求圆的方程的方法 ppt课件
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圆的标准方程完整ppt课件
解决与圆有关的切线问题
圆的方程可以用来求解与圆有关的切线问题，如切线方程、切点坐 标等。
圆的方程在物理问题中的应用
描述圆形运动轨迹
在物理学中，圆的方程可以用来描述物体做圆周运动时的轨迹。
计算圆形运动的物理量
利用圆的方程，可以计算物体做圆周运动时的线速度、角速度、向 心加速度等物理量。
解决与圆有关的物理问题
切线与半径垂直
切线垂直于经过切点的 半径。
切线长定理
从圆外一点引圆的两条 切线，它们的切线长相
等。
04
圆的方程在实际问题中的应用
圆的方程在几何问题中的应用
确定圆的位置和大小
通过圆的方程，可以准确地确定圆心的坐标和半径的长度，从而 确定圆的位置和大小。
判断点与圆的位置关系
利用圆的方程，可以判断一个点是否在圆上、圆内或圆外，从而解 决相关的几何问题。
3
解决与圆有关的经济问题
圆的方程还可以用来解决一些与圆有关的经济问 题，如圆形区域的经济发展、圆形市场的竞争等 。
05
圆的方程与其他知识点的联系
圆的方程与直线方程的关系
直线与圆的位置关系
通过比较圆心到直线的距离与半径的大小关系，可以确定直线与 圆是相切、相交还是相离。
切线方程
当直线与圆相切时，切线的斜率与圆心和切点的连线垂直，由此 可以求出切线的方程。
根据两点间距离公式，有 $OP = sqrt{(x - a)^{2} + (y
- b)^{2}}$。
将 $OP = r$ 代入上式，得到 $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} =
r^{2}$。
方程中参数的意义
$a, b$
01
圆心坐标，表示圆心的位置。
圆的方程可以用来求解与圆有关的切线问题，如切线方程、切点坐 标等。
圆的方程在物理问题中的应用
描述圆形运动轨迹
在物理学中，圆的方程可以用来描述物体做圆周运动时的轨迹。
计算圆形运动的物理量
利用圆的方程，可以计算物体做圆周运动时的线速度、角速度、向 心加速度等物理量。
解决与圆有关的物理问题
切线与半径垂直
切线垂直于经过切点的 半径。
切线长定理
从圆外一点引圆的两条 切线，它们的切线长相
等。
04
圆的方程在实际问题中的应用
圆的方程在几何问题中的应用
确定圆的位置和大小
通过圆的方程，可以准确地确定圆心的坐标和半径的长度，从而 确定圆的位置和大小。
判断点与圆的位置关系
利用圆的方程，可以判断一个点是否在圆上、圆内或圆外，从而解 决相关的几何问题。
3
解决与圆有关的经济问题
圆的方程还可以用来解决一些与圆有关的经济问 题，如圆形区域的经济发展、圆形市场的竞争等 。
05
圆的方程与其他知识点的联系
圆的方程与直线方程的关系
直线与圆的位置关系
通过比较圆心到直线的距离与半径的大小关系，可以确定直线与 圆是相切、相交还是相离。
切线方程
当直线与圆相切时，切线的斜率与圆心和切点的连线垂直，由此 可以求出切线的方程。
根据两点间距离公式，有 $OP = sqrt{(x - a)^{2} + (y
- b)^{2}}$。
将 $OP = r$ 代入上式，得到 $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} =
r^{2}$。
方程中参数的意义
$a, b$
01
圆心坐标，表示圆心的位置。
高中数学必修二课件：圆的一般方程(42张PPT)
此方程表示以(1，－2)为圆心，2为半径长的圆．
问题2：方程x2＋y2＋2x－2y＋2＝0表示什么图形？
提示：对方程x2＋y2＋2x－2y＋2＝0配方得
(x＋1)2＋(y－1)2＝0，即x＝－1且y＝1. 此方程表示一个点(－1,1)． 问题3：方程x2＋y2－2x－4y＋6＝0表示什么图形？ 提示：对方程x2＋y2－2x－4y＋6＝0配方得 (x－1)2＋(y－2)2＝－1. 由于不存在点的坐标(x，y)满足这个方程，所以这 个方程不表示任何图形．
3．若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求 (1)实数m的取值范围； (2)圆心坐标和半径．
解：(1)根据题意知D2＋E2－4F＝(2m)2＋(－2)2－ 1 4(m ＋5m)>0，即4m ＋4－4m －20m>0，解得m<5，
2 2 2
1 故m的取值范围为(－∞，5)．
(2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准 方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m， 故圆心坐标为(－m,1)，半径r＝ 1－5m.
第 二 章 解 析 几 何 初 步
§2 圆 与 圆 的 方 程
2.2
圆 的 一 般 方 程
理解教材新知
把 握 热 点 考 向
考点一 考点二 考点三
应用创新演练
把圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2展开得，x2＋y2 －2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0，这是一个二元二次方程的形 式，那么，是否一个二元二次方程都表示一个圆呢？ 问题1：方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0表示什么图形？ 提示：对x2＋y2－2x＋4y＋1＝0配方得 (x－1)2＋(y＋2)2＝4.
1．若x2＋y2－x＋y－m＝0表示一个圆的方程，则m的取值 范围是 1 A．m>－2 1 C．m<－2 1 B．m≥－2 D．m>－2 ( )
圆的方程课件PPT
2．点与圆的位置关系 设点 P 到圆心的距离为 d，圆的半径为 r，则点与圆的位置有 如表所示的对应关系.
位置关系 点在圆外 点在圆上 点在圆内
d 与 r 的关系 ___d_>_r___ ___d_＝__r__ ___d_<_r___
自主探究 探究 1：方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(a，b，r∈R)表示一个圆吗？ 为什么？
解：
法一：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)．
则b5＝－0a，2＋2－b2＝r2， 3－a2＋－2－b2＝r2.
a＝4， 解得b＝0，
r＝ 5.
∴所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝5.
法二：
∵圆过 A(5,2)，B(3，－2)两点， ∴圆心一定在线段 AB 的中垂线上． AB 中垂线的方程为 y＝－12(x－4)， 令 y＝0，得 x＝4.即圆心坐标 C(4,0)， ∴r＝|CA|＝ 5－42＋2－02＝ 5， ∴所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝5.
【答案】未必表示圆，当 r≠0 时，表示圆心为(a，b)，半径 为|r|的圆；当 r＝0 时，表示一个点(a，b)．
探究 2：由圆的标准方程可以得到圆的哪些几何特征？ 【答案】由圆的标准方程可直接得到圆的圆心坐标和半径．
预习测评 1．若一圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋5)2＝3，则此圆的圆心和 半径分别是( ) A．(－1,5)， 3 B．(1，－5)， 3 C．(－1,5)，3 D．(1，－5)，3
错解：由题意可知圆心在直线 y＝2x 上，且在线段 AB 的垂直 平分线 x＝2 上，由xy＝＝22，x， 可得圆心 C(2，4)，r＝|AC|＝ 17， ∴圆 C 的方程为(x－2)2＋(y－4)2＝17.
圆的一般方程公开课课件
通过比较两圆方程，消元后得到一元 二次方程，若该方程有两个相等实根 ，则两圆相切。
21
两圆相离条件判断
两圆圆心距大于两圆半径之和或小于 两圆半径之差（包含内含情况），则 两圆相离。
VS
通过比较两圆方程，消元后得到一元 二次方程，若该方程无实根，则两圆 相离。
2024/1/26
22
典型例题解析
例题1
圆心坐标求解
$(-frac{D}{2}, -frac{E}{2})$
半径求解
$r = frac{sqrt{D^{2} + E^{2} - 4F}}{2}$
注意事项
在求解过程中要确保$D^{2} + E^{2} - 4F > 0$，否则方程不表示一 个圆。
2024/1/26
11
特殊情况下的圆方程
圆心在原点
圆的方程与性质
掌握圆的标准方程和一般方程， 理解圆的性质，如圆心、半径、 直径等。
直线与圆的位置关
系
理解直线与圆的三种位置关系— —相离、相切、相交，并能运用 相关知识点解决问题。
圆锥曲线的综合应
用
了解椭圆、双曲线等圆锥曲线的 基本概念和性质，并能与圆的知 识点结合，解决综合问题。
2024/1/26
01
平面上所有与定点（圆心）距离等于定长（半径）的点的集合
。
基本要素
02
圆心、半径。
圆的表示方法
03
一般用圆心和半径表示，如圆O，半径为r。
4
圆心、半径与直径
1 2
圆心
圆的中心，用字母O表示。
半径
连接圆心和圆上任意一点的线段，用字母r表示 。
3
直径
通过圆心且两端点都在圆上的线段，用字母d表 示，d=2r。
21
两圆相离条件判断
两圆圆心距大于两圆半径之和或小于 两圆半径之差（包含内含情况），则 两圆相离。
VS
通过比较两圆方程，消元后得到一元 二次方程，若该方程无实根，则两圆 相离。
2024/1/26
22
典型例题解析
例题1
圆心坐标求解
$(-frac{D}{2}, -frac{E}{2})$
半径求解
$r = frac{sqrt{D^{2} + E^{2} - 4F}}{2}$
注意事项
在求解过程中要确保$D^{2} + E^{2} - 4F > 0$，否则方程不表示一 个圆。
2024/1/26
11
特殊情况下的圆方程
圆心在原点
圆的方程与性质
掌握圆的标准方程和一般方程， 理解圆的性质，如圆心、半径、 直径等。
直线与圆的位置关
系
理解直线与圆的三种位置关系— —相离、相切、相交，并能运用 相关知识点解决问题。
圆锥曲线的综合应
用
了解椭圆、双曲线等圆锥曲线的 基本概念和性质，并能与圆的知 识点结合，解决综合问题。
2024/1/26
01
平面上所有与定点（圆心）距离等于定长（半径）的点的集合
。
基本要素
02
圆心、半径。
圆的表示方法
03
一般用圆心和半径表示，如圆O，半径为r。
4
圆心、半径与直径
1 2
圆心
圆的中心，用字母O表示。
半径
连接圆心和圆上任意一点的线段，用字母r表示 。
3
直径
通过圆心且两端点都在圆上的线段，用字母d表 示，d=2r。
2.4.2圆的一般方程ppt课件新教材人教A版选择性必修第一册
1 + 1 + − + ＝0，
＝ − 7，
组ቐ 1 + 16 + + 4 + ＝0， 解得ቐ ＝ − 3，
16 + 4 + 4 − 2 + ＝0，
＝2.
故圆的方程为x2＋y2－7x－3y＋2＝0.
问题式预习
2.4.2 圆的一般方程
02
任务型课堂
任务一 圆的一般方程的概念辨析
(3)解出a，b，r或D，E，F，得到标准方程或一般方程．
知识点三
轨迹方程与轨迹
点M的________是指点M的坐标(x，y)满足的关系式．点M
的 轨迹
____是
轨迹方程
指点M在运动变化过程中形成的图形．在解析几何中，我们常常把
轨迹
图形看作点的____(集合)．
2.4.2 圆的一般方程
问题式预习
任务型课堂
3
2
，因此方程表示圆心为
1
3
，
2
−
3
，半径为
−
1 2
3
+ +
23
的圆．
3
2 2
3
2.4.2 圆的一般方程
问题式预习
任务型课堂
课后素养评价
【类题通法】
方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0是否表示圆的两种判断方法：
(1)配方法．对形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，可以通
过配方变形成“标准”形式后，观察是否表示圆．
第二章 直线和圆的方程
2.4 圆的方程
2.4.2 圆的一般方程
问题式预习
2.4.2 圆的一般方程
任务型课堂
＝ − 7，
组ቐ 1 + 16 + + 4 + ＝0， 解得ቐ ＝ − 3，
16 + 4 + 4 − 2 + ＝0，
＝2.
故圆的方程为x2＋y2－7x－3y＋2＝0.
问题式预习
2.4.2 圆的一般方程
02
任务型课堂
任务一 圆的一般方程的概念辨析
(3)解出a，b，r或D，E，F，得到标准方程或一般方程．
知识点三
轨迹方程与轨迹
点M的________是指点M的坐标(x，y)满足的关系式．点M
的 轨迹
____是
轨迹方程
指点M在运动变化过程中形成的图形．在解析几何中，我们常常把
轨迹
图形看作点的____(集合)．
2.4.2 圆的一般方程
问题式预习
任务型课堂
3
2
，因此方程表示圆心为
1
3
，
2
−
3
，半径为
−
1 2
3
+ +
23
的圆．
3
2 2
3
2.4.2 圆的一般方程
问题式预习
任务型课堂
课后素养评价
【类题通法】
方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0是否表示圆的两种判断方法：
(1)配方法．对形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，可以通
过配方变形成“标准”形式后，观察是否表示圆．
第二章 直线和圆的方程
2.4 圆的方程
2.4.2 圆的一般方程
问题式预习
2.4.2 圆的一般方程
任务型课堂
圆的标准方程 课件(48张)
()
(2)方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2 一定表示圆．
()
(3)圆(x＋2)2＋(y＋3)2＝9 的圆心坐标是(2，3)，半径是 9．
()
[答案] (1)√ (2)× (3)×
[提示] (1)正确．确定圆的几何要素就是圆心和半径． (2)错误．当 m＝0 时，不表示圆． (3)错误．圆(x＋2)2＋(y＋3)2＝9 的圆心为(－2，－3)，半径为 3．
类型 2 待定系数法求圆的标准方程
【例 2】 (对接教材人教 B 版 P99 例 2)求下列各圆的标准方程． (1)圆心在 y＝0 上且过两点 A(1，4)，B(3，2)； (2)圆心在直线 x－2y－3＝0 上，且过点 A(2，－3)，B(－2，－5)．
[解] (1)设圆心坐标为(a，b)，半径为 r， 则所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2． ∵圆心在 y＝0 上，故 b＝0， ∴圆的方程为(x－a)2＋y2＝r2． 又∵该圆过 A(1，4)，B(3，2)两点，
1234 5
回顾本节知识，自我完成以下问题： 1．方程(x－a)2＋(y－b)2＝m 一定表示圆吗？ [提示] 不一定．当 m＞0 时，表示圆心为 C(a，b)，半径为 m的 圆； 当 m＝0 时，表示一个点 C(a，b)； 当 m＜0 时，不表示任何图形．
1234 5
3．圆心为点 P(－2，3)，并且与 x 轴相切的圆的方程是( ) A．(x＋2)2＋(y－3)2＝4 B．(x－2)2＋(y＋3)2＝4 C．(x＋2)2＋(y－3)2＝9 D．(x－2)2＋(y＋3)2＝9 C [因为圆心 P(－2，3)到 x 轴的距离为 3，且圆与 x 轴相切， 所以圆的半径为 3，则该圆的标准方程为(x＋2)2＋(y－3)2＝9．]
圆的标准方程精品课件
3
证明
设P和Q是圆上关于任意直线l对称的两点，则 AP=BQ，且PO=QO。由于PQ与l垂直，所以 △APO≌△BQA，从而证明了P和Q关于l对称。
06 圆的实际应用
生活中的圆的应用
交通工具
车轮、自行车轮胎、火车 铁轨等都采用了圆形的结 构，使得运动更加平稳和 高效。
建筑学
建筑物的窗户、门洞、柱 基等常采用圆形或圆弧形， 不仅美观大方，而且符合 结构力学原理。
圆的弦长定理
总结词
弦长与半径的关系
详细描述
在圆中，通过圆心的弦被平分，并且弦长等于两个半径之和。如果弦不经过圆心，则弦长小于两个半径之和。这 个定理用于计算弦的长度以及与半径之间的关系。
04 圆的面积与周长
圆的面积计算公式
圆的面积计算公式
$S = pi r^{2}$，其中$S$表示圆的面积，$r$表示圆的半径。
圆的标准方程的图形表示
以圆心为坐标原点，以半径为长度单 位，在平面直角坐标系中画出的圆形。
圆的标准方程推导
推导过程
通过将圆上任一点的坐标表示为$(x, y)$，利用点到圆心 的距离等于半径的性质，将圆的方程转化为标准形式。
推导步骤
设圆上任一点$P(x, y)$，圆心$O(h, k)$，半径为$r$，则 $OP = r$，即$sqrt{(x - h)^{2} + (y - k)^{2}} = r$，平 方两边得到标准方程。
自然界
自然界中许多物体呈现圆 形或类圆形，如星球、花 朵、叶子等。
02 圆的标准方程
圆的标准方程形式
圆的标准方程
圆的标准方程的应用
$(x - h)^{2} + (y - k)^{2} = r^{2}$， 其中$(h, k)$是圆心坐标，$r$是半径。
圆标准方程PPT课件
(3)经过点 P ( 5 , 1 )，圆心在点 C ( 8 , －3 ). ( x －8 ) 2 + ( y + 3 ) 2 (1) ( x －3 ) 2 + ( y + 2 ) 2 = 4. (2) ( x + 4 ) 2 + ( y －2 ) 2 = 7. (3) x 2 + ( y + 1 ) 2 = 16.
3、圆心在原点，半径为 r 的圆方程： ___x_2__+_y__2 _=_r__2 ____
4、圆的标准方程给定了 __圆__心__坐_标__、__圆__半_径____
5、圆心和半径确定了圆的什么特征？ ____圆__心__确__定__位__置__、__半__径__确__定__大__小________
（1）方程中参数 a、b、r 的意义是什么？
（2）当圆心在原点时圆的方程的形式是什么？
（3）要确定一个圆的方程，至少需要几个独
立条件？
x 2 + y2 = r2
三个
三、知识巩固 例1 写出下列各圆的方程
(1)圆心在原点，半径是 3. x 2+ y 2= 9
(2)圆心在 ( 3 , 4 )，半径是 5 . ( x －3 ) 2 + ( y －4 ) 2 = 5
分析(一)：设切线斜率为k，OM斜率为k
y
1，
则k 1即kx0
k1
y0
O
∴切线方程为： x o x + y o y = r 2
M x
y
分析(二)：设 P 为切线上任意一点， •P
则OM⊥MP，
M
OM MP 0
O
x
( x o，y o )·( x －x o，y －y o ) = 0
3、圆心在原点，半径为 r 的圆方程： ___x_2__+_y__2 _=_r__2 ____
4、圆的标准方程给定了 __圆__心__坐_标__、__圆__半_径____
5、圆心和半径确定了圆的什么特征？ ____圆__心__确__定__位__置__、__半__径__确__定__大__小________
（1）方程中参数 a、b、r 的意义是什么？
（2）当圆心在原点时圆的方程的形式是什么？
（3）要确定一个圆的方程，至少需要几个独
立条件？
x 2 + y2 = r2
三个
三、知识巩固 例1 写出下列各圆的方程
(1)圆心在原点，半径是 3. x 2+ y 2= 9
(2)圆心在 ( 3 , 4 )，半径是 5 . ( x －3 ) 2 + ( y －4 ) 2 = 5
分析(一)：设切线斜率为k，OM斜率为k
y
1，
则k 1即kx0
k1
y0
O
∴切线方程为： x o x + y o y = r 2
M x
y
分析(二)：设 P 为切线上任意一点， •P
则OM⊥MP，
M
OM MP 0
O
x
( x o，y o )·( x －x o，y －y o ) = 0
圆的一般方程ppt课件
（3）x2 ( y 3)2 25
x2 y2 4x 6y 8 0 x2 y2 8x 8y 15 0 x2 y2 6 y 16 0
问题2、形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程的曲线都是圆吗？
将方程：x2 y2 Dx Ey F 0 （1）配方得：
x
D 2
2
y
E 2
2
D2
E2 4
4F
（1）当D2+E2-4F>0时，方程（1）表示以
D ， 2
E 2
为圆心，以
1 D2 E2 4F 为半径的圆
2
（2）当D2+E2-4F=0时，方程（1）表示一个点
D 2
，
E 2
（3）当D2+E2-4F<0时，方程（1）不表示任何图形
例题与练习
例题1、求过三点O（0,0），M1（1,1），M2（4,2）的圆的方 程，并求这个圆的圆心和半径
变式练习
求圆C : x2 y2 8x 2y 8 0关于点（2，-1）对称的 圆的方程为
课堂小结
1.圆的一般方程的结构特点. 2.待定系数法求圆的方程. 3.求轨迹方程的方法
课后作业
教材P88习题2.4 A组复习巩固1-x+Ey+F=0，因为O，M1，M2 三点都在圆上，所以它们的坐标满足圆的方程，将坐标 带入方程得：
F 0
D 8
D E F 2 0
解得：E 6
4D 2E F 20 0
F 0
所以，所求圆的方程为：x2+y2-8x+6y=0
方法总结
求圆的方程常用待定系数法，其大致步骤是： （1）根据题意，选择标准方程或一般方程； （2）根据条件列出关于a,b,r或D,E,F的方程组； （3）解出a,b,r或D,E,F，得到标准方程或一般方程
x2 y2 4x 6y 8 0 x2 y2 8x 8y 15 0 x2 y2 6 y 16 0
问题2、形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程的曲线都是圆吗？
将方程：x2 y2 Dx Ey F 0 （1）配方得：
x
D 2
2
y
E 2
2
D2
E2 4
4F
（1）当D2+E2-4F>0时，方程（1）表示以
D ， 2
E 2
为圆心，以
1 D2 E2 4F 为半径的圆
2
（2）当D2+E2-4F=0时，方程（1）表示一个点
D 2
，
E 2
（3）当D2+E2-4F<0时，方程（1）不表示任何图形
例题与练习
例题1、求过三点O（0,0），M1（1,1），M2（4,2）的圆的方 程，并求这个圆的圆心和半径
变式练习
求圆C : x2 y2 8x 2y 8 0关于点（2，-1）对称的 圆的方程为
课堂小结
1.圆的一般方程的结构特点. 2.待定系数法求圆的方程. 3.求轨迹方程的方法
课后作业
教材P88习题2.4 A组复习巩固1-x+Ey+F=0，因为O，M1，M2 三点都在圆上，所以它们的坐标满足圆的方程，将坐标 带入方程得：
F 0
D 8
D E F 2 0
解得：E 6
4D 2E F 20 0
F 0
所以，所求圆的方程为：x2+y2-8x+6y=0
方法总结
求圆的方程常用待定系数法，其大致步骤是： （1）根据题意，选择标准方程或一般方程； （2）根据条件列出关于a,b,r或D,E,F的方程组； （3）解出a,b,r或D,E,F，得到标准方程或一般方程
圆的一般方程(共25张PPT)
2 2
栏目 导引
第四章
圆与方程
题型三
例3
有关圆的轨迹问题
等腰三角形的顶点是A(4,2)，底边一个端点是
B(3,5)，求另一个端点C的轨迹方程，并说明它的轨迹
是什么．
【解】 设另一端点 C 的坐标为 (x， y)．依题意，得 |AC| ＝ |AB|.由两点间距离公式，得 x－ 42＋ y－ 22 ＝ 4－ 32＋ 2－ 52， 整理得 (x－ 4)2＋ (y－ 2)2＝ 10.
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第四章
圆与方程
【方法感悟】
1．圆的一般方程的特点 (1)圆的一般方程体现了圆方程形式上的特点：①x2与y2 的系数相同且不为0；②没有xy项． (2)圆的一般方程必须满足D2＋E2－4F＞0这个条件． (3)
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第四章
圆与方程
2．求与圆有关的轨迹问题常用的方法 (1)直接法：根据题目的条件，建立适当的平面直角坐标 系，设出动点坐标，并找出动点坐标所满足的关系式．
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第四章
圆与方程
这是以点 A(4,2)为圆心，以 10为半径的圆，如图所示，又因 为 A、 B、 C 为三角形的三个顶点，所以 A、 B、 C 三点不共 线．即点 B、 C 不能重合且 B、 C 不能为圆 A 的一直径的两 个端点．因为点 B、 C 不能重合，所以点 C 不能为 (3,5)．
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第四章
圆与方程
又因为点 B、 C 不能为一直径的两个端点， x＋ 3 y＋ 5 所以 ≠ 4，且 ≠ 2，即点 C 不能为 (5，－ 1)． 2 2 故端点 C 的轨迹方程是 (x－ 4)2＋ (y－ 2)2＝ 10(除去点 (3,5)和 (5， － 1))， 它的轨迹是以点 A(4,2)为圆心， 10为半径的圆， 但除去 (3,5)和 (5，－ 1)两点．
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圆与方程
题型三
例3
有关圆的轨迹问题
等腰三角形的顶点是A(4,2)，底边一个端点是
B(3,5)，求另一个端点C的轨迹方程，并说明它的轨迹
是什么．
【解】 设另一端点 C 的坐标为 (x， y)．依题意，得 |AC| ＝ |AB|.由两点间距离公式，得 x－ 42＋ y－ 22 ＝ 4－ 32＋ 2－ 52， 整理得 (x－ 4)2＋ (y－ 2)2＝ 10.
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圆与方程
【方法感悟】
1．圆的一般方程的特点 (1)圆的一般方程体现了圆方程形式上的特点：①x2与y2 的系数相同且不为0；②没有xy项． (2)圆的一般方程必须满足D2＋E2－4F＞0这个条件． (3)
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圆与方程
2．求与圆有关的轨迹问题常用的方法 (1)直接法：根据题目的条件，建立适当的平面直角坐标 系，设出动点坐标，并找出动点坐标所满足的关系式．
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第四章
圆与方程
这是以点 A(4,2)为圆心，以 10为半径的圆，如图所示，又因 为 A、 B、 C 为三角形的三个顶点，所以 A、 B、 C 三点不共 线．即点 B、 C 不能重合且 B、 C 不能为圆 A 的一直径的两 个端点．因为点 B、 C 不能重合，所以点 C 不能为 (3,5)．
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第四章
圆与方程
又因为点 B、 C 不能为一直径的两个端点， x＋ 3 y＋ 5 所以 ≠ 4，且 ≠ 2，即点 C 不能为 (5，－ 1)． 2 2 故端点 C 的轨迹方程是 (x－ 4)2＋ (y－ 2)2＝ 10(除去点 (3,5)和 (5， － 1))， 它的轨迹是以点 A(4,2)为圆心， 10为半径的圆， 但除去 (3,5)和 (5，－ 1)两点．
圆的方程复习PPT精品课件
羽毛动物: 和
没有羽毛动物:
还可以根据其他特征，将他们进行分类
例如 有足和无足 胎生和卵生 有脊柱和无脊柱
根据体内有无脊椎骨
我们可以将所有动物分为两大类
脊椎动物 和
无脊椎动物
脊椎动物
常见的6类动物：
哺乳类动物： 像猫那样， 身体表面长毛， 胎生、小时侯吃奶。
鸟类动物： 像鸽子、鹰那样身体表面长羽毛、 有一对翅膀、 一 对脚、 产卵、 由大鸟孵化出来的动物。
则方程： (X2+Y2+D1X+ E1Y+F1)+λ(X2+Y2+D2X+E2Y+F2)=0(λ≠ -1)
表示过圆C1 ,C2交点的圆的方程 当λ= -1 时,方程为(D1 – D2)x+ (E1 – E2)Y+ F1 – F2=0表示圆C1 ,C2的 公共弦所在的直线方程
直线直线：Ax+By+C=0;圆: (x-a)2 + (y-b)2 =r2，
圆心到直线的距离 d=
方法二：判别式法
直线：Ax+By+C=0;圆：x2 + y2 +Dx+Ey+F=0
一元二次方程
圆与圆位置关系的判定方法：几何法
设两圆的半径分别为R和r (R>r), 圆心距为d ，那么：
(1)两圆外离 (2)两圆外切 (3)两圆相交 (4)两圆内切 (5)两圆内含
动物的共同特点：
1、都会运动； 2、都需要食物、空气和水； 3、都能繁殖后代； 4、都有生长的能力； 5、都能够对外界变化做出反应。
D2 E 2 4F 0
圆心(
D 2
，-
E 2
没有羽毛动物:
还可以根据其他特征，将他们进行分类
例如 有足和无足 胎生和卵生 有脊柱和无脊柱
根据体内有无脊椎骨
我们可以将所有动物分为两大类
脊椎动物 和
无脊椎动物
脊椎动物
常见的6类动物：
哺乳类动物： 像猫那样， 身体表面长毛， 胎生、小时侯吃奶。
鸟类动物： 像鸽子、鹰那样身体表面长羽毛、 有一对翅膀、 一 对脚、 产卵、 由大鸟孵化出来的动物。
则方程： (X2+Y2+D1X+ E1Y+F1)+λ(X2+Y2+D2X+E2Y+F2)=0(λ≠ -1)
表示过圆C1 ,C2交点的圆的方程 当λ= -1 时,方程为(D1 – D2)x+ (E1 – E2)Y+ F1 – F2=0表示圆C1 ,C2的 公共弦所在的直线方程
直线直线：Ax+By+C=0;圆: (x-a)2 + (y-b)2 =r2，
圆心到直线的距离 d=
方法二：判别式法
直线：Ax+By+C=0;圆：x2 + y2 +Dx+Ey+F=0
一元二次方程
圆与圆位置关系的判定方法：几何法
设两圆的半径分别为R和r (R>r), 圆心距为d ，那么：
(1)两圆外离 (2)两圆外切 (3)两圆相交 (4)两圆内切 (5)两圆内含
动物的共同特点：
1、都会运动； 2、都需要食物、空气和水； 3、都能繁殖后代； 4、都有生长的能力； 5、都能够对外界变化做出反应。
D2 E 2 4F 0
圆心(
D 2
，-
E 2
圆方程ppt课件ppt课件
03
圆的方程的应用
解析几何中的应用
确定点与圆的位置关系
通过圆的方程，可以判断一个点是否在圆上、 圆内或圆外。
求解圆的切线方程
利用圆的方程，可以求出过某一点的圆的切线 方程。
求解圆心和半径
根据圆的方程，可以求出圆心的坐标和半径的长度。
几何图形中的应用
判断两圆的位置关系
通过比较两个圆的方程，可以判断两圆是相交、相切还是相 离。
03
frac{E}{2})$ 和半径 $frac{sqrt{D^2 + E^2 - 4F}}{2}$。
圆的参数方程
圆的参数方程为 $x = a + rcostheta$，$y = b + rsintheta$，其中 $(a, b)$ 是圆 心坐标，$r$ 是半径，$theta$ 是 参数。
该方程通过参数 $theta$ 描述了 圆上任意一点的坐标。
$(x - h)^{2} + (y - k)^{2} = r^{2}$ ，其中$(h, k)$是圆心坐标，$r$是半 径。
不在同一直线上的三个点可以确定一 个圆，且该圆只经过这三个点。
圆的基本性质
1 2
圆的对称性
圆关于其直径对称，也关于经过其圆心的任何直 线对称。
圆的直径与半径的关系
直径是半径的两倍，半径是直径的一半。
该方程描述了一个以 $(h, k)$ 为圆心，$r$ 为
半径的圆。
当 $r = 0$ 时，方程描 述的是一个点 $(h, k)$。
圆的一般方程
01
圆的一般方程为 $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$。
02
该方程可以表示任意一个圆，其中 $D, E, F$ 是常数。
圆系方程ppt课件
两圆方程即为：(x 1)2 ( y 3)2 1, (x 3)2 ( y 1)2 9
O1(1,3), O2 (3,1), r1 1, r2 3 | O1O2 | 20 r1 r2 外离 公切线的交点必在 C1C2上
C2 C1 N
M
| |
MC1 MC2
x2 y2 D1x E1 y F1 (x2 y2 D2 x E2 y F2 ) 0
若圆C1：x2 y2 D1x E1 y F1 0, 直线l：ax by c 0
则过C1与l交点的圆系方程为：
x2 y2 D1x E1 y F1 (ax by c) 0
| |
1 3
MC1
1 2
C1C2
且
| |
NC1 NC2
| |
1 3
C1N
1 3
NC2
M (3,4)
N (0, 5 )
设y
5 2
kx
2 C1到该直线的距离为1 k
3 4
x 0也满足
5
圆系方程
若圆C1：x2 y2 D1x E1 y F1 0, 圆C2：x2 y2 D2 x E2 y F2 0 则过C1与C2交点的圆系方程为：
a b
0 0
(2)若与两圆都外切，则
(3)与C1内切，
C
外切，则
2
(a 2)2 b2 3 1 a 0
(a 2)2 b2
b2 b2
31 31
6
O1(1,3), O2 (3,1), r1 1, r2 3 | O1O2 | 20 r1 r2 外离 公切线的交点必在 C1C2上
C2 C1 N
M
| |
MC1 MC2
x2 y2 D1x E1 y F1 (x2 y2 D2 x E2 y F2 ) 0
若圆C1：x2 y2 D1x E1 y F1 0, 直线l：ax by c 0
则过C1与l交点的圆系方程为：
x2 y2 D1x E1 y F1 (ax by c) 0
| |
1 3
MC1
1 2
C1C2
且
| |
NC1 NC2
| |
1 3
C1N
1 3
NC2
M (3,4)
N (0, 5 )
设y
5 2
kx
2 C1到该直线的距离为1 k
3 4
x 0也满足
5
圆系方程
若圆C1：x2 y2 D1x E1 y F1 0, 圆C2：x2 y2 D2 x E2 y F2 0 则过C1与C2交点的圆系方程为：
a b
0 0
(2)若与两圆都外切，则
(3)与C1内切，
C
外切，则
2
(a 2)2 b2 3 1 a 0
(a 2)2 b2
b2 b2
31 31
6
2.4.2圆的一般方程 课件(共18张PPT)
解:设M的坐标为(x, y) , 点A坐标是(x0，y0).
由于点B的坐标是(4 , 3) , 且M是线段AB
x0 4
y0 3
的中点, 所以
x
y
2
2
x0 2 x 4
因为点A在圆上运动 , 所以A的
于是有:
y0 2 y 3 坐标满足圆的方程 , 即:
( x0 1) y0 4 (2 x 4 1) (2 y 3) 4
(3)圆心(a , - 3a ), 半径 | a | .
练习：判断下列方程分别表示什么图形?
2
2
(1) x + y = 0
2
2
(2) x + y - 2 x + 4 y - 6 = 0
2
2
2
(3) x + y + 2ax - b = 0
(1)原点(0,0)
(2)表示圆 , 坐标为(1,-2) , 半径是 .
课 堂 练 习
1.写出下列各圆的圆心坐标和半径:
(1)
x y 6x 0
(2)
x y 2by 0
2
2
2
2
(3) x 2 y 2 2ax 2 3ay 3a 2 0
解: (1)圆心坐标(3, 0) ,半径为3.
(2)圆心坐标(0, b) , 半径为 |b| .
y
一点，也就是点M属于集合
| OM | 1 M
{M |
}
| AM | 2
A x
由两点间的距离公式，得
C O
x y
2
2
1
化简得 x2+y2+2x3＝0
由于点B的坐标是(4 , 3) , 且M是线段AB
x0 4
y0 3
的中点, 所以
x
y
2
2
x0 2 x 4
因为点A在圆上运动 , 所以A的
于是有:
y0 2 y 3 坐标满足圆的方程 , 即:
( x0 1) y0 4 (2 x 4 1) (2 y 3) 4
(3)圆心(a , - 3a ), 半径 | a | .
练习：判断下列方程分别表示什么图形?
2
2
(1) x + y = 0
2
2
(2) x + y - 2 x + 4 y - 6 = 0
2
2
2
(3) x + y + 2ax - b = 0
(1)原点(0,0)
(2)表示圆 , 坐标为(1,-2) , 半径是 .
课 堂 练 习
1.写出下列各圆的圆心坐标和半径:
(1)
x y 6x 0
(2)
x y 2by 0
2
2
2
2
(3) x 2 y 2 2ax 2 3ay 3a 2 0
解: (1)圆心坐标(3, 0) ,半径为3.
(2)圆心坐标(0, b) , 半径为 |b| .
y
一点，也就是点M属于集合
| OM | 1 M
{M |
}
| AM | 2
A x
由两点间的距离公式，得
C O
x y
2
2
1
化简得 x2+y2+2x3＝0
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求圆的方程的方法
<三>、已知圆上两点且圆心在一条直线上 (1)已知圆上两点且圆心在一条直线上 例5圆过点A(1，－2)，B(－1,4)， 圆心在直线2x－y－4＝0上，求 圆的方程。
求圆的方程的方法
（2）圆心在直线上且与另一条直线相切 例6 求圆心在直线2x+y＝0上, 且与直线y=-x+1相切于点(2，-1)的圆 的方程.
求圆的方程的方法
§4.1. 圆的方程
y
OC
x
r
求圆的方程的方法
一．圆的定义 在平面内，到 定点 的距离等于 定长 的点的 集合 叫 圆． 二．圆的方程 （1）．圆的标准方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其中 (a，b) 为圆心，r 为 半径．
求圆的方程的方法
点与圆的位置关系 设圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点 M(x0，y0) ①点在圆上：(x0－a)2＋(y0－b)2 ＝ r2； ②点在圆外：(x0－a)2＋(y0－b)2 > r2； ③点在圆内：(x0－a)2＋(y0－b)2 < r2.
归纳总结：当圆心在一条直线上时，可以用一个未知数设出 圆心坐标，从而减少未知数个数，简化计算。
求圆的方程的方法
<二>、已知圆上两点和半径
例4 在x轴上的截距为-1和9，且半径为13. 解法2： （待定系数法）设圆的方程为 (xa)2(yb)2169
因为圆经过两个点A（-1,0）和B（9,0）
(1a)2 (0b)2 169 (9a)2 (0b)2 169
解得：
a b
4 12
或
a4 b 12
所以，所求方程为 (x4)2(y1)22169
<二>、已知圆上两点和半径
例4 在x轴上的截距为-1和9，且半径为13. 解法1： 由题意得，所求圆经过两个点A（-1,0）和B（9,0）.
则弦AB的中垂线方程为 x 4，所以设圆心坐标为C（4，b）
AC (4(1)2 )b213解得 b12
所以，所求方程为 (x4)2(y1)22169
求圆的方程的方法
例2.已知圆心C(8，-3),且经过点M(5，1).
变式2：已知圆的一条直径的两个端点
例3.已知A(-4，-5),B(6，-1),求以线段AB为直径的圆的方程.
总结归纳：圆的标准方程是: (x a )2 (y b )2 r2(r 0 )
练习：以原点为圆心，且过点（3,-4）的圆的标准方程是 求圆的方程的方法
求圆的方程的方法
（2）．圆的一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 表示圆的充要条件是 D2＋E2
－4F>0 ，其中圆心为 －D2 ，－E2 ，半径为 r＝
D2＋E2－4F2Leabharlann .求圆的方程的方法
三.求圆方程的方法
<一>、已知圆心和半径─公式法
例1.已知圆心C(-3，4),半径为 5
变式1：已知圆心和圆上一点