苏教版高中数学必修4章末过关检测卷(一)

高中数学学习材料 （灿若寒星 精心整理制作）
章末过关检测卷(一)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．角α终边经过点(1，－1)，则cos α＝( ) A ．1 B ．－1 C.
22 D ．－22
解析：角α终边经过点(1，－1)， 所以cos α＝112＋（－1）
2＝2
2. 答案：C
2．已知扇形的半径为r ，周长为3r ，则扇形的圆心角等于( ) A.π3 B ．1 C.2π
3 D ．3 解析：因为弧长l ＝3r －2r ＝r ， 所以圆心角α＝l
r ＝1.
答案：B
3．(2014·四川卷)为了得到函数y ＝sin(2x ＋1)的图象，只需把函
数y ＝sin 2x 的图象上所有的点( )
A ．向左平行移动1
2个单位长度
B ．向右平行移动1
2个单位长度
C ．向左平行移动1个单位长度
D ．向右平行移动1个单位长度
解析：根据三角函数图象的平移和伸缩变换求解．y ＝sin 2x 的
图象向左平移1
2个单位长度得到函数y ＝sin 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋12的图象，即函数y
＝sin(2x ＋1)的图象．
答案：A
4．如果函数f (x )＝sin (πx ＋θ)(0＜θ＜2π)的最小正周期是T ，且当x ＝2时取得最大值，那么( )
A ．T ＝2，θ＝π
2
B ．T ＝1，θ＝π
C ．T ＝2，θ＝π
D ．T ＝1，θ＝π
2
解析：T ＝2π|ω|，当ωx ＋θ＝2k π＋π
2(k ∈Z)时取得最大值．由题意
知T ＝2ππ＝2，又当x ＝2时，有2π＋θ＝2k π＋π
2
，
所以θ＝2(k －1)π＋π2，0＜θ＜2π.所以k ＝1.则θ＝π2.
答案：A
5．函数y ＝2sin(3x ＋φ)⎝ ⎛⎭
⎪⎫⎪⎪⎪φ⎪⎪⎪<π2的一条对称轴为x ＝π
12，则φ＝
( )
A.π6
B.π3
C.π4 D ．－π
4
解析：由y ＝sin x 的对称轴为x ＝k π＋π
2(k ∈Z)，
可得3×π12＋φ＝k π＋π2(k ∈Z)，则φ＝k π＋π
4.
又|φ|<π2，所以取k ＝0，得φ＝π
4.
答案：C
6．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，且α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π2，32π，则tan α＝( ) A.43 B.34 C ．－34 D ．±3
4
解析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α＝35，sin α＝－3
5，
因为α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，32π，所以cos α＝－45.所以tan α＝3
4.
答案：B
7．已知a ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π6，b ＝cos 23π
4，c ＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－334π，则a ，b ，c
的大小关系是( )
A ．b >a >c
B ．a >b >c
C ．b >c >a
D ．a >c >b
解析：a ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π－π6＝－tan π6＝－3
3，
b ＝cos 234π＝cos ⎝
⎛⎭⎪⎫6π－π4＝cos π4＝2
2， c ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－334π＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－8π－π4＝－sin π4＝－2
2，
所以b >a >c . 答案：A
8．将函数f (x )＝sin(2x ＋θ)⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－π2<θ<π2的图象向右平移φ(φ>0)个
单位长度后得到函数g (x )的图象，若f (x )，g (x )的图象都经过点
P ⎝
⎛⎭⎪⎫
0，32，则φ的值可以是( )
A.5π3
B.5π6
C.π2
D.π6
解析：把P ⎝ ⎛⎭⎪⎫
0，32代入f (x )＝sin(2x ＋θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<θ<π2， 解得θ＝π
3，所以g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－2φ. 把P ⎝
⎛⎭⎪⎫
0，32代入得，φ＝k π或φ＝k π－π6.
答案：B
9．函数y ＝3x －x 2
tan x 的定义域是( )
A ．(0，3]
B ．(0，π)
C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2∪⎝ ⎛⎦
⎥⎤π2，3 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π2，3 解析：由y ＝3x －x 2tan x 有意义，得0≤x ≤3且x ≠k π＋π
2(k ∈Z)，
且x ≠k π(k ∈Z)，所以x ≠0且x ≠π
2
.
所以x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2∪⎝ ⎛⎦
⎥⎤
π2，3.
答案：C
10．如图所示，函数y ＝f (x )图象的一部分，则函数y ＝f (x )的解析式可能为( )
A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6
B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
2x －π6 C ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫4x －π3 D ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x －π6 解析：14T ＝π12－⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－π6，所以T ＝π，所以ω＝2，排除A 、C.将
f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π12＝1代入可排除B. 答案：D
11．(2014·安徽卷)设函数f (x )(x ∈R)满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ．当
0≤x ≤π时，f (x )＝0，则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
23π6＝( )
A.12
B.32 C ．0 D ．－1
2
解析：因为f (x ＋2π)＝f (x ＋π)＋sin(x ＋π)＝f (x )＋sin x －sin x ＝f (x )，所以f (x )的周期T ＝2π.
又因为当0≤x <π时，f (x )＝0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
5π6＝0，
即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝0， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝12
.
所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π6＝f ⎝
⎛⎭⎪⎫4π－π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝12. 答案：A
12．车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为辆/分，上班高峰期某十字路口的车流量由函数F (t )＝50＋4sin
t
2(0≤t ≤20)给出，F (t )的单位是辆/分，t 的单位是分，则下列哪个时间段内车流量是增加的( )
A ．[0，5]
B ．[5，10]
C ．[10，15]
D ．[15，20]
解析：因为10≤t ≤15时，有32π<5≤t 2≤152<5
2π，
此时F (t )＝50＋4sin t
2是增函数，即车流量在增加．
答案：C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将正确答案填在题中的横线上)
13．(2015·四川卷)已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos 2α的值是________．
解析：由sin α＋2cos α＝0，得tan α＝－2.
所以2sin αcos α－cos 2
α＝2sin αcos α－cos 2
αsin 2α＋cos 2α＝2tan α－1tan 2α＋1
＝
－4－1
4＋1
＝－1. 答案：－1
14．(2014·江苏卷)已知函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ<π)，它们的图象有一个横坐标为π
3
的交点，则φ的值是________．
解析：利用函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ<π)的交点横坐标，列方程求解．
由题意，得sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2·π3＋φ＝cos π3，
因为0≤φ<π，所以φ＝π
6.
答案：π
6
15．已知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－m 在x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，π2上有两个不同的零点，则m 的取值范围是________．
解析：f (x )有两个零点，即m ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
0，π2上有两个不同的实根．
当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
－π6，56π，
结合正弦曲线知m ∈[1，2)． 答案：[1，2)
16．(2014·北京卷)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，
A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6，则f (x )的最小正周期为________．
解析：因为f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤
π6，π2上具有单调性，
所以T 2≥π2－π
6.所以T ≥2π3.因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2π3，
所以f (x )的一条对称轴为x ＝π2＋
2π
32＝7π
12
.
又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π6，
所以f (x )的一个对称中心的横坐标为π2＋
π
62＝π
3.
所以14T ＝7π12－π3＝π
4.所以T ＝π.
答案：π
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知tan (2 013π＋α)＝3，试求：
sin （α－3π）－2cos ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫
2 013π2＋α－sin （－α）＋cos （π＋α）
的值．
解：由tan(2 013π＋α)＝3, 可得 tan α＝3，
故sin （α－3π）－2cos ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫
2 013π2＋α－sin （－α）＋cos （π＋α）＝－sin α＋2sin αsin α－cos α
＝
sin αsin α－cos α＝tan αtan α－1＝33－1＝32
.
18．(本小题满分12分)已知函数y ＝2a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
2x －π3＋b 的定义域
是⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
0， π2，值域是[－5，1]，求a ，b 的值． 解：因为0≤x ≤π2，所以－π3≤2x －π3≤2π3
.
所以－1
2≤cos ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1. 当a >0时，－a ＋b ≤2a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
2x －π3＋b ≤2a ＋b . 由已知得，⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋b ＝－5，2a ＋b ＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，
b ＝－3.
当a <0时，2a ＋b ≤2a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
2x －π3＋b ≤－a ＋b .
由已知得，⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝－5，－a ＋b ＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，
b ＝－1.
19.(本小题满分12分)(2014·北京卷)函数f (x )＝3sin ⎝
⎛⎭⎪⎫
2x ＋π6的部分图象如图所示．
(1)写出f (x )的最小正周期及图中x 0，y 0的值；
(2)在f (x )在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π2，－π12上的最大值和最小值． 解：(1)f (x )的最小正周期为π，x 0＝
7π
6
，y 0＝3. (2)因为x ∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤－π2，－π12， 所以2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
－5π6，0.
于是，当2x ＋π6＝0，即x ＝－π
12时，f (x )取得最大值0；
当2x ＋π6＝－π2，即x ＝－π
3
时，f (x )取得最小值－3.
20．(本小题满分12分)设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π<φ<0)，y ＝f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝π
8
.
(1)求φ；
(2)求函数y ＝f (x )的单调增区间．
解：(1)因为x ＝π
8
是函数y ＝f (x )的图象的对称轴，
所以sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2×π8＋φ＝±1. 所以π4＋φ＝k π＋π
2，k ∈Z.
因为－π<φ<0，所以φ＝－3π4
.
(2)由(1)知φ＝－3π
4，因此y ＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x －3π4.
由题意得2k π－π2≤2x －3π4≤2k π＋π
2，k ∈Z.
所以k π＋π8≤x ≤k π＋5
8
π，k ∈Z ，
所以函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
2x －3π4的单调增区间为 ⎣
⎢⎡⎦⎥⎤
k π＋π8，k π＋5π8，k ∈Z.
21．(本小题满分12分)(2015·湖北卷)某同学用“五点法”画函
数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝
⎛⎭⎪⎫
ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
ωx ＋φ 0 π
2 π 3π2 2π x
π3 5π6 A sin(ωx ＋φ) 0
5
－5
(1)请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数f (x )的解析式；
(2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动π
6个单位长度，得到y ＝
g (x )的图象．若y ＝g (x )的图象离原点O 最近的对称中心．
解：(1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π
6，数据补
全如下表：
ωx ＋φ 0 π2 π 3π2 2π x π12 π3 7π12 5π6 1312 π A sin(ωx ＋φ)
5
－5
且函数表达式为f (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6. (2)由(1)知 f (x )＝5sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π6， 因此g (x )＝5sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π6＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 因为y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)，k ∈Z ， 令2x ＋π6＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π2－π
12
，k ∈Z ，
即y ＝g (x )图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫
k π2－π12，0，k ∈Z ，其中离原点O 最近的对称中心为⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－π12，0. 22．(本小题满分12分)2016年的元旦，N 市从0时到24时的气温变化曲线近似地满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ，ω>0，|φ|≤π)．从天气台得知：N 市在2016年的第一天的气温为1到9度，其中最高气温只出现在下午14时，最低气温只出现在凌晨2时．
(1) 求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的表达式．
(2)若元旦当天M 市的气温变化曲线也近似地满足函数y 1＝A 1sin(ω1x ＋φ1)＋b 1，且气温变化也为1到9度，只不过最高气温和最低气温出现的时间都比N 市迟了4个小时．
①求早上7时，N 市与M 市的两地温差；
②若同一时刻两地的温差不超过2度，我们称之为温度相近，求2016年元旦当日，N 市与M 市温度相近的时长．
解：由已知可得：b ＝5，A ＝4，T ＝24⇒ω＝π
12.
又最低气温出现在凌晨2时，则有2ω＋φ＝2k π－π
2，
又|φ|≤π⇒φ＝－2
3
π.
则所求的函数表达式为y ＝4sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫
π12x －23π＋5.
(2)由已知得M 市的气温变化曲线近似地满足函数
y 1＝4sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π12x －π＋5， y －y 1＝4⎣
⎢⎡⎦
⎥⎤
sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫π12x －23π－sin ⎝
⎛⎭⎪⎫π12x －π
＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤
sin ⎝
⎛⎭⎪⎫π12x －23π＋sin π12x
＝4sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫
π12x －13π.
①当x ＝7时，y －y 1＝4sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π12·7－13π＝2 2.
②由|y －y 1|≤2⇒－2≤4sin ≤2⇒2≤x ≤6或
14≤x ≤18.
则2016年元旦当日，N 市与M 市温度相近的时长为8小时．。