(9)2013年高考数学预测试卷

2013年高考数学预测试卷（9）一、选择题：（本小题共12小题，每小题5分，共60分）1、复数i z +=31，i z -=12，则复数21z z在复平面内对应的点位于（ ）（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限2、已知R a ∈，则“2>a ”是“a a 22>”的 （ ） （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件3、二项式n xx )312(34-的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为 （ ）（A ）7 （B ）12 （C ）14 （D ）5 4、对于一个有限数列),,(21n p p p p =，p 的蔡查罗和（蔡查罗为一数学家）定 义为)(121n S S S n+++ ，其中)1(21n k p p p S k k ≤≤+++= ，若一个99项 的数列),,(9921p p p 的蔡查罗和为1000，那么100项数列),,,1(9921p p p 的蔡查罗和为（ ） （A ）991 （B ）992（C ）993（D ）9995、对于使M x x ≤+-22成立的所有常数M 中，我们把M 的最小值1叫做x x 22+- 的上确界，若+∈R b a ,，且1=+b a ，则ba 221--的上确界为 （ ） （A ）29（B ）29-（C ）41 （D ）4-6、某一批大米质量服从正态分布)01.0,10(N (单位:kg)，任选一袋大米，它的质量在kg kg 2.10~8.9内的概率是 （ ）（A ）)2(1φ- （B ）1)2(2-φ （C ）)2()2(--F F （D ）1)2()2(--+F F 7、古代“五行”学说认为：“物质分金，木，土，水，火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金”将五种不同属性的物质任意排成一列，则属性相克的两种物质不能相邻的排法数为 （ ） （A ）5（B ）10（C ）15（D ）208、数列}{n a 满足⎪⎩⎪⎨⎧∈+∈=)(,)2(2)(,**N ，n n n n N ，n n n a n 为奇数为偶数，则}{n a 的前12-k 项的和（ ） （A ）12112+-+-k k k （B ）12112+-++k k k（C ）2111232+-+-++k k k k （D ）2111232+-+-+-k k k k9、已知)2,1(A ,)4,3(B ,)2,2(-C ,)5,3(-D ，则向量→-AB 在向量→-CD 方向上的投影为（ ） （A ）5102 （B ）5102- （C ）510 （D ）510-10、在四面体ABCD 中，三组对棱棱长分别相等且依次为34、41、5，则此四面体ABCD 的外接球的半径R 为 （ ） （A ）25 （B ）5 （C ）225 （D ）411、过原点O 作两条互相垂直的直线分别与椭圆1222=+y x 相交于A 、C 与B 、D ，则四边形ABCD 的面积的最小值为 （ ）（A ）38 （B ）24（C ）22 （D ）34 12、一个机器猫每秒钟前进或后退1步，程序设计人员让机器猫以每前进3步后再后退2步的规律移动；如果将此机器猫放在数轴的原点上，面向正的方向，以1步的距离为1个单位长，令)(n p 表示第n 秒时机器猫所在的位置的坐标，且0)0(=p ，那么下列结论中错误．．的是 ( ) （A ）3)3(=P （B ）1)5(=P （C ）21)101(=P （D ）)104()103(P P < 二、填空题（本小题共4小题，每小题5分，共20分）13、已知变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤11y y x x y ，则y x z +=2的最小值为 ；14、常数b a ,满足b x x ax x =+++-→135lim 21，则=+b a ；15、已知平面向量)2,1(=→a ，)3,1(-=→b ，→→→→→⋅-=b b a a c )(，则→a 与→c 夹角的余弦值为 ； 16、设椭圆)0(12222>>=+b a by ax 的切线交y x ,轴于A 、B 两点，则||AB 的最小值为 ；三、解答题（本大题共6小题，70分） 17、（10分）已知向量)23sin ,23(cos x x a =→，)2sin ,2(cos x x b -=→，且]2,0[π∈x ； （Ⅰ）求→→⋅b a 及||→→+b a ；（Ⅱ）若)1(||2)(≤+-⋅=→→→→λλb a b a x f 的最小值等于23-，求λ的值及此时x 的值。

18、（12分）已知函数x x f 2log )(=，]8,2[∈x ； （1）求)(x f 的值域G ；（2）若对于G 内的所有实数x ，不等式12222≤+-+-m m mx x 恒成立，求实数m 的取值范围.19、（12分）如图，已知四棱锥ABCD P -的底面是直角梯形，90=∠=∠BCD ABC ，CD PC PB BC AB 2====，侧面⊥PBC 底面ABCD ；（1）求二面角B DC P --的大小； （2）求证：平面⊥PAD 平面PAB 。

20、（12分）美国次贷危机引发2008年全球金融动荡，波及中国两大股市，甲、乙、丙三人打算趁目前股市低迷之际“抄底”。

若三人商定在圈定的10只股票中各自随机购买一只（假定购买时每支股票的基本情况完全相同）。

（1）求甲、乙、丙三人恰好买到同一只股票的概率；（2）求甲、乙、丙三人中至少有两人买到同一只股票的概率；（3）由于国家采取了积极的救市措施，股市渐趋回暖，若某人今天按上一交易日的收盘价20元/股买人1000股某只股票，且预计今天收盘时，该只股票涨停（比上一交易日的收盘价上涨10%）的概率为0.5，持平的概率为0.2，否则将下跌5%，求此人今天获利的数学期望（不考虑交易税）。

21、（12分）如图，在直角坐标系xOy 中，有一组对角线长为n a 的正方形),2,1( =n D C B A n n n n ，其对角线n n D B 依次放置在x 轴上（相邻顶点重合）。

设数列}{n a 是首项为a ，公差为)0(>d d 的等差数列，点1B 的坐标为)0,(d （1）当4,8==d a ，证明：顶点321,,A A A 不在同一条直线上； （2）在（1）的条件下，证明：所有顶点n A 均落在抛物线x y 22=上；（3）为使所有顶点n A 均落在抛物线)0(22>=p px y 上，求a 与d 之间所应满足的关系式。

22、（12分）已知函数)ln()(a x x x f +-=在1=x 处取得极值； （1）求实数a 的值；（2）若关于x 的方程b x x x f +=+22)(在]2,21[上恰有两个不相等的实数根，求实数b 的取值范围；【参考数据：6931.02ln =】（3）证明：)2,()1(23)(122≥∈+-->-∑=n N n n n n n k f k nk 。

参考答案（9）一、AAAA B BBA AC AD 二、13、–3；14、3；15、41414-；16、a b + 三、17、（1）x b a 2cos =⋅→→，x b a cos 2||=+→→（2）,12)(cos 2cos 42cos )(22---=-=λλλx x x x f ]1,0[cos ],2,0[∈∴∈x x π当0<λ时，1)(m in -=x f ； 当10≤≤λ时 ，2312)(2m in -=--=λx f ，21=λ， 此时21cos =x ，3π=x ，综上21=λ，)(x f 取最大值23-时，3π=x 18、（1）)(x f 的值域G 为［21，3］.（2）原命题⇔ g(x)=x 2–2mx+m 2-2m+1≥0在x ∈［21,3］上恒成立. ①当m ≤21时,01341)21()(2m in ≥++-==m m g x g ，解得：m ≤21②当21<m<3时，012)()(m in ≥+-==m m g x g ，无解 ③当m ≥3时, 0810)3()(2min ≥--==m m g x g ，解得：m ≥4+6综上，实数m 的取值范围是]21,(-∞∪),64[+∞+19、（1）BC DC ⊥ ，，且平面PBC ⊥平面ABCD ，DC 面PBC ，DC ⊥PC ，DC ⊥BC ，∠PCB 为二面角P —DC —B 的平面角，△PBC 为正三角形， ∴∠PCB=60°，即二面角P —DC —B 的大小为60°。

（2）设PB 的中点为N ，PA 的中点为M ，连结DM 、MN 、CN ， ∵PC=BC ，∴CN ⊥PB ，∴AB ⊥BC ，且平面PBC ⊥平面ABCD ，∴AB ⊥面PBC ，∴AB ⊥CN ，CN ⊥面PAB ，由MN ∥AB ∥CD ，MN=21AB=CD ，得四边形MNCD为平行四边形，∴CN ∥DM ，∴DM ⊥面PAB ，∴平面PAD ⊥平面PAB 。

20、（1）1001)101(1031=⨯=P （2）257)(131103102=-=C A P （3）每股今天获利钱数ξ的分布列为：700]3.012.005.02[10001000=⨯-⨯+⨯=ξE21、（1）由题意可知，)4,8(1A ，)6,18(2A ，)8,32(3A ，∴5121=A A k ，7132=A A k∵3221A A A A k k ≠，∴321,,A A A 不在同一条直线上； （2）由题意可知，顶点n A 横、纵坐标分别是：d n n n n d x n 2)1(21)1(21-+-++=，])1([21d n a y n -+=， 消去1-n ，可得d a d a d y d x n n 2)(22-++= 把4,8==d a 代入得：n nx y 22=，∴所有顶点n A 均落在抛物线x y 22=上。

（3）使所有顶点n A 均落在抛物线)0(22>=p px y 上，则有⎪⎩⎪⎨⎧=-+=02)(22d a d a d p d 解之得p d 4=，p a 8=，∴d a 2= 22、（1）ax x f +-=11)(/，由0)1(/=f 得：0=a ； （2）由（1），得x x x f ln )(-=，方程化为：)0(0ln 3)(2>=++-=x b x x x x gx x x x g )1)(12()(/--=，∴)(x g 在)1,21[上递减，在]2,1(上递增，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+-=<-=≥--=02ln 2)2(02)1(02ln 45)21(b g b g b g 解得：22ln 45<≤+b （3）k k f k ln )(=- ，∴原不等式等价于：)2,()1(23ln 14ln 13ln 12ln 12≥∈++->++++n N n n n n n n 设)1(41ln )(2--=x x x φ，则x x x x 2)2)(2()(/-+=φ，∴2≥x 时，0)(/<x φ， 函数)(x y φ=在),2[+∞上是减函数，∴0432ln )2()(<-=≤φφx ，∴)1(41ln 2-<x x ，∴当2≥x 时，)1111(214ln 12+--=->x x x x ∴)]1111()5131()4121()311[(2ln 13ln 12ln 1+--++-+-+->+++n n n )2,()1(23)111211(22≥∈+--=+--+=n N n n n n n n n ，∴原不等式成立。