河北省唐山市高三数学上学期期末考试试题理(扫描版,b卷)

河北省唐山市2017届高三数学上学期期末考试试题理（扫描版，B卷）
唐山市2016—2017学年度高三年级期末考试
理科数学参考答案
一、选择题：
A 卷：BCAD
B ACDBA AD B 卷：BCADD ACDBA AB 二、填空题： （13） 5 12
（14）1 （15） x 29＋ y
2
6
＝1
（16）25
5
三、解答题： （17）解：
（Ⅰ）由正弦定理得：
2sin B cos B ＝sin A cos A cos B －sin B sin 2
A －sin C co s A
＝sin A cos (A ＋B )－sin C c os A ＝－sin A cos C －sin C cos A ＝－sin (A ＋C ) ＝－sin B ，
∵sin B ≠0， ∴cos B ＝－
1
2，B ＝2π
3
．
…6分
（Ⅱ）由b 2
＝a 2
＋c 2
－2ac cos B ，b ＝7a ，cos B ＝－
1
2
得 c 2＋ac －6a 2＝0，解得c ＝2a ，
…10分 由S △ABC ＝ 1
2ac sin B ＝3
2
a 2＝23，得a ＝2．
…12分
（18）解：
（Ⅰ）
k ＝200(50×150×40×160＝6
≈4.167＞3.841，
所以有超过95%的把握认为“获奖与学生的文理科有关”．
…6分
（Ⅱ）由表中数据可知，抽到获奖同学的概率为 1
5，
将频率视为概率，所以X 可取0，1，2，3，且X ~B (3， 1
5
)．
P (X ＝k )＝C k 3×(
1 5)k (1－ 1 5
)3－k
（k ＝0，1，2，3），
10分
E (X )＝3×
1 5＝ 3
5
． …12分
（19）解：
（Ⅰ）证明：连接AC ，则△ABC 和△ACD 都是正三角形．
取BC 中点E ，连接AE ，PE ， 因为E 为BC 的中点， 所以在△ABC 中，BC ⊥AE ， 因为PB ＝PC ，所以BC ⊥PE ， 又因为PE ∩AE ＝E ，
所以BC ⊥平面PAE ，又PA ⊂平面PAE ， 所以BC ⊥PA ． 同理CD ⊥PA ， 又因为BC ∩CD ＝C ， 所以PA ⊥平面ABCD ．
…6分
（Ⅱ）如图，以A 为原点，建立空间直角坐标系A -x yz ， 则B (3，－1，0)，D (0，2，0)，P (0，0，2)， PD →＝(0，2，－2)，BD →＝(－3，3，0)， 设平面PBD 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，
则⎩⎨⎧PD →·m ＝0，BD →·m ＝0，
即⎩⎨⎧2y －2z ＝0，－3x ＋3y ＝0，
取平面PBD 的法向量m ＝(3，1，1)，
…9分
取平面PAD 的法向量n ＝(1，0，0)， 则cos 〈m ，n 〉＝
m ·n |m |·|n |＝15
5
，
所以二面角A -
PD -B 的余弦值是15
5
．
…12分
（20）解：
（Ⅰ）由题意得F (1，0)，从而有C ：x 2
＝4y ．
解方程组⎩⎨⎧x 2
＝4y ，
x 2＋y 2
＝1
，得y A ＝5－2，所以|AF |＝5－1． …5分
（Ⅱ）设M (x 0，y 0)，则切线l ：y ＝x 0p
(x －x 0)＋y 0， 整理得x 0x －py －py 0＝0．
…6分
由|ON |＝1得|py 0|＝x 2
0＋p 2
＝2py 0＋p 2
， 所以p ＝
2y 0y 2
0－1
且y 2
0－1＞0，
…8分
所以|MN |2
＝|OM |2
－1＝x 2
0＋y 2
0－1＝2py 0＋y 2
0－1
＝4y 2
0y 20－1＋y 20－1＝4＋4y 20－1＋(y 2
0－1)≥8，当且仅当y 0＝3时等号成立， 所以|MN |的最小值为22，此时p ＝3．
…12分
（21）解：
（Ⅰ）f ′(x )＝1－ln x x
2
（x ＞0）， 当x ∈(0，e)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增； 当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减， 所以当x ＝e 时，f (x )取得最大值f (e)＝
1
e
． …4分
（Ⅱ）g ′(x )＝ln x －ax ＝x (ln x
x
－a )，由（Ⅰ）及x ∈(0，e]得：
①当a ＝
1
e 时，ln x
x
－a ≤0，g ′(x )≤0，g (x )单调递减， 当x ＝e 时，g (x )取得最小值g (e)＝h (a )＝－ e
2
． …6分
②当a ∈[0，
1
e )，
f (1)＝0≤a ，f (e)＝ 1
e
＞a ， 所以存在t ∈[1，e)，g ′(t )＝0且ln t ＝at ， 当x ∈(0，t )时，g ′(x )＜0，g (x )单调递减， 当x ∈(t ，e]时，g ′(x )＞0，g (x )单调递增， 所以g (x )的最小值为g (t )＝h (a )．
…9分
令h (a )＝G (t )＝
t ln t
2
－t ，
因为G ′(t )＝ln t －12＜0，所以G (t )在[1，e)单调递减，此时G (t )∈(－ e
2，－1]．
综上，h (a )∈[－
e
2
，－1]． …12分
（Ⅰ）C 1：ρ(cos θ＋sin θ)＝4，
C 2的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1，所以ρ＝2cos θ．
…4分
（Ⅱ）设A (ρ1，α)，B (ρ2，α)，－ π 4＜α＜ π
2，
则ρ1＝ 4
cos α＋sin α，ρ2＝2cos α，
…6分
|OB ||OA |＝ ρ2 ρ1＝ 1
4
×2cos α(co s α＋sin α) ＝
1 4(cos 2α＋sin 2α＋1)＝ 1 4[2cos (2α－ π
4
)＋1]， …8分
当α＝ π 8时，|OB ||OA |取得最大值 1
4
(2＋1)．
…10分
（Ⅰ）f (x )＝2|x －1|＋|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋4，x ＜1，
x ，
1≤x ≤2，3x －4，x ＞2．
所以，f (x )在（－∞,1]上递减，在[1，＋∞）上递增， 又f (0)＝f ( 8 3)＝4，故f (x )≤4的解集为{x |0≤x ≤ 8
3}．
…4分
（Ⅱ）
①若a ＞1，f (x )＝(a －1)|x －1|＋|x －1|＋|x －a |≥a －1， 当且仅当x ＝1时，取等号，故只需a －1≥1，得a ≥2． …6分 ②若a ＝1，f (x )＝2|x －1|，f (1)＝0＜1，不合题意．
…7分
③若0＜a ＜1，f (x )＝a |x －1|＋a |x －a |＋(1－a )|x －a |≥a (1－a )，
当且仅当x ＝a 时，取等号，故只需a (1－a )≥1，这与0＜a ＜1矛盾． …9分 综上所述，a 的取值范围是[2，＋∞)．
…10分
解法2
f (x )≥1⇒f (1)＝|1－a |≥1且a ＞0，解得a ≥2. …6分
当a ≥2时，f (x )＝a |x －1|＋|x －a |＝⎩⎪⎨⎪⎧－(a ＋1)x ＋2a ，x ＜1，
(a －1)x ，
1≤x ≤a ，(a ＋1)x －2a ，x ＞a ．
所以，f (x )在（－∞,1]上递减，在[1，＋∞）上递增，则f (x )≥f (1)．
…8分
f (x )≥1⇔f (1)＝a －1≥1，解得a ≥2．
综上所述，a 的取值范围是[2，＋∞)．
…10分。