1∩B 1D 1＝M ，AB 1∩A 1B ＝N ，取A 1B 1中点P ，连接MN ，MP ，NP ，则三棱锥B ­A 1B 1C 1
与三棱锥A ­A 1B 1D 1的公共部分为三棱锥A 1­MNB 1，其体积为2VA 1­MNP ＝2×13×12×1×1×1＝13
.
答案：1
3
16．解析：由已知g (x )＝f ′(x )＝ax 2
＋bx ＋c ，∴g (1)＝a ＋b ＋c ＝0， ∵a <b <c ，∴a ＜0，c ＞0，b ＝－a －c ，
∴a <－a －c <c ，解得－2<c a <－12，∴|x 1－x 2|＝（x 1＋x 2）2
－4x 1x 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－c a ＝1－c a ，
∵－2<c a <－12，∴|x 1－x 2|∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，3.
答案：⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，3。