九年级数学上册 21.2 直接开方法导学案1(无答案)(新版)新人教版
人教版九年级数学上册第21章一元二次方程导学案设计 21.2 一元二次方程的解法
(1) (用直接开平方法) (2) (用配方法)
(3)x(x-2)=2-x(用因式分解法) (4) (用公式法)
2.运用适当的方法解下列方程
(1) (2)
(3) (4)
(5)(6)
类型二：根的判别式的应用
1.已知关于x的方程 +(2m+1)x+ =0，m取什么值时，
⑴方程有两个不相等的实数根？
学习内容
一元二次方程的解法专练
主 备
使用者
审 核
课 型
时 间
学习目标
1.能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性。
教学重点
选择合理的方法解一元二次方程，使运算简便。
教学难点
理解四种解法的区别和联系。
学法导航
自主学习，小组交流，教师点拨
学习内容及学习流程
方法指导
类型一：一元二次方程的解法
⑵方程有两个相等的实数根？
⑶方程没有实数根？
2.已知关于x的方程 +mx+m−3=0.
(1)若该方程的一个根为1，求m的值及该方程的另一根；
(2)求证：不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根。
提示：理解四种解法的区别和联系。
提示：根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法。
21.2 解一元二次方程(直接开平方法)(教学设计)
章节名称21.2 解一元二次方程（直接开平方法）编号课型新授课备课人上课时间年月日教学目标知识与技能：1)利用开平方法解形如x2＝p(p≥0)的方程。
2)利用开平方法解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的方程。
过程与方法:回顾平方根的知识，通过对实际生活中的问题列出一元二次方程，通过整理并求解的过程，让学生初步掌握利用直接开平方解一元二次方程（形如：x2＝p(p≥0）的方法，再通过数学转换的方法，将一个一元二次方程（形如：(mx＋n)2＝p(p≥0)）“降次”为两个一元一次方程，这样就可以通过解一元一次方程来求一元二次方程的解。
情感态度与价值观：1）培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识。
2）激发学生对学数学的兴趣，体会学数学的快乐，培养用数学的意识。
教学重点运用直接开平方法解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程。
教学难点通过平方根的意义解形如x2＝p(p≥0)的方程，将知识迁移到根据平方根的意义解形如(mx＋n)2＝p(p ≥0)的一元二次方程。
板书设计21.2 解一元一次方程（直接开平方法）一般地，对于方程x2＝p，1)当p＞0时，根据平方根的意义，方程有两个不相等的实数根p2xpx1-==，；2)当p＝0时，根据平方根的意义，方程有两个相等的实数根x1=x2=0；3)当p＜0时，因为对于任意实数x，都有x2≥0，所以方程无实数根。
教学过程教学环节教生活动设计意图导入新课【课前回顾】师：求下列各数的平方根 1）169 2）8125生：1）±135[多媒体展示][课前回顾]对于方程x2=p，1）当p= 4时，求方程的解？2）当p= 0时, 求方程的解？3）当p=-4时, 方程有解吗?为什么?师：尝试求解方程？生：1）x1=2, x2=﹣22）x1=x2=03）无解，当p＜0时，因为对于任意实数x，都有x2≥0，所以方程无解【情景导入】[多媒体展示][情景引入]一桶油漆可刷的面积为1500 dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗?师：列出方程，观察方程的样式，解方程求出棱长？生：设正方体的棱长为 x dm，则一个正方体的表面积为 6x2 dm2，则列出方程为：10×6x2=1500 ，化简整理，得x2=25，据平方根的意义，得x=±5,即x1=5, x2=﹣5。
九年级数学上册-解一元二次方程21.2.1配方法第1课时直接开平方法教案新版新人教版
21.2 解一元二次方程21．2.1 配方法第1课时直接开平方法理解一元二次方程“降次”——转化的数学思想,并能应用它解决一些具体问题．提出问题,列出缺一次项的一元二次方程ax2＋c＝0,根据平方根的意义解出这个方程,然后知识迁移到解a(ex＋f)2＋c＝0型的一元二次方程．重点运用开平方法解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程,领会降次——转化的数学思想．难点通过根据平方根的意义解形如x2＝n的方程,将知识迁移到根据平方根的意义解形如(x ＋m)2＝n(n≥0)的方程．一、复习引入学生活动:请同学们完成下列各题．问题1:填空(1)x2－8x＋________＝(x－________)2；(2)9x2＋12x＋________＝(3x＋________)2；(3)x2＋px＋________＝(x＋________)2.解:根据完全平方公式可得:(1)16 4；(2)4 2；(3)(p2)2p2.问题2:目前我们都学过哪些方程？二元怎样转化成一元？一元二次方程与一元一次方程有什么不同？二次如何转化成一次？怎样降次？以前学过哪些降次的方法？二、探索新知上面我们已经讲了x2＝9,根据平方根的意义,直接开平方得x＝±3,如果x换元为2t＋1,即(2t＋1)2＝9,能否也用直接开平方的方法求解呢？(学生分组讨论)老师点评:回答是肯定的,把2t＋1变为上面的x,那么2t＋1＝±3即2t＋1＝3,2t＋1＝－3方程的两根为t1＝1,t2＝－2例1 解方程:(1)x2＋4x＋4＝1 (2)x2＋6x＋9＝2分析:(1)x2＋4x＋4是一个完全平方公式,那么原方程就转化为(x＋2)2＝1.(2)由已知,得:(x＋3)2＝2直接开平方,得:x＋3＝± 2即x＋3＝2,x＋3＝－ 2所以,方程的两根x1＝－3＋2,x2＝－3－ 2解:略．例2 市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10 m2提高到14.4 m2,求每年人均住房面积增长率．分析:设每年人均住房面积增长率为x,一年后人均住房面积就应该是10＋10x＝10(1＋x)；二年后人均住房面积就应该是10(1＋x)＋10(1＋x)x＝10(1＋x)2解:设每年人均住房面积增长率为x,则:10(1＋x)2＝14.4(1＋x)2＝1.44直接开平方,得1＋x＝±1.2即1＋x＝1.2,1＋x＝－1.2所以,方程的两根是x1＝0.2＝20%,x2＝－2.2因为每年人均住房面积的增长率应为正的,因此,x2＝－2.2应舍去．所以,每年人均住房面积增长率应为20%.(学生小结)老师引导提问:解一元二次方程,它们的共同特点是什么？共同特点:把一个一元二次方程“降次”,转化为两个一元一次方程．我们把这种思想称为“降次转化思想”．三、巩固练习教材第6页练习．四、课堂小结本节课应掌握:由应用直接开平方法解形如x2＝p(p≥0)的方程,那么x＝±p转化为应用直接开平方法解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的方程,那么mx＋n＝±p,达到降次转化之目的．若p＜0则方程无解．五、作业布置教材第16页复习巩固1.。
九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.2解一元二次方程21.2.2公式法教案新人教版(2021
2018-2019学年九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.2 解一元二次方程21.2.2 公式法教案（新版）新人教版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.2 解一元二次方程21.2.2 公式法教案（新版）新人教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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21.2.2 公式法※教学目标※【知识与技能】1.理解并掌握求根公式的推导过程．2。
能利用公式法求一元二次方程的解．【过程与方法】经历探索求根公式的过程，加强推理技能，进一步发展逻辑思维能力．【情感态度】用公式法求解一元二次方程的过程中，锻炼学生的运算能力，养成良好的运算习惯，培养严禁认真的科学态度．【教学重点】求根公式的推导和公式法的应用．【教学难点】一元二次方程求根公式的推导．※教学过程※一、复习导入1.前面我们学习过直接开平方法解一元二次方程，比如，方程24x，227x：提问1 这种解法的（理论）依据是什么？提问2 这种解法的局限性是什么?（只对那种“平方式等于非负数"的特殊的一元二次方程有效，不能实施于一般形式的一元二次方程）2.面对这种局限性，我们该怎么办？（使用配方法,把一般形式的一元二次方程化为能够直接开平方的形式）（学生活动) 用配方法解方程:2x x．237总结用配方法解一元二次方程的步骤（学生总结,老师点评）（1）先将已知方程化为一般形式； （2）二次项系数化为1； （3）常数项移到右边；（4）方程两边都加上一次项系数的一般的平方，使左边配成一个完全平方式; （5）变形为2x np 的形式，如果0p ，就可以直接开平方求出方程的解，如果0p ，则一元二次方程无解．二、探索新知能否用上面配方法的步骤求出一元二次方程200ax bx c a 的两根？移项，得2ax bxc ．二次项系数化为1,得2b cx xa a． 配方，得22222b b c b xx a aaa，即222424b b ac x aa ．此时，教师应作适当停顿，提出如下问题，引导学生分析、探究：（1）两边能直接开平方吗？为什么？ （2）你认为下一步该怎么办？师生共同完善认知：(1）当b 2—4ac ＞0时，两边可直接开平方，得242b b ac x a，∴2142bb ac x a，2242bb ac x a;（2)当b 2—4ac =0时，有202b x a 。
临猗县第一中学九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.2解一元二次方程21.2.2公式法导学案新版
第二十一章 一元二次方程21.2 解一元二次方程 21.2.2 公式法学习目标：1.经历求根公式的推导过程.2.会用公式法解一元二次方程.3.理解并会计算一元二次方程根的判别式.4.会用判别式判断一元二次方程的根的情况.重点：运用公式法解一元二次方程. 难点：一元二次方程求根公式的推导.一、知识链接如何用配方法解方程2x 2+4x -1=0?二、要点探究探究点1：求根公式的推导合作探究 任何一个一元二次方程都可以写成一般形式ax 2+bx +c =0(a ≠0)，能否也用配方法得出它的解呢？问题1 用配方法解一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0).解：移项，得ax 2+bx =－c ，二次项系数化为1，得x 2+ x =c a配方，得x 2+ x +( )2=( )2c a即(x +2b a)2=2244b aca ①问题2 对于方程①接下来能直接开平方解吗？要点归纳：∵a ≠0，∴4a 2>0.要注意式子b 2－4ac 的值有大于0、小于0和等于0三种情况. 探究点2：一元二次方程根的判别式22= b 2－4ac.练一练 按要求完成下列表格.4403x21103x x 10的值x 2+x =1，下列判断正确的是( ) A.该方程有两个相等的实数根 B.该方程有两个不相等的实数根 C.该方程无实数根D.该方程根的情况不确定例2 不解方程，判断下列方程的根的情况．(1) 3x 2+4x －3=0； (2) 4x 2=12x －9； (3) 7y =5(y 2+1).方法总结：现将方程变形为一般形式ax 2+bx +c =0，再根据根的判别式求解即可.例3 若关于x 的一元二次方程x 2+8x +q =0有两个不相等的实数根，则q 的取值范围是( ) A. q ≤4 B. q ≥4C. q <16D. q >16【变式题】二次项系数含字母若关于x 的一元二次方程kx 2－2x －1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是( ) A. k >－1 B. k >－1且k ≠0C. k <1D. k <1且k ≠0方法总结：当一元二次方程二次项系数为字母时，一定要注意二次项系数不为0，再根据根的判别式求字母的取值范围.【变式题】删除限制条件“二次”若关于x 的方程kx 2－2x －1=0有实数根，则k 的取值范围是( ) A. k ≥－1 B.k ≥－1且k ≠0C.k <1D.k <1且k ≠0探究点3：用公式法解方程由上可知，当≥0时，方程ax 2+bx +c =0 (a ≠0)的实数根可写为242bb acxa的形式，这个式子叫做一元二次方程ax 2+bx +c =0的求根公式.用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法.p11例2)用公式法解下列方程：(1) x 2－4x －7=0； (2) 2x 2－+1=0；(2) 5x 2－3x =x +1； (4) x 2+17=8x .要点归纳：公式法解方程的步骤： 1.变形：化已知方程为一般形式； 2.确定系数：用a ，b ，c 写出各项系数；3.计算：b 2－4ac 的值；4.判断：若b 2－4ac ≥0，则利用求根公式求出；若b 2－4ac <0，则方程没有实数根.1.不解方程，判断下列方程的根的情况．(1) 2x 2+3x －4=0； (2) x 2－x +14=0； (3) x 2－x +1=0.2.解方程：x 2+7x –18 = 0.3.解方程：(x －2) (1－3x ) = 6.4.解方程：2x 2－ + 3 = 0.5.（1）关于x的一元二次方程220x x m有两个实根，则m的取值范围是；（2）若关于x的一元二次方程（m-1）x2-2mx+m=2有实数根．求m的取值范围.6.不解方程，判别关于x的方程22x kx k的根的情况.220能力提升：在等腰△ABC中，三边分别为a，b，c，其中a=5，若关于x的方程x2+(b+2)x+6－b=0有两个相等的实数根，求△ABC的周长.参考答案自主学习一、知识链接解：方程整理得212.2x x 配方，得23+12x .直接开平方，得6+12x ，∴12661122x x ，.课堂探究 二、要点探究探究点1：求根公式的推导问题1 b a b a 2b a 2ba问题2 不能，需要注意右边式子有大于0，等于0，小于0三种情况.探究点2：一元二次方程根的判别式两个不相等实数根 两个相等实数根 没有实数根 两个实数根练一练 从上往下，从左到右依次为0，13，4，有两个相等实数根，没有实数根，有两个不相等的实解析：原方程变形为x 2+x －1=0.∵b 2－4ac =1－4×1×(－1)=5＞0，∴该方程有两个不相等的实数根，故选B.例2 解：（1）3x 2+4x －3=0，a =3，b =4，c =－3，∴b 2－4ac =42－4×3×(－3)=52＞0.∴方程有两个不相等的实数根．（2）方程化为：4x 2－12x +9=0，∴b 2－4ac =(－12)2－4×4×9=0.∴方程有两个相等的实数根． （3）方程化为：5y 2－7y +5=0，∴b 2－4ac =(－7)2－4×5×5=－51＜0.∴方程无实数根．例3 C 解析：由根的判别式知，方程有两个不相等的实数根，则b 2－4ac >0，即82－4q >0.解得q ＜16，故选C.【变式题】B 解析：方程有两个不相等的实数根，则b 2－4ac >0，即(－2)2+4k >0.又二次项系数不为0，可得k >－1且k ≠0，故选B.【变式题】A 思路分析：分k =0或k ≠0两种情况进行分类讨论. 探究点3：用公式法解方程例4 解：(1)a =1，b =－4，c =－7，b 2－4ac =(－4)2－4×1×(－7)=44＞0.方程有两个不相等的实数根24(4)44211.221bb ac xa即12211211x x ，.(2)a =2，b =22，c =1，b 2－4ac =(22)2－4×1×2=0.方程有两个相等的实数根，即212422022222bb ac x x a. (3)方程化为5x 2－4x －1=0，a =5，b =－4，c =－1，b 2－4ac =(－4)2－4×5×(－1)=36＞0.方程有两个不相等的实数根24(4)3646.22510bb ac xa 即12115x x ，. (4)方程化为x 2－8x +17=0，a =1，b =－8，c =17，b 2－4ac =(－8)2－4×1×17=－4＜0.方程无实数根. 当堂检测1.解：(1)a =2，b =3，c =－4，b 2－4ac =32－4×2×(－4)=41＞0.方程有两个不相等的实数根.(2)a =1，b =－1，c =14，b 2－4ac =(－1)2－4×1×14=0.方程有两个相等的实数根.(3)a =1，b =－1，c =1，b 2－4ac =(－1)2－4×1×1=－3＜0.方程无实数根.2.解：这里a =1，b =7，c =－18，b 2－4ac =72－4×1×(－18)=121＞0.∴247121711.2212bb ac xa1292x x ，.3. 解：去括号，得x －2－3x 2+ 6x = 6，化为一般式为3x 2－7x + 8 = 0，这里a =3，b =－7，c =8，b 2－4ac =(－7)2–4×3×8 =49－96=－47＜0.∴原方程无实数根. 4.这里a =2，b =33，c =3，b 2－4ac =(33)2－4×2×3=3＞0. ∴24333.24bb acxa12332x x ，. 5.(1)m ≤1(2)解：化为一般式(m －1)x 2－2mx +m －2=0．Δ＝4m 2−4(m −1)(m −2)≥0，且m －1≠0，解得23m且m ≠1. 6.解：222222241844kk k k k ，∵20k ，∴240k ，∴0.∴方程有两个实数根.能力提升解：关于x 的方程x 2+(b +2)x +6－b =0有两个相等的实数根，所以Δ=b 2－4ac =(b －2)2－4(6－b )=b 2+8b －20=0.所以b =－10或b =2.将b =－10代入原方程得x 2－8x +16=0，x 1=x 2=4；将b =2代入原方程得x 2+4x +4=0，x 1=x 2=－2（舍去）； 所以△ABC 的三边长为4，4，5，其周长为4+4+5=13.第2章圆2.1 圆的对称性【知识与技能】1.通过观察实验操作,使学生理解圆的定义.2.结合图形理解弧、等弧、弦、等圆、半圆、直径等有关概念.3.圆既是轴对称图形又是中心对称图形.4.点与圆的位置关系.【过程与方法】通过举出生活中常见圆的例子,经历观察画图的过程多角度体会和认识圆.【情感态度】结合本课教学特点,向学生进行爱国主义教育和美育渗透.激发学生观察、探究、发现数学问题的兴趣和欲望.【教学重点】圆、等圆、弧、等弧、弦、半圆、直径等有关概念的理解.【教学难点】圆、等圆、弧、等弧、弦、半圆、直径等有关概念的区别与联系.一、情境导入，初步认识圆是生活中常见的图形,许多物体都给我们以圆的形象.1.观察以上图形，体验圆的和谐与美丽.请大家说说生活中还有哪些圆形.2.请同学们在草稿纸上用圆规画圆,体验画圆的过程,想想圆是怎样形成的.【教学说明】学生很容易找出生活中关于圆的例子,通过画圆,有利于学生从直观形象认识上升到抽象理性认识.二、思考探究，获取新知1.圆的定义问题如教材P43图所示，通过用绳子和圆规画圆的过程，你发现了什么？由此你能得到什么结论？【教学说明】由于学生通过操作已经得出圆的定义，教师加以规范，有利于加深印象.如右图:在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A所形成的圆形叫做圆.固定的端点O叫做圆心,线段OA叫做半径.以点O为圆心的圆,记作“⊙O”，读作“圆O”.注意:圆指的是圆周,不是圆面.【教学说明】使学生能准确地理解并掌握圆的定义.2.点与圆的位置关系一般地,设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d,则有（1）点P在⊙O内d＜r（2）点P在⊙O上d=r（3）点P在⊙O外d＞r3.与圆有关的概念弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦.(如:线段AB、AC)直径：经过圆心的弦(如AB)叫做直径.注:直径是特殊的弦,但弦不一定是直径.弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.如图,以A、B为端点的弧记作,AB,读作:弧AB.注:①圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆.②大于半圆的弧,用三个点表示,如图中的ABC,叫做优弧.小于半圆的弧,用两个点表示,如图中的AC,叫做劣弧.等圆:能够重合的两个圆叫做等圆.注:半径相等的两个圆是等圆,反过来,同圆或等圆的半径相等.等弧:在等圆或同圆中,能够互相重合的弧叫等弧.注:①等弧是全等的，不仅是弧的长度相等.②等弧只存在于同圆或等圆中.【教学说明】结合图形,使学生准确地掌握与圆有关的概念,为后面的学习打下基础.4.圆的对称性（1）圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心.（2）圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴.【教学说明】上述两个结论是通过教材P44探究1、2而得出来的，教师应引导学生仔细体会，必要时可通过画图或折叠圆心纸片演示.思考车轮为什么做成圆形的?如果车轮不是圆的(如椭圆或正方形等),坐车人会是什么感觉?【分析】把车轮做成圆形,车轮上各点到车轮中心(圆心)的距离都等于车轮的半径,当车轮在平面滚动时,车轮中心与平面的距离保持不变.因此,车辆在平路上行驶时,坐车的人会感到非常平稳.如果车轮不是圆的,车辆在行驶时,坐车人会感觉到上下颠簸,不舒服.三、运用新知，深化理解1.在Rt△ABC中，∠C=90°,AB=3cm,BC=2cm,以点A为圆心，2cm长为半径作圆，则点C（）A.在⊙A内B.在⊙A上C.在⊙A外D.可能在⊙A上也可能在⊙A外2.（1）以点A为圆心，可以画____个圆.(2)以已知线段AB的长为半径,可以画____个圆.(3)以A为圆心，AB长为半径,可以画___个圆.3.如图，半圆的直径AB=________.第3题图第4题图4.如图，图中共有____条弦.【教学说明】学生自主完成,加深对新学知识的理解和检测对圆的有关概念的掌握情况,对学生的疑惑教师及时指导,并进行强化.【答案】1.C 2.(1)无数(2)无数(3)1 3.22 4.2四、师生互动，课堂小结1.师生共同回顾圆的两种定义，弦（直径），弧（半圆、优弧、劣弧、等弧），等圆等知识点.2.通过这节课的学习,你掌握了哪些新知识,还有哪些疑问?请与同伴交流.【教学说明】教师引导学生回顾知识点,让学生大胆发言,进行知识提炼和知识归纳,对于某些概念性的知识,要结合图形加以区别和理解.1.布置作业:从教材“习题2.1”中选取.2.完成同步练习册中本课时的练习.本节课是从学生感受生活中圆的应用开始,到通过学生动手画圆,培养学生动手、动脑习惯,在操作过程中观察圆的特点,加深对所学知识的认识,并运用所学知识解决实际问题,体验应用知识的成就感,激发他们学习的兴趣.二次函数与一元二次方程的关系1.抛物线2283y x x =--与x 轴有______个交点，因为其判别式24b ac -=_____0，相应二次方程23280x x -+=的根的情况为_______．2.二次函数269y x x =-+-的图像与x 轴的交点坐标为________．3.关于x 的方程25mx mx m ++=有两个相等的实数根，则相应二次函数25y mx mx m =++-与x 轴必然相交于 ______点，此时m =__________．4. 函数22y mx x m =+-（m 是常数）的图像与x 轴的交点个数为（） Ａ．0个 Ｂ．1个 Ｃ．2个 Ｄ．1个或2个5.关于x 的二次函数22(81)8y mx m x m =+++的图像与x 轴有交点，则m 的范围是（ ） Ａ．116m <-Ｂ．116m -≥且0m ≠ Ｃ．116m =- Ｄ．116m >-且0m ≠ 6.函数2y ax bx c =++的图象如图所示，那么关于x 的一元二次方程230ax bx c ++-=的根的情况是（ ）Ａ．有两个不相等的实数根Ｂ．有两个异号的实数根 Ｃ．有两个相等的实数根Ｄ．没有实数根7. 若二次函数2y ax c =+，当x 取1x 、2x （12x x ≠）时，函数值相等，则当x 取12x x +时，函数值为（ ）Ａ．a c + Ｂ．a c - Ｃ．c - Ｄ．c8.已知抛物线21()3y x h k =--+的顶点在抛物线2y x =上，且抛物线在x 轴上截得的线段长是h 和k 的值．9.已知函数22y x mx m =-+-． （1）求证：不论m 为何实数，此二次函数的图像与x 轴都有两个不同交点；（2）若函数y 有最小值54-，求函数表达式．10.已知二次函数2224y x mx m =-+．（1）求证：当0m ≠时，二次函数的图像与x 轴有两个不同交点；（2）若这个函数的图像与x 轴交点为A ，B ，顶点为C ，且△ABC的面积为此二次函数的函数表达式．11.已知抛物线2y ax bx c =++与y 轴交于C 点，与x 轴交于1(0)A x ，，212(0)()B x x x <，两点，顶点M 的纵坐标为4-，若1x ，2x 是方程222(1)70x m x m --+-=的两根，且221210x x +=．（1）求A ，B 两点坐标；（2）求抛物线表达式及点C 坐标；（3）在抛物线上是否存在着点P，使△PAB面积等于四边形ACMB面积的2倍，若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．。
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21．2解一元二次方程
21．2.1配方法
第1课时直接开平方法
1．理解解一元二次方程的“降次”——转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题．
2．提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax2＋c＝0，根据平方根的意义解出这个方程．
3．理解形如x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程的解法．
阅读教材第5至6页“练习”的部分，完成以下问题．
问题1一桶某种油漆可刷的面积为1 500 dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？
我们知道x2＝25，根据平方根的意义，直接开平方得x＝±5.
问题2解下列方程：
(1)3x2－1＝5；(2)4(x－1)2－9＝0；
(3)x2＋4x＋4＝9.
知识探究
一般地，对于方程x2＝p：
(1)当p＞0时，根据平方根的意义，方程有两个不等的实数根：x
1
＝－p，
x
2
＝p；
(2)当p＝0时，方程有两个相等的实数根x
1＝x
2
＝0；
(3)当p＜0时，因为对任意实数x，都有x2≥0，所以方程无实数根．
1。
新人教版九年级第21章一元二次方程全章导学案
新人教版九年级数学上册第二十一章一元二次方程全章导学案21．1 一元二次方程（1）学习目标1. 了解一元二次方程的概念，应用一元二次方程概念解决一些简单问题．2．掌握一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)及有关概念．学习重、难点重点：一元二次方程的概念及其一般形式难点：由实际问题列出一元二次方程；准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数及常数项．学习过程：一、激趣定标1、课本引言问题，导入。
2、引入课题，并板书，展示目标二、自学互动（适时点拨）互动1 问题1：如图，有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为3600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？分析：设切去的正方形的边长为x cm，则盒底的长为____，宽为____．列方程____，化简整理，得____．①问题2：要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？分析：全部比赛的场数为4×7＝28．设应邀请x个队参赛，每个队要与其他____个队各赛1场，所以全部比赛共__场．列方程__＝28，化简整理，得____．②1.探究：(1)方程①②中未知数的个数各是多少？(2)它们最高次数分别是几次？归纳：方程①②的共同特点是：这些方程的两边都是____，只含有____未知数(一元)，并且未知数的最高次数是___的方程．2．一元二次方程的定义等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程．互动2 一元二次方程的一般形式一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中__是二次项，___是二次项系数，____是一次项，___是一次项系数，____是常数项．点拨精讲：二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号．二次项系数a≠0是一个重要条件，不能漏掉．三、测评训练：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．1．判断下列方程，哪些是一元二次方程？(1)x3－2x2＋5＝0；(2)x2＝1；(3)5x2－2x－14＝x2－2x＋35；(4)2(x＋1)2＝3(x＋1)；(5)x2－2x＝x2＋1; (6)ax2＋bx＋c＝0.解：师点拨：有些含字母系数的方程，尽管分母中含有字母，但只要分母中不含有未知数，这样的方程仍然是整式方程．2．将方程3x(x－1)＝5(x＋2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．解：去括号，得3x2－3x＝5x＋10.移项，合并同类项，得3x2－8x－10＝0.其中二次项系数是3，一次项系数是－8，常数项是－10.点拨精讲：将一元二次方程化成一般形式时，通常要将首项化负为正，化分为整．四、课堂小结：学生总结本堂课的收获与困惑．1．一元二次方程的概念以及怎样利用概念判断一元二次方程．2．一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，特别强调a≠0.本课课时安排数：总课时数：21．1 一元二次方程（2）学习目标1．掌握一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)及有关概念．2．会进行简单的一元二次方程的试解，理解方程解的概念．学习重、难点重点：一元二次方程的一般形式；一元二次方程解的探索．难点：由实际问题列出一元二次方程；理解方程解的概念．学习过程：一、激趣定标1、说出一元二次方程3x2－8x－10＝0的二次项系数、一次项系数、常数项2、一元二次方程的一般形式是，它有什么要求？3、板书课题，展示目标。
2019-2020学年人教版九年级数学上册 21.2 解一元二次方程 同步学案(无答案)
2019-2020学年人教版九年级数学上册21.1 一元二次方程同步学案一．解一元二次方程-直接开平方法例1．解方程：（y+2）2﹣6＝0【分析】先把给出的方程进行整理，再利用直接开方法求出解即可．【解答】解：（y+2）2﹣6＝0，（y+2）2＝12，y+2＝±2，y1＝2﹣2，y2＝﹣2﹣2．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键．二．解一元二次方程-配方法（1）将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．（2）用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．例2．解方程：x（x﹣2）＝4．【分析】根据一元二次方程的解法即可求出答案．【解答】解：∵x（x﹣2）＝4，∴x2﹣2x＝4，∴x2﹣2x+1＝5，∴（x﹣1）2＝5，∴x＝1±【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．三．解一元二次方程-公式法（1）把x=-b±b2-4ac2a（b2-4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式．（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；②求出b2-4ac的值（若b2-4ac＜0，方程无实数根）；③在b2-4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2-4ac≥0．例3．解方程：﹣3x2+6x＝1【分析】移项后求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可．【解答】解：﹣3x2+6x＝1，﹣3x2+6x﹣1＝0，b2﹣4ac＝62﹣4×（﹣3）×（﹣1）＝24，x＝，x1＝，x2＝．【点评】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键．四．解一元二次方程-因式分解法（1）因式分解法解一元二次方程的意义因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．例4．解方程：x2﹣3x＝﹣2【分析】根据因式分解法即可求出答案．【解答】解：∵x2﹣3x+2＝0，∴（x﹣1）（x﹣2）＝0，∴x＝1或x＝2；【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．五．换元法解一元二次方程1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．例5．解方程：（x﹣1）2﹣5（x﹣1）+4＝0．【分析】设x﹣1＝y，则原方程可化为y2﹣5y+4＝0，解得y的值，即可得到原方程的根．【解答】解：设x﹣1＝y，则原方程可化为y2﹣5y+4＝0解得：y1＝1，y2＝4当y＝1时，x﹣1＝1，解得x＝2，当y＝4时，x﹣1＝4，解得x＝5，∴原方程的根是x1＝2，x2＝5．【点评】本题主要考查了运用换元法解一元二次方程以及分式方程，解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．六．根的判别式利用一元二次方程根的判别式（△=b2-4ac）判断方程的根的情况．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．例6．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+3＝0，当b＝a+3时，请判断此方程根的情况．【分析】先计算出判别式的值，再把b＝a+3代入得到△＝（a+3）2﹣12a＝（a﹣3）2≥0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．【解答】解：△＝b2﹣4a×3＝b2﹣12a，而b＝a+3，所以△＝（a+3）2﹣12a＝（a﹣3）2≥0，所以方程有两个实数根．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．七．根与系数的关系（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=-p，x1x2=q，反过来可得p=-（x1+x2），q=x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．例7．已知关于x的方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根x1、x2（1）求实数m的取值范围；（2）若x1﹣x2＝1，求实数m的值．【分析】（1）根据根的判别式得出不等式，求出不等式的解集即可；（2）先根据根与系数的关系求出x1+x2＝2，x1•x2＝m，再根据完全平方公式进行变形，最高代入求出即可．【解答】解：（1）∵关于x的方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根x1、x2，∴△＝（﹣2）2﹣4×1×m＞0，解得：m＜1，∴实数m的取值范围是m＜1；（2）∵关于x的方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根x1、x2，∴由根与系数的关系得：x1+x2＝2，x1•x2＝m，∵x1﹣x2＝1，∴两边平方得：（x1﹣x2）2＝12，（x1+x2）2﹣4x1•x2＝1，22﹣4m＝1，解得：m＝．【点评】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，能熟记知识点的内容是解此题的关键．八．配方法的应用1、用配方法解一元二次方程．配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2=（a±b）2配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．2、利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值．关键是：二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方．3、配方法的综合应用．例8．例读下列材料并解答后面的问题：利用完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2，通过配方可对a2+b2进行适当的变形，如a2+b2＝（a+b）2﹣2ab或a2+b2＝（a﹣b）2+2ab，从而使某些问题得到解决．例：已知a+b＝5，ab＝3，求a2+b2的值解：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×3＝19通过对例题的理解解决下列问题：（1）已知a﹣b＝2，ab＝3，分别求a2+b2＝10；（2）若，求的值；（3）若n满足（n﹣2019）2+（2018﹣n）2＝1，求式子（n﹣2019）（2018﹣n）的值．【分析】（1）原式利用完全平方公式变形，将已知等式代入计算即可求出值；（2）把已知等式左右两边平方，计算即可求出所求；（3）原式利用完全平方公式计算即可求出值．【解答】解：（1）∵a﹣b＝2，ab＝3，∴原式＝（a﹣b）2+2ab＝4+6＝10；故答案为：10；（2）把a+＝6两边平方得：（a+）2＝a2++2＝36，则a2+＝34；（3）∵（n﹣2019）2+（2018﹣n）2＝1，∴1＝[（n﹣2019）+（2018﹣n）]2＝（n﹣2019）2+（2018﹣n）2+2（n﹣2019）（2018﹣n），则（n﹣2019）（2018﹣n）＝0．【点评】此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．同步测试一．选择题（共8小题）1．下列实数中，是方程x2﹣4＝0的根的是（）A．1B．2C．3D．42．用配方法解方程x2+8x+9＝0，变形后的结果正确的是（）A．（x+4）2＝﹣9B．（x+4）2＝﹣7C．（x+4）2＝25D．（x+4）2＝73．以x＝为根对的一元二次方程可能是（）A．x2﹣3x﹣c＝0B．x2+3x﹣c＝0C．x2﹣3x+c＝0D．x2+3x+c＝04．已知直角三角形的两条直角边长恰好是方程x2﹣5x+6＝0的两个根，则此直角三角形斜边长是（）A．B．C．13D．55．用换元法解方程：﹣2＝0时，如果设＝y，那么将原方程变形后表示为一元二次方程一般形式的是（）A．y﹣﹣2＝0B．y﹣﹣1＝0C．y2﹣2y﹣1＝0D．y2﹣y﹣2＝06．方程2x2+5＝7x根的情况是（）A．有两个不等的实数根B．有两个相等的实数根C．有一个实数根D．没有实数根7．已知一元二次方程2x2﹣3x﹣6＝0有两个实数根a，b，直线经过点A（a+b，0）和点B（0，ab），则直线l的函数表达式为（）A．y＝2x﹣3B．y＝2x+3C．y＝﹣2x+3D．y＝﹣2x﹣38．如果ax2＝（3x﹣）2+m，那么a，m的值分别为（）A．3，0B．9，C．9，D．，9二．填空题（共8小题）9．方程8（x+1）2＝27的解为．10．用配方法解一元二次方程x2﹣mx＝1时，可将原方程配方成（x﹣3）2＝n，则m+n的值是．11．观察算式×，则它的计算结果为．12．三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣6x+8＝0的解，则此三角形的第三边长是13．已知（m2+n2）（m2+n2﹣2）＝4，则m2+n2＝．14．已知关于x的一元二次方程x2+3x+c＝0有两个不相等的实数根，请写出一个符合条件的c值为．15．设α、β是方程x2﹣x﹣2018＝0的两根，则α3+2019β﹣2018的值为．16．把x2﹣4x+1化为（x+h）2+k（其中h、k是常数）的形式是．三．解答题（共8小题）17．解方程：（y+2）2﹣6＝018．解方程：x（x﹣2）＝4．19．用指定方法解下列方程：（1）用配方法解方程：x2+6x+4＝0．（2）用公式法解方程：5x2﹣3x＝x+1．20．按要求解下列方程：（1）（2x﹣3）2+x（2x﹣3）＝0（因式分解法）；（2）2x2﹣4x﹣1＝0（用配方法）．21．已知一元二次方程x2+4x+m＝0，其中m的值满足不等式组，请判断一元二次方程x2+4x+m＝0根的情况．22．【阅读材料】解方程：x4﹣3x2+2＝0解：设x2＝m，则原方程变为m2﹣3m+2＝0解得，m1＝1，m2＝2．当m1＝1时，x2＝1，解得x＝±1．当m2＝2，x2＝2解得x＝±．所以，原方程的解为x1＝1．x1＝﹣1，x3＝，x4＝．【问题解决】利用上述方法，解方程：（x2﹣2x）2﹣5x2+10x+6＝0．23．已知关于x的方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根x1、x2（1）求实数m的取值范围；（2）若x1﹣x2＝1，求实数m的值．24．阅读材料并解答问题：利用完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2，通过配方可对a2+b2进行适当的变形，如a2+b2＝（a+b）2﹣2ab或a2+b2＝（a﹣b）2+2ab．从而解决某些问题．例：已知a+b＝5，ab＝3，求a2+b2的值．解：a2+b2问题：（1）如果，则＝．（2）已知a2+b2＝10，a﹣b＝2，求ab的值．。
九年级数学上册 21.2.1 配方法教案 (新版)新人教版-(新版)新人教版初中九年级上册数学教案
配方法第1课时直接开平方法1.了解降次将一元二次方程转化为一元一次方程.2.能用直接开平方法解x2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥0)形式的方程.【重点难点】会用直接开平方法解一元二次方程.【新课导入】1.你能求出方程x2=16中的未知数吗?2.把方程(x-1)2=9中的x-1看作一个整体,你能转化为两个一元一次方程吗? 【课堂探究】一、用直接开平方法解形如x2=p的一元二次方程1.一元二次方程2x2-6=0的解为x1=,x2=-.2.解方程4x2=9.解:由4x2=9,得x2=,两边直接开平方,得x=±,所以原方程的解为:x1=,x2=-.二、用直接开平方法解形如(mx+n)2=p(p≥0)的一元二次方程3.解方程2(x+3)2-4=0.解:x1=-3+,x2=-3-.4. 解方程(2x+1)2=(x-1)2.解:两边直接开平方,得到2x+1=±(x-1),即2x+1=x-1或2x+1=-(x-1), 解得x1=-2,x2=0.1.只有二次项和常数项的方程x2=p(p≥0),方程两根为x=±.2.方程左边是完全平方式,右边是常数的方程(mx+n)2=p(m≠0,p≥0)方程可转化为两个一元一次方程mx+n=±p,解得x1=,x2=.1.方程x2-4=0的根是(C)(A)x=2 (B)x=-2(C)x1=2,x2=-2 (D)x=42.(2013某某)一元二次方程(x+6)2=16可转化为两个一元一次方程,其中一个一元一次方程是x+6=4,则另一个一元一次方程是(D)(A)x-6=-4 (B)x-6=4(C)x+6=4 (D)x+6=-43.三角形两边的长是3和4,第三边的长是方程x2-12x+35=0的根,则该三角形的周长为(B)(A)14 (B)12(C)12或14 (D)以上都不对4.关于x的一元二次方程(x-k)2+k=0,当k>0时的解为(D)(A)k+ (B)k-(C)k±(D)无实数解5.解方程:2y2=8.解:两边同除以2,得y2=4,所以y1=2,y2=-2.6.解方程:4(3x-2)2-32=0.解:移项,得4(3x-2)2=32,方程两边同除以4,得(3x-2)2=8.两边直接开平方,得3x-2=±2,所以3x-2=2或3x-2=-2.因此,原方程的解是:x1=,x2=.第2课时配方法1.会用配方法解数字系数的一元二次方程.2.掌握配方法的推导过程,熟练地用配方法解一元二次方程. 【重点难点】配方法解一元二次方程.【新课导入】1.将x2+6x配成完全平方式且原整式不变(x+3)2-9.2.你能将方程x2-2x-5=0的左边配成完全平方式吗?【课堂探究】一、多项式的配方1.填空: x2-8x+16=(x-4)2.2.应用配方法把关于x的二次三项式x2-4x+6变形,然后证明:无论x取任何实数值,二次三项式的值都是正数.解:x2-4x+6=x2-4x+4-4+6=(x-2)2+2,无论x取任何实数值,(x-1)2≥0,则(x-1)2+2>0.所以无论x取任何实数值,二次三项式的值都是正数.二、配方法解一元二次方程3.解方程x2-2x-1=0.解:移项,得x2-2x=1,配方,得(x-1)2=2,两边开平方,得x-1=±,所以x1=1+,x2=1-.4.用配方法解方程4x2-12x-1=0.解:二次项系数化为1,得x2-3x-=0,移项,得x2-3x=,配方,得x2-3x+-2=+-2,得到x-2=,则x-=±,∴x1=+,x2=-.小结:配方法解一元二次方程的关键一步是:配方,即方程两边同时加上一次项系数一半的平方,化成(x+m)2=n(n≥0)的形式.1.配方法:通过配成完全平方式来解一元二次2.配方法解一元二次方程的步骤方程的方法. (1)移项:方程右边只有常数项,(2)化1:二次项系数化为1,(3)配方:方程化为(x+m)2=n形式,(4)开方:n≥0时,方程两边直接开方,n<0时,无解,(5)求解:解两个一元一次方程得原方程解.1.(2013某某)用配方法解方程x2-2x-1=0时,配方后所得的方程为(D)(A)(x+1)2=0 (B)(x-1)2=0(C)(x+1)2=2 (D)(x-1)2=22.用配方法解方程x2-x-1=0应该先变形为(C)(A)x-2= (B)x-2=-(C)x-2= (D)x-2=03.方程x2-9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰,则这个三角形的周长为(B)(A)12 (B)15(C)12或15 (D)不能确定4.解方程:x(x+4)=21.解:原方程即x2+4x=21,配方,得(x+2)2=25,两边开平方,得x+2=±5,所以x1=-7,x2=3.5.解方程:-2x2+2x+1=0.解:化二次项系数为1,得x2-x-=0,移项,配方, 得x2-x+=+即x-2=,两边开平方, 得x-=±,所以x1=,x2=.。
人教版九年级数学上册21.2解一元二次方程教案
三、教学难点与重点
1.教学重点
-配方法解一元二次方程：使学生掌握将一元二次方程转化为完全平方公式的步骤，并能求解出方程的根。例如，解方程x^2 + 6x + 9 = 0，引导学生将方程左边写成(x + 3)^2的形式，从而迅速得出解。
-公式法解一元二次方程：让学生牢记一元二次方程的求根公式，并能够灵活运用公式求解不同形式的方程。如解方程ax^2 + bx + c = 0，使用公式x = [-b ± √(b^2 - 4ac)] / (2a)。
此外，实践活动和小组讨论的环节，学生们表现得非常积极。他们在讨论中提出了很多有趣的问题，也展示出了很好的团队合作精神。这让我深感欣慰，也证明了解决实际问题的教学策略是有效的。但在这一过程中，我也注意到有些小组在讨论时可能会偏离主题，因此，我需要在以后的课堂中加强对学生的引导，确保讨论能够更加高效和深入。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了一元二次方程的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对一元二次方程的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
九年级数学上册 第21章《解一元二次方程 直接开平方法》导学案(新版)新人教版
例1：【分析】引导学生观察以上各个方程能否化成 或 的形式，若能，则可运用直接开平方法解。
【例2】强调所求未知数的值要使实际问题有意义，让学生能进行根的取舍。
五、课堂小结
小结本节课的知识要点及方法和注意事项.
六、当堂过关练习：
学生独立完成，教师巡视指导、提示.然后集体纠错.
七、课后任务布置：
【例2】市区内有一块边长为15米的正方形绿地，经城市规划，需扩大绿化面积，预计规划后的正方形绿地面积将达到300平方米，这块 绿地的边长增 加了多少米？（结果保留一位小数）
五、课堂小结
1、用直接开平方解一元二次方程。
2、理解“降次”思想。
3、理解x2=p或(mx+n)2=p(p≥0)为什么p≥0？
六、当堂过关
在解上述方程的过程中，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样问题就容易解决了。
【归纳】在解一元二次方程时通常通过“降次”把它转化为两个一元一次方程．
即，如果方程能化成 或 的形式，那么可得 或
四、新题操练、合作提升
【例1】解下列方程：
⑴2 y2=8⑵2(x-8)2=50
⑶(2x-1)2+4=0⑷x2-2x+1=0
教学
反思
根据平方根的意义，得x=±5
即x1=5，x2=-5
可以验证5和-5是方程的两根，但棱长不能为负值，所以正方体的棱长为5dm。
二ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ学生质疑：
三、师生合作
【探究】对照问题1解方程的过程，你认为应该怎样解方程(x+3)2=5
方程(x+3)2=5左边是一个整式的平方，右边是一个非负数，根据平方根的意义，可将方程变形为，即将方程变为和两个一元一次方程，从而得到方程(x+3)2=5的两个解为x1=，x2=。
新人教版初中数学九年级上册21.2.1 第1课时 直接开平方法1导学案
2121 配方法（1）
学习目标：
1、初步掌握用直接开平方法解一元二次方程，会用直接开平方法解形如=p(p ≥0)或（+n）=p(p≥ 0)的方程
2、理解一元二次方程解法的基本思想及其与一元一次方程的联系，体会两者之间相互比较和转化的思想方法；
3、能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性。
重点：掌握用直接开平方法解一元二次方程的步骤。
难点：理解并应用直接开平方法解特殊的一元二次方程。
导学流程：[网]
自主探索
自学P30问题1、及思考完成下列各题：
解下列方程：
（1）2－2＝0; （2）162－25＝0
（3）（＋1）2－4＝0；（4）12（2－）2－9＝0
总结归纳
如果方程能化成=p或（+n）=p(p≥ 0)形式，那么可得
巩固提高
仿例完成P31页练习
课堂小结
你今天学会了解怎样的一元二次方程？步骤是什么？
达标测评[网]
1、解下列方程：[网K]
（1）2＝169；（2）45－2＝0；（3）2-12=0 （4）2-2=0[§§]
（9）2+2+1=0 （10）2+4+4=0
（11）2-6+9=0 （12）2++=0
[学*科*网*X*X*K]。
人教版九年级数学上册《21公式法》导学案
九年级数学上册《21.2.2 公式法》导学案1、理解并学会判断一个一元二次方程根的情况2、理解一元二次方程求根公式的推导过程3、学会用公式法解一元二次方程重点：先把方程化为一般式，再用根的判别式对方程的根的情况进行分析，最后用求根公式进行解答难点：理解一元二次方程求根公式的推导过程，并学会运用求根公式去解方程1、根的判别式2=4b ac ∆-① 当 时，方程有两个实数根，其中， 当 时，方程有两个不相等的实数根； 当 时，方程有两个相等的实数根； ②当 时，方程无实数根。
2、求根公式把 （b 2﹣4ac ≥0）叫做一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的求根公式．3、用公式法解一元二次方程的一般步骤：①把方程化成一般形式，进而确定 ， ， 的值（注意符号）； ②求出 的值（若 ，方程无实数根）； ③在 的前提下，把a 、b 、c 的值代入求根公式进行计算，求出方程的根．注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a ≠0；②b 2﹣4ac ≥0．1、（2022·营口）关于x 的一元二次方程240x x m +-=有两个实数根，则实数m 的取值范围为（ ）A.4m <B.4m >-C.4m ≤D.4m ≥-2、（2021·溧阳市期末）若一元二次方程2420x x k -++=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是_______________3、（2020·浙江自主招生）若1x =是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根，则判别式24b ac ∆=-和完全平方式()22M a b =+的关系是：∆_____M4、一元二次方程210x x +-=的解是___________5、（2021·滕州市校级月考）已知关于x 的一元二次方程()223290a x x a --+-=的常数项是0，则a =________，方程的根是____________。
新人教版九年级数学上册导学案：21.2.1 直接开平方法解一元二次方程
新人教版九年级数学上册导学案：21.2.1 直接开平方法解一元二次
方程
学习目标
1
2、会根据平方根的意义解a（ex+f）2+c=0型的一元二次方程．
预习导学
一、知识链接：
我们知道x2=25，根据平方根的意义，直接开平方得x= ，如果
元为2t+1，即（2t+1）2=8
二、探究新知
解一元二次方程的实质是:
个一元一次方程。
我们把这种思想称为“降次转化思想”．
归纳：如果方程能化成的形式，那么可得
学以致用
1、若x2-4x+p=（x+q）2，那么p、q的值分别是（）．
A．p=4，q=2 B．p=4，q=-2
C．p=-4，q=2 D．p=-4，q=-2
2、方程3x2+9=0的根为（）．
A．3 B．-3 C．±3 D．无实数根
3、若8x2-16=0，则x的值是_________．
4、如果方程2（x-3）2=72，那么，这个一元二次方程的两根是
5、用直接开平方法解下列方程：
（1）x2=8 （2）(2x-1)2=5
（3）4m2-9=0 （4）x2+4x+4=1
（5）3(x-1)2-9=108 （6）y2+2y+1=24
巩固提升
a 2-12b+36=0，那么ab的值是_______．1．如果a、b34
2．解关于x的方程（x+m）2=n．
3、某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25m），•另三边用木栏围成，木栏长40m．
（1）鸡场的面积能达到180m2吗？
（2）能达到200m吗？
课后反思：。
九年级数学上册 第21章 一元二次方程导学案(无答案)(新版)新人教版-(新版)新人教版初中九年级上
4、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式是△=b2-4ac，当⊿>0时，方程有两个不相等的实数根；当⊿=0时，方程有两个相等的实数根；当⊿<0时，方程没有实数根；当⊿≥0时，方程有实数根。
5、一元二次方程的根与系数的关系：（韦达定理）
1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是【C】
A． B． C． D．
2、某学校准备修建一个面积为200平方米的矩形花圃，它的长比宽多10米，设花圃的宽为x米，则可列方程为x(x＋10)＝200，化为一般形式为x2+10x-200=0。
3、已知1是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1=0的一个根，则m的值是【B】
重点：运用知识、技能解决问题．
难点：解题分析能力的提高．
时间
分配
合作探究20分钟、尝试解决15分、课堂小结5分、
学案（学习过程）
学
习
过
程
一、知识梳理
1、一元二次方程的概念：等号两边都是整式，只含有一个求知数（一元），并且求知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0(a≠0)，其中ax2是二次项，a是二次项系数，bx是一次项，b是一次项系数，c是常数项。
当⊿=b2-4ac≥0时，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式为x= ；若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1、x2，则x1＋x2= ，x1•x2= 。
若一元二次方程 +px+q=0的两根为 、 ，则：x1＋x2==-p，x1•x2=q。
人教版数学九年级上册导学案：21.2.1直接开平方法
21.2解一元二次方程----21.2.1直接开平方法教学目标：1．（知识与技能）：使学生会用直接开平方法解一元二次方程；渗透转化思想，掌握一些转化的技能．2.（过程与方法）：经历应用一元二次方程概念解决一些简单问题的过程；3．（情感、态度与价值观）：培养思维的批判性、严密性和初步解决问题的愿望与能力.教学重点：运用开平方法解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程；领会降次——转化的数学思想．.教学难点：通过根据平方根的意义解形如x2＝n(n≥0)的方程，知识迁移到根据平方根的意义解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程．教学过程：一、展示目标：二、自学指导：问题：一桶某种油漆可刷的面积为1500 dm2，小李用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？设正方体的棱长为x dm，则一个正方体的表面积为__ __dm2，根据一桶油漆可刷的面积列出方程：__ _，化简整理，得__ __，根据平方根的意义，得x＝__ _，即x1＝__ __，x2＝_ __．可以验证__ __和都是这个方程的根，但根据实际意义棱长不能为，所以正方体的棱长为__ __dm.探究：对照问题1解方程的过程，你认为应该怎样解方程(2x－1)2＝5及方程x2＋6x ＋9＝4?方程(2x－1)2＝5左边是一个整式的平方，右边是一个非负数，根据平方根的意义，可将方程变形为__ __，即将方程变为_ _和__ __两个一元一次方程，从而得到方程(2x－1)2＝5的两个解为x1＝_ _,x2＝_ __．在解上述方程的过程中，实质上是把一个一元二次方程“”，转化为两个，这样问题就容易解决了．方程x2＋6x＋9＝4的左边是完全平方式，这个方程可以化成(x＋____)2＝4，然后进行降次，得到 __ __ ，即将方程变为_ _和__ 两个一元一次方程，1 / 4从而得到方程x2＋6x＋9＝4的两个解为x1＝_ _，x2＝__ ．归纳：在解一元二次方程时通常通过“”把它转化为两个．如果方程能化成x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式，那么可得x＝±p或mx＋n＝±p.自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．解下列方程：(1)2y2＝16；(2)2(x－8)2＝50；(3)(2x－1)2＋4＝0; (4)4x2－4x＋1＝0点拨精讲：观察以上各个方程能否化成x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式，若能，则可运用直接开平方法解．所以，一般地，对于方程x2＝p，（1）当p>0时，根据平方根的意义，方程有两个的实数根，即x1＝，x2＝；（2）当p=0时，方程有两个的实数根，即x1＝x2＝；（3）当p<0时，因为对任意实数x，都有x2≥0，所以方程实数根.三、合作探究：1．用直接开平方法解下列方程：(1)2(3x＋1)2-14=0; (2)y2＋2y＋1＝24； (3)9n2－24n＋16＝11.点拨精讲：运用开平方法解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的方程时，最容易出错的是漏掉负根．2．已知关于x的方程x2＋(a2＋1)x－3＝0的一个根是1，求a的值．四、跟踪练习：1.用直接开平方法解下列方程：(1)4x2＝81; (2)36x2－1＝0； (3)(x＋5)2＝25；(4)3(x＋5)2-12＝0； (5)9x2＋6x＋1＝4; (6)x2＋2x＋1＝-4.2.课本P6练习五、课堂小结：总结本堂课的收获与困惑．1．用直接开平方法解一元二次方程．2．理解“降次”思想．3．理解x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)中，为什么p≥0?3 / 4六、布置作业：1.课本P16习题第1题；2.预习下一课时学案.。
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直接开平方法解一元一次方程
备课时间：上课时间：
学习目标
1、理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题．
2、提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax2+c=0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a（ex+f）2+c=0型的一元二次方程．
重点：运用开平方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想．
难点：通过根据平方根的意义解形如x2=n，知识迁移到根据平方根的意义解形如（x+m）2=n （n≥0）的方程．
【课前预习】
导学过程
阅读教材部分，完成以下问题
一桶某种油漆可刷的面积为1500dm2,李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部表面，你能算出盒子的棱长吗？
我们知道x2=25，根据平方根的意义，直接开平方得x=±5，如果x换元为2t+1，即（2t+1）2=8，能否也用直接开平方的方法求解呢？
计算：用直接开平方法解下列方程：
（1）x2=8 （2）(2x-1)2=5 （3）x2+6x+9=2
（4）4m2-9=0 （5）x2+4x+4=1 （6）3(x-1)2-9=108
解一元二次方程的实质是: 把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．•我们把这种思想称为“降次转化思想”．
归纳：如果方程能化成的形式，那么可得
【课堂活动】
活动1、预习反馈
活动2、例习题分析
例1用直接开平方法解下列方程：
（1）(3x+1)2=7 （2）y2+2y+1=24 （3）9n2-24n+16=11
练习：
（1）2x2-8=0 （2）9x2-5=3 （3）(x+6)2-9=0
【课堂练习】：
活动3、知识运用
1、用直接开平方法解下列方程：
（1）3(x-1)2-6=0 （2）x2-4x+4=5 （3）9x2+6x+1=4
（4）36x2-1=0 （5）4x2=81 （6）(x+5)2=25 （7）x2+2x+1=4
归纳小结
应用直接开平方法解形如，那么可得达到降次转化之目的．
【课后巩固】
一、选择题
1．若x2-4x+p=（x+q）2，那么p、q的值分别是（）．
A．p=4，q=2 B．p=4，q=-2 C．p=-4，q=2 D．p=-4，q=-2
2．方程3x2+9=0的根为（）．
A．3 B．-3 C．±3 D．无实数根
3．用配方法解方程x2-2
3
x+1=0正确的解法是（）．
A．（x-1
3
）2=
8
9
，x=
1
3
±
22
3
B．（x-1
3
）2=-
8
9
，原方程无解
C．（x-2
3
）2=
5
9
，x1=
2
3
+
5
3
，x2=
25
3
-
D．（x-2
3
）2=1，x1=
5
3
，x2=-
1
3
二、填空题
1．若8x2-16=0，则x的值是_________．
2．如果方程2（x-3）2=72，那么，这个一元二次方程的两根是________． 3．如果a、b为实数，满足34
a+2-12b+36=0，那么ab的值是_______．
4．用直接开平方法解下列方程：
（1）（2-x）2-81＝0 （2）2（1-x）2-18＝0 （3）（2-x）2＝4
5．解关于x的方程（x+m）2=n．
6、某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25m），•另三边用木栏围成，木栏长40m．
（1）鸡场的面积能达到180m2吗？能达到200m吗？
（2）鸡场的面积能达到210m2吗？
7．在一次手工制作中，某同学准备了一根长4米的铁丝，由于需要，现在要制成一个矩形方框，并且要使面积尽可能大，你能帮助这名同学制成方框，•并说明你制作的理由吗？。