第15章 几何光学

第十五章 习题解答

12-1 选择题

15-1-1 解 答案为（D ）

15-1-2 解 根据光的折射定律可得答案为（B ）

15-1-3 解 对球面反射成像r s s 211'=+ s

s y y '

'-==β

虚物0>s ，凹球面镜0

β（像正立），

又10'

1

11100''

'<→<-=+∴

<<ββs s s s s r

，故答案为（A ） 15-1-4 解 答案为(C)

15-1-5 解 人与水中镜的像之距离为

n h h h h /21'

21+=+

所以镜中眼距人眼的距离cm n h h h h 03.22)/(2)(221'

21=+=+ 答案为（A ）

15-1-6 解 设光线在玻璃中的折射角为r ，则光线从S 到玻璃板上表面的传播距离

θcos /l ；光线从S 到玻璃板上表面的传播时间θcos /c l ，其

中c 表示空气中的光速。 光线在玻璃板中的传播距离为

γcos /d ,其中γ为折射角； 光线在玻璃板中的传播时间为γcos /c nd .据题意有θcos /c l γcos /c nd =

由折射定律 γθsin sin n = 解之得:

12-2 填空题

15-2-1 解 0

07.56)/1arcsin(==n i

15-2-2 解 已知r s =，由球面折射成像公式r n n s n s

n -=-'''

得 cm r s 15'

-==

垂轴放大率 33.1'''===n

n

s n ns β

15-2-3 解 解:设物距左界面y ，经左界面折射成像，像距左界面

y n y 1

'=

该像距右界面d y y +='2 作为右界面的物，经右界面成像

n

d y d y n y n y +=+==

)(11'2'' 物体移近的距离

)/11()(2n d n

d

y d y d -=+-+=

12-2-4 解 由图得)sin()cos /()sin('''i i i t i i AB d -=-= 当i 很小时，'

i 也很小，1cos '

≈i ，且

'

')sin(i i i i -=-

由折射定律得：'

0ni i n ≈

)1()()sin()cos /(00''n n ti i n n i t i i i t d -=-

≈-=

12-2-5 解 (1)设成像时物与镜之距为x ，则x D s x s -=-=',

由成像公式''1

11f s s =-

得

f x x D 1

11=---，解之得2)4(1f D D D x -+=2

)4(2f D D D x --= )4(||21f D D x x d -=-=

(2) 横向放大s

s y y ''==β

所以像高y x x D y s s y --==''，则2

211'

2'1/x D x x x D y y --⋅--== 又212)4(x f D D D x D =--=

-，122)

4(x f D D D x D =-+=-

故22122211'

2'1)()(/d

D d D x x x D x x x D y y +-==--⋅--==

15-3计算题

15-3-1 解 通过A 、B 两点作平面垂直于界面，OO ′是界面与所作平面的交线,见

d

2

d P

P ’

i

'

i

d

t

A

B

0n

n

n A

B

'

C

'

'C x

y

A B

C

A ′

B ′

N

2i

1i

图（a ）。根据费马原理，可以确定反射点C 点必在交线OO ′上。这是因为，如果有另一点C ′位于线外，则对应于C ′，必可在OO ′线上找到它的垂足C ″。由于AC ′＞AC ″，C ′B ＞C ″B ，故光程(AC ′B)总是大于光程(AC ″B)而非极小值。所以反射点C 点必在交线OO ′上，这就证明了入射面和反射面在同一平面内。

确定C 点在OO ′上的位置。在图（b ）中，作x,y 坐标轴。指定点A 、B 的坐标分别为(1x ,1y )和(2x ,2y )，未知点C 的坐标为(x ，0)。于是光程(ACB)等于

2

2222121)()()(y x x y x x BC AB ABC +-++-=+=

根据费马原理，此时光程应取最小值，即上式对x 的一阶导数应该等于零：

0)(/)(2)(/)(2/)(2222221211=+--++--=y x x x x y x x x x dt ABC d （1）

则)(1x x -与)(2x x -异号，即)(21x x x << ，C 点在A ′、B ′之间，故入射光线与反射光线分居在法线两侧。

由图知：2

222222

1

2111)(/)(sin )(/)(sin y x x x x i y x x x x i +---=+--=

代入（1）可推得 12i i =

反射定律得证。

15-3-2 解 入射角α-=0

90i 发生全反射时临界角满足

10)90sin(sin n n i n c =-=α

)/arcsin(9010n n -=α

(1)将此棱镜置于空气中则所求

0004.52)64.1/1arcsin(90)/1arcsin(90=-=-=n α

(2)将此棱镜置于水中所求

0008.35)64.1/1arcsin(90)/33.1arcsin(90=-=-=n α

15-3-3 解 水底经水和液体媒质之间的界面成像，其像距（像到该界面的距离）

11

2

'1d n n y =

该像作为空气与液体媒质之间的界面的物，再次成像

cm d n d n d n n d n y d n y 48.41

1)(1)(111

2211222'122'=+=+=+=

这就是水底距该液层表面的像似深度

15-3-4 解

15-3-5 解 由题知cm y cm y cm s 1,5,

10'==-=

由球面反射成像公式r s s 2

11'=+

0'

'=+s y

s

y F

'

F

C