三年高考两年模拟版高考数学专题汇编第二章函数的概念与基本初等函数8理

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三年高考两年模拟高考数学专题汇编第二章函数的概念与基本初等函数5 理-人教版高三全册数学试题

第五节对数与对数函数A 组三年高考真题（2016～2014年）1.(2015·某某，5)设函数f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，则f (x )是( ) A.奇函数，且在(0,1)上是增函数B. 奇函数，且在(0,1)上是减函数 C. 偶函数，且在(0,1)上是增函数D.偶函数，且在(0,1)上是减函数2.(2015·某某，9)设f (x )＝ln x,0＜a ＜b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是( ) A.q ＝r ＜p B.q ＝r ＞p C.p ＝r ＜q D.p ＝r ＞q3.(2014·某某，4)若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是( )4.(2014·某某，4)函数f (x )＝12log (x 2－4)的单调递增区间为( )A.(0，＋∞)B.(-∞，0)C.(2，＋∞)D.(-∞，－2)5.(2014·某某，9)已知f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，x ∈(－1,1).现有下列命题： ①f (－x )＝－f (x )；②f ⎝⎛⎭⎪⎫2x 1＋x 2＝2f (x )；③|f (x )|≥2|x |.其中的所有正确命题的序号是( ) A.①②③ B.②③ C.①③ D.①②6.(2016·某某,12)已知a ＞b ＞1.若log a b ＋log b a ＝52,a b ＝b a,则a ＝______，b ＝______.7.(2015·某某,12)若a ＝log 43，则2a＋2－a＝________.8.(2015·某某，14)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x ＞2(a ＞0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值X 围是________.9.(2014·某某，12)函数f (x )＝log 2x ·log2(2x )的最小值为________.B 组两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·某某某某一中模拟)已知定义在R 上的奇函数f (x )，当x >0时，f (x )＝log 2(2x ＋1)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12等于( ) A.log 23B.log 25C.1D.－12.(2016·某某某某模拟)设函数的集合P =211{()log ()|,0,,1;1,0,1},22f x x a b a b =++=-=-平面上点的集合Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫（x ，y ）⎪⎪⎪x ＝－12，0，12，1；y ＝－1，0，1，则在同一直角坐标系中，P 中函数f (x )的图象恰好经过Q 中两个点的函数的个数是( )A.4B.6C.8D.103.(2016·某某某某模拟)已知实数a >0，且a ≠1，函数f (x )＝log a |x |在(－∞，0)上是减函数，函数g (x )＝a x＋1ax ，则下列选项正确的是( )A.g (－3)<g (2)<g (4)B.g (－3)<g (4)<g (2)C.g (4)<g (－3)<g (2)D.g (2)<g (－3)<g (4) 4.(2016·某某大学附中月考)已知函数y ＝log a (2－ax )在区间[0，1]上是关于x 的减函数，则a 的取值X 围是( ) A.(0，1)B.(1，2)C.(0，2)D.(2，＋∞)解析由题意可知a >0，故函数y ＝2－ax 必是减函数，又复合函数是减函数，所以a >1，同时在[0，1]上2－ax >0，故2－a >0，即a <2，综上可知，a ∈(1，2). 答案 B5.(2015·某某某某模拟)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（1－2a ）x ＋3a ，x <1，ln x ，x ≥1的值域为R ，那么a 的取值X围是( )A.(－∞，－1]B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，126.(2015·某某威海期末)下列四个数中最大的是( ) A.(ln 2)2B.ln(ln 2)C.ln 2D.ln 27.(2015·某某某某模拟)已知g (x )是R 上的奇函数，当x <0时，g (x )＝－ln(1－x )，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3（x ≤0），g （x ）（x >0），若f (2－x 2)>f (x )，则实数x 的取值X 围是( )A.(-∞，1)∪(2，＋∞)B.(-∞，-2)∪(1，＋∞)C.(1，2)D.(-2，1)8.(2015·某某某某二模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x（x ≤1），log 13x （x ＞1）则y ＝f (2－x )的大致图象是( )9.(2015·东城二模)设a ＝log 4π，b ＝log 14π，c ＝π4，则a ，b ，c 的大小关系是( )A.a ＞c ＞bB.b ＞c ＞aC.c ＞b ＞aD.c ＞a ＞b10.(2015·某某某某二模)定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋1)＝f (－x )，当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫1，32内是( )A.减函数且f (x )＞0B.减函数且f (x )＜0C.增函数且f (x )＞0D.增函数且f (x )＜011.(2016·某某某某一中模拟)若实数a ，b ，m 满足2a ＝5b＝m ，且2a ＋1b＝2，则m 的值为________.12.(2016·某某揭阳一模)已知函数f (x )是周期为2的奇函数，当x ∈[0，1)时，f (x )＝lg(x ＋1)，则f ⎝⎛⎭⎪⎫2 0165＋lg 18＝________.13.(2016·某某某某模拟)已知f (x )＝a sin x ＋b 3x ＋4(a ，b ∈R )，且f [lg(log 210)]＝5，则f [lg(lg 2)]＝________.14.(2015·某某模拟)已知函数f (x )＝－x ＋log 21－x1＋x .(1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫12 014＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 014的值；(2)当x ∈(－a ，a ]，其中a ∈(0，1)，a 是常数时，函数f (x )是否存在最小值？若存在，求出f (x )的最小值；若不存在，请说明理由.答案精析A 组三年高考真题（2016～2014年）1.A [易知函数定义域为(－1,1)，f (－x )＝ln(1－x )－ln(1＋x )＝－f (x )，故函数f (x )为奇函数,又f (x )＝ln 1＋x 1－x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－2x －1，由复合函数单调性判断方法知,f (x )在(0,1)上是增函数,故选A.] 2.C [∵0＜a ＜b ，∴a ＋b2＞ab ，又∵f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上为增函数，故f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＞f (ab )，即q ＞p .又r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b )＝12ln a ＋12ln b ＝ln(ab )12＝f (ab )＝p .故p ＝r ＜q .选C.]3.B [因为函数y ＝log a x 过点(3,1),所以1＝log a 3,解得a ＝3,所以y ＝3－x不可能过点(1，3),排除A ；y ＝(－x )3＝－x 3不可能过点(1，1)，排除C ；y ＝log 3(－x )不可能过点(－3，－1)，排除D.故选B.]4.D [函数y ＝f (x )的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，因为函数y ＝f (x )是由y ＝log 12t 与t ＝g (x )＝x 2－4复合而成，又y ＝log 12t 在(0，＋∞)上单调递减，g (x )在(－∞，－2)上单调递减，所以函数y ＝f (x )在(－∞，－2)上单调递增.选D.]5.A [f (－x )＝ln(1－x )－ln(1＋x )＝－f (x )，故①正确；因为f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )＝ln 1＋x 1－x ，又当x ∈(－1，1)时，2x 1＋x 2∈(－1，1)，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1＋x 2＝ln 1＋2x 1＋x 21－2x 1＋x 2＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 1－x 2＝2ln 1＋x 1－x＝2f (x )，故②正确；当x ∈[0，1)时，|f (x )|≥2|x |⇔f (x )－2x ≥0，令g (x )＝f (x )－2x ＝ln(1＋x )－ln(1－x )－2x (x ∈[0，1))，因为g ′(x )＝11＋x ＋11－x －2＝2x21－x 2>0，所以g (x )在区间[0，1)上单调递增，g (x )＝f (x )－2x ≥g (0)＝0，即f (x )≥2x ，又f (x )与y ＝2x 都为奇函数，所以|f (x )|≥2|x |成立，故③正确，故选A.]6. 4 2 [设log b a ＝t ，则t ＞1，因为t ＋1t ＝52，解得t ＝2，所以a ＝b 2①，因此a b ＝b a ⇒a2b＝ab 2②，解得b ＝2，a ＝4.联立①②结合b ＞1，解得b ＝2，a ＝4.]7.433[2a ＋2－a＝2log 43＋2－log 43＝2log23＋2log 233＝3＋33＝433.]8.(1，2] [由题意f (x )的图象如图，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，3＋log a 2≥4，∴1＜a ≤2.]9.－14 [依题意得f (x )＝12log 2x ·(2＋2log 2x )＝(log 2x )2＋log 2x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2x ＋122－14≥－14，当且仅当log 2x ＝－12，即x ＝12时等号成立，因此函数f (x )的最小值为－14.] B 组两年模拟精选(2016～2015年)1. D [依题意得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2×12＋1＝－1，故选D.]2. B [集合Q 中共有如图所示的12个点.函数f (x )＝log 2x 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，(1，0)，故a ＝0，b ＝0满足条件，将f (x )＝log 2x 的图象左、右、上、下平移，满足条件的a 、b 共有⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝1， ⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝1，6组.故选B.] 3.D [由函数y ＝log a |x |在(－∞，0)上为减函数,可得a >1,故g (－3)－g (2)＝(a －1)×a 5－1a 3>0,所以g (－3)>g (2)，又g (4)－g (－3)＝(a －1)×a 7－1a4>0，所以g (4)>g (－3)，故有g (4)>g (－3)>g (2).]4. B [由题意可知a >0，故函数y ＝2－ax 必是减函数，又复合函数是减函数，所以a >1，同时在[0，1]上2－ax >0，故2－a >0，即a <2，综上可知，a ∈(1，2).]5.C [由题意知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（1－2a ）x ＋3a ，x <1，ln x ，x ≥1.在每一段均为增函数,且满足⎩⎪⎨⎪⎧1－2a >0，1－2a ＋3a ≥0，∴－1≤a <12，故选C.]6.D [因为0<ln 2<1，所以ln(ln 2)<0，(ln 2)2<ln 2，ln 2＝12ln 2<ln 2，故选D.]7.D [∵函数g (x )是R 上的奇函数，且当x <0时，g (x )＝－ln(1－x )，∴当x >0时，g (x )＝ln(1＋x ).∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3（x ≤0），g （x ）（x >0），∴当x ≤0时，f (x )＝x 3为单调递增函数,值域(－∞，0]. 当x >0时，f (x )＝ln(x ＋1)为单调递增函数，值域(0，＋∞).∴函数f (x )在区间(－∞，＋∞)上单调递增.f (2－x 2)>f (x )，2－x 2>x ，所以－2<x <1.故选D.]8. A [∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x （x ≤1），log 13x （x ＞1），则y ＝f (2－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧32－x（x ≥1），log 13（2－x ）（x ＜1）.故函数f (2－x )是以x ＝1为界的分段函数，故选A.]9. D [∵0＜a ＝log 4π＜1，b ＝log 14π＝－log 4π＜0，c ＝π4＞1，∴c ＞a ＞b ，故选D.10. B [设x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，则x －1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.此时f (x )＝f (－x ＋1)＝－f (x －1)＝－log 2(x －1＋1)＝－log 2x ，故选B.] 11.20 [因为2a＝5b＝m ，所以a ＝log 2m ，b ＝log 5m ，又2a ＋1b ＝2，所以2log 2m ＋1log 2m ＝2，即2log m 2＋log m 5＝2，解得m ＝20.] 12. 1 [f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0165＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫65＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫45＝－lg 95＝lg 59，故f ⎝⎛⎭⎪⎫2 0165＋lg 18＝lg 59＋lg 18＝lg 10＝1.]13. 3 [lg(log 210)＝－lg(lg 2)，f (－x )＝a sin(－x )＋b 3－x ＋4，f (－x )＝－(a sin x ＋b 3x )＋4.∴f (－x )＋f (x )＝8，又f [lg(log 210)]＝5，∴f [lg(lg 2)]＝8－5＝3.]14.解 (1)由f (x )＋f (－x )＝log 21－x 1＋x ＋log 21＋x 1－x ＝log 21＝0.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 014＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 014＝0.(2)f (x )的定义域为(－1，1)，∵f (x )＝－x ＋log 2⎝⎛⎭⎪⎫－1＋2x ＋1，当x 1<x 2且x 1，x 2∈(－1，1)时，f (x )为减函数，∴当a ∈(0，1)，x ∈(－a ，a ]时f (x )单调递减，∴当x ＝a 时，f (x )min ＝－a ＋log 21－a1＋a.]。

【配套K12]三年高考两年模拟2017版高考数学专题汇编第二章函数的概念与基本初等函数7 理

第七节函数与方程A 组三年高考真题（2016～2014年）1.(2015·山东，10)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x ＜1，2x，x ≥1，则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1B.[0,1]C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D.[1, ＋∞)2.(2015·天津，8)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|x |，x ≤2，x －2，x ＞2，函数g (x )＝b －f (2－x )，其中b∈R ，若函数y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点，则b 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫74，＋∞ B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，74 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，74 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫74，2 3.(2014·湖南，10)已知函数f (x )＝x 2＋e x －12(x <0)与g (x )＝x 2＋ln(x ＋a )的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，1e B.()－∞，e C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e ，e D.⎝⎛⎭⎪⎫－e ，1e4.(2016·山东，15)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ，其中m >0，若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________.5.(2015·湖南，15)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤a ，x 2，x ＞a ，若存在实数b ，使函数g (x )＝f (x )－b有两个零点，则a 的取值范围是________.6.(2015·安徽，15)设x 3＋ax ＋b ＝0，其中a ，b 均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是________(写出所有正确条件的编号).①a ＝－3，b ＝－3；②a ＝－3，b ＝2；③a ＝－3，b >2；④a ＝0，b ＝2；⑤a ＝1，b ＝2.7.(2015·江苏，13)已知函数f (x )＝|ln x |，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，0＜x ≤1，|x 2－4|－2，x ＞1，则方程|f (x )＋g (x )|＝1实根的个数为________.8.(2015·北京，14)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－a ，x ＜1，x －a x －2a ，x ≥1.(1)若a ＝1，则f (x )的最小值为________；(2)若f (x )恰有2个零点，则实数a 的取值范围是________.B 组两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·湖北荆门模拟)对于函数f (x )＝x 2＋mx ＋n ，若f (a )>0，f (b )>0，则函数f (x )在区间(a ，b )内( )A.一定有零点B.一定没有零点C.可能有两个零点D.至多有一个零点2.(2016·陕西西安模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≤1，1＋log 2x ，x >1，则函数f (x )的零点为( )A.12，0B.－2，0C.12D.03.(2016·黑龙江佳木斯模拟)已知符号函数sgn(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0.则函数f (x )＝sgn(ln x )－ln x 的零点个数为( )A.1B.2C.3D.44.(2015·湖南衡阳模拟)设方程2x＋x ＋2＝0和方程log 2x ＋x ＋2＝0的根分别为p 和q ，设函数f (x )＝(x ＋p )(x ＋q )＋2，则( ) A.f (2)＝f (0)<f (3) B.f (0)<f (2)<f (3) C.f (3)<f (2)＝f (0)D.f (0)<f (3)<f (2)5.(2015·青岛市模拟)函数f (x )＝ln(x ＋1)－2x的零点所在的大致区间是( )A.(0，1)B.(1，2)C.(2，e)D.(3，4)6.(2015·济宁高三期末)设x 1，x 2是方程ln|x －2|＝m (m 为实常数)的两根，则x 1＋x 2的值为( ) A.4B.2C.－4D.与m 有关7. (2015·南昌二模)已知函数y ＝f (x )是周期为2的周期函数，且当x ∈[－1，1]时，f (x )＝2|x |－1，则函数F (x )＝f (x )－|lg x |的零点个数是( ) A.9B.10C.11D.188.(2016·广西南宁模拟)已知函数f (x )＝a x＋x －b 的零点x 0∈(n ，n ＋1)(n ∈Z )其中常数a ，b 满足2a ＝3，3b ＝2，则n ＝________.9.(2016·天津南开中学模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x >0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________.10.(2016·江西十校二联)给定方程⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋sin x －1＝0，下列命题中：①方程没有小于0的实数解； ②方程有无数个实数解；③方程在(－∞，0)内有且只有一个实数解；④若x 0是方程的实数解，则x 0>－1. 正确命题是________.11.(2015·长春模拟)设函数f (x )＝x ＋1x的图象为C 1，C 1关于点A (2，1)对称的图象为C 2，C 2对应的函数为g (x ). (1)求g (x )的解析式；(2)若直线y ＝m 与C 2只有一个交点，求m 的值和交点坐标.12.(2015·青岛模拟)已知函数f (x )＝|x 2－4x ＋3|.若关于x 的方程f (x )－a ＝x 至少有三个不相等的实数根，求实数a 的取值范围.答案精析A 组三年高考真题（2016～2014年）1.C [当a ＝2时，f (a )＝f (2)＝22＝4＞1，f (f (a ))＝2f (a )，∴a ＝2满足题意，排除A ，B 选项；当a ＝23时，f (a )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝3×23－1＝1，f (f (a ))＝2f (a )，∴a ＝23满足题意，排除D 选项，故答案为C.]2.D [记h (x )＝－f (2－x )在同一坐标系中作出f (x )与h (x )的图象如图，直线AB ：y ＝x －4，当直线l ∥AB 且与f (x )的图象相切时，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ′，y ＝（x －2）2，解得b ′＝－94，－94－(－4)＝74，所以曲线h (x )向上平移74个单位后，所得图象与f (x )的图象有四个公共点，平移2个单位后，两图象有无数个公共点，因此，当74＜b ＜2时，f (x )与g (x )的图象有四个不同的交点，即y＝f (x )－g (x )恰有4个零点.选D.]3.B [由题意可得，当x >0时，y ＝f (－x )与y ＝g (x )的图象有交点，即g (x )＝f (－x )有正解，即x 2＋ln(x ＋a )＝(－x )2＋e －x －12有正解，即e －x－ln(x ＋a )－12＝0有正解，令F (x )＝e －x －ln(x ＋a )－12，则F ′(x )＝－e －x －1x ＋a <0，故函数F (x )＝e －x－ln(x ＋a )－12在(0，＋∞)上是单调递减的，要使方程g (x )＝f (－x )有正解，则存在正数x 使得F (x )≥0，即e －x－ln(x ＋a )－12≥0，所以a ≤1e 2ex x ---，又y ＝1e 2e x x ---在(0，＋∞)上单调递减，所以a <1e 02e 0---＝12e ，选B.]4.(3，＋∞) [如图,当x ≤m 时，f (x )＝|x |;当x >m 时，f (x )＝x 2－2mx ＋4m ，在(m ，＋∞)为增函数，若存在实数b ,使方程f (x )＝b 有三个不同的根,则m 2－2m ·m ＋4m <|m |. ∵m >0，∴m 2－3m >0，解得m >3.5.(－∞，0)∪(1，＋∞) [若0≤a ≤1时，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3（x ≤a ），x 2 （x ＞a ）在R 上递增，若a ＞1或a ＜0时，由图象知y ＝f (x )－b 存在b 使之有两个零点，故a ∈(－∞，0)∪(1，＋∞).] 6.①③④⑤ [令f (x )＝x 3＋ax ＋b ，f ′(x )＝3x 2＋a ，当a ≥0时，f ′(x )≥0，f (x )单调递增，必有一个实根，④⑤正确；当a <0时，由于选项当中a ＝－3，∴只考虑a ＝－3这一种情况，f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，∴f (x )极大＝f (－1)＝－1＋3＋b ＝b ＋2，f (x )极小＝f (1)＝1－3＋b ＝b －2，要有一根，f (x )极大<0或f (x )极小>0，∴b <－2或b >2，①③正确，所有正确条件为①③④⑤.]7.4 [令h (x )＝f (x )＋g (x )，则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－ln x ，0＜x ≤1，－x 2＋ln x ＋2，1＜x ＜2，x 2＋ln x －6，x ≥2，当1＜x ＜2时，h ′(x )＝－2x ＋1x ＝1－2x2x＜0，故当1＜x ＜2时h (x )单调递减，在同一坐标系中画出y ＝|h (x )|和y ＝1的图象如图所示.由图象可知|f (x )＋g (x )|＝1的实根个数为4.]8.(1)－1 (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪[2，＋∞) [(1)当a ＝1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x <1，4（x －1）（x －2），x ≥1.当x <1时，2x－1>－1.当x ≥1时，且当x ＝32时，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－1，∴f (x )最小值为－1. (2)1°当a ≤0时，2x－a >0，由4(x －a )(x －2a )＝0得x ＝a 或x ＝2a .a ∉[1，＋∞)， 2a ∉[1，＋∞)， ∴此时f (x )无零点.2°当0<a <1时，若有2个零点，只须⎩⎪⎨⎪⎧a <1，2a ≥1，∴12≤a <1.3°当1≤a <2时，x ＜1，2x＝a ，x ＝log 2a ∈[0，1)，x ≥1时，由f (x )＝0，得x ＝a 或2a ，a ∈[1，＋∞).2a ∈[1，＋∞)，有3个零点，不合题意. 4°当a ≥2时，x <1，则2x－a <0，x ≥1时，由f (x )＝0，得x ＝a 或2a ，a ，2a ∈[1，＋∞)，此时恰有2个零点，综上12≤a ＜1或a ≥2.]B 组两年模拟精选(2016～2015年)1.C [利用排除法，f (a )·f (b )<0是函数f (x )在区间(a ，b )内有零点的充分不必要条件，故选C.]2.D [当x ≤1时,由f (x )＝2x－1＝0,得x ＝0;当x >1时,由f (x )＝1＋log 2x ＝0,解得x ＝12,又因为x >1，所以此时方程无解，函数f (x )的零点只有0.故选D.] 3.C [依题意得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－ln x ，x >1，0，x ＝1，－1－ln x ，0<x <1，令f (x )＝0得x ＝e,1,1e,所以函数有3个零点，故选C.4. A [∵方程2x ＋x ＋2＝0和方程log 2 x ＋x ＋2＝0的根分别为函数y ＝2x，y ＝log 2 x 与直线y ＝－x －2的交点横坐标，而函数y ＝2x，y ＝log 2 x 互为反函数，其图象关于y ＝x 对称，又直线y ＝－x －2与直线y ＝x 垂直，且两直线的交点坐标为(－1，－1)，∴p ＋q ＝－2，则f (x )＝x 2＋(p ＋q )x ＋pq ＋2＝x 2－2x ＋pq ＋2，∵该二次函数的对称轴为x ＝1，∴f (2)＝f (0)<f (3).故选A.]5.B [利用零点存在性定理得到f (1)·f (2)＝(ln 2－2)·(ln 3－1)<0，故选B.]6.A [方程ln|x －2|＝m 的根即函数y ＝ln|x －2|的图象与直线y ＝m 的交点的横坐标，因为函数y ＝ln|x －2|的图象关于x ＝2对称，且在x ＝2两侧单调，值域为R ，所以对任意的实数m ，函数y ＝ln|x －2|的图象与直线y ＝m 必有两交点，且两交点关于直线x ＝2对称，故x 1＋x 2＝4，选A.]7.B [在坐标平面内画出y ＝f (x )与y ＝|lg x |的大致图象(如图)，由图象可知，它们共有10个不同的交点，因此函数F (x )＝f (x )－|lg x |的零点个数是10，故选B.]8.－1 [a ＝log 23>1，b ＝log 32<1，令f (x )＝0，得a x＝－x ＋b ，在同一坐标系中画出函数y ＝a x和y ＝－x ＋b 的图象，如图所示；由图可知，两函数的图象在区间(－1，0)内有交点，所以函数f (x )在区间(－1，0)内有零点，所以n ＝－1.]9.(0，1) [f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，－x 2－2x ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x >0，－（x ＋1）2＋1，x ≤0，图象如图：由g (x )＝f (x )－m 有3个零点，知f (x )＝m 有三个根，则实数m 的范围是(0，1).]10.②③④ [在同一坐标系中画出函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－1与y ＝－sin x (该函数的值域是[－1，1])的大致图象，结合图象可知，它们的交点中，横坐标为负的交点，有且只有一个，因此方程⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋sin x －1＝0在(－∞ ，0)内有且只有一个实数解，故③正确，①不正确，由图象易知②，④均正确.]11.解(1)设点P (x ，y )是C 2上的任意一点，则P (x ，y )关于点A (2，1)对称的点为P ′(4－x ，2－y )，代入f (x )＝x ＋1x ，可得2－y ＝4－x ＋14－x ，即y ＝x －2＋1x －4，∴g (x )＝x －2＋1x －4.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝m ，y ＝x －2＋1x －4，消去y 得x 2－(m ＋6)x ＋4m ＋9＝0，Δ＝[－(m ＋6)]2－4(4m ＋9)， ∵直线y ＝m 与C 2只有一个交点， ∴Δ＝0，解得m ＝0或m ＝4.当m ＝0时，经检验合理，交点为(3，0)；当m ＝4时，经检验合理，交点为(5，4).12.解 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（x －2）2－1，x ∈（－∞，1]∪[3，＋∞），－（x －2）2＋1，x ∈（1，3），作出图象如图所示.原方程变形为|x 2－4x ＋3|＝x ＋a .于是，设y ＝x ＋a ，在同一坐标系下再作出y ＝x ＋a 的图象.如图.则当直线y ＝x ＋a 过点(1，0)时a ＝－1；当直线y ＝x ＋a 与抛物线y ＝－x 2＋4x －3相切时，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋a ，y ＝－x 2＋4x －3⇒x 2－3x ＋a ＋3＝0.由Δ＝9－4(3＋a )＝0，得a ＝－34.由图象知当a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－34时方程至少有三个不等实根.。

三年高考两年模拟高考数学专题汇编第二章函数的概念与基本初等函数3理

第三节二次函数与幂函数A 组三年高考真题（2016～2014年）1.(2016·全国Ⅲ，6)已知a ＝243，b ＝323，c ＝2513，则( ) A.b ＜a ＜cB.a ＜b ＜cC.b ＜c ＜aD.c ＜a ＜b2.(2015·四川，9)如果函数f (x )＝12(m －2)x 2＋(n －8)x ＋1(m ≥0，n ≥0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上单调递减，那么mn 的最大值为( )A ．16B ．18C ．25 D.8123.(2014·浙江，7)在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a(x >0)，g (x )＝log a x 的图象可能是( )4．(2014·辽宁，16)对于c >0，当非零实数a ，b 满足4a 2－2ab ＋4b 2－c ＝0且使|2a ＋b |最大时，3a －4b ＋5c的最小值为________．B 组两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·山东滨州模拟)定义在R 上的函数f (x )，当x ∈(－1，1]时，f (x )＝x 2－x ，且对任意的x 满足f (x －2)＝af (x )(常数a >0)，则函数f (x )在区间(5，7]上的最小值是( ) A.－14a 3B.14a 3 C.14a3 D.－14a32.(2016·广东汕头一中月考)若a <0，则下列不等式成立的是( )A.2a >⎝ ⎛⎭⎪⎫12a >(0.2)aB.(0.2)a >⎝ ⎛⎭⎪⎫12a >2aC.⎝ ⎛⎭⎪⎫12a >(0.2)a >2aD.2a >(0.2)a >⎝ ⎛⎭⎪⎫12a3.(2016·浙江金华模拟)已知函数f (x )＝x 2－2x ＋4在区间[0，m ](m >0)上的最大值为4，最小值为3，则实数m 的取值范围是( ) A.[1，2]B.(0，1]C.(0，2]D.[1，＋∞)4.(2015·广东湛江模拟)已知幂函数f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫18，24，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)(x 1<x 2)是函数图象上的任意不同两点，给出以下结论： ①x 1f (x 1)>x 2f (x 2)；②x 1f (x 2)<x 2f (x 1)；③f （x 1）x 1>f （x 2）x 2；④f （x 1）x 1<f （x 2）x 2. 其中正确结论的序号是( )A.①②B.①③C.②④D.②③5.(2015·安徽淮南模拟)设函数y ＝x 13与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象的交点为(x 0，y 0),则x 0所在的区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，13 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14 6.(2016·山西太原联考)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2和3，则不等式a ·f (－2x )>0的解集是________.7.(2016·湖北天门模拟)已知幂函数y ＝xm 2－2m －3(m ∈N *)的图象与x 轴，y 轴无交点，且关于原点对称，则m 的值为________.8.(2016·河南百校联盟监测)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的图象与x 轴的交点为(1，0)和(3，0)，则函数f (x )的解析式为________.9.(2016·广西柳州一中模拟)若方程x 2＋ax ＋2b ＝0的一个根在(0，1)内，另一个根在(1，2)内，则b －2a －1的取值范围是________. 10.(2015·杭州七校模拟)已知函数f (x )＝x 2＋(x －1)·|x －a |. (1)若a ＝－1，解方程f (x )＝1；(2)若函数f (x ) 在R 上单调递增，求实数a 的取值范围；(3)若a <1且不等式f (x )≥2x －3对一切实数x ∈R 恒成立，求a 的取值范围.答案精析A 组三年高考真题（2016～2014年）1.A [a ＝243＝316，b ＝323＝39，c ＝2513＝325，所以b ＜a ＜c .]2.B [令f ′(x )＝(m －2)x ＋n －8＝0，∴x ＝－n －8m －2，当m ＞2时，对称轴x 0＝－n －8m －2，由题意，－n －8m －2≥2，∴2m ＋n ≤12， ∵2mn ≤2m ＋n2≤6，∴mn ≤18，由2m ＋n ＝12且2m ＝n 知m ＝3，n ＝6，当m ＜2时，抛物线开口向下，由题意－n －8m －2≤12，即2n ＋m ≤18， ∵2mn ≤2n ＋m 2≤9，∴mn ≤812，由2n ＋m ＝18且2n ＝m ，得m ＝9(舍去)，∴mn 最大值为18，选B.]3.D [当a >1时，函数f (x )＝x a(x >0)单调递增，函数g (x )＝log a x 单调递增，且过点(1，0)，由幂函数的图象性质可知C 错；当0<a <1时，函数f (x )＝x a(x >0)单调递增，函数g (x )＝log a x 单调递减，且过点(1，0)，排除A ，因此选D.]4.－2 [设2a ＋b ＝t ，则2a ＝t －b ，因为4a 2－2ab ＋4b 2－c ＝0，所以将2a ＝t －b 代入整理可得6b 2－3tb ＋t 2－c ＝0①，由Δ≥0解得－85c ≤t ≤85c ，当|2a ＋b |取最大值时t ＝85c ，代入①式得b ＝c 10，再由2a ＝t －b 得a ＝32c10，所以3a －4b ＋5c＝210c －410c＋5c ＝5c －210c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫5c －22－2≥－2，当且仅当c ＝52时等号成立.] B 组两年模拟精选(2016～2015年)1.D [解析 f (x －2)＝af (x )⇒f (x －4)＝af (x －2)＝a 2f (x )⇒f (x －6)＝af (x －4)＝a 3f (x )，x ∈(5，7]⇒x －6∈(－1，1]，则f (x )＝1a 3f (x －6)＝1a 3[(x －6)2－(x －6)]＝1a 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤（x －6）－122－14a 3，当x －6＝12时，f (x )有最小值为－14a3.] 2. B [若a <0，则幂函数y ＝x a在(0，＋∞)上是减函数，所以(0.2)a>⎝ ⎛⎭⎪⎫12a>0.所以(0.2)a>⎝ ⎛⎭⎪⎫12a>2a . 3. A [f (0)＝4；f (1)＝3，结合二次函数图象可得1≤m ≤2.故选A.]4. D [设幂函数为y ＝x n，则有⎝ ⎛⎭⎪⎫18n ＝2－3n ＝24＝2－32，得n ＝12，则幂函数为y ＝x ，由其图象知图象上的点与原点连线的直线的斜率随x 增大而减小，即f （x 2）x 2<f （x 1）x 1，x 1f (x 2)<x 2f (x 1)，所以②③正确，选D.]5. B [构造函数f (x )＝x 13－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，从而转化为函数的零点的问题，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12· f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<0，所以在⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12存在零点，故选B.]6. ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－32<x <1 [依题意得方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根是－2和3,所以⎩⎪⎨⎪⎧－2＋3＝－a ，－2×3＝b ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－6.所以f (x )＝x 2－x －6，不等式a ·f (－2x )>0，即为－(4x 2＋2x －6)>0.所以2x 2＋x －3<0，解得－32<x <1.所求解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－32<x <1.7. 2 [由题意m 2－2m －3<0，解得－1<m <3，∵m ∈N *，∴m ＝1，2，幂函数图象关于原点对称，则函数为奇函数，当m ＝1时，y ＝x －4为偶函数；当m ＝2时，y ＝x －3满足条件，即m ＝2.]8. f (x )＝x 2－4x ＋3 [x 2＋ax ＋b ＝0的两根为1,3,函数f (x )解析式为f (x )＝(x －1)(x －3)＝x 2－4x ＋3.]9.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1 [令f (x )＝x 2＋ax ＋2b .由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＞0，f （1）＜0，f （2）＞0.即⎩⎪⎨⎪⎧b ＞0，a ＋2b ＜－1，a ＋b ＞－2.根据条件作出可行域如图，b －2a －1表示可行域内点与点(1，2)的连线的斜率，可知14＜b －2a －1＜1. ] 10. 解 (1)当a ＝－1时，有f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－1，x ≥－1，1，x <－1.当x ≥－1时，2x 2－1＝1，解得：x ＝1或x ＝－1，当x <－1时，f (x )＝1恒成立.∴方程的解集为：{x |x ≤－1或x ＝1}.(2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－（a ＋1）x ＋a ，x ≥a ，（a ＋1）x －a ，x <a .若f (x )在R 上单调递增，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋14≤a a ＋1>0，解得：a ≥13，即实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞.(3)设g (x )＝f (x )－(2x －3)，则g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－（a ＋3）x ＋a ＋3，x ≥a ，（a －1）x －a ＋3，x <a .即不等式g (x )≥0对一切实数x ∈R 恒成立.∵a <1，∴当x <a 时，g (x )单调递减，其值域为：(a 2－2a ＋3，＋∞). ∵a 2－2a ＋3＝(a －1)2＋2≥2，∴g (x )≥0恒成立.当x ≥a 时，∵a <1，∴a <a ＋34，∴g (x )min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋34＝a ＋3－（a ＋3）28≥0，得－3≤a ≤5.∵a <1，∴－3≤a <1，综上：a 的取值范围是[－3，1).。

2017版《三年高考两年模拟》数学(文科)汇编专题：2.1函数的概念

第一节函数的概念A 组三年高考真题（2016～2014年）1.(2015·湖北，7)设x ∈R ，定义符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，则( )A ．|x |＝x |sgn x |B ．|x |＝x sgn |x |C ．|x |＝|x |sgn xD ．|x |＝x sgn x2.(2015·重庆，3)函数f (x )＝log 2(x 2＋2x －3)的定义域为( ) A ．[－3,1]B ．(－3,1)C ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)3.(2015·湖北，6)函数f (x )＝4－|x |＋lg x 2－5x ＋6x －3的定义域为( )A ．(2,3)B ．(2,4]C ．(2,3)∪(3,4]D ．(－1,3)∪(3,6]4.(2015·新课标全国Ⅰ，10)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2x ＋1，x >1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝( )A ．－74B ．－54C ．－34D ．－145.(2015·山东，10)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －b ，x ＜1，2x ，x ≥1.若f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫56＝4，则b ＝( ) A ．1 B.78C.34D.126.(2015·陕西，4)设f (x )＝⎩⎨⎧1－x ，x ≥0，2x ，x ＜0，则f (f (－2))＝( )A ．－1 B.14C.12D.327.(2014·山东，3)函数f (x )＝1log 2x －1的定义域为( )A ．(0,2)B ．(0,2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)8.(2014·江西，4)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ·2x ，x ≥02－x ，x ＜0(a ∈R )，若f [f (－1)]＝1，则a ＝( )A.14B.12C ．1D ．2 9.(2015·新课标全国Ⅱ，13)已知函数f (x )＝ax 3－2x 的图象过点(－1,4)，则a ＝________.B 组两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·安徽安庆三模)函数f (x )＝1ln （2x ＋1）的定义域是( )A.⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ B.⎝⎛⎭⎫－12，0∪(0，＋∞) C.⎣⎡⎭⎫－12，＋∞ D.[0，＋∞)2.(2016·河南六市一联)函数y ＝x 2－2x －3＋log 3(x ＋2)的定义域为( ) A.(－∞，－1)∪(3，＋∞) B.(－∞，－1)∪[3，＋∞) C.(－2，－1]D.(－2，－1]∪[3，＋∞) 3.(2016·衡水中学调研)下列函数中，与函数y ＝13x的定义域相同的是( )A.y ＝1sin xB.y ＝ln xxC.y ＝cos x xD.y ＝x 3e x4.(2016·广东茂名第二次模拟)设函数f (x )＝{3-11+log (2-)131x x x x ⎧<⎪⎨≥⎪⎩，，，，则f (-7)+ f (log 312)= ( ) A.7 B.9 C.11D.135.(2015·湖南益阳模拟)函数f (x )＝log 2(3x ＋1)的值域为( ) A.(0，＋∞) B.[0，＋∞) C.(1，＋∞)D.[1，＋∞)6.(2015·眉山市一诊)若f (x )＝4log 2x ＋2，则f (2)＋f (4)＋f (8)＝( ) A.12 B.24 C.30D.487.(2016·长春质量监测)函数f (x )＝1－ln xln x的定义域为________. 8.(2015·绵阳市一诊)已知函数f (x )＝3x －22x －1，则f ⎝⎛⎭⎫111＋f ⎝⎛⎭⎫211＋f ⎝⎛⎭⎫311＋…＋f ⎝⎛⎭⎫1011＝________.答案精析A 组三年高考真题（2016～2014年）(2016年高考题6月底更新)1.解析对于选项A ，右边＝x |sgn x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≠0，0，x ＝0，而左边＝|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，显然不正确；对于选项B ，右边＝x sgn|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≠0，0，x ＝0，而左边＝|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，显然不正确；对于选项C ，右边＝|x |sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x >00，x ＝0x ，x <0，而左边＝|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，显然不正确；对于选项D ，右边＝x sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x >0，0，x ＝0，－x ，x <0，而左边＝|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，显然正确.故应选D.答案 D2.解析需满足x 2＋2x －3＞0，解得x ＞1或x ＜－3，所以f (x )的定义域为(－∞，－3)∪ (1，＋∞)．答案 D3.解析依题意，有4－|x |≥0，解得－4≤x ≤4；① 且x 2－5x ＋6x －3>0，解得x >2且x ≠3，②由①②求交集得函数的定义域为(2，3)∪(3，4]．故选C. 答案 C4.解析若a ≤1，f (a )＝2a －1－2＝－3，2a －1＝－1(无解)；若a >1，f (a )＝－log 2(a ＋1)＝－3，a ＝7， f (6－a )＝f (－1)＝2－2－2＝14－2＝－74.答案 A5.解析由题意，得f ⎝⎛⎭⎫56＝3×56－b ＝52－b . 若52－b ≥1，即b ≤32时，522=4b -，解得b ＝12. 若52－b ＜1，即b ＞32时，3×⎝⎛⎭⎫52－b －b ＝4，解得b ＝78(舍去)．所以b ＝12.答案 D6.解析∵f (－2)＝2－2＝14＞0，则f (f (－2))＝f ⎝⎛⎭⎫14＝1－14＝1－12＝12，故选C. 答案 C7.解析由题意可知x 满足log 2x －1＞0，即log 2x ＞log 22，根据对数函数的性质得x ＞2，即函数f (x )的定义域是(2，＋∞)．答案 C8.解析因为－1＜0，所以f (－1)＝(1)2－－＝2，又2＞0，所以f [f (－1)]＝f (2)＝a ·22＝1，解得a ＝14.答案 A9.解析由函数f (x )＝ax 3－2x 过点(－1，4)，得4＝a (－1)3－2×(－1)，解得a ＝－2. 答案－2B 组两年模拟精选(2016～2015年)1.解析由ln(2x ＋1)≠0且2x ＋1>0得x >－12且x ≠0.答案 B2.解析要使函数有意义需满足2-2-30+20x x x ⎧≥⎨>⎩，，即3-1-2x x x ≥≤⎧⎨>⎩或，，所以其定义域为(－2，－1]∪[3，＋∞)，故选D. 答案 D3.解析易知函数y ＝13x 的定义域为{x |x ≠0}，而函数y ＝1sin x 的定义域为{x |x ≠k π，k ∈Z }，函数y ＝ln x x 的定义域为{x |x >0}，函数y ＝cos xx 的定义域为{x |x ≠0}，函数y ＝x 3e x 的定义域为实数集R ，所以与函数y ＝13x 的定义域相同的函数是y ＝cos xx ，故选C.答案 C4.解析 f (－7)＝1＋log 39＝3，f (log 312)＝f (1＋log 34)＝3log 34＝4. 所以f (－7)＋f (log 312)＝3＋4＝7. 答案 A5.解析 ∵3x ＋1＞1，且y ＝log 2x 在(0，＋∞)上为增函数， ∴f (x )＞0，∴f (x )的值域为(0，＋∞).故选A. 答案 A6.解析 ∵f (2)＝4log 22＋2＝4×1＋2＝6，f (4)＝4log 24＋2＝4×2＋2＝10， f (8)＝4log 28＋2＝4×3＋2＝14， ∴f (2)＋f (4)＋f (8)＝6＋10＋14＝30. 答案 C7.解析由函数f (x )的解析式可得1-ln 0ln 00x x x ≥⎧⎪≠⎨⎪>⎩，，，即ln 1ln 00x x x ≤⎧⎪≠⎨⎪>⎩，，，解得0x e <≤且 1.x ≠所以函数f (x )的定义域为(0，1)∪(1，e]. 答案 (0，1)∪(1，e]8.解析因为f (x )＝3x －22x －1，所以f (1－x )＝3（1－x ）－22（1－x ）－1＝3x －12x －1，所以f (x )＋f (1－x )＝3，所以所求＝3×102＝15.答案 15。

专题02 函数的概念与基本初等函数-三年(2022–2024)高考数学真题分类汇编(通用)(原卷版)

专题02函数的概念与基本初等函数I 考点三年考情（2022-2024）命题趋势考点1：已知奇偶性求参数2023年全国Ⅱ卷2023年全国乙卷（理）2024年上海卷2022年全国乙卷（文）2023年全国甲卷（理）从近三年高考命题来看，本节是高考的一个重点，函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性是高考的必考内容，重点关注周期性、对称性、奇偶性结合在一起，与函数图像、函数零点和不等式相结合进行考查．考点2：函数图像的识别2022年天津卷2023年天津卷2024年全国甲卷（理）2024年全国Ⅰ卷2022年全国乙卷（文）2022年全国甲卷（理）考点3：函数模型及应用2022年北京卷2024年北京卷2023年全国Ⅰ卷考点4：基本初等函数的性质：单调性、奇偶性2023年全国乙卷（理）2022年北京卷2023年北京卷2024年全国Ⅰ卷2024年天津卷2023年全国Ⅰ卷考点5：分段函数问题2022年浙江卷2024年上海夏季考点6：函数的定义域、值域、最值问题2022年北京卷2022年北京卷考点7：函数性质（对称性、周期性、奇偶性）的综合运用2023年全国Ⅰ卷2022年全国I卷2024年全国Ⅰ卷2022年全国II卷考点8：指对幂运算2022年天津卷2022年浙江卷2024年全国甲卷（理）2023年北京卷考点1：已知奇偶性求参数1．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）若()()21ln 21x f x x a x -=++为偶函数，则=a （）．A ．1-B ．0C ．12D ．12．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知e ()e 1xax x f x =-是偶函数，则=a （）A ．2-B ．1-C ．1D ．23．（2024年上海夏季高考数学真题）已知()3f x x a =+，x ∈R ，且()f x 是奇函数，则=a ．4．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）若()1ln 1f x a b x++-=是奇函数，则=a ，b =．5．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）若()()2π1sin 2f x x ax x ⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭为偶函数，则=a ．考点2：函数图像的识别6．（2022年新高考天津数学高考真题）函数()21x f x x-=的图像为（）A ．B ．C ．D ．7．（2023年天津高考数学真题）已知函数()f x 的部分图象如下图所示，则()f x 的解析式可能为（）A ．25e 5e 2x xx --+B ．25sin 1x x +C ．25e 5e 2x xx -++D ．25cos 1x x +8．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）函数()()2e e sin x xf x x x -=-+-在区间[2.8,2.8]-的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．9．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）当[0,2]x πÎ时，曲线sin y x =与2sin 36y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的交点个数为（）A ．3B ．4C ．6D ．810．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间[3,3]-的大致图像，则该函数是（）A ．3231x xy x -+=+B ．321x xy x -=+C ．22cos 1x x y x =+D ．22sin 1x y x =+11．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）函数()33cos x xy x -=-在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．考点3：函数的实际应用12．（2022年新高考北京数学高考真题）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T 和lg P 的关系，其中T 表示温度，单位是K ；P 表示压强，单位是bar ．下列结论中正确的是（）A ．当220T =，1026P =时，二氧化碳处于液态B ．当270T =，128P =时，二氧化碳处于气态C ．当300T =，9987P =时，二氧化碳处于超临界状态D ．当360T =，729P =时，二氧化碳处于超临界状态13．（2024年北京高考数学真题）生物丰富度指数1ln S d N-=是河流水质的一个评价指标，其中,S N 分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d 越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数S 没有变化，生物个体总数由1N 变为2N ，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则（）A ．2132N N =B ．2123N N =C ．2321N N =D ．3221N N =14．（多选题）（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级020lg p pL p =⨯，其中常数()000p p >是听觉下限阈值，p 是实际声压．下表为不同声源的声压级：声源与声源的距离/m声压级/dB 燃油汽车1060~90混合动力汽车105060电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m 处测得实际声压分别为123,,p p p ，则（）．A ．12p p ≥B ．2310p p >C ．30100p p =D ．12100p p ≤考点4：基本初等函数的性质：单调性、奇偶性15．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）设()0,1a ∈，若函数()()1xx f x a a =++在()0,∞+上单调递增，则a 的取值范围是.16．（2022年新高考北京数学高考真题）已知函数1()12xf x =+，则对任意实数x ，有（）A ．()()0f x f x -+=B ．()()0f x f x --=C ．()()1f x f x -+=D ．1()()3f x f x --=17．（2023年北京高考数学真题）下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递增的是（）A ．()ln f x x =-B ．1()2xf x =C ．1()f x x=-D ．|1|()3x f x -=18．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知函数22,0()e ln(1),0x x ax a x f x x x ⎧---<=⎨++≥⎩在R 上单调递增，则a 的取值范围是（）A ．(,0]-∞B ．[1,0]-C ．[1,1]-D ．[0,)+∞19．（2024年天津高考数学真题）下列函数是偶函数的是（）A ．22e 1x x y x -=+B ．22cos 1x x y x +=+C ．e 1x xy x -=+D ．||sin 4e x x x y +=20．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设函数()()2x x a f x -=在区间()0,1上单调递减，则a 的取值范围是（）A ．(],2-∞-B ．[)2,0-C ．(]0,2D ．[)2,+∞考点5：分段函数问题21．（2022年新高考浙江数学高考真题）已知函数()22,1,11,1,x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨+->⎪⎩则12f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；若当[,]x a b ∈时，1()3f x ≤≤，则b a -的最大值是．22．（2024年上海夏季高考数学真题）已知(),0,1,0x x f x x >=≤⎪⎩则()3f =．考点6：函数的定义域、值域、最值问题23．（2022年新高考北京数学高考真题）函数1()1f x x x=-的定义域是．24．（2022年新高考北京数学高考真题）设函数()()21,,2,.ax x a f x x x a -+<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩若()f x 存在最小值，则a 的一个取值为；a 的最大值为．考点7：函数性质（对称性、周期性、奇偶性）的综合运用25．（多选题）（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知函数()f x 的定义域为R ，()()()22f xy y f x x f y =+，则（）．A ．()00f =B ．()10f =C ．()f x 是偶函数D ．0x =为()f x 的极小值点26．（多选题）（2022年新高考全国I 卷数学真题）已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，记()()g x f x '=，若322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2)g x +均为偶函数，则（）A ．(0)0f =B ．102g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．(1)(4)f f -=D ．(1)(2)g g -=27．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知函数()f x 的定义域为R ，()(1)(2)f x f x f x >-+-，且当3x <时()f x x =，则下列结论中一定正确的是（）A ．(10)100f >B ．(20)1000f >C ．(10)1000f <D ．(20)10000f <28．（2022年新高考全国II 卷数学真题）已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()(),(1)1f x y f x y f x f y f ++-==，则221()k f k ==∑（）A ．3-B ．2-C ．0D ．129．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）已知函数(),()f x g x 的定义域均为R ，且()(2)5,()(4)7f x g x g x f x +-=--=．若()y g x =的图像关于直线2x =对称，(2)4g =，则()221k f k ==∑（）A ．21-B ．22-C ．23-D ．24-考点8：指对幂运算30．（2022年新高考天津数学高考真题）化简()()48392log 3log 3log 2log 2++的值为（）A ．1B ．2C ．4D ．631．（2022年新高考浙江数学高考真题）已知825,log 3ab ==，则34a b -=（）A ．25B ．5C ．259D ．5332．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知1a >且8115log log 42a a -=-，则=a ．33．（2023年北京高考数学真题）已知函数2()4log xf x x =+，则12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．。

三年高考两年模拟2017版高考数学专题汇编第二章函数2 文

第二节函数的基本性质A 组三年高考真题（2016～2014年）1.(2016·山东，9)已知函数f (x )的定义域为R .当x ＜0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )，当x ＞12时，f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x －12.则f (6)＝( )A.－2B.－1C.0D.22.(2015·新课标全国Ⅱ，12)设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2，则使得f (x )＞f (2x －1)成立的x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，13∪(1，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，13 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞ 3.(2015·北京，3)下列函数中为偶函数的是( )A ．y ＝x 2sin x B ．y ＝x 2cos x C ．y ＝|ln x |D ．y ＝2－x4.(2015·福建，3)下列函数中为奇函数的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝e xC ．y ＝cos xD ．y ＝e x－e －x5.(2015·广东，3)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( ) A ．y ＝x ＋sin 2x B ．y ＝x 2－cos x C ．y ＝2x＋12xD ．y ＝x 2＋sin x6.(2015·新课标全国Ⅰ，12)设函数y ＝f (x )的图象与y ＝2x ＋a 的图象关于直线y ＝－x 对称，且f (－2)＋f (－4)＝1，则a ＝( )A ．－1B ．1C ．2D ．4 7.(2014·北京，2)下列函数中，定义域是R 且为增函数的是( ) A ．y ＝e －xB ．y ＝x 3C ．y ＝ln xD ．y ＝|x |8.(2014·湖南，4)下列函数中，既是偶函数又在区间(－∞，0)上单调递增的是( ) A ．f (x )＝1x2B ．f (x )＝x 2＋1 C ．f (x )＝x 3D ．f (x )＝2－x9.(2014·新课标全国Ⅰ，5)设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是27偶函数，则下列结论中正确的是( ) A ．f (x )g (x )是偶函数 B ．|f (x )|g (x )是奇函数 C ．f (x )|g (x )|是奇函数D ．|f (x )g (x )|是奇函数10.(2014·广东，5)下列函数为奇函数的是( ) A ．y ＝2x－12xB ．y ＝x 3sin x C ．y ＝2cos x ＋1D ．y ＝x 2＋2x11.(2014·重庆，4)下列函数为偶函数的是( ) A ．f (x )＝x －1 B ．f (x )＝x 2＋x C ．f (x )＝2x－2－xD ．f (x )＝2x＋2－x12.(2016·北京，10)函数f (x )＝xx －1(x ≥2)的最大值为________.13.(2016·四川，14)若函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝4x，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (2)＝________.14.(2015·福建，5)若函数f (x )＝2|x －a |(a ∈R )满足f (1＋x )＝f (1－x )，且f (x )在[m ，＋∞)上单调递增，则实数m 的最小值为________．15.(2014·新课标全国Ⅱ，15)偶函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，f (3)＝3，则f (－1)＝________.16.(2014·安徽，14)若函数f (x )(x ∈R )是周期为4的奇函数，且在[0,2]上的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －x ，0≤x ≤1，sin πx ，1＜x ≤2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫294＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫416＝________.17.(2014·四川，13)设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1,1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2，－1≤x ＜0，x ，0≤x ＜1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝________.B 组两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·兰州诊断)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝3x＋m (m 为常数)，则f (－log 35)的值为( ) A.－4 B.4 C.－6D.62.(2016·郑州质量预测)已知f (x )，g (x )是定义域为R 的不恒为零的函数，其中f (x )为奇函数，g (x )为偶函数，则下列说法不正确的是( ) A.函数|f (x )|为偶函数 B.函数－g (－x )为奇函数C.函数f [g (x )]为偶函数D.函数f (x )＋g (x )为非奇非偶函数淘出优秀的你283.(2016·云南省名校统考)定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (x －2)＝f (x ＋2)，且x ∈(－1，0)时f (x )＝2x ＋15，则f (log 220)＝( )A.－1B.45C.1D.－454.(2016·日照诊断)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是减函数，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln n m ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln m n －2f (1)<0，则n m的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，e C.(e ，＋∞)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e ∪(e ，＋∞) 5.(2015·洛阳市统考)设f (x )是定义在[－2，2]上的奇函数，若f (x )在[－2，0]上单调递减，则使f (a 2－a )＜0成立的实数a 的取值范围是( ) A.[－1，2] B.[－1，0)∪(1，2] C.(0，1)D.(－∞，0)∪(1，＋∞)6.(2015·山西太原模拟)定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋1)＝f (－x )，当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32内是( ) A.减函数且f (x )>0 B.减函数且f (x )<0 C.增函数且f (x )>0D.增函数且f (x )<07.(2016·湖南四大名校3月联考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x （x >0），g （x ）（x <0），若f (x )为奇函数，则g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14的值为________.8.(2015·湖南长沙二模)已知函数f (x )在实数集R 上具有下列性质： ①直线x ＝1是函数f (x )的一条对称轴； ②f (x ＋2)＝－f (x )；③当1≤x 1＜x 2≤3时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)＜0，则f (2 011)，f (2 012)，f (2 013)从大到小的顺序为答案精析29A 组三年高考真题（2016～2014年）1.解析当x ＞12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即f (x )＝f (x ＋1)，∴T ＝1， ∴f (6)＝f (1).当x ＜0时，f (x )＝x 3－1且－1≤x ≤1，f (－x )＝－f (x )， ∴f (6)＝f (1)＝－f (－1)－[(－1)3－1]＝2，故选D. 答案 D2.解析由f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2 知f (x )为R 上的偶函数，于是f (x )＞f (2x －1)即为f (|x |)＞f (|2x －1|)．当x ＞0时，f (x )＝ln(1＋x )－11＋x 2，得f ′(x )＝11＋x ＋2x（1＋x 2）2＞0，所以f (x )为[0，＋∞)上的增函数，则由f (|x |)＞f (|2x －1|)得|x |＞|2x －1|，平方得3x 2－4x ＋1＜0，解得13＜x ＜1，故选A.答案 A3.解析由f (－x )＝f (x )，且定义域关于原点对称，可知A 为奇函数，B 为偶函数，C 定义域不关于原点对称，D 为非奇非偶函数．答案 B4.解析由奇函数定义易知y ＝e x －e －x为奇函数，故选D. 答案 D5.解析对于A ，f (－x )＝－x ＋sin 2(－x )＝－(x ＋sin 2x )＝－f (x )，为奇函数；对于B ，f (－x )＝(－x )2－cos(－x )＝x 2－cos x ＝f (x )，为偶函数；对于C ，f (－x )＝2－x ＋12－x ＝2x＋12x ＝f (x )，为偶函数；对于D ，y ＝x 2＋sin x 既不是偶函数也不是奇函数，故选D. 答案 D6.解析设f (x )上任意一点为(x ，y )，该点关于直线y ＝－x 的对称点为(－y ，－x )，将(－y ，－x )代入y ＝2x ＋a，所以y ＝a －log 2(－x )，由f (－2)＋f (－4)＝1，得a －1＋a －2＝1，2a ＝4，a ＝2. 答案 C7.解析分别画出四个函数的图象，如图所示：淘出优秀的你30因为对数函数y ＝ln x 的定义域不是R ，故首先排除C ；因为指数函数y ＝e －x在定义域内单调递减，故排除A ；对于函数y ＝|x |，当x ∈(－∞，0)时，函数变为y ＝－x ，在其定义域内单调递减，故排除D ；而函数y ＝x 3在定义域R 上为增函数．故选B. 答案 B8.解析因为y ＝x 2在(－∞，0)上是单调递减的，故y ＝1x2在(－∞，0)上是单调递增的，又y ＝1x2为偶函数，故A 对；y ＝x 2＋1在(－∞，0)上是单调递减的，故B 错； y ＝x 3为奇函数，故C 错；y ＝2－x 为非奇非偶函数，故D 错．所以选A.答案 A9.解析 f (x )为奇函数，g (x )为偶函数，故f (x )g (x )为奇函数，|f (x )|g (x )为偶函数，f (x )|g (x )|为奇函数，|f (x )g (x )|为偶函数，故选C.答案 C10.解析选项B 中的函数是偶函数；选项C 中的函数也是偶函数；选项D 中的函数是非奇非偶函数，根据奇函数的定义可知选项A 中的函数是奇函数．答案 A11.解析函数f (x )＝x －1和f (x )＝x 2＋x 既不是偶函数也不是奇函数，排除选项A 和选项B ；选项C 中f (x )＝2x －2－x ，则f (－x )＝2－x －2x ＝－(2x －2－x )＝－f (x )，所以f (x )＝2x －2－x为奇函数，排除选项C ；选项D 中f (x )＝2x＋2－x，则f (－x )＝2－x ＋2x ＝f (x )，所以f (x )＝2x ＋2－x为偶函数，故选D. 答案 D 12.解析 f (x )＝xx －1＝1＋1x －1，所以f (x )在[2，＋∞)上单调递减，则f (x )最大值为f (2)＝22－1＝2.答案 213.解析 ∵f (x )周期为2，且为奇函数，已知(0，1)内f (x )＝4x，则可大致画出(－1，1)内图象如图，∴f (0)＝0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (2)＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋f (2)＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (0)＝－2＋0＝－ 2.31答案－214.解析 ∵f (1＋x )＝f (1－x )，∴f (x )的对称轴x ＝1， ∴a ＝1，f (x )＝2|x －1|，∴f (x )的增区间为[1，＋∞). ∵[m ，＋∞)⊆[1，＋∞)，∴m ≥1. ∴m 的最小值为1. 答案 115.解析因为函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称，所以f (x )＝f (4－x )，f (－x )＝f (4＋x )，又f (－x )＝f (x )，所以f (x )＝f (4＋x )，则f (－1)＝f (4－1)＝f (3)＝3. 答案 316.解析由于函数f (x )是周期为4的奇函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫294＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫416＝f ⎝⎛⎭⎪⎫2×4－34＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×4－76＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－76＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫76＝－316＋sin π6＝516.答案 51617.解析由已知易得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋2＝1，又由函数的周期为2，可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝1.答案 1B 组两年模拟精选(2016～2015年)1.解析由题意f (0)＝0，即1＋m ＝0，所以m ＝－1，f (－log 35)＝－f (log 35)＝－(3log 35－1)＝－4.答案 A2.解析对于选项A ，|f (－x )|＝|－f (x )|＝|f (x )|，即函数|f (x )|为偶函数，A 正确；对于选项B ，－g [－(－x )]＝－g (x )＝－g (－x )，所以函数－g (－x )为偶函数，B 错误；对于选项C ，f [g (－x )]＝f [g (x )]，所以函数f [g (x )]为偶函数，C 正确；对于选项D ，f (－x )＋g (－x )＝－f (x )＋g (x )，所以函数f (x )＋g (x )为非奇非偶函数，D 正确. 答案 B淘出优秀的你323.解析 ∵x ∈(0，1)，－x ∈(－1，0)， ∴f (－x )＝2－x＋15＝－f (x )，即f (x )＝－2－x－15，x ∈(0，1).由f (x －2)＝f (x ＋2)，可得f (x )＝f (x －4). ∵4＜log 220＜5，∴0＜log 220－4＜1，∴f (log 220)＝f (log 220－4)＝－2－(log 220－4)－15＝－1.答案 A4.解析因为f (x )为偶函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln m n ＝f (－ln n m)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln n m .于是，原不等式可化为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln n m <f (1)，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪ln n m <f (1)，由函数f (x )在[0，＋∞)上是减函数得⎪⎪⎪⎪⎪⎪ln n m>1，即ln n m >1或ln n m <－1，解得n m >e 或0<n m <1e .故n m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e ∪(e ，＋∞). 答案 D5.解析 ∵f (x )是[－2，2]上的奇函数，∴f (0)＝0，f (a 2－a )＜0＝f (0)，又∵f (x )在[－2，0]上单调递减， ∴f (x )在[0，2]也单调递减，故⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a ＞0，－2≤a 2－a ≤2，即a ∈[－1，0)∪(1，2]. 答案 B6.解析由f (x ＋1)＝f (－x )可知，函数f (x )的图象关于直线x ＝12对称，又函数f (x )为奇函数，故f (x ＋1)＝f (－x )＝－f (x )，∴f (x＋2)＝f (x )，即函数f (x )的周期为2，又当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12时，f (x )＝log 2(x ＋1)，故可得到函数f (x )的大致图象如图所示.由图象可知选B. 答案B337.解析 g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝－log 214＝－log 22－2＝2.答案 28.解析由②知f (x )的周期为4，由③知f (x )在[1，3]上为减函数， ∴f (2 011)＝f (3)，f (2 012)＝f (0)＝f (2)，f (2 013)＝f (1)， ∴f (1)＞f (2)＞f (3)，即f (2 013)＞f (2 012)＞f (2 011). 答案 f (2 013)＞f (2 012)＞f (2 011)。

三年高考两年模拟(浙江版)高考数学一轮复习第二章函数 2.2 函数的单调性与最值(值域)课件

3.已知y=loga(2-ax)在[0,1]上是减函数,则a的取值范围是 ( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(0,2) D.[2,+∞) 答案 B 令u=2-ax,a>0且a≠1,∵y=loga(2-ax)在[0,1]上是减函数,∴a>1 且u>0在[0,1]上恒成立,∴umin=2-a>0,c即a<2,∴1<a<2.故选B.
(4)导数法:利用导数理论研究函数的单调性. (5)图象法. (6)复合函数的单调性如果y=f(μ)和μ=g(x)单调性相同,则y=f(g(x))为增函数;如果y=f(μ)和μ=g(x) 单调性相反,则y=f(g(x))为减函数.
3.函数的最值 (1)设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M,满足: a.对于任意的x∈I,都有f(x)≤M, b.存在x0∈I,使得f(x0)=M, 则称M是f(x)的最大值. (2)设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M,满足: a.对于任意的x∈I,都有f(x)≥M, b.存在x0∈I,使得f(x0)=M, 则称M是f(x)的最小值.
2.判断函数单调性的方法 (1)定义法:利用定义严格判断. (2)利用函数的运算性质:若f(x)、g(x)为增函数,则在公共定义域内, 1)f(x)+g(x)为增函数;
2) 1 为减函数(f(x)>0);
f (x)
3) f (x) 为增函数(f(x)≥0); 4)f(x)·g(x)为增函数(f(x)>0,g(x)>0); 5)-f(x)为减函数. (3)奇函数在两个关于原点对称的区间内单调性相同;偶函数在两个关于原点对称的区间内单调性相反.
ax (x 1),
4.若f(x)=
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高考总复习专项演练：第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ 2-8 Word版

2-8A 组专项基础训练 (时间：45分钟)A.12，0 B ．－2，0 C.12D ．0 【解析】当x ≤1时，由f (x )＝2x －1＝0，解得x ＝0；当x >1时，由f (x )＝1＋log 2x ＝0，解得x ＝12，又因为x >1，所以此时方程无解．综上函数f (x )的零点只有0，故选D. 【答案】 D2．方程|x 2－2x |＝a 2＋1(a >0)的解的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【解析】 (数形结合法) ∵a >0，∴a 2＋1>1. 而y ＝|x 2－2x |的图象如图，∴y ＝|x 2－2x |的图象与y ＝a 2＋1的图象总有两个交点．【答案】 B3．(·湖南四月调研)已知函数f (x )＝ln x －⎝⎛⎭⎫12x －2的零点为x 0，则x 0所在的区间是( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4)【解析】 ∵f (x )＝ln x －⎝⎛⎭⎫12x －2在(0，＋∞)是增函数，又f (1)＝ln 1－⎝⎛⎭⎫12－1＝ln 1－2<0，f (2)＝ln 2－⎝⎛⎭⎫120<0， f (3)＝ln 3－⎝⎛⎭⎫121>0， ∴x 0∈(2，3)，故选C. 【答案】 C4．函数f (x )＝x cos x 2在区间0，4]上的零点个数为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 【解析】由f (x )＝x cos x 2＝0，得x ＝0或cos x 2＝0.又x ∈0，4]，所以x 2∈0，16]．由于cos ⎝⎛⎭⎫π2＋k π＝0(k ∈Z )，而在π2＋k π(k ∈Z )的所有取值中，只有π2，3π2，5π2，7π2，9π2满足在0，16]内，故零点个数为1＋5＝6. 【答案】 C5．已知三个函数f (x )＝2x ＋x ，g (x )＝x －2，h (x )＝log 2x ＋x 的零点依次为a ，b ，c ，则( ) A ．a 0，且f (x )为R 上的递增函数．故f (x )＝2x ＋x 的零点a ∈(－1，0)． ∵g (2)＝0，∴g (x )的零点b ＝2； ∵h ⎝⎛⎭⎫12＝－1＋12＝－12<0，h (1)＝1>0，且h (x )为(0，＋∞)上的增函数， ∴h (x )的零点c ∈⎝⎛⎭⎫12，1，因此a <c 0的解集是________．【解析】 ∵f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2，3. ∴－2，3是方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根，∴f (x )＝x 2－x －6. ∵不等式af (－2x )>0，即－(4x 2＋2x －6)>0⇔2x 2＋x －3<0，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－32<x <1. 【答案】 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－32<x <1 7．函数f (x )＝3x －7＋ln x 的零点位于区间(n ，n ＋1)(n ∈N )内，则n ＝________．【解析】由于ln 2<ln e ＝1，所以f (2)<0，f (3)＝2＋ln 3，由于ln 3>1，所以f (3)>0，所以增函数f (x )的零点位于区间(2，3)内，故n ＝2. 【答案】 28．(·湖北)函数f (x )＝4cos 2 x2cos ⎝⎛⎭⎫π2－x －2sin x －|ln(x ＋1)|的零点个数为________．【解析】先化简f (x )，把函数的零点个数问题转化为两个函数图象的交点个数问题求解． f (x )＝4cos 2 x2cos ⎝⎛⎭⎫π2－x －2sin x －|ln(x ＋1)|＝2(1＋cos x )sin x －2sin x －|ln(x ＋1)| ＝2sin x cos x －|ln(x ＋1)|＝sin 2x －|ln(x ＋1)|.由f (x )＝0，得sin 2x ＝|ln(x ＋1)|. 设y 1＝sin 2x ，y 2＝|ln(x ＋1)|，在同一平面直角坐标系中画出二者的图象，如图所示．由图象知，两个函数图象有两个交点，故函数f (x )有两个零点．【答案】 29．判断函数f (x )＝4x ＋x 2－23x 3在区间－1，1]上零点的个数，并说明理由．【解析】因为f (－1)＝－4＋1＋23＝－73<0，f (1)＝4＋1－23＝133>0，所以f (x )在区间－1，1]上有零点．又f ′(x )＝4＋2x －2x 2＝92－2⎝⎛⎭⎫x －122，当－1≤x ≤1时，0≤f ′(x )≤92，所以f (x )在－1，1]上单调递增．所以f (x )在－1，1]上有且只有一个零点．10．关于x 的二次方程x 2＋(m －1)x ＋1＝0在区间0，2]上有解，求实数m 的取值范围．【解析】方法一：设f (x )＝x 2＋(m －1)x ＋1，x ∈0，2]， ①若f (x )＝0在区间0，2]上有一解， ∵f (0)＝1>0，则应有f (2)<0，又∵f (2)＝22＋(m －1)×2＋1， ∴m <－32.②若f (x )＝0在区间0，2]上有两解，则∴－32≤m ≤－1.由①②可知m 的取值范围是(－∞，－1]．方法二：显然x ＝0不是方程x 2＋(m －1)x ＋1＝0的解， 0<x ≤2时，方程可变形为 1－m ＝x ＋1x，又∵y ＝x ＋1x 在(0，1]上单调递减，1，2]上单调递增，∴y ＝x ＋1x 在(0，2]的取值范围是2，＋∞)，∴1－m ≥2，∴m ≤－1，故m 的取值范围是(－∞，－1]．B 组专项能力提升 (时间：25分钟)11．设函数f (x )的零点为x 1，g (x )＝4x ＋2x －2的零点为x 2，若|x 1－x 2|≤0.25，则f (x )可以是( ) A ．f (x )＝x 2－1 B ．f (x )＝2x －4 C ．f (x )＝ln(x ＋1) D ．f (x )＝8x －2 【解析】选项A ：x 1＝±1；选项B ：x 1＝2；选项C ：x 1＝0；选项D ：x 1＝28＝14.∵g (x )为增函数，g (1)＝4＋2－2>0， g (0)＝1－2<0， g ⎝⎛⎭⎫12＝2＋1－2>0， g ⎝⎛⎭⎫14＝2＋12－2<0， ∴x 2∈⎝⎛⎭⎫14，12.故选D. 【答案】 D【解析】利用函数的零点分段求解． ①当0<x ≤1时，方程为－ln x ＝1，解得x ＝1e.②当1<x <2时，f (x )＋g (x )＝ln x ＋2－x 2单调递减，值域为(ln 2－2，1)，方程f (x )＋g (x )＝1无解，方程f (x )＋g (x )＝－1恰有一解．③当x ≥2时，f (x )＋g (x )＝ln x ＋x 2－6单调递增，值域为ln 2－2，＋∞)，方程f (x )＋g (x )＝1恰有一解，方程f (x )＋g (x )＝－1恰有一解．综上所述，原方程有4个实根．【答案】 413．若方程4－x 2＝k (x －2)＋3有两个不等的实根，则k 的取值范围是________．【解析】作出函数y 1＝4－x 2和y 2＝k (x －2)＋3的图象如图所示，函数y 1的图象是圆心在原点，半径为2的圆在x 轴上方的半圆(包括端点)，函数y 2的图象是过定点P (2，3)的直线，因为点A (－2，0)，则k P A ＝3－02－（－2）＝34.直线PB 是圆的切线，由圆心到直线的距离等于半径得，|3－2k PB |k 2PB ＋1＝2，得k PB ＝512.由图可知当k PB <k ≤k P A 时，两函数图象有两个交点，即原方程有两个不等实根．所以512<k ≤34.【答案】 ⎝⎛⎦⎤512，3414．(·湖南)若函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是________．【解析】将函数f (x )＝|2x －2|－b 的零点个数问题转化为函数y ＝|2x －2|的图象与直线y ＝b 的交点个数问题，数形结合求解．由f (x )＝|2x －2|－b ＝0 得|2x －2|＝b .在同一平面直角坐标系中画出y ＝|2x －2|与y ＝b 的图象，如图所示，则当00)． (1)若y ＝g (x )－m 有零点，求m 的取值范围；(2)确定m 的取值范围，使得g (x )－f (x )＝0有两个相异实根．【解析】 (1)方法一：∵g (x )＝x ＋e 2x ≥2e 2＝2e ，等号成立的条件是x ＝e ，故g (x )的值域是2e ，＋∞)，因而只需m ≥2e ，则y ＝g (x )－m 就有零点．方法二：作出g (x )＝x ＋e 2x(x >0)的大致图象如图．可知若使y ＝g (x )－m 有零点，则只需m ≥2e.(2)若g (x )－f (x )＝0有两个相异实根，即g (x )与f (x )的图象有两个不同的交点，作出g (x )＝x ＋e 2x(x >0)的大致图象如图．∵f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1＝－(x －e)2＋m －1＋e 2. ∴其图象的对称轴为x ＝e ，开口向下，最大值为m －1＋e 2. 故当m －1＋e 2>2e ，即m >－e 2＋2e ＋1时， g (x )与f (x )有两个交点，即g (x )－f (x )＝0有两个相异实根． ∴m 的取值范围是(－e 2＋2e ＋1，＋∞)．。

高考高考数学一轮总复习第2章函数的概念与基本初等函数第八节函数的模型及其综合应用课件理

2.函数的综合应用问题函数可与方程、不等式、数列、三角函数、解析几何等数学知识相结合，根据不同知识板块的特点和特殊的对应法则建立不同变量之间的关系，利用函数的单调性、最值等性质，结合函数思想及方法，达到解决其他问题的目的，这也正体现了函数的工具性作用.
►一个重要函数模型：指数函数模型. (3)[在实际问题中，有关人口增长、银行利率，细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型y＝N(1＋p)x表示，其中N为基础数，p为增长率，x为时间.]某电脑公司2014年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为400万元，占全年经营总收入的40%.该公司预计2016年经营总收入要达到1 690万元，且计划从2014年到2016年，每年经营总收入的年增长率相同， 2015年预计经营总收入为________万元.
⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。
2019/7/14
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[点评] 二次函数是常用的函数模型，建立二次函数模型可以求出函数的值域或最值.解决实际中的优化问题时，一定要分析自变量的取值范围.利用配方法求最值时，一定要注意对称轴与给定区间的关系：若对称轴在给定的区间内，可在对称轴处取最值，在离对称轴较远的端点处取另一最值；若对称轴不在给定的区间内，最值都在区间的端点处取得.
知识点二函数模型的应用 1.函数的实际应用问题
解答函数应用题的一般步骤： (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型； (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； (3)求模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义. 以上过程用框图表示如下：

三年高考两年模拟高考数学专题汇编第二章函数的概念与基本初等函数8理

第八节函数的模型及其综合应用A 组三年高考真题（2016～2014年）1.(2016·山东,10)若函数y ＝f (x )的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y ＝f (x )具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是( ) A.y ＝sin x B.y ＝ln x C.y ＝e xD.y ＝x 32.(2016·四川,5)某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05,lg 1.3≈0.11,lg 2≈0.30)( ) A.2018年B.2019年C.2020年D.2021年3.(2015·北京,8)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程.如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是( )A.消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油量最多C.甲车以80千米/时的速度行驶1小时,消耗10升汽油D.某城市机动车最高限速80千米/时.相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油4.(2014·湖南,8)某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为p ,第二年的增长率为q ,则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )A.p ＋q2B.p ＋q ＋－12C.pqD.p ＋q ＋－15.(2014·辽宁,12)已知定义在[0,1]上的函数f (x )满足：①f (0)＝f (1)＝0；②对所有x ,y ∈[0,1],且x ≠y ,有|f (x )－f (y )|<12|x －y |.若对所有x ,y ∈[0,1],|f (x )－f (y )|<k 恒成立,则k 的最小值为( ) A.12 B.14 C.12π D.186.(2015·四川,13)某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝e kx ＋b (e ＝2.718…为自然对数的底数,k ,b 为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时,在22 ℃的保鲜时间是48小时,则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时. 7.(2015·江苏,17)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路,为进一步改善山区的交通现状,计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路,记两条相互垂直的公路为l 1,l 2,山区边界曲线为C ,计划修建的公路为l ,如图所示,M ,N 为C 的两个端点,测得点M 到l 1,l 2的距离分别为5千米和40千米,点N 到l 1,l 2的距离分别为20千米和2.5千米,以l 2,l 1所在的直线分别为x ,y 轴,建立平面直角坐标系xOy ,假设曲线C 符合函数y ＝ax 2＋b(其中a ,b 为常数)模型.(1)求a ,b 的值；(2)设公路l 与曲线C 相切于P 点,P 的横坐标为t . ①请写出公路l 长度的函数解析式f (t ),并写出其定义域； ②当t 为何值时,公路l 的长度最短？求出最短长度.8.(2014·湖北,14)设f (x )是定义在(0,＋∞)上的函数,且f (x )>0,对任意a >0,b >0,若经过点(a ,f (a )),(b ,－f (b ))的直线与x 轴的交点为(c,0),则称c 为a ,b 关于函数f (x )的平均数,记为M f (a ,b ).例如,当f (x )＝1(x >0)时,可得M f (a ,b )＝c ＝a ＋b2,即M f (a ,b )为a ,b 的算术平均数.(1)当f (x )＝________(x >0)时,M f (a ,b )为a ,b 的几何平均数. (2)当f (x )＝________(x >0)时,M f (a ,b )为a ,b 的调和平均数2aba ＋b. (以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可)9.(2014·山东,15)已知函数y ＝f (x )(x ∈R ),对函数y ＝g (x )(x ∈I ),定义g (x )关于f (x )的“对称函数”为函数y ＝h (x )(x ∈I ),y ＝h (x )满足：对任意x ∈I ,两个点(x ,h (x )),(x ,g (x ))关于点(x ,f (x ))对称.若h (x )是g (x )＝4－x 2关于f (x )＝3x ＋b 的“对称函数”,且h (x )>g (x )恒成立,则实数b 的取值范围是________.B 组两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·四川成都模拟)某电信公司推出两种手机收费方式：A 种方式是月租20元,B 种方式是月租0元.一个月的本地网内通话时间t (分钟)与电话费S (元)的函数关系如图所示,当通话150分钟时,这两种方式电话费相差( )A.10元B.20元C.30元D.403元2.(2016·湖北天门模拟)物价上涨是当前的主要话题,特别是菜价,我国某部门为尽快实现稳定菜价,提出四种绿色运输方案.据预测,这四种方案均能在规定的时间T 内完成预测的运输任务Q 0,各种方案的运输总量Q 与时间t 的函数关系如图所示,在这四种方案中,运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是( )3.(2015·辽宁五校协作体模拟)一个人以6米/秒的速度去追赶停在交通灯前的汽车,当他离汽车25米时交通灯由红变绿,汽车开始变速直线行驶(汽车与人前进方向相同),汽车在时间t 内的路程为s ＝12t 2米,那么,此人( )A.可在7秒内追上汽车B.可在9秒内追上汽车C.不能追上汽车,但其间最近距离为14米D.不能追上汽车,但其间最近距离为7米4.(2016·陕西西安模拟)一个容器装有细沙a cm 3,细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出,t min 后剩余的细沙量为y ＝a e－bt(cm 3),经过8 min 后发现容器内还有一半的沙子,则再经过________min,容器中的沙子只有开始时的八分之一.5.(2016·山东日照模拟)某类产品按工艺共分10个档次,最低档次产品每件利润为8元.每提高一个档次,每件利润增加2元.用同样工时,可以生产最低档产品60件,每提高一个档次将少生产3件产品,则获得利润最大时生产产品的档次是________.6.(2016·河南洛阳模拟)某食品公司为了解某种新品种食品的市场需求,进行了20天的测试,人为地调控每天产品的单价P (元/件).前10天每天单价呈直线下降趋势(第10天免费赠送品尝),后10天呈直线上升趋势,其中4天的单价记录如下表：而这20.(1)写出每天销售收入y (元)关于时间x (天)的函数；(2)在这20天中哪一天销售收入最高？此时单价P 定为多少元为好？(结果精确到1元)7.(2015·四川乐山模拟)某工厂的固定成本为3万元,该工厂每生产100台某产品的生产成本为1万元,设生产该产品x (百台),其总成本为g (x )万元(总成本＝固定成本＋生产成本),并且销售收入r (x )满足r (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.5x 2＋7x －10.5（0≤x ≤7），13.5（x >7）.假定该产品产销平衡,根据上述统计规律求： (1)要使工厂有盈利,产品数量x 应控制在什么范围？ (2)工厂生产多少台产品时盈利最大？答案精析A 组三年高考真题（2016～2014年）1.A [对函数y ＝sin x 求导,得y ′＝cos x ,当x ＝0时,该点处切线l 1的斜率k 1＝1,当x ＝π时,该点处切线l 2的斜率k 2＝－1,∴k 1·k 2＝－1,∴l 1⊥l 2；对函数y ＝ln x 求导,得y ′＝1x恒大于0,斜率之积不可能为－1;对函数y ＝e x 求导,得y ′＝e x恒大于0,斜率之积不可能为－1;对函数y ＝x 3,得y ′＝2x 2恒大于等于0,斜率之积不可能为－1.故选A.]2.B [设x 年后该公司全年投入的研发资金为200万元,由题可知,130(1＋12%)x＝200,解得x ＝log 1.12200130＝lg 2－lg 1.3lg 1.12≈3.80,因资金需超过200万,则x 取4,即2019年.选B.]3.D [汽车每消耗1升汽油行驶的里程为“燃油效率”,由此理解A 显然不对；B 应是甲车耗油最少；C 甲车以80千米/小时的速度行驶10 km,消耗1升汽油.故D 正确.]4.D [设年平均增长率为x ,原生产总值为a ,则(1＋p )(1＋q )a ＝a (1＋x )2,解得x ＝（1＋p ）（1＋q ）－1,故选D.]5.B [不妨令0≤y <x ≤1,当0<x －y ≤12时,|f (x )－f (y )|<12|x －y |≤14；当12<x －y ≤1时,|f (x )－f (y )|＝|[f (x )－f (1)]－[f (y )－f (0)]|≤|f (x )－f (1)|＋|f (y )－f (0)|<12|x －1|＋12|y －0|＝12(1－x )＋12y ＝12＋12(y －x )<14.综上,|f (x )－f (y )|<14,所以k ≥14.]6.24 [由题意⎩⎪⎨⎪⎧e b＝192，e22k ＋b ＝48，∴e 22k ＝48192＝14,∴e 11k＝12,∴x ＝33时,y ＝e33k ＋b＝(e 11k )3·e b＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123·e b＝18×192＝24.]7.解 (1)由题意知,点M ,N 的坐标分别为(5,40),(20,2.5).将其分别代入y ＝ax 2＋b ,得⎩⎪⎨⎪⎧a25＋b ＝40，a 400＋b＝2.5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1 000，b ＝0.(2)①由(1)知,y ＝1 000x2(5≤x ≤20),则点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫t ，1 000t2,设在点P 处的切线l 交x ,y 轴分别于A ,B 点,y ′＝－2 000x3, 则l 的方程为y －1 000t 2＝－2 000t3(x －t ),由此得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3t 2，0,B ⎝⎛⎭⎪⎫0，3 000t 2.故f (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3t 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3 000t 22＝32t 2＋4×106t4,t ∈[5,20].②设g (t )＝t 2＋4×106t 4,则g ′(t )＝2t －16×106t5. 令g ′(t )＝0,解得t ＝10 2.当t ∈(5,102)时,g ′(t )＜0,g (t )是减函数；当t ∈(102,20)时,g ′(t )＞0,g (t )是增函数. 从而,当t ＝102时,函数g (t )有极小值,也是最小值, 所以g (t )min ＝300,此时f (t )min ＝15 3.答：当t ＝102时,公路l 的长度最短,最短长度为153千米. 8.(1)x (2)x [过点(a ,f (a )),(b ,－f (b ))的直线的方程为y －f (a )＝f （a ）＋f （b ）a －b(x －a ),令y ＝0得c ＝af （b ）＋bf （a ）f （a ）＋f （b ）.(1)令几何平均数ab ＝af （b ）＋bf （a ）f （a ）＋f （b ）⇒abf (a )＋abf (b )＝bf (a )＋af (b ),可取f (x )＝x (x >0)； (2)令调和平均数2ab a ＋b ＝af （b ）＋bf （a ）f （a ）＋f （b ）⇒ab ＋ba a ＋b ＝af （b ）＋bf （a ）f （a ）＋f （b ）,可取f (x )＝x (x >0).]9.(210,＋∞) [函数g (x )的定义域是[－2,2],根据已知得h （x ）＋g （x ）2＝f (x ),所以h (x )＝2f (x )－g (x )＝6x ＋2b －4－x 2.h (x )>g (x )恒成立,即6x ＋2b －4－x 2>4－x 2恒成立,即3x ＋b >4－x 2恒成立,令y ＝3x ＋b ,y ＝4－x 2,则只要直线y ＝3x ＋b 在半圆x 2＋y 2＝4(y ≥0)上方即可,由|b |10>2,解得b >210(舍去负值),故实数b 的取值范围是(210,＋∞).]B 组两年模拟精选(2016～2015年)1.A [依题题可设S A (t )＝20＋kt ,S B (t )＝mt . 又S A (100)＝S B (100),∴100k ＋20＝100m ,得k －m ＝－0.2,于是S A (150)－S B (150)＝20＋150k －150m ＝20＋150×(－0.2)＝－10,即两种方式电话费相差10元,选A.]2.B [由运输效率(单位时间的运输量)逐步提高得,曲线上的点的切线斜率应逐渐增大,故函数的图象应一直是下凹的,故选B.]3. D [以汽车停止位置为参照,人所走过的位移为－25＋6t ,汽车在时间t 内的位移为s ＝12t 2,故设相对位移为y m,则y ＝－25＋6t －12t 2＝－12(t －6)2－7,故不能追上汽车,且当t＝6时,其间最近距离为7米.故选D.] 4.16 [依题意有a ·e－b ×8＝12a ,∴b ＝ln 28,∴y ＝a ·e－ln 28·t . 若容器中只有开始时的八分之一,则有a ·e－ln 28·t ＝18a .解得t ＝24,∴再经过的时间为24－8＝16 min.]5.9 [由题意,第k 档次时,每天可获利润为：y ＝[8＋2(k －1)][60－3(k －1)]＝－6k 2＋108k ＋378(1≤k ≤10),配方可得y ＝－6(k －9)2＋864,∴当k ＝9时,获得利润最大.]6.解 (1)P ＝⎩⎪⎨⎪⎧10－x ，x ∈[1，10]，x －10，x ∈[11，20](x ∈N *),Q ＝100－（x －10）2,x ∈[1,20],x ∈N *,∴y ＝100QP ＝100（x －10）2[100－（x －10）2],x ∈[1,20],x ∈N *.(2)∵(x －10)2[100－(x －10)2]≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤（x －10）2＋100－（x －10）222＝2 500, 当且仅当(x －10)2＝100－(x －10)2, 即x ＝10±52时,y 有最大值.又x ∈N *,∴当x ＝3或17时,y max ＝70051≈4 999,此时,P ＝7. 答：第3天或第17天销售收入最高,此时应将单价P 定为7元为好. 7.解: 依题意得g (x )＝x ＋3,设利润函数为f (x ),则f (x )＝r (x )－g (x )所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.5x 2＋6x －13.5（0≤x ≤7）10.5－x （x >7）(1)要使工厂盈利,则有f (x )>0,因为f (x )>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤7，－0.5x 2＋6x －13.5>0，或⎩⎪⎨⎪⎧x >7，10.5－x >0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤7，x 2－12x ＋27<0 或⎩⎪⎨⎪⎧x >7，10.5－x >0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤7，3<x <9，或7<x <10.5. 则3<x ≤7或7<x <10.5,即3<x <10.5,所以要使工厂盈利,产品数量应控制在大于300台小于1 050台的范围内. (2)当3<x ≤7时,f (x )＝－0.5(x －6)2＋4.5, 故当x ＝6时,f (x )有最大值4.5. 而当x >7时,f (x )<10.5－7＝3.5. 所以当工厂生产600台产品时盈利最大.。

《三年高考两年模拟》之函数的概念及基本初等函数第四节

第四节指数与指数函数A 组三年高考真题（2016～2014年）1.(2014·辽宁，3)已知a ＝132-，b ＝log 213，c ＝121log 3，则( ) A.a >b >c B.a >c >b C.c >a >b D.c >b >a2.(2015·山东，14)已知函数f (x )＝a x ＋b (a ＞0，a ≠1) 的定义域和值域都是[－1,0]，则a ＋b ＝________.3.(2014·上海，9)若f (x )＝23x －12x -，则满足f (x )<0的x 的取值范围是________.B 组两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·安徽马鞍山模拟)下列各式比较大小正确的是( )A.1.72.5＞1.73B.0.6－1＞0.62C.0.8－0.1＞1.250.2D.1.70.3＜0.93.12.(2016·安徽马鞍山模拟)函数f (x )＝a x －1(a >0，a ≠1)的图象恒过点A ，下列函数中图象不经过点A 的是( )A.y ＝1－xB.y ＝|x －2|C.y ＝2x －1D.y ＝log 2(2x )3.(2016·山东青岛模拟)已知函数f (x )＝e |ln x |，则函数y ＝f (x ＋1)的大致图象为()4.(2016·福建福州模拟)设12<⎝⎛⎭⎫12b <⎝⎛⎭⎫12a<1, 那么( ) A.a a <a b 0且a ≠1)的图象经过第二、三、四象限，则一定有( )A.0<a <1且b >0B.a >1且b >0C.0<a <1且b <0D.a >1且b <07.(2015·浙江湖州模拟)已知函数f (x )＝m ·9x －3x ，若存在非零实数x 0，使得f (－x 0)＝f (x 0)成立，则实数m 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫12，＋∞B.⎝⎛⎭⎫0，12C.(0，2)D.[2，＋∞)8.(2016·浙江温州模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，0≤x <1，2x －12，x ≥1，设a >b ≥0，若f (a )＝f (b )，则b ·f (a ) 的取值范围是________.9.(2016·豫晋冀三省调研)设函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在x ∈[－1，1]上的最大值与最小值之和为g (a )，则函数g (a )的取值范围是________.答案精析A 组三年高考真题（2016～2014年）1.C[a ＝2－13∈(0，1)，b ＝log 213∈(－∞，0)，c ＝log 1213＝log 23∈(1，＋∞)，所以c >a >b .] 2.－32[当a ＞1时，f (x )＝a x ＋b 在定义域上为增函数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝－1，a 0＋b ＝0，方程组无解；当0＜a ＜1时，f (x )＝a x ＋b 在定义域上为减函数，∴⎩⎨⎧a －1＋b ＝0，a 0＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－2.∴a ＋b ＝－32.] 3.(0，1) [令y 1＝x 23，y 2＝12x -，f (x )<0即为y 1<y 2，函数y 1＝x 23，y 2＝12x -的图象如图所示，由图象知：当0<x <1时，y 1<y 2，所以满足f (x )<0的x 的取值范围是(0，1).]B 组两年模拟精选(2016～2015年)1.B [A 中，∵函数y ＝1.7x 在R 上是增函数，2.5＜3，∴1.72.5＜1.73.B 中，∵y ＝0.6x 在R 上是减函数，－1＜2，∴0.6－1＞0.62. C 中，∵(0.8)－1＝1.25，y ＝1.25x 在R 上是增函数， 0.1＜0.2，∴1.250.1＜1.250.2，即0.8－0.1＜1.250.2.D 中，∵函数y ＝1.7x 在R 上是增函数且0.3＞0，∴1.70.3＞1.70＝1，又函数y ＝0.9x 在R 上是减函数且3.1＞0，∴0.93.1＜0.90＝1.故1.70.3＞0.93.1.2. A[易知A (1，1)，经验证可得y ＝1－x 的图象不经过点A (1，1)，故选A.]3.D [f (x )＝e |ln x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x （x ≥1），1x （0<x <1），而函数y ＝f (x ＋1)的图象是由函数f (x )＝e |ln x |向左平移了一个单位，故选D.]4.C[由于y ＝⎝⎛⎭⎫12x 是减函数，12<⎝⎛⎭⎫12b <⎝⎛⎭⎫12a<1，所以0<a <b <1，当0<a <1时，y ＝a x 为减函数，所以a b <a a ，排除A ，B ；因为y ＝x a 在第一象限内为增函数，所以a a 1时，不论上下怎样平移，图象必过第一象限.∵y ＝a x ＋b －1的图象经过第二、三、四象限，∴只可能0<a <1.如图所示，这个图可理解为将y ＝a x(0<a <1)的图象向下平移大于1个单位长度.∴⎩⎪⎨⎪⎧b －1<0，|b －1|>1，解得b <0. 可知0<a <1且b <0.]7.B[由题意得到f (－x )＝f (x )，∴m ·9－x －3－x ＝m ·9x －3x ，整理得到：m ＝3x（3x ）2＋1＝13x ＋13x <12，又m >0，所以实数m 的取值范围是0<m <12，故选B.] 8.⎣⎡⎭⎫34，2 [依题意，在坐标平面内画出函数y ＝f (x )的大致图象，结合图象可知b ∈⎣⎡⎭⎫12，1，bf (a )＝bf (b )＝b (b ＋1)＝b 2＋b ∈⎣⎡⎭⎫34，2.]9.(2，＋∞) [f (x )在x ∈[－1，1]上的最大值和最小值在两端点处取得，∴g (a )＝f (1)＋f (－1)＝a ＋1a ，又a >0，且a ≠1，所以g (a )＝a ＋1a>2.]。

三年高考两年模拟高考数学专题汇编第二章函数的概念与基本初等函数4理

第四节指数与指数函数A 组三年高考真题（2016～2014年）1.(2014·辽宁，3)已知a ＝132-，b ＝log 213，c ＝121log 3，则( ) A.a >b >c B.a >c >b C.c >a >b D.c >b >a2.(2015·山东，14)已知函数f (x )＝a x ＋b (a ＞0，a ≠1) 的定义域和值域都是[－1,0]，则a ＋b ＝________.3.(2014·上海，9)若f (x )＝23x －12x -，则满足f (x )<0的x 的取值范围是________.B 组两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·安徽马鞍山模拟)下列各式比较大小正确的是( )A.1.72.5＞1.73B.0.6－1＞0.62C.0.8－0.1＞1.250.2 D.1.70.3＜0.93.1 2.(2016·安徽马鞍山模拟)函数f (x )＝ax －1(a >0，a ≠1)的图象恒过点A ，下列函数中图象不经过点A 的是( )A.y ＝1－xB.y ＝|x －2|C.y ＝2x －1D.y ＝log 2(2x ) 3.(2016·山东青岛模拟)已知函数f (x )＝e |ln x |，则函数y ＝f (x ＋1)的大致图象为()4.(2016·福建福州模拟)设12<⎝ ⎛⎭⎪⎫12b <⎝ ⎛⎭⎪⎫12a<1, 那么( ) A.a a <a b 0且a ≠1)的图象经过第二、三、四象限，则一定有( )A.0<a <1且b >0B.a >1且b >0C.0<a <1且b <0D.a >1且b <07.(2015·浙江湖州模拟)已知函数f (x )＝m ·9x －3x，若存在非零实数x 0，使得f (－x 0)＝f (x 0)成立，则实数m 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12C.(0，2)D.[2，＋∞)8.(2016·浙江温州模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，0≤x <1，2x －12，x ≥1，设a >b ≥0，若f (a )＝f (b )，则b ·f (a ) 的取值范围是________.9.(2016·豫晋冀三省调研)设函数f (x )＝a x(a >0，a ≠1)在x ∈[－1，1]上的最大值与最小值之和为g (a )，则函数g (a )的取值范围是________.答案精析A 组三年高考真题（2016～2014年）1.C [a ＝2－13∈(0，1)，b ＝log 213∈(－∞，0)，c ＝log 1213＝log 23∈(1，＋∞)，所以c >a >b .]2.－32[当a ＞1时，f (x )＝a x ＋b 在定义域上为增函数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝－1，a 0＋b ＝0，方程组无解；当0＜a ＜1时，f (x )＝a x＋b 在定义域上为减函数，∴⎩⎨⎧a －1＋b ＝0，a 0＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－2.∴a ＋b ＝－32.] 3.(0，1) [令y 1＝x 23，y 2＝12x -，f (x )<0即为y 1<y 2，函数y 1＝x 23，y 2＝12x -的图象如图所示，由图象知：当0<x <1时，y 1<y 2，所以满足f (x )<0的x 的取值范围是(0，1).]B 组两年模拟精选(2016～2015年)1.B [A 中，∵函数y ＝1.7x 在R 上是增函数，2.5＜3，∴1.72.5＜1.73.B 中，∵y ＝0.6x 在R 上是减函数，－1＜2，∴0.6－1＞0.62.C 中，∵(0.8)－1＝1.25，y ＝1.25x 在R 上是增函数，0.1＜0.2，∴1.250.1＜1.250.2，即0.8－0.1＜1.250.2.D 中，∵函数y ＝1.7x 在R 上是增函数且0.3＞0，∴1.70.3＞1.70＝1，又函数y ＝0.9x在R 上是减函数且3.1＞0，∴0.93.1＜0.90＝1.故1.70.3＞0.93.1.2. A [易知A (1，1)，经验证可得y ＝1－x 的图象不经过点A (1，1)，故选A.]3.D [f (x )＝e |ln x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x （x ≥1），1x（0<x <1），而函数y ＝f (x ＋1)的图象是由函数f (x )＝e |ln x |向左平移了一个单位，故选D.]4.C [由于y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 是减函数，12<⎝ ⎛⎭⎪⎫12b <⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <1，所以0<a <b <1，当0<a <1时，y ＝a x 为减函数，所以a b <a a ，排除A ，B ；因为y ＝x a 在第一象限内为增函数，所以a a 1时，不论上下怎样平移，图象必过第一象限.∵y ＝a x ＋b －1的图象经过第二、三、四象限，∴只可能0<a <1.如图所示，这个图可理解为将y ＝a x(0<a <1)的图象向下平移大于1个单位长度.∴⎩⎪⎨⎪⎧b －1<0，|b －1|>1，解得b <0. 可知0<a <1且b <0.]7.B [由题意得到f (－x )＝f (x )，∴m ·9－x －3－x ＝m ·9x －3x，整理得到：m ＝3x （3x ）2＋1＝13x ＋13x <12，又m >0，所以实数m 的取值范围是0<m <12，故选B.] 8.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，2 [依题意，在坐标平面内画出函数y ＝f (x )的大致图象，结合图象可知b ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1，bf (a )＝bf (b )＝b (b ＋1)＝b 2＋b ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，2.] 9. (2，＋∞) [f (x )在x ∈[－1，1]上的最大值和最小值在两端点处取得，∴g (a )＝f (1)＋f (－1)＝a ＋1a ，又a >0，且a ≠1，所以g (a )＝a ＋1a>2.]。

三年高考两年模拟高考数学专题汇编第二章函数7文

三年高考两年模拟高考数学专题汇编第二章函数7文A 组三年高考真题（2016～2014年）1.(2015·天津，8)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|x |，x ≤2，x －22，x ＞2，函数g (x )＝3－f (2－x )，则函数y ＝f (x )－g (x )的零点个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 2.(2015·安徽，4)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( ) A ．y ＝ln x B ．y ＝x 2＋1 C ．y ＝sin xD ．y ＝cos x3.(2014·重庆，10)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋1－3，x ∈－1，0]，x ，x ∈0，1]，且g (x )＝f (x )－mx －m 在(－1,1]内有且仅有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－114，－2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－114，－2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23 4.(2014·北京，6)已知函数f (x )＝6x－log 2x .在下列区间中，包含f (x )零点的区间是( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,4) D ．(4，＋∞)5.(2016·山东，15)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x ＞m ，其中m ＞0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________.6.(2015·江苏，13)已知函数f (x )＝|ln x |，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，0＜x ≤1，|x 2－4|－2，x ＞1，则方程|f (x )＋g (x )|＝1实根的个数为________．7.(2015·湖北，13)函数f (x )＝2sin x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2－x 2的零点个数为________．8.(2014·天津，14)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x 2＋5x ＋4|，x ≤0，2|x －2|，x ＞0.若函数y ＝f (x )－a |x |恰有4个零点，则实数a 的取值范围为________．9.(2014·福建，15))函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x ≤0，2x －6＋ln x ，x ＞0的零点个数为________．B 组两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·河北保定第一次模拟)函数f (x )＝ln x －2x的零点所在的大致区间是( )A.(0，1)B.(1，2)C.(2，e)D.(3，4)2.(2016·陕西质量检测)若函数y ＝f (x )在[a ，b ]上的图象是连续的，则下列说法正确的是( )A.若f (a )f (b )<0，则有可能不存在实数c ∈(a ，b )使得f (c )＝0B.若f (a )f (b )<0，则有且只有一个实数c ∈(a ，b )使得f (c )＝0C.若f (a )f (b )>0，则不存在实数c ∈(a ，b )使得f (c )＝0D.若f (a )f (b )>0，则有可能存在实数c ∈(a ，b )使得f (c )＝03.(2016·洛阳统考)已知函数f (x )＝|x 2－4|－3x ＋m 恰有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是( )A.(－6，6)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫254，＋∞ B.⎝⎛⎭⎪⎫254，＋∞C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－254∪(－6，6) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－254，＋∞ 4.(2015·保定模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2，x ∈[－1，2]，x －3，x ∈（2，5]，则方程f (x )＝1的解是( )A.2或2B.2或3C.2或4D.±2或45.(2015·广东绍关模拟)设方程log 4x －⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＝0，log 14x －⎝ ⎛⎭⎪⎫14x＝0的根分别为x 1，x 2，则( ) A.0＜x 1x 2＜1 B.x 1x 2＝1 C.1＜x 1x 2＜2D.x 1x 2≥26.(2015·郑州模拟)已知图象不间断的函数f (x )是区间[a ，b ]上的单调函数，且在区间(a ，b )上存在零点.如下图是用二分法求方程f (x )＝0近似解的程序框图，判断框内可以填写的内容有如下四个选项： ①f (a )f (m )＜0； ②f (a )f (m )＞0； ③f (b )f (m )＜0；④f (b )f (m )＞0.其中能够正确求出近似解的是( )A.①、③B.②、③C.①、④D.②、④7.(2016·石家庄质量检测)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－a ，x ≤0，x 2－3ax ＋a ，x ＞0有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是________.8.(2015·北京东城区高三期末)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，4x ，x ≤0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝________.若函数g (x )＝f (x )－k 存在两个零点，则实数k 的取值范围是________.答案精析A 组三年高考真题（2016～2014年）1.解析函数y ＝f (x )－g (x )的零点个数即为函数f (x )与g (x )图象的交点个数，记h (x )＝－f (2－x )，在同一平面直角坐标系中作出函数f (x )与h (x )的图象，如图所示，g (x )的图象为h (x )的图象向上平移3个单位，可知f (x )与g (x )的图象有两个交点，故选A. 答案 A2.解析对数函数y ＝ln x 是非奇非偶函数；y ＝x 2＋1为偶函数但没有零点；y ＝sin x 是奇函数；y ＝cos x 是偶函数且有零点，故选D. 答案 D3.解析 g (x )＝f (x )－mx －m 在(－1，1]内有且仅有两个不同的零点就是函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝m (x ＋1)的图象有两个交点，在同一平面直角坐标系内作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋1－3，x ∈（－1，0]，x ，x ∈（0，1]和函数y ＝m (x ＋1)的图象，如图所示，当直线y ＝m (x ＋1)与y ＝1x ＋1－3，x ∈(－1，0]和y ＝x ，x ∈(0，1]都相交时，0＜m ≤12；当直线y ＝m (x ＋1)与y ＝1x ＋1－4，x ∈(－1，0]有两个交点时，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝m （x ＋1），y ＝1x ＋1－3，消元得1x ＋1－3＝m (x ＋1)，即m (x ＋1)2＋3(x ＋1)－1＝0，化简得mx 2＋(2m ＋3)x ＋m ＋2＝0，当Δ＝9＋4m ＝0，m ＝－94时，直线y ＝m (x ＋1)与y ＝1x ＋1－3相切，当直线y ＝m (x ＋1)过点(0，－2)时，m ＝－2，所以m ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2. 综上所述，实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2∪(0，12]，选择A.答案 A4.解析因为f (1)＝6－log 21＝6＞0，f (2)＝3－log 22＝2＞0，f (4)＝32－log 24＝－12＜0，所以函数f (x )的零点所在区间为(2，4)，故选C. 答案 C5.解析如图，当x ≤m 时，f (x )＝|x |.当x ＞m 时，f (x )＝x 2－2mx ＋4m ，在(m ，＋∞)为增函数.若存在实数b ，使方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 2－2m ·m ＋4m ＜|m |. ∵m ＞0，∴m 2－3m ＞0，解得m ＞3.答案 (3，＋∞)6.解析令h (x )＝f (x )＋g (x )，则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－ln x ，0＜x ≤1，－x 2＋ln x ＋2，1＜x ＜2，x 2＋ln x －6，x ≥2，当1＜x ＜2时，h ′(x )＝－2x ＋1x ＝1－2x2x＜0，故当1＜x ＜2时h (x )单调递减，在同一坐标系中画出y ＝|h (x )|和y ＝1的图象如图所示．由图象可知|f (x )＋g (x )|＝1的实根的个数为4. 答案47.解析 f (x )＝2sin x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2－x 2＝2sin x cos x －x 2＝sin 2x －x 2.令f (x )＝0，则sin 2x ＝x 2，则函数f (x )的零点个数即为函数y ＝sin 2x 与函数y ＝x 2的图象的交点个数．作出函数图象知，两函数交点有2个，即函数f (x )的零点个数为2.答案 28.解析由题意，函数y ＝f (x )－a |x |恰有4个零点，得函数y 1＝f (x )与y 2＝a |x |的图象有4个不同的交点．在同一平面直角坐标系中作出两个函数的图象如图所示(a 显然大于0)．由图知，当y 2＝－ax (x ＜0)与y 1＝－x 2－5x －4(－4＜x ＜－1)相切时，x 2＋(5－a )x ＋4＝0有两个相等的实数根，则(5－a )2－16＝0，解得a ＝1(a ＝9舍去).所以当x ＜0时，y 1与y 2的图象恰有3个不同的交点．显然，当1＜a ＜2时，两个函数的图象恰有4个不同的交点，即函数y ＝f (x )－a |x |恰有4个零点．答案 (1，2)9.解析当x ≤0时，令x 2－2＝0，解得x ＝－2；当x ＞0时，f (x )＝2x －6＋ln x ，因为f ′(x )＝2＋1x＞0，所以函数f (x )＝2x －6＋ln x 在(0，＋∞)上单调递增，因为f (1)＝2－6＋ln 1＝－4＜0，f (3)＝ln 3＞0，所以函数f (x )＝2x －6＋ln x 在(0，＋∞)上有且只有一个零点．综上所述，函数f (x )的零点个数为2. 答案 2B 组两年模拟精选(2016～2015年)1.解析 f (2)＝ln 2－22＝ln 2－1<0，f (e)＝ln e －2e ＝1－2e >0，f (2)·f (e)<0，故选C.答案 C2.解析由题意得，若f (a )f (b )<0，则函数f (x )在(a ，b )内至少存在一个零点；若f (a )f (b )>0，则函数f (x )在(a ，b )内可能存在零点.故选D. 答案 D3.解析函数f (x )＝|x 2－4|－3x ＋m 的零点⇔方程|x 2－4|－3x ＋m ＝0的根⇔方程|x 2－4|＝3x －m 的根，令y 1＝|x 2－4|，y 2＝3x －m ，则y 1＝|x 2－4|和y 2＝3x －m 的图象的交点个数即函数f (x )的零点个数.在同一坐标平面内作出两函数图象(图略)，x ＝－2，x ＝2时是临界位置，此时m ＝－6，m ＝6.当直线与曲线相切，即y 1＝－x 2＋4与y 2＝3x －m 相切，故x 2＋3x －4－m ＝0，Δ＝9＋4(4＋m )＝0，可得m ＝－254， ∴m ∈(－6，6)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－254.答案 C4.解析 (1)当x ∈[－1，2]时，由3－x 2＝1⇒x ＝2； (2)当x ∈(2，5]时，由x －3＝1⇒x ＝4. 综上所述，f (x )＝1的解为2或4. 答案 C5.解析方程log 14x －⎝ ⎛⎭⎪⎫14x＝0的根为x 2＝12.设f (x )＝log 4x －⎝ ⎛⎭⎪⎫14x，且f (x )在(0，＋∞)上单调递增，则f (1)·f (2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－14⎝ ⎛⎭⎪⎫12－116＜0，故1＜x 1＜2. 故0＜x 1x 2＜1. 答案 A6.解析依题意与二分法的定义可知，判断框内可以填写的内容可以是①、④之一时，能够正确求出方程的近似解，故选C. 答案 C7.解析依题意，要使函数f (x )有三个不同的零点，则当x ≤0时，方程2x －a ＝0，即2x＝a 必有一个根，此时0＜a ≤1；当x ＞0时，方程x 2－3ax ＋a ＝0有两个不等的实根，即方程x 2－3ax ＋a ＝0有两个不等的正实根，于是有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝9a 2－4a ＞0，3a ＞0，a ＞0，由此解得a ＞49.因此，满足题意的实数a 需满足⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ≤1，a ＞49，即49＜a ≤1.答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤49，1 8.解析 ∵12＞0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝log 212＝－1，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f (－1)＝4－1＝14，画出f (x )的图象如图，g (x )存在两个零点等价于y ＝f (x )与y ＝k 的图象有两个交点，由图形可知k ∈(0，1].答案 14 (0，1]。

三年高考两年模拟高考数学专题汇编第二章函数的概念与基本初等函数1理

第一节函数的概念A 组三年高考真题（2016～2014年）1.(2015·浙江，7)存在函数f (x )满足：对任意x ∈R 都有( )A.f (sin 2x )＝sin xB.f (sin 2x )＝x 2＋x C.f (x 2＋1)＝|x ＋1| D.f (x 2＋2x )＝|x ＋1|2.(2015·新课标全国Ⅱ，5)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 2－x ，x ＜1，2x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝( )A.3B.6C.9D.12 3.(2014·山东，3)函数f (x )＝12x2－1的定义域为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B.(2，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞) D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[2，＋∞) 4.(2014·江西，2)函数f (x )＝ln(x 2－x )的定义域为( )A.(0,1)B.[0,1]C.(－∞，0)∪(1，＋∞)D.(－∞，0]∪[1，＋∞)5.(2014·江西，3)已知函数f (x )＝5|x |，g (x )＝ax 2－x (a ∈R ).若f [g (1)]＝1，则a ＝( ) A.1 B.2 C.3 D.－16.(2014·安徽，9)若函数f (x )＝|x ＋1|＋|2x ＋a |的最小值为3，则实数a 的值为( ) A.5或8 B.－1或5 C.－1或－4 D.－4或87.(2014·上海，18)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －a 2，x ≤0，x ＋1x＋a ，x >0.若f (0)是f (x )的最小值，则a 的取值范围为( )A.[－1,2]B.[－1,0]C.[1,2]D.[0,2] 8.(2016·江苏，5)函数y ＝3－2x －x 2的定义域是________. 9.(2015·浙江，10)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x－3，x ≥1，x 2＋，x ＜1，则f (f (－3))＝________，f (x )的最小值是________.B 组两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·云南师范大学附属中学第七次月考)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin π8x ，x ≥0，f （x ＋5）＋2，x ＜0，则f (－2016)的值为( )A.810B.809C.808D.806 2.(2016·山东淄博12月摸底考试)函数y ＝13x －2＋lg(2x －1)的定义域是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，233.(2016·豫南豫北十校模拟)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx 6，0<x ≤8，log 2x ，x >8，则f (f (－16))＝( ) A.－12 B.－32 C.12D.324.(2015·山东滨州模拟)已知函数f ⎝⎛⎭⎪⎫x －1x ＝x 2＋1x2，则f (3)＝( )A.8B.9C.11D.105.(2015·山东济宁模拟)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，ln x ，x >1，则f (f (e))(e 为自然对数的底数)＝( ) A.0B.1C.2D.ln(e 2＋1)6.(2015·北京东城模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 13x ，x >0，2x ，x ≤0，若f (a )>12，则实数a 的取值范围是( )A.(－1,0)∪(3,＋∞)B.(－1,3)C.(－1,0)∪⎝⎛⎭⎪⎫33，＋∞ D.⎝⎛⎭⎪⎫－1，337.(2016·豫南九校联考)若函数y ＝f (x )的定义域为[0，2]，则函数g (x )＝f （2x ）x －1的定义域是________.8.(2016·广东广州模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x 2＋1，x ≥1，log 2（1－x ），x ＜1，则f (f (4))＝________；若f (a )＜－1，则a 的取值范围为________.9.(2015·山东聊城模拟)设二次函数f (x )满足f (2＋x )＝f (2－x )，且f (x )＝0的两个实根的平方和为10，f (x )的图象过点(0，3)，求f (x )的解析式.答案精析A 组三年高考真题（2016～2014年）1.D [排除法，A 中，当x 1＝π2，x 2＝－π2时，f (sin 2x 1)＝f (sin 2x 2)＝f (0)，而sin x 1≠sin x 2，∴A 不对；B 同上；C 中，当x 1＝－1，x 2＝1时，f (x 21＋1)＝f (x 22＋1)＝f (2)，而|x 1＋1|≠|x 2＋1|，∴C 不对，故选D.]2.C [因为－2＜1，log 212＞log 28＝3＞1，所以f (－2)＝1＋log 2[2－(－2)]＝1＋log 24＝3，f (log 212)＝2log 212－1＝2log 212×2－1＝12×12＝6，故f (－2)＋f (log 212)＝3＋6＝9，故选C.]3.C [(log 2x )2－1>0，即log 2x >1或log 2x <－1，解得x >2或0＜x <12，故所求的定义域是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞).] 4.C [由题意可得x 2－x >0，解得x >1或x <0，所以所求函数的定义域为(－∞，0)∪(1，＋∞).]5.A [因为f [g (1)]＝1，且f (x )＝5|x |，所以g (1)＝0，即a ·12－1＝0，解得a ＝1.]6.D [当a ≥2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋a ＋1，x >－1，x ＋a －1，－a 2≤x ≤－1，－3x －a －1，x <－a2，如图1可知，当x ＝－a2时，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝a2－1＝3，可得a ＝8；当a <2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋a ＋1，x >－a2，－x －a ＋1，－1≤x ≤－a 2，－3x －a －1，x <－1，如图2可知，当x ＝－a2时，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝－a2＋1＝3，可得a ＝－4.综上可知，答案为D.]图1 图27.D [∵当x ≤0时，f (x )＝(x －a )2，又f (0)是f (x )的最小值，∴a ≥0.当x >0时，f (x )＝x ＋1x＋a ≥2＋a ，当且仅当x ＝1时取“＝”.要满足f (0)是f (x )的最小值，需2＋a ≥f (0)＝a 2，即a 2－a －2≤0，解之，得－1≤a ≤2，∴a 的取值范围是0≤a ≤2.选D.]8. [-3,1] [要使原函数有意义，需且仅需3-2x -x 2≥0.解得-3≤x ≤1.故函数定义域为[-3，1].]9.0 22－3 [f (f (－3))＝f (1)＝0，当x ≥1时，f (x )＝x ＋2x－3≥22－3，当且仅当x ＝2时，取等号；当x ＜1时，f (x )＝lg(x 2＋1)≥lg 1＝0，当且仅当x ＝0时，取等号，∴f (x )的最小值为22－3.]B 组两年模拟精选(2016～2015年)1.B [f (－2 016)＝f (－2 011)＋2＝f (－2 006)＋4＝…＝f (－1)＋403×2 ＝f (4)＋404×2＝808＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫π8×4＝809.]2.C [由⎩⎪⎨⎪⎧3x －2＞0，2x －1＞0，得x ＞23，故选C.]3.C [因为f (x )为奇函数，所以f (f (－16))＝－f (f (16))＝－f (4)＝－cos 2π3＝12，故选C.]4.C [∵f ⎝⎛⎭⎪⎫x －1x ＝⎝⎛⎭⎪⎫x －1x 2＋2，∴f (3)＝9＋2＝11.]5.C [f (f (e))＝f (1)＝2，故选C.]6.D [由题意知：⎩⎪⎨⎪⎧a >0，log 13a >12或⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0，2a >12.所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，33，故选D.]7. [0，1) [∵0≤2x ≤2，∴0≤x ≤1，又x －1≠0，即x ≠1.∴0≤x <1. 即函数g (x )的定义域是[0，1).]8. 5 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1∪(1，＋∞) [f (4)＝－2×42＋1＝－31，f (f (4))＝f (－31)＝log 2(1＋31)＝5.当a ≥1时，由－2a 2＋1＜－1得a 2＞1，解得a ＞1，当a ＜1时，由log 2(1－a )＜－1，得log 2(1－a )＜log 212，∴0＜1－a ＜12，∴12＜a ＜1.即a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1∪(1，＋∞).]9.解 ∵f (2＋x )＝f (2－x )，∴f (x )的图象关于直线x ＝2对称. 于是，设f (x )＝a (x －2)2＋k (a ≠0)，则由f (0)＝3，可得k ＝3－4a ， ∴f (x )＝a (x －2)2＋3－4a ＝ax 2－4ax ＋3. ∵ax 2－4ax ＋3＝0的两实根的平方和为10，∴10＝x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝16－6a，∴a ＝1.∴f (x )＝x 2－4x ＋3.。

高考数学一轮总复习第2章函数的概念与基本初等函数第8节函数的模型及其综合应用高考AB卷理

【大高考】2017版高考数学一轮总复习第2章函数的概念与基本初等函数第8节函数的模型及其综合应用高考AB 卷理函数的综合应用1.(2012·全国，12)设点P 在曲线y ＝12e x上，点Q 在曲线y ＝ln(2x )上，则|PQ |的最小值为( ) A.1－ln 2 B.2(1－ln 2) C.1＋ln 2D.2(1＋ln 2)解析由题意知函数y ＝12e x与y ＝ln(2x )互为反函数，其图象关于直线y ＝x 对称，两曲线上点之间的最小距离就是y ＝x 与y ＝12e x 最小距离的2倍，设y ＝12e x上点(x 0，y 0)处的切线与y ＝x 平行，有12e x 0＝1，x 0＝ln 2，y 0＝1，∴切点到直线y ＝x 的距离d ＝1－ln 22，所以|PQ |的最小值为22(1－ln 2)×2＝2(1－ln 2). 答案 B2.(2013·全国Ⅰ，21)设函数f (x )＝x 2＋ax ＋b ，g (x )＝e x(cx ＋d ).若曲线y ＝f (x )和曲线y ＝g (x )都过点P (0，2)，且在点P 处有相同的切线y ＝4x ＋2. (1)求a ，b ，c ，d 的值；(2)若x ≥－2时，f (x )≤kg (x )，求k 的取值范围. 解 (1)由已知得f (0)＝2，g (0)＝2，f ′(0)＝4，g ′(0)＝4.而f ′(x )＝2x ＋a ，g ′(x )＝e x(cx ＋d ＋c )，故b ＝2，d ＝2，a ＝4，d ＋c ＝4.从而a ＝4，b ＝2，c ＝2，d ＝2.(2)由(1)知，f (x )＝x 2＋4x ＋2，g (x )＝2e x(x ＋1). 设函数F (x )＝kg (x )－f (x )＝2k e x(x ＋1)－x 2－4x －2，则F ′(x )＝2k e x (x ＋2)－2x －4＝2(x ＋2)(k e x－1).由题设可得F (0)≥0，即k ≥1.令F ′(x )＝0，得x 1＝－ln k ，x 2＝－2. (ⅰ)若1≤k <e 2，则－2<x 1≤0.从而当x ∈(－2，x 1)时，F ′(x )<0；当x ∈(x 1，＋∞)时，F ′(x )>0.即F (x )在(－2，x 1)上单调递减，在(x 1，＋∞)上单调递增.故F (x )在[－2，＋∞)上的最小值为F (x 1). 而F (x 1)＝2x 1＋2－x 21－4x 1－2＝－x 1(x 1＋2)≥0. 故当x ≥－2时，F (x )≥0，即f (x )≤kg (x )恒成立.(ⅱ)若k ＝e 2，则F ′(x )＝2e 2(x ＋2)(e x －e －2). 从而当x >－2时，F ′(x )>0，即F (x )在(－2，＋∞)上单调递增. 而F (－2)＝0，故当x ≥－2时，F (x )≥0，即f (x )≤kg (x )恒成立.(ⅲ)若k >e 2，则F (－2)＝－2k e －2＋2＝－2e －2(k －e 2)<0.从而当x ≥－2时，f (x )≤kg (x )不可能恒成立.综上，k 的取值范围是[1，e 2].函数的实际应用1.(2016·四川，5)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)( ) A.2018年 B.2019年 C.2020年D.2021年解析设x 年后该公司全年投入的研发资金为200万元，由题可知，130(1＋12%)x＝200，解得x ＝log 1.12200130＝lg 2－lg 1.3lg 1.12≈3.80，因资金需超过200万，则x 取4，即2019年.选B. 答案 B2.(2015·北京，8)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程.如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是( )A.消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B.以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油量最多C.甲车以80千米/时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D.某城市机动车最高限速80千米/时.相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油解析汽车每消耗1升汽油行驶的里程为“燃油效率”，由此理解A 显然不对；B 应是甲车耗油最少；C 甲车以80千米/小时的速度行驶10 km ，消耗1升汽油.故D 正确. 答案 D3.(2014·湖南，8)某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( ) A.p ＋q2B.（p ＋1）（q ＋1）－12C.pqD.（p ＋1）（q ＋1）－1解析设年平均增长率为x ，原生产总值为a ，则(1＋p )(1＋q )a ＝a (1＋x )2，解得x ＝（1＋p ）（1＋q ）－1，故选D. 答案 D4.(2013·陕西，9)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m 2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x (单位：m)的取值范围是( )A.[15，20]B.[12，25]C.[10，30]D.[20，30]解析设矩形另一边长为y ，x 40＝40－y40，则x ＝40－y ，y ＝40－x .由xy ≥300，即x (40－x )≥300，解得10≤x ≤30，故选C. 答案 C5.(2015·四川，13)某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝ekx ＋b(e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时.解析由题意⎩⎪⎨⎪⎧e b＝192，e22k ＋b ＝48，∴e 22k ＝48192＝14，∴e 11k＝12，∴x ＝33时，y ＝e 33k ＋b＝(e 11k )3·e b＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123·e b＝18×192＝24.答案 246.(2015·江苏，17)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l 1，l 2，山区边界曲线为C ，计划修建的公路为l ，如图所示，M ，N 为C 的两个端点，测得点M到l 1，l 2的距离分别为5千米和40千米，点N 到l 1，l 2的距离分别为20千米和2.5千米，以l 2，l 1所在的直线分别为x ，y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，假设曲线C 符合函数y ＝ax 2＋b(其中a ，b 为常数)模型.(1)求a ，b 的值；(2)设公路l 与曲线C 相切于P 点，P 的横坐标为t . ①请写出公路l 长度的函数解析式f (t )，并写出其定义域； ②当t 为何值时，公路l 的长度最短？求出最短长度. 解 (1)由题意知，点M ，N 的坐标分别为(5，40)，(20，2.5).将其分别代入y ＝ax 2＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧a25＋b ＝40，a 400＋b＝2.5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1 000，b ＝0.(2)①由(1)知，y ＝1 000x2(5≤x ≤20)，则点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫t ，1 000t2，设在点P 处的切线l 交x ，y 轴分别于A ，B 点，y ′＝－2 000x3，则l 的方程为y －1 000t 2＝－2 000t3(x －t )，由此得A ⎝⎛⎭⎪⎫3t 2，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3 000t 2.故f (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3t 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3 000t 22＝32t 2＋4×106t4，t ∈[5，20].②设g (t )＝t 2＋4×106t4，则g ′(t )＝2t －16×106t5. 令g ′(t )＝0，解得t ＝10 2.当t ∈(5，102)时，g ′(t )＜0，g (t )是减函数；当t ∈(102，20)时，g ′(t )＞0，g (t )是增函数.从而，当t ＝102时，函数g (t )有极小值，也是最小值，所以g (t )min ＝300，此时f (t )min ＝15 3.答：当t ＝102时，公路l 的长度最短，最短长度为153千米.函数的综合应用7.(2016·山东，10)若函数y ＝f (x )的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y ＝f (x )具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是( ) A.y ＝sin x B.y ＝ln x C.y ＝e xD.y ＝x 3解析对函数y ＝sin x 求导，得y ′＝cos x ，当x ＝0时，该点处切线l 1的斜率k 1＝1，当x ＝π时，该点处切线l 2的斜率k 2＝－1，∴k 1·k 2＝－1，∴l 1⊥l 2；对函数y ＝ln x 求导，得y ′＝1x恒大于0，斜率之积不可能为－1；对函数y ＝e x 求导，得y ′＝e x恒大于0，斜率之积不可能为－1；对函数y ＝x 3，得y ′＝2x 2恒大于等于0，斜率之积不可能为－1.故选A. 答案 A8.(2014·辽宁，12)已知定义在[0，1]上的函数f (x )满足： ①f (0)＝f (1)＝0；②对所有x ，y ∈[0，1]，且x ≠y ，有|f (x )－f (y )|<12|x －y |.若对所有x ，y ∈[0，1]，|f (x )－f (y )|<k 恒成立，则k 的最小值为( ) A.12B.14C.12πD.18解析不妨令0≤y <x ≤1，当0<x －y ≤12时，|f (x )－f (y )|<12|x －y |≤14；当12<x －y ≤1时，|f (x )－f (y )|＝|[f (x )－f (1)]－[f (y )－f (0)]|≤|f (x )－f (1)|＋|f (y )－f (0)|<12|x －1|＋12|y －0|＝12(1－x )＋12y ＝12＋12(y －x )<14.综上，|f (x )－f (y )|<14，所以k ≥14.答案 B9.(2013·天津，8)已知函数f (x )＝x (1＋a |x |).设关于x 的不等式f (x ＋a )<f (x )的解集为A .若⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12⊆A ，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1－32，0C.⎝⎛⎭⎪⎫1－52，0∪⎝⎛⎭⎪⎫0，1＋32D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，1－52解析 a ＝0时，A ＝∅，不满足条件.a >0时，易知f (0)＝0，x >0时，f (x )＝x (1＋a |x |)>0，于是f (0＋a )>0＝f (0)，而由已知⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12⊆A 可得0∈A ，即f (0＋a )<f (0)，所以a >0也不满足条件，故a <0.易知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1a （x ≥0），－ax ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a （x <0），在坐标系中画出y ＝f (x )与y ＝f (x ＋a )的图象如图所示，由图可知满足不等式f (x ＋a )<f (x )的解集A ＝(x A ，x B ).由x (1－ax )＝(x ＋a )[1－a (x ＋a )]可得x A ＝1－a22a ；由x (1＋ax )＝(x ＋a )[1＋a (x ＋a )]，可得x B ＝－1＋a22a.∴A ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 22a，－1＋a 22a (a <0). 由⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12⊆A 得⎩⎪⎨⎪⎧1－a 22a <－12，－1＋a 22a >12，a <0，解得1－52<a <0.故选A.答案 A10.(2014·湖北，14)设f (x )是定义在(0，＋∞)上的函数，且f (x )>0，对任意a >0，b >0，若经过点(a ，f (a ))，(b ，－f (b ))的直线与x 轴的交点为(c ，0)，则称c 为a ，b 关于函数f (x )的平均数，记为M f (a ，b ).例如，当f (x )＝1(x >0)时，可得M f (a ，b )＝c ＝a ＋b2，即M f (a ，b )为a ，b 的算术平均数.(1)当f (x )＝________(x >0)时，M f (a ，b )为a ，b 的几何平均数. (2)当f (x )＝________(x >0)时，M f (a ，b )为a ，b 的调和平均数2aba ＋b. (以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可) 解析过点(a ，f (a ))，(b ，－f (b ))的直线的方程为y －f (a )＝f （a ）＋f （b ）a －b(x －a )，令y ＝0得c ＝af （b ）＋bf （a ）f （a ）＋f （b ）.(1)令几何平均数ab ＝af （b ）＋bf （a ）f （a ）＋f （b ）⇒abf (a )＋abf (b )＝bf (a )＋af (b )，可取f (x )＝x (x >0)；(2)令调和平均数2ab a ＋b ＝af （b ）＋bf （a ）f （a ）＋f （b ）⇒ab ＋ba a ＋b ＝af （b ）＋bf （a ）f （a ）＋f （b ），可取f (x )＝x (x >0). 答案 (1)x (2)x。

新版3年高考2年模拟高考数学第二章第二节基本初等函数I

第二节基本初等函数I 第一部分三年高考荟萃 2010年高考题一、选择题1.（2010全国卷2理）（2）.函数1ln(1)(1)2x y x +-=>的反函数是（A ） 211(0)x y e x +=-> （B ）211(0)x y e x +=+> （C ）211(R)x y e x +=-∈ （D ）211(R)x y e x +=+∈ 答案 D【命题意图】本试题主要考察反函数的求法及指数函数与对数函数的互化。

【解析】由原函数解得，即，又；∴在反函数中，故选D.2.（2010陕西文）7.下列四类函数中，个有性质“对任意的x >0，y >0，函数f (x )满足f （x ＋y ）＝f （x ）f （y ）”的是（A ）幂函数（B ）对数函数（C ）指数函数（D ）余弦函数答案 C【解析】本题考查幂的运算性质)()()(y x f a a a y f x f y x y x +===+3.（2010辽宁文）（10）设25abm ==，且112a b+=，则m =（A （B ）10 （C ）20 （D ）100 答案 A【解析】选A.211log 2log 5log 102,10,m m m m a b+=+==∴=又0,m m >∴= 4.（2010全国卷2文）（4）函数y=1+ln(x-1)(x>1)的反函数是（A ）y=1x e+-1(x>0) (B) y=1x e -+1(x>0) (C) y=1x e +-1(x ∈R) (D ）y=1x e-+1 (x ∈R)答案 D【解析】D ：本题考查了函数的反函数及指数对数的互化，∵函数Y=1+LN （X-1）(X>1)，∴11ln(1)1,1,1y x x y x e y e ---=--==+5.（2010安徽文）（7）设232555322555a b c ===（）,（），（），则a ，b ，c 的大小关系是（A ）a ＞c ＞b （B ）a ＞b ＞c （C ）c ＞a ＞b （D ）b ＞c ＞a 答案 A【解析】25y x =在0x >时是增函数，所以a c >，2()5xy =在0x >时是减函数，所以c b >。

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