龙文高二导数复习

龙文教育 数学 学科导学案（第 次课）
教师: 学生: 年级: 高二 日期: 星期: 时段:
课 题 导数复习
学情分析 学生刚刚接触导数这个知识点，本次课对这部分内容进行一次详细的复习。

教学目标与 考点分析 1、理解并掌握导数的概念及其几何意义； 2、掌握基本函数的求导公式并会熟练运用； 3、灵活利用导数来解决一些具体的问题。

教学重点 导数的概念及几何意义，基本函数的求导公式的熟练运用。

教学方法
导入法、讲授法、归纳总结法
学习内容与过程
变化率与导数、导数的计算 要点梳理
1、函数)(x f y =从1x 到2x 的平均变化率
1
212)
(x x x x f --
若1212-,-y y y x x x ==△△,则平均变化率可表示为x
y
△△ 2.函数)(x f y =在0x x =处的导数 （1）定义
称函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率000
0()-(x )lim
=lim f x f →→+△x △x △x △y
△x △x 为函数)(x f y =在0x x =处的导
数，记作)(0x f '或0/x x y ='，即)(0x f '= 0lim
→△x △y △x =00()-(x )
f x f +△x △x
如果当0→∆x 时，
x
y
∆∆有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。

即f （x 0）=0
lim
→∆x x y
∆∆=0
lim →∆x x x f x x f ∆-∆+)()(00。

说明：（1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→∆x 时，x y ∆∆有极限。

如果x
y ∆∆不存在极限，就说函数在点x 0处不可导，或说无导数。

（2）x ∆是自变量x 在x 0处的改变量，0≠∆x 时，而y ∆是函数值的改变量，可以是零。

由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤： ①求函数的增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0）； ②求平均变化率
x
y ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)
()(00；
③取极限，得导数f’(x 0)=x
y
x ∆∆→∆0lim 。

（2）几何意义
函数)(x f 在点0x 处的导数)(0x f '的几何意义是在曲线)(x f y =上点 ))(,(00x f x 处的切线的斜率相应 地，切线方程为))((000x x x f y y -'=-
（3）导数的物理意义：物体作直线运动时，路程s 关于时间t 的函数为：)(t s s =)，那么瞬时速度 v 就 是路程 s 对于时间t 的导数，即)()(t s t v '=
3、函数)(x f 的导函数：称函数
000
()-(x )
(x)=lim
f x f f →+'△x △x △x 为函数)(x f 的导数，导数有时也记作y '。

4、基本初等函数的导数公式：
原函数
导函数
c x f =)( )()(*Q n x x f n ∈=
x x f sin )(= x x f cos )(= x a x f =)( x e x f =)( x
a x f log )(=
x x f ln )(=
5、导数运算法则
（1）='+])()([x g x f （2）='⋅])()([x g x f （3）='])
()
([
x g x f 6、复合函数的导数
复合函数))((x g f y =的导数和函数)(),(x g u u f y ==的导数间的关系是='y x u u y '⋅'，即y 对x 的导数等于 u y 对的导数与x u 对导数的乘积。

导数的应用： 要点梳理： 1、函数的单调性
在),(b a 内可导函数)(x f ，)(x f '在),(b a 任意子区间内都不恒等于0.
)(,0)(x f x f ≥'为 ； )(,0)(x f x f ≤'为 ；
2.函数的极值
（1）判断)(0x f 是极值的方法
一般地，当函数)(x f 在点0x 处连续时，
①如果在0x 附近的左侧 ，右侧 ，那么)(0x f 是极大值； ②如果在0x 附近的左侧 ，右侧 ，那么)(0x f 是极小值. (2)求可导函数极值的步骤 ①求)(x f ';
②求方程 的根；
③检查)(x f '在方程 的根左右值的符号. 如果左正右负，那么)(x f 在这个根处取得 ； 如果左负右正，那么)(x f 在这个根处取得 .
3、函数的最值
（1）在闭区间],[b a 上连续的函数)(x f 在［a,b ］上必有最大值与最小值.
（2）若函数)(x f 在],[b a 上单调递增，则 为函数的最小值， 为函数的最大值；若函数)(x f 在 ],[b a 上单调递减，则 为函数的最大值，为函数的最小值.
（3）设函数)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，求)(x f 在],[b a 上的最大值和最小值的步骤如下： ①求)(x f 在),(b a 内的 ；
②将)(x f 的各极值与 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。

题型一 导数的概念及几何意义 例1：已知曲线方程为2x y =,
（1）求过)4,2(A 点且与曲线相切的直线方程； （2）求过B(3,5)点且与曲线相切的直线方程.
探究提高
（1）解决此类问题一定要分清“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”的问法。

（2）解决“过某点的切线”问题，一般是设出切点坐标为),(00y x P ，然后求其切线斜率)(0x f k '=, 写出其切线方程。

而“在某点处的切线”就是指“某点”为切点。

（3）曲线与直线相切并不一定只有一个公共点，当曲线是二次曲线时，我们知道直线与曲线相切，有 且只有一个公共点，这种观点对一般曲线不一定正确。

练习：已知2
2
1gt s =
，（1）计算t 从3秒到3.1秒 、3.001秒 、 3.0001秒….各段内平均速度； （2）求3=t 秒是瞬时速度。

题型二 导数的基本运算 例2．（1）求)1
1(32x x x x y ++=的导数； （2）求)11)(
1(-+=x
x y 的导数；
（3）求2
cos 2sin x
x x y -=的导数；
练习：求下列函数的导数
（1）y=x x sin 2
； （2）y ＝x
x x x x 9532-+-
题型三 函数的单调性与导数 例3：已知函数1)(3--=ax x x f
（1）若)(x f 在实数集R 上单调递增，求实数a 的取值范围；
（2）是否存在实数a ，使)(x f )在)1,1(-上单调递减？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理 由。

题型四 函数的极值与导数
例4：设1=x 与2=x 是函数x bx x a x f ++=2ln )(的两个极值点. （1）试确定常数a 和b 的值；
（2）试判断2,1==x x 是函数)(x f 的极大值点还是极小值点，并说明理由.
练习：已知1x =是函数32()3(1)1f x mx m x nx =-+++的一个极值点，其中,,0m n R m ∈<， （I ）求m 与n 的关系表达式； （II ）求()f x 的单调区间；
（III ）当[]1,1x ∈-时,函数()y f x =的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m ,求m 的取值范围.
题型五 函数的最值与导数
例5：已知a 为实数，且函数))(4()(2a x x x f --= (1)求导函数)(x f ';
(2)若0)1(=-'f ，求函数)(x f 在]2,2[-上的最大值、最小值.
练习：已知函数()3239f x x x x a =-+++. （Ⅰ）求()f x 的单调递减区间；
（Ⅱ）若()f x 在区间[]2,2-上的最大值为20,求它在该区间上的最小值．
例6：已知函数32()f x ax bx cx =++在点0x 处取得极大值5,其导函数()y f x '=的图象经过点(1,0),(2,0),如图所示.求: （Ⅰ）0x 的值; （Ⅱ）,,a b c 的值.
课内练习与训练
设平面向量
3113
(),().
2222a b =-= ，，若存在不同时为零的两个实数t s 、及实数k ，使，且y x b t a s y b k t a x ⊥+-=-+=,,)(2
（1）求函数关系式()S f t =；
（2）若函数()S f t =在[)∞+，
1上是单调函数，求k 的取值范围。

学生对本次课的小结及评价：
1、本次课你学到了什么知识
2、你对老师下次上课的建议
⊙特别满意⊙满意⊙一般⊙差学生签字：
课后作业：（无）
课后小结：
教师签字：
审阅签字: 时间:
教务主任签字: 时间:
龙文教育教务处。