第二章2 信号与噪声傅立叶变换

n 1
26
n 2 A Cn an Sa( ) T 2
14
纯余弦形式傅立叶级数
同频率合并

f (t ) a0 + (an cos n1t + bn sin n1t )dt
n 1
a0 +
n 1

a b n n a +b cos n1t sin n1t 2 2 2 2 a + b a + b n n n n
1 Fn T

n A sin(n / 2) A Sa( ) T 2 T n / 2
T 2 T 2
f (t )e
- jn t
1 dt T

2 -

Ae
- jn t
dt
2
A e - jnt T (- jn )
t / 2 t - / 2
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因此，周期方波信号的指数形式傅立叶级数展开式为
1
另外要注意的是，在指数式傅立叶级数中引入了负频率。 实际负频率是不存在的。这只不过是将第n次谐波分量的三角形 式写成两个复指数形式后出现的一种数学表示。
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例题1 试计算图示周期矩形脉冲信号的傅立叶级数 展开式，并画出频谱图。
f (t )
A
-T
- 0

T
t
解:该周期信号f (t)显然满足狄里赫勒的三个条件， 必然存在傅立叶级数展开式。

基波角频率
2 1 2f1 T1
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三角形式傅立叶级数(续)
根据三角函数集的正交性，可确定a0 、an、bn
1 其中：a0 T
T 2 T 2
T 2 T 2
f (t )dt
2 an f (t ) cosn1tdt (n = 1,2) T
2 T bn 2T f (t ) sin n1tdt (n = 1,2) T -2
f (t )
n = -
Fn e

jn0t
A T
n = -


Sa(
n 2
)e
jn t
因为信号显然是实偶函数，因此其三角形式的FS展 开将只有直流分量和余弦分量。即展开形式为
可得，周期方波信号的三角形式傅立叶级数展开式为
f (t ) (A / T ) + (2A / T )Sa (n / 2) cosn t
7
信号分解(t)为物理意义与实际应用
物理意义：
f (t )

-
f ( ) (t - )d
不同的信号都可以分解为冲激序列， 信号不同只是它们的系数不同。
实际应用：
当求解信号通过系统产生的响应时，只需 求解冲激信号通过该系统产生的响应， 然后利用线性时不变系统的特性， 进行迭加和延时即可求得信号f(t)产生的响应。 8
•周期信号分解为直流分量、基波分量以及各次谐波分 量。 •各频率分量的振幅大小、相位的变化取决于信号的波 17 形。
2 复指数形式傅立叶级数
推导过程：利用欧拉公式
复指数形式的Fourier级数: f (t ) F e n
-

j 2n T
Fn e jnt
-

1 jn1t - jn1t 1 jn1t - jn1t cosn1t e + e , sin n1t e -e 2 j2
2 n 2 n
c0 + Cn cos （n1t + n）
n 1

其中
- bn 2 2 n arctg C n an + bn a n c0称为信号的直流分量 C0=a0

Cn cos （n1t + n）称为信号的n次谐波分量
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根据这些计算公式可知，系数an、bn、cn及相位 φ n与n ω1是 对应的。 从图中我们可以清楚地看出各频率分量的相对大小，这种图 称为信号的幅度频谱，简称幅度谱。图中每条线表示某一频 率分量的幅度称为谱线。 画出各分量的相位与n ω1的关系，这种图称为相位频谱，简 称相位谱。
5
f (t ) + f (0)(u(t ) - u(t - D )) + f ( D ) ( u(t - D ) - u (t - 2D )) + + f (k D )(u(t - k D ) - u(t - k D - D )) + (u(t ) - u(t - D )) u ( t - D ) - u ( t - 2 D ) + f (0) D + f ( D ) D + D D (u(t - k D ) - u(t - k D - D )) + f (k D ) D + D (u(t - k D ) - u(t - k D - D )) f (k D ) D D k -

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指数形式傅立叶级数(续)
a n - jbn F (n1 ) Fn 2
1 2 2 T 1 T 1 T

T 2 T 2
2 f (t ) cos n1tdt - j T

T 2 T 2
f (t ) sin n1tdt

T 2 T 2 T 2 T 2
f (t )[cosn1t - j sin n1t ]dt f (t )e - jn1t dt(n 0, +1, + 2,......)
3
连续信号分解为冲激函数的线性组合
f ( t)
f ( kD )
- D 0 D 2D
kD (k +1)D
t
¬ Ð Á ø Ð Å Å º ± í Ê ¾ Î ª ³ å ¼ ¤Å Ð º Å µ Ä µ ü ¼ Ó
4
从上图可见，将任意信号 f(t) 分解 成许多小矩形，间隔为Δτ，各矩形 的高度就是信号f(t)在该点的函数值。 根据函数积分原理，当Δτ很小时， 可以用这些小矩形的顶端构成阶梯信 号来近似表示信号 f(t) ；而当Δτ→ 0 时，可以用这些小矩形来精确表达信 号f(t)。即
幅频特性 相频特性
Fn
简称FS的幅度谱
n
简称FS的相位谱
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三角形式的傅立叶级数中Cn是第n次谐波分量的振幅，但在指数 式傅立叶级数中，Fn要与自相对应的F-n合并，构成第n次谐波分 量的振幅和相位。 n 1 两项的基波频率为 1，两项合起来称为信号的基波分量 n 2 的基波频率为2 1，两项合起来称为信号的2次谐波分 的基波频率为N ，两项合起来称为信号的N次谐波分量 n N量
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以上分析说明，任何满足Dirichlet条件的周期信号 ，都可以分解为直流及许多余弦分量之和，这些分量 的频率是 1=2π/T 基波频率的整数倍，2 1为二次谐 波频率， 3 1为三次谐波频率, …,n 1为n次谐波频率 ；
相应地，C0为直流分量的幅度，C1为基波振幅，C2 为二次谐波振幅， C3为三次谐波振幅, …,Cn为n次谐波 振幅。 φ1为基波初相位，φ2为二次谐波相位，φ3为三次谐 波相位, …, φn为n次谐波相位。
1.信号分解 2.周期信号的傅立叶级数展开
1
信号分解
直流分量+交流分量 信 号
偶分量+奇分量
实部分量+虚部分量
脉冲分量
正交分量
分解结果是唯一的
2
在信号分析与系统分析时，常常需要将信 号分解为基本信号的形式。这样，对信号与 系统的分析就变为对基本信号的分析，从而 将复杂问题简单化，且可以使信号与系统分 析的物理过程更加清晰。信号分解为冲激信 号序列就是其中的一个实例。

F0 + Fn e
n 1


jn1t
+ F- n e

- jn1t

F0 + Fn e
n 1
jn1t
+ F- n e
n 1 -1
- jn1t
F0 + Fn e jn1t +
n 1
n -
jn1t F e n

n -
jn1t F e n
信号正交分量分解
(1) 周期信号的频域分析
(2) 非周期信号的频谱 (3) 常见信号的频谱 (4) Fourier变换的性质
9
周期信号的频谱分析--傅立叶级数
周期信号的傅立叶级数展开 周期信号的频谱及其特点 周期信号的功率谱
10
Hale Waihona Puke 一、周期信号的傅立叶级数分析
将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合 意义： (1) 从信号分析的角度，将信号表示为不同频率正弦 分量的线性组合，为不同信号之间进行比较提供了途 径。 (2) 从系统分析角度，已知单频正弦信号激励下的 响应，利用迭加特性可求得多个不同频率正弦信号同 时激励下的总响应而且每个正弦分量通过系统后，是 衰减还是增强一目了然。
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三角形式傅立叶级数
若f(t) = f(t+nT)，则f(t)为周期信号，T为最小正周 期，f1=1/T是信号的基波频率。若f(t) 满足Dirichlet条 件，则f(t)可以展开为三角形式的傅立叶级数
f (t ) a0 + (an cosn1t + bn sin n1t )
n 1
an - jbn 令 : Fn 2
a- n - jb- n an + jbn 则有 : F- n , F0 a0 2 2
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复指数形式傅立叶级数（续）
an - jbn jn1t an + jbn - jn1t f (t ) a0 + e + e 2 2 n 1