江苏省前黄中学溧阳中学高三第二次联考数学(理)2016年4月

（2）设数列{an}是各项均为实数的等比数列，且公比q≠1．
（i）试给出一个{an}，使其存在无穷项的等差子列（不必写出过程）；
（ii）若{an}存在无穷项的等差子列，求q的所有可能值．
解：（1）设所求等比子数列含原数列中的连续项的个数为k（1≤k≤3，k∈N*），
当k＝2时，
①设，，成等比数列，则＝×，即m＝n＋＋2，
补充证明（**）
令G(x)＝lnx－x＋1，x≥1．G’(x)＝－1≤0，所以G(x)在[1，＋∞)上单调递减．
所以x＞1时，G(x)＜G(1)＝0，即lnx＜x－1．……………………16分
2016届高三下学期联考
数学附加题
21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只要选做2题，每小题10分，共计20分．请在答题纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（2）(i)当能量次级数为2时，求该探测器消耗的最少能量；
(ii)当能量次级数为3时，试确定 的大小，使该探测器消耗的能量最少．
解：（1）由题意得，该探测器相对于河岸的速度为 ，
又该探测器相对于河岸的速度比相对于水的速度小4 km/h，即 ，
所以 ，即 ， ；……………………4分
（2）(ⅰ)当能量次级数为2时，由（1）知 ， ，
等差子数列：a1，a1，a1，…或－a1，－a1，－a1，……………………7分
（ii）设{a}(k∈N*，nk∈N*)为{an}的等差子数列，公差为d，
当|q|＞1时，|q|n＞1，取nk＞1＋log，从而|q|＞，
故|a－a|＝|a1q－a1q|＝|a1||q|·|q－1|≥|a1||q|(|q|－1)＞|d|，
f’(x)
－
0
＋
f(x)
单调递减
单调递增
故f(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，＋∞)．……………………3分
（2）方法一、f(x)＝(x－a)lnx－x＋a，f’(x)＝lnx－，其中x＞0，
令g(x)＝xlnx－a，分析g(x)的零点情况．
g’(x)＝lnx＋1,令g’(x)＝0，x＝，列表分析
由 得： ，
所以 ，
同理可得： ，…………………12分
所以 ，
于是直线 方程为
，
令 ，得
，
故直线 过定点 .…………………16分
19.定义：从一个数列{an}中抽取若干项(不少于三项)按其在{an}中的次序排列的一列数叫做{an}的
子数列，成等差(比)的子数列叫做{an}的等差(比)子列．
（1）求数列1，，，，的等比子列；
②若－＜a＜－，则f’()＝ln－ae＜0，f’(e－2)＝－(2＋ae2)＞0，f’(e2)＝(2e2－a)＞0，
因此f’(x)在(e－2，e2)有两个零点，f(x)在(e－2，e2)内有两个极值点；
③若－≤a＜0，则f’()＝ln－ae＜0，f’(e－2)＝－(2＋ae2)≤0，f’(e2)＝(2e2－a)＞0，
4.运行如图所示的伪代码，其输出的结果S为▲．13
5.从1、2、3、4这4个数中一次性随机地取两个数，则所取两个数的和为4或5的概率为▲.
6.已知 ，则 ＝▲.
7.已知正三棱锥的体积为9 cm3，高为3cm．则它的侧面积为▲cm2．18
8.已知双曲线 ( ， )的左顶点为 ，右焦点为 ，过 作垂直于 轴的直线 与双曲线交于 ， 两点，且满足 ，则该双曲线的离心率是▲．
A．选修4—1：几何证明选讲
在圆O中，AB，CD是互相平行的两条弦，直线AE与圆O相切于点A，且与CD的延长线交于点E，求证：AD2＝AB·ED．
证明：连接BD，
因为直线AE与圆O相切，所以∠EAD＝∠ABD．……………………4分
2016届高三下学期联考试题
数学
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
1.已知集合 ， ，则 中元素的个数为▲．
2.设复数z满足 ，（ 为虚数单位），则复数 的实部为▲.3
3.已知样本7，8，9，x，y的平均数是8，且xy= 60，则此样本的方差是▲．2
故g(x)在(1，1＋a)上存在唯一的零点，设为x0．
由
x
(1，x0)
x0
(x0，1＋a)
f’(x)
－
0
＋
f(x)
单调递减
单调递增
知，x∈(1，1＋a)，f(x)＜max{f(1)，f(1＋a)}．……………………13分
又f(1＋a)＝ln(1＋a)－1，而x＞1时，lnx＜x－1(**)，
所以f(1＋a)＜(a＋1)－1－1＝a－1＝f(1)．
由（Ⅰ）知 ， ，
由正弦定理知， ，得 .…………………14分
解法二：由（Ⅰ）知 ，又 为 中点， ，
在 中，由余弦定理分别得：
又 ， ，
由正弦定理知， ，得 .…………………14分
16.如图，在三棱锥 中，已知平面 平面 ．
（1）若 ， ，求证： ；
（2）若过点 作直线 平面 ，求证： ∥平面 ．
（当且仅当 即 km/h时，取等号）……………9分
(ⅱ)当能量次级数为3时，由（1）知 ， ，
所以 得 ，
当 时， ；当 时， ，
所以当 时， ．
答：(ⅰ)该探测器消耗的最少能量为 ；
(ⅱ) km/h时，该探测器消耗的能量最少．……………14分
18.如图,已知椭圆 ： 的上顶点为 ,离心率为 .
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
20.设函数 ．
（1）若 ，求函数 的单调区间；
（2）若 ，试判断函数 在区间 内的极值点的个数，并说明理由；
（3）求证：对任意的正数 ，都存在实数 ，满足：对任意的 ， ．
解：（1）当a＝0时，f(x)＝xlnx－x，f’(x)＝lnx，
令f’(x)＝0，x＝1，列表分析
x
(0，1)
1
(1，＋∞)
x
(0，)
(，＋∞)
g’(x)
－
0
＋
g(x)
单调递减
单调递增
g(x)min＝g()＝－－a，……………………5分
而f’()＝ln－ae＝－1－ae，f’(e－2)＝－2－ae2＝－(2＋ae2)，f’(e2)＝2－＝(2e2－a)，
①若a≤－，则f’(x)＝lnx－≥0，
故f(x)在(e－2，e2)内没有极值点；
又 ⊥平面 ，所以 // ．
又 平面 ， 平面 ， //平面 ．…………14分
17.某生物探测器在水中逆流行进时，所消耗的能量为 ，其中 为行进时相对于水的速
度， 为行进时的时间（单位：小时）， 为常数， 为能量次级数．如果水的速度为4 km/h，
该生物探测器在水中逆流行进200km．
（1）求 关于 的函数关系式；
这与|a－a|＝|d|矛盾，故舍去；……………………12分
当|q|＜1时，|q|n＜1，取nk＞1＋log，从而|q|＜，
故|a－a|＝|a1||q||q－1|≤|a1||q|||q|＋1|＜2|a1||q|＜|d|，
这与|a－a|＝|d|矛盾，故舍去；
又q≠1，故只可能q＝－1，
结合(i)知，q的所有可能值为－1．……………………16分
9.设等比数列 的前 项积为 ，若 ，则 的值是.2
10.已知 ，则不等式 的解集为
▲.
11.如图，已知 是圆的直径， 在圆上且 ，
则 ▲.2
12.已知圆 与圆 相交于 两点，且满足 ，则 .
13.若函数 有唯一零点，则 的取值范围是▲.
14.已知函数 ，若存在非零实数 ，使得 ，则 的最小值为▲．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、
证明过程或演算步骤．
15.在 中，角 的对边分别为 ，且满足
．
（1）求角 的大小；
（2）若点 为 中点，且 ，求 ．
（Ⅰ） ，
即 ，
，
，所以 ，由 ,
解得 ．…………………7分
（范围不说明扣1分）
（Ⅱ）解法一：取 中点 ,连 ,则 ,则 ，则 ，
方法二、f(x)＝(x－a)lnx－x＋a，f’(x)＝lnx－，令
（不用零点存在定理说明扣3分）
（3）猜想：x∈(1，1＋a)，f(x)＜a－1恒成立．……………………11分
证明如下：
由（2）得g(x)在(，＋∞)上单调递增，且g(1)＝－a＜0，g(1＋a)＝(1＋a)ln(1＋a)－a．
因为当x＞1时，lnx＞1－(*)，所以g(1＋a)＞(1＋a)(1－)－a＝0．
即x∈(1，1＋a)，f(x)＜a－1．
所以对任意的正数a，都存在实数t＝1，使对任意的x∈(t，t＋a)，使f(x)＜a－1．
……………………15分
补充证明（*）：
令F(x)＝lnx＋－1，x≥1．F’(x)＝－＝≥0，所以F(x)在[1，＋∞)上单调递增．
所以x＞1时，F(x)＞F(1)＝0，即lnx＞1－．
（Ⅱ）若过点 作圆
的两条切线分别与椭圆 相交于点 (不同于点 ).当 变化时,试问直线 是否过某个定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由.
Baidu Nhomakorabea解：（Ⅰ）由已知可得, ,
所求椭圆的方程为 …………………5分
（Ⅱ）设切线方程为 ，则 ，即 ，
设两切线 的斜率为 ，则 是上述方程的两根，所以
；…………………8分
当且仅当n＝1时，m∈N*，此时m＝4，所求等比子数列为1，，；
②设，，成等比数列，则＝×，即m＝n＋1＋－2N*；………3分
当k＝3时，数列1，，；，，；，，均不成等比，
当k＝1时，显然数列1，，不成等比；
综上，所求等比子数列为1，，．……………………5分
（2）（i）形如：a1，－a1，a1，－a1，a1，－a1，…（a1≠0，q＝－1）均存在无穷项
16．（1）因为平面 ⊥平面 ，平面 平面 ，
平面 ， ⊥ ，所以 ⊥平面 ．…………3分
因为 平面 ，所以 ⊥
又因为 ⊥ ，且 ， 平面 ,
所以 ⊥平面 ，
又因为 平面 ，所以 ⊥ ．…………7分
（2）在平面 内过点 作 ⊥ ，垂足为 ．
因为平面 ⊥平面 ，又平面 ∩平面 ＝BC，
平面 ，所以 ⊥平面 ．…………10分
因此f’(x)在(e－2，e2)有一个零点，f(x)在(e－2，e2)内有一个极值点；
综上所述，当a∈(－∞，－]时，f(x)在(e－2，e2)内没有极值点；
当a∈(－，－)时，f(x)在(e－2，e2)内有两个极值点；
当a∈[－，0)时，f(x)在(e－2，e2)内有一个极值点..……………………10分