河南省洛阳市高三数学上学期第一次统一考试(12月)试题理

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河南省洛阳市2019-2020学年高三上学期第一次统一考试(1月)数学(理)试题(解析版)

洛阳市2019--2020学年高中三年级第一次统一考试数学试卷(理)第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合(){}20|M x x x =-<，{}2,1,0,1,2N =--，则MN =（）A. {}0,1B. {}2,1--C. {}1D. {}0,1,2【答案】C 【解析】【分析】解一元二次不等式求得集合M ，由此求得两个集合的交集. 【详解】由()20x x -<，解得{}|02M x x =<<，所以M N ={}1.故选：C【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合交集的概念和运算，属于基础题.2.已知复数z 在复平面中对应的点(),x y 满足()2211x y -+=，则1z -=（）A. 0B. 1C.D. 2【答案】B 【解析】【分析】根据复数对应点的坐标以及复数模的几何意义，判断出正确选项. 【详解】由于复数z 在复平面中对应点(),x y 满足()2211x y -+=，即复数z 对应点在圆心为()1,0，半径为1的圆上，1z -表示复数对应的点到()1,0的距离，也即圆上的点到圆心的距离，所以11z -=. 故选：B【点睛】本小题主要考查复数对应点的坐标以及复数模的几何意义，考查圆的方程，属于基础题.3.为了节能减排，发展低碳经济，我国政府从2001年起就通过相关政策推动新能源汽车产业发展.下面的图表反映了该产业发展的相关信息:根据上述图表信息，下列结论错误的是（）A. 2017年3月份我国新能源汽车的产量不超过3.4万辆B. 2017年我国新能源汽车总销量超过70万辆C. 2018年8月份我国新能源汽车的销量高于产量D. 2019年1月份我国插电式混合动力汽车的销量低于2万辆【答案】D【解析】【分析】根据图表对选项逐一分析，由此确定结论错误的选项.【详解】对于A选项，2017年3月份我国新能源汽车的产量6.8 6.83.32 3.41 1.05 2.05=≈<+，故A选项结论正确.对于B选项，2017年我国新能源汽车总销量125.6125.677.677010.617 1.617=≈>+，故B选项结论正确.对于C选项，2018年8月份我国新能源汽车的销量10.1万量，高于产量9.9万量，故C选项结论正确.对于D 选项，2019年1月份我国插电式混合动力汽车的销量9.60.25 2.42⨯=>，故D 选项结论错误. 故选：D【点睛】本小题主要考查图表数据分析，考查阅读与理解能力，属于基础题.4.已知正项等比数列{}n a 中，354a a =，且467,1,a a a +成等差数列，则该数列公比q 为（） A.14B.12C. 2D. 4【答案】C 【解析】【分析】结合等差中项的性质，将已知条件转化为1,a q 的形式，由此求得q 的值.【详解】由于467,1,a a a +成等差数列，所以()64721a a a +=+，所以()64735214a a a a a ⎧+=+⎨=⎩，即()5361112411214a q a q a q a q a q ⎧+=+⎪⎨⋅=⎪⎩，解得11,24a q ==. 故选：C【点睛】本小题主要考查等比数列基本量的计算，考查等差中项的性质，属于基础题.5.我国数学家陈最润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界瞩目的成就.哥德巴赫猜想简述为“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”(注:如果一个大于1的整数除了1和自身外无其他正因数，则称这个整数为素数)，如40337=+.在不超过40的素数，随机选取2个不同的数，这两个数的和等于40的概率是（） A.126B.122C.117D.115【答案】B 【解析】【分析】先求得40以内的素数的个数，然后根据古典概型概率计算公式，计算出所求的概率.【详解】40以内的素数为2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37共12个，任选两个的方法数有21212116621C ⨯==⨯种，和为40的有33740,112940,172340+=+=+=共3种，所以不超过40的素数，随机选取2个不同的数，这两个数的和等于40的概率是316622=. 故选：B【点睛】选本小题主要考查古典概型的计算，考查组合数的计算，考查素数的知识，属于基础题. 6.圆222410x y x y +-++=关于直线()300,0ax by a b --=>>对称，则12a b+的最小值是（） A. 1 B. 3 C. 5D. 9【答案】B 【解析】【分析】求得圆心，代入直线30ax by --=，利用基本不等式求得12a b+的最小值. 【详解】圆222410x y x y +-++=的圆心为()1,2-，由于圆关于直线30ax by --=对称，圆心坐标满足直线方程，所以23a b +=，所以12a b +()1122123253b a a b b b a a +⎛⎫⎛⎫=⋅⋅+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()11554333⎛≥+=+= ⎝，当且仅当22,1b aa b a b===时等号成立. 故选：B【点睛】本小题主要考查圆的几何性质，考查基本不等式求最小值.7.函数()()23xx e e cos x f x x-⋅-=（e 为自然对数的底数）的大致图象为（）A. B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】根据函数的奇偶性和特殊值，排除错误选项，由此得出正确选项.【详解】由于()()f x f x -=-，所以()f x 为奇函数，图像关于原点对称，由此排除B,D 两个选项. 当0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0f x >，由此排除A 选项. 故选：C【点睛】本小题主要考查函数图像的识别，考查函数的奇偶性，属于基础题. 8.正三棱锥的三视图如下图所示，则该正三棱锥的表面积为（）A. B. 9 C. D.92【答案】A 【解析】【分析】通过三视图还原出立体图，通过条件可求得底面正三角形边长为则可求侧面积为.【详解】如图所示，底面正三角的高AD=3，所以223AH AD==，AB=AC=BC=ABCS =又SH为侧视图中的高，所以SH=3，则AS=,则在等腰SAB中12SABS=⨯=所以侧面积为A.【点睛】本题考查已知三视图求几何体的表面积，准确的还原出立体图是解题的关键，属中档题.9.已知点12,F F分别是双曲线()2222:10,0x yC a ba b-=>>的左，右焦点，O为坐标原点，点P在双曲线C的右支上，且满足12212,4F F OP tan PF F=∠=，则双曲线C的离心率为（）B. 5D.179【答案】C【解析】【分析】根据122F F OP=判断出三角形12F F P是直角三角形，利用214tan PF F∠=、双曲线的定义和勾股定理列方程组，化简后求得离心率.【详解】由于1222F F OP c==，所以三角形12F F P是直角三角形.所以12121222221212424PFtan PF FPFPF PF aPF PF F F c⎧∠==⎪⎪⎪-=⎨⎪+==⎪⎪⎩，化简得22179ca=，即cea==故选：C【点睛】本小题主要考查双曲线离心率的求法，考查双曲线的定义，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.10.设()f x 是定义在R 上函数，满足条件()()11f x f x +=-+，且当1x ≤时，()3xf x e-=-，则()27a f log =，()2 1.533,3b f c f --⎛⎫⎪⎝⎭==的大小关系是（）A. a b c >>B. a c b >>C. b a c >>D. c b a >>【答案】B 【解析】【分析】利用已知条件将()27a f log =转换为247a f log ⎛=⎫⎪⎝⎭，根据1x ≤时()f x 的单调性，比较出,,a b c 的大小关系.【详解】依题意()()11f x f x +=-+，所以()22277log 1log 1227a f log f f ⎛⎫⎛⎫=+=-+ ⎪ ⎝⎭⎝=⎪⎭24l o g 7f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.因为21.5324log 03317--<<<<，且当(],1x ∈-∞时，()3x f x e -=-为减函数，所以a cb >>.故选：B【点睛】本小题主要考查利用函数的单调性比较大小，考查对数运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.11.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点E 为棱1CC 的中点.下列结论:①线段BD 上存在点F ，使得//CF 平面1AD E ；②线段BD 上存在点F ，使CF ⊥得平面1AD E ；③平面1AD E 把正方体分成两部分，较小部分的体积为724，其中所有正确的序号是（） A. ① B. ③C. ①③D. ①②③【答案】C 【解析】的【分析】利用线面平行的判定定理，作出F 点的位置，判断①正确.利用面面垂直的判定定理，判断②错误.计算较小部分的体积，判断③正确.【详解】设1A D 交1AD 于P ，过P 作PQ AD ⊥，交AD 于Q ，连接CQ 交BD 于F ，由于//,PQ CE PQ CE =，所以四边形PQCE 为平行四边形，所以//CQ EP ，所以//CQ 平面1AED .故线段BD 上存在点F ，使得//CF 平面1AD E ，即①正确.若CF ⊥平面1AD E ，CF ⊂平面ABCD ，则平面1AD E ⊥平面ABCD ，这不成立，所以②错误. 延展平面1AD E 为1AMED 如图所示，其中M 是BC 的中点.根据正方体的几何性质可知，1,,D E AM DC 相交于一点， 1CEMDD A ∆∆,所以多面体1CEM DD A -是棱台.且体积为(113CEM DD A S S CD ∆∆⋅+⋅1117138224⎛=⋅++⋅= ⎝.故③正确. 综上所述，正确的序号为①③. 故选：C【点睛】本小题主要考查空间线面平行、线面垂直有关定理，考查台体体积计算，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.12.已知正项数列{}n a 的前n 项和为1,1n S a >，且2632n n n S a a =++.若对于任意实数[]2,2a ∈-.不等式2*1()211n a t at n N n +<+-∈+恒成立，则实数t 的取值范围为（） A. ][(),22,⋃∞-+∞- B. ,21,(][)∞⋃+∞--C. ,12[),(]-∞⋃+∞-D. []22-,【答案】A 【解析】【分析】求得11n a n ++的范围，转化主参变量列不等式组，解不等式组求得t 的取值范围. 【详解】由2632n n n S a a =++①.当1n =时，2111632a a a =++，解得12a =.当2n ≥时，2111632n n n S a a ---=++②，①-②得2211633n n n n n a a a a a --=-+-，()()1130n n n n a a a a --+--=，所以13n n a a --=，所以数列{}n a 是首项为12a =，公差为3d =的等差数列，所以31n a n =-，所以()1311133111n n a n n n ++-==-<+++，所以2213t at +-≥恒成立，即2240t at +-≥，转换为2240ta t +-≥，在[]2,2a ∈-恒成立，所以2222402240t t t t ⎧-+-≥⎨+-≥⎩，解得][,2()2,t ∈⋃∞-+∞-. 故选：A【点睛】本小题主要考查已知n S 求n a ，考查不等式恒成立问题的求解策略，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.平面向量a 与b 的夹角为60，且()3,0a =，1b =，则2a b += __________．【解析】【分析】利用()222a b a b +=+来求得2a b +.【详解】依题意()222a b a b+=+224494a ab b =+⋅+=+=【点睛】本小题主要考查平面向量模的运算，考查平面向量数量积的运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.14.若实数,x y 满足约束条件,4, 3,y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2z x y =+的最小值是__________．【答案】9- 【解析】【分析】画出可行域，平移基准直线20x y +=到可行域边界位置，由此求得z 的最小值.【详解】画出可行域如下图所示，平移基准直线20x y +=到可行域边界点()3,3A --位置，此时z 取得最小值为()2339⨯--=-. 故答案为：9-【点睛】本小题主要考查线性规划求最小值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.15.已知椭圆()2222:10,x y C a b A a b+=>>为右顶点.过坐标原点O 的直线交椭圆C 于,P Q 两点，线段AP 的中点为M ，直线QM 交x 轴于()2,0N ，椭圆C 的离心率为23，则椭圆C 的标准方程为__________．【答案】2213620x y += 【解析】【分析】设出,P Q 两点的坐标，求得M 点坐标，由,,Q M N 三点共线列方程，结合椭圆的离心率求得,a b 的值，进而求得椭圆的标准方程.【详解】设()()0000,,,P x y Q x y --，(),0A a ，所以00,22a x y M +⎛⎫ ⎪⎝⎭，由于,,Q M N 三点共线，所以00002222y y a x x =++-，解得6a =.由于椭圆离心率23c a =，所以4c =，所以22220,b a c b =-==.所以椭圆方程为2213620x y +=. 故答案为：2213620x y += 【点睛】本小题主要考查根据椭圆的离心率求椭圆标准方程，考查运算求解能力，属于基础题. 16.已知函数()()12,f lnx ax a x g x x=+=-，且()()0f x g x ≤在定义域内恒成立，则实数a 的取值范围为__________．【答案】{2|a a e =或12a e ⎫≤-⎬⎭【解析】分析】先求得()()f x g x 的定义域，然后对()f x 和()g x 的符合进行分类讨论，由此求得实数a 的取值范围.【详解】依题意()()()1ln 2f x g x x ax a x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，定义域为()0,∞+. 由于()()0f x g x ≤在定义域内恒成立，则 ①，1ln 20,0x ax a x +≤-≥恒成立，即ln 12,x a a x x ≤-≤在()0,∞+恒成立.令()ln x h x x=-，()'ln 1x h x x -=，故()h x 在()0,e 上递减，在(),e +∞上递增，故()()1h x h e e≥=-.所以，由ln 12,x a a x x ≤-≤可得12,0a a e ≤-≤，即12a e≤-. ②，1ln 20,0x ax a x +≥-≤恒成立，即ln 12,x a a x x≥-≥在()0,∞+恒成立，不存在这样的a . ③，当0a >时，由于()f x 在()0,∞+上递增，()g x 在()0,∞+上递减，要使()()0f x g x ≤在定义域内恒成立，则需()f x 和()g x 有相同的零点.由ln 2010x ax a x+=⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得22,a e x e -==. 综上所述，实数a 的取值范围是{2|a a e =或12a e ⎫≤-⎬⎭. 【故答案为：{2|a a e =或12a e ⎫≤-⎬⎭【点睛】本小题主要考查不等式恒成立问题的求解策略，考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.在ABC 中，角,,A B C 对应边分别为,,a b c .(1)若ABC 的面积S 满足222,4c a b c a +=+==且b c >，求b 的值；(2)若3a A π==且ABC 为锐角三角形.求ABC 周长的范围.【答案】（1）b =（2）3(+【解析】【分析】（1）结合三角形面积公式和余弦定理，求得tan C 的值，由此求得C 的大小，利用余弦定理列方程求得b 的值.（2）利用正弦定理表示出,b c ，用三角形内角和定理和三角恒等变换求得b c +的取值范围，由此求得a b c ++即三角形ABC 周长的取值范围.【详解】(1)由条件和三角形的面积公式得2222c c a b +=+=+，即222a b c =+-.将余弦定理2222a b c abcosC +-=.cosC =，即tanC =，因为(0,)C π∈，所以6C π=将4,6c a C π===，代入2222c a b abcosC =+-，得290b -+=结合条件b c >得b =(2)由正弦定理得2sin sin sin a b c A B C=== 所以()2b c sinB sinC +=+()22233sinB sin B sinB sin B πππ⎡⎡⎤⎛⎫=--+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎤=⎢⎥⎣⎦⎦+322(6)2sinB cosB B π⎛⎫ ⎪ ⎪⎭==+⎝+ 因为A B C π++=，且3A π=及锐角三角形得0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且20,32B ππ⎛⎫⎛⎫-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以62B ππ<<，所以2363B πππ<+<，即sin 126B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，所以(3,b c +∈所以周长a b c ++范围是3(+.【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，考查三角恒等变换，考查运算求解能力，属于中档题.18.如图，已知四边形ABCD 为等腰梯形，BDEF 为正方形，平面BDEF ⊥平面ABCD ，//,1AD BC AD AB ==，60ABC ∠=︒.(1)求证:平面CDE ⊥平面BDEF ；(2)点M 为线段EF 上一动点，求BD 与平面BCM 所成角正弦值的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）12⎤⎥⎣⎦ 【解析】【分析】（1）利用等腰梯形的性质证得BD CD ⊥，由面面垂直的性质定理证得CD ⊥平面BDEF ，由此证得平面CDE ⊥平面BDEF .（2）建立空间直角坐标系，设出EM 的长，利用直线BD 的方向向量和平面BCM 的法向量，求得BD 与平面BCM 所成角正弦值的表达式，进而求得BD 与平面BCM 所成角正弦值的取值范围.【详解】在等腰梯形ABCD 中，// ,1AD BC AD AB ==， 60ABC ∠=︒，120,30BAD CDA ADB ∴∠=∠=︒∠=︒，90CDB ∠=︒. 即.BD CD⊥BD =2BC =. 又平面BDEF ⊥平面ABCD ，平面BDEF ⋂平面,ABCD BD CD =⊂平面ABCD ，∴CD ⊥平面BDEFCD ⊂平面CDE ，∴平面CDE ⊥平面BDEF（2）解:由(1)知，分别以直线,,DB DC DE 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设0(EM m m =≤≤，则()(),0,1,0,000),,B C D，((),3,1,0M m BC =-，()3,0,3,3,0,()0BM m DB =-=设平面BMC 的法向量为(),,n x y x = 00n BC n BM ⎧⋅=∴⎨⋅=⎩，即(10y m x ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩令3x =，则3,y z m ==，平面BMC 的一个法向量为3,3,()n m =.设BD 与平面BCM 所成角为θ，,sin cos n BD θ∴=<>(,n BDn BD m ==∴当0m =m 时取最大值12故BD 与平面BCM 所成角正弦值的取值范围为12⎤⎥⎣⎦. 【点睛】本小题主要考查面面垂直的判定定理和性质定理，考查向量法计算线面角正弦值的取值范围，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.19.过点()0,2P 的直线与抛物线2:4C x y =相交于,A B 两点. (1)若2AP PB =，且点A 在第一象限，求直线AB 的方程；(2)若,A B 在直线2y =-上的射影分别为11,A B ，线段11A B 的中点为Q ，求证1//BQ PA .【答案】（1）240x y -+=.（2）证明见解析【解析】【分析】（1）设出直线AB 的方程，联立直线AB 的方程和抛物线方程，化简后写出韦达定理，利用2AP PB =，结合平面向量相等的坐标运算、韦达定理，求得直线AB 的斜率，进而求得直线AB 的方程.（2）由（1）求得11,,A B Q 的坐标，通过计算10BQ PA k k -=，证得1//BQ PA .【详解】(1)设AB 方程为()20y kx k =+>，()()11221,,,,0A x y B x y x > ，联立方程24 2.x y y kx ⎧=⎨=+⎩，，消去y 得:2480x kx --=，216320k =+>，121248x x k x x +=⎧⎨⋅=-⎩① 又()1122(),2,,2AP x y PB x y =--=- 由2AP PB =得:122x x =-代人①解得12k = ∴直线AB 的方程为:122y x =+，即240x y -+=.(2)由(1)得，()111122,2,,2(()2),,2x A x B x Q x +--- 114PA k x =-， ()22221221228422BQ x x k x x x x x ++==+-- ()()()122121212211121888422BQ PA x x x x x x k k x x x x x x ++-+-=+=-- ()()()221212************x x x x x x x x x x x x ++===-- 1BQ PA k k ∴=1//PA BQ ∴【点睛】本小题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查向量的坐标运算，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.20.设函数()()3211232x f x e x kx kx =--+. (1)若1k =，求()f x 的单调区间；(2)若()f x 存在三个极值点123,,x x x ，且123x x x <<，求k 的取值范围，并证明:1 3 22x x x >+.【答案】（1）单调减区间为(,1)-∞，单调增区间为(1,)+∞.（2）k e >，证明见解析【解析】【分析】（1）当1k =时，利用导数求得()f x 的单调区间.（2）先求得()f x 的导函数()()()'1x e x f x kx --=，则()x g x e kx =-有两个不同的零点，且都不是1.对k 分成0,0k k ≤>两种情况分类讨论，利用导数研究()g x 的单调性和零点，由此求得k 的取值范围. 由上述分析可得12301x x x <<=<，利用导数证得312313131ln ln 221x x x x x x x x x -=>=-++，从而证得1 3 22x x x >+.【详解】(1)()32()11232x f x e x x x =--+()()() 1x f x e x x '∴=--.令()(),'1x x h x e x h x e =-=-，()'0h x >得0x >，()'0h x <得0x <，()h x 在(,0)-∞上递减，在(0,)+∞上递增.()()010h x h ∴≥=>即0x e x ->，∴解()'0f x >得1x >，解()'0f x <得1x <，()f x ∴的单调减区间为(,1)-∞，单调增区间为(1,)+∞.(2)()()()()2'21x x x f x e x e kx kx e kx x =-+-+=--，()f x 有三个极值点，∴方程0-=x e kx 有两个不等根，且都不是1，令()x g x e kx =-，0k ≤时，()g x 单调递增，()0g x =至多有一根，0k ∴>解()'0g x >得x lnk >，解()'0g x <得x lnk <.()g x ∴在(n ),l k -∞上递减，在(ln ,)k +∞上递增，()()ln 10,k g lnk e klnk k lnk k e =-=-<>∴此时，()010g =>，()1,10lnk g e k >=-<，x →+∞时()g x →+∞.k e ∴>时，()'0f x =有三个根123,,x x x ，且12301x x x <<=<，由11x e kx =得11x lnk lnx =+，由33xe kx =得33x lnk lnx =+，3131ln ln 1x x x x -∴=-下面证明:313131ln ln 2x x x x x x ->-+，可变形为331311121x x x ln x x x ->+ 令311x t x =>，()()21ln 1t x t t ϕ-=-+ ()()()()222114011t x t t t t ϕ-'=-=>++，()x ϕ∴在(1)+∞，上递增， ()()10t ϕϕ∴>= ∴313131ln ln 21x x x x x x -=>-+，3122.x x x ∴+> 【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求解函数极值有关问题，考查利用导数证明不等式，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于难题.21.“公平正义”是社会主义和谐社会的重要特征，是社会主义法治理念的价值追求.“考试”作为一种公平公正选拔人才的有效途径，正被广泛采用.每次考试过后，考生最关心的问题是:自己的考试名次是多少?自已能否被录取?能获得什么样的职位? 某单位准备通过考试(按照高分优先录取的原则)录用300名，其中275个高薪职位和25个普薪职位.实际报名人数为2000名，考试满分为400分.(一般地，对于一次成功的考试来说，考试成绩应服从正态分布. )考试后考试成绩的部分统计结果如下:考试平均成绩是180分，360分及其以上的高分考生30名.(1)最低录取分数是多少?(结果保留为整数)(2)考生甲的成绩为286分，若甲被录取，能否获得高薪职位?若不能被录取，请说明理由.参考资料:(1)当2~(,)X N μσ时，令X Y μσ-=，则()~0,1Y N .(2)当()~0,1Y N 时， 2.17()0.985P Y ≤≈， 1.280.900, 1.()09()0.863P Y P Y ≤≈≤≈，1.04()0.85P Y ≤≈.【答案】（1）266分或267分.（2）能获得高薪职位.见解析【解析】【分析】（1）利用考试的平均成绩、高分考生的人数，以及题目所给正态分布的参考资料，求得考生成绩X 的分布()~180,832X N ，利用录取率3002000列方程，由此求得最低录取分数线. （2）计算出不低于考生甲的成绩的人数约为200，由此判断出甲能获得高薪职位.【详解】(1)设考生成绩为X ，则依题意X 应服从正态分布，即()2~180,X N σ. 令180X Y σ-=，则()~0,1Y N .由360分及其以上的高分考生30名可得()303602000P X ≥=即()3036010.9852000P X <=-≈，亦即3601800.985P Y σ-⎛⎫<≈ ⎪⎝⎭. 则3601802.17σ-=，解得()83180,832N σ≈∴，，设最低录取分数线为o x ，则0180300832(0)00o x P X x P Y -⎛⎫≥=≥= ⎪⎝⎭ 则018030010.85832000x P Y -⎛⎫<=-≈ ⎪⎝⎭，0180 1.0483x -∴= 266.32o x ∴≈.即最低录取分数线为266分或267分.(2)考生甲的成绩286267>，所以能被录取.()()286180()286 1.280.9083P X P Y P Y -<=<=<≈，表明不低于考生甲的成绩的人数约为总人数的10.900.10,20000.1200-=⨯≈，即考生甲大约排在第200名，排在275名之前，所以他能获得高薪职位.【点睛】本小题主要考查正态分布在实际生活中的应用，考查化归与转化的数学思想方法，考查阅读理解能力，属于中档题.请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时，用2B 铅笔在答题卡.上把所选题目对应的题号后的方框涂黑.22.在极坐标系中，已知圆的圆心6,3C π⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径3r =，Q 点在圆C 上运动.以极点为直角坐标系原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系.（1）求圆C 参数方程；（2）若P 点在线段OQ 上，且:2:3OP PQ =，求动点P 轨迹的极坐标方程.【答案】（1）33cos 3sin x y θθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）；（2）225120sin 10806πρρθ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭【解析】分析】（1）已知得，圆心6,3C π⎛⎫⎪⎝⎭的直角坐标为(C ，3r =，则可求得圆的标准方程；（2）结合（1）得，圆C 的极坐标方程为212sin 276πρρθ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，再设(),P ρθ，()1,Q ρθ，则1:2:5ρρ=，将152ρρ=代入C 的极坐标方程即可得解.【详解】（1）由已知得，圆心6,3C π⎛⎫⎪⎝⎭的直角坐标为(C ，3r =，所以C 的直角坐标方程为()(2239x y -+-=，所以圆C 的参数方程为33cos 3sin x y θθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）．（2）由（1）得，圆C的极坐标方程为()26cos 270ρρθθ-+=，即212sin 276πρρθ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭．设(),P ρθ，()1,Q ρθ，根据:2:3OP PQ =，可得1:2:5ρρ=，将152ρρ=代入C 的极坐标方程，得225120sin 10806πρρθ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭，即动点p 轨迹的极坐标方程为225120sin 10806πρρθ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查了直角坐标方程、极坐标方程及参数方程的互化，重点考查了运算能力，属基础题. 23.设函数()211f x x x =-++.【(1)画出()y f x =的图象；(2)若不等式()1f x a x >-+对x ∈R 成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）见解析（2）(,3)-∞【解析】【分析】（1）利用零点分段法将()f x 表示为分段函数的形式，由此画出()f x 的图形.（2）将不等式() 1f x a x >-+转化为21 22a x x -++>.利用绝对值不等式求得21 22x x -++的最小值，由此求得a 的取值范围.【详解】(1)根据绝对值的定义，可得()3,112,1213,2x x f x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=-+-≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩所以() y f x =的图象如图所示:(2)() 1f x a x >-+，即21 22a x x -++>|21 2 2 2122|3x x x x -++≥---=，3a ∴<，即实数a 的取值范围是(,3)-∞.【点睛】本小题主要考查分段函数的图像，考查含有绝对值的不等式恒成立问题的求解，属于基础题.。

2022届河南省洛阳市高三上学期第一次统一考试数学(理)试题解析

2022届河南省洛阳市高三上学期第一次统一考试数学（理）试题一、单选题1．已知复数sin 2icos2z =+，则z =（） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1答案：D根据复数的模的定义即可求得答案. 解：由题意，22sin 221cos z +==. 故选：D.2．已知全集为R ，集合{}21A x x =-<<，集合{}20B x x x =-+<，则()RAB =（）A ．(]2,1-B ．(]1,1-C ．(][),21,-∞-+∞D ．(][),01,-∞+∞答案：A分别求出集合A , B 对应的范围，由集合的运算可求解. 解：由题意知(2,1),(,0)(1,)A B =-=-∞⋃+∞所以[]0,1R B =，所以()(2,1]R A B ⋃=-. 故选：A.3．某种游戏棋盘形状如图，已知大正方形的边长为12，每个小正方形的边长均为2，在游戏棋盘上随机取一点，则该点取自小正方形以外区域的概率为（）A ．89B ．79C ．56D ．3536答案：B由题意分析出属于几何概型，转化为面积比即可求得.解：从正方形区域上任取一点，有无数种取法，并且他们是等可能的，属于几何概型. 因为大正方形的边长为12，所以大正方形的面积为144.棋盘内有8个小正方形，所以小正方形以外区域的面积为144822112-⨯⨯=.由几何概型的概率计算公式可得：11271449p ==. 故选：B4．已知命题:p x ∀∈R ，210x x ++>；命题q ：若a b >，则11a b<，下列命题为真的是（） A ．p q ∨ B ．p q ∧C ．()p q ⌝∨D ．()()p q ⌝∧⌝答案：A先判断p 、q 的真假，即可判断出四个选项对应命题的真假. 解：对于命题:p x ∀∈R ，210x x ++>；因为1430∆=-=-<，所以210x x ++>恒成立，故p 为真；对于命题q ：若a b >，则11a b<，取1,1a b ==-，满足a b >，但是11a b>.故q 为假. 所以p q ∨为真，故A 正确；p q ∧为假，故B 不正确；()p q ⌝∨为假，故C 不正确；()()p q ⌝∧⌝为假，故D 不正确.故选：A5．若下面框图所给的程序运行结果为28，那么判断框中应填入的关于k 的条件是（）A ．6k ≥B ．7k ≥C ．8k ≥D ．9k ≥答案：C根据题意，模拟程序框图的运行过程，根据程序运行结果为28，即可得出正确答案．解：根据程序框图，运行程序： S k “是”或“否” 1 10 是 11 9 是 20 8 是 28 7否故选：C6．已知11a xdx -=⎰，则()521x a +-的展开式中3x 的系数为（）A ．40B ．40-C ．80D ．80-答案：C根据微积分基本定理先求出a ，然后运用二项式的通项求得答案. 解：由题意，121111|02a xdx x --=⎰==，则()()552121x a x +-=-，3x 的系数为()2235C 2180⨯⨯-=. 故选：C.7．已知函数()2sin 3f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭在[],ππ-上的图象如图所示，现将其图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，则()g x =（）A ．2sin 33x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭B ．32sin 43x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．32sin 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．82sin 33x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭答案：A根据变换可得209g π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，对选项进行一一判断，即可得到答案；解：根据变换可得209g π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，对A ，22sin 3sin 0093ππ⎡⎤⎛⎫⨯-+== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故A 符合；对B ，322sin sin 04932πππ⎡⎤⎛⎫⨯-+=≠ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故B 不符合；对C ，322sin sin 02933πππ⎡⎤⎛⎫⨯-+=≠ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故C 不符合；对D ，8222sin sin 039327πππ⎡⎤⎛⎫⨯-+=≠ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故D 不符合. 故只有A 正确；故选：A.8．新冠疫情期间，某医学院将6名研究生安排到本市四家核酸检测定点医院进行调研，要求每家医院至少去1人，至多去2人，且其中甲乙二人必须去同一家医院，则不同的安排方法有（） A ．72种 B ．96种 C ．144种 D ．288种答案：C先从甲乙以外的4人中选2人，甲乙为一组，分成四组进行全排列. 解：先从甲乙以外的4人中选2人去一家医院，再进行排列，则共有2444144C A ⋅=种安排方法，故选：C9．已知ABC 中，5AB =，4AC =，则当函数()sin cos 266f A A A A ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭取得最大值时，BC =（）A ．4BCD ．答案：B根据两角和的正弦和倍角公式，对解析式进行化简得到关于cos A 的一元二次函数，从而求得(A)f 取得最大值时3A π=，再利用余弦定理，即可得到答案；解：1()2sin cos 2266f A A A A ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()222sin cos 22cos 2cos 12cos 2cos 163A A A A A A ππ⎛⎫=⋅++-=--=-++ ⎪⎝⎭当1cos 2A =时，即3A π=，max 3()2f A =，222154254212BC ∴=+-⋅⋅⋅=，21BC ∴=.故选：B10．如图，AB ，CD 分别是圆柱上､下底面圆的直径，且AB CD ⊥，若圆柱的轴截面为正方形，且三棱锥A BCD -的体积为43，则该圆柱的侧面积为（）A ．9πB ．10πC ．12πD ．14π答案：C分别取上下底面的圆心为E F 、，连接EC ED EF 、、，可得AB ⊥平面ECD ，设圆柱上底面圆的半径为a , 三棱锥A BCD -的体积为1433ECDV SAB ==,求出a ，由圆柱的侧面积公式可得答案.解：分别取上下底面的圆心为E F 、，连接EC ED EF 、、，则EF CD ⊥，因为AC CB BD AD ==、，所以CE AB ED AB ⊥=、，且CE ED E ⋂=，所以AB ⊥平面ECD ，设圆柱上底面圆的半径为a ,则2AB CD a ==，三棱锥A BCD -的体积为11122243332ECDV SAB a a a ==⨯⨯⨯⨯=解得3a =2212a a ππ⨯=，故选：C.11．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ，点A 在双曲线上且120AF AF ⋅=，若12AF F △的内切圆的半径为b ，则双曲线的离心率为（）AB1 CD答案：D直角三角形内切圆半径，可以由三角形三边之长直接算出，然后得到关于a b c 、、的关系式式，进而可求得双曲线的离心率.解：由120AF AF ⋅=，可知12AF AF ⊥，即△12AF F 为直角三角形，则有12222122+=4AF AF a AF AF c⎧-=⎪⎨⎪⎩整理得21+AF AF 则12AF F △的内切圆的半径为12122A F c A F F F +-==，c b =整理得c =，则2222()c c a =-故双曲线的离心率e =故选：D12．已知函数()()ln 0a f x x a x a =->，()e xg x x =-，若()2e x ∈1,时，()()f x g x ≤成立，则实数a 的最大值是（） A ．1 B ．eC ．2e 2D ．2e答案：B把不等式()()f x g x ≤在区间()21,e 上恒成立，转化为ln e ln e a x a x x x -≤-在区间()21,e 上恒成立,再转化为ln x a x≤在()21,e 上恒成立,是本题的关键点. 解：由题意知：当()2e x ∈1,时，()()f xg x ≤恒成立, 即ln e a x x a x x -≤-在()21,e 上恒成立,也就是ln e ln e ax a x x x -≤-在()21,e 上恒成立,令()e (0)x m x x x =->则'()e 10x m x =-> 即()e x m x x =-在()0,∞+上单调递增，则由ln e ln e ax a x x x -≤-可得ln a x x ≤即ln x a x ≤在()21,e 上恒成立, 令()ln x n x x=，()2e x ∈1,，有'2ln 1()(ln )x n x x -=，当()1,e x ∈时，'2ln 1()0(ln )x n x x -=<，()ln x n x x=单调递减；当()2e,e x ∈时，'2ln 1()0(ln )x n x x -=>，()ln xn x x=单调递增. 故()ln x n x x =，()2e x ∈1,在e x =时取最小值e (e)e ln en == 则由ln x a x≤在()21,e 上恒成立,可知e a ≤ 故实数a 的最大值为e 故选：B 二、填空题13．若向量()2,1m k k =+与向量()4,1n =共线，则m n →→⋅=___________.答案：17-先由向量共线求出k ，然后计算m n ⋅. 解：因为//m n ，所以24(1)k k =+，解得2k =- 所以819117m n k k k ⋅=++=+=- 故答案为：17-.14．已知点()2,0A -，P 为圆()2224x y -+=上的动点，则线段AP 中点的轨迹方程为___________.答案：221x y +=.设所求点为(),M x y ，()00,P x y ，将点P 的坐标代入已知圆的方程得到()220024x y -+=，然后通过中点坐标公式求出00,x y ，进而代入()220024x y -+=，化简即可得到答案. 解：设AP 的中点为(),M x y ，()00,P x y ，所以()220024x y -+=，而0000222222x x x x y y y y -⎧=⎪=+⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩，所以()()2222222124x y x y -+=⇒+=+，即AP 中点的轨迹方程为：221x y +=. 故答案为：221x y +=.15．已知函数()1y f x =+是偶函数，且()()10f x f x ++-=，若()11f =-.则()2022f =___________. 答案：1先用赋值法求出()01f =.然后判断出()f x 为周期2T =的周期函数，即可求解. 解：因为()()10f x f x ++-=， ()11f =-. 令x =0得：()()011f f =-=.因为函数()1y f x =+是偶函数，所以()()11f x f x +=-+. 又()()10f x f x ++-=，所以()()10f x f x -++-= 用x -代上式中的x ，得到()()10f x f x ++=. 用1x -代上式中的x ，得到()()10f x f x +-=. 所以()()11f x f x =+-，用1x +代上式中的x ，得到()()2f x f x =+. 所以()f x 为周期函数，周期2T =，所以()()()202202101101f f f =+⨯==. 故答案为：116．已知A ，B 两点都在以PC 为直径的球O 的表面上，AB BC ⊥，4AB BC ==，若球O 的体积为36π，则异面直线PB 与AC 所成角的余弦值为___________.由AB BC ⊥知AC 中点M 是ABC 所在截面圆的圆心，O 是PC 中点，即球心，因此有OM ⊥平面ABC ，再结合AB CB =可得MB AC ⊥，以,,MC MB MO 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，用向量法求得异面直线所成的角．解：如图，取AC 中点M ，连接MO ， ∵AB CB ⊥，所以M 是ABC 的外心，则OM ⊥平面ABC ，又BC BA =，∴BM AC ⊥，由34363S R ππ==得3R =，即3OC =，又4BC AB ==，∴MC MA MB ===,M O 分别是,AC PC 中点，∴//PA OM ，2PA OM =，1OM =，以,,MC MB MO 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则()A -，()2P -，()B ，()22PB =-，与AC 平行的向量为(1,0,0)n =，2210cos ,51884⋅===⨯++n PB n PB n PB， ∴异面直线PB 和AC 所成角的余弦值为105．故答案为：105．三、解答题17．已知数列{}n a 是递增的等比数列，且4640a a +=，516a =. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设n S 为数列{}n a 的前n 项和，11n n n n a b S S ++=，n T 为数列{}n b 的前n 项和，若2021n T m <-对一切n *∈N 成立，求最小正整数m . 答案：(1)12n n a(2)2022（1）由已知解方程2402560x x -+=，得48a =，632a =，由此能求出数列{}n a 的通项公式．（2）由已知条件利用等比数列的前n 项和公式先求出n S ，从而得到1112121n n n b +=---，由此利用裂项求和法能求出数列{}n b 的前n 项和．由111121n n T +=-<-，得到20211m -，由此能求出最小正整数m ． (1)数列{}n a 是递增的等比数列，且4640a a +=，516a =，∴4646246540256a a a a a a a +=⎧⎪<⎨⎪==⎩， 4a ∴，6a 是方程2402560x x -+=的两个根，解方程2402560x x -+=，得48a =，632a =，∴541628a qa ， 314188a a q ===， ∴1111122n n n n a a q ---==⨯=． (2)由（1）得：1(1)1221112n nn n a q S q --===---， 1111211(21)(21)2121n n n n n n n n n a b S S ++++===--⋅---， ∴数列{}n b 的前n 项和：11111111133********n n n T +=-+-+-+⋯+---11121n +=--1<，且2021n T m <-对一切*n N ∈成立，20211m ∴-，解得2022m ，∴最小正整数m 为2022．18．已知底面为菱形的四棱锥P ABCD -中，PAD △是边长为2的等边三角形，平面PAD ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是棱PC ，AB 上的点.(1)从下面①②③中选取两个作为条件，证明另一个成立； ①F 是AB 的中点；②E 是PC 的中点；③//BE 平面PFD . (2)若60DAB ∠=︒.求PB 与平面PDC 所成角的正弦值. 答案：(1)答案见解析 10（1）选①F 是AB 的中点，②E 是PC 的中点为已知条件，证明③//BE 平面PFD ；取PD 的中点M ，连接、ME FM ，可得四边形MEBF 是平行四边形，//BE MF ，由线面平行的判定定理可得//BE 平面PFD ；选②E 是PC 的中点，③//BE 平面PFD 为已知条件证明①F 是AB 的中点；取PD 的中点M ，连接、ME FM ，可得//ME FB ，再由线面平行的性质定理可得//BE MF ，所以四边形MEBF 是平行四边形，=BF ME ，由11=22ME CD =AB 可得答案；选①F 是AB 的中点，③//BE 平面PFD 为已知条件，证明 ②E 是PC 的中点；取CD 的中点N ，连接、BN EN ，得四边形BFDN 是平行四边形，//BN DF ，由面面平行的判定定理可得平面//PDF 平面BEN ，再由面面平行的性质定理可得答案.（2）取AD 的中点O ，连接AO BO 、，可得AO BO ⊥，由平面PAD ⊥平面ABCD ，可得PO ⊥平面ABCD ，以O 为原点，分别以OA OB OP 、、所在的直线为x y 、、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，求出平面PDC 的法向量，由线面角的向量求法可得答案. (1)选①F 是AB 的中点，②E 是PC 的中点为已知条件，证明③//BE 平面PFD ，取PD 的中点M ，连接、ME FM ，所以1//=2ME CD,ME CD ，1//=2FB CD,FB CD ，//,=ME FB ME FB ，所以四边形MEBF 是平行四边形，//BE MF ，因为BE ⊄平面PDF ，MF ⊂平面PDF ，所以//BE 平面PFD .选②E 是PC 的中点，③//BE 平面PFD 为已知条件，证明 ①F 是AB 的中点，取PD 的中点M ，连接、ME FM ，所以1//=2ME CD,ME CD ，因为//FB CD ，所以//ME FB ，即平面MEBF平面=PDF FM ，因为//BE 平面PFD ，所以//BE MF ，所以四边形MEBF 是平行四边形，=BF ME ，因为11=22ME CD =AB ，所以12BF AB =即F 是AB 的中点.选①F 是AB 的中点，③//BE 平面PFD 为已知条件，证明 ②E 是PC 的中点，取CD 的中点N ，连接、BN EN ，所以//=DN FB,DN FB ，四边形BFDN 是平行四边形，//BN DF ，因为BN ⊄平面PDF ，DF ⊂平面PDF ，所以//BN 平面PFD ，因为//BE 平面PFD ，=BNBE B ，所以平面//PDF 平面BEN ，EN ⊂平面BNE ，所以//EN 平面PDF ，平面PDC 平面=PDF DP ，所以//EN PD ，因为N 是CD 的中点，所以E 是PC 的中点. (2)取AD 的中点O ，连接AO BO 、，因为底面ABCD 为菱形，60DAB ∠=，所以AO BO ⊥， PAD △是边长为2的等边三角形，所以PO AD ⊥，因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，所以PO ⊥平面ABCD ，以O 为原点，分别以OA OB OP 、、所在的直线为x y 、、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，所以(3P ，()1,0,0D -，()3,0-C ，()3,0B ， (1,0,3=-PD ，(3,3=--PC ，(3,3=PB ，设平面PDC 的法向量为(),,n x y z =，所以00⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩PD n PC n ，即302330⎧-=⎪⎨-=⎪⎩x z x z ，令3z =3,3=-=-x y所以(3,3,3=--n ，设PB 与平面PDC 所成角的为α，所以10sin cos ,33393α⋅===+⋅++⋅PB n PB n PB n所以PB 与平面PDC 1019．已知抛物线2:4C x y =，过点()0,2P 的直线与x 轴交于点M ，与C 交于两点A ､B ､O 为坐标原点，直线BO 与直线()0y m m =->交于点N . (1)若直线AN 平行于y 轴.求m ； (2)设MA AP λ=､MB BP μ=，求λμ+. 答案：(1)2m =；(2)1λμ+=-（1）由题意，设直线AB 的方程为2(0)y kx k =+≠，求得,M N 的坐标，再将直线与抛物线联立，由直线AN 平行于y 轴，可得124x x m =-，结合韦达定理即可求解. （2）利用向量的坐标运算即可求解. (1)由题意知直线AB 的斜率存在且不为0，设其方程为2(0)y kx k =+≠ 令0y =，解得2x k =-，故2,0M k ⎛⎫- ⎪⎝⎭设1122(,),(,)A x y B x y联立224y kx x y=+⎧⎨=⎩，整理得2480x kx --=其中216320k ∆=+>，124x x k +=，128x x =-，则120,0x x ≠≠直线BO 的方程为22222244x y x y x x x x x ===令y m =-，解得24m x x =-，则24,m N m x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭若直线AN 平行于y 轴，则124mx x =-，即1248x x m =-=，解得2m =. (2)112,MA x y k ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，11(,2)AP x y =--，222,MB x y k ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，22(,2)BP x y =--若MA AP λ=，则11112,(,2)x y x y k λ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭，则112x x k λ+=-，即121kx λ=-- 同理可得221kx μ=-- 121212********* 1.8x x kk x x k x x k λμ⎛⎫+∴+=--⋅+=--⋅=--⋅=- ⎪-⎝⎭20．乒乓球被称为我国的国球，是一种深受人们喜爱的球类体育项目.某次乒乓球比赛中，比赛规则如下：比赛以11分为一局，采取七局四胜制.在一局比赛中，先得11分的选手为胜方；如果比赛一旦出现10平，先连续多得2分的选手为胜方.(1)假设甲选手在每一分争夺中得分的概率为23.在一局比赛中，若现在甲､乙两名选手的得分为8比8平，求这局比赛甲以先得11分获胜的概率；(2)假设甲选手每局获胜的概率为34，在前三局甲获胜的前提下，记X 表示到比赛结束时还需要比赛的局数，求X 的分布列及数学期望. 答案：(1)1627(2)数学期望为8564. （1）分析出两种情况，甲乙再打3个球，这三个均为甲赢和甲乙再打4个球，其中前三个球甲赢两个，最后一个球甲赢，分别求出概率，相加即为结果；（2）求出X 的可能取值为1，2，3，4，及对应的概率，写出分布列，求出期望值. (1)设这局比赛甲以先得11分获胜为事件A ，则事件A 中包含事件B 和事件C ，事件B ：甲乙再打3个球，甲先得11分获胜，事件C ：甲乙再打4个球，甲先得11分获胜.事件B ：甲乙再打3个球，这三个球均为甲赢，则()33328327p B C ⎛⎫==⎪⎝⎭，事件C ：甲乙再打4个球，则前三个球甲赢两个，最后一个球甲赢，则()223212833327p C C ⎛⎫=⨯⨯= ⎪⎝⎭；则()()()8816272727p A P B P C =+=+= (2)X 的可能取值为1，2，3，4.()314p X ==，()13324416p X ==⨯=，()1133344464p X ==⨯⨯=，()1111444464p X ==⨯⨯=，所以X 的分布列为：其中()3331851234416646464E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 即数学期望为8564.21．已知函数()()()ln e xxf x a x x a =+-∈R . (1)当1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； (2)讨论函数()f x 的极值点的个数. 答案：(1)11ey =-； (2)答案见解析.（1）分别求出()1f 和()1f '，即可求出切线方程；（2）分0a ≥、1a e≤-和10e a -<<三种情况，分别讨论()f x 单调性，即可得到对应的极值点的情况. (1)当1a =时，()n e l x x f x x x =+-定义域为()0+∞，，()111ef =-. 因为()1e 11x x f x x -'=+-，所以()111110ef -'=+-=. 所以()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为：11ey =-. (2) 函数()()()ln e xx f x a x x a =+-∈R 定义域为()0+∞，，()1111e e x x x x x f x a a x x --⎛⎫⎛⎫'=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 令()(),0e x x g x a x =+>，()1e xxg x ='-. 令()0g x '>，得01x <<；令()0g x '<，得1x >；所以()g x 在()0,1上单增，在()1,+∞上单减. 所以()()max 11e g x g a ==+，所以()1ea g x a <≤+①当0a ≥时，10e x ax+>，令()0f x '>，得01x <<；令()0f x '<，得1x >；所以()f x 在()0,1上单增，在()1,+∞上单减. 此时()f x 有且只有一个极值点. ②当1a e≤-时，()0e x xg x a =+≤，令()0f x '>，得1x >；令()0f x '<，得01x <<；所以()f x 在()0,1上单减，在()1,+∞上单增.此时()f x 有且只有一个极值点.③当10ea -<<时，方程()0g x =有两个相异正根12,x x ，不妨设1201x x <<<，则当10x x <<时，有()0f x '<；当11x x <<时，有()0f x '>；当21x x <<时，有；()0f x '<；当2x x >时，有；()0f x '>；所以()f x 在()10,x 上单减，在()1,1x 上单增，在()21,x 上单减，在()2,x +∞上单增，此时()f x 有三个极值点.综上所述：当0a ≥或1a e ≤-时，()f x 有且只有一个极值点；当10ea -<<时，()f x 有三个极值点.【点睛】导数的应用主要有：（1）利用导函数几何意义求切线方程；（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）；（3）利用导数求参数的取值范围.22．在平面直角坐标系中，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的参数方程为2cossin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）直线l 的极坐标方程为cos sin 0ρθρθ-. (1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)已知()M ，直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求11MA MB+的值.答案：(1)曲线C 的普通方程为2214x y +=，直线l 的直角坐标方程为0x y -+=，(2)4（1）直接消去参数θ，可得曲线C 的普通方程，由极坐标与直角坐标的互化公式可求得直线l 的直角坐标方程；（2）由题意可得直线过点()M ，求出直线l 的参数方程，将参数方程代入曲线C 的普通方程中，化简后，利用参数的几何意义求解即可 (1)因为曲线C 的参数方程为2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），所以曲线C 的普通方程为2214x y +=，因为直线l的极坐标方程为cos sin 0ρθρθ-+=，所以直线l的直角坐标方程为0x y -+=， (2)因为点()M 在直线l 上，所以直线l的参数方程为x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入2214xy +=中，得2244⎫+=⎪⎪⎝⎝⎭，2520t --=，所以121225t t t t +=-，所以2112121111t t MA MB t t t t ++=+=2112t t t t -==45== 23．已知a ，b ，c 都是正数.(1)证明：a b c ++≥ (2)若3a b c ++=，证明：11132a b b c c a ++≥+++. 答案：(1)具体见解析； (2)具体见解析.（1）将左边化为()()()12a b c a b b c a c ⎡⎤++=+++++⎣⎦，进而利用基本不等式证明问题；（2）根据条件得到()()()6a b b c c a +++++=，进而左边化为()()()()()()()()()16a b b c c a a b b c c a a b b c c a a b b c c a +++++++++++⎡⎤=++⎢⎥++++⎣++⎦+，进一步得到136a b b c a b b c b c a b c a a c a b c a b c c a ++⎛⎫=++++++ ⎪++++++⎝+++⎭+，然后用基本不等式证明问题.(1)因为已知a ，b ，c 都是正数，所以，左边()()()(1122a b b c a c ⎡⎤=+++++≥=⎣⎦a b c ==时取“=”.即a b c ++≥. (2)因为已知a ，b ，c 都是正数，3a b c ++=，所以()()()6a b b c c a +++++=，则左边()()()()()()()()()16a b b c c a a b b c c a a b b c c a a b b c c a +++++++++++⎡⎤=++⎢⎥++++⎣++⎦+136a b b c a b b c b c a b c a a c a b c a b c c a ++⎛⎫=++++++ ⎪++++++⎝+++⎭+13362⎛≥+= ⎝. 当且仅当1b c a b a b b c c a a ba b c a b c a c a b c b c c a ++⎧=⎪++⎪++⎪=⇒===⎨++⎪++⎪=⎪++⎩时取“=”. 即11132a b b c c a ++≥+++成立.。

河南省洛阳市高三数学12月统一考试试题文(含解析)

洛阳市2015-2016学年高中三年级统一考试数学试卷（文A ）2015.12本试卷共150分．考试时间120分钟．第I 卷（选择题，共60分）生意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卷上．2.考试结束，将答题卷交回．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合A ＝{x ｜x 2＜2－x ｝，B =｛x ｜一1＜x ＜2｝，则AUB ＝ A ．（一1，1） B.（一2，2） C.（一1，2） D.（一2，1）【考点】集合的运算【试题解析】因为A ＝{x ｜x2＜2－x ｝={-2<x<1}，B =｛x ｜一1＜x ＜2｝，所以AUB ＝{X|-2<x<2}．【答案】B2.设i 是虚数单位，则复数(1)(1)i i i+-的虚部为 A.一2 B.一2i C. 2 D. 2i 【考点】复数乘除和乘方【试题解析】=所以其虚部为：-2．【答案】A3.已知向量a r ＝（sin θ, cos θ），b r ＝ (2,，－1），若a b ⊥r r，则cos 2θ+ Sin 2θ＝A 、－15 B 、15 C 、35 D 、75【考点】倍角公式同角三角函数的基本关系式【试题解析】因为，所以又所以cos 2θ+ Sin 2θ＝。

【答案】D4．在区间［一2，2］上随机取两个实数a ，b ，则“ab ＞1”是“｜a ｜＋｜b ｜＞2”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【考点】充分条件与必要条件【试题解析】若“ab ＞1”则“｜a ｜＋｜b ｜＞2”成立，反过来不成立，如a=-2，b=1．故答案为：A 【答案】A5.设等比数列{}n a 前n 项和为n S ，若a l ＋8a 4＝0，则43S S ＝ A.、－53 B 、157 C.56 D.1514【考点】等比数列【试题解析】等比数列中，因为al ＋8a4＝0，所以所以【答案】C6.已知抛物线2y =2px （p>0)的焦点F 到准线的距离为2，若抛物线上一点P 满足2,||3PF FM PF ==u u u r u u u u r u u u r，则点M 的坐标为A ．（12，22）或（12，－22） B.（12，2）或（12，－2） C （22，12）或（22，－12） D.（2，12）或（2，－12）【考点】平面向量坐标运算抛物线【试题解析】由题知：p=2，所以=4x ．因为|PF|=3，所以，设M （x ，y ），F(1，0)，所以由得：，解得，即。

河南省许昌市、洛阳市2024届普通高三毕业班第一次质量检查试卷数学试题

河南省许昌市、洛阳市2024届普通高三毕业班第一次质量检查试卷数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在101()2x x -的展开式中，4x 的系数为( ) A ．-120 B ．120 C ．-15 D ．152．我国宋代数学家秦九韶（1202-1261）在《数书九章》（1247）一书中提出“三斜求积术”，即：以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积. 其实质是根据三角形的三边长a ，b ，c 求三角形面积S ，即S =若ABC ∆的面积2S =，a =2b =，则sin A 等于（）A B ．6 C 或6 D ．1120或11363．已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点，过1F 的直线与双曲线的两支分别交于,A B 两点（A 在右支，B 在左支）若2ABF ∆为等边三角形，则双曲线的离心率为（）A B C D 4．已知F 为抛物线24y x =的焦点，点A 在抛物线上，且5AF =，过点F 的动直线l 与抛物线,B C 交于两点，O 为坐标原点，抛物线的准线与x 轴的交点为M .给出下列四个命题：①在抛物线上满足条件的点A 仅有一个；②若P 是抛物线准线上一动点，则PA PO +的最小值为③无论过点F 的直线l 在什么位置，总有OMB OMC ∠=∠；④若点C 在抛物线准线上的射影为D ，则三点B O D 、、在同一条直线上.其中所有正确命题的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．45．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且282,10a a =-=，则9S =（）A ．45B ．42C ．25D ．366．设ln 2m =，lg 2n =，则（）A ．m n mn m n ->>+B ．m n m n mn ->+>C ．m n mn m n +>>-D ．m n m n mn +>-> 7．双曲线的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切，则r 等于( ) A ．B ．2C ．3D ．68．若双曲线22214x y a -=3，则双曲线的焦距为（） A ．26B ．25C ．6 D ．89．,,a b αβαβ//////，则a 与b 位置关系是 ( )A ．平行B ．异面C ．相交D ．平行或异面或相交10．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足122n n S λ+=+，则λ的值是( )A ．4B ．2C ．2-D ．4-11．已知函数()222,02,0x x x f x x x x ⎧-+≥⎪=⎨-<⎪⎩，若关于x 的不等式()()20f x af x +<⎡⎤⎣⎦恰有1个整数解，则实数a 的最大值为（）A ．2B ．3C ．5D ．812．已知奇函数()f x 是R 上的减函数，若,m n 满足不等式组()(2)0(1)0()0f m f n f m n f m +-≥⎧⎪--≥⎨⎪≤⎩，则2m n -的最小值为（）A ．-4B ．-2C ．0D ．4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

河南省洛阳市高三数学12月统一考试试题(B卷)文新人教A版

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共150分．考试时间120分钟．一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中。

只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M ＝{x ｜1＜x ＜4)，N ＝{1，2，3，4，5}，则M ∩N ＝A ．{2，3}B ．{1，2，3}C ．{1，2，3，4}D ．{2，3，4}2．已知复数1a ii ＋3－2是纯虚数，则实数a ＝A ．－2B ．4C ．－6D ．63．已知向量a ＝（1，2），b ＝（2，0），c ＝（1，－2），若向量λa ＋b 与c 共线，则实数λ的值为A ．－2B ．－13C ．－1D ．－234．已知sin2α＝13，则()3πα2cos －＝A ．－13B ．－23C ．13D ．－235．执行右面的程序框图，那么输出S 的值为A ．9B ．10C ．45D ．556．若x ∈（e －1，1），a ＝lnx ，b ＝ln 1()2x ，c ＝ln xe ，则a ，b ，c 的大小关系是A ．c ＞b ＞aB ．b ＞c ＞aC ．a ＞b ＞cD ．b ＞a ＞c7．若x ，y 满足10,220,40.x y x x y ⎧⎪⎨⎪⎩－＋≥－y －≤＋－≥则x ＋2y 的最大值为A ．132 B ．6 C ．11 D ．108．某几何体的三视图如图所示，则它的侧面积为 A ．5．2 C ．24 D ．39．设等差数列{na }的前n 项和为nS ，若4a ＝9，6a ＝11，则9S 等于A ．10B ．72C ．90D ．180 10．下列函数中，在定义域上既是减函数又是奇函数的是A ．y ＝lgxB ．y ＝－3x C ．y ＝x ｜x ｜ D ．y ＝1()2x11．若抛物线2y ＝ax 的焦点到准线的距离为4，则此抛物线的焦点坐标为A ．（－2，0）或（2，0）B ．（2，0）C ．（－2，0）D ．（4，0）或（－4，0）12．曲线y ＝lnx 在点（1，0）处的切线与坐标轴围成的三角形的面积是A ．34B ．45C ．14D ．12第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．13．设等比数列{n a }的公比q ＝2，前n 项的和为n S ，则43S a 的值为_____________．14．直三棱柱ABC －A1B1C1的六个顶点都在球O 的球面上．若AB ＝BC ＝2，∠ABC ＝ 90°，AA1＝O 的表面积为____________．15．已知点P （0，1）是圆2240x y y ＋－＝内一点，AB 为过点P直线AB 的方程为_________________． 16．下列命题：①x ∈R ，02x ＞03x；②若函数f （x ）＝（x －a ）（x ＋2）为偶函数，则实数a 的值为－2；③圆2220x y x ＋－＝上两点P ，Q 关于直线kx －y ＋2＝0对称，则k ＝2；④从1，2，3，4，5，6六个数中任取2个数，则取出的两个数是连续自然数的概率是13,其中真命题是_____________（填上所有真命题的序号）．三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．己知（b －2a ）cosC ＋c cosB ＝0．（1）求C ；（2）若c，b ＝3a ，求△ABC 的面积．18．（本小题满分12分）某售报亭每天以每份0．6元的价格从报社购进若干份报纸，然后以每份1元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的报纸以每份0．1元的价格卖给废品收购站．（1）若售报亭一天购进280份报纸，求当天的利润y （单位：元）关于当天需求量x 的函数关系解析式；（2）售报亭记录了100天报纸的日需求量，整理得下表：①假设售报亭在这100天内每天都购进280份报纸，求这100天的日平均利润；②若售报亭一天购进280份报纸，以100天记录的各需求量的频率作为各销售发生的概率，求当天的利润不超过100元的概率． 19．（本小题满分12分）在三棱柱ABC －A1B1C1中，AB ⊥侧面BB1C1C ，已知BC ＝1，∠BCC1＝3，AB ＝CC1＝2．（1）求证：C1B ⊥平面ABC ；（2）设E 是CC1的中点，求AE 和平面ABC1所成角正弦值的大小． 20．（本小题满分12分）已知圆心为F1的圆的方程为22(2)32x y ＋＋＝，F2（2，0），C 是圆F1上的动点，F2C的垂直平分线交F1C 于M ．（1）求动点M 的轨迹方程；（2）设N （0，2），过点P （－1，－2）作直线l ，交M 的轨迹于不同于N 的A ，B 两点，直线NA ，NB 的斜率分别为k1，k2，证明：k1＋k2为定值． 21．（本小题满分12分）已知函数f （x ）＝lnx －ax ＋a （a ∈R ），g （x ）＝2x ＋2x ＋m （x ＜0）．（1）讨论f （x ）的单调性；（2）若a ＝0，函数y ＝f （x ）在A （2，f （2））处的切线与函数y ＝g （x ）相切于 B （x ，g （x ）），求实数m 的值．请考生在第22、23、24题中任选一题做答。

2021-2021学年河南省洛阳市尖子生高三(上)第一次联考数学试卷(理科)

河南省洛阳市尖子生高三（上）第一次联考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合，B={x|lnx＜0}，则∁R（A∩B）等于（）A．{x|x≥0}B．{x|x≥1}C．R D．{0，1}2．（5分）已知复数z满足z（1﹣i）2=1+i （i为虚数单位），则|z|为（）A．B．C．D．13．（5分）如图，圆O：x2+y2=π2内的正弦曲线y=sinx与x轴围成的区域记为M （图中阴影部分），随机往圆O内投一个点A，则点A落在区域M内的概率是（）A．B．C．D．4．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．2 B．1 C．D．5．（5分）设a=log36，b=log510，c=log714，则（）A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c6．（5分）如图的程序框图所描述的算法，若输入m=209，n=121，则输出的m的值为（）A．0 B．11 C．22 D．887．（5分）在等比数列{a n}中，a2，a16是方程x2+6x+2=0的根，则的值为（）A．B．C．D．或8．（5分）已知点O是锐角三角形ABC的外心，若（m，n∈R），则（）A．m+n≤﹣2 B．﹣2≤m+n＜﹣1 C．m+n＜﹣1 D．﹣1＜m+n＜09．（5分）设双曲线C：的右焦点为F，过F作渐近线的垂线，垂足分别为M，N，若d是双曲线上任一点P到直线MN的距离，则的值为（）A．B．C．D．无法确定10．（5分）已知球O与棱长为4的正四面体的各棱相切，则球O的体积为（）A．B．C．D．11．（5分）已知函数f（x）=sin（sinx）+cos（sinx），x∈R，则下列说法正确的是（）A．函数f（x）是周期函数且最小正周期为πB．函数f（x）是奇函数C．函数f（x）在区间上的值域为D．函数f（x）在是增函数12．（5分）已知函数f（x）=（ax+lnx）（x﹣lnx）﹣x2有三个不同的零点x1，x2，x3（其中x1＜x2＜x3），则的值为（）A．1﹣a B．a﹣1 C．﹣1 D．1二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知x，y满足条，则z=的取值范围是．14．（5分）已知随机变量X～B（2，p），Y～N（2，σ2），若P（X≥1）=0.64，P （0＜Y＜2）=p，则P（Y＞4）=．15．（5分）已知（1+ax+by）5（a，b为常数a∈N*，b∈N*）的展开式中不含字母x的项的系数和为243，则函数，的最小值为．16．（5分）已知数列{a n}满足na n+2﹣（n+2）a n=λ（n2+2n），其中a1=1，a2=2，若a n＜a n+1对∀n∈N*恒成立，则实数λ的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）如图，在△ABC中，点P在BC边上，∠PAC=60°，PC=2，AP+AC=4．（Ⅰ）求∠ACP；（Ⅱ）若△APB的面积是，求sin∠BAP．18．（12分）如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，BD⊥DC，点E 是BC边的中点，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，连接AE，AC，DE，得到如图2所示的几何体．（Ⅰ）求证：AB⊥平面ADC；（Ⅱ）若AD=1，二面角C﹣AB﹣D的平面角的正切值为，求二面角B﹣AD ﹣E的余弦值．19．（12分）随着移动互联网的快速发展，基于互联网的共享单车应用而生，某市场研究人员为了了解共享单车运营公司M的经营状况，对该公司最近六个月内的市场占有率进行了统计，并绘制了相应的折线图．（Ⅰ）由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月度市场占有率y与月份代码x之间的关系，求y关于x的线性回归方程，并预测M公司2017年4月份（即x=7时）的市场占有率；（Ⅱ）为进一步扩大市场，公司拟再采购一批单车．现有采购成本分别为1000元/辆和1200元/辆的A、B两款车型可供选择，按规定每辆单车最多使用4年，但由于多种原因（如骑行频率等）会导致车辆报废年限不相同．考虑到公司运营的经济效益，该公司决定先对两款车型的单车各100辆进行科学模拟测试，得到两款单车使用寿命频数表如下：报废年限1年2年3年4年总计车型A20353510100B10304020100经测算，平均每辆单车每年可以带来收入500元，不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每辆单车的使用寿命都是整数年，且以频率作为每辆单车使用寿命的概率．如果你是M公司的负责人，以每辆单车产生利润的期望值为决策依据，你会选择采购哪款车型？（参考公式：回归直线方程=x+，其中=，=﹣）20．（12分）如图，点F是抛物线τ：x2=2py （p＞0）的焦点，点A是抛物线上的定点，且=（2，0），点B，C是抛物线上的动点，直线AB，AC斜率分别为k1，k2．（I）求抛物线τ的方程；（Ⅱ）若k2﹣k1=2，点D是点B，C处切线的交点，记△BCD的面积为S，证明S 为定值．21．（12分）已知函数f（x）=（x3﹣6x2+3x+t）e x，t∈R．（1）若函数y=f（x）有三个不同的极值点，求t的值；（2）若存在实数t∈[0，2]，使对任意的x∈[1，m]，不等式f（x）≤x恒成立，求正整数m的最大值．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2=，且直线l经过曲线C的左焦点F．（I ）求直线l的普通方程；（Ⅱ）设曲线C的内接矩形的周长为L，求L的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+1﹣2a|+|x﹣a2|，g（x）=x2﹣2x﹣4+（Ⅰ）若f（2a2﹣1）＞4|a﹣1|，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若存在实数x，y，使f（x）+g（y）≤0，求实数a的取值范围．2017-2018学年河南省洛阳市尖子生高三（上）第一次联考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合，B={x|lnx＜0}，则∁R（A∩B）等于（）A．{x|x≥0}B．{x|x≥1}C．R D．{0，1}【解答】解：由A中的不等式解得：x＞1或x＜0，即A={x|x＞1或x＜0}，由B中的不等式解得：0＜x＜1，即B={x|0＜x＜1}，则A∩B=∅则∁R（A∩B）=R故选：C．2．（5分）已知复数z满足z（1﹣i）2=1+i （i为虚数单位），则|z|为（）A．B．C．D．1【解答】解：由z（1﹣i）2=1+i，得，∴|z|=．故选：B．3．（5分）如图，圆O：x2+y2=π2内的正弦曲线y=sinx与x轴围成的区域记为M （图中阴影部分），随机往圆O内投一个点A，则点A落在区域M内的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：构成试验的全部区域为圆内的区域，面积为π3正弦曲线y=sinx与x轴围成的区域记为M，根据图形的对称性得：面积为S=2∫0πsinxdx=﹣2cosx|0π=4，由几何概率的计算公式可得，随机往圆O内投一个点A，则点A落在区域M内的概率P=故选B．4．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．2 B．1 C．D．【解答】解：由图可知该几何体是一个四棱锥其底面是一个对角线为2的正方形，面积S=×2×2=2高为1则V==故选C5．（5分）设a=log36，b=log510，c=log714，则（）A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c【解答】解：因为a=log36=1+log32，b=log510=1+log52，c=log714=1+log72，因为y=log2x是增函数，所以log27＞log25＞log23，∵，，所以log32＞log52＞log72，所以a＞b＞c，故选D．6．（5分）如图的程序框图所描述的算法，若输入m=209，n=121，则输出的m 的值为（）A．0 B．11 C．22 D．88【解答】解：当m=209，n=121，m除以n的余数是88此时m=121，n=88，m除以n的余数是33此时m=88，n=33，m除以n的余数是22此时m=33，n=22，m除以n的余数是11，此时m=22，n=11，m除以n的余数是0，此时m=11，n=0，退出程序，输出结果为11，故选：B．7．（5分）在等比数列{a n}中，a2，a16是方程x2+6x+2=0的根，则的值为（）A．B．C．D．或【解答】解：等比数列{a n}的公比设为q，a2，a16是方程x2+6x+2=0的根，可得a2a16=2，即有a12q16=2，即有a92=2，则的值为a9=±．故选：D．8．（5分）已知点O是锐角三角形ABC的外心，若（m，n∈R），则（）A．m+n≤﹣2 B．﹣2≤m+n＜﹣1 C．m+n＜﹣1 D．﹣1＜m+n＜0【解答】解：∵O是锐角△ABC的外心；∴O在三角形内部，不妨设锐角△ABC的外接圆的半径为1，则m＜0，n＜0；∵（m，n∈R），∴=m2+n2+2mn•，设向量夹角为θ，则：1=m2+n2+2mncosθ＜m2+n2+2mn=（m+n）2；∴m+n＜﹣1，或m+n＞1（舍去）；∴m+n＜﹣1．故选：C9．（5分）设双曲线C：的右焦点为F，过F作渐近线的垂线，垂足分别为M，N，若d是双曲线上任一点P到直线MN的距离，则的值为（）A．B．C．D．无法确定【解答】解：双曲线C的方程：中a=4，b=3，c==5，右焦点为F（5，0），相应的渐近线：y=±x，M在直线y=x上，N在直线y=﹣x上，设直线MF的斜率为﹣，其方程为：y=﹣（x﹣5），设M（t，t），代入直线MF的方程，得：t=﹣（t﹣5），解得：t=，即M（，），由对称性可得N（，﹣），直线MN方程为x=，设P（m，n），可得﹣=1，即为n2=（m2﹣16），则|PF|===|5m﹣16|，则==．故选：B．10．（5分）已知球O与棱长为4的正四面体的各棱相切，则球O的体积为（）A．B．C．D．【解答】解：将正四面体ABCD，补成正方体，则正四面体ABCD的棱为正方体的面上对角线．∵正四面体ABCD的棱长为4∴正方体的棱长为2∵球O与正四面体的各棱都相切，∴球O的直径为正方体的棱长2，则球O的体积V==．故选：A．11．（5分）已知函数f（x）=sin（sinx）+cos（sinx），x∈R，则下列说法正确的是（）A．函数f（x）是周期函数且最小正周期为πB．函数f（x）是奇函数C．函数f（x）在区间上的值域为D．函数f（x）在是增函数【解答】解：f（x）=sin（sinx）+cos（sinx）=sin（sinx+），∵f（π+x）==，不满足对任意实数x 恒有=，故A错误；∵f（﹣x）=，不满足对任意实数x恒有=﹣，故B错误；当x∈时，sinx∈[0，1]，sinx+∈[，]，∴sin（sinx+）∈[]，则sin（sinx+）∈[1，]，故C正确；当x∈时，sinx∈[，1]，sinx+∈[，]，而∈[，]，则函数f（x）在上不是单调函数，故D错误．故选；C．12．（5分）已知函数f（x）=（ax+lnx）（x﹣lnx）﹣x2有三个不同的零点x1，x2，x3（其中x1＜x2＜x3），则的值为（）A．1﹣a B．a﹣1 C．﹣1 D．1【解答】解：令f（x）=0，分离参数得a=，令h（x）=，由h′（x）==0，得x=1或x=e．当x∈（0，1）时，h′（x）＜0；当x∈（1，e）时，h′（x）＞0；当x∈（e，+∞）时，h′（x）＜0．即h（x）在（0，1），（e，+∞）上为减函数，在（1，e）上为增函数．∴0＜x1＜1＜x2＜e＜x3，a==，令μ=，则a=﹣μ，即μ2+（a﹣1）μ+1﹣a=0，μ1+μ2=1﹣a＜0，μ1μ2=1﹣a＜0，对于μ=，μ′=则当0＜x＜e时，μ′＞0；当x＞e时，μ′＜0．而当x＞e时，μ恒大于0．画其简图，不妨设μ1＜μ2，则μ1=，μ2==μ3=，=（1﹣μ1）2（1﹣μ2）（1﹣μ3）=[（1﹣μ1）（1﹣μ2）]2=[1﹣（1﹣a）+（1﹣a）]2=1．故选：D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知x，y满足条，则z=的取值范围是[3，9] ．【解答】解：根据约束条件画出可行域，∵设k==1+，整理得（k﹣1）x﹣2y+k﹣3=0，由图得，k＞1．设直线l0=（k﹣1）x﹣2y+k﹣3，当直线l0过A（0，3）时l0最大，k也最大为9，当直线l0过B（0，0））时l0最小，k也最小为3．故答案为：[3，9]．14．（5分）已知随机变量X～B（2，p），Y～N（2，σ2），若P（X≥1）=0.64，P （0＜Y＜2）=p，则P（Y＞4）=0.1．【解答】解：∵随机变量X～B（2，p），Y～N（2，σ2），P（X≥1）=0.64，∴P（X≥1）=P（X=1）+P（X=2）==0.64，解得p=0.4，或p=1.6（舍），∴P（0＜Y＜2）=p=0.4，∴P（Y＞4）=（1﹣0.4×2）=0.1．故答案为：0.1．15．（5分）已知（1+ax+by）5（a，b为常数a∈N*，b∈N*）的展开式中不含字母x的项的系数和为243，则函数，的最小值为2．【解答】解：（1+ax+by）5（a，b为常数a∈N*，b∈N*）的展开式中不含字母x 的项的系数和为243，∴（1+b）5=243，解得b=2；时，∴x+∈[，]，∴sinx+cosx=sin（x+）∈[1，]；∴函数===（sinx+cosx）+≥2=2，当且仅当sinx+cosx=1时取“=”；∴f（x）的最小值为2．故答案为：2．16．（5分）已知数列{a n}满足na n+2﹣（n+2）a n=λ（n2+2n），其中a1=1，a2=2，若a n＜a n+1对∀n∈N*恒成立，则实数λ的取值范围是[0，+∞）．﹣（n+2）a n=λ（n2+2n）=λn（n+2），【解答】解：由na n+2得，∴数列{}的奇数项与偶数项均是以λ为公差的等差数列，∵a1=1，a2=2，∴当n为奇数时，，∴；当n为偶数时，，∴．当n为奇数时，由a n＜a n+1，得＜，即λ（n﹣1）＞﹣2．若n=1，λ∈R，若n＞1则λ＞，∴λ≥0；当n为偶数时，由a n＜a n+1，得＜，即3nλ＞﹣2，∴λ＞，即λ≥0．综上，λ的取值范围为[0，+∞）．故答案为：[0，+∞）．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）如图，在△ABC中，点P在BC边上，∠PAC=60°，PC=2，AP+AC=4．（Ⅰ）求∠ACP；（Ⅱ）若△APB的面积是，求sin∠BAP．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）在△APC中，因为∠PAC=60°，PC=2，AP+AC=4，由余弦定理得PC2=AP2+AC2﹣2•AP•AC•cos∠PAC，…（1分）所以22=AP2+（4﹣AP）2﹣2•AP•（4﹣AP）•cos60°，整理得AP2﹣4AP+4=0，…（2分）解得AP=2．…（3分）所以AC=2．…（4分）所以△APC是等边三角形．…（5分）所以∠ACP=60°．…（6分）（Ⅱ）法1：由于∠APB是△APC的外角，所以∠APB=120°．…（7分）因为△APB的面积是，所以．…（8分）所以PB=3．…（9分）在△APB中，AB2=AP2+PB2﹣2•AP•PB•cos∠APB=22+32﹣2×2×3×cos120°=19，所以．…（10分）在△APB中，由正弦定理得，…（11分）所以sin∠BAP==．…（12分）法2：作AD⊥BC，垂足为D，因为△APC是边长为2的等边三角形，所以．…（7分）因为△APB的面积是，所以．…（8分）所以PB=3．…（9分）所以BD=4．在Rt△ADB中，，…（10分）所以，．所以sin∠BAP=sin（∠BAD﹣30°）=sin∠BADcos30°﹣cos∠BADsin30°…（11分）==．…（12分）18．（12分）如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，BD⊥DC，点E 是BC边的中点，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，连接AE，AC，DE，得到如图2所示的几何体．（Ⅰ）求证：AB⊥平面ADC；（Ⅱ）若AD=1，二面角C﹣AB﹣D的平面角的正切值为，求二面角B﹣AD ﹣E的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，又BD⊥DC，所以DC⊥平面ABD．…（1分）因为AB⊂平面ABD，所以DC⊥AB．…（2分）又因为折叠前后均有AD⊥AB，DC∩AD=D，…（3分）所以AB⊥平面ADC．…（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知AB⊥平面ADC，所以二面角C﹣AB﹣D的平面角为∠CAD．…（5分）又DC⊥平面ABD，AD⊂平面ABD，所以DC⊥AD．依题意．…（6分）因为AD=1，所以．设AB=x（x＞0），则．依题意△ABD～△BDC，所以，即．…（7分）解得，故．…（8分）如图所示，建立空间直角坐标系D﹣xyz，则D（0，0，0），，，，，所以，．由（Ⅰ）知平面BAD的法向量．…（9分）设平面ADE的法向量由得令，得，所以．…（10分）所以．…（11分）由图可知二面角B﹣AD﹣E的平面角为锐角，所以二面角B﹣AD﹣E的余弦值为．…（12分）19．（12分）随着移动互联网的快速发展，基于互联网的共享单车应用而生，某市场研究人员为了了解共享单车运营公司M的经营状况，对该公司最近六个月内的市场占有率进行了统计，并绘制了相应的折线图．（Ⅰ）由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月度市场占有率y与月份代码x之间的关系，求y关于x的线性回归方程，并预测M公司2017年4月份（即x=7时）的市场占有率；（Ⅱ）为进一步扩大市场，公司拟再采购一批单车．现有采购成本分别为1000元/辆和1200元/辆的A、B两款车型可供选择，按规定每辆单车最多使用4年，但由于多种原因（如骑行频率等）会导致车辆报废年限不相同．考虑到公司运营的经济效益，该公司决定先对两款车型的单车各100辆进行科学模拟测试，得到两款单车使用寿命频数表如下：1年2年3年4年总计报废年限车型A20353510100B10304020100经测算，平均每辆单车每年可以带来收入500元，不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每辆单车的使用寿命都是整数年，且以频率作为每辆单车使用寿命的概率．如果你是M公司的负责人，以每辆单车产生利润的期望值为决策依据，你会选择采购哪款车型？（参考公式：回归直线方程=x +，其中=，=﹣）【解答】解：（Ⅰ）由题意，=3.5，=16，===2，=﹣=16﹣2×3.5=9，∴=2x+9，x=7时，=2×7+9=23，即预测M公司2017年4月份（即x=7时）的市场占有率为23%；（Ⅱ）由频率估计概率，每辆A款车可使用1年，2年，3年、4年的概率分别为0.2，0.35，0.35，0.1，∴每辆A款车的利润数学期望为（500﹣1000）×0.2+（1000﹣1000）×0.35+（1500﹣1000）×0.35+（2000﹣1000）×0.1=175元；每辆B款车可使用1年，2年，3年、4年的概率分别为0.1，0.3，0.4，0.2，∴每辆B款车的利润数学期望为（500﹣1200）×0.1+（1000﹣1200）×0.3+（1500﹣1200）×0.4+（2000﹣1200）×0.2=150元；∵175＞150，∴应该采购A款车．20．（12分）如图，点F是抛物线τ：x2=2py （p＞0）的焦点，点A是抛物线上的定点，且=（2，0），点B，C是抛物线上的动点，直线AB，AC斜率分别为k1，k2．（I）求抛物线τ的方程；（Ⅱ）若k2﹣k1=2，点D是点B，C处切线的交点，记△BCD的面积为S，证明S 为定值．【解答】解：（Ⅰ）设A（x0，y0），可知F（0，），故．∴，代入x2=2py，得p=2．∴抛物线τ的方程为x2=4y．（Ⅱ）过D作y轴的平行线交BC于点E，并设B（），C（），由（Ⅰ）得A（﹣2，1）．=2，∴x2﹣x1=8．直线DBy=，直线CDy=，解得．∴直线BC的方程为y﹣=，将x D代入得．∴△BCD的面积为S=×ED×（x2﹣x1）==（定值）21．（12分）已知函数f（x）=（x3﹣6x2+3x+t）e x，t∈R．（1）若函数y=f（x）有三个不同的极值点，求t的值；（2）若存在实数t∈[0，2]，使对任意的x∈[1，m]，不等式f（x）≤x恒成立，求正整数m的最大值．【解答】解：（1）f'（x）=（x3﹣3x2﹣9x+3+t）e x，令g（x）=x3﹣3x2﹣9x+3+t，则方程g（x）=0有三个不同的根，又g'（x）=3x2﹣6x﹣9=3（x2﹣2x﹣3）=3（x+1）（x﹣3），令g'（x）=0，得x=﹣1或3，且g（x）在区间（﹣∞，﹣1），（3，+∞）递增，在区间（﹣1，3）递减，故问题等价于即有解得﹣8＜t＜24．（2）不等式f（x）≤x，即（x3﹣6x2+3x+t）e x≤x，即t≤xe﹣x﹣x3+6x2﹣3x，转化为存在实数t∈[0，2]，使对任意的x∈[1，m]，不等式t≤xe﹣x﹣x3+6x2﹣3x恒成立，即不等式0≤xe﹣x﹣x3+6x2﹣3x在x∈[1，m]上恒成立，即不等式0≤e﹣x﹣x2+6x﹣3在x∈[1，m]上恒成立．设φ（x）=e﹣x﹣x2+6x﹣3，则φ'（x）=﹣e﹣x﹣2x+6，设r（x）=φ'（x）=﹣e﹣x﹣2x+6，则r'（x）=e﹣x﹣2，因为1≤r≤m，有r'（x）＜0，故r（x）在区间[1，m]上是减函数，又r（1）=4﹣e﹣1＞0，r（2）=2﹣e﹣2＞0，r（3）=﹣e﹣3＜0，故存在x0∈（2，3），使得r（x0）=φ'（x0）=0，当1≤x＜x0时，有φ'（x）＞0，当x＞x0时，有φ'（x）＜0，从而y=φ（x）在区间[1，x0]上递增，在区间[x0，+∞）上递减．又φ（1）=e﹣1+4＞0，φ（2）=e﹣2+5＞0，φ（3）=e﹣3+6＞0，φ（4）=e﹣4+5＞0，φ（5）=e﹣5+2＞0，φ（6）=e﹣6﹣3＜0，所以当1≤x≤5时，恒有φ（x）＞0；当x≥6时，恒有φ'（x）＜0．故使命题成立的正整数m的最大值为5．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2=，且直线l经过曲线C的左焦点F．（I ）求直线l的普通方程；（Ⅱ）设曲线C的内接矩形的周长为L，求L的最大值．【解答】解：（I）曲线C的极坐标方程为ρ2=，即ρ2+ρ2sin2θ=4，可得直角坐标方程：x2+2y2=4，化为：+=1．∴c==，可得作焦点F．直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t可得：x﹣y=m，把代入可得：m=﹣．∴直线l的普通方程为：x﹣y+=0．（II）设椭圆C的内接矩形在第一象限的顶点为．∴椭圆C的内接矩形的周长为L=8cosθ+4sinθ=4sin（θ+φ）≤4（其中tanφ=）．∴椭圆C的内接矩形的周长的最大值为4．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+1﹣2a|+|x﹣a2|，g（x）=x2﹣2x﹣4+（Ⅰ）若f（2a2﹣1）＞4|a﹣1|，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若存在实数x，y，使f（x）+g（y）≤0，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）若f（2a2﹣1）＞4|a﹣1|，则|2a2﹣2a|+|a2﹣1|＞4|a﹣1|，∴2|a|+|a+1|＞4，a＜﹣1，则﹣2a﹣a﹣1＞4，∴a＜﹣，∴a＜﹣；﹣1≤a≤0，则﹣2a+a+1＞4，∴a＜﹣3，不成立；a＞0，则2a+a+1＞4，∴a＞1，综上所述，a＜﹣或a＞1；（Ⅱ）f（x）=|x+1﹣2a|+|x﹣a2|≥|1﹣2a+a2|，g（x）=x2﹣2x﹣4+=（x ﹣1）2+﹣5≥﹣1若存在实数x，y，使f（x）+g（y）≤0，则|1﹣2a+a2|≤1，∴0≤a≤2．。

河南省洛阳市高三数学上学期12月月考试卷理(含解析)

2015-2016学年河南省洛阳市高三（上）12月月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．1．函数y=的定义域为（）A．（﹣2，1）B．[﹣2，1] C．（0，1）D．（0，1]2．已知复数z=（i为虚数单位），则复数z的共扼复数为（）A．B．C．D．3．阅读如图的程序框图．若输入m=4，n=6，则输出的a，i分别等于（）A．12，2 B．12，3 C．24，2 D．24，34．已知等比数列{a n}中，a5+a7=dx，则a6（a4+2a6+a8）的值为（）A．16π2B．4π2C．2π2D．π25．已知点A（4，1），将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB，设C（1，0），∠COB=α，则tanα=（）A．B．C．D．6．一个几何体的三视图如图所示，正视图与侧视图为全等的矩形，俯视图为正方形，则该几何体的体积为（）A．8 B．4 C．D．7．设F1，F2分别为双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，A为双曲线的一个顶点，以F1F2为直径的圆交双曲线的一条渐近线于B，C两点，若△ABC的面积为，则该双曲线的离心率为（）A．3 B．2 C．D．8．设x，y满足约束条件，当且仅当x=y=4时，z=ax﹣y取得最小值，则实数a的取值范围是（）A．[﹣1，1] B．（﹣∞，1）C．（0，1）D．（﹣∞，1）∪（1，+∞）9．已知函数f（x）=cosωx（sinωx+cosωx）（ω＞0），如果存在实数x0，使得对任意的实数x，都有f（x0）≤f（x）≤f（x0+2016π）成立，则ω的最小值为（）A．B．C．D．10．若函数f（x）=log a（x3﹣2x）（a＞0且a≠1）在区间（﹣，﹣1）内恒有f（x）＞0，则f（x）的单调递减区间为（）A．（﹣∞，﹣），（，+∞）B．（﹣，﹣），（，+∞）C．（﹣，﹣），（，+∞）D．（﹣，）11．已知F为抛物线y2=4x的焦点，点A，B在该抛物线上，=0（其中O为坐标原点），则△ABO与△BFO面积之差的最小值是（）A．4 B．8 C．8 D．1612．已知函数f（x）=，关于x的方程f2（x）+（m+1）f（x）+m+4=0（m∈R）有四个相异的实数根，则m的取值范围是（）A．（﹣4，﹣e﹣）B．（﹣4，﹣3）C．（﹣e﹣，﹣3）D．（﹣e﹣，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小压5分，共20分．13．在△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=2， =2，则•= ．14．已知△EAB所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直，EA=EB=3，AD=2，∠AEB=60°，则多面体E﹣ABCD的外接球的表面积为．15．已知函数f（x）=•x，则方程f（x﹣1）=f（x2﹣3x+2）的所有实根构成的集合的非空子集个数为．16．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列命题正确的是．（填写所有正确命题的序号）①若sinAsinB=2sin2C，则0＜C＜；②若a+b＞2c，则0＜C＜；③若a4+b4=c4．则△ABC为锐角三角形；④若（a+b）c＜2ab，则C＞•三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知数列{a n}的前n项和为S n，S n=2a n+n﹣3，n∈N*（1）证明数列{a n﹣1}为等比数列，并求{a n}的通项公式；（2）求数列{na n}的前n项和T n．18．如图，在△ABC中，∠B=30°，AC=2，D是边AB上一点．（1）求△ABC的面积的最大值；（2）若CD=2，△ACD的面积为4，∠ACD为锐角，求BC的长．19．如图，正方形ADEF所在平面和等腰梯形ABCD所在的平面互相垂直，已知BC=4，AB=AD=2．（1）求证：AC⊥BF；（2）在线段BE上是否存在一点P，使得平面PAC⊥平面BCEF？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．20．已知椭圆C1； +=1（a＞b＞0）与椭圆C2： +y2=1有相同的离心率，经过椭圆C2的左顶点作直线l，与椭圆C2相交于P、Q两点，与椭圆C1相交于A、B两点．（1）若直线y=﹣x经过线段PQ的中点M，求直线l的方程：（2）若存在直线l，使得=，求b的取值范围．21．已知函数f（x）=lnx﹣，曲线y=f（x）在点（，f（））处的切线平行于直线y=10x+1．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）设直线l为函数y=lnx图象上任意一点A（x0，y0）处的切线，在区间（1，+∞）上是否存在x0，使得直线l与曲线y=e x也相切？若存在，满足条件的x0有几个？【选修4一1：几何证明选讲】22．如图，圆O的直径AB=10，P是AB延长线上一点，BP=2，割线PCD交圆O于点C，D，过点P做AP的垂线，交直线AC于点E，交直线AD于点F．（1）求证：∠PEC=∠PDF；（2）求PE•PF的值．【选修4一4：坐标系与参数方程】23．（2015秋•洛阳月考）在直角坐标xOy系中，直线l经过点P（﹣1，0），其倾斜角为α，以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xoy取相同的长度单位，建立极坐标系，设曲线C的极坐标方程为ρ2﹣6ρcosθ+1=0．（l）写出直线l的参数方程，若直线l与曲线C有公共点，求α的取值范围；（2）设M（x，y）为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围．【选修4一5：不等式选讲】24．（2015•德宏州校级三模）设关于x的不等式|x﹣2|＜a（a∈R）的解集为A，且∈A，﹣∉A（1）∀x∈R，|x﹣1|+|x﹣3|≥a2+a恒成立，且a∈N，求a的值（2）若a+b=1，求+的最小值，并指出取得最小值时a的值．2015-2016学年河南省洛阳市高三（上）12月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．1．函数y=的定义域为（）A．（﹣2，1）B．[﹣2，1] C．（0，1）D．（0，1]【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】根据二次根式的性质结合对数函数的性质得到关于x的不等式组，解出即可．【解答】解：由题意得：，解得：0＜x＜1，故选：C．【点评】本题考察了求函数的定义域问题，考察二次根式的性质以及对数函数的性质，是一道基础题．2．已知复数z=（i为虚数单位），则复数z的共扼复数为（）A．B．C．D．【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题；对应思想；分析法；数系的扩充和复数．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z，则复数z的共扼复数可求．【解答】解：由z===，得．故选：A．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共扼复数的求法，是基础题．3．阅读如图的程序框图．若输入m=4，n=6，则输出的a，i分别等于（）A．12，2 B．12，3 C．24，2 D．24，3【考点】设计程序框图解决实际问题；程序框图．【专题】常规题型．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是求输出m，n的公倍数a及相应的i值．【解答】解：根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是求输出m，n的公倍数及相应的i值∵m=4，n=6∴a=12则a=12=4×3故i=3故答案为B【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．4．已知等比数列{a n}中，a5+a7=dx，则a6（a4+2a6+a8）的值为（）A．16π2B．4π2C．2π2D．π2【考点】定积分；等比数列的通项公式．【专题】计算题；转化思想；转化法；导数的综合应用；等差数列与等比数列．【分析】先利用定积分的几何意义计算定积分dx的值，然后利用等比数列的性质进行化简整理，可得结论．【解答】解：∵dx，表示以原点为圆心以2为半径的圆的面积的二分之一，∴dx=π×4=2π，∴a5+a7=2π，∵等比数列{a n}，∴a6（a4+2a6+a8）=a6a4+2a62+a6a8=a52+2a5a7+a72=（a5+a7）2=4π2．故选：B．【点评】本小题主要考查定积分、定积分的几何意义、圆的面积等基础知识，以及等比数列的性质，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．5．已知点A（4，1），将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB，设C（1，0），∠COB=α，则tanα=（）A．B．C．D．【考点】任意角的三角函数的定义．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】设直线OA的倾斜角为θ，则tanθ=，再根据α=θ+，求得tanα=tan（θ+）的值．【解答】解：由题意，设直线OA的倾斜角为θ，则tanθ==，α=θ+，tanα=tan（θ+）==，故选：D．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义、两角和的正切公式的应用，属于基础题．6．一个几何体的三视图如图所示，正视图与侧视图为全等的矩形，俯视图为正方形，则该几何体的体积为（）A．8 B．4 C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】数形结合；数形结合法；立体几何．【分析】几何体为正四棱柱中挖去一个正四棱锥得到的几何体．【解答】解：由三视图可知几何体为正四棱柱中挖去一个正四棱锥得到的几何体，V=2×2×3﹣×2×2×3=8．故选A．【点评】本题考查了常见几何体的三视图与体积计算，属于基础题．7．设F1，F2分别为双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，A为双曲线的一个顶点，以F1F2为直径的圆交双曲线的一条渐近线于B，C两点，若△ABC的面积为，则该双曲线的离心率为（）A．3 B．2 C．D．【考点】双曲线的简单性质．【专题】方程思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用△ABC的面积为c2，求出双曲线的渐近线的方程，运用点到直线的距离公式，解方程可得c=a，即可求出该双曲线的离心率．【解答】解：设双曲线的一条渐近线方程为y=x，即为bx﹣ay=0，则A（a，0）到渐近线的距离为d==，由题意，△ABC的面积为c2，则•2c•=c2，即为4a2b2=c4，即有4a2（c2﹣a2）=c4，即有c2=2a2，即c=a，则e==．故选：D．【点评】本题考查双曲线的离心率，考查三角形面积的计算，同时考查点到直线的距离公式的运用，属于中档题．8．设x，y满足约束条件，当且仅当x=y=4时，z=ax﹣y取得最小值，则实数a的取值范围是（）A．[﹣1，1] B．（﹣∞，1）C．（0，1）D．（﹣∞，1）∪（1，+∞）【考点】简单线性规划．【专题】计算题；数形结合；转化思想；不等式的解法及应用．【分析】作出约束条件所对应的可行域，变形目标函数可得y=ax﹣z，其中直线斜率为a，截距为﹣z，由题意可得a的范围．【解答】解：作出约束条件所对应的可行域（如图阴影），变形目标函数可得y=ax+z，其中直线斜率为a，截距为﹣z，∵z=ax﹣y取得最小值的最优解仅为点A（4，4），∴直线的斜率a＜1，即实数a的取值范围为（﹣∞，1）故选：B．【点评】本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题．9．已知函数f（x）=cosωx（sinωx+cosωx）（ω＞0），如果存在实数x0，使得对任意的实数x，都有f（x0）≤f（x）≤f（x0+2016π）成立，则ω的最小值为（）A．B．C．D．【考点】两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】由题意可得区间[x0，x0+2016π]能够包含函数的至少一个完整的单调区间，利用两角和的正弦公式求得f（x）=sin（2ωx+）+，再根据2016π≥•，求得ω的最小值．【解答】解：由题意可得，f（x0）是函数f（x）的最小值，f（x0+2016π）是函数f（x）的最大值．显然要使结论成立，只需保证区间[x0，x0+2016π]能够包含函数的至少一个完整的单调区间即可．又f（x）=cosωx（sinωx+cosωx）=sin2ωx+=sin（2ωx+）+，故2016π≥•，求得ω≥，故则ω的最小值为，故选：C．【点评】本题主要考查两角和的正弦公式，正弦函数的单调性和周期性，属于中档题．10．若函数f（x）=log a（x3﹣2x）（a＞0且a≠1）在区间（﹣，﹣1）内恒有f（x）＞0，则f（x）的单调递减区间为（）A．（﹣∞，﹣），（，+∞）B．（﹣，﹣），（，+∞）C．（﹣，﹣），（，+∞）D．（﹣，）【考点】复合函数的单调性．【专题】转化思想；消元法；函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】求函数的定义域，利用换元法结合条件判断a的取值范围，利用复合函数和导数即可求出函数单调递减区间．【解答】解：设t=g（t）=x3﹣2x，由t=0得x（x2﹣2）=0，则x=0，或x=或x=﹣，由x3﹣2x＞0得﹣＜x＜0或x＞，g′（t）=3x2﹣2，当﹣＜x＜﹣1时，g′（t）＞0，此时函数g（t）为增函数，则0＜g（t）＜1，若a＞1，则y=log a t＜0恒成立，则不满足条件f（x）＞0，若0＜a＜1，则y=log a t＞0恒成立，满足条件，即0＜a＜1，要求函数f（x）的单调递减区间，即求函数t=g（t）=x3﹣2x的递增区间，由g′（t）=3x2﹣2＞0得x＜﹣或x＞，∵﹣＜x＜0或x＞，∴﹣＜x＜﹣或x＞，即函数f（x）的单调递减区间为（﹣，﹣），（，+∞），故选：B【点评】本题主要考查函数单调区间的求解决，利用换元法以及导数法是解决本题的关键．考查学生的运算和推理能力．11．已知F为抛物线y2=4x的焦点，点A，B在该抛物线上，=0（其中O为坐标原点），则△ABO与△BFO面积之差的最小值是（）A．4 B．8 C．8 D．16【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设出A，B的坐标，讨论直线斜率存在时，联立直线方程与抛物线方程，利用消元法得到关于x的一元二次方程，由=0，得x1x2+y1y2=0，建立关于参数k，b的关系，消去b可得直线恒过（4，0），再考虑斜率不存在，结论成立，即可得出结论．【解答】解：设点A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），设A在上方，（1）当直线l存在斜率时，设直线方程为y=kx+b，显然k≠0且b≠0．联立方程，消去y得k2x2+（2kb﹣4）x+b2=0①，则x1x2=，由y12=4x1，y22=4x2，则y1y2=4•，又=0，则x1x2+y1y2=0，即+4•=0，解得b=0（舍去）或b=﹣4k②，故直线l的方程为：y=kx﹣4k=k（x﹣4），故直线过定点（4，0），（2）当直线l斜率不存在时，设它的方程为x=m，显然m＞0，联立方程解得y=±2，即y1y2=﹣4m又因为=0，所以可得x1x2+y1y2=0，即m2﹣4m=0，解得m=0（舍去）或m=4可知直线l方程为：x=4，故直线过定点（4，0）．设AB的方程为x=my+4，代入y2=4x，可得y2﹣4my﹣16=0，∴y1y2=﹣16；S△ABO=×4×（y1﹣y2），S△BOF=×（﹣y2），∴S△ABO﹣S△BOF=2y1﹣y2=2y1+≥2=8．故选：C．【点评】本题考查向量垂直的条件，同时考查直线与抛物线的位置关系，以及证明直线恒过定点，属于中档题．12．已知函数f（x）=，关于x的方程f2（x）+（m+1）f（x）+m+4=0（m∈R）有四个相异的实数根，则m的取值范围是（）A．（﹣4，﹣e﹣）B．（﹣4，﹣3）C．（﹣e﹣，﹣3）D．（﹣e﹣，+∞）【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】转化思想；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】求函数的导数，判断函数的取值情况，利用换元法，设t=f（x），将方程转化为一元二次方程，利用根的分布建立条件关系即可得到结论．【解答】解：f（x）==，由x＞0时，f（x）=的导数为f′（x）=，可得x＞1，f（x）递增，0＜x＜1时f（x）递减，x=1处取得极小值e；当x＜0时，f（x）=﹣的导数为f′（x）=﹣，可得x＜0时f（x）递增，作出函数f（x）对应的图象如图：设t=f（x），方程f2（x）+（m+1）f（x）+m+4=0等价为t2+（m+1）t+m+4=0，由题意结合图象可得△＞0，且0＜t1＜e且t2＞e，即有（m+1）2﹣4（m+4）＞0，解得m＞5或m＜﹣3，①由f（t）=t2+（m+1）t+m+4，可得f（0）＞0，f（e）＜0，即为m＞﹣4，m＜﹣e﹣，②由①②可得﹣4＜m＜﹣e﹣．故选：A．【点评】本题考查了根的存在性及根的个数的判断，考查了利用函数的导函数分析函数的单调性，考查了学生分析问题和解决问题的能力，利用换元法转化为一元二次方程，是解决本题的关键．二、填空题：本大题共4小题，每小压5分，共20分．13．在△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=2， =2，则•= 6 ．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】转化思想；向量法；平面向量及应用．【分析】由向量垂直的条件：数量积为0，由向量共线的知识可得=+，再由向量的数量积的性质即可得到所求值．【解答】解：∠A=90°，AB=3，AC=2，可得•=0，=2，即为﹣=2（﹣），即有=+，则•=•（+）=•+2=0+×9=6．故答案为：6．【点评】本题考查向量垂直的条件和向量的平方即为模的平方，考查向量共线的表示，考查运算能力，属于中档题．14．已知△EAB所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直，EA=EB=3，AD=2，∠AEB=60°，则多面体E﹣ABCD的外接球的表面积为16π．【考点】球的体积和表面积．【专题】综合题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】设球心到平面ABCD的距离为d，利用△EAB所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直，EA=EB=3，∠AEB=60°，可得E到平面ABCD的距离为，从而R2=（）2+d2=12+（﹣d）2，求出R2=4，即可求出多面体E﹣ABCD的外接球的表面积．【解答】解：设球心到平面ABCD的距离为d，则∵△EAB所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直，EA=EB=3，∠AEB=60°，∴E到平面ABCD的距离为，∴R2=（）2+d2=12+（﹣d）2，∴d=，R2=4，∴多面体E﹣ABCD的外接球的表面积为4πR2=16π．故答案为：16π．【点评】本题考查多面体E﹣ABCD的外接球的表面积，考查学生的计算能力，正确求出多面体E﹣ABCD的外接球的半径是关键．15．已知函数f（x）=•x，则方程f（x﹣1）=f（x2﹣3x+2）的所有实根构成的集合的非空子集个数为7 ．【考点】函数的零点与方程根的关系；子集与真子集．【专题】综合题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】由题意可判断函数f（x）是R上的偶函数，且可判断在[0，+∞）上是增函数；从而可得x﹣1=x2﹣2x+1或x﹣1=﹣（x2﹣2x+1），从而解得，即可求出子集的个数．【解答】解：∵f（x）=•x∴f（﹣x）=（﹣x）（﹣）=x（﹣）=•x=f（x），∴函数f（x）是R上的偶函数，∵f′（x）=﹣+，∴当x≥0时，f′（x）≥0；故函数f（x）在[0，+∞）上是增函数；∵f（x﹣1）=f（x2﹣2x+1），∴x﹣1=x2﹣2x+1或x﹣1=﹣（x2﹣2x+1），∴x=1或x=2或x=0，∴所有实根构成的集合的非空子集个数为23﹣1=7故答案为：7【点评】本题考查了导数的综合应用及函数的性质的判断与应用，关键是判断函数的单调性，属于中档题．16．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列命题正确的是①②③．（填写所有正确命题的序号）①若sinAsinB=2sin2C，则0＜C＜；②若a+b＞2c，则0＜C＜；③若a4+b4=c4．则△ABC为锐角三角形；④若（a+b）c＜2ab，则C＞•【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】计算题；数形结合；分析法；三角函数的图像与性质；解三角形．【分析】①由正弦定理可得：ab=2c2，由余弦定理可得：c2==a2+b2﹣2abcosC，整理可得：cosC=﹣≥，利用余弦函数的图象和性质可得0＜C＜，命题正确；②利用余弦定理，将c2放大为（）2，再结合均值定理即可证明cosC＞，从而证明C ＜；③由题意可得（a2+b2）2﹣c4 =2a2b2＞0，△ABC中，由余弦定理可得 cosC=＞0，故角C 为锐角，再根据c边为最大边，故角C 为△ABC的最大角，从而得出结论④只需举反例即可证明其为假命题，可举符合条件的等边三角形；【解答】解：①若sinAsinB=2sin2C，由正弦定理可得：ab=2c2，由余弦定理可得：c2==a2+b2﹣2abcosC，整理可得：cosC=﹣≥，则0＜C＜，命题正确；②a+b＞2c⇒cosC=＞≥×﹣≥＞⇒C＜，故②正确；③∵△ABC的三边长分别为a，b，c，且a4+b4=c4，∴（a2+b2）2=a4+b4 +2a2b2=c4+2a2b2．∴（a2+b2）2﹣c4 =2a2b2＞0．又（a2+b2）2﹣c4 =（a2+b2+c2）（a2+b2﹣c2），∴（a2+b2﹣c2）＞0．△ABC中，由余弦定理可得 cosC=＞0，故角C为锐角．再由题意可得，c边为最大边，故角C为△ABC的最大角，∴△ABC是锐角三角形，命题正确；④取a=b=2，c=1，满足（a+b）c＜2ab得：C＜＜，故④错误；故答案为：①②③．【点评】本题主要考查了解三角形的知识，放缩法证明不等式的技巧，反证法和举反例法证明不等式，有一定的难度，考查了转化思想，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知数列{a n}的前n项和为S n，S n=2a n+n﹣3，n∈N*（1）证明数列{a n﹣1}为等比数列，并求{a n}的通项公式；（2）求数列{na n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【专题】证明题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】（1）由S n=2a n+n﹣3，n∈N*，得S n﹣1=2a n﹣1+n﹣1﹣3，两式相减，得a n=2a n﹣1﹣1，由此能证明数列{a n﹣1}是以1为首项，以2为公比的等比数列．并能求出{a n}的通项公式．（2）由na n=n•2n﹣1+n，利用分组求和法和错位相减法能求出数列{na n}的前n项和．【解答】证明：（1）∵数列{a n}的前n项和为S n，S n=2a n+n﹣3，n∈N*，①a1=S1=2a1+1﹣3，解得a1=2，∴当n≥2时，S n﹣1=2a n﹣1+n﹣1﹣3，②①﹣②，得a n=2a n﹣1﹣1，∴a n﹣1=2（a n﹣1﹣1），又a1﹣1=1，∴数列{a n﹣1}是以1为首项，以2为公比的等比数列．∴，∴．解：（2）∵na n=n•2n﹣1+n，∴数列{na n}的前n项和：T n=1×20+2×2+3×22+…+n×2n﹣1+（1+2+3+…+n）=1×20+2×2+3×22+…+n×2n﹣1+，③2T n=1×2+2×22+3×23+…+n×2n+n（n+1），④①﹣②，得：﹣T n=1+2+22+23+…+2n﹣n•2n﹣==，∴T n=（n﹣1）×2n+1+．【点评】本题考查等比数列的证明，考查数列的通项公式和前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分组求和法和错位相减法的合理运用．18．如图，在△ABC中，∠B=30°，AC=2，D是边AB上一点．（1）求△ABC的面积的最大值；（2）若CD=2，△AC D的面积为4，∠ACD为锐角，求BC的长．【考点】三角形中的几何计算．【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形．【分析】（1）由余弦定理得AB•BC≤=20（2+），由此能求出△ABC的面积的最大值．（2）设∠ACD=θ，由三角形面积得到sinθ=，cos，由余弦定理，得AD=4，由正弦定理，得，由此能求出BC的长．【解答】解：（1）∵在△ABC中，∠B=30°，AC=2，D是边AB上一点，∴由余弦定理得：AC2=20=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC=≥（2﹣）AB•BC，∴AB•BC≤=20（2+），∴，∴△ABC的面积的最大值为．（2）设∠ACD=θ，在△ACD中，∵CD=2，△ACD的面积为4，∠ACD为锐角，∴==4，∴sinθ=，cos，由余弦定理，得AD2=AC2+CD2﹣2AC•CD•cosθ=20+4﹣8×=16，∴AD=4，由正弦定理，得，∴，∴，此时，∴BC=．∴BC的长为4．【点评】本题考查三角形面积的最大值的求法，考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意正弦定理、余弦定理的合理运用．19．如图，正方形ADEF所在平面和等腰梯形ABCD所在的平面互相垂直，已知BC=4，AB=AD=2．（1）求证：AC⊥BF；（2）在线段BE上是否存在一点P，使得平面PAC⊥平面BCEF？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【考点】直线与平面垂直的性质；空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】证明题；转化思想；向量法；空间位置关系与距离．【分析】（1）由已知得AF⊥平面ABCD，AF⊥AC，过A作AH⊥BC于H，由勾股定理得AC⊥AB，由此能证明AC⊥BF．（2）分别以方向为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系A﹣xyz，利用向量法能求出在线段BE上存在一点P，使得平面PAC⊥平面BCEF， =．【解答】证明：（1）∵平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD=AD，AF⊥AD，AF⊂平面ADEF，∴AF⊥平面ABCD，∵AC⊂平面ABCD，∴AF⊥AC，过A作AH⊥BC于H，则BH=1，AH=，CH=3，∴AC=2，∴AB2+AC2=BC2，∴AC⊥AB，∴AC⊥平面FAB，∴AC⊥BF．解：（2）由（1）知AF、AB、AC两两互相垂直，分别以方向为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系A﹣xyz，则A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），E（﹣1，，2），假设在线段BE上存在一点P满足题意，设=λ，（λ＞0），则P（，，），设平面PAC的一个法向量为=（x，y，z），由=（，，），=（0，2，0），得：，取x=1，得，设平面BCEF的法向量，=（﹣2，2，0），=（﹣3，，2），则，取a=1，得=（1，，1），∵平面PAC⊥平面BCEF，∴=1+0+=0，解得，∴在线段BE上存在一点P，使得平面PAC⊥平面BCEF， =．【点评】本题考查异面直线垂直的证明，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要注意向量法的合理运用．20．已知椭圆C1； +=1（a＞b＞0）与椭圆C2： +y2=1有相同的离心率，经过椭圆C2的左顶点作直线l，与椭圆C2相交于P、Q两点，与椭圆C1相交于A、B两点．（1）若直线y=﹣x经过线段PQ的中点M，求直线l的方程：（2）若存在直线l，使得=，求b的取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【专题】数形结合；方程思想；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）设P（﹣2，0），Q（x，y），线段PQ的中点M为，可得=0，与椭圆C2联立解出，即可得出直线l的方程．（2）椭圆C2： +y2=1的离心率e=．设2c是椭圆C1； +=1（a＞b＞0）的焦距，则=，又a2=b2+c2，椭圆的方程化为：x2+4y2=4b2．设直线l的方程为：y=k（x+2），P（x3，y3），Q（x4，y4），A（x1，y1），B（x2，y2）．分别与椭圆的方程联立可得根与系数的关系、再利用弦长公式即可得出．【解答】解：（1）设P（﹣2，0），Q（x，y），线段PQ的中点M为，∴=0，化为x+y=2．联立，解得，或．∴直线l的方程为：y=0，或y﹣0=（x+2），化为x﹣4y+2=0．（2）椭圆C2： +y2=1的离心率e=．设2c是椭圆C1； +=1（a＞b＞0）的焦距，则=，又a2=b2+c2，可得a=2b，c=b，椭圆的方程化为：x2+4y2=4b2．设直线l的方程为：y=k（x+2），P（x3，y3），Q（x4，y4），A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，化为（1+4k2）x2+16k2x+16k2﹣4=0，∴x3+x4=，x3x4=，|PQ|==．联立，化为：（1+4k2）x2+16k2x+16k2﹣4b2=0，∴x1+x2=，x1x2=．∴|AB|==．∵=，∴=3，∴3×=．化为：b2=1+∈（1，9]，∴b∈（1，3]．∴b的取值范围是（1，3]．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、弦长公式、向量的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．已知函数f（x）=lnx﹣，曲线y=f（x）在点（，f（））处的切线平行于直线y=10x+1．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）设直线l为函数y=lnx图象上任意一点A（x0，y0）处的切线，在区间（1，+∞）上是否存在x0，使得直线l与曲线y=e x也相切？若存在，满足条件的x0有几个？【考点】变化的快慢与变化率．【专题】综合题；转化思想；综合法；导数的综合应用．【分析】（1）求导函数，利用曲线y=f（x）在点（，f（））处的切线平行于直线y=10x+1，求出a，再确定导数恒大于0，从而可得求函数f（x）的单调区间；（2）先求直线l为函数的图象上一点A（x0，y0）处的切线方程，再设直线l与曲线y=g（x）=e x相切于点（x1，），进而可得lnx0=，再证明在区间（1，+∞）上x0存在且唯一即可．【解答】解：（1）∵函数f（x）=lnx﹣，∴f′（x）=+，∵曲线y=f（x）在点（，f（））处的切线平行于直线y=10x+1，∴f′（）=2+8a=10，∴a=1∴f′（x）=∵x＞0且x≠1，∴f'（x）＞0∴函数φ（x）的单调递增区间为（0，1）和（1，+∞）．（5分）（2）证明：∵y=lnx，∴切线l的方程为y﹣lnx0=（x﹣x0）即y=x+lnx0﹣1，①（6分）设直线l与曲线y=g（x）相切于点（x1，），∵g'（x）=e x，∴=，∴x1=﹣lnx0．（8分）∴直线l也为y﹣=（x+lnx0），即y=x++，②（9分）由①②得lnx0﹣1=+，∴lnx0=．（11分）下证：在区间（1，+∞）上x0存在且唯一．由（1）可知，f（x）=lnx﹣在区间（1，+∞）上递增．又f（e）=﹣＜0，f（e2）=＞0，（13分）结合零点存在性定理，说明方程f（x）=0必在区间（e，e2）上有唯一的根，这个根就是所求的唯一x0．【点评】本题以函数为载体，考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查曲线的切线，同时考查零点存在性定理，综合性比较强．【选修4一1：几何证明选讲】22．如图，圆O的直径AB=10，P是AB延长线上一点，BP=2，割线PCD交圆O于点C，D，过点P做AP的垂线，交直线AC于点E，交直线AD于点F．（1）求证：∠PEC=∠PDF；（2）求PE•PF的值．【考点】与圆有关的比例线段．【专题】选作题；立体几何．【分析】（1）证明P、B、C、E四点共圆、A、B、C、D四点共圆，利用四点共圆的性质，即可证明：∠PEC=∠PDF；（2）证明D，C，E，F四点共圆，利用割线定理，即可求得PE•PF的值．【解答】（1）证明：连结BC，∵AB是圆O的直径，∴∠ACB=∠APE=90°，∴P、B、C、E四点共圆．∴∠PEC=∠CBA．又∵A、B、C、D四点共圆，∴∠CBA=∠PDF，∴∠PEC=∠P DF﹣﹣﹣﹣（5分）（2）解：∵∠PEC=∠PDF，∴F、E、C、D四点共圆．∴PE•PF=PC•PD=PA•PB=2×12=24．﹣﹣﹣﹣（10分）【点评】本题考查圆的性质，考查四点共圆的判定，考查割线的性质，属于中档题．【选修4一4：坐标系与参数方程】23．（2015秋•洛阳月考）在直角坐标xOy系中，直线l经过点P（﹣1，0），其倾斜角为α，以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xoy取相同的长度单位，建立极坐标系，设曲线C的极坐标方程为ρ2﹣6ρcosθ+1=0．（l）写出直线l的参数方程，若直线l与曲线C有公共点，求α的取值范围；（2）设M（x，y）为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围．【考点】简单曲线的极坐标方程．【专题】计算题；转化思想；综合法；坐标系和参数方程．【分析】（1）求出曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣6x+1=0，将直线l的参数方程代入x2﹣y2﹣6x﹣1=0，得t2﹣8tcosα+8=0，再利用根的判别式能求出α的取值范围．（2）曲线C的参数方程为，（θ为参数），由此利用三角函数性质能求出x+y的取值范围．【解答】解：（1）∵曲线C的极坐标方程为ρ2﹣6ρcosθ+1=0，∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣6x+1=0，∵直线l经过点P（﹣1，0），其倾斜角为α，∴直线l的参数方程为，（t为参数），将，代入x2﹣y2﹣6x﹣1=0，整理，得t2﹣8tcosα+8=0，∵直线l与曲线C有公共点，∴△=64cos2α﹣32≥0，即cosα≥，或cosα≤﹣，∵α∈[0，π），∴α的取值范围是[0，]∪[，π）．（2）曲线C的直角坐标方程x2+y2﹣6x+1=0可化为（x﹣3）2+y2=8，其参数方程为，（θ为参数），∵M（x，y）为曲线C上任意一点，∴x+y=3+2cosθ+2=3+4sin（），∴x+y的取值范围是[﹣1，7]．【点评】本题考查角的取值范围的求法，考查代数式的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意极坐标和直角坐标互化公式的合理运用．【选修4一5：不等式选讲】24．（2015•德宏州校级三模）设关于x的不等式|x﹣2|＜a（a∈R）的解集为A，且∈A，﹣∉A（1）∀x∈R，|x﹣1|+|x﹣3|≥a2+a恒成立，且a∈N，求a的值（2）若a+b=1，求+的最小值，并指出取得最小值时a的值．【考点】绝对值不等式的解法；基本不等式．【专题】计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用；集合．【分析】（1）由∈A，﹣∉A可得＜a≤，再由绝对值不等式的性质可得|x﹣1|+|x﹣3|的最小值为2，结合恒成立思想，可得a2+a≤2，解出不等式，求交集，再由a∈N，即可得到a；（2）由条件可得+=+，对b讨论，分b＞0，b＜0，运用基本不等式求出最小值，比较即可得到所求最小值，同时求出取等号的a的值．【解答】解：（1）关于x的不等式|x﹣2|＜a（a∈R）的解集为A，且∈A，﹣∉A，则a＞|﹣2|且a≤|﹣﹣2|，即有＜a≤，①∀x∈R，|x﹣1|+|x﹣3|≥|（x﹣1）﹣（x﹣3）|=2，即有|x﹣1|+|x﹣3|的最小值为2，∀x∈R，|x﹣1|+|x﹣3|≥a2+a恒成立，即有a2+a≤2，解得﹣2≤a≤1，②由①②可得＜a≤1，由a∈N，则a=1；（2）若a+b=1，则+=+，当b＞0时， +=+（+）≥+2=，当且仅当=，即a=∈（，]，b=时，取得最小值，且为；当b＜0时， +=﹣+（+）≥﹣+2=，当且仅当=，即a=∈（，]，b=时，取得最小值，且为．综上可得，当a=时， +取得最小值，且为．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，以及绝对值不等式的性质，考查基本不等式的运用，考查运算能力，属于中档题和易错题．。

河南省洛阳市第一学期高三统一考试数学试题(理科)

河南省洛阳市第一学期高三统一考试数学试题（理科）数学 (理科) 试题考试时间：2007年12月20日下午 14：00——16：00本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

第I 卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页。

共150分。

考试时间120分钟。

第I 卷(选择题，共60分)注意事项：1.答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号、座号、考试科目用铅笔涂写答题卡上。

2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。

3.考试结束，将第Ⅱ卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中。

只有一项是符合题目要求的。

1、设复数z 满足(2+i )z ＝1+2i ，则z 等于 ( )A 、1+34iB 、45+35iC 、43+53i D 、4+3i 2、设全集U ＝R ，A ＝{x |1x<0}，则 U A 等于 ( ) A 、{x |1x >0} B 、{x |x >0} C 、{x |x ≥0} D 、{x |1x ≥0}3、tan15º－cot15º的值为 ( )A 、 3B 、2 3C 、－ 3D 、－2 34、如果直线l 过点P(1，2)，且l 不经过第四象限，那么l 的斜率的取值范围是 ( )A 、[0，2]B 、[0，1]C 、[0，12]D 、[－ 12，0]5、在(1+x )+(1+x )2+(1+x )3+…+(1+x )6展开式中，x 2项的系数是 ( )A 、33B 、34C 、35D 、366、棱长为1的正四面体，某顶点到其相对面的距离是 ( )A 、53B 、63C 、23D 、337、已知函数f (x )=2x 的反函数为f -–1(x )，若f -–1(a )+f -–1(b )＝4，则1a +1b 的最小值为 ( )A 、12B 、13C 、14D 、18、已知m 、n 、m +n 成等差数列，m 、n 、mn 成等比数列，则椭圆x 2m +y 2n =1的离心率为 ( )A 、32B 、22C 、12D 、559、从6人中选4人分别到A 、B 、C 、D 四个城市游览，要求每个城市有1人游览，每人只游览一个城市，且这6人中，甲、乙不去A 城市游览，则不同的选择方案为 ( )A 、96种B 、144种C 、196种D 、240种10、若关于x 的不等式(x +a )(x +b )x －c≥0的解集是[－1，2)∪[3，+∞]，则 ( ) A 、a +b +c ＝6 B 、a +b +c ＝4 C 、a +b +c ＝0 D 、a +b +c ＝－4 11、设a 、b 是不共线的两向量，其夹角是θ，若函数f (x )=(x a +b )(a －x b )(x ∈R)在(0，+∞)上有最大值，则 ( )A 、|a |<|b |，且θ是钝角B 、|a |<|b |，且θ是锐角C 、|a |>|b |，且θ是钝角D 、|a |>|b |，且θ是锐角12、对于自然数p 和正整数n ，记a k ＝p －3(k －1)，(k ∈N*，k ≤n )，S(p ，n )=a 1+a 2+…+a n ，我们把(p ，n )称为满足条件|S(p ，n )|≤2的有序实数对，当n 取定一个值后，对于这个取定的值，数对(p ，n )最多有 ( )A 、3个B 、4个C 、5个D 、6个13、若双曲线x 24－y 2m =1的渐近线方程为y =±32x ，则双曲线的焦点坐标为_________14、一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则该球的表面积是_________15、已知变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y +2≤0x ≥1x +y －7≤0，则y x 的取值范围是_________ 16、下列函数中能满足性质：存在非零常数T ，对任意x ∈R 有f (x +T)=T f (x )成立的是：①f (x )=x ；②f (x )=lg x ；③f (x )=x 2；④f (x )=a x (0<a <1)_________（写出所有满足性质的函数的序号）17、（本小题满分10分）已知函数f (x )=(sin x －cos x )sin x +(3cos x －sin x )cos x ，x ∈R(1)求f (x )的最小正周期；(2)当x ∈[0，π4]时，求f (x )的最大值和最小值。

河南省洛阳市高三数学上学期第一次统一考试试题理

数学试卷（理A ）本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第I 卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．共150分．考试时间120分钟，第I 卷（选择题，共60分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名，考号填写在答题卷上． 2．考试结束，将答题卷交回．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．l.集合 {}{}{}1,2,3,4,5,1,2,3,|,A B C z z xy x A y B ====∈∈且，则集合C 中的元素个数为A.3 B ．4 C ．8 D ．12 2．已知i 为虚数单位，复数123,12z ai z i =-=+，若12z z 复平面内对应的点在第四象限，则实数a 的取值范围为A. {}|6a a <- B ． 3|62a a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭C ． 3|62a a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭ D ． 3|62a a a ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或 3．已知θ为第二象限角， sin ,cos θθ是关于x 的方程 22x +(3-1)x+m=0(m R)∈的两根，则 sin -cos θθ的等于 A ．132+ B ． 132- C ． 3 D ． 3- 4.下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是A ．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π丌是无理数；结论：π是无限不循环小数B ．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提： π是无限不循环小数；结论： π是无理数C.大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论： π是无理数D.大前提： π是无限不循环小数；小前提： π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数5．某几何体的三视图如图所示，图中三个正方形的边长均为2，则该几何体的体积为 A ． 38 B ． 82π- C ． 43π D ． 283π-6．已知 ()f x 是定义涵在R 上的偶函数，且()f x 在(],0-∞上单调递增，设333(sin )(cos ),(tan )555a fb fc f πππ===，则a,b,c 的大小关系是， A ．a<b<c B ．b<a<cC ．c<a<bD ．a<c<b7.执行如图的程序，则输出的结果等于A ．9950B ．200101C ．14950D ． 150508．在△ABC 中，D 为AC 的中点， 3BC BD =u u u r u u u r，BD 与AE 交于点F ，若 AF AE λ=u u u r u u u r，则实数A 的值为A ．12 B ． 23 C ． 34 D ． 459．设 12,F F 分别为双曲线 221x y -=的左，右焦点，P 是双曲线上在x 轴上方的点， 1F PF ∠为直角，则 12sin PF F ∠的所有可能取值之和为A ．83B ．2C ． 6D ． 6210.曲线 1(0)y x x=>在点 00(,)P x y 处的切线为 l ．若直线l 与x ，y 轴的交点分别为A ，B ，则△OAB 的周长的最小值为A. 422+B. 22C.2D. 527+11．若直线(31)(1)660x y λλλ++-+-= 与不等式组 70,310,350.x y x y x y +-<⎧⎪-+<⎨⎪-->⎩，表示的平面区域有公共点，则实数A 的取值范围是A ． 13(,)(9,)7-∞-+∞U B ． 13(,1)(9,)7-+∞U C ．(1，9) D ． 13(,)7-∞-12．在平面直角坐标系中，点P 是直线 1:2l x =-上一动点，点 1(,0)2F ，点Q 为PF 的中点，点M 满MQ ⊥PF ，且 ()MP OF R λλ=∈u u u r u u u r .过点M 作圆 22(3)2x y -+=的切线，切点分别为S ，T ，则 ST 的最小值为A ．2305 B ． 305 C ． 72 D. 52第Ⅱ卷（非选择题，共90分），二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.设随机变量 2(,)N ξμσ:，且 (1)(1),(2)0.3P P P ξξξ<-=>>=，则(10)P ξ-<<=_____________．14.若正四梭锥P- ABCD 的底面边长及高均为2，刚此四棱锥内切球的表面积为_______． 15．将函数 ()sin()223y sin x x ωωπ=+的图象向右平移号个单位，所得图象关于y 轴对称，则正数 ω的最小值为_________．16．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若b=l ，a= 2c ，则当C 取最大值时，△ABC 的面积为________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）已知 {}{},n n a b 均为等差数列，前n 项和分别为 ,n n S T ．(1)若平面内三个不共线向量 ,,OA OB OC u u u r u u u r u u u r 满足 315OC a OA a OB =+u u u r u u u r u u u r，且A ，B ，C 三点共线．是否存在正整数n ，使 n S 为定值？若存在，请求出此定值；若不存在，请说明理由。

河南省洛阳市数学高三上学期理数12月月考试卷

河南省洛阳市数学高三上学期理数12月月考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）(2018·河北模拟) 若集合，，则（）A .B .C .D .2. （2分）已知命题：函数的图象恒过定点；命题：若函数为偶函数，则函数的图象关于直线对称，则下列命题为真命题的是（）A .B .C .D .3. （2分）(2017·广东模拟) 已知角α终边上一点的坐标为P（sin ，cos ），则角α是（）A .B .C . ﹣D . ﹣4. （2分）两数与等差中项是（）A .B .C .D .5. （2分）下列四个条件中，p是q的必要不充分条件的是（）A . p：a>b q：B . p：a>b q：2a>2bC . p：a＋b＝c为双曲线q：ab<0D . p：a＋bx＋c>0 q：＋＋a>06. （2分） (2016高一上·晋中期中) 若x＞0，则函数与y2=logax（a＞0，且a≠1）在同一坐标系上的部分图象只可能是（）A .B .C .D .7. （2分）已知分别是椭圆的左右焦点，过垂直与x轴的直线交椭圆于A，B 两点，若是锐角三角形，则椭圆离心率的范围是（）A .B .C .D .8. （2分）半径R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（）A . πR3B . πR3C . πR3D . πR39. （2分）对于两条平行直线和圆的位置关系定义如下：若两直线中至少有一条与圆相切，则称该位置关系为“平行相切”；若两直线都与圆相离，则称该位置关系为“平行相离”；否则称为“平行相交”．已知直线l1：ax＋3y＋6＝0，l2：2x＋(a＋1)y＋6＝0与圆C：x2＋y2＋2x＝b2－1(b>0)的位置关系是“平行相交”，则实数b 的取值范围为（）A . ( ，)B . (0， )C . (0， )D . ( ，)∪( ，＋∞)10. （2分）一个三棱锥的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是全等的等腰三角形，则此三棱锥外接球的表面积为（）A .B . 9πC . 4πD . π11. （2分）过椭圆的左焦点作直线交椭圆于A,B两点，若存在直线使坐标原点O恰好在以AB为直径的圆上，则椭圆的离心率取值范围是（）A .B .C .D .12. （2分） (2016高一下·大庆期中) 下列各式中，最小的是（）A . 2cos240°﹣1B . 2sin6°cos6°C . sin50°cos37°﹣sin40°cos53°D . sin41°﹣cos41°二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2020高一上·黄陵期末) 圆心坐标为，半径为的圆的标准方程是________.14. （1分）若点A（1，1），B（2，﹣1）位于直线x+y﹣a=0的两侧，则a的取值范围为________ ．15. （1分）过已知圆B内一个定点A作圆C与已知圆相切，则圆心C的轨迹是________．16. （1分） (2019高三上·牡丹江月考) 如图正方体的棱长为，、、，分别为、、的中点.则下列命题：①直线与平面平行；②直线与直线垂直；③平面截正方体所得的截面面积为；④点与点到平面的距离相等；⑤平面截正方体所得两个几何体的体积比为 .其中正确命题的序号为________.三、解答题 (共7题；共65分)17. （5分） (2018高二上·抚顺期末) 已知数列的前项和满足且 .（1）求数列的通项公式；（2）求的值。

2020届河南省洛阳市高三上学期第一次统一考试(1月)数学(理)试题(原卷版)

洛阳市2019--2020学年高中三年级第一次统一考试数学试卷(理)第Ⅰ卷(共60分)一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合(){}20|M x x x =-<，{}2,1,0,1,2N =--，则M N =I ( ) A. {}0,1B. {}2,1--C. {}1D. {}0,1,22.已知复数z 在复平面中对应点(),x y 满足()2211x y -+=，则1z -=( )A. 0B. 1C.D. 23.为了节能减排，发展低碳经济，我国政府从2001年起就通过相关政策推动新能源汽车产业发展.下面的图表反映了该产业发展的相关信息:11月 17.3 36.9 16.9 37.6 1-12月 127 59.9 125.6 61.7 2019年1月 9.1 113 9.6 138 2月 5.950.95.353.6根据上述图表信息，下列结论错误的是( )A. 2017年3月份我国新能源汽车的产量不超过3.4万辆B. 2017年我国新能源汽车总销量超过70万辆C. 2018年8月份我国新能源汽车的销量高于产量D. 2019年1月份我国插电式混合动力汽车的销量低于2万辆4.已知正项等比数列{}n a 中，354a a =，且467,1,a a a +成等差数列，则该数列公比q 为( ) A.14B.12C. 2D. 45.我国数学家陈最润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界瞩目的成就.哥德巴赫猜想简述为“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”(注:如果一个大于1的整数除了1和自身外无其他正因数，则称这个整数为素数)，如40337=+.在不超过40的素数，随机选取2个不同的数，这两个数的和等于40的概率是( )A.126 B.122 C.117D.115 6.圆22 2410x y x y +-++=关于直线()300,0ax by a b --=>>对称，则12a b+的最小值是( )A. 1B. 3C. 5D. 97.函数()()23xx e e cos x f x x-⋅-=(e为自然对数的底数)的大致图象为( )A. B.C. D.8.正三棱锥的三视图如下图所示，则该正三棱锥的表面积为( )A. 33033+B. 3309C. 123D.9910229.已知点12,F F 分别是双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左，右焦点，O 为坐标原点，点P 在双曲线C 的右支上，且满足1221 2,4F F OP tan PF F =∠=，则双曲线C 的离心率为( ) A.5 B. 5C.173D.17910.设()f x 是定义在R 上的函数，满足条件()()11f x f x +=-+，且当1x ≤时，()3xf x e-=-，则()27a f log =，()2 1.533,3b f c f --⎛⎫⎪⎝⎭==的大小关系是( )A. a b c >>B. a c b >>C. b a c >>D. c b a >>11.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点E 为棱1CC 的中点.下列结论:①线段BD 上存在点F ，使得//CF 平面1AD E ；②线段BD 上存在点F ，使CF ⊥得平面1AD E ；③平面1AD E 把正方体分成两部分，较小部分的体积为724，其中所有正确的序号是( ) A. ①B. ③C. ①③D. ①②③12.已知正项数列{}n a 的前n 项和为1,1n S a >，且2632n n n S a a =++.若对于任意实数[]2,2a ∈-.不等式2*1()211n a t at n N n +<+-∈+恒成立，则实数t 的取值范围为( ) A .][(),22,⋃∞-+∞- B. ,21,(][)∞⋃+∞--C. ,12[),(]-∞⋃+∞-D. []22-,第Ⅱ卷(共90分)二、填空题(每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上)13.平面向量a r 与b r 的夹角为60o，且()3,0a =r ，1b =r ，则2a b +=r r __________．14.若实数,x y 满足约束条件,4, 3,y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2z x y =+的最小值是__________．15.已知椭圆()2222:10,x y C a b A a b+=>>为右顶点.过坐标原点O的直线交椭圆C 于,P Q 两点，线段AP的中点为M ，直线QM 交x 轴于()2,0N ，椭圆C 的离心率为23，则椭圆C 的标准方程为__________． 16.已知函数()()12,f lnx ax a x g x x=+=-，且()()0f x g x ≤在定义域内恒成立，则实数a 的取值范围为__________．三、解答题 (本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.在ABC V 中，角,,A B C 对应边分别为,,a b c . (1)若ABC V 的面积S满足222,4c a b c a +=+==且b c >，求b 的值；(2)若3a A π==且ABC V 为锐角三角形.求ABC V 周长的范围.18.如图，已知四边形ABCD 为等腰梯形，BDEF 为正方形，平面BDEF ⊥平面ABCD ，//,1AD BC AD AB ==，60ABC ∠=︒.(1)求证:平面CDE ⊥平面BDEF ；(2)点M 为线段EF 上一动点，求BD 与平面BCM 所成角正弦值的取值范围. 19.过点()0,2P 的直线与抛物线2:4C x y =相交于,A B 两点. (1)若2AP PB =u u u r u u u r，且点A 在第一象限，求直线AB 的方程；(2)若,A B 在直线2y =-上的射影分别为11,A B ，线段11A B 的中点为Q ，求证1//BQ PA . 20.设函数()()3211232xf x ex kx kx =--+. (1)若1k =，求()f x 的单调区间；(2)若()f x 存在三个极值点123,,x x x ，且123x x x <<，求k 的取值范围，并证明:1 3 22x x x >+.21.“公平正义”是社会主义和谐社会的重要特征，是社会主义法治理念的价值追求.“考试”作为一种公平公正选拔人才的有效途径，正被广泛采用.每次考试过后，考生最关心的问题是:自己的考试名次是多少?自已能否被录取?能获得什么样的职位? 某单位准备通过考试(按照高分优先录取的原则)录用300名，其中275个高薪职位和25个普薪职位.实际报名人数为2000名，考试满分为400分.(一般地，对于一次成功的考试来说，考试成绩应服从正态分布. )考试后考试成绩的部分统计结果如下: 考试平均成绩是180分，360分及其以上的高分考生30名. (1)最低录取分数是多少?(结果保留为整数)(2)考生甲的成绩为286分，若甲被录取，能否获得高薪职位?若不能被录取，请说明理由. 参考资料:(1)当2~(,)X N μσ时，令X Y μσ-=，则()~0,1Y N .(2)当()~0,1Y N 时， 2.17()0.985P Y ≤≈， 1.280.900, 1.()09()0.863P Y P Y ≤≈≤≈，1.04()0.85P Y ≤≈.请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时，用2B 铅笔在答题卡.上把所选题目对应的题号后的方框涂黑.22.在极坐标系中，已知圆的圆心6,3C π⎛⎫⎪⎝⎭，半径3r =，Q 点在圆C 上运动.以极点为直角坐标系原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系. (1)求圆C 的参数方程；(2)若P 点在线段OQ 上，且:2:3OP PQ =，求动点P 轨迹的极坐标方程. 23.设函数()211f x x x =-++.(1)画出()y f x =的图象；(2)若不等式()1f x a x >-+对x ∈R 成立，求实数a 的取值范围.。

河南省洛阳市2021届高三数学上学期第一次统一考试试题文202012220144

河南省洛阳市2021届高三数学上学期第一次统一考试试题文第Ⅰ卷一、选择题1．已知集合{}0A x x =>，{}3B x x =≤，则集合A B ⋃=（） A ．{}33x x -≤≤ B ．{}30x -≤<C ．{}03x x <≤D ．{}3x x ≥-2．若复数()()112z i i =++，则其共轭复数z 在复平面内对应的点位于（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．设数列{}n a 是等差数列，首项11a =，且34521a a a ++=，则数列{}n a 的前10项和等于（） А．100B ．84C ．42D ．104．命题“x R ∀∈，2210x x ++>”的否定是（） A ．0x R ∃∈，使得200210x x ++> B ．0x R ∃∈，使得200210x x ++≤ C ．x R ∀∈，2210x x ++≤D ．x R ∀∈，2210x x ++<5．下列函数中最小正周期是π且图象关于直线6x π=对称的是（）A ．2sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．2cos 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．2cos 23x y π⎛⎫=+⎪⎝⎭ D ．2sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭6．设a 、b 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（） A ．若a 平行于α内的无数条直线，则//a α B ．若//a α，//a b ，则b 平行于α内的无数条直线 C ．若αβ⊥，a α⊂，b β⊂，则a b ⊥ D ．若//a α，αβ⊥，则a β⊥7．已知双曲线的焦点在x 轴上，焦距为4，且一条渐近线方程为y =，则双曲线的标准方程是（）А．2213x y -= B ．2213y x -= C ．2213y x -= D ．2213x y -= 8．已知圆O ：224x y +=交x 轴正半轴于点P ，在圆O 上随机取一点Q ，则使2PQ <成立的概率为（）А．16B ．13C ．12D ．239．在ABC △中，2AB =，23A π=，()AB t AC t R -∈的最小值是（）А．1BC D ．210．若函数()3211232f x x ax bx c =+++在()0,1上取得极大值，在()1,2上取得极小值，则31b a --的取值范围是（） A ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭B ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,22⎛⎫⎪⎝⎭D ．13,22⎛⎫⎪⎝⎭11．已知1F ，2F 是椭圆2212516x y +=的左、右焦点，P 是椭圆上任意一点，过1F 引12F PF ∠的外角平分线的垂线，垂足为Q ，则Q 与短轴端点的最近距离为（） A ．1B ．2C ．4D ．512．定义在R 上的函数()f x 满足()()2sin f x f x x --=，当0x ≥时，()1f x '>，若()sin sin 33f t f t t t ππ⎛⎫⎛⎫--≤+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则实数t 的取值范围是（） A ．,3π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．,3π⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．,6π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．,6π⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦第Ⅱ卷二、填空题13．已知函数()201,0x f x x x≥=⎨-<⎪⎩，则()4f =______．14．已知角α的终边过点()2,1-，则sin cos αα的值是______． 15．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为______．16．在ABC △中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若()tan 2tan 0b A b c B +-=．且ABC △的中线3AP =，则b c +的最大值是______．三、解答题（一）必考题：17．已知数列{}n a 的首项12a =，前n 项和为n S 且满足()1*22N n n a S n +=+∈．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若()3log 1n n n b a S =⋅+，求数列()n b 的前项和n T ．18．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AAC C ⊥底面ABC ，160C CA ∠=︒，AB AC ⊥，12AC AB AA ===．（1）求证：11CA BC ⊥；（2）求三棱柱111ABC A B C -的侧面积．19．设抛物线C ：()220y pr p =>的焦点为F ，点()4,P m 是抛物线C 上一点，且5PF =．（1）求抛物线C 的方程；（2）设直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，若OA OB ⊥（O 为坐标原点）．求证：直线l 过定点． 20．某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩，整理数据并按分数段[)40,50，（）[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[)90,100进行分组，已知测试分数均为整数，现用每组区间的中点值代替该组中的每个数据．则得到体育成绩的折线图如下：（1）若体育成绩大于或等于70分的学生为“体育良好”，已知该校高一年级有1000名学生，试估计该校高一年级学生“体育良好”的人数；（2）为分析学生平时的体育活动情况，现从体育成绩在[)60,70和[)80,90的样本学生中随机抽取3人，求所抽取的3名学生中，至少有1人为非“体育良好”的概率；（3）假设甲、乙、丙三人的体育成绩分别为a ，b ，c ，且[)60,70a ∈，[)70,80b ∈，[)80,90c ∈，当三人的体育成绩方差2S 最小时，写出a ，b ，c 的一组值（不要求证明）．注：()()()2222121n S x x x xx x n ⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅+-⎢⎥⎣⎦，其中()121n x x x x n=++⋅⋅⋅+．21．已知函数()()1xe f x a x e x=+--．（1）当0a =时，求函数()f x 的极值；（2）当0a >时，证明：()f x 在()0,1上存在唯一零点．（二）选考题22．选修4—4：极坐标与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为2x ty ⎧=-⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin4cos ρθθ=．（1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）已知点P的直角坐标为)，过点P 作直线l 的垂线交曲线C 于D 、E 两点（D 在x 轴上方），求11PD PE-的值． 23．选修4—5：不等式选讲（1）已知a ，b ，c 是正数，且满足1ab bc ac ++=，求证a b c ++≥ （2）已知a ，b 是正数，且满足1a b +=2≤．洛阳市2020—2021学年高中三年级第一次统一考试数学试卷参考答案（文）一、选择题 1—5 DCABA 6—10 BCBCD11—12 AD二、填空题13．2 14．25- 15．1216．4 三、解答题17．（1）∵*N n ∈时，122n n a S +=+，∴当2n ≥时，122n n a S -=+．两式相减得：()132n n a a n +=≥．又12a =， 21226a a =+=，∴213a a = ∴{}n a 是首项为2，公比为3的等比数列．从而123n n a -=⋅．（2）∵123n n a -=⋅，∴1123n n a -+=⋅，∴123nn a +=⋅，31nn S =-， ∴()13log 123n n n n b a S n -=⋅+=⋅．∴011123234323n n n T b b b b n -=+++⋅⋅⋅+=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅ ①∴23234323nn T n =⋅+⋅+⋅⋅⋅⋅ ②． ①-②，得：011223232323n n n T n --=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅-⋅()011233323n n n -=⋅++⋅⋅⋅+-⋅1322313n n n -=⋅-⋅-3123n n n =--⋅∴11322n n T n ⎛⎫=-⋅+ ⎪⎝⎭． 18．（1）∵1AC AA =，∴侧面11ACC A 是菱形，∴11AC CA ⊥． ∵侧面11AAC C ⊥底面ABC ，且平面ABC ⋂平面11AAC C AC =，AB AC ⊥，∴AB ⊥平面11AAC C ．又∵1CA ⊂平面11AAC C ，∴1CA AB ⊥．又1AC AB A ⋂=，∴1CA ⊥平面1C AB ．又1BC ⊂平面1C AB ，∴11CA BC ⊥．（2）设棱CA 的中点为D ，连1C D ，BD ，则1C D AC ⊥， ∴1C D ⊥底面ABC ．从而1C D BD ⊥．由160C CA ∠=︒，12AC AB AA ===．得1AD =，1C =∴2222221118BC BD DC BA AD DC =+=++=．在1BCC △中，由余弦定理得1cos BCC ∠=，从而1sin BCC ∠=．∴1111sin BCC B SCB CC BCC =⋅∠=由（1）知AB ⊥平面11AAC C ，∴1AA AB ⊥，1114BAA B S AB AA =⋅=矩形，又11ACC ASCA C D =⋅=∴三棱柱111ABC A B C -的侧面积为4+．19．（1）∵()4,P m 是抛物线C 上一点，且5PF =．∴452p+=，解得2p =，即抛物线C 的方程为24y x =.（2）设直线l 的方程为x ty s =+，()11,A x y ，()22,B x y ，由24x ty sy x=+⎧⎨=⎩消去x 得2440y ty s --=，则124y y t +=，124y y s ⋅=-．因为OA OB ⊥，所以12120x x y y ⋅+⋅=，即221212044y y y y ⋅+⋅=．化简得1216y y ⋅=-．由416s -=-得4s =．所以直线l 经过定点()4,0．20．（1）体育成绩大于或等于70分的学生有30人， ∴估计该校高一年级学生“体育良好”的人数为：30100075040⨯=人．（2）体育成绩在[)60,70有2名学生，在[)80,90中有3名，设至少有1人为非“体育良好”为事件A ，样本中的2位成绩在[)60,70的学生和3位成绩在[)80,90的学生分别记为1A ，2A ，1B ，2B ，3B ，从中随机选取3个学生的所有结果为：()121,,A A B ，()122,,A A B ，()123,,A A B ， ()112,,A B B ，()113,,A B B ，()123,,A B B ，()212,,A B B ，()213,,A B B ，()223,,A B B ，()123,,B B B ．共有10n =个基本事件，事件A 包含的基本事件有9m =个，()910m P A n == （3）当数据a ，b ，c 的方差2s 最小时，69a =，74b =，80c =．（或者69a =，75b =，80c =．）21．（1）当0a =时，()xe f x e x=-，()f x 的定义域为()(),00,-∞⋃+∞， ()()21x e x f x x -'=由()0f x '>得1x >，由()0f x '<得1x <，且0x ≠， ∴()f x 在()1,+∞上单调递增，在(),0-∞，()0,1上单调递减． ∴当1x =时，()f x 取得极小值()10f =，无极大值．（2）证明：当()0,1x ∈时，()()()2100xx e f x a x e e ax a e x x=+--=⇔+-+=．令()()2xg x e ax a e x=+-+，则()f x 在()0,1上的零点即()g x 在()0,1上的零点()2x g x e ax a e '=+--，令()()2xh x g x e ax a e'==+--，则()2xh x e a '=+．当0a >时，则()0h x '>，∴()()h x g x '=在区间()0,1上单调递增．又()()0010h g a e '==--<，()()110h g a '==>， ∴存在()00,1x ∈使得()()000h x g x '==， ∴当()00,x x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减；当()0,1x x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增．又因为()01g =，()()010g x g <=， ∴在()00,x x ∈上()g x 存在一个零点，在()0,1x x ∈上()g x 没有零点，∴()g x 在()0,1上存在唯一零点，即()f x 在()0,1上存在唯一零点．22．（1）由2x ty ⎧=-⎪⎨=-+⎪⎩，消去参数t70y -+=．即直线l70y -+=；由2sin4cos ρθθ=得22sin 4cos ρθρθ=，∵cos x ρθ=，cos y ρθ=，∴24y x =．即曲线C 的直角坐标方程24y x =．（2）直线DE的参数方程为12x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入24y x =得20t +-=．设点D 对应的参数为1t ，点E 对应的参数为2t，则12t t +=-12t t =-，且10t >，20t <．故12121212111111t t PD PE t t t t t t +-=-=+===23．（1）∵222a b ab +≥，222b c bc +≥，222a c ac +≥， ∴()2222222a b c ab bc ac ++≥++，∴222a b c ab bc ac ++≥++， ∴()()23a b c ab bc ac ++≥++， ∵1ab bc ac ++=，∴()23a b c ++≥， ∵a ，b ，c是正数，∴a b c ++≥ （2）∵1a b +=，由柯西不等式得()2111122a b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫≤++++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ()214a b =++=（当且仅当12a b ==时取等号）．2．。

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河南省洛阳市2018届高三上学期第一次统一考试（12月）数学试卷(理)第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集U R =，集合{}2log 1Ax x =≤，{}220B x x x =+-≥，则U A C B =I （）A ．(0,1]B ．(2,2]-C ．(0,1)D ．[2,2]-2.若()12m i i ni +=+⋅（,,m n R i ∈是虚数单位），则n m -等于（） A ．3 B ．2 C ．0 D ．-13.若函数同时满足下列两个条件，则称该函数为“优美丽数”：（1）对x R ∀∈，都有()()0f x f x -+=；（2）对12,x x R ∀∈，且12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x -<-．①()sin f x x =；②()32f x x =-；③()1f x x =-；④()2ln(1)f x x x =++以上四个函数中，“优美函数”的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．34.已知向量(),2a m =r ，()3,6b =-r ，若||||a b a b +=-r r r r，则实数m 的值是（）A ．-4B ．-1 C. 1 D ．45.已知某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是（）A ．求首项为1，公差为2 的等差数列前2017项和B ．求首项为1，公差为2 的等差数列前2018项和 C. 求首项为1，公差为4 的等差数列前1009项和 D ．求首项为1，公差为4 的等差数列前1010项和6.设,x y 满足约束条件30103x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则2z x y =+的最小值与最大值的和为（）A ．7B ．8 C. 13 D ．147.已知函数()()sin 3cos f x xx x R =+∈，先将()y f x =的图象上所有点的横坐标缩短到原来的13（纵坐标不变），再将得到的图象上所有点向右平移()0θθ>个单位长度，得到的图象关于y 轴对称，则θ的最小值为（） A ．9π B ．3πC. 518π D ．23π8.一个几何体的三视图如图所示，图中的三个正方形的边长均为2，则该几何体的体积为（）A ．283π-B ．43π- C. 83π- D ．243π- 9.若0sin a xdx π=⎰，则二项式61()a x x的展开式中的常数项为（）A ．-15B ．15 C. -240 D ．24010.在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若,,a b c 成等比数列，且22a c ac bc =+-，则sin cb B=（）A ．32 B ．33 C. 33D 3 11.已知F 是抛物线()21:20C y px p =>的焦点，曲线2C 是以F 为圆心，以2p为半径的圆，直线4320x y p --=与曲线12,C C 从上到下依次相交于点,,,A B C D ，则||ABCD=（） A ．16 B ．4 C.83 D ．5312.已知函数()f x 满足()()()()111f x f x f x x R -=+=-∈，且当01x ≤≤时，()21x f x =-，则方程|cos()|()0x f x π-=在[]1,3-上的所有根之和为（）A ．8B ．9 C. 10 D ．11第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知sin cos αα+=cos4α= ． 14.某校有4个社团向高一学生招收新成员，现有3名同学，每人只选报1个社团，恰有2个社团没有同学选报的报法数有种（用数字作答）．15.在半径为4的球面上有不同的四点,,,A B C D ，若4AB AC AD ===，则平面BCD 被球所截得图形的面积为．16.已知12,F F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，00(,)P x y 是双曲线C 右支上的一点，连接1PF 并过1F 作垂直于1PF 的直线交双曲线左支于,R Q ，其中00(,)R x y --，1QF P V 为等腰三角形．则双曲线C 的离心率为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知各项均不为零的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意n N *∈，满足11(1)3n n S a a =-．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足2log n n n a b a =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：89n T <． 18.甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司的底薪80元，每单抽成4元；乙公司无底薪，40单以内（含40单）的部分每单抽成6元，超出40单的部分每单抽成7元，假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其50天的送餐单数，得到如下频数表：甲公司送餐员送餐单数频数表送餐单数 38 39 40 41 42 天数101510105乙公司送餐员送餐单数频数表送餐单数 38 39 40 41 42 天数51010205（1）现从甲公司记录的50天中随机抽取3天，求这3天送餐单数都不小于40的概率；（2）若将频率视为概率，回答下列两个问题：①记乙公司送餐员日工资为X （单位：元），求X 的分布列和数学期望；②小王打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由．19.如图，在四棱锥P ABCD -中，,E F 分别是,PC PD 的中点，底面ABCD 是边长为2的正方形，2PA PD ==，且平面PAD ⊥平面ABCD ．（1）求证：平面AEF ⊥平面PCD ；（2）求平面AEF 与平面ACE 所成锐二面角的余弦值．20.已知短轴长为2的椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>，直线n 的横、纵截距分别为,1a -，且原点到直线n 3 （1）求椭圆E 的方程；（2）直线l 经过椭圆的右焦点2F 且与椭圆E 交于,A B 两点，若椭圆E 上存在一点C 满足320OA OB OC -=u u u r u u r u u u r r，求直线l 的方程．21.已知函数()ln m x f x n x =+，21()(())2ag x x f x x =--（,,m n a R ∈），且曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为1y x =-．（1）求实数,m n 的值及函数()f x 的最大值；（2）当1(,)a e e∈-时，记函数()g x 的最小值为b ，求b 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为x ty m t=⎧⎨=+⎩（t 为参数，m R ∈），以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为()223032cos ρθπθ=≤≤-．（1）写出曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）已知点P 是曲线2C 上一点，若点P 到曲线1C 的最小距离为m 的值． 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()()1||3f x x a a R =-∈. （1）当2a =时，解不等式()1||13x f x -+≥；（2）设不等式()1||3x f x x -+≤的解集为M ，若11[,]32M ⊆，求实数a 的取值范围．试卷答案一、选择题1-5: CABDC 6-10: DCADB 11、12：AD 二、填空题 13.7814. 36 15. 12π16. 2三、解答题17.（1）当1n =时，2111111111(1)333a S a a a a ==-=-， ∵10a ≠，∴14a =. ∵4(1)3n n S a =-，∴当2n ≥时，114(a 1)3n n S --=-，两式相减得1a 4a n n -=， ∴数列{}a n 是首项为4，公比为4的等比数列，∴a 4nn =.（2）∵2a log a 2n n n b n ==，∴24n nn b =， ∴12324624444n nnT =++++L ， 234112462+++44444n n n T +=+L ，两式相减得234132222224444444n n n n T +=+++++-L 23411111122()444444n n n +=+++++-L 111(1)2244214314n n n +-=-=--g 1122268344334n n n n n +++-=-g g . ∴86889949n n n T +=-<g .18.（1）记抽取的3天送餐单数都不小于40为事件M ，则32535023()196C P M C ==.（2）①设乙公司送餐员送餐单数为a ，则当38a =时，386228X =⨯=，当39a =时，396234X =⨯=，当40a =时，406240X =⨯=，当41a =时，40617247X =⨯+⨯=，当42a =时，40627254X =⨯+⨯=.所以X 的所有可能取值为228，234，240，247，254.故X 的分布列为：X 228 234 240 247 254P110 15 15 25 110∴()228234105E X =⨯+⨯+240247254241.85510⨯+⨯+⨯=.②依题意，甲公司送餐员日平均送餐单数为380.2390.3400.2410.2420.139.7⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.所以甲公司送餐员日平均工资为80439.7238.8+⨯=元. 由①得乙公司送餐员日平均工资为241.8元. 因为238.8241.8<，故推荐小王去乙公司应聘.19.（1）由题PA PD AD ==，F 为PD 的中点，可得AF PD ⊥， ∵平面PAD ⊥平面ABCD ，CD AD ⊥， ∴CD ⊥平面PAD . 又∵AF ⊂平面PAD ， ∴CD AF ⊥.CD PD D =I ∴AF ⊥平面PCD . ∴平面AEF ⊥平面PCD .（2）取AD 的中点O ，BC 的中点F ，连接,OP OF ， ∵PA PD AD ==，∴OP AD ⊥.∵平面PAD ⊥平面,ABCD OP ⊂平面PAD ， ∴OP ⊥平面ABCD .分别以,,OA OF OP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则(1,0,0)A ，(1,2,0)C -，13()2E -，13(2F -，33(,0,)22AF =-uu u r ，(0,1,0)FE =u u u r设平面AEF 的法向量为(,,)m x y z =u r，则00m AF m FE ⎧=⎪⎨=⎪⎩u r u u u r g u r u u u r g . 即33020x z y ⎧-+=⎪⎨⎪=⎩.可取=1,0,3)m u r （. 同理，可得平面ACE 的法向量(3,3,1)n =r.cos ,||||m n m n m n <>==u r ru r r g u r r g 133121727⨯⨯⨯=⨯. 所以平面AEF 与平面ACE 所成锐二面角余弦值为21.20.（1）因为椭圆E 的短轴长为2，故1b =. 依题意设直线n 的方程为：1xy a-=2311a =+.解得3a = 故椭圆的方程为2213x y +=. （2）设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y 当直线l 的斜率为0时，显示不符合题意.当直线l 的斜率不为0时，2(2,0)F ，设其方程为2x ty =由2213x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得22(3)10t y ++-=，所以12y y +=1221,3y y t =-+，①因为20OA OC +-=u u u r u u r u u u r r，所以31212x x x =+，31212y y y = 又点C 在椭圆E 上，∴222331211()3322x y x x +=+2121()22y y ++ 2222121213()()4343x x y y =+++12121)123x x y y ++= 又∵221113x y +=，22213xy += ∴1212103x x y y +=，②将11x ty =22x ty =21t =，即1t =或1t =-. 故直线l的方程为0x y +=或0x y -=. 21.（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞，()()21ln m x f x x -'=，因不()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为1y x =-，所以(1)1ln1(1)01f m m f n '==⎧⎪⎨=+=⎪⎩.解得1,0m n ==. 所以()ln x f x x =．故()21ln xf x x-'=．令()0f x '=，得x e =，当0x e <<时，()0f x '>，()f x 单调递增；当x e >时，()0f x '<，()f x 单调递减．所以当x e =时，()f x 取得最大值()1f e e=．（2）∵()221(())ln 22a ax g x x f x x x x x =--=--， ∴()ln ln ()xg x x ax x a x'=-=-， ∵1e a e-<<， ∴1()f e a e=-<，()1f e a e=>，所以存在()1(,),0t e g t e'∈=即ln t at =，当()0,x t ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减，当(,]x t e ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增，所以()g x 的最小值为2ln ln 22a t tb t t t t t =--=-，令()ln 2t tb t h t =-=，因为()ln 102t h t -'=<，所以()h t 在1(,)e e 单调递减，从而3()(,)22e h t e ∈--，即b 的取值范围是3(,)22e e--22.（1）由曲线1C 的参数方程，消去参数t ，可得1C 的普通方程为：0x y m -+=．由曲线2C 的极坐标方程得22232cos 3ρρθ-=，[]0,θπ∈，∴曲线2C 的直角坐标方程为()221013x y y +=≤≤ （2）设曲线2C 上任意一点P为[],sin ),0,αααπ∈，则点P 到曲线1C的距离为d=|2cos()|m πα++=∵[]0,απ∈∴cos()[1,62πα+∈-，2cos()[6πα+∈-，当0m <时，4m =-，即4m =-；当20m ->时，24m -=，即6m =．∴4m =-6m =．- 11 - 23.（1）当2a =时，原不等式可化为|31||2|3x x -+-≥． ①当13x ≤时，原不等式可化为3123x x -++-≥，解得0x ≤，所以0x ≤； ②当123x <<时，原不等式可化为3123x x -+-≥，解得1x ≥，所以12x ≤<； ③当2x ≥时，原不等式可化为3123x x --+≥，解得32x ≥，所以2x ≥．综上所述，当2a =时，不等式的解集为{|01}x x x ≤≥或．（2）不等式()1||3x f x x -+≤可化为|31|||3x x a x -+-≤，依题意不等式|31|||3x x a x -+-≤在11[,]32恒成立，所以31||3x x a x -+-≤，即||1x a -≤，即11a x a -≤≤+，所以113112a a ⎧-≤⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩．解得1423a -≤≤，故所求实数a 的取值范围是14[,]23-．。