抽样定理

Bell电话实验室工作。
抽样间隔T需满足：
1927年，Nyquist确定了对某一
T π / m 1/(带且2宽在f m的抽)有样限率时达间到连一续定信数号值进时，行根抽据样，
fsam 2fm （或ω这复sa些原m 抽信 样号2ω。值m为可）不以使在原接波收形端产准生确“地半恢
fsam= 2fm
连续时间信号的时域抽样
什么是信号抽样 为什么进行抽样 抽样定理的理论推导 抽样定理内容 抽样定理的应用
5 非周期信号的频域分析 p 1
什么是信号抽样
5 非周期信号的频域分析 p 2
什么是信号抽样
5 非周期信号的频域分析 p 3
[x,Fs,Bits]=wavread(‘myhreat’); play(x) Fs=22,050 ; Bits=16
X(ejW)
...
1 T
sam
m
0 m
X (e jW )
1
...
T
5
非周期信号的频域分sa析m
m
p 20
0 m
X ( j) 1
sam
...
0

X1( j)
1
sam
m
0 m
...

不同抽样频率的语音信号效果比较
抽样频率fsam=44,100 Hz
抽样频率fsam=5,512 Hz
5 非周期信号的频域分析 p 5
如何进行信号抽样
5 非周期信号的频域分析 p 6
如何进行信号抽样
x[k ] x(t ) t kT
如何选取抽样间隔T？
5 非周期信号的频域分析 p 7
信号抽样的理论推导
x(t) tkT x[k ]
?
x[k] x(t) t kT
X ( j)
j) *sam
n

(

nsam )
1 T n
X ( j( nsam))


X sam ( j) x(kT)e jkT x(kT)e jkΩ X (e jW )
k
k
5 非周期信号的频域分析 p 10
信号抽样的理论推导
X (e jW ) (W T )
连续信号x(t)的频谱为X(j )，
离散序列x[k] 频谱为 X(ejW)
5 非周期信号的频域分析 p 8
信号抽样的理论推导

T (t) (t kT) k

sam () sam ( nsam) n
离散序列x[k]频谱与抽样间隔T之间的关系
sam 2m
X ( j) 1
混叠 (aliasing)

m 0 m
X (e jW )
X [ j( sam )] ...
1 T
X ( j)
X [ j( sam )] ...
sam
samm
0
m sam
sam
有限(带限信号)，对应时域无限，工程上无法实现……
(2) 抽样间隔T 需满足 T π / m 1/(2 f m ) ，
或抽样频率fs需满足： fs 2fm （或ωs 2ω m） 。
fs = 2fm 定义为最小取样频率，称为Nyquist Rate。以上条件也 就是抽样后频谱不产生混叠的充分条件。
为最小抽样频率波，损称失”为，N采yq样ui率st至R少at应e. 为信号最
高频率的2倍，这就是著名的
5 非周期信号的频域分析 p 16
Nyquist采样定理。
信号抽样的实现
x(t)
A/D
x[k]=x(kT)
T
x[k] x(t) t kT
抽样间隔(周期) 抽样角频率 抽样频率
5 非周期信号的频域分析 p 17
5 非周期信号的频域分析 p 15
Nyquist，美国物理学家，1889
抽样定年出理生的在内瑞容典。1976年在Texas逝
世。他对信息论做出了重大贡献。
1907年移民到美国并于1912年进入
若件带下限，信信号号xx((tt))的 可最以高用角等频间北大19率隔3达学4为T克获年的ω塔得在抽m大物A，T样学理&则值学学T在公习博唯司满士。一工学1足表9作1位一7示，年。定.后在19条转耶17鲁～入
为什么进行信号抽样
输入 x(t)
x[k] 离散 y[k]
A/D
系统
D/A
用数字方式处理模拟信号
输出 y(t)
离散信号与系统的主要优点：
(1) 信号稳定性好: 数据用二进制表示，受外界影响小。 (2) 信号可靠性高: 存储无损耗，传输抗干扰。 (3) 信号处理简便: 信号压缩，信号编码，信号加密等 (4) 系统精度高: 可通过增加字长提高系统的精度。 (5) 系统灵活性强: 改变系统的系数使系统完成不同功能。
抽样频率fsam=5,512 Hz 抽样前对信号进行了抗混叠滤波
5 非周期信号的频域分析 p 21
思考题
(1) 根据时域抽样定理，对连续时间信号进行抽 样时，只需抽样速率 fs 2fm。在工程应用中， 抽样速率常设为 fs (3~5)fm，为什么？
实际滤波
1 F ( j) 理想
1 F ( j)
若连续信号x(t)的频谱为X(j )，离散序列
x[k] 频谱为 X(ejW),且存在
x[k] x(t) t kT
则有
X
(e jW )

1 T

X
n
(
j(

nsam )
)
(W T )
信号时域的离散化导致其频域的周期化
其中： T 为抽样间隔，sam=2p /T为抽样角频率

5 非周期信号的频域分析 p 14
2、时域取样定理
抽样定理总是假设信号是实信号的！由于实信号的幅度 频谱具有偶对称性，所以当抽样信号能唯一表示原信号时， 要求：抽样频率不能过低，至少需是最高频率的两倍。
从抽样信号fs(t)中完全恢复原信号f(t)，需满足两个条件：
(1) f(t) 的频谱函数在| | >m各处为零，即要求其在频域
T
(s)
sam=2p/T (rad/s)
fsam=1/T (Hz)
已知实信号x(t)的最高频率为fm (Hz)，试计算对 各信号x(2t)， x(t)*x(2t)， x(t)x(2t)抽样不混叠的最 小抽样频率。
解： 根据信号时域与频域的对应关系及抽样定理得： 对信号x(2t)抽样时，最小抽样频率为 4fm(Hz)； 对x(t)*x(2t)抽样时，最小抽样频率为 2fm(Hz)； 对x(t)x(2t)抽样时，最小抽样频率为 6fm(Hz)。
5 非周期信号的频域分析 p 11
离散序列x[k]频谱与抽样间隔T之间的关系
sam 2m
X ( j) 1

m 0 m
X [ j( sam )] ...
sam
X (e jW )
1 T
X ( j)
m
sam /2 0 m
X [ j( sam )] ...
sam
5 非周期信号的频域分析 p 12
离散序列x[k]频谱与抽样间隔T之间的关系
sam 2m
X ( j) 1

m 0 m
X [ j( sam )] ...
X (e jW )
1 T
X(j)
sam m
0 m
X [ j( sam )]
...
sam
5 非周期信号的频域分析 p 13
1 F ( j)
滤波

0
0 m
0 m
(2) 若连续时间信号 f (t) 的最高频率 fm 未知，
如何确定抽样间隔T？
取较大的T，从抽样信号频谱可发现有混叠，逐渐减小T，当前后2次抽样信号频 谱之间没有变化时，即可确定T
5 非周期信号的频域分析 p 22
sam 2π / T
T (t) (1)
sam () (sam )

T 0 T
5 非周期信号的频域分析 p 9
t


sam 0 sam


xsam(t) x(t)T (t) x(kT) (t kT) k
Xsam( j)

1 2π
X
(

5 非周期信号的频域分析 p 18
抽样定理的工程应用
ห้องสมุดไป่ตู้许多实际工程信号不满足带限条件
h(t)
x(t)
抗混
x1(t)
低通滤波器
X ( j) 1
H ( j)
1
X1( j) 1
0
m
5 非周期信号的频域分析 p 19
0 m m
0 m
抽样定理的工程应用
✓ 混叠误差与截断误差比较