方程的根与函数的零点_-导学案
《方程的根与函数的零点》上课导学案
《方程的根与函数的零点》导学案一．学习目标1.结合二次函数的图像，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程的根的关系．2.理解并会用函数在某个区间上存在零点的判定方法．二．学习重点、难点重点：了解函数零点的概念，体会方程的根与函数零点之间的联系，掌握函数零点存在性的判断．难点：准确认识零点的概念，能利用判定定理判断零点的存在或确定零点．三．学习过程 （一）课前思考问题1 判断方程2230x x --=根的个数，并求解问题2 作出函数223y x x =--的图象，并思考函数图象与问题1中方程的根有什么联系？思考结论： 问题3 上述关系对于一般的一元二次方程()200ax bx c a ++=≠及其相应的二次函数()20y ax bx c a =++≠是否也成立呢？判别式ac b 42-=∆()200ax bx c a ++=≠的根 ()20y ax bx c a =++≠图象与x轴的交点0>∆0=∆0<∆（二）课堂学习函数零点的定义：______________________________________________________________ ______________________________________________________________例1 求函数)1lg()(-=x x f 的零点．变式练习：求下列函数的零点．（1）65)(2+-=x x x f （2）12)(-=xx f解题小结____________________________________________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________动手探究：已知函数()y f x =的图象是一条连续不断的曲线，且过点()(),A a f a 、()(),B b f b ，请在下列四个坐标系中分别作出函数()y f x =的一个可能图象．思考：函数满足什么条件，在区间()b a ,上一定有零点？ 探究结论__________________________________________________________________________A ·B ·A ·B ·A ·B ·A ·B ·__________________________________________________________________________ 定理：______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________反馈练习：1．已知函数()f x 的图象是连续不断的，且有如下对应值表：x1 2 3 4 5 6 ()f x 136.13615.552-3.9210.88-52.488-232.064请写出3个一定存在零点的区间________________________________________________．2．能确定在区间()1,0上有零点的函数是（ ）．A ．()12+=x x fB ．()323+-=x x x fC ．()223-+=x x x fD ．()322++=x x x f3．函数()x f y =在定义域内满足()()()b a R b a b f a f <∈<⋅,,0，则函数()x f 在()b a ,内（ ）A ．只有一个零点B ．至少有一个零点C ．无零点D ．无法确定有无零点 练习心得________________________________________________________________________________________________________________________________________________例2 求函数()ln 26f x x x =+-零点的个数． 归纳总结____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 反思小结1.你通过本节课的学习，有什么收获？____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________2.对于本节课学习的内容你还有什么疑问？____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________（三）课后作业必做题：《学习与评价》第78页：第10、11题选做题：已知()()221421f x m x mx m =+++-．（1）m 为何值时，函数有两个零点？（2）若函数恰有一个零点在原点右侧，求m 的值．。
《方程的根与函数的零点》导学案
第1课时方程的根与函数的零点1.了解方程的根与函数零点的概念,会利用零点的概念解决简单的问题.2.理解零点存在性定理,会利用零点存在性定理判断零点的存在性或者零点所在的范围.3.能够运用函数思想、数形结合思想和化归思想解决方程的根的问题.一个小朋友画了两幅图:问题1:上面的两幅图中哪一幅能说明图中的小朋友一定渡过河?显然,图1说明了此小朋友一定渡过河,但对于图2,则无法判断,用数学的角度来看,如果把小朋友运动的轨迹当作函数图象,小河看作x轴,那么问题即转化为函数图象与x轴是否存在交点.问题2:(1)什么是函数的零点,零点是点吗?(2)二次函数的零点个数如何判断?(1)对于函数y=f(x),我们把使的实数x叫作函数y=f(x)的零点.由定义可知零点是一个实数不是点.(2)在二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中,当时,有两个零点;当Δ=0时,有零点;当时,没有零点.问题3:函数y=f(x)的零点,方程f(x)=0的根,函数y=f(x)与x轴交点的横坐标,这三者有什么关系?函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根,也就是函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标.事实上,方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点.问题4:(1)零点存在性定理的内容是什么?(2)如果函数y=f(x)在区间[a,b]上满足零点存在性定理的条件,即存在零点,那么在(a,b)上到底有几个零点呢?(3)如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,且在区间(a,b)内有零点,那么你认为f(a)·f(b)与0的关系是怎样的?请举例说明.(1)零点存在性定理:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.(2)至少有一个.(3)如图所示,可以小于0,可以等于0,也可以大于0.利用零点的概念求零点判断下列函数是否存在零点,如果存在,请求出.(1)f(x)=x+3;(2)f(x)=x2+2x+4;(3)f(x)=2x-3;(4)f(x)=1-log3x.x函数零点所在区间的判定函数f(x)=e x+x-2的零点所在的一个区间是().A.(-2,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,2)函数零点的个数判定+x2-2x有几个零点?函数f(x)=1x-log2x,在下列区间中,包含f(x)零点的区间是(). (2014年·北京卷)已知函数f(x)=6xA.(0,1)B.(1,2)C.(2,4)D.(4,+∞)考题变式(我来改编):第1课时方程的根与函数的零点知识体系梳理问题2:(1)f(x)=0(2)Δ>0一个Δ<0问题4:(1)f(a)·f(b)<0重点难点探究探究一:【解析】(1)令x+3x =0,解得x=-3,所以函数f(x)=x+3x的零点是-3.(2)令x2+2x+4=0,因为Δ=22-4×1×4=-12<0,所以方程x2+2x+4=0无实数根,所以函数f(x)=x2+2x+4不存在零点.(3)令2x-3=0,解得x=log23,所以函数f(x)=2x-3的零点是log23.(4)令1-log3x=0,解得x=3,所以函数f(x)=1-log3x的零点是3.【小结】求函数f(x)的零点时,通常转化为解方程f(x)=0,若方程f(x)=0有实数根,则函数f(x)存在零点,该方程的根就是函数f(x)的零点;否则,函数f(x)不存在零点.探究二:【解析】因为f(0)=-1<0,f(1)=e-1>0,所以零点在区间(0,1)上,选C.【答案】C【小结】要判断函数的零点所在的区间,只需把各区间的端点代入函数解析式中,看区间两端点对应的函数值是否异号,再用函数的零点存在性定理判断.探究三:【解析】由1x+x 2-2x=0,得1x=-x 2+2x ,在同一直角坐标系内画出函数y=1x和y=-x 2+2x 的图象,如图所示.由图可知,两个函数图象有2个交点,所以函数f (x )=1x+x 2-2x 有2个零点. [问题]得到的答案是否正确? [结论]不正确,画图不够准确.(法一)由1x+x 2-2x=0,得1x=-x 2+2x ,在同一直角坐标系内画出函数y=1x和y=-x 2+2x 的图象,如图所示. 由图可知,两个函数图象有3个交点,所以函数f (x )=1x+x 2-2x 有3个零点.(法二)解方程1x+x 2-2x=0,即x 3-2x 2+1x =0,(x-1)·(x 2-x-1)=0,所以方程有三个解,分别为x 1=1,x 2=1-√52,x 3=1+√52. 【小结】判断函数的零点个数有以下几种方法:①解方程;②画出函数图象,根据图象与x 轴交点的个数判断零点的个数;③结合函数的单调性,根据函数的零点存在性定理进行判断;④把方程转化为两个函数,画出两个函数的图象,根据它们交点的个数判断零点的个数,要求准确地画出函数的图象. 全新视角拓展【解析】由题意知函数f (x )在(0,+∞)上为减函数,又f (1)=6-0=6>0,f (2)=3-1=2>0,f (4)=64-log 24=32-2=-12<0,由零点存在性定理,可知函数f (x )在区间(2,4)上必存在零点.【答案】C 思维导图构建实数x x 轴 有零点 f (a )·f (b )<0（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。
新人教A版必修1高中数学3.1.1-2方程的根与函数的零点导学案
高中数学 3.1.1-2方程的根与函数的零点导学案新人教A 版必修1学习目标：1、理解函数零点存在性定理2、能应用零点存在性定理解决问题 学习重点：零点存在性定理的应用 学习过程：一、 观察分析、探究学习1、 判断函数183)(2--=x x x f 在[]8,1∈x 是否存在零点 法Ⅰ：法Ⅱ：2、 根据法Ⅱ总结零点存在定理___________________________________________ 3、 应用1：判断下列函数在给定区间上是否存在零点 （1）1)(3--=x x x f []2,1-∈x（2）x x x f -+=)2(log )(2 []3,1∈x应用2：若)(x f y =的最小值为2，则1)(-=x f y 的零点个数为______个应用3：若函数)0(12)(≠++=k k kx x f 在[]1,1-上存在一个零点，求k 的取值范围应用4：若函数m x m x x f 2)1(-)(2+-=在()1,0上有且只有一个零点，求m 的取值范围二、 数形结合、深化研究1、研究下列函数零点的个数 （1）32)(+-=-x e x f x（2）xx x f ⎪⎭⎫⎝⎛-+=213log )(22、单调性、奇偶性与零点（1）若奇函数)(x f 的定义域为R ，在()∞+，0上是单调递增函数，0)1(=f ，求)(x f 在()2,2-内的零点个数（2）求函数24)(x x x f -=的所有零点之和三、课后感悟1、函数()⎩⎨⎧>+-≤-=1,341,442x x x x x x f 的图象和函数()x x g 2log =的图象的交点个数是（ ） A.4 B.3 C.2 D.12、函数12log )(2-+=x x x f 的零点必落在区间（ ）A.⎪⎭⎫ ⎝⎛41,81 B.⎪⎭⎫ ⎝⎛21,41 C.⎪⎭⎫ ⎝⎛1,21 D.(1,2) 3、数()f x 的零点与()422x g x x =+-的零点之差的绝对值不超过0.25， 则()f x 可以是（ ）A. ()41f x x =-B. ()2(1)f x x =-C.()1x f x e =-D.)21ln()(-=x x f4．（10上海理）若0x 是方程31)21(x x =的解，则0x 属于区间（ ）A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛1,32 . B ．⎪⎭⎫⎝⎛32,21 .C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛21,31 D ．⎪⎭⎫⎝⎛31,05．（10上海文）若0x 是方程式lg 2x x +=的解，则0x 属于区间（ ） A ．（0，1）. B ．（1，1.25）C ．（1.25，1.75）D ．（1.75，2）6．（10天津理）函数()x x f x 32+=的零点所在的一个区间是（ ） A ．()1,2-- B ．()0,1- C ．()1,0 D ．()2,1 7．（10天津文）函数()2-+=x e x f x 的零点所在的一个区间是（ ）A ．()1,2--B ．()0,1-C ．()1,0D ．()2,1 8．（10浙江理）设函数,)12sin(4)(x x x f -+=则在下列区间中函数)(x f 不存在零点的是（ ）A ．[]2,4--B ．[]0,2-C ．[]2,0D ．[]4,2 9．（10浙江文）已知0x 是函数()xx f x -+=112的一个零点，若()01,1x x ∈，()+∞∈,02x x ，则（ ）A ．()01<x f ，()02<x fB ．()01<x f ，()02>x fC ．()01>x f ，()02<x fD ．()01>x f ，()02>x f 10．（07湖南文理）函数2441()431x x f x x x x -⎧=⎨-+>⎩， ≤，，的图象和函数2()log g x x =的图象的交点个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．111．（09福建文）若函数()f x 的零点与()422x g x x =+-的零点之差的绝对值不超过0.25，则()f x 可以是（ ） A.()41f x x =- B.()2(1)f x x =-C.()1x f x e =-D.()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=21ln x x f12．（09重庆理）已知以4T =为周期的函数(1,1]()12,(1,3]x f x x x ⎧∈-⎪=⎨--∈⎪⎩，其中0m >。
3.1.1 方程的根与函数的零点导学案
鸡西市第十九中学学案
【函数零点的定义】问题1考察下列一元二次方程与对应的二次函数：
＝0与函数y＝x2－2x－3；
0与函数y＝x2－2x＋1;
0与函数y＝x2－2x＋3.
你能列表表示出方程的根，函数的图象及图象与x轴交点坐标吗？
判断函数的零点的个数，可以转化为判断函数对应方程的实根的个数，也可以转化为判断函数图象与x轴交点的个数．
上的图象是一条的曲线，且，
)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有这两个条件后，函数的零点是唯一的吗？
函数零点不一定唯一，由下图可知，还需添加函数y＝。
高中数学：高一必修一 2.4.1方程的根与函数的零点(导学案)
2.4.1方程的根与函数的零点通过本节学习应达到如下目标:1、理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程要的关系，掌握零点存在的判定条件．2、通过对零点定义的探究掌握零点存在性的判定方法．3、在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值．学习重点：零点的概念及存在性的判定．学习难点：零点的确定．学习过程（一） 自主探究1、 观察下面几个一元二次方程及其相应的二次函数如：方程0322=--x x 与函数322--=x x y方程0122=+-x x 与函数122+-=x x y方程0322=+-x x 与函数322+-=x x y (在下面坐标系中分别做出上述二次函数的图象，并解出的方程根)试说明方程的根与图象与x 轴交点的关系。
(1) (2) (3)2、利用上述关系，试说明一般的一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根及其对应的二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象有怎样的关系？3、利用以上两个问题的的发现，试总结函数)(x f y =零点的定义，并说明函数)(x f y =的零点，方程0)(=x f 实数根，函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标的关系？（二）合作探讨1、（Ⅰ）观察二次函数32)(2--=x x x f 的图象 (见图1) ，完成下面各小题。
1) 在区间]1,2[-上有零点______； =-)2(f _______，=)1(f _______,)2(-f ·)1(f _____0（＜或＞）． 2) 在区间]4,2[上有零点______； )2(f ·)4(f ____0（＜或＞）．（Ⅱ）观察下面函数)(x f y =的图象(如图)，完成下面各小题。
1)在区间],[b a 上______(有/无)零点；)(a f ·)(b f _____0（＜或＞）． 2) 在区间],[c b 上______(有/无)零点；)(b f ·)(c f _____0（＜或＞）． 3) 区间],[d c 上______(有/无)零点；)(c f ·)(d f _____0（＜或＞）． 4) 区间],[d a 上______(有/无)零点；有 个零点；)(a f ·)(d f _____0（＜或＞）． 由以上几步探索，可以得出什么样的结论？2、(根的存在性定理)：在根的存在性定理中只须加入什么条件，零点的个数就是唯一的？3、求函数62ln )(-+=x x x f 的零点个数．(可以借助计算机或计算器来画函数的图象)（三）巩固练习1．利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根：（1）0532=++-x x ； （2）3)2(2-=-x x ；（3）442-=x x ； （4）532522+=+x x x ．2．利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间：（1）53)(3+--=x x x f ； （2）3)2ln(2)(--=x x x f ；（3）44)(1-+=-x e x f x ； （4）x x x x x f ++-+=)4)(3)(2(3)(．（四） 能力拓展：设函数12)(+-=ax x f x 。
高中数学必修一 方程的根与函数的零点(导学案)
§3.1函数与方程3.1.1方程的根与函数的零点学习目标 1.了解函数的零点、方程的根与图象交点三者之间的联系.2.会借助零点存在性定理判断函数的零点所在的大致区间.3.能借助函数单调性及图象判断零点个数.知识点一函数的零点对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.方程、函数、图象之间的关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点.思考(1)函数的“零点”是一个点吗？(2)函数y＝x2有零点吗？答案(1)不是；(2)有零点，零点为0.知识点二函数的零点、方程的根、函数图象与x轴的交点函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标，即方程f(x)＝0的实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标⇔函数y＝f(x)的零点. 思考函数f(x)＝ax2＋x－2有一个零点是1，这个函数还有其他零点吗？答案f(x)＝ax2＋x－2有一个零点是1，即a·12＋1－2＝0，∴a＝1，∴f(x)＝x2＋x－2，令x2＋x－2＝0，得x＝1或x＝－2，∴这个函数还有一个零点为－2.知识点三零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根.1.函数f (x )＝3x －2的零点为23.( √ )2.若f (a )·f (b )>0，则f (x )在[a ，b ]内无零点.( × )3.若f (x )在[a ，b ]上为单调函数，且f (a )·f (b )<0，则f (x )在(a ，b )内有且只有一个零点.( √ )4.若f (x )在(a ，b )内有且只有一个零点，则f (a )·f (b )<0.( × )题型一 求函数的零点例1 (1)函数y ＝1＋1x 的零点是( )A.(－1,0)B.－1C.1D.0 答案 B解析 由1＋1x＝0，得x ＝－1.(2)函数f (x )＝(lg x )2－lg x 的零点为________. 考点 函数零点的概念 题点 求函数的零点 答案 x ＝1或x ＝10解析 由(lg x )2－lg x ＝0，得lg x (lg x －1)＝0， ∴lg x ＝0或lg x ＝1，∴x ＝1或x ＝10.反思感悟 函数y ＝f (x )的零点就是方程f (x )＝0的实数根，也就是函数y ＝f (x )的图象与x 轴交点的横坐标，所以函数的零点是一个数，而不是一个点.在写函数零点时，所写的一定是一个数字，而不是一个坐标.跟踪训练1 (1)函数f (x )＝2x －1－3的零点是______.(2)若函数f (x )＝ax －b (b ≠0)有一个零点3，则函数g (x )＝bx 2＋3ax 的零点是________. 答案 (1)log 26 (2)－1和0解析 (1)解方程2x －1－3＝0，得x ＝log 26，所以函数的零点是log 26. (2)因为f (x )＝ax －b 的零点是3，所以f (3)＝0，即3a －b ＝0，即b ＝3a .所以g (x )＝bx 2＋3ax ＝bx 2＋bx ＝bx (x ＋1)，所以方程g (x )＝0的两个根为－1和0， 即函数g (x )的零点为－1和0.题型二 探求零点所在区间例2 (1)在下列区间中，函数f (x )＝e x ＋4x －3的零点所在的区间为( ) A.⎝⎛⎭⎫－14，0 B.⎝⎛⎭⎫0，14 C.⎝⎛⎭⎫14，12 D.⎝⎛⎭⎫12，34答案 C解析 因为f ⎝⎛⎭⎫14＝4e －2<0，f ⎝⎛⎭⎫12＝e －1>0，所以f ⎝⎛⎭⎫14·f ⎝⎛⎭⎫12<0，又函数f (x )在定义域上单调递增，所以零点在区间⎝⎛⎭⎫14，12上.(2)二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的部分对应值如下表：不求a ，b ，c 的值，判断方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根所在的区间是( ) A.(－3，－1)，(2,4) B.(－3，－1)，(－1,1) C.(－1,1)，(1,2) D.(－∞，－3)，(4，＋∞)答案 A解析 因为f (－3)＝6>0，f (－1)＝－4<0，所以在区间(－3，－1)内必有实数根，又f (2)＝－4<0，f (4)＝6>0，所以在区间(2,4)内必有实数根，故选A.反思感悟 判断单调函数零点所在区间的方法：将区间端点值代入函数解析式求出函数值，进行符号判断即可得出结论，此类问题的难点往往是函数值符号的判断，对此可运用函数的有关性质进行判断.跟踪训练2 根据表格中的数据，可以断定方程e x －(x ＋2)＝0(e ≈2.72)的一个根所在的区间是( )A.(－1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3) 考点 函数零点存在性定理 题点 判断函数零点所在的区间 答案 C解析 令f (x )＝e x －(x ＋2)，则f (－1)≈0.37－1<0，f (0)＝1－2<0，f (1)≈2.72－3<0，f (2)≈7.40－4＝3.40>0.由于f (1)·f (2)<0，∴方程e x －(x ＋2)＝0的一个根在(1,2)内. 题型三 函数零点的个数例3 已知0<a <1，则函数y ＝a |x |－|log a x |的零点的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 B解析 函数y ＝a |x |－|log a x |(0<a <1)的零点的个数即方程a |x |＝|log a x |(0<a <1)的根的个数，也就是函数f (x )＝a |x |(0<a <1)与g (x )＝|log a x |(0<a <1)的图象的交点的个数.画出函数f (x )＝a |x |(0<a <1)与g (x )＝|log a x |(0<a <1)的图象，如图所示，观察可得函数f (x )＝a |x |(0<a <1)与g (x )＝|log a x |(0<a <1)的图象的交点的个数为2，从而函数y ＝a |x |－|log a x |的零点的个数为2.延伸探究1.把本例函数“y ＝a |x |－|log a x |”改为“y ＝2x |log a x |－1”，再判断其零点个数.解 由2x |log a x |－1＝0得|log a x |＝⎝⎛⎭⎫12x，作出y ＝⎝⎛⎭⎫12x 及y ＝|log a x |(0<a <1)的图象如图所示.由图可知，两函数的图象有两个交点， 所以函数y ＝2x |log a x |－1有两个零点.2.若把本例条件换成“函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点”，求实数b 的取值范围. 解 由f (x )＝|2x －2|－b ＝0，得|2x －2|＝b .在同一平面直角坐标系中分别画出y ＝|2x －2|与y ＝b 的图象，如图所示.则当0<b <2时，两函数图象有两个交点，即函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点.反思感悟 判断函数零点个数的方法主要有：(1)可以利用零点存在性定理来确定零点的存在性，然后借助函数的单调性判断零点的个数.(2)利用函数图象交点的个数判定函数零点的个数.跟踪训练3 求函数f (x )＝ln x ＋2x －6零点的个数. 考点 函数的零点与方程根的关系 题点 判断函数零点的个数解 方法一 由于f (2)＝ln 2＋4－6<0，f (3)＝ln 3＋6－6>0，即f (2)·f (3)<0，又f (x )的图象在(2,3)上是不间断的，所以函数f (x )在区间(2,3)内有零点.又因为函数f (x )在定义域(0，＋∞)内是增函数，所以它仅有一个零点.方法二 通过作出函数y ＝ln x ，y ＝－2x ＋6的图象，观察两图象的交点个数得出结论.也就是将函数f (x )＝ln x ＋2x －6的零点个数转化为函数y ＝ln x 与y ＝－2x ＋6的图象交点的个数. 由图象可知两函数有一个交点，即函数f (x )有一个零点.根据零点情况求参数范围典例 若函数f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1在区间(－1,0)和(1,2)内各有一个零点，求实数m 的取值范围.考点 函数的零点与方程根的关系 题点 两根分别属于两区间解 函数f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1的零点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，即函数f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1的图象与x 轴的交点一个在(－1,0)内，一个在(1,2)内，根据图象(图略)列出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＝2＞0，f (0)＝2m ＋1＜0，f (1)＝4m ＋2＜0，f (2)＝6m ＋5＞0，解得⎩⎨⎧m ＜－12，m ＞－56，∴－56＜m ＜－12，∴实数m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－56，－12. [素养评析] 函数的零点即函数图象与x 轴交点的横坐标，这样就建立了数与形的联系，利用函数图象描述问题，充分体现直观想象的数学核心素养.1.函数y ＝ln x 的零点是( ) A.(0,0) B.x ＝0 C.x ＝1 D.不存在 考点 函数零点的概念 题点 求函数的零点 答案 C2.下列各图象表示的函数中没有零点的是( )考点 函数零点的概念 题点 判断函数有无零点 答案 D3.函数f (x )＝4x －2x －2的零点是( ) A.(1,0) B.1 C.12 D.－1答案 B4.函数f (x )＝2x －1x的零点所在的区间是( )A.(1，＋∞)B.⎝⎛⎭⎫12，1 C.⎝⎛⎭⎫13，12 D.⎝⎛⎭⎫14，13答案 B5.函数f (x )＝x 3－⎝⎛⎭⎫12x的零点有______个. 考点 函数的零点与方程根的关系 题点 判断函数零点的个数 答案 11.方程f (x )＝g (x )的根是函数f (x )与g (x )的图象交点的横坐标，也是函数y ＝f (x )－g (x )的图象与x 轴交点的横坐标.2.在函数零点存在性定理中，要注意三点：(1)函数是连续的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一个零点.3.解决函数的零点存在性问题常用的办法有三种：(1)用定理；(2)解方程；(3)用图象.4.函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时可以转化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础.。
3.1.1(零点定理导学案)---宋丽玲
学校 乐从中学 年级 高一 学科 数学 导学案主备宋丽玲 审核 张活富 授课人 授课时间 班级 姓名 小组 课题：3.1.1方程的根与函数的零点 课型：新授课 课时：1 【学习目标】（1）了解函数的零点与对应方程的根的关系，了解零点概念；（2）会根据二次函数的图像与x 轴的交点判断一元二次方程的根的个数与函数零的个数（3）掌握数型结合的数学思想方法。
【学习过程】 一、课题引入 1、 求下列方程的根（1）0322=--x x （2）0122=+-x x （3）0322=+-x x2、完成下列表格：方程 0322=--x x 0122=+-x x 0322=+-x x函数 322--=x x y122+-=x x y322+-=x x y函数图象方程的实数根 函数的图像与x 轴的交点思考：一元二次方程的根与对应的二次函数的图象与x 轴的交点有什么关系？（教师“复备”栏或学生笔记栏）若将上面特殊的一元二次方程推广到一般的一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 及其相应的二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象与x 轴的交点关系，上述结论是否成立？：判别式△ = b2－4ac △＞0△=0△＜0方程)0(02≠=++a c bx ax 的根函数)0(2≠++=a c bx ax y 图象函数的图象 与 x 轴的交点函数零点的定义：对于函数y=f(x),我们把使 ____________________ 的实数x 叫做函数y=f(x)的零点。
等价关系:方程f(x)=0有实数根巩固练习：1、的零点是函数322--=x x y （ ）A ．（-1,0），（3,0） B.x=-1 C.x=3 D.-1和3 2、求下列函数的零点.思考：零点是一个点吗？20)1(2+--=x x y 12)2(-=x y )1(log )3(2-=x y小结求函数零点的方法：探究：1、观察二次函数32)(2--=x x x f 图象)(0_____)4()2(]4,2[)2()(0____)1()2(____,)1(_____,)2(]1,2[)1(><⋅><=⋅-==--或上有零点；在区间或上有零点；在区间f f f f f f2、 观察下面函数y=f(x)的图象)(0__)()()|___(],[3)(0__)()()|___(],[2)(0__)()()|___(],[)1(><⋅><⋅><⋅或零点，无有上）在区间（或零点，无有上）在区间（或零点，无有上在区间d f c f d c c f b f c b b f a f b a 由以上的探索你发现了什么?零点定理：如果函数)(x f y =在区间[a,b]上的图象是________的一条曲线，并且有____________那么，函数)(x f y =在区间),(b a 内________，即存在),(b a c ∈使得__________ ，这个c 也是______________的根。
高中数学《方程的根与函数的零点 》导学案
函数
函数图像
函数与x轴的交点
方程
方程的根
（-1,0）
x+1=0
x=-1
给出函数零点概念
零点：对于函数 ,我们把使 的实数x叫做函数 的零点。
注意：零点是实数不是点。
探究二、函数零点，方程的根，函数图像与x轴交点的关系
情景设计：请大家完成下列表格别完成以下问题
例2：求函数y= 的零点
解：y=x( ) =x( )=x(x )(x )
令x(x )(x )=0
解得：
所有函数y= 的零点为，0,1，-1
思考：请同学们思考，若函数y=f(x)在区间[a,b]上是连续的一条曲线，那么是不是函数在区间[a,b]就一定没有零点？
课堂总结：
1：函数的零点，方程的根，函数图象与x轴的交点间的关系；
2：基本初等函数的零点
3：零点的存在性定理
作业：
无交点
无
方程的根，函数与x轴的交点，函数零点的关系
方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．
（零点=f(x)＝0的根=图象与x轴的交点的横坐标）
函数零点的计算方法
1、图象法（画图象找与x轴的交点）
2、方程法（令f(x）=0，求方程的根）
探究三、基本初等函数的零点
1、一次函数y=kx+b(k )的零点- ,
2、反比例函数 ( )的零点无，
3,、二次函数的零点
函数
零点
两个零点
一个零点
无零点
4、指数函数 )的零点无，
5、对数函数 ( )的零点1，
6、幂函数 的零点0。
《方程的根与函数的零点》导学案
第1课时方程的根与函数的零点1.了解方程的根与函数零点的概念,会利用零点的概念解决简单的问题.2.理解零点存在性定理,会利用零点存在性定理判断零点的存在性或者零点所在的范围.一个小朋友画了两幅图:问题1:上面的两幅图哪一个能说明此小朋友一定曾经渡过河?显然,图1说明了此小朋友曾经渡过河,但对于图2,则无法判断,用数学的角度来看,如果把小朋友运动的轨迹当作函数图象,小河看作x轴,那么问题即转化为函数图象与x轴是否存在交点.问题2:(1)什么是函数的零点,零点是点吗?(2)二次函数的零点个数如何判断?(1)对于函数y=f(x),我们把使的实数x叫作函数y=f(x)的零点.由定义可知零点是一个实数不是点.(2)在二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中,当时,有两个零点;当Δ=0时,有零点;当时,没有零点.问题3:函数y=f(x)的零点,方程f(x)=0的根,函数y=f(x)与x轴交点的横坐标,这三者有什么关系?函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根,也就是函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标.事实上,方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点.问题4:(1)零点存在性定理的内容是什么?(2)如果函数y=f(x)在区间[a,b]上满足零点存在性定理的条件,即存在零点,那么在(a,b)上到底有几个零点呢?(3)如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,且在区间(a,b)内有零点,那么你认为f(a)·f(b)与0的关系是怎样的?请举例说明.(1)零点存在性定理:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.(2)至少有一个.(3)如图所示,可以小于0,可以等于0,也可以大于0.1.函数y=x2-2x-3的零点是().A.(-1,0),(3,0)B.x=-1C.x=3D.-1和32.若函数f(x)=x2+2x+a有零点,则实数a的取值范围是().A.a<1B.a>1C.a≤1D.a≥13.观察函数y=f(x)的图象,则f(x)在区间[a,b]上(填“有”或“无”)零点;f(a)·f(b)0(填“<”或“>”),在区间[b,c]上(填“有”或“无”)零点;f(b)·f(c)0(填“<”或“>”),在区间[c,d]上(填“有”或“无”)零点;f(c)·f(d)0(填“<”或“>”).4.已知函数f(x)=2x-x2,问方程f(x)=0在区间[-1,0]内是否有解,为什么?利用零点的概念求零点判断下列函数是否存在零点,如果存在,请求出.(1)f(x)=;(2)f(x)=x2+2x+4;(3)f(x)=2x-3;(4)f(x)=1-log3x.零点个数的判断判断函数f(x)=ln x+x2-3的零点的个数.零点所在区间的判断函数f(x)=lg x-的零点所在的大致区间是().A.(6,7)B.(7,8)C.(8,9)D.(9,10)下列函数中存在两个零点的是().A.f(x)=2x-2B.f(x)=lg(x2-2)C.f(x)=x2-2x+1D.f(x)=e x-1-2判断函数f(x)=x2-的零点的个数.方程2x+x=0在下列哪个区间内有实数根().A.(-2,-1)B.(0,1)C.(1,2)D.(-1,0)1.下列图象表示的函数中没有零点的是().2.已知函数f(x)函数f(x)在区间[1,6]上的零点至少有().A.2个B.3个C.4个D.5个3.函数f(x)为偶函数,其图象与x轴有四个交点,则该函数的所有零点之和为.4.已知函数f(x)=x3-2x2-5x+6的一个零点为1.求函数f(x)的其他零点.(2013年·重庆卷)若a<b<c,则函数f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)的两个零点分别位于区间().A.(a,b)和(b,c)内B.(-∞,a)和(a,b)内C.(b,c)和(c,+∞)内D.(-∞,a)和(c,+∞)内考题变式(我来改编):答案第三章函数的应用第1课时方程的根与函数的零点知识体系梳理问题2:(1)f(x)=0(2)Δ>0一个Δ<0问题4:(1)f(a)·f(b)<0基础学习交流1.D由x2-2x-3=0得x=-1或x=3.2.C函数f(x)=x2+2x+a有零点,即方程x2+2x+a=0有实数根,所以Δ=4-4a≥0,得a≤1.3.有< 有< 有< 根据“如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且f(a)·f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根”来判断.4.解:因为f(-1)=2-1-(-1)2=-<0,f(0)=20-02=1>0,而函数f(x)=2x-x2在[-1,0]上的图象是一条连续曲线,所以f(x)在区间[-1,0]内有零点,即方程f(x)=0在区间[-1,0]内有解.重点难点探究探究一:【解析】(1)令=0,解得x=-3,所以函数f(x)=的零点是-3.(2)令x2+2x+4=0,因为Δ=22-4×1×4=-12<0,所以方程x2+2x+4=0无实数根,所以函数f(x)=x2+2x+4不存在零点.(3)令2x-3=0,解得x=log23,所以函数f(x)=2x-3的零点是log23.(4)令1-log3x=0,解得x=3,所以函数f(x)=1-log3x的零点是3.【小结】求函数f(x)的零点时,通常转化为解方程f(x)=0,若方程f(x)=0有实数根,则函数f(x)存在零点,该方程的根就是函数f(x)的零点;否则,函数f(x)不存在零点.探究二:【解析】(法一)函数对应的方程为ln x+x2-3=0,即为函数y=ln x与y=3-x2的图象交点个数.在同一坐标系下,作出两函数的图象.如图,两函数图象有一个交点.从而ln x+x2-3=0有一个根,即函数y=ln x+x2-3有一个零点.(法二)∵f(1)=ln 1+12-3=-2<0,f(2)=ln 2+22-3=ln 2+1>0,∴f(1)·f(2)<0,又f(x)=ln x+x2-3在(1,2)上是不间断的,∴f(x)在(1,2)上必有零点,又f(x)在(0,+∞)上是递增的,∴零点只有一个.【小结】判断函数零点个数的主要方法:(1)利用方程根,转化为解方程,有几个根就有几个零点;(2)画出函数y=f(x)的图象,判定它与x轴的交点个数,从而判定零点的个数;(3)结合单调性,利用f(a)·f(b)<0,可判定y=f(x)在(a,b)上零点的个数;(4)转化成两个函数图象的交点问题.探究三:【解析】易知f(x)在(0,+∞)上是递增的.∵f(6)=lg 6-=lg 6-<0,f(7)=lg 7-<0,f(8)=lg 8-<0,f(9)=lg 9-1<0,f(10)=lg 10->0,∴f(9)·f(10)<0,∴f(x)=lg x-的零点所在的大致区间为(9,10).【答案】D【小结】判断函数零点所在区间的三个步骤:(1)代:将区间端点代入函数求出函数的值.(2)判:把所得函数值相乘,并进行符号判断.(3)结:若符号为正且函数在该区间内是单调函数,则在该区间内无零点,若符号为负且函数连续,则在该区间内至少有一个零点.思维拓展应用应用一:B A中零点为1;B中零点为±;C中零点为1;D中零点为1+ln 2,故选B.应用二:(法一)由x2-=0,得x2=.令h(x)=x2(x≠0),g(x)=,在同一坐标系中画出h(x)和g(x)的图象,由图可知两函数图象只有一个交点.故函数f(x)=x2-只有一个零点.(法二)当x<0时,f(x)>0恒成立,当x>0时,f(x)是递增的且不间断,又f(1)=1-1=0,故f(x)只有一个零点.应用三:D令f(x)=2x+x,∵f(-1)·f(0)=(-)×1<0,∴f(x)=2x+x的零点在区间(-1,0)内,故2x+x=0在区间(-1,0)内有实数根.基础智能检测1.A观察图象可知A中图象表示的函数没有零点.2.B∵f(2)·f(3)<0,∴f(x)在[2,3]上至少有1个零点,同理f(x)在[3,4]、[4,5]上都存在至少1个零点,∴f(x)在[1,6]上的零点至少有3个,故选B.3.0因为f(x)为偶函数,所以其零点互为相反数,故四个零点之和为0.4.解:由题意,设f(x)=(x-1)(x2+mx+n)=x3+(m-1)x2+(n-m)x-n,则解得令f(x)=0,即(x-1)(x2-x-6)=0⇒(x-1)(x-3)(x+2)=0,解得x=-2,1,3.∴函数f(x)的其他零点是-2,3.全新视角拓展A因为f(a)=(a-b)(a-c)>0,f(b)=(b-c)(b-a)<0,f(c)=(c-a)(c-b)>0,所以f(a)f(b)<0,f(b)f(c)<0,所以函数的两个零点分别在(a,b)和(b,c)内.思维导图构建实数x x轴有零点f(a)·f(b)<0。
新人教版高中数学方程的根与函数的零点导学案
§3.1.1 方程的根与函数的零点课前预学案一、预习目标1.通过具体的一元二次方程和相应的函数观察出方程的根和函数的图象之间的关系，进一步将这种关系推广到一般的一元二次方程和函数，最后拓展到一般的方程和函数。
2.会求一些简单函数的零点二、预习过程预习课本P 86－P 87,完成下面的表格（1）解下列一元二次方程：0322=--x x ，0122=+-x x ，0322=+-x x 。
（2）画出下列函数的图象：322--=x x y ，122+-=x x y ，322+-=x x y 。
一般结论：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根就是相应二次函数20(0)y ax bx c a =++=≠的图象与x 轴交点的 .你能将结论进一步推广到()y f x =吗？新知：对于函数()y f x =，我们把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的 .提问：零点是一个点吗？（零点指的是一个 ）反思：函数()y f x =的零点、方程()0f x =的实数根、函数()y f x = 的图象与x 轴交点的横坐标，三者有什么关系？试试：判断下列函数是否有零点，若有求出函数的零点。
（1）y=2x-1 （2）244y x x =-+ （3）243y x x =-+（4）;3x y = （5）x y 2log = （6）xy 1=小结：方程()0f x =有 ⇔函数()y f x =的图象与x 轴有⇔函数()y f x =有 .课内探究学案一、学习目标① 理解函数（结合二次函数）零点的概念； ② 领会函数零点与相应方程的关系； ③ 掌握零点存在的判定定理； ④会求简单函数的零点.学习重点与难点：函数零点的判别。
二、预习结果梳理：1. 一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根就是相应二次函数20(0)y ax bx c a =++=≠的图象与x 轴交点的 .2.对于函数()y f x =，我们把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的 .3. 方程()0f x =有 ⇔函数()y f x =的图象与x 轴有⇔函数()y f x =有 .三、预习检测：1.判断下列函数是否有零点，若有求出函数的零点。
王丽丽的方程的根与函数的零点导学案
第三章3.1.1方程的根与函数的零点一、学习目标1．理解函数零点的概念，以及了解函数的零点与方程根的关系．(易混点) 2．会求函数的零点．(重点)3．掌握函数零点的存在性定理并会判断函数零点的个数．(难点)二、课前导学合作探究一：什么是函数的零点？1．方程2x＋1＝0的根为x＝________，函数的零点是_______2.方程x2－2x－3＝0的根为_______________ ，函数的零点是________合作探究二：画出函数的图像并指出零点（1）f(x)＝4x－3(2)f(x)＝x2－3x＋2x（3)f(x)＝2(4)f(x)＝log2(x＋1)合作探究三：会求方程x－3＋ln x=0的根吗？如何用图像法找到函数的零点三、课中导学1.函数的零点(1)定义：对于函数y＝f(x)，我们把使方程__________成立的实数x叫做函数y ＝f(x)的零点．函数y＝2x＋1的零点是_______，函数y＝x2－2x－3的零点是_________ 注意的问题是：零点不是点小试牛刀1：求函数的零点(1)f(x)＝4x－3(2)f(x)＝x2－3x＋2x(3)f(x)＝2(4)f(x)＝log2(x＋1)小结1：反思1：函数f(x)的零点还可以用别的方法求吗？小结2：方程f(x)＝0有________⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有_____⇔函数y＝f(x)有_____．反思2：函数f(x)＝x－3＋ln x有零点吗?能用图像法来求吗？小结3：反思3：函数f(x)＝x－3＋ln x是否能确定在区间（1，2）还是（2，3）内？观察二次函数f (x )= x 2-2x -3图象(1）f (-2) 0，f (1) 0，f (-2) . f (1) ____ 0 (填“>”或“<”) 发现在区间(-2，1)上有零点____（2）f (2) 0，f (4) 0，f (2) . f (4) ____ 0 (填“>”或“<”) 发现在区间(2，4)上有零点____（3）f(x)在区间(a,b)上____(有/无)零点， f(a)·f(b) ____ 0（填＜或＞）． （4）f(x)在区间(b,c)上____(有/无)零点；f(b)· f(c)____ 0（填＜或＞）．2.函数零点的判定定理若函数在区间[a,b]上图象是连续的，如果有 成立，那么函数在区间(a,b)上有零点。
方程的根与函数的零点教案（精选6篇）
方程的根与函数的零点教案方程的根与函数的零点教案（精选6篇）作为一名为他人授业解惑的教育工作者，就不得不需要编写教案，编写教案有利于我们弄通教材内容，进而选择科学、恰当的教学方法。
教案应该怎么写呢？下面是小编整理的方程的根与函数的零点教案，仅供参考，欢迎大家阅读。
方程的根与函数的零点教案篇1学习目标1. 结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系;2. 掌握零点存在的判定定理.学习过程一、课前准备（预习教材P86~ P88，找出疑惑之处）复习1：一元二次方程 +bx+c=0 （a 0）的解法.判别式 = .当 0，方程有两根，为 ;当 0，方程有一根，为 ;当 0，方程无实根.复习2：方程 +bx+c=0 （a 0）的根与二次函数y=ax +bx+c （a 0）的图象之间有什么关系?判别式一元二次方程二次函数图象二、新课导学学习探究探究任务一：函数零点与方程的根的关系问题：① 方程的解为，函数的图象与x轴有个交点，坐标为 .② 方程的解为，函数的图象与x轴有个交点，坐标为 .③ 方程的解为，函数的图象与x轴有个交点，坐标为 .根据以上结论，可以得到：一元二次方程的根就是相应二次函数的图象与x轴交点的 .你能将结论进一步推广到吗?新知：对于函数，我们把使的实数x叫做函数的零点（zero point）.反思：函数的零点、方程的实数根、函数的图象与x轴交点的横坐标，三者有什么关系?试试：（1）函数的零点为 ;（2）函数的零点为 .小结：方程有实数根函数的图象与x轴有交点函数有零点.探究任务二：零点存在性定理问题：① 作出的图象，求的值，观察和的符号② 观察下面函数的图象，在区间上零点; 0;在区间上零点; 0;在区间上零点; 0.新知：如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有0，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个c也就是方程的根.讨论：零点个数一定是一个吗? 逆定理成立吗?试结合图形来分析.典型例题例1求函数的零点的个数.变式：求函数的零点所在区间.小结：函数零点的求法.① 代数法：求方程的实数根;② 几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点.动手试试练1. 求下列函数的零点：练2. 求函数的零点所在的大致区间.三、总结提升学习小结①零点概念;②零点、与x轴交点、方程的根的关系;③零点存在性定理知识拓展图象连续的函数的零点的性质：（1）函数的图象是连续的，当它通过零点时（非偶次零点），函数值变号.推论：函数在区间上的图象是连续的，且，那么函数在区间上至少有一个零点.（2）相邻两个零点之间的函数值保持同号.学习评价自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 函数的零点个数为（）.A. 1B. 2C. 3D. 42.若函数在上连续，且有 .则函数在上（）.A. 一定没有零点B. 至少有一个零点C. 只有一个零点D. 零点情况不确定3. 函数的零点所在区间为（）.A. B. C. D.4. 函数的零点为 .5. 若函数为定义域是R的奇函数，且在上有一个零点.则的零点个数为 .课后作业1. 求函数的零点所在的大致区间，并画出它的大致图象.2. 已知函数 .（1）为何值时，函数的图象与轴有两个零点;（2）若函数至少有一个零点在原点右侧，求值.方程的根与函数的零点教案篇2教学目标：1、能够结合二次函数的图像判断一元二次方程根的存在性及根的个数。
零点存在性定理导学案
3.1.1 方程的根与函数的零点 导学案(2) 教学目标1. 掌握零点存在的判定定理;2.能用二分法求方程的近似解教学重点：零点存在性定理及其应用教学难点：零点存在性定理的理解教学过程：一．复习准备问题1：作出()342+-=x x x f 的图象.（1）求该函数的零点；（2）求(2),(1),(0)f f f 的值，观察(2)f 和(0)f 的符号.问题2：作出()x x f 2log =的图象.（1）求该函数的零点；（2）求()2,21f f ⎪⎭⎫ ⎝⎛的值，观察⎪⎭⎫ ⎝⎛21f 和(2)f 的符号. 二．新课导学（一）组织探究：零点存在性定理问题观察下面函数()y f x =的图象，在区间[,]a b 上 零点；()()b f a f ⋅ 0；在区间[,]b c 上 零点；()()c f b f ⋅ 0；在区间[,]c d 上 零点；_)()(d f c f ⋅ 0.（二）新知： 零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有()()b f a f ⋅ 0，那么，函数()y f x =在区间(,)a b 内有零点，即存在(,)c a b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根. 讨论：零点个数一定是一个吗？ 逆定理成立吗？试结合图形来分析. 试试：若函数()f x 在[],a b 上连续，且有()()0>⋅b f a f ．则函数()f x 在[],a b 上（ ）.A. 一定没有零点B. 至少有一个零点C. 只有一个零点D. 零点情况不确定三．例题讲解例1.求函数23x y =-的零点所在的大致区间.变式： 1.求函数()ln 2f x x x =+-的零点所在区间；2．函数1()44x f x e x -=+-的零点所在区间为（ ）.A. (1,0)-B. (0,1)C. (1,2)D. (2,3)例 2. 用二分法求函数()633-=x x f 的零点时，第一次计算()00<f ，()05.0>f ，可得其中一个零点∈0x 第二次应计算变式：用二分法求函数()633-=x x f 的零点时，初始区间可选为（ ）A (0,1)B (1,2)C (2,3)D (3,4)总结：（1）二分法：对于在区间[,]a b 上的图象是连续不断且()()0<⋅b f a f 的函数()y f x =，通过不断地把函数()f x 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.(2)给定精确度ε，用二分法求函数()f x 零点近似值的步骤如下：1.确定区间[]b a ,，验证()()0<⋅b f a f ，给定精确度ε；2.求区间[]b a ,的中点c ；3.计算)(c f ；(1)若0)(=c f ，则c 就是函数的零点；（2）若()()0<⋅b f a f ，则令c b =（此时零点()c a x ,0∈）；(3) 若()()0<⋅b f c f ,则令c a =（此时零点()b c x ,0∈）；4.判断是否达到精确度ε：即若ε<-b a ，则得到零点近似值a 或b ；重复42--.四．课后作业1.判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出.(1)67)(2++=x x x f ; (2)()()3log 12--=x x f ;(3)()321-=-x x f ; (4)()21242--+=x x x x f . 2函数()11ln --=x x x f 的零点的个数是（ ） A 0 B 1 C 2 D 33.用二分法求方程0523=--x x 在区间[]3,2上的近似解，取区间中点5.20=x ，那么下一个有解区间为。
方程的根与函数的零点学案
课题：方程的根与函数的零点 学案（一）复习引入，铺垫新课活动1.1求下列方程的根．（1）230x += （2）2230x x --=活动1.2分别画出函数23y x =+和223y x x =--的图象，并观察函数与所对应的方程的联系.（二）初步探索，概念形成活动2.1 阅读零点定义，并回答问题．零点：对于函数()y f x =，我们把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点. 问题：零点是点吗？零点是什么？零点定义中的关键词有哪些？活动2.2 分析下列一元二次方程和其对应的二次函数，分别说出方程的根、函数与x 轴的交点和函数的零点，并找到其中的关系．三者关系：（三）探究定理，完善辨析活动3.1 所有函数都有零点吗？活动3.2 根据以上的分析，你认为在什么条件下，函数在区间(,)a b 内一定有零点？活动3.3：你的结论对任意一个函数都成立吗？活动4：思考辨析（可以举出具体的示例进行说明）（1）如果()()0f a f b >，函数()y f x =在区间(),a b 上一定没有零点吗？（2）如果()()0f a f b <，函数()y f x =在区间(),a b 上只有一个零点吗？ 可能有几个？（3）如果()()0f a f b <时，增加什么条件可确定函数()y f x =在区间在(),a b 上只有一个零点？（四）应用定理，问题解决 判断函数32()31f x x x =-+在区间(0,3)上是否存在零点？（五）课堂小结，布置作业课堂小结：（1）回顾本节课，你印象最深刻的内容是什么，你有什么体会？（2）在方程的根与函数的零点的等价关系和零点存在定理的探究上，我们用了哪些研究问题的手段，从中可以得到那些有益的思考方法？（3）如果你遇到了一个不会解的方程，可以怎么做？布置作业：1.目标P37页；2.选做：求方程230x x e ⋅-=的解的大致区间，并与其他同学的结果进行比较．。
《方程的根与函数的零点》上课导学案
《方程的根与函数的零点》导学案一．学习目标1.结合二次函数的图像，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程的根的关系．2.理解并会用函数在某个区间上存在零点的判定方法．二．学习重点、难点重点：了解函数零点的概念，体会方程的根与函数零点之间的联系，掌握函数零点存在性的判断．难点：准确认识零点的概念，能利用判定定理判断零点的存在或确定零点．三．学习过程 （一）课前思考问题1 判断方程2230x x --=根的个数，并求解问题2 作出函数223y x x =--的图象，并思考函数图象与问题1中方程的根有什么联系？思考结论： 问题3 上述关系对于一般的一元二次方程()200ax bx c a ++=≠及其相应的二次函数()20y ax bx c a =++≠是否也成立呢？判别式ac b 42-=∆()200ax bx c a ++=≠的根 ()20y ax bx c a =++≠图象与x轴的交点0>∆0=∆0<∆（二）课堂学习函数零点的定义：______________________________________________________________ ______________________________________________________________例1 求函数)1lg()(-=x x f 的零点．变式练习：求下列函数的零点．（1）65)(2+-=x x x f （2）12)(-=xx f解题小结____________________________________________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________动手探究：已知函数()y f x =的图象是一条连续不断的曲线，且过点()(),A a f a 、()(),B b f b ，请在下列四个坐标系中分别作出函数()y f x =的一个可能图象．思考：函数满足什么条件，在区间()b a ,上一定有零点？ 探究结论__________________________________________________________________________A ·B ·A ·B ·A ·B ·A ·B ·__________________________________________________________________________ 定理：______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________反馈练习：1．已知函数()f x 的图象是连续不断的，且有如下对应值表：x1 2 3 4 5 6 ()f x 136.13615.552-3.9210.88-52.488-232.064请写出3个一定存在零点的区间________________________________________________．2．能确定在区间()1,0上有零点的函数是（ ）．A ．()12+=x x f B ．()323+-=x x x fC ．()223-+=x x x f D ．()322++=x x x f3．函数()x f y =在定义域内满足()()()b a R b a b f a f <∈<⋅,,0，则函数()x f 在()b a ,内（ ）A ．只有一个零点B ．至少有一个零点C ．无零点D ．无法确定有无零点 练习心得________________________________________________________________________________________________________________________________________________例2 求函数()ln 26f x x x =+-零点的个数． 归纳总结____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 反思小结1.你通过本节课的学习，有什么收获？____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________2.对于本节课学习的内容你还有什么疑问？____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________（三）课后作业必做题：《学习与评价》第78页：第10、11题选做题：已知()()221421f x m x mx m =+++-．（1）m 为何值时，函数有两个零点？（2）若函数恰有一个零点在原点右侧，求m 的值．。
方程的根与函数的零点导学案
课题：§3.1.1方程的根与函数的零点学习目标：知识与技能理解函数<结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程要的关系，掌握零点存在的判定条件．b5E2RGbCAP 过程与方法零点存在性的判定．情感、态度、价值观在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值．学习重点：重点零点的概念及存在性的判定．难点零点的确定．学习程序与环节设计：方程与函数方程与函数方程与函数轴根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标．_________________________________________________求函数<代数法）１）△＞０，方程数的图象与____________，二次函数有△＝根），二次函数的图象与轴有__________一个二重零点或二阶零点．_________象与___________，二次函数的图象：在区间上有零点_____________，·_____0<＜或＞）．错误!在区间·____0<错误!在区间上______(·_____0<错误!在区间·_____0<错误!在区间·_____0<由以上两步探索，你可以得出什么样的结论？．求函数．求函数））；）；．利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区）；））；）））．求下列函数的零点，图象顶点的坐标，画出各自的简））已知：）为何值时，函数的图象与轴有两个零点；）如果函数至少有一个零点在原点右侧，求）；））研究，，，相互关系，以零点作为研究出发点，并将研究结果尝试用一种申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。
新人教版高中数学方程的根与函数的零点导学案(1)
（二）重难点：
1教学重点：体会函数的零点与方程的根以及函数的图象与x轴的交点的横坐标三者之间的联系
2教学难点:求函数的零点
问题
助学
探究(一)：函数零点的概念
问题1：观察下表(一)，求出表中一元二次方程的实数根，画出相应的二次函数图象的简图，并写出函数图象与x轴交点的横坐标以及函数值为0时x的值
方程
函数
方程的实数根
画函数的图象并写出其与x轴交点的横坐标
函数值为0时x的值
提出疑问：方程的根，函数图象与x轴交点的横坐标以及函数值为0时x的值三者之间有什么关系？
结论：________________________________________________________
问题2：函数零点的概念
教学内容所在教材位置
课题
方程的根与函数的零点
课型
新授课
流程
学习内容
个性笔记
明确
目标
（一）三维目标：
1知识和技能目标：理解函数零点的概念；领会函数零点与相应方程根以及函数的图象与x轴的交点的横坐标三者之间的关系；
2过程与方法：由二次函数的图象与x轴的交点的横坐标和对应的一元二次方程为突破口，探究方程的根与函数的零点的关系；在课堂探究中体会数形结合的数学思想.
3.函数 的零点为__________
4.若函数有2个零点，则a的取值范围是____________
总
结
评
价
我的收获（1）知识方面：
1.函数零点的概念.
2.方程的根、函数的零点、函数图像与X轴交点之间的关系
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课题：§3.1.1方程的根与函数的零点
学习目标： 知识与技能 理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程要的关系，掌握零点存在的判定条件． 过程与方法 零点存在性的判定． 情感、态度、价值观 在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值． 学习重点：
重点 零点的概念及存在性的判定． 难点 零点的确定． 学习程序与环节设计：
结合二次函数引入课题． 二次函数的零点及零点存在性的． 研究二次函数在零点、零点之内及零点外的函数值符号，并尝试
进行系统的总结．。