高等数学课件3-1微分中值定理

设 Mf(a),则 在 存 在 (a ， b )有 f() M .
故必 是 极 值 点 ， 由费马引理，f '( ) 0
综 上 ， 必 存 在 ( a ， b ) ， 使 得 f'( ) 0
注意:若罗尔定理的三个条件 i、 闭区间上连续； ii、 开区间内可导； iii、两端点函数值相等 是定理成立充分条件；
0.1 函数的极值
定义. 设函数f(x)定义在区间I上，点x0I，若存在
点x0的某一领域U(x0,)I，使得xU(x0,),恒有
f(x) f(x0) (或f(x) f(x0)) 则称f (x0)为函数f (x)的一个极大值（或极小值） 点x0称为f (x)的极大值点（或极小值点）。
函 数 的 极 大 值 与 极 小 值 统 称 为 极 值 ； 极 大 值 点 与 极 小 值 点 统 称 为 极 值 点 。
增量y的精确表达 . 式 拉格朗日中值公式又称有限增量公式. 拉格朗日中值定理又称有限增量定理.
微分中值定理
推 论 : 如 果 函 数 f(x)在 区 间 I上 的 导 数 恒 为 零 ， 那 么 f(x)在 区 间 I上 是 一 个 常 数 。
推论: 若函数f(x),g(x)在区间 (a,b)内可导， 且恒有f '(x)g'(x),则在区间 (a,b)内， f(x)g(x)C
即 f '() 0
几何解释:
y
在 曲 线 弧 AB上 A
C
yf(x)
B
至少有一点C，
o a 1
2 b x
证 f(x)在 [a,b]连,必 续有最 M大 和值 最m 小 . 值
(1)若 Mm. 则f(x)M.
由此 f(x得 )0. (a,b), 都f有 ()0. (2)若 Mm . f(a)f(b), 最值不可能同时在取端得点 .
即 f(x)f(0)0
从而：ex sinx1x2. 2
例4. 设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内二阶可导， 连接A(a, f(a))和B(b, f(b))的直线段与曲线yf(x) 相交于C(c, f(c)),其中acb,
使得 g '() f() f() 0
二、拉格朗日(Lagrange)中值定理
拉格朗日（Lagrange）中值定理(1) 如果函数 f(x)在 闭区间[a, b]上连续(,2 )在开区间(a, b)内可导,那么在
(a, b)内至少有一点(a b)，使等式
f '( ) f (b) f (a)
拉格朗日中值公式
或 f ( b ) f ( a ) f ( )b ( a ).
注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的 增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.
设 f(x )在 [a ,b ]上连 在 (a ,b 续 )内， ,可导
x0,x0 x (a,b)则 , 有
f ( x 0 x ) f ( x 0 ) f ( x 0 x ) x ( 0 1 ) 也 y 可 f ( x 0 写 x ) x ( 0 成 1 ).
f(x) 1 ( 1 )0.
1x2
1x2
f ( x ) C ,x [ 1 , 1 ]
又 f(0 ) ar0 c a sirn 0 c 0c o s , 22
即C . 2
arcxsa in rcxc o.s 2
例 3 . 证 明 ： 不 等 式 e x s in x 1 x 2( 0 x 1 ) 成 立 2
推论:若函数f (x)在闭区间[a,b]上连续， 在开区间(a,b)内可导， 则f (x)在区间[a,b]上单调增加（或减少） 的充要条件是： 在(a,b)内有f '(x) 0(或f '(x) 0)
例2 证 a明 r x c asri x c n ( c 1 o x 1 s ). 2
证 设 f( x ) ar x a cs r x ,ic x n [ c 1 ,1 ] os
结论：存在导数为0的点
例1、设函数 f (x)在[a,b]上连续，在 (a,b) 内可导，且 f(a)f(b)0
证明：在 (a,b)内至少存在一点 ，使得
f()f()0
证明： 构造辅助函数 g(x)xf(x)
在 [a,b]上连续，在 (a,b)内可导，且
g(a)g(b)0
由罗尔定理，在 (a,b)内至少存在一点
ba
成立.
注意 :与罗尔定理去 相掉 比 f(了 a条 )f件 (b).中 结论亦 f(b)可 f(a)写 f( 成 ). ba
y 几何解释:
在曲线弧AB上
C
yf(x)
M
B
至少有一点C
A
N
D
切 线 平 行 于 弦AB. o a 1 x 2 b x
分析: 弦AB方程为
yf(a)f(b )f(a)(xa). ba
曲线 f(x)减去A弦 ,B
所得曲a,线 b两端点的函数.值相等
证：作辅助函数
F (x ) f(x ) [f( a ) f( b ) f( a )(x a )]. b a
F(x) 满足罗尔定理的条件,
则(a 在 ,b)内至少,存 使F 在 得 () 一 0. 点
即 f()f(b)f(a)0 ba
证 明 ： 设 函 数 f(x ) e x sin x 1 x 2,x [0 ,1 ] 2
则 ， f'(x) e x co sxx. f''(x)exsinx1
则 当 பைடு நூலகம் x 1 时 ， f''(x ) 0 ， 即 f'(x)单 调 减 少 。
再 由 f'(0)0得 ： f'(x)f'(0)0， 即f(x)单调减少。
0.2费马定理设 函 数 yf(x)在 点 x0可 导 ，
若 x0是 函 数 的 极 值 点 ， 则 f'(x0)0
通 常 称 f'( x 0 ) 0 的 点 x 0 为 f( x ) 的 驻 点 。
问题：是不是所有的极值点都是驻点？
一、罗尔定理
罗尔（Rolle）定理 如果函数 f ( x()1在) 闭区间 [a, b] 上连续(,2 )在开区间(a, b)内可导,(且3 ) 在区间端点的函数值相 等，即 f (a) f (b),那么在(a, b)内至少有一点(a b), 使得函数 f ( x)在该点的导数等于零，