上海市长宁区、嘉定区2014届高三数学二模试卷(文理合卷,含答案)

2013学年度长宁、嘉定区高三年级第二次模拟考试

数学试卷（理）

2014年4月

考生注意：本试卷共有23道试题，满分150分．考试时间120分钟．解答必须写在答题纸上的规定区域，写在试卷或草稿纸上的答案一律不予评分．

一．填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．

1．已知i 为虚数单位，计算：

=-+i

i

23___________． 2．已知集合}1,0,1,2{--=A ，集合},01{2

R ∈≤-=x x x B ，则=B A _______．

3．函数2)cos (sin x x y +=的最小正周期是__________________． 4．8)1)(1(+-x x 展开式中含5

x 项的系数是_________．

5．某校选修篮球课程的学生中，高一学生有30名，高二学生有40名，现用分层抽样的方 法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一学生中抽取了6人，则在高二学生中应抽 取__________人． 6．在直角三角形ABC 中，︒=∠90C ，4=AC ，则=⋅__________． 7．对于任意),1()1,0(∞+∈ a ，函数)

1(log 11

1)(--=x x f a 的反函数)(1

x f

-的图像经

过的定点的坐标是______________．

8．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤<--≤≤=,

21,)1(1,

10,)(2

x x x x x f 将)(x f 的图像与x 轴围成的封闭图形绕x

轴旋转一周，所得旋转体的体积为___________．

9．已知点),4(m P 在曲线C ：⎩⎨⎧==t

y t x 4,

42（t 为参数）上，则P 到曲线C 的焦点F 的距离

为_______________．

10．已知抛物线型拱桥的顶点距水面2米时，量得水面宽为8米．则水面升高1米后，水面

宽是____________米（精确到01.0米）． 11．设随机变量ξ的概率分布律如下表所示：

x

0 1 2

)(x P =ξ

a

b

c

其中a ，b ，c 成等差数列，若随机变量ξ的的均值为

3

4

，则ξ的方差为___________． 12．若不等式2||≤+a x 在]2,1[∈x 时恒成立，则实数a 的取值范围是__________． 13．设⎪⎭

⎫

⎝⎛+=x n x f n 2πsin )(（*N ∈n ）

，若△ABC 的内角A 满足 ++)()(21A f A f

0)(2014=+A f ，则=+A A cos sin ____________．

14．定义函数}}{{)(x x x f ⋅=，其中}{x 表示不小于x 的最小整数，如2}4.1{=，

2}3.2{-=-．当],0(n x ∈（*N ∈n ）时，函数)(x f 的值域为n A ，记集合n A 中元

素的个数为n a ，则=⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛+

++∞→n n a a a 1

11lim 21 ________________．

二．选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个选项正确，考生应在答题纸相应编号上，将代表答案选项的小方格涂黑，每题选对得5分，否则一律得零分． 15．运行如图所示的程序框图，则输出的所有实数对),(y x 所对应的点都在函数……（ ）

A ．1+=x y 的图像上

B ．x y 2=的图像上

C ．x y 2=的图像上

D ．12-=x y 的图像上

16．下列说法正确的是………………………………………………………………………（ ）

A ．命题“若12=x ，则1=x ”的否命题是“若12

=x ，则1≠x ”

B ．“1-=x ”是“022

=--x x ”的必要不充分条件

C ．命题“若y x =，则y x sin sin =”的逆否命题是真命题

D ．“1t a n =x ”是“4

π

=

x ”的充分不必要条件

17．设1F 、2F 是双曲线C ：122

22=-b

y a x （0>a ，0>b ）的两个焦点，P 是C 上一点，

若a PF PF 6||||21=+，且△21F PF 最小内角的大小为︒30，

则双曲线C 的渐近线方程 是………………………………………………………………………………………（ ） A ．02=±y x B ．02=±y x C ．02=±y x D ．02=±y x 18．设函数)(x f y =的定义域为D ，若对于任意1x 、D x ∈2，当a x x 221=+时，恒有

b x f x f 2)()(21=+，则称点),(b a 为函数)(x f y =图像的对称中心．研究函数 3sin )(-+=x x x f π的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到 ⎪⎭

⎫

⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛20144027201440262014220141f f f f 的值为……………………（ ）

A ．4027

B ．4027-

C ．8054

D ．8054-

三．解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 19．（本题满分12分，本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．

在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知B p C A sin sin sin ⋅=+（R ∈p ），且2

4

1b ac =

． （1）当4

5

=

p ，1=b 时，求a ，c 的值； （2）若B 为锐角，求实数p 的取值范围．

20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

在如图所示的多面体中，四边形ABCD 为正方形，四边形ADPQ 是直角梯形，

DP AD ⊥，⊥CD 平面ADPQ ，DP AQ AB 2

1

=

=． （1）求证：⊥PQ 平面DCQ ；

（2）求平面BCQ 与平面ADPQ 所成的锐二面角的大小．

21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

已知椭圆Γ：122

22=+b

y a x （0>>b a ）的右焦点为)0,22(，且椭圆Γ过点)1,3(．

（1）求椭圆Γ的方程；

（2）设斜率为1的直线l 与椭圆Γ交于不同两点A 、B ，以线段AB 为底边作等腰三角形PAB ，其中顶点P 的坐标为)2,3(-，求△PAB 的面积．

A B

C D P