奥赛例题及答案—极限法
极限定理习题及答案
极限定理习题及答案极限定理习题及答案引言：极限定理是微积分中的重要概念，它描述了函数在某个点附近的行为。
通过研究极限，我们可以揭示函数的性质，解决各种数学问题。
本文将介绍一些常见的极限定理习题，并给出详细的答案。
一、极限的定义在开始解答具体习题之前，我们先来回顾一下极限的定义。
对于给定的函数f(x)，当自变量x无限接近某个常数a时，如果函数值f(x)也无限接近一个常数L，那么我们就说函数f(x)在x趋于a时的极限为L，记作lim(x→a)f(x)=L。
二、习题及解答1. 求函数f(x)=2x^2-3x+1在x趋于2时的极限。
解答：根据极限定义，我们要求当x趋于2时，函数f(x)的极限。
将x代入函数f(x)，得到f(2)=2(2)^2-3(2)+1=7。
因此，当x趋于2时，函数f(x)的极限为7。
2. 求函数f(x)=sinx/x在x趋于0时的极限。
解答：根据极限定义，我们要求当x趋于0时，函数f(x)的极限。
首先，我们可以观察到当x等于0时，函数的值为0/0，这是一个未定义的情况。
但是，我们可以利用泰勒展开将函数转化为可求解的形式。
对于sinx，我们可以将其展开为x-x^3/3!+x^5/5!-...。
将展开后的形式代入函数f(x)，得到f(x)=(x-x^3/3!+x^5/5!-...)/x=1-x^2/3!+x^4/5!-...。
当x趋于0时，我们可以发现除了第一项1之外，其他各项都趋于0。
因此，当x趋于0时，函数f(x)的极限为1。
3. 求函数f(x)=ln(1+x)/x在x趋于0时的极限。
解答：根据极限定义，我们要求当x趋于0时，函数f(x)的极限。
将x代入函数f(x)，得到f(0)=ln(1+0)/0=ln(1)/0。
我们可以发现ln(1)=0，而0/0是一个未定义的情况。
为了解决这个问题，我们可以利用洛必达法则。
对函数f(x)求导，得到f'(x)=(1/(1+x)-ln(1+x))/x^2。
《高中物理奥赛经典》之极限法
五、极限法方法简介极限法是把某个物理量推向极端，即极大和极小或极左和极右，并依此做出科学的推理分析，从而给出判断或导出一般结论。
极限法在进行某些物理过程的分析时，具有独特作用，恰当应用极限法能提高解题效率，使问题化难为易，化繁为简，思路灵活，判断准确。
因此要求解题者，不仅具有严谨的逻辑推理能力，而且具有丰富的想象能力，从而得到事半功倍的效果。
赛题精讲例1：如图5—1所示， 一个质量为m 的小球位于一质量可忽略的直立弹簧上方h 高度处，该小球从静止开始落向弹簧，设弹簧的劲度系数为k ，则物块可能获得的最大动能为 。
解析：球跟弹簧接触后，先做变加速运动，后做变减速运动，据此推理，小球所受合力为零的位置速度、动能最大。
所以速最大时有mg = kx ①由机械能守恒有：mg (h + x) = E k +12kx 2 ②联立①②式解得：E k = mgh －22m g 2k例2：如图5—2所示，倾角为α的斜面上方有一点O ，在O 点放一至斜面的光滑直轨道，要求一质点从O 点沿直轨道到达斜面P 点的时间最短。
求该直轨道与竖直方向的夹角β 。
解析：质点沿OP 做匀加速直线运动，运动的时间t 应该与β角有关，求时间t 对于β角的函数的极值即可。
由牛顿运动定律可知，质点沿光滑轨道下滑的加速度为： a = gcos β该质点沿轨道由静止滑到斜面所用的时间为t ，则：12at 2=OP 所以：t =2OPg cos β① 由图可知，在ΔOPC 中有：o OP sin(90)-α=o OCsin(90)+α-β图5—1图5—2所以：OP =OCcos cos()αα-β ②将②式代入①式得：t =2OCcos g cos cos()αβα-β=[]4OCcos cos cos(2)g αα+α-β显然，当cos(α－2β) = 1 ，即β =2α时，上式有最小值。
所以当β =2α时，质点沿直轨道滑到斜面所用的时间最短。
极限习题及答案
极限习题及答案极限是数学分析中的一个基本概念，它描述了函数在某一点附近的行为。
在解决极限问题时，我们通常需要掌握一些基本的极限性质和技巧。
以下是一些极限习题及相应的答案。
习题1：求极限 \(\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}\)答案：首先，我们可以尝试化简表达式：\[\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \lim_{x \to 2}\frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2}\]当 \(x \neq 2\) 时，分子和分母中的 \(x - 2\) 可以相互抵消，得到：\[\lim_{x \to 2} (x + 2) = 2 + 2 = 4\]习题2：求极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\)答案：这个极限是著名的正弦极限，其值是 1。
我们可以通过洛必达法则或者直接利用正弦函数的图形来理解这个极限。
当 \(x\) 接近 0 时，\(\frac{\sin x}{x}\) 接近 1。
求极限 \(\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 2x}{x^2 + 1}\)答案：当 \(x\) 趋向于无穷大时，分子和分母中 \(x^2\) 的项占主导地位，因此：\[\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 2x}{x^2 + 1} = \frac{3 +\frac{2}{x}}{1 + \frac{1}{x^2}} = 3\]习题4：求极限 \(\lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}}\)答案：这个极限是 e 的定义，即自然对数的底数。
我们可以通过取对数来解决这个问题：\[\ln(\lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}}) = \lim_{x \to 0}\frac{\ln(1 + x)}{x}\]当 \(x\) 接近 0 时，\(\ln(1 + x)\) 接近 \(x\)，因此：\[\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = \lim_{x \to 0} 1 = 1\]所以原极限的值为 \(e\)。
极限习题及答案极限的则运算
极限习题及答案极限的则运算极限习题及答案：1. 计算极限：lim(x→∞) (2x + 1)/(3x - 2)解：当 x 趋近无穷大时，分子和分母的最高次项都是 x，所以可以将 x 提取出来：lim(x→∞) (2x + 1)/(3x - 2)= lim(x→∞) (2 + 1/x)/(3 - 2/x)当 x 趋近无穷大时，1/x 趋近于 0，所以可以将其忽略：= lim(x→∞) (2 + 0)/(3 - 0)= 2/32. 计算极限：lim(x→0) (sin 3x)/(2x)解：当 x 趋近 0 时，sin 3x 趋近 0，所以可以将其忽略：lim(x→0) (sin 3x)/(2x)= lim(x→0) (3)/(2)= 3/23. 计算极限：lim(x→1) (x^2 - 1)/(x - 1)解：这个极限的形式是 0/0，我们可以尝试将其进行因式分解：(x^2 - 1)/(x - 1) = (x + 1)(x - 1)/(x - 1) = x + 1当 x 趋近 1 时，x + 1 趋近 2，所以极限为 2。
4. 计算极限：lim(x→∞) (e^x + 1)/(e^x - 1)解：当 x 趋近无穷大时，e^x 趋近无穷大，所以可以将其忽略：lim(x→∞) (e^x + 1)/(e^x - 1)= lim(x→∞) (1 + 1)/(1 - 1)= 2/0这个极限不存在。
5. 计算极限：lim(x→0) (1 - cos x)/(x^2)解：这个极限的形式是 0/0，我们可以尝试将其进行泰勒展开：1 - cos x = 1 - (1 - x^2/2 + x^4/4! - x^6/6! + .)= x^2/2 - x^4/4! + x^6/6! - 。
当 x 趋近 0 时，x^2/2 趋近 0，所以极限为 0。
这是一些常见的极限习题及答案，通过这些例子，你可以更好地理解极限的概念和运算法则。
极限练习题含答案
极限练习题含答案极限是数学分析中的一个重要概念，它描述了当自变量趋近于某个值时，函数值的行为。
下面是一些极限练习题及其答案，供同学们学习和练习。
练习题1：求极限\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \]答案1：根据洛必达法则或者直接使用三角函数的性质，我们可以知道：\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \]练习题2：求极限\[ \lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 2x + 1}{x^2 - 3x + 2} \]答案2：分子和分母同时除以\( x^2 \)，得到：\[ \lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{2}{x} +\frac{1}{x^2}}{1 - \frac{3}{x} + \frac{2}{x^2}} = 3 \]练习题3：求极限\[ \lim_{x \to 0} (1 + x)^{1/x} \]答案3：这是e的极限定义，即：\[ \lim_{x \to 0} (1 + x)^{1/x} = e \]练习题4：求极限\[ \lim_{x \to 1} \frac{1}{x - 1} \]答案4：这是一个无穷小量的倒数，当\( x \)趋近于1时，\( x - 1 \)趋近于0，所以：\[ \lim_{x \to 1} \frac{1}{x - 1} \text{ 不存在} \]练习题5：求极限\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{\sin 3x} \]答案5：分子分母同时除以\( \sin x \)，得到：\[ \lim_{x \to 0} \frac{2}{3} \cdot \frac{\sin x}{x} \cdot\frac{\sin 2x}{\sin 3x} = \frac{2}{3} \cdot 1 \cdot 1 =\frac{2}{3} \]练习题6：求极限\[ \lim_{x \to 0} x \cdot \tan x \]答案6：使用洛必达法则或者直接利用三角函数的性质，我们可以得到：\[ \lim_{x \to 0} x \cdot \tan x = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{\cos x} = 0 \]练习题7：求极限\[ \lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x} \]答案7：当\( x \)趋近于无穷大时，\( \sin x \)的值在-1和1之间波动，但相对于\( x \)来说，它趋近于0，所以：\[ \lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x} = 0 \]练习题8：求极限\[ \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} \]答案8：这是e的导数的极限定义，即：\[ \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1 \]以上练习题和答案可以帮助同学们更好地理解和掌握极限的概念和求解方法。
奥赛专题 函数 不等式 数列 极限 数学规纳法
奥赛专题 函数 不等式 数列 极限 数学归纳法一 能力培养1,归纳-猜想-证明 2,转化能力 3,运算能力 4,反思能力 二 问题探讨问题1数列{n a }满足112a =,212n n a a a n a ++⋅⋅⋅+=,(n N *∈). (I)求{n a }的通项公式; (II)求1100nn a -的最小值; (III)设函数()f n 是1100nn a -与n 的最大者,求()f n 的最小值.问题2已知定义在R 上的函数()f x 和数列{n a }满足下列条件:1a a =,1()n n a f a -= (n =2,3,4,⋅⋅⋅),21a a ≠,1()()n n f a f a --=1()n n k a a --(n =2,3,4,⋅⋅⋅),其中a 为常数,k 为非零常数.(I)令1n n n b a a +=-(n N *∈),证明数列{}n b 是等比数列;(II)求数列{n a }的通项公式; (III)当1k <时,求lim n n a →∞.问题3已知两点M (1,0)-,N (1,0),且点P 使MP MN ⋅u u u v u u u u v ,PM PN ⋅u u u u v u u u v ,NM NP ⋅u u u u v u u u v成公差小于零的等差数列.(I)点P 的轨迹是什么曲线? (II)若点P 坐标为00(,)x y ,记θ为PM u u u u v 与PN u u uv 的夹角,求tan θ.三 习题探讨 选择题1数列{}n a 的通项公式2n a n kn =+,若此数列满足1n n a a +<(n N *∈),则k 的取值范围是A,2k >- B,2k ≥- C,3k ≥- D,3k >- 2等差数列{}n a ,{}n b 的前n 项和分别为n S ,n T ,若231n n S n T n =+,则n na b = A,23 B,2131n n -- C,2131n n ++ D,2134n n -+3已知三角形的三边构成等比数列,它们的公比为q ,则q 的取值范围是A,1(0,2+B,1(2C,1[1,2+D,11(22- 4在等差数列{}n a 中,1125a =,第10项开始比1大,记21lim ()n n n a S t n →∞+=,则t 的取值范围是A,475t > B,837525t <≤ C,437550t << D,437550t <≤5设A 11(,)x y ,B 22(,)x y ,C 33(,)x y 是椭圆22221x y a b+=(0a b >>)上三个点,F 为焦点,若,,AF BF CF 成等差数列,则有A,2132x x x =+ B,2132y y y =+ C,213211x x x =+ D,2213x x x =⋅ 6在ABC ∆中,tan A 是以4-为第三项,4为第七项的等差数列的公差,tan B 是以13为 第三项,9为第六项的等比数列的公比,则这个三角形是A,钝角三角形 B,锐角三角形 C,等腰直角三角形 D,以上都不对 填空7等差数列{}n a 前n (6n >)项和324n S =,且前6项和为36,后6项和为180,则n = .8223323232323236666n nn nS ++++=+++⋅⋅⋅+,则lim n n S →∞= .9在等比数列{}n a 中,121lim()15n n a a a →∞++⋅⋅⋅+=,则1a 的取值范围是 . 10一个数列{}n a ,当n 为奇数时,51n a n =+;当n 为偶数时,22n n a =.则这个数列的前2m 项之和2m S = .11等差数列{}n a 中,n S 是它的前n 项和且67S S <,78S S >,则①此数列的公差0d <,②96S S <,③7a 是各项中最大的一项,④7S 一定是n S 中的最大项,其中正确的是 . 解答题12已知23123()nn f x a x a x a x a x =+++⋅⋅⋅+,且123,,n a a a a ⋅⋅⋅组成等差数列(n 为正偶数).又2(1)f n =,(1)f n -=,(I)求数列的通项n a ;(II)试比较1()2f 与3的大小,并说明理由.13已知函数2()31f x x bx =++是偶函数,()5g x x c =+是奇函数,正数数列{}n a 满足11a =,211()()1n n n n n f a a g a a a +++-+=.(I)若{}n a 前n 项的和为n S ,求lim n n S →∞;(II)若12()()n n n b f a g a +=-,求n b 中的项的最大值和最小值.14. 已知等比数列{}n x 的各项不为1的正数,数列{}n y 满足log 2n n x y a ⋅=(0a >且1a ≠),设417y =,711y =.(I)求数列{}n y 的前多少项和最大,最大值是多少? (II)设2n yn b =,123n n S b b b b =+++⋅⋅⋅+,求25lim2nn S →∞的值.(III)试判断,是否存在自然数M,使当n M >时1n x >恒成立,若存在求出相应的M;若不存 在,请说明理由.15设函数()f x 的定义域为全体实数,对于任意不相等的实数1x ,2x ,都有12()()f x f x -12x x <-,且存在0x ,使得00()f x x =,数列{}n a 中,10a x <,1()2()n n n f a a a n N +=-∈,求证:对于任意的自然数n ,有: (I)0n a x <; (II)1n n a x +<.参考答案:问题1解:(I)212n n a a a n a ++⋅⋅⋅+=,得n S =2n n a当2n ≥时,1n n n a S S -=-=2n n a 21(1)n n a ---,有221(1)(1)n n n a n a --=-,即111n n a n a n --=+. 于是3241123112313451n n n a a a a a n a a a a a n --=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=2(1)n n +.又112a =,得n a =1(1)n n +. 由于1a 也适合该式,故n a =1(1)n n +.(II)1100nn a -=299n n -=2(49.5)2450.25n -- 所以当49n =或50时,1100nn a -有最小值2450-. (III)因()f n 是1100nn a -与n 的最大者,有(1100)()1100(100)nn n f n n n a ≤≤⎧⎪=⎨-<⎪⎩,有min ()f n =(1)f =1.问题2(I)证明:由1210b a a =-≠,得2322121()()()0b a a f a f a k a a =-=-=-≠.由数学归纳法可证10n n n b a a +=-≠(n N *∈).而,当2n ≥时,1111111()()()n n n n n n n n n n n n n n b a a f a f a k a a k b a a a a a a +---------====--- 因此,数列{}n b 是一个公比为k 的等比数列.(II)解:由(I)知,11121()()n n n b k b k a a n N --*==-∈当1k ≠时,112211()(2)1n n k b b b a a n k--++⋅⋅⋅+=-≥- 当1k =时,12n b b b ++⋅⋅⋅+=21(1)()n a a --(2n ≥)而12213211()()()(2)n n n n b b b a a a a a a a a n -++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-=-≥,有当1k ≠时,1n a a -= 1211()(2)1n k a a n k---≥-;当1k =时,1n a a -=21(1)()n a a --(2)n ≥. 以上两式对1n =时也成立,于是当1k ≠时,11211()1n n k a a a a k --=+--= 11(())1n k a f a a k--=+--当1k =时,121(1)()n a a n a a =+--=(1)(())a n f a a +--.(III)解:当1k <时,11()lim lim[(())]11n n n n k f a aa a f a a a k k-→∞→∞--=+-=+--.问题3解:(I)设点P(,x y ),由M (1,0)-,N (1,0)得(1,)PM MP x y =-=---u u u u v u u u v ,(1,)PN NP x y =-=--u u u v u u u v ,(2,0)MN NM =-=u u u u v u u u u v有2(1)MP MN x ⋅=+u u u v u u u u v ,221PM PN x y ⋅=+-u u u u v u u u v ,2(1)NM NP x ⋅=-u u u u v u u u v .于是MP MN ⋅u u u v u u u u v ,PM PN ⋅u u u u v u u u v ,NM NP ⋅u u u u v u u u v成公差小于零的等差数列等价于 2211[2(1)2(1)]22(1)2(1)0x y x x x x ⎧+-=++-⎪⎨⎪--+<⎩,即2230x y x ⎧+=⎨>⎩ 所以点P 的轨迹是以原点为圆心为半径的右半圆C.(II)设P(00,x y ),则由点P 在半圆C 上知,22001PM PN x y ⋅=+-u u u u v u u u v又PM PN ⋅=u u u u v u u u v,得cos PM PN PM PN θ⋅==⋅u u u u v u u u v u u u u v u u u v 又001x <≤,12≤<,有1cos 12θ<≤, 03πθ≤<,sin θ==由此得0tan y θ==. 习题解答:1由1(21)0n n a a n k +-=++>,n N *∈恒成立,有30k +>,得3k >-,选D.21211212112112121(21)22(21)21223(21)131(21)2n n n n n n n n n n a a n a a a a S n n b b b b b b T n n n ------+-+--======++-+--,选B. 3设三边长分别为2,,a aq aq ,且0,0a q >>①当1q ≥时,由2a aq aq +>,得112q +≤<; ②当01q <<时,由2aq aq a +>,得112q <<,于是得1122q <<,选D. 4由10191a a d =+>,且9181a a d =+≤,而21lim ()2n nn da S t n →∞+==, 又1125a =,于是737550t <≤,选D. 5由椭圆第2定义得222132()()22()a a a AF CF x x BF x c c c+=+++==+,选A.6由条件得31444tan ,9tan 3A B =-+=,有tan 2A =,tan 3B =. 得tan tan[()]tan()1C A B A B π=-+=-+=,于是ABC ∆为锐角三角形,选B. 7由12345636a a a a a a +++++=,12345180n n n n n n a a a a a a -----+++++=有12165()()()216n n n a a a a a a --++++⋅⋅⋅++=,即16()n a a +=216,得1n a a +=36,又13242na a n +⨯=,解得18n =. 822111111()()333222n n n S =++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+,得11332lim 1121132n n S →∞=+=--.9由条件知,公比q 满足01q <<,且11115a q =-,当01q <<时,11015a <<; 当10q -<<时,1121515a <<.于是1a 的取值范围是112(0,)(,)151515U . 10当n 为奇数时,相邻两项为n a 与2n a +,由51n a n =+得25(2)1(51)n n a a n n +-=++-+ =10,且16a =.所以{}n a 中的奇数项构成以16a =为首项,公差10d =的等差数列.当n 为偶数时,相邻两项为n a 与2n a +,由n a = 22n ,得2222222n n n na a ++==,且22a = 所以{}n a 中的偶数项构成以22a =为首项,公比2q =的等比数列. 由此得212(1)2(12)610522212m m mm m S m m m +--=+⨯+=++--.11由6778,S S S S <>,得780,0a a ><,有0d <;96S S <;7S 是n S 中的最大值,选①②④.12解:(I)由12(1)n f a a a =++⋅⋅⋅+=2n ,再依题意有1a +n a =2n ,即12(1)2a n d n +-=①又121(1)n n f a a a a n --=-+-⋅⋅⋅-+=,(n 为正偶数)得2d =,代入①有21n a n =-. (II)2311111()3()5()(21)()22222n f n =+++⋅⋅⋅+-,2341111111()()3()5()(21)()222222n f n +=+++⋅⋅⋅+- 得2311111111(1)()2()2()2()(21)()2222222n n f n +-=+++⋅⋅⋅+--于是2111()12()(21)3222n f n n-=+---⋅<.13解: (I)可得2()31f x x =+,()5g x x =,由已知211()()1n n n n n f a a g a a a +++-+=,得11(32)()0n n n n a a a a ++-⋅+=,而10n n a a ++≠,有123n n a a +=,于是1lim 3213n n S →∞==-.(II)215832()()6()1854n n n n b f a g a a +=-=-+, 由12()3n n a -=知n b 的最大值为1143b =,最小值为4374243b =.14解: (I)22log log n n a n x y x a==,设11n n x x q -=有1122log 2log 2log log n n n a n a n a x y y x x q a++-==-=,又{}n y 成等差数列.742log 74a y y q d -==-,得2d =-,17(71)(2)23,y y =--⨯-=252n y n =-.当0n y ≥时,即23(1)(2)0n +-⨯-≥,得252n ≤.于是前12项和最大,其最大值为144.(II)25222ny n n b -==,2312b =,得21124n n b b -+==,23112()4n n b -= 232522lim 1314n n S →∞==-,于是251lim 23n n S →∞= (III)由(I)知当12n >时,0n y <恒成立,由2log n a n y x =,得2n y n x a =.(i)当01a <<且12n >时,有2n y n x a =01a >=,(ii)当1a >且12n >时,1n x <,故当01a <<时,在12M =使n M >时,1n x >恒成立;当1a >时不存在自然数M,使当n M >时1n x >.15证明:用数学归纳法 (I)当1n =时,10a a <命题成立.假设当n k =(k N *∈)时,0k a a <成立,那么当1n k =+时,由1212()()f x f x x x -<-,得00()()k k f x f a x a -<-,又00()f x x =,有00()k k x f a x a -<-, 而0k a x <,得00()k k x f a x a -<-,于是000()k k k a x x f a x a -<-<-,即0()2()k k k ka f a x f a a +<⎧⎨>⎩,又1()2k k k f a a a +=-, 有10(2)2k k k a a a x ++-<,即10k a x +<,于是当1n k =+时,命题也成立.综上所述,对任意的k N *∈,0n a a <.(II)由1212()()f x f x x x -<-,得00()()n n f x f a x a -<-, 又00()f x x =,得00()n n x f a x a -<-,又0n a a <,得00()n n x f a x a -<-,即000()n n n a x x f a x a -<-<-, 有()n n f a a >,而1()2n n n f a a a +=-,得12n n n a a a +->, 故1n n a a +>.。
第二章 数学奥赛极限和导数(学生版)
专题二 极限与导数的概念一、极限1．极限定义：（1）若数列{u n }满足，对任意给定的正数ε，总存在正数m ，当n>m 且n ∈N 时，恒有|u n -A|<ε成立（A 为常数），则称A 为数列u n 当n 趋向于无穷大时的极限，记为)(lim ),(lim x f x f x x -∞→+∞→，另外)(lim 0x f x x +→=A 表示x 大于x 0且趋向于x 0时f(x)极限为A ，称右极限。
类似地)(lim 0x f x x -→表示x 小于x 0且趋向于x 0时f(x)的左极限。
2.几个重要极限：（1）01lim =∞→n n （2）C C n =∞→lim （C 是常数）（3）无穷等比数列}{n q （1<q ）的极限是0，即 )1(0lim <=∞→q q n n3 极限的四则运算：如果0lim x x →f(x)=a, 0lim x x →g(x)=b ，那么0lim x x →[f(x)±g(x)]=a ±b,0lim x x →[f(x)•g(x)]=ab, 0limx x →).0()()(≠=b bax g x f4.连续：如果函数f(x)在x=x 0处有定义，且0lim x x →f(x)存在，并且0lim x x →f(x)=f(x 0)，则称f(x)在x=x 0处连续。
一．极限的求法。
例1 求下列极限：（1）⎪⎭⎫ ⎝⎛+++∞→22221lim n n n n n ；（2）)0(1lim>+∞→a a a n n n ；（3）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++∞→n n n n n 22212111lim ；（4）).1(lim n n n n -+∞→二、基础训练题1．nn n n n 3232lim 11++++∞→=_________.二、导数1．导数：若函数f(x)在x0附近有定义，当自变量x 在x 0处取得一个增量Δx 时（Δx 充分小），因变量y 也随之取得增量Δy(Δy=f(x 0+Δx)-f(x 0)).若xyx ∆∆→∆0lim 存在，则称f(x)在x 0处可导，此极限值称为f(x)在点x 0处的导数（或变化率），记作'f (x 0)或0'x x y =或0x dxdy ，即00)()(lim)('0x x x f x f x f x x --=→。
求极限的方法及例题总结
8.用初等方法变形后，再利用极限运算法例求极限3x 12limx1例1x 1(3x1)2223x 33limlimx1(x1)(3x12)x1(x1)(3x12)4解：原式=。
注：此题也能够用洛比达法例。
limn(n 2n 1)n例2分子分母同除以nn[(n 2)(n 1)]33limlimnnn2n121211解：原式=nn。
上下同除以3n(1)n 1nnlim 31(1)3nlim(2)n 1例3n2n3n 解：原式3。
3．两个重要极限lim sinx1（1）x0x1lim(1x)xelim(11)x ex（2）x0；x说明：不单要能够运用这两个重要极限自己，还应能够娴熟运用它们的变形形式，1xlim sin3x1lim(12x)2xelim(13)3e比如：x03x，x0，xx；等等。
利用两个重要极限求极限2sin 2x2sin 2x221lim2lim 1cosx3xx 26xx 0lim 12()例5x03x 2解：原式=2。
注：此题也能够用洛比达法例。
216sinx 16sinx xlim(13sinx)xlim(13sinx)3sinxxlim[(13sinx)3sinx ]e6例6x=xx0n13nn13nlim(n 2)nlim(13)3n1lim[(13)3]n1e 3例7nn1=nn1nn1。
4．等价无量小定理2无量小与有界函数的乘积仍旧是无量小（即极限是0）。
定理3当x 0时，以下函数都是无量小（即极限是0），且互相等价，即有：x ～sinx ～tanx ～arcsinx ～arctanx ～ln(1x)～e x 1。
说明：当上边每个函数中的自变量x 换成g(x)时（g(x)0），仍有上边的等价关系建立，比如：当x 0时，e3x 1～3x；ln(1x 2)～x2。
f(x),g(x),f 1(x),g 1(x)xx 0f(x)定理4假如函数都是时的无量小，且～f 1(x)f(x)f 1(x)lim lim lim f 1(x)g(x)g 1(x)xx 0g 1(x)xx 0g(x)f(x)xx 0g 1(x)，～，则当存在时，也存在且等于，f(x)f 1(x)limlim即xx 0g(x)=xx 0g1(x)。
极限的计算例题及答案极限计算方法及例题
极限的计算例题及答案极限计算方法及例题极限计算方法总结《高等数学》是理工科院校最重要的基础课之一，极限是《高等数学》的重要组成部分。
求极限方法众多，非常灵活，给函授学员的学习带来较大困难，而极限学的好坏直接关系到《高等数学》后面内容的学习。
下面先对极限概念和一些结果进行总结，然后通过例题给出求极限的各种方法，以便学员更好地掌握这部分知识。
一、极限定义、运算法则和一些结果1．定义：（各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材，这里不一一叙述）。
说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的b0(a,b为常数且a 0)；极限严格定义证明，例如：limn 当 an0，|q| 1时 nlim(3x 1) 5；limq ；等等n x 2不存在，当|q| 1时（2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。
2．极限运算法则定理1 已知limf(x)，limg(x)都存在，极限值分别为A，B，则下面极限都存在，且有（1）lim[f(x) g(x)] A B （2）limf(x) g(x) A Bf(x)g(x)AB（3）lim,(此时需B 0成立)说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。
3．两个重要极限（1）limsinxxx 0111xxlim(1 ) e lim(1 x) e（2）；xx x 0说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式，作者简介：靳一东，男，（1964—），副教授。
1例如：limsin3x3xx 01，lim(1 2x)x 02xe，lim(1x3)3 e；等等。
xx4．等价无穷小定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。
定理3 当x 0时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有：x～tanx～arcsinx～arctanx～ln(1 x)～ex 1。
大学高等数学竞赛训练极限
大学,高等数学,竞赛训练,极限
大学生数学竞赛训练一（极限）
一、计算解：因为原式又因为所以。
二、计算解：因为所以。
三、计算解：设，则因为，所以。
四、计算解：因为，所以五、设数列定义如下证明：极限。
证明：方法一、考虑函数，因为，当时，。
由此可得时，在上的最大值为，且在是递增的。
所以……………………由于，，所以数列是单调有界的，由单调有界准则可得存在。
显然，。
现证明，用反证法证明，设，且，取，因为，所以存在整数，当时有由此可得正项级数收敛；另一方面，由，级数发散，由比较判别法，正项级数发散，这是一个矛盾，所以。
方法二、考虑函数，因为，当时，。
由此可得时，在上的最大值为，且在是递增的。
所以……………………由夹逼准则可得，，又因为所以数列是单调递增的，利用斯托尔茨定理。
六、设函数在区间上有定义，且在每一个有限区间上是有界的，如果，证明：
证明：对于任取的，因为，所以存在当时，有取，令，则有因为…………所以由于在每一个有限区间上是有界的，所以存在，当时有取，当时有由此可得。
七、
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数学竞赛极限试题及答案
数学竞赛极限试题及答案试题一：求极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\)。
解答：根据洛必达法则，我们首先将分子和分母同时求导，得到：\[\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cosx}{1} = \cos(0) = 1\]试题二：计算极限 \(\lim_{n \to \infty} \left(1 +\frac{1}{n}\right)^n\)。
解答：这个极限是欧拉数 \(e\) 的定义，所以：\[\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e\]试题三：求极限 \(\lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x}\)。
解答：由于 \(\sin x\) 的值域是 \([-1, 1]\)，当 \(x\) 趋向于无穷大时，\(\frac{\sin x}{x}\) 将趋向于 0：\[\lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x} = 0\]试题四：计算极限 \(\lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x}\)。
解答：利用泰勒展开，我们知道 \(\sin \frac{1}{x} \approx\frac{1}{x}\) 当 \(x\) 接近 0 时。
因此：\[\lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x} = \lim_{x \to 0} x \cdot \frac{1}{x} = 1\]试题五：求极限 \(\lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{e^n}\)。
解答：这是一个 0/0 的不定式，我们可以对分子和分母同时求导：\[\lim_{n \to \infty} \frac{2n}{e^n} = 0\]因为 \(e^n\) 的增长速度远远超过 \(n^2\)，所以极限为 0。
高中奥林匹克物理竞赛解题方法五：极限法
高中奥林匹克物理竞赛解题方法五：极限法五、极限法方法简介极限法是把某个物理量推向极端，即极大和极小或极左和极右，并依此做出科学的推理分析，从而给出判定或导出一样结论。
极限法在进行某些物理过程的分析时，具有专门作用，恰当应用极限法能提高解题效率，使咨询题化难为易，化繁为简，思路灵活，判定准确。
因此要求解题者，不仅具有严谨的逻辑推理能力，而且具有丰富的想象能力，从而得到事半功倍的成效。
赛题精讲例1：如图5—1所示， 一个质量为m 的小球位于一质量可忽略的直立弹簧上方h 高度处，该小球从静止开始落向弹簧，设弹簧的劲度系数为k ，那么物块可能获得的最大动能为 。
解析：球跟弹簧接触后，先做变加速运动，后做变减速运动，据此推理，小球所受合力为零的位置速度、动能最大。
因此速最大时有 mg =kx ① 图5—1由机械能守恒有 221)(kx E x h mg k +=+ ② 联立①②式解得 kg m mgh E k 2221⋅-= 例2：如图5—2所示，倾角为α的斜面上方有一点O ，在O 点放一至斜面的光滑直轨道，要求一质点从O 点沿直轨道到达斜面P 点的时刻最短。
求该直轨道与竖直方向的夹角β。
解析：质点沿OP 做匀加速直线运动，运动的时刻t 应该与β角有关，求时刻t 关于β角的函数的极值即可。
由牛顿运动定律可知，质点沿光滑轨道下滑的加速度为βcos g a =该质点沿轨道由静止滑到斜面所用的时刻为t ，那么OP at =221 因此βcos 2g OP t =①图5—2由图可知，在△OPC 中有)90sin()90sin(βαα-+=- OC OP 因此)cos(cos βαα-=OC OP ② 将②式代入①式得 gOC g OC t )]2cos([cos cos 4)cos(cos cos 2βαααβαβα-+=-= 明显，当2,1)2cos(αββα==-即时，上式有最小值. 因此当2αβ=时，质点沿直轨道滑到斜面所用的时刻最短。
求极限lim的典型例题及答案
求极限lim的典型例题及答案极限（Limits）是大学数学中一个重要的概念，它是定义函数的核心理论。
对于函数$f(x)$，极限lim$_{xto a}f(x)$表示$x$在$a$附近时函数$f(x)$的值的收敛的极限，也可以理解为趋于某一数（可以是无穷大）或某一函数。
要求函数的极限，除了具有通用法则之外，也有一些典型的例题，在某些情况下，可以采用简便的方法求取函数的极限。
下面我们介绍几种这样的例题，以及其答案：（1）求$lim_{xto 0} (1+x)^{frac{1}{x}}$：答：$lim_{xto 0} (1+x)^{frac{1}{x}}=lim_{xto0}frac{1}{sqrt[x]{1+x}}=e$由于$(1+x)^{frac{1}{x}}$在$x=0$处不可导，所以不能直接使用极限的通用公式求解，比较容易想到的是$(1+x)^{frac{1}{x}}$对$x=0$取极限，因此将函数化简为$frac{1}{sqrt[x]{1+x}}$，只要知道$sqrt[x]{1+x}$在$x=0$处取极限为$e$，就可以推出本题的答案：$lim_{xto 0} (1+x)^{frac{1}{x}}=e$。
（2）求$lim_{xto infty }frac{1}{x^2+2x+2}$：答： $lim_{xto infty }frac{1}{x^2+2x+2}=0$由于分子分母同时是无限大，且分母中最高次项比分子大，所以本题的答案显然为0：$lim_{xto infty }frac{1}{x^2+2x+2}=0$。
（3）求$lim_{xto 0} frac{sin x}{x}$：答： $lim_{xto 0} frac{sin x}{x}=1$由于本题中分母为常数，可以采用$lim_{xto 0} frac{sinx}{x}=lim_{xto 0} sin x=0$的极限公式求解，即$lim_{xto 0} frac{sin x}{x}=1$。
挑战极限之挑战奥数竞赛中的极限问题
挑战极限之挑战奥数竞赛中的极限问题挑战极限之挑战奥数竞赛中的极限问题在奥数竞赛中，极限问题一直被视为一个相当具有挑战性的部分。
极限问题不仅考验学生的计算能力和逻辑思维，更需要他们具备良好的分析能力和抽象思维。
本文将探讨在挑战奥数竞赛中如何应对极限问题的挑战。
首先，正确理解极限的概念是解决极限问题的关键。
极限是数学中的一个基本概念，是指当自变量趋近于某一特定值时，函数取值逐渐接近于一个确定的值。
对于极限问题，学生需要理解其数学定义，并能够将其应用于具体问题中。
例如，在计算函数在某一点的极限时，可以通过代入法、夹逼准则等方法来逼近极限值。
其次，学生在解决极限问题时需要注意思路的合理性和方法的准确性。
在面对复杂的极限问题时，学生往往容易迷失在计算的细节中，导致无法得出正确的结果。
因此，在解决极限问题时，学生应该有条不紊地分析问题，理清解题思路，选择合适的方法和技巧进行计算。
例如，在处理无穷大与无穷小的关系时，可以利用洛必达法则来简化计算，从而得到准确的结果。
此外，对于一些特殊的极限问题，学生还需要具备一定的数学观察力和灵活思维能力。
有时，极限问题并不是通过直接计算得出结果，而是需要学生通过观察规律，利用特定的数学性质和定理来解决。
例如，在处理级数收敛性的问题时，学生可以利用比较判别法、积分判别法等方法来确定级数的收敛性，并进一步计算出准确的极限值。
此外，大量的练习和实践是提高解决极限问题能力的关键。
只有通过不断的实际演练，学生才能加深对极限问题的理解，掌握解题的技巧和方法。
因此，学生应该多参加奥数竞赛的模拟考试和练习题，积累经验，并及时总结错题和难题。
通过反复练习，学生可以逐渐提高自己在解决极限问题上的能力，从而更好地应对挑战。
总之，挑战奥数竞赛中的极限问题需要学生具备扎实的数学基础、良好的分析能力和抽象思维能力。
通过正确理解极限概念，合理运用解题方法和技巧，培养数学观察力和灵活思维能力，以及大量的练习和实践，学生可以有效提高解决极限问题的能力，并在奥数竞赛中取得优异的成绩。
(整理)高数竞赛练习题答案(函数、极限、连续)
函数、极限、连续1. ],[)(),(b a C x g x f ∈，在),(b a 内二阶可导且存在相等的最大值，又),()(),()(b g b f a g a f ==证明：(1))()(),,(ηηηg f b a =∈∃使(2))()(),,(ξξξg f b a ''=''∈∃使证明：设)(),(x g x f 分别在d x c x ==,处取得最大值M ，不妨设)(b d c a d c <≤<≤此时，作辅助函数),()()(x g x f x F -=往证0)(),,(=''∈∃ξξF b a 使令),()()(x g x f x F -=则)(x F 在二阶可导上连续，在),(],[b a b a ，且0)()(==b F a F ，① 当d c <，由于 0)()()()(≥-=-=c g M c g c f c F 0)()()()(≤-=-=M d f d g d f d F 由“闭.连.”零点定理， )()(),,(],[ηηηg f b a d c =⊂∈∃使 ② 当d c =，由于0)()()()()(=-=-=-=M M d g c f c g c f c F 即)()(),,(ηηηg f b a =∈∃使对)(x F 分别在],[],,[b a ηη上用罗尔定理，),(),,(21b a ηξηξ∈∈∃，使0)()(21='='ξξF F ，在],[21ξξ上对)(x F 在用罗尔定理，),(),(21b a ⊂∈∃ξξξ，使0)(=''ξF ，)()(),,(ξξξg f b a ''=''∈∃使.2. 设数列}{n x 满足 ,2,1,sin ,011==<<+n x x x n n π (1) 证明存在n n x ∞→lim ，并求该极限(2) 计算21)(lim 1nx nn n x x +∞→分析：(1) 确定}{n x 为单调减少有下界即可(2) 利用(1)确定的n n x ∞→lim ，用洛必达法则.解：易得),3,2(10 =≤<n x n ，所以),3,2(,sin 1 =<=+n x x x n n n ，即}{n x 为单调减少有下界的数列，所以 存在n n x ∞→lim ，并记为]1,0[,lim ∈=∞→a a x n n 则，对等式,sin 1n n n x x x <=+两边令∞→n 取极限，得]1,0[,sin ∈=a a a ，所以,0=a 即0lim =∞→n n x .(2) 2sin 0212121)ln(lim 01)sin (lim )sin (lim )(lim t t x t n n n nn n ttt t n n x n x e t t x x x x →===→=∞→+∞→令由于613-lim 31cos lim sin lim 1lim )]1(1ln[lim 2221020302sin 02sin 0)ln(lim2sin 0-==-=-=-=-+→→→→→=→t t t t t t t t t t t t t t t t t t t ttt 洛 所以6121)(lim 1-+∞→=e x x n x nn n .3. 已知]1,0[)(在x f 连续，在)1,0(可导，且1)1(,0)0(==f f ，证明： (1)ξξξ-=∈∃1)(),1,0(f 使，(2) 存在两个不同点1)()(),1,0(,=''∈ζηζηf f 使证：(1) 令1)()(-+=x x f x F ，则)(x F 在]1,0[上连续，且01)1(,01)0(>=<-=F F ，由“闭.连.”零点定理，ξξξξ-==∈∃1)(,0)(),1,0(f F 即使(2) ]1,[],,0[)(ξξ在x f 上都满足拉格朗日中值定理，所以)1,(),,0(ξζξη∈∈∃，使)1)(()()1(),0)(()0()(ξζξξηξ-'=--'=-f f f f f f ，即ξξξξξξζξξξξη-=---=--='-=='11)1(11)(1)(1)()(f f f f111)()(=-⋅-=''∴ξξξξζηf f4. 设方程01=-+nx x n ，其中n 为正整数，证明此方程存在唯一的正实根n x ，并证明当1>α时，级数∑∞=1n n x α收敛.证：令,1)(-+=nx x x f n 则)(x f 在),0(+∞上连续，且0)1()1(,01)0(>=<-=n nn f f所以由连续函数的零点定理，所给方程在)1,0(n内有根，又由)1,0()(,0)1()(1n x f x n x f n 在即>+='-内单调递增，所以所给方程)1,0(n内只有唯一的根，在)1(∞，n上无根，即所给方程存在唯一的正实根n x .由上述知，对 ,2,1=n ，有,10n x n <<有ααnx n 10<<， 此外，由1>α知，级数∑∞=11n nα收敛，所以由正项级数比较审敛法，知∑∞=1n n x α收敛.5. 求)21ln(1)(cos lim 0x x x +→解：)21ln(1)(cos lim 0x x x +→=)1ln(cos ln lim20x xx e +→，其中21lim)1ln()]1(cos 1ln[lim)1ln(cos ln lim2221022-=-=+-+=+→→→x x x x x x x x x所以，21)21ln(1)(cos lim -→=+ex x x6. )(x f 在0=x 的某邻域内具有一阶连续导数，且,0)0(,0)0(≠'≠f f 若)0()2()(f h bf h af -+在0→h 时是比h 高阶的无穷小，试确定b a ,的值.解1：（利用导数定义）hf b a f b a h f b a h bf h bf h af h af h f bf bf h bf af af h af h f h bf h af h h h h h h )0(]1)[(lim )0()()0(]1)[(lim )0()2(lim )0()(lim )0()0()0()2()0()0()(lim)0()2()(lim0000000-++'+=-++-+-=-+-++-=-+=→→→→→→由,0)0(,0)0(≠'≠f f 得1,2,021-==⎩⎨⎧=+=+b a b a b a 即解2：按解1，只要假定0)(=x x f 在处可导即可，但在题中“)(x f 在0=x 的某邻域内具有一阶连续导数”的假定下，有以下解法： 由0)0()2()(lim0=-+→hf h bf h af h 得 )0()2()(lim 0f h bf h af h -+→=0 即)0()1()0()2()(lim 00f b a f h bf h af h -+=-+=→，由,0)0(≠f 得 1=+b a （1）又由)0()2()2(2)(lim )0()2()(lim000f b a h f b h f a hf h bf h af h h '+='+'=-+=→→洛且,0)0(≠'f 所以 02=+b a （2）由（1）、（2）得.1,2-==b a7. 求.sin 12lim 410⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++→x x e e x x x 解：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++→x x e e x xx sin 12lim 410⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=---→+x x e e e x x x x sin 12lim 43401=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++-→x x e e x x x sin 12lim 410⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=-→x x e e x x x sin 12lim 4101=所以 原式 = 18. 求.211lim20xx x x --++→解1：（泰勒公式）因)0(41~)(412)](81211[)](81211[2112222222→-+-=-+--++-+=--++x x x o x x o x x x o x x x x所以 4141lim 211lim 2202-=-=--++→→x xx x x x x 解2：（洛必达法则）41.)11(2lim 41111lim 11lim 412121121lim 211lim 000020-=++--=-+⋅+--=--+=--++→→→→→x x x x x x xx x x x x x x x x x x x x 洛必达。
物理竞赛极值问题解法例谈
物理竞赛极值问题解法例谈极值问题，是物理竞赛中较为常见的一类问题。
解答这类问题，除了用到相关的物理知识，一般都要借助一定的数学知识才能完成。
现将初中物理竞赛中，常见的几类极值问题的解答方法，举例介绍如下。
一．利用“三角形两边之和大于第三边”求解例1．某中学举办了一次别开生面的“物理体育比赛”。
比赛中有个项目：运动员从如图1（a）所示的A点起跑，到MN槽线上抱起一个实心球，然后跑到B点。
比赛时，谁用的时间最少谁胜。
试问运动员比赛时，应沿着什么路线跑最好？图1（a）图1（b）析与解：假设某运动员在槽线上抱起一个实心球所用的时间、运动员跑步的速度是一定的，那么，他跑过的路程如果最短，则他所用的时间最少。
因此，本题实际上是一道路程极值问题。
如图1（b）所示，作B关于槽线MN的对称点B′，图中、、等，都是可能的路线。
显然，、路线，分别与、、等长，而由“三角形两边之和大于第三边”的结论可知，图中的（直线段）最短，即路线最短。
故，运动员比赛时，应沿着路线跑最好。
二．利用“正弦函数sinθ的最大值为1”求解例2．如图2（a）所示，某人站在离平直公路垂直距离为60m的A处，发现公路上有一汽车，从B处以v0＝10m/s的速度沿公路匀速行驶，B与人相距100m。
问此人最少要以多大的速度，沿什么方向奔跑才能与汽车相遇？析与解：设人以速度v，沿与AB成θ角的方向奔跑，如图2（b）所示，并在C处与汽车相遇，所用的时间为t。
则有BC＝v0t，AC＝vt。
作BE⊥AC，由三角形AOC与三角形BEC相似得：又：，故：BE＝AB sinθ，所以：整理得：代入数值计算得：上式中，要使v最小，应使sinθ最大，即sinθ＝1，θ＝90°时，v最小为v min＝6m/s。
故，此人最少要以6m/s的速度，沿与AB成90°的方向向公路奔跑，才能与汽车相遇。
三．利用“”求解例3．如图3所示，一根均匀杠杆，每米长重λ＝30N，现以杆的A端为支点，在杆的B端施一竖直向上的力F，在距杆的A端a＝0.2m处挂一个重G＝300N的重物，要使杠杆在水平位置平衡，求：杠杆为多长时，加在B端的力F有最小值？最小力F是多大?图3析与解：如不考虑杆重，则杠杆越长，力F就越小。
求极限的习题 -答案 (1)
求极限的习题 -答案 (1)
求下列极限：
(1)
(2)
试题答案
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分析：(1)当n无限增大时,的分子、分母中都含无穷多项,而“和的极限等于极限的和”只能用于有限多项相加.因此,需要先将分子、分母化为含有有限多项的算式,然后再用极限的运算法则求极限.而所有数列的极限最终通过C=C(常数),
=0,qn=0(|q|＜1)来解决.
(2)如果把x=-2直接代入,分子、分母均为0,即分式是“”型,极限不能确定,所以不能利用简单的代入法来求极限,应先把分子、分母因式分解,约去分子、分母的公因式(x+2),然后再求极限.
解：(1)
=
=
=
因为1＜|a|＜|b|,
所以||＜1,||＜1.
所以原式=1-b[]1-a·0-0[]0-1=0.
(2)
=
=
=
点评：对于有限项数列(函数)的和、差、积、商的形式,如果每一项都有极限,可直接使用数列(函数)极限的运算法则求解；对不能直接使用数列(函数)极限运算法则的,可通过适当的变形,转化成常见数列(函数)极限的形式,再通过极限的运算法则求解.常见的变形思路和技巧是:
(1)对“”型,通常将分子、分母同除以增得“最快”的单项；
(2)对“∞-∞”型,通常将分子、分母同乘以“∞+∞”,进行分子有理化后,再求极限；
(3)对“”型,通常将分子、分母进行因式分解,以约去使分子、分母为零的因式.。
高数竞赛辅导之函数的极限2
2
2 n+1
1
5
=1+ +1=
2
2
习题：
1、设
xn
3 2
5 17 4 16
22n1 1 2 2 n1
,求 lim n
xn
提示：分子 (22 1)(22 1)(24 1)(22n1 1) 22n 1
分母 2 2 1 2 22 2n1
2n 1
答案：2
2、求 lim(1 + x)(1 + x2 )(1 + x2n )(| x |< 1) n→∞
)
x→0+
ln x - ln a
= lim ln( ln x + ln a )(ln x +ln ln a ) x→0+ ln x - ln a
ln x + ln a
(ln x + ln ln a ).(
-1 )
= lim ln( e
) ln x -ln a
x→0+
ln x + ln a
= lim (ln x + ln ln a ).(
lim
x0
x2
a a lim 1 ax x0 2x
a2x
lim
x0
2
x
1
ax
a2 2
例
求极限
[sin x sin(sin x)]sin x
lim
x0
x4
解：原式
lim
x0
sin
x
sin(sin x3
x)
lim
x0
cos
x
cos(sin 3x2
x)
cos
【高中物理】巧用极限法解答高中物理试题
【高中物理】巧用极限法解答高中物理试题极限法在现代乃至等学科中有广泛的应用。
由有限小到无限小，由有限多到无限多，由有限的差别到无限地接近，就达到事物的本真。
极限法揭示了变量与常量、无限与有限的对立统一关系，借助极限法，人们可以从直线去接近曲线，从有限接近无限，从“不变”认识“变”，从不确定认识确定，从近似认识准确．从量变认识质变。
早在东汉时期，中国伟大的数学家刘晖就提出了几何学中的“切圆法”，即利用内接或外接正多边形求圆的面积和周长。
他用圆切割技术科学地计算出pi=3.14的结果。
他使用圆切割技术从直径为2英尺、内接正六边形的圆上切割出一个圆，然后得到一个规则的12边形状。
切割的正24边形状越小，正多边形的面积与圆的面积之差就越小。
用他最初的话来说，它是“尽可能地切割，损失尽可能少，切割尽可能多，这样它就不能被切割，然后它与周长匹配，而不会损失任何东西。
”他计算了3072平方米的面积，并验证了这个值。
刘晖提出的计算圆周率的科学，奠定了中国圆周率计算在世界上一千多年的领先地位。
“圆切割”是利用圆中连接的正多边形的周长无限逼近周长并获得圆周率。
它体现了微积分的思想。
物理教学中关于瞬时速度的分析就采用了这种极限法的思想，从运动学角度看,平均速度的公式是v=△x/△t,当△t足够小的时候所求的v就是瞬时速度。
得的平均速度就越能较精确的描述人经过某点时的快慢程度高中生物。
当位移足够小（也就是时间足够短）时，所得到的平均速度就是“一闪而过”的瞬时速度了。
如果两个量在某一空间的变化关系为单调上升或单调下降的函数关系（如因变量与自变量成正比的关系），那么，连续地改变其中一个量总可以使其变化在该区间达到极点或极限。
根据这种假定来考虑具体问题的方法我们就把它称为极点法或极限法。
同样，极限思维方法在物理教学中的作用。
在用极限思维方法解决一些物理问题时，与传统的求解方法相比，可以大大缩短问题的求解时间，提高问题的求解效率。
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练习题六：极限法A1、物体A 在倾斜角为θ的斜面上运动，如图所示。
若初速度为0v ，它与斜面间的摩擦系数为μ，在相同的情况下，A 上滑与下滑的加速度大小之比为：A. θθμθμθsin cos cos sin --B. θμθθμθcos sin cos s -+inC.θμtan + D.θμθθμcos sin cos -A2、如图所示，一根轻质弹簧上端固定，下端挂一质量为m 0的平盘，盘中有一物体，质量为m 。
当盘静止时，弹簧的长度比其自然长度伸长了L 。
今向下拉盘使弹簧再伸长△L 后停止，然后松手放开。
设弹簧总处在弹性限度内，则刚松开手时盘对物体的支持力等于（ A ）。
A. mg L L )1(∆+B.g m m L L ))(1(0++∆C. Lmg ∆D. g m m LL)(0+∆ A3、如图所示，两点电荷所带电量均为+Q ，A 处有一电子沿两电荷连线的中垂线运动，方向指向O 点。
设电子原来静止，A 点离O 点足够远，电子只受电场力作用，那么电子的运动状态是（ ）。
AA.先匀加速，后匀减速；B.加速度越来越小，速度越来越大；C.加速度越来越大，速度越来越小；D.加速度先变大后变小，最后变为零。
用极限法考虑问题时，在选定的区域内所研究的物理量必须是连续单调变化的。
在本题中，A 到O 变化区域内，加速度a 并不是单调变化的，为什么也可以应用极限法呢?实际上我们选用了两个特殊点A 和O 点，只研究了这两个点附近区域a 的变化。
在A 点和O 点附近区域内a 仍是单调变化的。
在A 和O 之间还存一个a 为极大值的位置B 。
从A 到B ，a 是单调增大的，从B 到O ，a 是单调减小的。
将A 到O 分成两个单调区域，极限法可以使用了。
A4、设地球的质量为M ，人造卫星的质量为m ，地球的半径为R 0，人造卫星环绕地球做圆Aθm 0mO+Q+Q周运动的半径为r 。
试证明：从地面上将卫星发射至运行轨道，发射速度 )2(00rR g R v -=，并用该式求出这个发射速度的最小值和最大值。
（取R 0=6.4×106m ），设大气层对卫星的阻力忽略不计，地面的重力加速度为g ）解析：由能量守恒定律，卫星在地球的引力场中运动时总机械能为一常量。
设卫星从地面发射的速度为发v ，卫星发射时具有的机械能为2121R MmGmv E -=发 ①进入轨道后卫星的机械能为rMm G mv E -=2221轨 ②由E 1=E 2，并代入,r GM v =轨解得发射速度为 )2(00rR R GM v -=发 ③又因为在地面上万有引力等于重力，即：g R R GMmg R MmG0020==所以④ 把④式代入③式即得：)2(00rR g R v -=发（1）如果r=R 0，即当卫星贴近地球表面做匀速圆周运动时，所需发射速度最小为s m gR v /109.730min ⨯==.（2）如果∞→r ，所需发射速度最大（称为第二宇宙速度或脱离速度）为 s m g R v /102.11230max ⨯==A5、设河水流速为v 1，小船在静水中航行的速度为v 2 (设v 2< v 1)，若小船从一岸行使到对岸，问当船的航行方向怎样时，才能（1）小船所花的时间最短；（2）小船所经过的路程最短？答案：练习题四：图解法 第3题A6、如图5—4所示，一水枪需将水射到离喷口的水平距离为3.0m 的墙外， 从喷口算起， 墙高为4.0m 。
若不计空气阻力，取2/10s m g =，求所需的最小初速及对应的发射仰角。
解析：水流做斜上抛运动，以喷口O 为原点建立如图所示的直角坐标，本题的任务就是水流能通过点A （d 、h ）的最小初速度和发射仰角。
图5—4根据平抛运动的规律，水流的运动方程为⎪⎩⎪⎨⎧-⋅=⋅=20021sin cos gt t v y t v x αα把A 点坐标（d 、h ）代入以上两式，消去t ，得：hhd h hd d h d gd h d gd d h gd v -⋅+-⋅++=+-=-⋅-=]2cos 2sin [/)]12(cos 2sin /[)tan (cos 2/222222222220αααααα令 ,sin /,cos /,tan /2222θθθ=+=+=h d h h d d d h 则上式可变为,,6.7134arctan 45arctan 2145245902,1)2sin(,,)2sin(/022220最小时亦即发射角即当显然v d h h h d gd v=+=+=+==-=---+=θαθαθαθα 且最小初速0v =./5.9/103)(22s m s m h h d g ==++A7、一系列相同的电阻R ，如图5—14所示连接，求AB 间 的等效电阻R AB 。
解析：无穷网络，增加或减小网络的格数，其等效电阻不变， 所以R AB 跟从CD 往右看的电阻是相等的。
因此，有 R R RR RR R R AB AB AB AB)13(2+=++=解得A8、有一无限平面导体网络，它由大小相同的正六边形网眼组成，如图所示，所有六边形每边的电阻均为R 0。
求图中结点a 、b 间和c 、b 间的电阻。
答案：练习题五：对称法的“C6”RRRRRrrrrr AB cba图5—14B1、如图5—1所示， 一个质量为m 的小球位于一质量可忽略的直立弹簧上方h 高度处，该小球从静止开始落向弹簧，设弹簧的劲度 系数为k ，则物块可能获得的最大动能为 。
解析：球跟弹簧接触后，先做变加速运动，后做变减速运动，据此推理，小球所受合力为零的位置速度、动能最大。
所以速最大时有mg =kx ①由机械能守恒有 221)(kx E x h mg k +=+ ② 联立①②式解得 kg m m g h E k 2221⋅-=图5—1B2、如图甲，质量为m=1Kg 的物块放在倾角为θ的斜面上，斜面体质量为M=2Kg ，斜面与物块间的动摩擦因数μ=0.2，地面光滑，θ=370，现对斜面体施一水平推力F ，要使物体m 相对斜面静止，力F 应为多大？（设物体与斜面间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g 取10m/s 2）[解析]：现采用极限法把F 推向两个极端来分析：当F 较大时（足够大），物块将相对斜面上滑；当F 较小时（趋于零），物块将沿斜面加速下滑；因此F 不能太小，也不能太大，F 的取值是一个范围（1）设物块处于相对斜面向下滑的临界状态时，推力为F 1，此时物块受力如图乙，取加速度a 的方向为x 轴正方向。
对m ：x 方向：NSin θ-μNCos θ=ma 1 y 方向：NCos θ+μNSin θ-mg=0 对整体：F 1=（M+m ）a 1把已知条件代入，解得：a 1=4.78m/s 2，F 1=14.34N（2）设物块处于相对斜面向上滑的临界状态时，推力为F 2，此时物块受力如图丙， 对m ：x 方向：NSin θ+μNCos θ=ma 2 y 方向：NCos θ-μNSin θ-mg=0对整体：F 2=（M+m ）a 2把已知条件代入，解得：a 2=11.2m/s 2，F 2=33.6N 则力F 的范围：14.34N ≤F ≤33.6NB3、一木箱重为G ，与地面间动摩擦因数为，现用作斜向上的力F 拉木箱使之沿水平地面匀速前进，hFθG如图所示。
求拉力F与水平方向夹角为何值时拉力最小？这个最小值是多大？答案：练习题四：图解法第2题B4、如图所示，在竖直平面内的直角坐标系中，一个质量为m的质点在外力F的作用下，从坐标原点O由静止开始沿直线ON斜向下运动，直线ON与y轴负方向成θ角（θ＜π/4）。
则F大小至少为___________；若F＝mg tanθ，则质点机械能大小的变化情况是_________________。
答案：Mgsinθ，增大、减小都有可能B5、一个质量为m=50千克的均匀圆柱体,放在台阶的旁边,台阶的高度h是圆柱体半径r的一半,如图所示(图为其横截面),圆柱体与台阶接触处(图中P点所示)是粗糙的.现要在图中圆柱体的最上方A处施一最小的力F,使圆柱体刚能开始以P为轴向台阶上滚,求：(1)所加的力的大小.(2)台阶对柱体的作用力的大小.解析：要使柱体刚能绕P轴上滚,即意味着此时地面对柱体的支持力N=0,设台阶对柱体的作用力为f，根据三力汇交原理，重力mg、拉力F与f必交于A点，又因mg是恒力，f方向不变，要在A处施一最小的力,则力F的方向应与f垂直。
因为r=2h,由几何关系可推知∠PAO=30°,由此可得F=mgsin30°=2.5×102牛顿.f=mgcos30°=4.3×102牛顿C1、如图5—2所示，倾角为α的斜面上方有一点O ，在O 点放一至斜面的光滑直轨道，要求一质点从O 点沿直轨道到达斜面P 点 的时间最短。
求该直轨道与竖直方向的夹角β。
解析：质点沿OP 做匀加速直线运动，运动的时间t 应该与β角有关，求时间t 对于β角的函数的极值即可。
由牛顿运动定律可知，质点沿光滑轨道下滑的加速度为 βcos g a =该质点沿轨道由静止滑到斜面所用的时间为t ，则OP at =221 所以βcos 2g OPt =①由图可知，在△OPC 中有)90sin()90sin(βαα-+=- OCOP 所以)cos(cos βαα-=OC OP ②将②式代入①式得 gOC g OC t )]2cos([cos cos 4)cos(cos cos 2βαααβαβα-+=-=显然，当2,1)2cos(αββα==-即时，上式有最小值.所以当2αβ=时，质点沿直轨道滑到斜面所用的时间最短。
此题也可以用作图法求解。
C2、一小物块以速度s m v /100=沿光滑地面滑行，然后沿光滑曲面上升到顶部水平的高台上，并由高台上飞出，如图5—9所示， 当高台的高度h 多大时，小物块飞行的水平距离s 最大？这个距离是多少？（g 取10m/s 2）解析：依题意，小物块经历两个过程。
在脱离曲面顶部之前，小物块受重力和支持力，由于支持力不做功，物块的机械能守恒，物块从高台上飞出后，做平抛运动，其水平距离s 是高度h 的函数。
设小物块刚脱离曲面顶部的速度为v ，根据机械能守恒定律，m g h mv mv +=2202121 ①小物块做平抛运动的水平距离s 和高度h 分别为：221gt h =② v 0vsh图5—9vt s = ③以上三式联立解得：2202202)4()4(222gv h g v g h gh v s --=-=当m g v h 5.2420==时，飞行距离最大，为m gv s 5220max ==。
C3、。