2013数学竞赛题
2013年全国初中数学竞赛试题含答案
2013年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题1．设非零实数a ，b ，c 满意2302340a b c a b c ++=⎧⎨++=⎩，，则222ab bc caa b c ++++的值为（ ）． （A ）12-（B ）0（C ）12（D ）1【答案】A【解答】由已知得(234)(23)0a b c a b c a b c ++=++-++=，故2()0a b c ++=．于是2221()2ab bc ca a b c ++=-++，所以22212ab bc ca a b c ++=-++． 2．已知a ，b ，c 是实常数，关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个非零实根1x ，2x ，则下列关于x 的一元二次方程中，以211x ，221x 为两个实根的是（ ）． （A ）2222(2)0c x b ac x a +-+= （B ）2222(2)0c x b ac x a --+= （C ）2222(2)0c x b ac x a +--= （D ）2222(2)0c x b ac x a ---=【答案】B【解答】由于20ax bx c ++=是关于x 的一元二次方程，则0a ≠．因为12bx x a+=-，12c x x a =，且120x x ≠，所以0c ≠，且 221212222221212()2112x x x x b acx x x x c +--+==，22221211a x x c⋅=， 于是依据方程根与系数的关系，以211x ，221x 为两个实根的一元二次方程是222220b ac a x x c c--+=，即2222(2)0c x b ac x a --+=．3．如图，在Rt △ABC 中，已知O 是斜边AB 的中点，CD ⊥AB ，（第3题）垂足为D ，DE ⊥OC ，垂足为E ．若AD ，DB ，CD 的长度都是有理数，则线段OD ，OE ，DE ，AC 的长度中，不肯定．．．是有理数的为（ ）． （A ）OD （B ）OE （C ）DE （D ）AC【答案】D【解答】因AD ，DB ，CD 的长度都是有理数，所以，OA ＝OB ＝OC ＝2AD BD+是有理数．于是，OD ＝OA －AD 是有理数． 由Rt △DOE ∽Rt △COD ，知2OD OE OC =，·DC DODE OC=都是有理数，而AC ＝·AD AB 不肯定是有理数．4．如图，已知△ABC 的面积为24，点D 在线段AC 上，点F 在线段BC 的延长线上，且4BC CF =，DCFE 是平行四边形，则图中阴影局部的面积为（ ）．（A ）3 （B ）4 （C ）6 （D ）8【答案】C【解答】因为DCFE 是平行四边形，所以DE //CF ，且EF //DC ． 连接CE ，因为DE //CF ，即DE //BF ，所以S △DEB = S △DEC ， 因此原来阴影局部的面积等于△ACE 的面积．连接AF ，因为EF //CD ，即EF //AC ，所以S △ACE = S △ACF ． 因为4BC CF =，所以S △ABC = 4S △ACF ．故阴影局部的面积为6． 5．对于随意实数x ，y ，z ，定义运算“*”为：()()32233333451160x y x y xy x y x y +++*=+++-，且()x y z x y z **=**，则2013201232****的值为（ ）．（A ）607967（B ）1821967 （C ）5463967（D ）16389967【答案】C【解答】设201320124m ***=，则（第3题答题）（第4题答题）（第4题）()20132012433m ****=*32323339274593316460m m m m m m ⨯+⨯+⨯+==++++-， 于是()201320123292****=*3223333923929245546310360967⨯⨯+⨯⨯+⨯+==+-．二、填空题 6．设33a =，b 是2a 的小数局部，则3(2)b +的值为 ．【答案】9【解答】由于2123a a <<<<，故32292b a =-=-，因此333(2)(9)9b +==．7．如图，点D ，E 分别是△ABC 的边AC ，AB 上的点，直线BD 与CE 交于点F ，已知△CDF ，△BFE ，△BCF 的面积分别是3，4，5，则四边形AEFD 的面积是 ．【答案】20413【解答】如图，连接AF ，则有：45=3AEF AEF BFE BCF AFD AFD CDF S S S BF S S S FD S ∆∆∆∆∆∆∆++===，354AFD AFD CDF BCF AEF AEF BEF S S S CF S S S FE S ∆∆∆∆∆∆∆++====，解得10813AEF S ∆=，9613AFD S ∆=． 所以，四边形AEFD 的面积是20413．8．已知正整数a ，b ，c 满意2220+--=a b c ，2380-+=a b c ，则abc 的最大值为 ．【答案】2013【解答】由已知2220+--=a b c ，2380-+=a b c 消去c ，并整理得()228666b a a -++=．由a 为正整数及26a a +≤66，可得1≤a ≤3．若1a =，则()2859b -=，无正整数解；（第7题答题）（第7题）若2a =，则()2840b -=，无正整数解；若3a =，则()289b -=，于是可解得11=b ，5b =． （i ）若11b =，则61c =，从而可得311612013abc =⨯⨯=； （ii ）若5b =，则13c =，从而可得3513195abc =⨯⨯=． 综上知abc 的最大值为2013．9．实数a ，b ，c ，d 满意：一元二次方程20x cx d ++=的两根为a ，b ，一元二次方程20x ax b ++=的两根为c ，d ，则全部满意条件的数组()，，，a b c d 为 ．【答案】(1212)，，，--，(00)，，，-t t （t 为随意实数）【解答】由韦达定理得，，，．+=-⎧⎪=⎪⎨+=-⎪=⎪⎩a b c ab d c d a cd b由上式，可知b a c d =--=． 若0b d =≠，则1==d a b ，1==bc d，进而2b d a c ==--=-． 若0b d ==，则c a =-，有()(00)，，，，，，=-a b c d t t （t 为随意实数）． 经检验，数组(1212)--，，，与(00)，，，-t t （t 为随意实数）满意条件．10．小明某天在文具店做志愿者卖笔，铅笔每支售4元，圆珠笔每支售7元．开场时他有铅笔和圆珠笔共350支，当天虽然笔没有全部卖完，但是他的销售收入恰好是2013元．则他至少卖出了 支圆珠笔．【答案】207【解答】设x ，y 分别表示已经卖出的铅笔和圆珠笔的支数，则472013350，，+=⎧⎨+<⎩x y x y所以201371(5032)44y y x y -+==-+， 于是14y +是整数．又20134()343503x y y y =++<⨯+，所以204y >，故y 的最小值为207，此时141x =．12．设△ABC 的外心，垂心分别为O H ，，若B C H O ，，，共圆，对于全部的△ABC ，求BAC ∠全部可能的度数．【解答】分三种状况探讨． （i ）若△ABC 为锐角三角形．因为1802BHC A BOC A ∠=︒-∠∠=∠，，所以由BHC BOC ∠=∠，可得1802A A ︒-∠=∠，于是60A ∠=︒．…………5分（ii ）若△ABC 为钝角三角形．当90A ∠>︒时，因为()1802180BHC A BOC A ∠=︒-∠∠=︒-∠，，所以由180BHC BOC ∠+∠=︒，可得()3180180A ︒-∠=︒，于是120A ∠=︒。
全国大学生数学竞赛初赛2013年第五届《非数学专业》竞赛题目及答案解析高清无水印版
所求极限为
lim
r
I
a
(r
)
0,a ,a1, 2,a
1, 1.
1
1
1
第七题：(14 分)判断级数
2
n 的敛散性，若收敛，求其和。
(n 1)(n 2)
n 1
1
1
【参考解答】：(1) 记a 1 , u
a n
, n 1, 2, 。
n
2
n n (n 1)(n 2)
因为n 充分大时
x x 2y
【参考解答】：方程两边对x 求导，得 3x2 6xy 3x2y 6y2y 0 y 2y2 x2
令y(x) 0 x 0, x 2y 。将x 0, x 2y 代入所给方程，得 x 0, y 1; x 2 , y 1.
2y2 x2 2x 2xy 2y x2 2xy 4yy 2x
n
原式
lim
n
1
sin
1
4n 2
2n
exp
lim n
n
ln
1
sin
1
4n 2
2n
exp lim n sin n
n
exp lim
e4.
n 1 4n 2 2n
1 4n 2 2n
sin x
2．证明广义积分 0
d x 不是绝对收敛的。 x
(n1) | sin x |
【参考证明】：an n
d x . 只要证明
x
an 发散.
n 0
1
(n 1)
1
2
因为an (n 1) n
| sin x | d x
sin xdx
.
(n 1) 0
Pascal滑铁卢数学竞赛(Grade 9)-数学Mathematics-2013-试题 exam
1. The value of (4 + 44 + 444) ÷ 4 is
(A) 111
(B) 123
(C) 459
(D) 489
(E) 456
2. Jing purchased eight identical items. If the total cost was $26, then the cost per item, in dollars, was
7. Scoring: Each correct answer is worth 5 in Part A, 6 in Part B, and 8 in Part C. There is no penalty for an incorrect answer. Each unanswered question is worth 2, to a maximum of 10 unanswered questions.
Friday, February 22, 2013
(outside of North America and South America)
Time: 60 minutes Calculators are permitted Instructions
©2012 University of Waterloo
Mass of Jeff s Pet Atlantic Cod
20
Mass in kg
10
00
2
4
6
8
Age in Years
(A) 3
(B) 7
(C) 4
(D) 6
(E) 5
5. What is the value of 13 + 23 + 33 + 43?
2013年第四届启智杯数学思维及应用能力竞赛试卷(初中组,pdf版,含答案)
数n ,当n≥9时，总能将正三角形分割成 n 个正三角形。
8．将1、2、3、…、10、11、12这12个数填入如图所示66的某些方格中，要求同时满足 （1）每一行、每一列都只有一个奇数、一个偶数； （2）每一行、每一列和两条对角线上都恰好各有2个数，而且两数之和均不小于9。
部确定再得 2 分。
2. 请完成以下两个问题：
（1）将 999 表示成 9 个连续的奇数之和的形式；
（2）将 7n1 表示成 7 个连续的奇数之和的形式时，则其中最小的奇数是多少？（用含有字母 n 的代 数式表示，其中字母 n 正整数）
【参考答案】 （1）由于 999 9 = 111，所取 9 个奇数的中间数应该是 111，这个表示为 999 = 103 +105 +107 +109 + 111 + 113 +115 +117 +119。
或
图 1，
图2
【评分标准】发现重叠阴影部分面积不变性（正方形面积的 1 ）占 5 分；算出正方形边长占 5 分。 4
第四届启智杯数学思维及应用能力竞赛试卷（初学组） 第 4 页 共 8 页
7. 把一个边长为 9 的正三角形分割成若干正三角形（不要求每个正三角形边长相等）。 （1）最少能分割成多少个正三角形？ （2） 你还能把一个正三角形分割成 5,6,7,8,9,10,11个正三角形吗？能做到的分别画
SAED：SABD= 2：3，SAED= 8cm2，
(3)
第四届启智杯数学思维及应用能力竞赛试卷（初学组） 第 3 页 共 8 页
而△CDG 相似于△AEG，相似比为 CD: AE=3:2，故 DG:EG = 3:2，SDGA : SEGA= 3：2，
2013第十八届华罗庚数学竞赛(答案)
2013年明德招生试题一、选择题（60分）1、2012.25×2013.75－2010.25×2015.75＝（C ）A 、5B 、6C 、7D 、82、2013年的钟声敲响了，小明哥哥感慨地说：“这是我有以来第一次将要渡过一没有重复数字的年份”，已知小明哥哥出生的年份是19的倍数，那么2013年小明哥哥的年龄是（B ）岁。
A 、16B 、18C 、20D 、223、一只青蛙8点从深为12米的井底向上爬，它每向上爬3米，因为井壁打滑，就会下滑1米，下滑1米的时间是向上爬3米所用时间的三分之一，8点17分时，青蛙第二次爬至离井口3米之处，那么青蛙从井底爬到井口时所花的时间为（ A ）分钟。
A 、22B 、20C 、17D 、1622下滑1米的时间是向上爬3米所用时间的三分之一，也就是上爬和下滑的速度是一样的，如果一上一下为一个周期，那么一个周期的时间基本能被4除（不一定是整数）。
上3米，滑1米，则一上一下实际上升了2米，离井口3米处距离井底为9米。
第四个周期后距离井底为8米，这时已经爬过一次9米，而第二次爬至9米就是第五个周期，则时间为4个周期的时间+1/4个周期的时间，为17/4个周期的时间，而此时共用时间为17分钟，及每个周期为4分钟，每爬1米为1分钟。
5个周期后到达距离井底10米的地方，再用2分钟到达井口，因此，总用时为4*5+2=22分钟。
3-1=2(米) 2+3-1=4（米）4+3－1＝6（米）6+3－1＝8（米）第一次距井口3米时8+1米＝9（米）第二次距井口3米时，17÷（4+311+）＝4分／每个周期 4分÷4米=1分／每米 4*5+2=22分钟4、一个盒子里有黑棋子和白棋子若干粒，若取出一粒黑子，则余下的黑子数与白子数之比为9：7，若放回黑子再取出一粒白子，则余下的黑子数与白子数之比为7：5，那么盒子里原有的黑子数比白子数多（ C ）个。
西师版三年级上册数学竞赛试题
西师版三年级上册数学竞赛试题第一篇：西师版三年级上册数学竞赛试题三年级上册数学竞赛试题一、填空 1、3005 kg＝（）吨（）kg 5 kg50g＝（）g 3时48分=（）分 200分=（）时（）分2、甲有45本书，乙有14本书，丙有28本书，甲给乙（）本，给丙（）本后，甲、乙、丙三人本数相等。
3、已知□+□+□＝△+△△+△+△+△＝★+★ □+★+△+△＝210 那么△＝（）□＝（）★＝（）4、把3个周长都是16厘米的正方形拼成一个大长方形，拼成的长方形的周长是（）厘米。
5、一个分数，分子、分母的和是16，分母比分子大2，这个分数是（）。
6、一根绳子对折三次后，得到的1小段是这根绳子的（—）。
7、小亮把除数3看成了5，结果商15余2，正确结果应是()。
8、一块正方形菜地，一面靠墙，其他三面围篱芭，篱笆长是36米，这块菜地的边长是（）米。
9、一个长方形的宽增加2分米后，这时长方形的周长就增加（）分米。
如果长增加3分米，宽增加2分米，这时长方形的周长就增加（）分米。
10、芳芳和婷婷去买同一本书，芳芳少35元，婷婷少28元，如果两人的钱合起来正好买这本书，这本书的单价是()元。
11、数学竞赛出了20道题，做对一道得5分，做错一道扣2分，小光做完了所有的题，共得72分，他做对了（）道题。
12、儿子今年5岁，爸爸今年是儿子年龄的6倍。
10年后爸爸的年龄比儿子大()岁。
13、被减数、减数、差三个数相加等于56，被减数是（）14、一个数除以7的商和余数相同，这个数最大是（）15、在一个有余数的除法算式（）÷8=3……（）里，被除数最大是（）；被除数最小是（）16、一个正方形的边长增加2厘米，它的周长增加（）厘米。
17、一个长方形长10厘米，宽8厘米，从中截一个最大的正方形，剩下的长方形周长是（）厘米。
18、小明星期天想帮妈妈做事情，下面是分别所需的时间：用洗衣机洗衣服（20分钟）扫地（5分钟）搬家具（10分钟）晾衣服（5分钟）他至少要花（）分钟才能把这些事情全部做完。
2013年北京市初二数学竞赛试题及解答
（2）同样道理，一个月有 31 天，就不可能仅有星期一的天数比星期二的天数多．
（3）一个月 28 天，则星期一的天数和星期二的天数同样多. 也不会发生“仅有星
期一的天数比星期二的天数多”的情况．
（4）一个月 29 天，1 日是星期一，29 日也是星期一，共有 5 个星期一，4 个星期
二；所以“仅有星期一的天数比星期二的天数多”的情况只能在 29 日的月份里发生．
A
D
B
于是，∠BDE=∠CED−∠DBE=∠A−∠B=∠B=∠DBE，
所以△BDE 是等腰三角形，BE=DE．
因此，BC=BE+CE=AD+AC=8+16=24．
2013 年北京市中学生数学竞赛初二年3 级竞赛试题及解答 共 5页 第 3页
4．已知质数 p 和 q，使得 p3−q5=(p+q)2，则 8( p2013 − p q 2010 5) =
．2013 年北京市中学生数学竞赛 初二年级竞赛试题及解答
2013 年 5 月 12 日 13:00～15:00
一、选择题（满分 25 分，每小题只有一个正确答案，答对得 5 分，将答案写在下面相 应的空格中）
题号
1
2
3
4
5
答案
A
C
D
D
B
1．2013+2012−2011−2010+2009+2008−2007−2006+…+5+4−3−2+1 等于
4
4
5．如图，在直角△ABC 的两直角边 AC、BC 上分别
G
作正方形 ACDE 和 CBFG，连接 DG，线段 AB、BF、FG、
I
2013年全国大学生数学建模竞赛A题
1 车道被占用对城市道路通行能力的影响摘要在城市道路常会发生交通异常事件，导致车道被占用，事发地段的通行能力也会因此受到影响。
当交通需求大于事发断剩余通行能力时，车辆排队，产生延误，行程时间增加，交通流量发生变化。
根据这些特点，我们以城市道路基本路段发生交通事故为例，主要分析了交通事故发生后道路的通行能力的变化，以及不同时间段事故点及其上下游路段交通流量的变化，用于以后进一步突发事件下交通流的预测。
针对问题一，根据道路通行能力的定义，考虑到车身大小不同，我们把所有车辆进行标准化。
运用统计估算模型对视频一的车辆进行分段统计，得出未发生事故前道路通行能力2555(辆/h )。
因为车辆所占车道未达到数学理论计算要求，所以我们利用修正过后城市干道通行能力的数学计算模型，计算出交通事故发生至撤离期间的理论通行能力为1356（辆/h ），进而与实际数据对比，得出相对误差。
针对问题二，我们基于问题一的模型，以及附件三数据分析所得，不同车道的通行流量比例不同，对视频二的车辆各项数据的分段统计分析，得到道路实际通行能力。
再根据修正的理论数学计算模型，得出理论通行能力。
得到的结果与问题一的结果相比较，得出结论：在同一横断面上的实际通行能力与交通事故所占车道的车流量呈负相关性。
针对问题三，我们运用了两种模型，一种结合层次分析与线性回归模型，得到理想化的函数关系式。
基于层次分析模型，我们将进行问题分解，把车辆长度作为目标层，其他三个量作为准则层。
通过查阅资料对各因素进行打分，计算出事故持续时间、车道通行能力、上游车流量对车辆排队长度的权重。
层次分析模型得到各个指标对目标层的影响关系的大小，然后我们用线性回归模型求出各指标与目标层的具体的函数关系式为130.0430.09263.623y x x =-+-。
第二，我们运用车流波动相关理论，得到理论模型，继而得出它们之间的关系。
针对问题四，我们首先考虑的是上游来车在红绿灯下的时间间断问题，所以把来车的情况作周期性分析，假设来车是间隔相同的时间连续的到来，求出一个周期能通过的最大车流量数。
小学数学二年级下册速算竞赛题2013
小学数学二年级下册速算竞赛题时间：6分钟姓名：-------------24÷4= 7＋63= 9×4=36÷6=9×7=56÷8= 28＋6= 7×5= 36＋4= 30÷5=63÷9=64÷8= 38＋16= 45÷5=7÷1=25＋23= 12＋35= 27＋71= 46＋33= 40÷8= 21＋15= 36＋22= 59＋18= 72＋24= 41－29= 44－9= 72＋16= 43＋32= 35－8= 56÷7=8×2= 7＋56= 56÷7=12÷6=4×2=21－7= 7×3=8÷8=32÷4= 80－9=( )×6=3042÷7= 35－6= 28÷7= ( )×8=4821÷3=36÷4=18÷2=63÷7= 9×6=9×9=46＋10= 65＋40= 81÷9= 55－20=9＋46= 9÷3=9÷9= 58＋32= 80－28=33＋60= 54÷6=40÷8=（）×4=20 61－13=15÷5=9×3= 42－15= 18÷9= 180－60=72－40= 47＋8= 14＋85= 61＋27= 170＋20=5×9=7×7= 73＋16= 60＋300= 10÷5=83－29= 5×6= 43－17= 21＋27= 32÷8=30÷6=36÷4=64÷8=5÷1= 15÷3=16÷8=42÷6= 400＋50= 38＋26= 93－8=49÷7=6×9= 56－30= 35÷5= 27＋25=32＋8＝60－5＝91－40＝41－6＝7＋65＝4＋36＝53＋7＝42－9＝50－7＝28＋5＝75－8＝20＋44＝76－7＝8＋14＝83＋8＝46＋23＝46－23＝46＋39＝46－39＝34＋53＝90－63＝28＋67＝65－56＝73－9＝ 57－8=18－10÷5＝42÷7＋9＝36＋2×6＝25÷（10÷2）＝（54－30）÷4=(16+14)÷5= 36-36÷4=54÷6+3=8×(11-7)= 4+16-12= 18÷3÷2=2×3×6=48-8×5=(27+3)÷6=20+4×5= (20-16)×9=36-16÷4=42÷(12-5)= 5+25÷5=(7+7)÷2=24÷(26-20)= 2×3×9= 27-9-9= 41-21÷7=18÷9+60=24-(11-5)= 7×9-20= (15-6)×6=7×(42÷6)=20+15÷5=21÷3×8=35+5÷1= 12-12÷3=8÷(4×2)=63÷9-3= 45÷9×0=小学数学二年级下册百题口算竞赛题24÷4= 7＋63= 9×4=36÷6=9×7=56÷8= 28＋6= 7×5= 36＋4= 30÷5=63÷9=64÷8= 38＋16= 45÷5=7÷1=25＋23= 12＋35= 27＋71= 46＋33= 40÷8=21＋15= 36＋22= 59＋18= 72＋24= 41－29=0÷8= 72＋16= 43＋32= 35－8= 56÷7=400＋50= 3×7= 93－8= 27＋25= 7×1=8×2= 7＋56= 36÷9= 120－30= 4×2=21－7= 7×3=8÷8=32÷4= 80－9=( )×6=3042÷7=35－6= 28÷7= ( )×8=4821÷3=36÷4=18÷2= 63÷7=9×6=9×9= 46＋10= 65＋40= 81÷9= 55－20=9＋46= 310＋200= 9÷9= 58＋32= 80－28=33＋60= 54÷6=40÷8=（）×4=20 61－13=15÷5=9×3= 42－15= 18÷9= 180－60=72－40= 47＋8= 14＋85= 61＋27= 170＋20=5×9=7×7= 73＋16= 60＋300= 10÷5=83－29= 5×6= 43－17= 21＋27= 32÷8=49－9+30= 40+6×7=(21+6)÷9= (29－21)×6=63÷7+9=55+10－8= 56÷8－3= 30÷(10－4)= 7×(39－30)= 8+27+2=1、1千克梨有8个，1千克苹果比1千克梨的个数多1个，妈妈买了2千克梨和2千克苹果，共有苹果和梨（）个。
2013年三年级下数学竞赛试卷2
2012学年第二学期数学解题能力竞赛（三年级）一、填空题1．按规律在( )里填数。
(1)5、6、11、17、28、( )、( )。
（2)有一串数按一定的顺序排序1、2、3、2、3、4、3、4、5、4、5、6……第36个数是( )2．一个数乘以6，加上6，减去6，除以6，结果还是6，这个数是( )。
3．已知☆+☆+▽+⊙+▽=28, ☆+▽=10,那⊙=( )。
4．海关大钟，一点钟敲一下，二点钟敲二下……6点钟时，小红听到钟共敲了25秒，那么到12点钟时，敲钟的时间需要（）秒。
5．哥哥给弟弟15元钱后，哥哥还比弟弟多14元钱，哥哥原来比弟弟多（）元钱。
6．小明从一楼走到三楼走了30级台阶，那么他从一楼走到五楼走了（）级台阶。
7．一桶色拉油连桶共重5100克，用去—半之后，连桶还剩2600克，原来有油（）克，桶重（）克。
8．小明在做一道加法时，错把一个加数的个位零给漏掉了，结果比正确结果少了405。
这个加数是( )。
9．一只蜗牛沿着10米高的竹竿往上爬，白天向上爬3米，到夜里往下滑2米，蜗牛第( )天能爬到竹竿的顶端。
10．一个水池中的浮萍每天生长速度是前一天的一倍，第15天时浮萍才长满了半池，长满整个池要（）天。
二、解决问题（试卷上只要写答，计算过程在草稿纸做）1．用150粒珠子按下面的规律穿成一串链子，黑白珠子各需要多少粒？2．老师把月收入的一半又20元留做生活费，又把剩余钱的一半又50元储蓄起来，这时还剩40元给孩子交学费书本费。
他这个月收入多少元？3．一块长方形菜地，长是16米，宽是5米，其中一边靠墙，这块菜地占地面积多少平方米？如果用篱笆围笆围起来，篱笆至少要多少米？4．某校三年级学生数如下：甲班和乙班共83人，乙班和丙班共86人，丙班和丁班共88人。
甲班和丁班共几人？5．有两堆煤，甲堆比乙堆多28吨。
如果再从乙堆中运4吨到甲堆，这时，甲堆的煤重是乙堆的2倍。
甲堆原有煤多少吨？6．小明面向东向前走5步，左转向前走4步，再左转向前走5步，现在小明面向什么方向?如果想尽快回到原地，可以怎样走?7．假如20只兔子可换2只羊，9只羊可换3头猪，8头猪可换2头牛，那么用5头牛可换几只兔子？8．90名同学到海边游玩，班长给同学们买纯净水，每人一瓶，每瓶2元。
西吉县第一小学二年级数学竞赛题(2013年)
班级学号姓名装订线内不准答题西吉县第一小学2013～2014学年度第一学期二年级数学竞赛试题（卷） 得分一、仔细“算”（用你喜欢的方法又快又对的算出答案，写在等号后面。
共10分。
） 4×5= 2×3= 6×4= 6＋4= 55＋30＋8= 41－2= 20＋39= 54－27= 6＋48= 43－（8＋30）= 15×3= 5×3＋2= 73＋5= 43＋19= 93－（68－60）= 1×1= 6×4－8= 89－33= 73－25= 37＋50－47= 二.精心“选”（把你认为正确答案的序号填在括号里，共5分。
） 1. 确定一个顶点，可以画（ ）个角。
A.1 B.2 C.无数个 2. 0、1、2、3能组成（ ）个不同的两位数。
A.12 B.9 C.3 3. 8人参加乒乓球赛，每2人比一场，共需比（ ）场。
A.28 B.16 C.7 4. 角的两条边越长，角（ ）。
A.越大 B.越小 C.大小不变 5. 积是16的的算式是( ) A 4+4+4+4 B 4×4 C 8+8 三、准确“辨”（把你认为对的说法打上“√”，错的打“×”。
共5分。
） 1. 小明画了一条长三厘米的直线。
( ) 2. 2+2+2=2×2×2 ( ) 3. 17名同学做纸花，每4人用一张纸，最少要用4张纸。
( )4. 两个数相乘的积，不一定比这两个数相加的和大。
( )5. 两个锐角拼起来一定比直角大。
( )四、认真“填”。
（共60分）1.找规律填数:（1） 7，8，10，13，17，（ ），28（2） 3 ，6 ，12 ，24 ，( )（3） 1，5，2，10，3，15，4，( )，( ) 2.(1)2米－30厘米＝( )米( )厘米 (2)35厘米+65厘米＝（ ）米 3.6＋6＋6＋3＝（ ）×（ ）。
2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛C题
承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： C我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：参赛队员(打印并签名) ：1. 劉華疆2.3.指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：日期： 2013 年 8 月 29 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：有害物质存储地点选取和运输修路摘要本文对重金属汞、铅、砷在A,B,C,D四个地方分布，从中选出重金属含量最少的两地。
首先，对问题一，我们按照各地重金属含量与四个地方空间坐标分布，明显看出各点分布较为集中。
筛选出权重较高的影响M变质的数据，以及对M影响较重、中等等数据进行筛选，后进行整理，选出有效数据进行分析讨论，后做出合理猜想并进行验证结果。
其次，对问题二，重金属汞、铅、砷含量所对应的所有坐标与A,B,C,D四个地方在matlab中做出与之相关联的回归曲线。
分析各点与曲线分布关系，猜想出重金属含量最少的两地，并做出合理论证。
最后再进一步推论，用筛选出对M影响的权重数据，做出回归曲线，最终判断出猜想的两地为最优的两地。
最后，对问题三，运输修路要经过一条线段与一个半圆的一条路径，应画出相应的几何图形，给出多个方案，判断最短路径。
13届数学竞赛试题及答案
13届数学竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若a和b是两个非零实数，且a + b = 5，求a² + b²的最小值。
A. 5B. 10C. 25D. 502. 一个圆的半径为r，其面积与半径平方的比值是多少？A. πB. 2πrC. πrD. r²3. 一个等差数列的首项是2，公差是3，第10项是多少？A. 23B. 29C. 32D. 354. 如果一个函数f(x) = ax² + bx + c，其中a ≠ 0，且f(0) = 1，f(1) = 2，f(-1) = 0，求a的值。
A. -1B. 1C. 2D. 3二、填空题（每题5分，共30分）5. 若一个多项式P(x) = x³ - 6x² + 11x - 6可以被分解为(x -1)(x - 2)(x - 3)，那么P(4)的值是______。
6. 一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，其斜边的长度是______。
7. 一个正六边形的内角是______度。
8. 如果一个数列的前三项分别为1, 1, 2，且每一项都是前两项的和，那么第5项的值是______。
三、解答题（每题25分，共50分）9. 证明：对于任意正整数n，n³ - n 总是能被6整除。
10. 解不等式：|x - 1| + |x - 4| ≥ 5。
答案一、选择题1. B（根据平方和公式a² + b² = (a + b)² - 2ab，代入得25 -10 = 15）2. A（圆的面积公式为πr²，所以面积与半径平方的比值为π）3. C（等差数列的通项公式为an = a1 + (n - 1)d，代入得2 + 9*3= 29）4. B（根据函数值代入求得a = 1）二、填空题5. 10（将x=4代入多项式P(x)中计算）6. 5（根据勾股定理3² + 4² = 5²）7. 120（正六边形的内角和为(n-2)*180°，代入n=6得720°，除以6得120°）8. 5（根据数列规律1, 1, 2, 3, 5...）三、解答题9. 证明：n³ - n = n(n² - 1) = n(n + 1)(n - 1)，因为n, n+1, n-1是三个连续的整数，根据连续整数的性质，其中必有一个是6的倍数，所以n³ - n能被6整除。
2013年全国高中数学联合竞赛一试真题及答案
2013年全国高中数学联合竞赛一试一.填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.1. 设集合{}2,0,1,3A =，集合{}2|,2B x x A x A =-∈-∉.则集合B 中所有元素的和为 .2. 在平面直角坐标系xOy 中，点A B 、在抛物线24y x =上，满足4OA OB ⋅=-，F 是抛物线的焦点.则OFA OFB S s ∆∆⋅= .3. 在ABC ∆中，已知sin 10sin sin A B C =，cos 10cos cos A B C =,则tan A 的值为 .4. 已知正三棱锥P ABC -底面边长为1，则其内切球半径为 .5. 设,a b 为实数，函数()f x ax b =+满足：对任意[]0,1x ∈，有()1f x ≤.则ab 的最大值为 .6. 从1,2，…，20中任取5个不同的数，其中至少有两个是相邻数的概率为 .7. 若实数,x y满足x -，则x 的取值范围是 .8. 已知数列{}n a 共有9项，其中191a a ==，且对每个{}1,2,,8i ∈，均有112,1,2i i a a +⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，则这样的数列的个数为 .二.解答题：本大题共3个小题，共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.9. （本题满分16分）给定正数数列{}n x 满足12n n S S -≥，2,3,n =，这里1n n S x x =++.证明：存在常数0C >,使得2n n x C ≥⋅，1,2,n =.10. （本题满分20分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆的方程为()222210x y a b a b+=>>，12A A 、分别为椭圆的左、右顶点，12F F 、分别为椭圆的左、右焦点，P 为椭圆上不同于1A 和2A 的任意一点.若平面中两个点Q R 、满足11QA PA ⊥，22QA PA ⊥,11RF PF ⊥,22RF PF ⊥，试确定线段QR 的长度与b 的大小关系，并给出证明.11. （本题满分20分）求所有的正实数对(),a b ，使得函数()2f x ax b =+满足：对任意实 数,x y ，有()()()()f xy f x y f x f y ++≥.。
澳大利亚数学竞赛小学中年级(3--4年级)(2013年)
澳大利亚数学竞赛小学中年级（3—4）（2013年）1.请问公元 2013 年之后经过十年是公元多少年？（）（A）2003 （B）2013 （C）2014 （D）2023 （E）21132.请问一个正立方体共有多少条边？（）（A）4 （B）6 （C）8 （D）9 （E）123.小兰学校的操场跑道一圈的长度是 400 m，而小兰一共跑了三圈。
请问她一共跑了多长的距离？（）（A）300 m （B）600 m （C）800 m （D）1200 m （E）3000 m4.请问下图中矩形的几分之几被涂上阴影？（）（A）五分之一（B）五分之二（C）三分之二（D）三分之一（E）五分之三5.请问 9 和 3 之差的三倍等于多少？（）（A）6 （B）9 （C）18 （D）36 （E）816.小珍所戴的帽子上有「COTTON CLUB」的字样。
当小珍向镜子里看去，请问她所看到这顶帽子上的字样是什么？（）7.直线棋盘上的格子从左至右的编号为 1, 2, 3, …。
小莎的棋子向右移动 6 格，向左移动 4 格，然后向右移动 3 格。
假如棋子停留在编号为 7 的方格，请问开始时小莎的棋子所在格子上的编号是什么？（）（A）1 （B）2 （C）3 （D）4 （E）58.小伊位于一个边长为 10 m 正方形的迷宫之中心。
他知道只要沿着如下图所示螺旋状的路径便可走出这个迷宫。
已知这个迷宫共有A、B、C、D、E 五个出口，请问小伊将会从哪一个出口走出这个迷宫？（A）A （B）B （C）C （D）D （E）E9.用下面 3 张数码卡片拼成三位数，请问在所能拼出的数中，最大的数与最小的数相差多少？（）（A）198 （B）200 （C）202 （D）298 （E）30210.小柏在心中想着一个数，他将这个数乘以 2 之后再加 2，所得到的值是 14。
请问他心中原来想的这个数是什么？（）（A）6 （B）7 （C）8 （D）12 （E）3011.小艾有两枚 50 元硬币、三枚 20 元硬币与八枚 5 元硬币，小德有四枚 20 元硬币与六枚 10 元硬币。
2013年全国数学竞赛试题详细参考答案
（第3题）一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填都得0分）1．已知实数x y ，满足 42424233y y x x -=+=，，则444y x+的值为（ ）．（A ）7 （B ）12+ （C ）72+ （D ）5 【答】（A ）解：因为20x >，2y ≥0，由已知条件得21x ==2y ==， 所以444y x +=22233y x ++- 2226y x=-+=7． 另解：由已知得：2222222()()30()30x xy y ⎧-+--=⎪⎨⎪+-=⎩，显然222y x -≠，以222,y x -为根的一元二次方程为230t t +-=，所以 222222()1,()3y y x x-+=--⨯=- 故444y x +＝22222222[()]2()(1)2(3)7y y x x-+-⨯-⨯=--⨯-= 2．把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m ，n ，则二次函数2y x mx n =++的图象与x 轴有两个不同交点的概率是（ ）．（A ）512 （B ）49 （C ）1736（D ）12【答】（C ）解：基本事件总数有6×6＝36，即可以得到36个二次函数. 由题意知∆＝24m n -＞0，即2m ＞4n .通过枚举知，满足条件的m n ，有17对. 故1736P =. 3．有两个同心圆，大圆周上有4个不同的点，小圆周上有2个不同的点，则这6个点可以确定的不同直线最少有( )．（A ）6条 （B ） 8条 （C ）10条 （D ）E12条【答】（B ）解：如图，大圆周上有4个不同的点A ，B ，C ，D ，两两连线可以确定6条不同的直线；小圆周上的两个点E ，F 中，至少有一个不是四边形ABCD 的对角线AC 与BD 的交点，则它与A ，B ，C ，D 的连线中，至少有两条不同于A ，B ，C ，D 的两两连线．从而这6个点可以确定的直线不少于8条．当这6个点如图所示放置时，恰好可以确定8条直线． 所以，满足条件的6个点可以确定的直线最少有8条．4．已知AB 是半径为1的圆O 的一条弦，且1AB a =<．以AB 为一边在圆O 内作正△ABC ，点D 为圆O 上不同于点A 的一点，且DB AB a ==，DC 的延长线交圆O 于点E ，则AE 的长为（ ）． （A（B ）1 （C （D ）a 【答】（B ）解：如图，连接OE ，OA ，OB ． 设D α∠=，则 120ECA EAC α∠=︒-=∠．又因为()1160180222ABO ABD α∠=∠=︒+︒-120α=︒-，所以ACE △≌ABO △，于是1AE OA ==． 另解：如图，作直径EF ，连结AF ，以点B 为圆心，AB 作⊙B ，因为AB ＝BC ＝BD ，则点A ，C ，D 都在⊙B 上，由11603022F EDA CBA ∠=∠=∠=⨯︒=︒所以2301AE EF sim F sim =⨯∠=⨯︒=5．将1，2，3，4，5三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么满足要求的排法有（ ）．（A ）2种 （B ）3种 （C ）4种 （D ）5种 【答】（D ）解：设12345a a a a a ，，，，是1，2，3，4，5的一个满足要求的排列．首先，对于1234a a a a ，，，，不能有连续的两个都是偶数，否则，这两个之后都是偶数，与已知条件矛盾．又如果i a （1≤i ≤3）是偶数，1i a +是奇数，则2i a +是奇数，这说明一个偶数后面一定要（第4题）（第8题）接两个或两个以上的奇数，除非接的这个奇数是最后一个数．所以12345a a a a a ，，，，只能是：偶，奇，奇，偶，奇，有如下5种情形满足条件： 2，1，3，4，5； 2，3，5，4，1； 2，5，1，4，3； 4，3，1，2，5； 4，5，3，2，1． 二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）6．对于实数u ，v ，定义一种运算“*”为：u v uv v *=+．若关于x 的方程1()4x a x **=-有两个不同的实数根，则满足条件的实数a 的取值范围是 ．【答】0a >，或1a <-．解：由1()4x a x **=-，得21(1)(1)04a x a x ++++=，依题意有 210(1)(1)0a a a +≠⎧⎨∆=+-+>⎩，，解得，0a >，或1a <-．7．小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车．假设每辆18路公交车行驶速度相同，而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是 分钟．【答】4．解：设18路公交车的速度是x 米/分，小王行走的速度是y 米/分，同向行驶的相邻两车的间距为s 米．每隔6分钟从背后开过一辆18路公交车，则 s y x =-66． ① 每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车，则s y x =+33． ② 由①，②可得 x s 4=，所以4=xs． 即18路公交车总站发车间隔的时间是4分钟．8．如图，在△ABC 中，AB =7，AC =11，点M 是BC 的中点， AD 是∠BAC 的平分线，MF ∥AD ，则FC 的长为 ． 【答】9．解：如图，设点N 是AC 的中点，连接MN ，则MN ∥AB ． 又//MF AD ，所以 FMN BAD DAC MFN ∠=∠=∠=∠，所以 12FN MN AB ==． 因此 1122FC FN NC AB AC =+=+=9．（第8题答案）（第9题答案）另解：如图，过点C 作AD 的平行线交BA 的延长线为E ，延长MF 交 AE 于点N.则E BAD DAC ACE ∠=∠=∠=∠所以11AE AC ==. 又//FN CE ，所以四边形CENF 是等腰梯形， 即11(711)922CF EN BE ===⨯+=9．△ABC 中，AB ＝7，BC ＝8，CA ＝9，过△ABC 的内切圆圆心I 作DE ∥BC ，分别与AB ，AC 相交于点D ，E ，则DE 的长为 ．【答】163． 解：如图，设△ABC 的三边长为a ，b ，c ，内切圆I 的半径为r ， BC 边上的高为a h ，则11()22a ABC ah S abc r ==++△， 所以a r ah a b c=++． 因为△ADE ∽△ABC ，所以它们对应线段成比例，因此a a h r DEh BC-=， 所以 (1)(1)a a a h r r a DE a a a h h a b c -=⋅=-=-++()a b c a b c+=++， 故 879168793DE ⨯+==++（）．另解：ABC S rp ∆===（这里2a b cp ++=）所以12r ==2ABC a S h a ===△ 由△ADE ∽△ABC ，得23a a h r DE BC h -===， 即21633DE BC === 10．关于x ，y 的方程22208()x y x y +=-的所有正整数解为 ．【答】481603232.x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，，，解：因为208是4的倍数，偶数的平方数除以4所得的余数为0，奇数的平方数除以4所得的余数为1，所以x ，y 都是偶数．设2,2x a y b ==，则22104()a b a b +=-，同上可知，a ，b 都是偶数．设2,2a c b d ==，则2252()c d c d +=-，所以，c ，d 都是偶数．设2,2c s d t ==，则2226()s t s t +=-，于是 22(13)(13)s t -++＝2213⨯， 其中s ，t 都是偶数．所以222(13)213(13)s t -=⨯-+≤2222131511⨯-<．所以13s -可能为1，3，5，7，9，进而2(13)t +为337，329，313，289，257，故只能是2(13)t +＝289，从而13s -＝7．于是62044s s t t ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，，；，因此 481603232.x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，，，另解：因为222(104)(104)210421632x y -++=⨯= 则有2(104)21632,y +≤ 又y 正整数，所以 143y ≤≤令22|104|,|104|,21632a x b y a b =-=++= 则 因为任何完全平方数的个位数为：1，4，5，6，9由2221632a b +=知22,a b 的个位数只能是1和1或6和6； 当22,a b 的个位数是1和1时，则,a b 的个位数字可以为1或9但个位数为1和9的数的平方数的十位数字为偶数，与22a b +的十位数字为3矛盾。
二年级上册数学竞赛题2013
二年级上册数学竞赛题2012（一）1．计算：⑴5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15=（）⑵27+28+29+30+31+32+33=（）×72．找规律：11、13、17、23、31、（）20、10、17、8、14、6、（）、（）3．在□里填上符合条件的最大的数6．小林家养一些鸡，黄鸡比白鸡少16只，白鸡是黄鸡的3倍，小林家一共养（）只鸡。
7．妈妈今年是38岁，女儿是20岁，当母女俩年龄之和是50岁时，是（）年前的事。
8．小强买5支铅笔，小林买了9支铅笔，小林比小强多用了3角2分钱，一支铅笔（）钱，小林花了（）钱。
9．36加上4，减去8，再加上4，再减去8……这样连续地做下去，做（）次计算结果得0。
10．如果小明给小红一本书，那么两人的书一样多，如果小红给小明一本书，那么小明的书就是小红的3倍。
小明有（）本书、小红有（）。
11．今年是星期二，再过38天后是星期（）。
12．已知：□+□+○+○=18 □+□+○=15□=（）○=（）13．一⑴班同学排队做操，第行人数同样多，小红的位置从左数是第5个，从右数是第4个，从前数是第3个，从后数是第2个，一⑴班一共有（）人。
14．二⑴班有学生40人，期中考试语文得100分的有28人，数学得100分的有32人，语文、数学都得100分的有（）人。
15．做一道减法题时，小明把减数的个位上的7看作9，十位上的5看作3，结果差是26，正确的答案应是（）。
16．一个笼子里装有鸡和兔子共10只，一共有34条腿，鸡有（）只，兔子有（）只。
17．一只蜗牛掉进一口9米深的井里，它每天白天爬上3米，夜里又滑下1米，这样要（）天，才爬出井口。
18．小丁有两个书架，第一个书架比第二个书架少30本书，如果把第一个书架拿走5本书，放到第二个书架，那么第一个书架现在比第二个书架少（）本书。
19．1只小狗的重量是2只小兔的重量，1只小兔又是3只鸡的重量，1只狗6千克。
2013三年级数学竞赛试题
三年级数学下册竞赛试题一.、精挑细选： 1、估算一下，你的年龄比较接近（ A、120 小时 B、120 星期 ） 。
C、120 个月2、500 张白纸的厚度为 5 厘米，那么（ ）张白纸的厚度是 45 厘米。
A、1000 B、1250 C、45003、哥哥把自己的书送 8 本给妹妹，这样妹妹还是比哥哥少 7 本，哥 哥原来比妹妹多（ A、15 本 ）本书。
B、23 C、22 本4、有 35 颗糖， 按淘气—笑笑—丁丁—冬冬的顺序， 每人每次发一颗， 想一想，谁分到最后一颗？ （ A、淘气 B、笑笑 ） C、丁丁 D、冬冬二、填一填，我能行！ 1. 2. 3. 2，3，5，8，12，（ ），（ 1，3，7，15，（ ），63,( ） ) )1，5，2，10，3，15，4，（ ），(4. （1）、○+○+○=18 （2）、△+○=14 （3）、☆+☆+☆+☆=20 ○=（ ）△=（ ）☆=（ ） 5. △+○=9 △+△+○+○+○=25 △=（ ）○=（ ）6、小红带领 8 个小朋友为图书室包 58 本书，平均每人包（ 本，小红要多包（ ）本，才能完成任务。
）7、 植树节， 四年级应植树 48 棵， 5 个班， 有 其中只要有一个班种 （）棵， 其余 4 个班植树就一样多了， 其余 4 个班平均每班植树 （ ） 棵。
8、小佳问小乐，今天是星期五，再过 31 天，是星期（ ）。
9、一个两位数，它的数字之和正好是 9，而个位数字是十位数字的 8 倍，这个两位数是（ ） 。
10、将 1～7 这七个数字，分别填入下面空格内，使等式成立。
（每个 数字只能用一次） □×□=□÷□=□+□-□11、钟楼肯德基餐厅每天上午 9：00 开始营业，晚上 11：30 停止营 业，全天营业时间是（ ）时（ ）分。
12、笑笑的家住在 7 楼，每层楼梯有 16 级，她从 1 楼走到 7 楼，共 要走（ ）级。
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2013年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题
（5月5日8:00至10:00）
一．填空题：本大题共10小题，每小题7分，共70分．
1．设方程22
210x mx m -+-=的根大于2-，且小于4，则实数m 的范围是 ．
2．从6双不同号码的鞋中取出4只，至少配成一双的概率为 ．
3．设实数x ，y 满足2430x x y -++=，则22x y +的最大值与最小值之差是 ．
4．若存在正实数a ，b 满足()()n n a bi a bi +=-（i 是虚数单位，*n ∈N ），则n 的最小值是 ．
5．若三角形ABC 的三边AB ，BC ，AC 成等差数列，则A ∠的取值范围是 ．
6．若数列{}n a 满足49a =，11(1)(3)0n n n n a a a a ++---=（*n ∈N ），则满足条件的1a 的所有可能值之积是 ．
7．已知2()942013f x x x =-+，则
()6030()()n f n f n =+=∑ ．
8．设x ，[]0,2y π∈，且满足12s i n c o s s i n c o s 2
x y
x y ++=-，则x y +的最大值为 ．
9．已知正四面体ABCD 的棱长为9，点P 是面ABC 上的一个动点，满足P 到面DAB 、DBC 、DCA 的距离成等差数列，则P 到面DCA 距离的最大值是 ．
10．将小王和小孙现在的年龄按从左到右的顺序排列得到一个四位数，这个四位数为完全平
方数，再过31年，将他们俩的年龄以同样方式排列又得到一个四位数，这个数仍为完全平方数，小王现在的年龄是 ．
二．解答题：本大题共4小题，每小题20分，共80分．
11．设k 为实数，06k <<，椭圆221():19x k E y -+=与椭圆2
22:19
x E y +=交于点A 和C ，1E 的左顶点为B ，2E 的右顶点为D （如图），若四边形ABCD 是正方形，求实数k ．
12．如图，梯形ABCD 中，B 、D 关于对角线AC 对称的点分别是'B 、'D ，A 、C 关于
对角线BD 对称的点分别是'A 、'C ．证明：四边形''''A B C D 是梯形．
13．设实数a ，b 满足1012
a b ≤≤≤≤．证明：2()cos cos b a a b ππ-≤-．
14．正100边形的每个顶点染红、黄、蓝三色之一．证明：必存在四个同色点，恰为某等腰
梯形的顶点．。