红对勾文科数学6-3

线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题
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第六章·第三节
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2．可行解与最优解有何关系？最优解是否唯一？ 提示：最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优 解，最优解不一定唯一．
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第六章·第三节
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1题图
2题图
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(2)不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分，当 a＝ 0时，只有4个整点(1,1)，(0,0)，(1,0)，(2,0)；当a＝－1时， 正好增加(－1，－1)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－1)，(3， －1)5个整点，故选C.
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3．应用 利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤 是： (1)在平面直角坐标系内作出可行域． (2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形． (3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后 的直线，从而确定最优解． (4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或 最小值．
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【答案】 C
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1作平面区域时要“直线定界，测试点定域”，当不等式 无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线，若直线 不过原点，测试点常选取原点 . 2本题求m的取值范围，关键是弄清存在 Px0，y0满足x0－ 2y0＝2的几何意义.
答案：C
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x＋y≤1， 4．已知变量x，y满足约束条件 x－y≤1， x＋1≥0， 2y的最小值为( A．3 C．－5 ) B．1 D．－6
则z＝x＋
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x＋y≤1， 解析：变量x，y满足的不等式组 x－y≤1， x＋1≥0
名称 约束条件 意义 由变量 x，y 组成的一次不等式
线性约束条件 由 x，y 的 一次 不等式(或方程)组成的不等式组 目标函数 欲求最大值或 最小值 的函数
线性目标函数 关于 x，y 的 可行解 可行域 最优解
一次 解析式
满足约束条件的解 所有 可行解 组成的集合 使目标函数取得 最大值 或 最小值 的可行解
表示的
平面区域如下图所示，作辅助线l0：x＋2y＝0，并平移到过 点A(－1，－2)时，z＝x＋2y达到最小，最小值为－5.
答案：C
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5．写出能表示图中阴影部分的二元一次不等式组是 __________．
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示的平面区域存在公共点，由于点(－m，m)不可能在第一 和第三象限，而直线x－2y＝2经过第一、三、四象限，则 点(－m，m)只能在第四象限，可得m<0，不等式组所表示 的平面区域如图中阴影部分所示，要使直线 x－2y＝2与阴 影部分有公共点，则点(－m，m)在直线x－2y－2＝0的下 方，由于坐标原点使得x－2y－2<0，故－m－2m－2>0，即 2 m<－3.
2 5 C．(－∞，－3) D．(－∞，－3)
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本题相当于直线x－2y＝2与不等式组表示的平 面区域有公共点．画出可行域即可判断．
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【解析】
问题等价于直线x－2y＝2与不等式组所表
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必考部分
必考部分·第六章
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第六章 不等式、推理与证明
必考部分·第六章
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第三节
二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
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考纲解读 1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组. 2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次 不等式组. 3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加 以解决.
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【解析】
x＋y－3≥0 不等式组 x－y＋1≥0 x≤2
表示的平面区域如
图所示，图中的阴影部分即为可行域．
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x＋y－3＝0 由 x－y＋1＝0 x＋y－3＝0 由 x＝2 x－y＋1＝0 由 x＝2
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(1)作出可行域与直线x－2y＝0，观察确定最优 解； (2)由几何意义可确定z＝x2＋y2为可行域内的点到原点 的距离的平方，以此求解； (3)由几何意义可知所求为可行域内的点与原点连线的 斜率的最值，以此求解．
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又|OM|＝ 13，|ON|＝ 即
9 2，
9 2 2 ≤ x ＋ y ≤ 13， 2
9 2 2 ∴ ≤x ＋y ≤13. 2 9 ∴z 的最大值为 13，最小值为2.
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提升素养· 破难点
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1．二元一次不等式表示的平面区域 (1)一般地，二元一次不等式 ax＋by＋c>0 在平面直角坐 标系中表示直线 ax＋by＋c＝0 某一侧所有点组成的平面区 域． 我们把直线画成虚线以表示区域 不包括 边界直线． 当我 们在坐标系中画不等式 ax＋by＋c≥0 所表示的平面区域时， 此区域应 包括 边界直线，则把边界直线画成 实线．
的整点(x，y)恰有9个，
其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数 a的值为 ( ) A．－3 C．－1 B．－2 D．0
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2x＋y－6≤0 解析：(1)不等式组 x＋y－3≥0 y≤2
表示的平面区域如
下图所示(阴影部分)，△ABC的面积即为所求．求出点A， B，C的坐标分别为A(1,2)，B(2,2)，C(3,0)，则△ABC的面 1 积为S＝2×(2－1)×2＝1.
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1．点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)位于直线Ax＋By＋C＝0的 两侧的充要条件是什么？ 提示：(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)<0.
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2．线性规划相关概念
，得A(1,2)；
，得B(2,1)；
，得M(2,3)．
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1 1 (1)由 z＝x－2y 得 y＝2x－2z， 1 1 由图可知， 当直线 y＝2x－2z 经过点 B(2,1)时， z 取得最 大值，经过点 M(2,3)时，z 取得最小值． ∴zmax＝2－2×1＝0，zmin＝2－2×3＝－4.
答案：B
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3．下列各点中，与点(1,2)位于直线x＋y－1＝0的同一 侧的是( ) B．(－1,1) D．(2，－3)
A．(0,0) C．(－1,3)
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解析：当x＝1，y＝2时，x＋y－1＝1＋2－1＝2>0，当 x＝－1，y＝3时，x＋y－1＝－1＋3－1＝1>0，故(－1,3)与 (1,2)位于直线x＋y－1＝0的同侧．
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2x＋y－6≤0 (1)不等式组 x＋y－3≥0 y≤2 ( ) A．4 C．5 B．1 D．无穷大
表示的平面区域的面积为
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x－y≥0， (2)若满足条件 x＋y－2≤0， y≥a
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1．不等式x－2y＋6<0表示的区域在直线x－2y＋6＝0 的( ) A．右上方 C．左上方 B．右下方 D．左下方
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解析：画出图形如下图所示，可知该区域在直线 x－2y ＋6＝0的左上方．
答案：C
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x－3y＋6≥0 2．不等式组 x－y＋2<0
表示的平面区域是(
)
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解析：x－3y＋6≥0表示直线x－3y＋6＝0及右下方部 分，x－y＋2<0表示直线x－y＋2＝0左上方部分，故不等式 组表示的平面区域为选项B所示部分．
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3．若目标函数为z＝ax＋by，平移直线ax＋by＝0，在y z z 轴上的截距 b 最大，则z取最大值， b 最小，则z取最小值， 对吗？ 提示：不对．把直线ax＋by＝0向上平移时，在y轴上 z 的截距 b 逐渐增大，且b>0时z的值逐渐增大，b<0时z的值逐 z 渐减小；把直线ax＋by＝0向下平移时，在y轴上的截距 逐 b 渐减小，且b>0时z的值逐渐减小，b<0时z的值逐渐增大．
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二元一次不等式(组)表示平面区域
【例1】 2x－y＋1>0， x＋m<0， y－m>0，
(2013· 北京卷)设关于x，y的不等式组
表示的平面区域内存在点P(x0，y0)， )
满足x0－2y0＝2.求得m的取值范围是( 4 A．(－∞， ) 3 1 B．(－∞， ) 3
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(2)过原点(0,0)作直线 l 垂直于直线 x＋y－3＝0， 垂足为 N，则直线 l 的方程为 y＝x，
x＋y－3＝0 由 y＝x
3 3 3 3 ，得 N(2，2)，点 N(2，2)在线段 AB 上，
也在可行域内． 观察图可知，可行域内点 M 到原点的距离最大，点 N 到原点的距离最小．
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(2)由于对直线 ax＋by＋c＝0 同一侧的所有点(x，y)，把 它的坐标(x，y)代入 ax＋by＋c 所得到实数的符号都 相同 ， 所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点 (x0，y0)，由 ax0＋ by0＋c 的 符号 即可判断 ax＋by＋c>0 表示直线 ax＋by＋c ＝0 哪一侧的平面区域．
答案：(1)B (2)C
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求目标函数的最值
【例2】
x＋y－3≥0 已知实数x，y满足x－y＋1≥0 x≤2
.
(1)若z＝x－2y，求z的最大值和最小值； (2)若z＝x2＋y2，求z的最大值和最小值； y (3)若z＝ ，求z的最大值和最小值． x
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x≤0， 解析：由可行域知不等式组为0≤y≤1， 2x－y＋2≥0.
x≤0 答案：0≤y≤1 2x－y＋2≥0
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抓重点·破疑难
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考情剖析 线性规划问题是高考的热点内容，以线性目标函数的最值为重 点，兼顾考查代数式的几何意义如斜率、距离、面积等、求解参数 的范围与值等；以选择、填空为主，从近几年的高考题看难度不大 .
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