2.3等差数列的前n项和

2.3 等差数列的前n 项和

（第1课时）

一、教学目标

1.知识与技能：

1）掌握等差数列前n 项和公式及其获取思路；

2）会用等差数列的前n 项和公式解决一些简单的与前n 项和有关的问题.

2.过程与方法：

通过公式的推导和公式的运用，用方程的思想和基本元的思想方法进行相关计算.

3.情感、态度与价值观：

通过公式的推导过程，展现数学中的对称美.

二、教学重点和难点

重点：等差数列前n 项和公式的理解、推导及应用；

难点：灵活应用等差数列前n 项和公式解决一些简单的问题.

三、教学方法

启发式、讨论式，讲练结合

四、教学过程

（一）创设情景，导入课题

高斯是伟大的数学家，天文学家，高斯十岁时,有一次老师出了一道题目,老师说: “现在给大家出道题目:

1+2+…100=?”

过了两分钟,正当大家在：1+2=3；3+3=6；4+6=10…算得不亦乐乎时，高斯站起来回答说：

“1+2+3+…+100=5050。

老师问：“你是如何算出答案的？

高斯回答说：因为1+100=101；2+99=101；…50+51=101，所以101×50=5050” 这个故事告诉我们：

（1）作为数学王子的高斯从小就善于观察，敢于思考，所以他能从一些简单的事物中发现和寻找出某些规律性的东西.

（2）该故事还告诉我们求等差数列前n 项和的一种很重要的思想方法，这就是下面我们要介绍的“倒序相加”法.

（二）师生互动，探究新知

1．等差数列的前n 项和公式的推导

证明： 2

)(1n n a a n S += 证明： n n n a a a a a S +++++=-1321 ①

1221a a a a a S n n n n +++++=-- ②

①+②：)()()()(2123121a a a a a a a a S n n n n n ++++++++=--

∵ =+=+=+--23121n n n a a a a a a

∴)(21n n a a n S += 由此得：

2

)(1n n a a n S += 用上述公式要求n S 必须具备三个条件：n a a n ,,1

把d n a a n )1(1-+= 代入上述公式即得： 2

)1(1d n n na S n -+= 此公式要求n S 必须已知三个条件：d a n ,,1.

2.探究：n S 与n a 之间的关系：

由n S 的定义可知，当n=1时，1S =1a ；当n ≥2时，n a =n S -1-n S ，

即n a =⎩⎨⎧≥-=-)2()1(11n S S n S n n

. (三) 公式应用

例1.在等差数列{n a }中，已知n a =11-3n,求n S .

例2.在等差数列{n a }中，d=3, n a =20, n S =65,求首项1a 和n.

例3：已知一个等差数列的前10 项的和是310，前20项的和是1220，由此可以确定求其前n 项和的公式吗？

分析：只要根据已知的两个条件求出首项a 1和公差d 即可.

例4.在等差数列{n a }中，73a a +=20,求S 9

分析：已知条件只有73a a +=20,求不出首项a 1和公差d,只有a 1和d 的关系2a 1+8d=20. 课堂练习：P45. 练习1

（四）小结

本节课学习了以下内容：

1.等差数列的前n 项和公式：2

)(1n n a a n S +=或2)1(1d n n na S n -+= {}n

n n n n S n q a a a p a a a a 项和则求前（项和后项和前中在等差数列

例),8n 8,8,.567821≥=+++=+++--

2. S n 与n a 之间的关系：即n a =⎩⎨⎧≥-=-)

2()1(11n S S n S n n .

（五）作业

课本P46习题A 组1，2，3，4，5，6

2.3等差数列的前n 项和

（第２课时）

一、教学目标

1.知识与技能：

1）进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式；

2）会利用等差数列通项公式与前 项和的公式研究n S 的最值；

2.过程与方法：

经历前n 项和公式应用的过程，用方程的思想和基本元的思想方法进行相关计算；

3.情感、态度与价值观：

感受前n 项和的应用价值，引导学生要善于观察生活，从生活中发现问题，并熟练地解决问题.

二、教学重点和难点

重点：熟练掌握等差数列的求和公式；

难点：灵活应用求和公式解决问题.

三、教学方法

讨论式，讲练结合

四、教学过程

（一）创设情景，导入课题

复习上节课学习了以下内容：

1.等差数列的前n 项和公式：2

)(1n n a a n S +=或2)1(1d n n na S n -+= 2. S n 与n a 之间的关系：即n a =⎩⎨

⎧≥-=-)

2()1(11n S S n S n n .

（二）师生互动，公式应用 例1. 已知数列{n a }的前n 项和为n S =n 2

+0.5n ，求这个数列的通项公式. 这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？

解：当n=1时，

当n>1时，

当n=1时，a1也满足上式，

23

211211=+==S a )]1(21)1[(21221-+--+=-=-n n n n S S a n n n 21

2-=n